PLP2 Math�matiques-Sciences Physiques

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					                         PLP2 Mathématiques-Sciences Physiques

                                    Année 2001-2002

          Séminaire de didactique des mathématiques et des sciences physiques

                              SEANCE 20 – JEUDI 7 MARS 2002

                                     Michèle Artaud

                                 Programme de la séance



1. Problématique et fonctionnement du Séminaire

     Question de la semaine

2. Forum des questions


3. Observation et analyse

      Le nombre dérivé en classe de 1re baccalauréat professionnel



4. Didactique des mathématiques et des sciences (non traité dans la séance)

      Etudier la géométrie
1. Question de la semaine

                                                                            Séance 20 (7 marr 2002)
Marion Rouchier
Classe : 2de BEP matériaux souples

Comment les élèves peuvent-ils retranscrire sur leur cahier une séance assistée par ordinateur ? Sera-
t-elle profitable par la suite ?



2. Forum des questions

                    ANALYSER ET EVALUER UNE ORGANISATION DIDACTIQUE

Question posée
Pour faire une étude d’une organisation didactique, doit-on étudier les types de tâches les uns
après les autres ? [S19]

Matériaux pour une réponse
On peut difficilement faire une réponse a priori : cela va dépendre de la nature de
l’organisation de l’étude. Il est possible de faire l’analyse type de tâches par types de tâches. Il
est souvent plus fonctionnel de grouper des types de tâches, parce qu’ils apparaissent liés
entre eux, notamment parce que les pratiques sont produites et justifiées par le même
environnement technologico-théorique.

Question posée
Dans l’étude didactique d’un cours au niveau des exercices et du contrôle, comment fait-on la
différence entre le moment du travail et celui de l’évaluation ? [S19]

Matériaux pour une réponse
On rappellera d’abord qu’un épisode didactique peut relever de plusieurs moments de l’étude,
c’est-à-dire peut avoir plusieurs fonctions didactiques. C’est le cas par exemple de la
correction d’un exercice, qui peut avoir pour fonction de travailler l’organisation scientifique,
d’en institutionnaliser certains éléments, d’évaluer la maîtrise qu’on a de cette organisation
scientifique.
        En général, la fonction d’évaluation devient prépondérante « à la fin » des exercices,
quand du travail de l’OS a déjà été réalisé ; elle est prépondérante dans la réalisation d’un
contrôle, pas obligatoirement dans sa correction où les deux fonctions de travail de l’OS et
d’évaluation peuvent être « également » présentes. Il arrive aussi fréquemment que les deux
fonctions soient conjointement présentes dans la réalisation d’un devoir à la maison.

Question posée
Je me demande si le moment du travail sur la fonction linéaire est suffisant : je leur ai donné
une « planche » de 4 exercices :
       le premier : tracer la représentation graphique d’une fonction linéaire à partir d’un
tableau de valeurs ;
       le second : à partir de la représentation graphique, en déduire le tableau de valeurs ;
        le troisième : reconnaître, parmi 4 représentations graphiques, celle qui correspond à
une fonction linéaire ;
        le quatrième : établir l’expression algébrique d’une fonction linéaire.
Sachant que par la suite je compte aborder la proportionnalité qui fait appel à la fonction
linéaire. [S17]

Matériaux pour une réponse

Dans la planche décrite, apparaît un type de tâches par exercice. Si chaque exercice
comportait un seul spécimen du type de tâches considéré, et si la planche était le seul
dispositif réalisant le moment du travail de l’organisation scientifique, on peut considérer que
le moment de travail n’est pas suffisant, même dans le cas d’une reprise d’étude – les
fonctions linéaires ont été étudiées au collège – et d’un thème qui sera refonctionnalisé dans
la suite – l’auteur de la question signalant que les fonctions linéaires interviendront lors du
travail sur la proportionnalité.
         Si chaque exercice comportait plusieurs spécimens de chacun des types de tâches, il
faut alors regarder si ces spécimens étaient suffisamment variés, du point de vue du champ
numérique auquel appartient le coefficeint directeur par exemple – pas que des coefficients
entiers.
         Il faut également examiner si ces exercices couvrent l’ensemble des types de tâches
relatif au thème.
         De ce point de vue, on notera qu’il semble manquer au moins un type de tâches :
déterminer le sens de variation d’une fonction linéaire.


                              ORGANISATIONS MATHEMATIQUES

Question posée
Le calcul du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine est-il au programme du BEP
dans le cadre des fonctions affines ? [S19]

Matériaux pour une réponse

Voici ce que dit le programme de troisième à propos des fonctions affines :

Contenu
Fonction affine
Fonction affine et fonction linéaire associée

Compétences exigibles
Connaître la notation x  ax+b pour des valeurs de deux nombres et de leurs images.

Déterminer une fonction affine par la donnée de deux nombres et de leurs images.

Représenter graphiquement une fonction affine.

Lire sur la représentation graphique d’une fonction affine l’image d’un nombre donné et le
nombre ayant une image donnée.
Commentaires
C’est l’occasion de prendre conscience de l’existence de fonctions dont la représentation
graphique n’est pas une droite (par exemple, en examinant comment varie l’aire d’un carré
quand la longueur de son côté varie de 1 à 3).

Pour des valeurs de a et b numériquement fixées, le processus de correspondance sera aussi
explicité sous la forme “ je multiplie par a puis j’ajoute b ”. La représentation graphique de la
fonction affine peut être obtenue par une translation à partir de celle de la fonction linéaire
associée. C’est une droite, qui a une équation de la forme y = ax+b. On interprétera
graphiquement le coefficient directeur a et l’ordonnée à l’origine b ; on remarquera la
proportionnalité des accroissements de x et y.

Pour déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère, on entraînera
les élèves à travailler à partir de deux points pris sur la droite et à exploiter la représentation
graphique.

On fera remarquer qu’une fonction linéaire est une fonction affine.

Des enregistrements graphiques ou des courbes représentatives de fonctions non affines
peuvent servir de support à la construction de tableaux de valeurs ou à la recherche de
particularités d’une fonction : coordonnées de points, sens de variation sur un intervalle
donné, maximum, minimum.
Aucune connaissance n’est exigible à ce sujet.

Les élèves ont ainsi étudié coefficient directeur et ordonnée à l’origine, qui doivent donc
donner lieu à une reprise d’étude dans le cadre du programme de BEP. Cette reprise d’étude
peut s’effectuer à l’occasion du travail sur les systèmes d’équations et d’inéquations et les
problèmes de programmation linéaire offrent de bonnes « taches coche » permettant de
motiver cette étude.

Question posée
Qu’est-ce que la programmation linéaire ?

Matériaux pour une réponse
Voir fichier pgmation_lineaire


Question posée
Lorsqu’on a résolu une inéquation, comment fait-on pour réaliser la vérification ? [S16]

Matériaux pour une réponse
Considérons l’inéquation suivante : 5x + 3 > 2x – 3.
Il vient 3x > -6, puis x > -2. L’ensemble des solutions est donc ]-2 ; +õ[.
Vérifions. En remplaçant x par –2 dans les deux membres de l’inéquation de départ il vient :
5x + 3|x = -2 = -10 + 3 = -7 ; 2x - 3|x = -2 = -4 – 3 = -7. De plus, 0 est élément de ]-2 ; +õ[ et 5  0
+ 3 > 2  0 – 3, ce qui montre que 0 vérifie l’inégalité.

On soulignera que la technique de vérification précédente est justifiée et produite par
l’élément technologique suivant : une inéquation du premier degré de la forme p(x) > q(x) a
pour ensemble de solutions l’intervalle ]-õ ; [ ou l’intervalle ] ; +õ[, où  est la solution de
l’équation p(x) = q(x).
Autre technique de vérification.
Traçons les droites d’équations y = 5x + 3 et y = 2x – 3.




La droite d’équation y = 5x + 3 est au-dessus de la droite d’équation y = 2x – 3 pour x > -2 ;
l’ensemble des solutions est donc ]-2 ; +õ[.

Exercice : déterminer les éléments technologiques relatifs à cette technique.



3. Observation et analyse

       Nombre dérivée en 1re professionnelle

Voir l’observation dans le fichier nbre_derive_1bp.

                           ANALYSE ET EVALUATION DE LA SEANCE

                            STRUCTURE ET CONTENU DE LA SEANCE

Cette séance se situe dans le cadre de l’étude des fonctions, et plus précisément la notion de
dérivation. Le programme de baccalauréat professionnel précise à ce propos :

« La dérivation est une notion nouvelle. Il convient de l’aborder assez tôt pour pouvoir la
pratiquer et l’exploiter dans des situations variées. Il est important de lier les aspects
graphiques et numériques de la dérivation en un point.

Contenus
a) Dérivation en un point
Tangente en un point à une courbe d’équation y  f x  .
Nombre dérivé d’une fonction en a.
b) Fonction dérivée
Fonction dérivée d’une fonction, sur un intervalle :
- dérivée des fonctions x  a , x  x , x  x 2 et x  x 3 ;
                             1
- dérivée de la fonction x  , l’intervalle ne contenant pas 0.
                             x
Dérivée d’une somme, d’un produit par une constante.
Commentaires
La tangente en un point est considérée comme une notion intuitive obtenue graphiquement
elle n’a pas à être définie. On définit le nombre dérivé de la fonction f en a comme le
coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a ;on le
note f a  .
Les règles de calcul sont admises. »

La séance observée est la première séance consacrée à l’étude de ce thème dans une classe de
première de baccalauréat professionnel comptabilité. Elle prend appui sur une activité
comportant sept questions distribuée par le professeur au début de l’heure et peut se scinder
en quatre épisodes de longueur inégale : le premier épisode voit la reprise de l’étude des
coefficients directeurs de droite (questions 1 et 2) ; le second fait émerger la notion de
tangente à une courbe (questions 3, 4) ; le troisième participe de l’émergence de l’organisation
mathématique relative au nombre dérivé (questions 5, 6, 7) ; le quatrième enfin ouvre une
porte sur la notion de fonction dérivée (question 7).


                          ANALYSE DE L’ORGANISATION MATHEMATIQUE

L’organisation mathématique étudiée ici comporte les deux types de tâches suivants :

T1 : Une droite étant donnée par son équation, déterminer si elle est tangente à une courbe
représentative donnée en un point d’abscisse donnée, a.
T2 : Déterminer le nombre dérivé d’une fonction en un point.

La technique, 1, permettant d’accomplir le type de tâches T1 peut se décrire de la façon
suivante : déterminer deux points appartenant à la droite et tracer cette droite ; la droite est
tangente en a si elle passe par le point (a, f(a)) et n’a qu’un point d’intersection avec la
courbe. On notera ici que cette technique n’est pas formellement dégagée dans la séance
observée et qu’elle comporte également sans doute une part de « reconnaissance visuelle »,
basée sur une analogie avec la tangente au cercle en un point que les élèves ont étudiée au
collège.

L’élément technologique essentiel sur lequel repose [T1/1] est la « définition » suivante de la
tangente :
1 : Soit f une fonction numérique, Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal. La
droite d est dite tangente en a à la courbe Cf si le point (a, f(a)) appartient à d et si d et Cf n’ont
qu’un point d’intersection.

Cet élément technologique n’est pas formellement présent dans la séance, mais on le voit
affleurer dans l’explication que P donne dans le travail de la quatrième question :

    P explique : « Il faut que ce soit tangent au point d’abscisse 1. Ce n’est sûrement pas d3, elle
    ne passe pas par le point d’abscisse 1 sur la parabole. Comment savoir s’il s’agit de d 1 ou d2 ?
    C’est difficile à voir. En fait, il faudrait faire un zoom pour savoir s’il n’y a qu’un point de
    réunion. ».
La technique mise en place pour accomplir le type de tâches T2 : « Déterminer le nombre
dérivé d’une fonction f en un point a » est la technique 2 suivante :

Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f en a,  ;
écrire que le nombre dérivé en a est alors f’(a) = .

Cette technique est justifié par l’élément technologique suivant donné dans la séance, la
définition du nombre dérivé en un point :
2 : « Le nombre dérivé d’une fonction f au point x0 (s’il existe) , noté f’(x0) ,est le coefficient
directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point x0. »

On notera que, dans la séance, d’une part, les équations des droites tangentes sont données, et
que la détermination du coefficient directeur de la tangente consiste donc à identifier le
coefficient du terme en x dans l’équation y = x +  ; d’autre part, le professeur énonce la
technique suivante : « Pour trouver le nombre dérivé en un point, on trace une droite tangente
à la courbe en ce point et on calcule le coefficient directeur en ce point, on obtient le nombre
dérivé », qui n’est pas réellement la technique mise en œuvre puisque, nous l’avons dit, les
équations des tangentes sont données.

On voit poindre en fin de séance une autre technique, qui n’est qu’évoquée, consistant à
calculer la valeur de la fonction dérivée en a.


                           ANALYSE DE L’ORGANISATION DIDACTIQUE

On assiste ici à l’émergence de l’organisation mathématique précédente, réalisée à partir de
l’activité distribuée au début de la séance.

Le premier épisode constitue, on l’a dit, la reprise d’une pratique déjà étudiée au collège
(classe de 3e) et dans les deux années de BEP : la détermination du coefficient directeur d’une
droite représentée graphiquement. Ce moment de travail d’une organisation mathématique
antérieurement étudiée n’est pas lié à l’étude de l’organisation mathématique relative à la
dérivée qui suit.

Le deuxième épisode réalise un moment de première rencontre et un moment exploratoire de
l’organisation mathématique relative au type de tâches T1 : il s’agit de déterminer parmi 3
droites dont l’équation est donnée laquelle est tangente à la parabole d’équation y = x² – x + 1
au point d’abscisse 1. Les élèves font le travail de tracé des droites, et jugent que la droite d1
est tangente, sans que le problème de la justification de cette réponse soit véritablement posée
par le professeur. On notera que la notion de tangente est conformément au programme
laissée dans le flou, le professeur énonçant cependant des critères de reconnaissance : elle doit
« passer par le point » et n’avoir « qu’un point de réunion ».

Ce travail sur la détermination de la tangente permet de faire émerger la définition du nombre
dérivée, et on a dans l’épisode suivant un moment technologico-théorique relatif au type de
tâches T2 ainsi qu’un moment d’institutionnalisation écrite de l’élément technologico-
théorique produit :
2 : « Le nombre dérivé d’une fonction f au point x0 (s’il existe) , noté f’(x0) ,est le coefficient
directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point x0. »
On notera que ces moments sont précédés d’une institutionnalisation orale de la technique
« Pour trouver le nombre dérivé en un point, on trace une droite tangente à la courbe en ce
point et on calcule le coefficient directeur en ce point, on obtient le nombre dérivé », qui, nous
l’avons dit plus haut n’est pas véritablement la technique mise en œuvre ; Celle-ci émergera
dans l’épisode suivant, qui réalise ainsi un moment exploratoire relative à la pratique [T2/2]
dans le cas de la parabole d’équation y = x² : le nombre dérivée de la fonction carré est
déterminé en x = 0,5, x = 1 et x = –1,5.
Cet épisode participe également à la réalisation d’un moment exploratoire qui annonce une
deuxième technique pour accomplir T2 : le calcul de la valeur d’une fonction.

Si l’on excepte le moment d’institutionnalisation, où seul le professeur intervient, l’étude est
effectuée par le biais d’une coopération entre le professeur et les élèves, les élèves répondant
aux sollicitations du professeur et accomplissant le travail que celui-ci demande ; on notera à
cet égard que le travail demandé est peu exigent.

                                                                                      À suivre…
4. Didactique des mathématiques et des sciences (non traité dans la séance)

                                       ETUDIER LA GEOMETRIE

La géométrie constitue l’un des cinq domaines mathématiques au programme du BEP,
exception faite des BEP hôtellerie, restauration et alimentation.

Deux secteurs sont concernés. La géométrie plane, qui comporte 5 thèmes d’étude :
1. Exemples de tracés de figures planes usuelles ;
2. Enoncé de Thalès relatif au triangle ;
3. Géométrie vectorielle plane ;
4. Repères ;
8. Trigonométrie ;
La géométrie dans l’espace qui comporte 2 thèmes d’étude :
5. Etude expérimentale de droites et de plans de l’espace ;
6. Description de solides usuels en utilisant des projections orthogonales, sections planes,
développement.

Un thème se situe à l’intersection des deux secteurs précédents : Exemples de calculs de
distances, d’angles, d’aires et de volumes dans les configurations usuelles du plan et de
l’espace.

Les BEP du secteur tertiaire et le BEP Sanitaire et social ne sont concernés que par la
géométrie plane, le premier thème seulement pour le secteur tertiaire, les quatre premiers
thèmes pour le BEP sanitaire et social.

On considèrera dans la suite le secteur de la géométrie plane.

Programme de BEP :

   Tout point de vue axiomatique est exclu ; il ne s’agit pas de s’étendre sur les aspects
théoriques, mais de développer chez les élèves une bonne connaissance des objets du plan et
de l’espace.
  La pratique des figures doit tenir une place centrale, car elle joue un rôle décisif pour la
maîtrise des notions mathématiques mises en jeu. De même, l’exploitation des écrans
graphiques d’ordinateur peut aider efficacement les élèves à développer leur perception des
objets du plan et de l’espace.
   Toute reprise systématique des notions vues clans les classes antérieures est exclue.
Cependant, certains points (théorème de Thalès, notion de vecteurs), qui figurent au
programme de Troisième mais non à celui de Troisième technologique, sont repris dans ce
texte. L’enseignement de ces points devra être adapté à cette situation.

1. Exemples de tracés de figures planes usuelles
La pratique des tracés géométriques, l’étude de configurations liées aux figures usuelles
doivent permettre d’utiliser et de consolider les notions acquises dans les classes antérieures :
constructions élémentaires, théorème de Pythagore et sa réciproque, relations
trigonométriques dans le triangle rectangle.
Le premier thème constitue ainsi clairement une reprise d’étude du collège, et comporte deux
types de tâches à étudier : tracer une figure plane ; étudier une configuration.


Question posée
Sans le démontrer vraiment, peut-on amener le théorème de Pythagore par la méthode
suivante ? [S12]



a² + b²                                c²




Matériaux pour une réponse
Comme l’indique le programme, le théorème de Pythagore a été étudié au collège, en
4e comme l’indique le programme de collège reproduit ci-dessous.

Contenus
2. Triangle rectangle et cercle
Cercle circonscrit, théorème de Pythagore et sa réciproque.

Compétences exigibles
Caractériser le triangle rectangle :
– par son inscription dans un demi-cercle,
– par la propriété de Pythagore et sa réciproque.
Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres.
En donner, s’il y a lieu, une valeur approchée, en faisant éventuellement usage de la touche
d’une calculatrice.
Caractériser les points d’un cercle de diamètre donné par la propriété de l’angle droit.

Commentaires
On poursuit le travail sur la caractérisation des figures en veillant à toujours la formuler à
l’aide d’énoncés séparés.
Les relations métriques dans le triangle rectangle, autres que celles mentionnées dans les
compétences exigibles, ne sont pas au programme.

Il s’agit donc, dans le cadre du programme de BEP, de mobiliser le théorème de Pythagore et
sa réciproque pour tracer des figures planes
Exemple :

Monsieur T veut carreler le sol de sa cuisine : pour prévoir la disposition des motifs, il veut
avoir un plan. Il a communiqué à la boutique du lycée le dessin suivant :
                         3,5m

            2m
                         4m                           2,4m


                                 3,2m
Faire le plan de la pièce.

Remarque : la donnée de la mesure de la diagonale est nécessaire pour faire la figure (voir les
deux figures ci-dessous)




                                  E

                        A



                  D                       C

AC = 2,92                    B




                                          E



                                 A



AC = 4                                            C

                                      D
                                              B

				
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