Unterricht Mathematik Vorbereitungslehrgang VB

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                                       UNTERRICHT
                                  ZUR VORBEREITUNG AUF DEN

                          UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN



                           REALSCHULREIFELEHRGANG
                                           ODER
                           FACHSCHULREIFELEHRGANG


                                            DER



                            BUNDESWEHRFACHSCHULE




                                   M A T H E M A T I K




LEHREINHEIT 05



INHALT: Rechnen mit Verhältnissen
        Prozent und Zinsrechnung




     1 / 28   Stand: 01.07.2006
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5.   RECHNEN MIT VERHÄLTNISSEN;
     PROZENT- UND ZINSRECHNUNG                                              3



     5.1      Der Begriff „Verhältnis“                                      4


     5.2      Sachverhalte mit gleichen Verhältnissen                       6


     5.3      Sachverhalte mit umgekehrten Verhältnissen                    8


     5.4      Prozentrechnung                                              12
              5.4.1 Prozentsatz                                            12
              5.4.2 Prozentwert                                            14
              5.4.3 Grundwert                                              16


     5.5      Zinsrechnung                                                 18
              5.5.1 Die Berechnung der Zinsen                              18
              5.5.2 Berechnung des Zinssatzes                              20
              5.5.3 Berechnung des Kapitals                                21
              5.5.4 Berechnung der Zeit                                    22




Aufgaben zur Lehreinheit 05                                                23



Lösungen der Übungen und Aufgaben                                          24




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5. Rechnen mit Verhältnissen; Prozent- und Zinsrechnung

Erinnerungen an die Schulzeit

Aufgabe 1:      8 Eier kosten 2 €, was kosten 11 Eier?
Aufgabe 2:      Für Frühjahrsarbeiten im Stadtpark benötigen
                6 Arbeiter 12 Tage.
                Wieviel Tage benötigen 8 Arbeiter?

Rechnen Sie!

      Derartige Aufgaben lassen sich mit dem Dreisatz lösen.
      Dabei sind zwei Fälle zu beachten.

      Fall 1:            Je mehr Eier gekauft werden, umso mehr
                         muss bezahlt werden,
                         man spricht von einem gleichen Verhältnis.

      Fall 2:            Je mehr Arbeiter eingesetzt werden, umso
                         weniger Zeit wird (normalerweise) benötigt,
                         man spricht von einem umgekehrten Verhältnis.

Die Lösungen mit dem Dreisatz und dem Zeichen ≙ (entsprechen,
entspricht):

zu Aufgabe 1:             8 Eier kosten 2 €
                         11 Eier kosten ?

                          8 Eier              ≙    2€
                8 Eier : 8 = 1 Ei             ≙    2 € : 8 = 0,25 €
                11 ∙ 1 Ei = 11 Eier           ≙    0,25 € ∙ 11 = 2,75 €


zu Aufgabe 2:            6 Arbeiter benötigen 12 Tage
                         8 Arbeiter benötigen ?

                6 Arbeiter                    ≙    12 Tage
                1 Arbeiter                    ≙    12 Tage ∙ 6 = 72 Tage
                8 ∙ 1 Arbeiter = 8 Arbeiter ≙      72 Tage : 8 = 9 Tage


Beim gleichen Verhältnis wie in Aufgabe 1 wird auf beiden Seiten des
Zeichens ≙ in gleicher Weise gerechnet, es wird nur dividiert oder nur
multipliziert.
Beim umgekehrten Verhältnis wie in Aufgabe 2 ist bei einer Division
auf einer Seite eine Multiplikation auf der anderen Seite erforderlich.
Das besondere Merkmal beim Dreisatz ist die Umrechnung auf eine
Einheit ( 1 Ei, 1 Arbeiter ).

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Eine Aufgabe, die mit dem Dreisatz lösbar ist, lässt sich schneller mit
Hilfe einer Verhältnisgleichung oder Produktgleichung lösen, in der die
Umrechnung auf eine Einheit nicht benötigt wird. Wie, das erfahren Sie
in 5.2 und 5.3.
Besonders wichtig beim Thema „Rechnen mit Verhältnissen“ ist die
Prozent- und Zinsrechnung. Diese werden in 5.4 und 5.5 behandelt.
Zunächst werden in 5.1 die Begriffe „Verhältnis“ und „Verhältnisgleichung“
genauer erklärt.


5.1 Der Begriff „Verhältnis“
Auf einer Karte (Maßstab 1 : 25 000, lies: 1 zu 25 000) sind in
ebenem Gelände drei Türme A, B und C eingetragen.

Wie groß sind die Entfernungen von A nach B und von B nach C?




Gemessen werden: von A bis B 8 cm, von B bis C 5 cm.

Der Maßstab 1 : 25 000 gibt das Verhältnis zwischen Länge auf der
Karte und wirklicher Länge an.

1 mm auf der Karte entspricht 25 000 mm im Gelände
(Verhältnis 1 : 25 000)
1 cm auf der Karte entspricht 25 000 cm im Gelände
(Verhältnis 1 : 25 000)

D.h. 8 cm auf der Karte entsprechen 8 ∙ 25 000 cm = 200 000 cm im
Gelände (Verhältnis 8 : 200 000)
5 cm auf der Karte entsprechen 125 000 cm im Gelände
(Verhältnis 5 : 125 000)

Von A nach B sind es also 2 km, von B nach C 1,25 km.




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Der Maßstab 1 : 25 000 lässt sich auch so erklären:
                                       1
Die Länge auf der Karte beträgt            von der wirklichen Länge.
                                     25000
Das Zeichen „:“ entspricht einem Bruchstrich.

Man kann schreiben:
                             8 cm      8     1
8 cm : 200 000 cm =                             1 : 25000
                          200000 cm 200000 25000
                             5 cm      5     1
5 cm : 125 000 cm =                             1 : 25000
                          125000 cm 125000 25000

Perfekt ausgedrückt lässt sich sagen:
Der Quotient zweier Größen mit gleicher Einheit heißt Verhältnis.
Die nicht mehr kürzbare Form heißt Wert des Verhältnisses.

Beispiel:
      a) Das Verhältnis der Längen 15 m und 80 m ist
         15 m 15 3
                   3 : 16
         80 m 80 16

      b) Das Verhältnis von 4,8 cm und 1,2 km ist
         4,8 cm   4,8 cm        48
                                    1 : 25000
         1,2 km 120000 cm 1200000

      c) Das Verhältnis von 1,25 m und 0,75 m ist
         1,25 m 125 5
                      5:3
         0,75 m 75 3

Übungen zu 5.1
1. In welchem Verhältnis stehen folgende Größen?
   a) 8 cm und 16 cm       b) 48 cm und 24 cm           c) 21 m und 63 m
   d) 48 dm : 16 dm        e) 38 kg und 57 kg           g) 1,2 kg : 0,9 kg
   h) 0,4 kg : 3,2 kg

2. Wie groß ist die Geländestrecke?
a) Maßstab 1 : 300 000, Kartenstrecke 12 cm
b) Maßstab 1 : 200 000, Kartenstrecke 2,5 cm

3. Wie groß ist der Maßstab?
a) Kartenstrecke 12 cm, Geländestrecke 600 m
b) Kartenstrecke 26 cm, Geländestrecke 65 km

4. Wie groß ist die Kartenstrecke?
   a) Maßstab 1 : 10 000, Geländestrecke 550 m
   b) Maßstab 1 : 25 000, Geländestrecke 6,2 km


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5. Ein Kaufmann bezahlt für eine Ware 36 € und verkauft sie wieder für 42 €.
   a) In welchem Verhältnis steht der Verkaufspreis zum Einkaufspreis?
   b) In welchem Verhältnis steht der Einkaufspreis zum Verkaufspreis?


5.2 Sachverhalte mit gleichen Verhältnissen

Sie stehen vor einem Turm und möchten wissen, wie hoch er ist. Ihnen steht ein
Zollstock zur Verfügung, außerdem scheint die Sonne.




Die Turmhöhe lässt sich ganz ungefährlich mit Hilfe der Schattenlängen und der
Zollstocklängen berechnen, denn Turmhöhe und Schattenlänge des Turms stehen in
gleichem Verhältnis wie Zollstocklänge und Schattenlänge des Zollstockes (Turm
und Zollstock stehen senkrecht). Rechnen Sie, bevor Sie weiter lesen!

Haben Sie es mit dem Dreisatz versucht?

Vielleicht so:
1,50 m Schattenlänge                 ≙ 2 m Höhe
1 m Schattenlänge                    ≙ 2 m : 1,50 = 1, 3 m Höhe
15,75 m Schattenlänge                ≙ 1,3 m ∙ 15,75 = 21 m Höhe


Man kann die Lösung auch mit einer so genannten Verhältnisgleichung finden:

Turmhöhe : Schattenlänge Turm = Zollstocklänge : Schattenlänge Zollstock

D.h.   x m : 15,75 m = 2 m : 1,50 m

         xm      2m
d.h.                                Verhältnisgleichung!
       15,75 m 1,50 m



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Diese Gleichung lässt sich nach dem Kürzen von m wie in LE 04/4.3 lösen.

         x     2
                 / 15,75
       15,75 1,50

               2  15,75     31,5
       x                x       x  21
                 1,50        1,5

      Der Turm ist 21 m hoch.

Noch ein Beispiel:                   7 kg einer Ware kosten 16,80 €
                                     Wieviel kosten 9 kg?

Übersicht mit x:                     7 kg ≙ 16,80 €
                                     9 kg ≙ x €

Überlegung: Die doppelte Menge kostet doppelt so viel. Die Verhältnisse
            sind gleich. Als Lösungsansatz wird eine Verhältnisgleichung
            gewählt.


Rechnung:        Aus rechentechnischen Gründen ist es bei Verhältnisgleichungen
                 immer sinnvoll, die Variable x zuerst hinzuschreiben.

                 x € : 9 kg = 16,80 € : 7 kg

                 Da auf beiden Seiten die Einheiten gleich sind (€/kg), kann
                 man schreiben:

                  x 16,80
                               | 9
                  9      7
                      16,80  9
                  x
                          7
                  x  21,60

                 Ergebnis: 9 kg kosten 21,60 €

Mit dem Dreisatz:         7 kg ≙ 16,80 €
                          1 kg ≙ 16,80 € : 7 = 2,40 €
                          9 kg ≙ 2,40 € ∙ 9       = 21,60 €




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       Versuchen Sie nun, die folgenden Übungen mit Hilfe von Verhältnis-
       gleichungen zu lösen. Als Kontrolle kann der Dreisatz dienen.


       Übungen zu 5.2
       1. 25 kg einer Ware kosten 35 €. Wieviel kosten 72 kg?

       2. 27 kg einer Ware kosten 226,80 €. Wieviel kg bekommt man für 126 €?

       3. Eine Rolle mit 400 m Draht wiegt 3,6 kg. Wieviel m enthält eine Rolle
          mit dem gleichen Draht, die ein Gewicht von 2,25 kg hat?

       4. Ein LKW braucht 18 l Treibstoff für 100 km.
          a) Wieviel braucht er für 265 km?
          b)Wie weit kommt er mit 45 l?



5.3 Sachverhalt mit umgekehrten Verhältnissen

Setzt man für eine bestimmte Arbeit doppelt so viel Arbeiter ein, so ist anzunehmen,
dass man diese Arbeit in der halben Zeit schafft.

Wenn 2 Arbeiter 16 Stunden benötigen, benötigen 4 Arbeiter 8 Stunden,
d.h.            2 Arbeiter          ≙ 16 Stunden
                4 Arbeiter          ≙   8 Stunden.

Es handelt sich um einen Sachverhalt mit umgekehrten Verhältnissen (je mehr....,
desto weniger ....).

Achtung!        Für die obige Arbeit müssen in jedem Fall 32 Arbeitsstunden
                bezahlt werden! Bei 2 Arbeitern wurden 2 ∙ 16 Stunden bezahlt, bei 4
                Arbeitern 4 ∙ 8 Stunden.

Man kann dies in einer so genannten Produktgleichung ausdrücken:
            2 ∙ 16 = 4 ∙ 8.


Beispiel:
Eine Hauswand kann von 4 Maurern in 12 Stunden verputzt werden.
Wie lange arbeiten 6 Maurer daran?

Übersicht:      4 Maurer ≙ 12 Stunden
                6 Maurer ≙           x Stunden


Überlegung: Doppelt so viel Maurer benötigen halb so viel Zeit. Die Verhältnisse sind
            umgekehrt. Als Lösungsansatz wird eine Produktgleichung gewählt.



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Rechnung:      4 Maurer ∙ 12 Stunden      = 6 Maurer ∙ x Stunden.
                  4     ∙     12          =    6     ∙x                       I :6
                                  4  12
                                           x
                                    6
                                    8     x
Ergebnis:      6 Maurer benötigen 8 Stunden.

Probe:         4 ∙ 12 Stunden = 6 ∙ 8 Stunden


Noch ein Beispiel:
In einer Großstadt wird eine Omnibuslinie von 12 Wagen in Zeitabständen von
10 min befahren. Wieviel Wagen sind einzusetzen, wenn die Zeitabstände 8 min sein
sollen?

Übersicht:     10 min ≙ 12 Wagen
                8 min ≙            x Wagen

Überlegung: Eine Verdopplung der Zeitabstände (20 min) bedeutet
            eine Halbierung der Anzahl der Wagen (6 Wagen). Die
               Verhältnisse sind umgekehrt ⇒ Ansatz Produktgleichung.

Rechnung:      10 ∙ 12 = 8 ∙ x           |:8

               10  12
                       x
                  8
               15  x

Ergebnis:      Es werden 15 Wagen benötigt.


Übungen zu 5.3

1. Eine Rohrleitung kann von 6 Arbeitern in 24 Tagen verlegt werden.
   a) Wie lange würden 16 Arbeiter dazu benötigen?
   b) Wieviel Arbeiter muss man einsetzen, um die Leitung in 8 Tagen zu verlegen?

2. Eine Kantine ist bei täglichem Bedarf von 40 kg Zucker für 15 Tage
   eingedeckt. Wie groß ist der tägliche Verbrauch, wenn der Zucker
   nur 10 Tage reicht?

3. Ein Wasserbehälter kann durch 3 Röhren in 10 h gefüllt werden.
   Wie lange dauert das Füllen, wenn zusätzlich noch ein gleiches
   Rohr geöffnet ist?




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Bei jeder Bewegung bestehen zwischen der Geschwindigkeit eines
Fahrzeuges und seiner Fahrzeit umgekehrte Verhältnisse.

Beispiel:
Ein Auto fährt bei 80 km/h von Hamburg nach Hannover 1 h 45 min.
Bei welcher Geschwindigkeit schafft es den Weg in 1 h 15 min?

Überlegung: Bei doppelter Geschwindigkeit braucht man die halbe
            Fahrzeit. Die Verhältnisse sind umgekehrt.

Übersicht:      80 km/h ≙ 1,75 h            x km/h ≙ 1,25 h

Rechnung:       x ∙ 1,25 = 80 ∙ 1,75 | : 1,25
                      80  1,75
                x =
                        1,25
                x = 112

Ergebnis:       Die Geschwindigkeit muss 112 km/h betragen.


4. Ein Auto braucht bei 60 km/h von Stuttgart nach München 4 h.
   Wie lange ist es unterwegs bei
   a) 50 km/h        b) 100 km/h ?

Beispiel:
Ein Rechteck ist 6 m lang und 4 m breit. Wie breit ist ein flächengleiches Rechteck,
das 8 m lang ist?

Überlegung: Bei doppelter Länge hat das Rechteck nur halbe Breite.
            Die Verhältnisse sind umgekehrt.

Übersicht:      6 m Länge ≙ 4 m Breite 8 m Länge ≙ x m Breite

Rechnung:       8∙x=6∙4 |:8
                    64
                x =
                     8
                x = 3

Ergebnis:       Das Rechteck ist 3 m breit.


5. Ein Grundstück ist 12,5 m lang und 9,6 m breit. Es wird in ein gleich großes Stück
   von 7,5 m Breite getauscht. Wie lang muss dieses sein?

6. Eine Treppe mit 39 Stufen zu je 20 cm Höhe wird erneuert und dabei die
   Stufenhöhe um 6 cm vergrößert. Wieviel Stufen hat die neue Treppe?

7. In einem Waschraum braucht man für die Wand 648 Kacheln zu
   je 6,25 dm2.
   Wieviel Kacheln benötigt man bei einer Kachelgröße von 2,25 dm 2?

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Drehzahlen

Drehzahl nennt man die Anzahl der Umdrehungen je Minute, kurz: „U/min“.

Beispiel:
Ein Getrieberad mit 54 Zähnen hat die Drehzahl 126 U/min.
Welche Drehzahl hat das eingreifende Rad, das 36 Zähne besitzt?

Überlegung: Bei doppelter Drehzahl kann ein Getrieberad nur halb so
            viel Zähne besitzen. Die Verhältnisse der Drehzahlen und Anzahl der
            Zähne sind umgekehrt.

Übersicht:      126 U/min ≙ 54 Zähne         x U/min ≙ 36 Zähne

Rechnung:       x ∙ 36 = 126 ∙ 54   | : 36
                         126  54
                     x =
                           36
                     x = 189

Ergebnis:       Das Rad macht 189 U/min.


8. Zwei Getrieberäder haben 34 bzw. 51 Zähne. Welche Drehzahl
   hat das kleinere Rad, wenn das größere Rad
       a) 84 U/min        b) 110 U/min macht ?

9. Das Zahnrad einer Übersetzung hat 96 Zähne und dreht sich 50 mal.
   Wieviel Zähne hat das eingreifende Rad, das sich gleichzeitig 80 mal dreht?




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5.4 Prozentrechnung

Sie erhalten eine Rechnung über 3220 € mit dem Vermerk:
innerhalb von 8 Tagen 3 % Skonto.
Welcher Betrag ist zu zahlen, wenn Sie die 3 % Skonto ausnutzen wollen?
(Lösung im Anhang)
Haben Sie die Lösung mit dem Dreisatz versucht?
Besonders in der Prozentrechnung können Berechnungen mit dem
Dreisatz durchaus günstiger sein als mit Hilfe einer Formel; besonders dann, wenn
die Behandlung des Themas „Prozentrechnung“ eine gewisse Zeit zurückliegt. In
dieser Lehreinheit werden beide Möglichkeiten gezeigt. Probieren Sie sie aus und
entscheiden Sie selbst, welche Möglichkeit für Sie die günstigere ist.


5.4.1 Prozentsatz

Die Angaben 1 %, 2 % usw. liest man bekannter weise „1 Prozent,
2 Prozent“ usw. und nennt sie Prozentsätze. Es handelt sich um Verhältnisse.
Es bedeutet:

        1                7                12                 100
1% =       = 0,01; 7% =     = 0,07; 12% =     = 0,12; 100% =     =1
       100              100               100                100

Beispiel:
Wieviel Prozent von 8 kg sind 4 kg?

Lösung:           Das Verhältnis von 4 kg zu 8 kg ist

                  4 kg 4 1 50
                             50 %
                  8 kg 8 2 100

Ergebnis:         Der Prozentsatz beträgt 50 %.


Mit Fachbegriffen versehen, lässt sich dies auch so formulieren.

        50 %               von            8 kg       sind          4 kg

       Prozentsatz                      Grundwert              Prozentwert


                                      Pr ozentwert
Es gilt:          Prozentsatz =
                                      Grundwert




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Beispiel:

a) Wieviel Prozent von 800 kg sind 32 kg?
                           32 kg    4
   Lösung: Prozentsatz =              4%
                          800 kg 100

b) Wieviel Prozent von 720 € sind 450 €?
                                  450 €            62 ,5
          Lösung: Prozentsatz =           0,625         62 ,5 %
                                  720 €            100
         (Von der Zahl 0,625 gelangt man direkt zur Prozentangabe 62,5 %
          durch Verschiebung des Kommas um 2 Stellen nach rechts!)
c) Wieviel Prozent von 921 € sind 47 €?
                                   47 €
           Lösung: Prozentsatz =          0,05103 ...  5,1 %
                                   921 €

Anmerkung: Auch hierbei kann man mit dem Dreisatz rechnen. Zu dem
           obigen Beispiel a):

                 800 kg ≙ 100%
                 1 kg       ≙ 100% : 800 = 0,125%
                 32 kg      ≙ 0,125% ∙ 32 = 4%




Übungen zu 5.4.1
1. Wie groß ist der Prozentsatz?
              a)           b)                c)              d)              e)
Prozentwert 6 kg              8,30 €         450 kg          36 min           7,5 kg
Grundwert 150 kg           166,00 €           7,4 t           6h             90 kg

2. Formen Sie in Prozentsätze um.
                 1           25
  Beispiel:         0,25       25 %
                 4          100
      1                      3           2               7              9
  a)                      b)          c)            d)              e)
      2                      4           5              10             20
     1                       3           1             5               4
  f)                      g)          h)            i)              k)
     25                      8           3             6               9




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3. Bestimmen Sie den Prozentsatz und geben Sie die Bedeutung an.
   Beispiel: Aus Prozentwert = 540 kg, Grundwert = 432 kg erhält man
                           540 kg 5         125
             Prozentsatz =         1,25       125 %
                           432 kg 4         100
             Das bedeutet: 540 kg sind 125 % von 432 kg.

                         a)                    b)
  Prozentwert:           624 kg                990 g
  Grundwert              600 kg                900 g

4. Wieviel % des Einkaufspreise (EK) ist jeweils der Verkaufspreis (VK)
   und wieviel % des Verkaufspreises der Einkaufspreis?
                       a)                         b)
   Einkaufspreis     800 €                     700,00 €
   Verkaufspreis    1000 €                     887,50 €

5. Wieviel % des Einkaufspreises (EK) und wieviel % des Verkaufs-
   preises (VK) ist der Gewinn?
   Es gilt: EK + Gewinn = VK
                      a)          b)            c)          d)
   Einkaufspreis     124 €      48,60 €      78,40 €      24,90 €
   Gewinn             62 €      12,15 €      58,80 €       8,30 €

6. Die Miete wird von 818 € auf 1056 € erhöht. Wieviel Prozent der
   bisherigen Miete ist die Mieterhöhung?

7. Der Preis für ein älteres Fernsehgerät wird von 642 € auf 498 €
   herabgesetzt. Wieviel % des alten Preises beträgt der Preisnachlass?

8. Wie hoch ist der Salzgehalt einer Salzlösung von 368 g Wasser und
   32 g Kochsalz? (Der Salzgehalt ist ein Prozentsatz und gibt an, wieviel
   % der „Lösung“ reines Kochsalz ist.)


5.4.2 Prozentwert

3 % von 3220 €?
In LE 02/2.5 haben Sie die Bedeutung des Wörtchens „von“ als „:“ kennen gelernt.
                   3                3
3 % von 3220 € =      von 3220 € =      3220 € = 96,60 €
                  100              100

Der Prozentwert 96,60 € ergibt sich aus dem Produkt von Prozentsatz und
Grundwert.

                Prozentwert = Prozentsatz ∙ Grundwert

Diese Formel erhält man auch durch Umformung der Gleichung für den Prozentsatz:
                           Pr ozentwert
            Prozentsatz =               | ∙ Grundwert
                           Grundwert
                ⇒ Prozentsatz ∙ Grundwert = Prozentwert

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Beispiele:
a) Wieviel ist 4 % von 650 kg?
   Lösung: Prozentwert = 4 % von 650 kg
                            4
                         =      650 kg
                           100
             Prozentwert = 26 kg

b) Wieviel ist 6,25 % von 350 Stück?
                           6,25
   Lösung: Prozentwert =        von 350 Stück
                            100
                         = 0,0625 ∙ 350 Stück
             Prozentwert ≈ 22 Stück

c) Wieviel ist 8,2 % von 430 ℓ ?
                            8,2
   Lösung: Prozentwert =         430l
                           100
             Prozentwert = 35,26 ℓ

d) 3 % von 3220 € mit dem Dreisatz?
            100 % ≙ 3200 €
                 1 % ≙ 32,20 €
                 3 % ≙ 32,20 € ∙ 3 = 96,60 €

  Sie sehen, das geht auch recht schnell.


Übungen zu 5.4.2
1. Berechnen Sie:
            a) 1 % von 500 kg
            b) 2 % von 300 m
            c) 4 % von 250 g
            d) 10 % von 45 €

2. Berechnen Sie den Prozentwert:
                   a)          b)               c)               d)
                                       1
  Prozentsatz             12,5 %     8   %      7,2 %            22 %
                                       3
  Grundwert               720 €      51 €       78 kg            90 t


3. Berechnen Sie:
   a) 60 % von 750 €                 b) 150 % von 420 m


4. Die Grundprämie einer Kfz-Versicherung beträgt 642 €. Wieviel
   muss der Versicherte zahlen, wenn er einen Schadensfreiheitsrabatt von
   30 % der Grundprämie bekommt?




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5. Messing ist eine Legierung aus 67 % seines Gewichts an Kupfer,
   30 % an Zink und 3 % an Blei. Wieviel kg der Metalle kommen
   auf 140 kg Messing?


5.4.3 Grundwert
Teilt man in der Formel „Prozentsatz ∙ Grundwert = Prozentwert“ durch
                                                     Prozentwer t
den Prozentsatz, dann erhält man Grundwert                       .
                                                     Prozentsat z

Beispiel:
Bei einer Gehaltserhöhung werden die Gehälter um 4 % des bisherigen Gehalts
aufgebessert. Dadurch verdient jemand 112 € mehr im Monat.
Wie hoch sind sein bisheriges und sein neues Gehalt?
Lösung:      Das bisherige Gehalt ist der Grundwert
                            112 € 112 €
             Grundwert: =                 2800 €
                             4%      0,04
             Ergebnis:    Das bisherige Gehalt beträgt 2 800 €,
                          das neue Gehalt 2 912 €.

Mit dem Dreisatz geht es auch: 4 % ≙ 112 €
                                      1 % ≙ 112 € : 4 = 28 €
                                    100 % ≙ 28 € ∙ 100 = 2800 €



Übungen zu 5.4.3

1. Wie groß ist der Grundwert?
                     a)               b)          c)              d)
   Prozentsatz       5%               25 %        7,5 %           125 %
   Prozentwert       18 m             17 kg       24 €            23 ℓ

2. Ein Haus bringt jährlich 15 600 € Miete. Wieviel ist es wert, wenn die
   Miete 6,5 % des Hauswerts ausmacht?

3. Bei der Herstellung von Stahl tritt ein Schmelzverlust von 12,5 %
   des Roheisens auf. Wieviel Roheisen braucht man für 42 000 t Stahl?

4. Ein Landwirtschaftsbetrieb steigert den Ertrag um 8,4 % der Vorjahres-
   ernte und erzeugt 4410 kg mehr als im Vorjahr. Wie groß ist der Ertrag
   im vergangenen und in diesem Jahr?




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Noch ein Hinweis:
Als Autofahrer sollte man den Begriff „Promille (‰)“ kennen. Es gilt:
         1               10    1
1‰=         , 10 ‰ =              1% ,        5 ‰ = 0,5 %
       1000             1000 100

Auf das Rechnen mit Promille wird hier verzichtet, da Promille leicht in Prozent
umgerechnet werden können.




      17 / 28   Stand: 01.07.2006
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5.5 Zinsrechnung

Zinsen - Zinssatz - Kapital - Zeit - Zinseszinsen -,
alles vertraute Begriffe, oder?

Zu den ersten vier Begriffen erfahren Sie hier das Wesentliche. Für das
Rechnen mit Zinseszinsen fehlen noch einige Grundlagen; dieses Thema
wird z.B. in den Fachschulreifelehrgängen der Bundeswehrfachschulen
unterrichtet.


Wieviel € Zinsen erhält man bei einem Zinssatz von 6,5 % für ein
Kapital von 2580 € nach der Zeit
      a) 1 Jahr           b) 8 Monate ?

Rechnen Sie, bevor Sie weiter lesen! Das stärkt bei richtigem Ergebnis
das mathematische Selbstvertrauen!

zu a) Man kann wie in der Prozentrechnung vorgehen:
      6,5 % von 2580 € = 0,065 ∙ 2580 €
                       = 167,70 €
      Die Zinsen betragen für 1 Jahr 167,70 €.

zu b) Für einen Monat sind es 167,70 € : 12 = 13,975 €
      für acht Monate sind es 13,975 € ∙ 8 = 111,800 €!

      Die Zinsen sind der Preis für geliehenes Geld (Kapitel) für einen
      bestimmten Zeitraum. Der Zinssatz ist der Prozentsatz, der die
      Zinsen für ein Jahr (Jahreszinsen) festlegt.

Bei der Zinsrechnung für Teile des Jahres gilt eine besondere Zeiteinteilung:
             1 Jahr = 12 Monate = 360 Tage !;
             1 Monat = 30 Tage !


5.5.1 Die Berechnung der Zinsen

Beispiel:
Ein Kapital von 6000 € wird 140 Tage lang bei einem Zinssatz von
7,5 % verzinst. Wie hoch sind die Zinsen?
                                           7,5
Lösung:       Zinsen für 1 Jahr = 6000 € ∙      = 450 €
                                           100

                                                          140           140
                Zinsen für 140 Tage = Jahreszinsen            450 €       175 €
                                                          360           360


                Den Wert 175 erhält man direkt bei der Rechnung

                         7,5 140 6000  7,5  140
                6000                            175
                         100 360   100  360
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                                                                3303e766-4570-451d-948a-fe2a4be0d25f.doc




Daraus ergibt sich folgende Zinsformel für Tage
                      p   t           k  pt
             z= k         oder z 
                    100 360          100  360

                z sind die Zinsen
                k ist das Kapital
                p ist der Zinssatz
                t ist die Zeit (hier in Tagen)

                                    k  p  360
Für t = 360 erhält man z =                      , d.h. die Jahreszinsen berechnet man nach der
                                    100  360
                     kp
Formel:         z=
                     100

Beispiel:
Jemand zahlt am 12. März 1000 € auf ein Konto. Der Zinssatz ist 7,5 %. Am 23. April
wird der Betrag wieder abgehoben. Wie hoch sind die Zinsen?

Beachten Sie dazu: Bei der Berechnung der Zeitdauer der Verzinsung wird der erste
Tag (Einzahlungstag) nicht mitgezählt. Dagegen gehört der letzte Tag
(Auszahlungstag) mit zur Verzinsungszeit.

Lösung:         vom 13. März bis zum 12. April sind es 30 Verzinsungstage (1 Monat =
                30 Tage, trotz des 31. März), vom 13. April bis zum 23. April sind es
                11 Verzinsungstage. Insgesamt beträgt die Verzinsungszeit 41 Tage.

                Geg.: k = 1000;           p = 7,5;     t = 41
                Ges.: z

                     1000  7,5  41
                z=                    8,54
                       100  360

                Es werden 8,54 € Zinsen gezahlt.

Übungen zu 5.5.1
1. Wie groß sind die Jahreszinsen für
   a) 800 € zu 2 %     b) 460 € zu 5 %                 c) 560 € zu 6 ¼ %?

2. Wie hoch sind die Zinsen für
                        1
   a) 400 € bei 3 % in Jahr      b) 792 € bei 4 % in 1 Monat
                        4
   c) 546 € bei 7 % in 4 Monaten d) 672 € bei 9 % in 96 Tagen
   e) 82 300 € bei 6,25 % in 84 Tagen?

3. Am 15.8. wurden 6000 € auf ein Konto eingezahlt, der Zinssatz ist
   4,5 %. Am 17.10. des gleichen Jahres wird das Geld wieder abgehoben.
   Wir hoch sind die Zinsen?



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5.5.2 Berechnung des Zinssatzes

Beispiel:
Jemand erhält für 1200 € nach 80 Tagen 18 € Zinsen. Wie hoch ist der
Zinssatz?

Lösung:         Geg.: k = 1200;        t = 80; z = 18
                Ges.: p

                Ersetzt man die gegebenen Größen in der Formel

                          k  p t
                z=                 , dann erhält man die Gleichung
                         100  360
                         1200  p  80
                18 =                   | ∙ 100 ∙ 360
                          100  360

      ⇒         18 ∙ 100 ∙ 360 = 1200 ∙ p ∙ 80         | : 1200, : 80

                18  100  360
      ⇒
                  1200  80
      ⇒         6,75 = p


Der Zinssatz ist 6,75 %.

Anmerkung: Ähnlich wie in der obigen Rechnung kann man die Formel
                  k  p t
           z=                direkt nach p auflösen. Man erhält so
                 100  360
            z  100  360
                           =p
                 k t
                       z  100  360
           d.h. p =                  (t Tage)
                            k t


Für z = 18 , k = 1200 , t = 80 erhält man wie oben
    18  100  360
p=                 = 6,75
      1200  80

Übungen zu 5.5.2
1. Wie hoch ist der Zinssatz?
             Kapital                   Zeit              Zinsen
      a)     700 €                     9 Monate          31,50 €
      b)     7 260 €                   108 Tage          181,50 €

2. Ein Geldverleiher will auf einen Kredit von 4 500 € nach 10 Monaten
   5 500 € zurückgezahlt haben. Wie hoch ist sein Zinssatz?


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5.5.3 Berechnung des Kapitals

Herr Glück hat im Lotto gewonnen. Er überweist den Reingewinn
auf ein Konto und lässt sich dafür bei einem Zinssatz von 7,5 %
in jedem Monat 3525 € Zinsen auszahlen. Wie hoch ist das Kapital?

Lösung:         Geg.: p = 7,5;        z = 3525;   t = 30
                      Ges.: k

                Man kann die gegebenen Größen in die Formel
                    k  p t                    k  7,5  30
                z=           einsetzen ⇒ 3525 =              k
                   100  360                    100  360

                Aufgelöst nach k erhält man
                3525  100  360
                                 = k, ⇒ 564 000 = k
                    7,5  30
                Das Kapital beträgt 564 000 €.

Anmerkung: Löst man zuerst die Formel nach k auf, dann erhält man

                     z  100  360
                k=                 (t Tage)
                          p t



Übungen zu 5.5.3
1. Wie groß ist das Kapital?
           Zinssatz                     Zeit               Zinsen
      a)      3%                      6 Monate             22,50 €
      b)     3,5 %                    84 Tage              49,00 €


2. Ein Angestellter hat ein Ruhegehalt von monatlich 2450 €. Wieviel
   hätte er sparen müssen, um bei 8 % die gleichen Zinsen zu bekommen?




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5.5.4 Berechnung der Zeit

Beispiel:
Wie lange dauert es, bis man für 10 000 € bei einem Zinssatz von 6 %
500 € Zinsen erhält?

Lösung: Geg.: k = 10 000;                 p = 6 %;     z = 500
              Ges.: t

                                               k  p t
                Mit Hilfe der Formel z =                erhält man
                                              100  360

                         10 000  6  t
                500 =
                          100  360
                    500  100  360
                ⇒                   = t ⇒ t = 300
                      10 000  6


                Es dauert 300 Tage = 10 Monate

Anmerkung: Die nach t aufgelöste Formel lautet
                            z  100  360
                        t=                (t Tage)
                                 kp


Übungen zu 5.5.4
1. Wie groß ist die Zeit?
      Kapital        Zinssatz                   Zinsen
   a) 3200 €         5 %                        80 €
   b) 11160 €        5,5 %                      85,25 €


2. Wie lange müssen 9700 € auf der Sparkasse liegen, um auf über
   10 000 € anzuwachsen, wenn die Spareinlage mit 4,15 % verzinst
   wird?




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AUFGABEN ZUR LEHREINHEIT 05


1. In 25 min liefert ein Brunnen 3 300 ℓ Wasser.
   a) Wieviel liefert er in 45 min?
   b) In welcher Zeit liefert er 1980 ℓ ?

2. Eine Mauer kann von 15 Maurern in 12 Tagen gezogen werden.
   a) Wie lange dauert die Arbeit, wenn man 5 Maurer mehr einsetzt?
   b) Wieviel Maurer muss man einsetzen, um die Arbeit in 10 Tagen
      fertig zu bekommen?

3. Innerhalb eines Stadtgebietes ereigneten sich in einem Monat 198
   Unfälle. Wieviel % davon waren auf Alkohol zurückzuführen, wenn
   dieser bei 87 Unfällen eine Rolle spielte?

4. Zur Unkrautbekämpfung soll eine 3%ige Lösung eines Spritzmittels
   hergestellt werden. Wieviel von dem Spritzmittel muss man im
   Wasser auflösen, wenn man im ganzen 240 ℓ der Lösung herstellen
   will?

5. Jemand pachtet ein Geschäft, dessen Miete monatlich 2 530 €
   beträgt. Das entspricht 11 % des Umsatzes. Wieviel setzt er um?

6. Auf einem Haus lasten als 1. Hypothek 48 000 € zu 5 %, als
   2. Hypothek 32 000 € zu 6 %, als 3. Hypothek 24 000 € zu
   6,75 %. Wie hoch sind die vierteljährlichen Zinsen?

7. Jemand leiht sich 500 € und verspricht, nach 3 Monaten 530 €
   zurückzuzahlen. Welchen Zinssatz bietet er an?

8. Einem Altersheim werden 75 000 € gestiftet, die zu einem Zinssatz
   von 4 % angelegt sind. Von den Zinsen sollen immer dann Anschaffungen
   gemacht werden, wenn diese den Betrag von 1000 € erreicht haben.
   In welchen Zeitabständen ist das der Fall?




      23 / 28   Stand: 01.07.2006
                                                                  3303e766-4570-451d-948a-fe2a4be0d25f.doc



Lösungen der Übungen und Aufgaben

Übungen zu 5.1:          1. a) 1 : 2     b) 2 : 1      c) 1 : 3
                            d) 3 : 1     e) 2 : 3      f) 3 : 2
                            g) 4 : 3     h) 1 : 8

                         2. a) 36 km b) 5 Km

                                     12 cm    12    1
                         3. a)                         1 : 5000
                                    60000 cm 60000 5000
                                       26 cm      26      1
                             b)                              1 : 250000
                                    6500000 cm 6500000 250000

                         4. a) 5,5 cm           b) 24,8 cm

                         5. a) 7 : 6            b) 6 : 7

Übungen zu 5.2:          1. x € : 72 kg = 35 € : 25 kg
                             x 35
                                    | ∙ 72 ⇒ x = 100,80
                            72 25

                           72 kg kosten 100,80 €

                         2. x kg : 126 € = 27 kg : 226,80 €
                             x      27
                                          126 ⇒ x = 15
                           126 226 ,8
                            Für 126 € erhält man 15 kg.

                         3. 250 m

                         4. a) 47,7 ℓ           b) 250 km

Übungen zu 5.3:          1. a) Ansatz: 6 ∙ 24 = 16 ∙ x ⇒ x = 9; 9 Tage
                            b) Ansatz: 6 ∙ 24 = x ∙ 8 ⇒ x = 18; 18 Arbeiter
                         2. 60 kg
                         3. 7,5 h
                         4. a) 4,8 h = 4 h 48 min     b) 2,4 h = 2 h 24 min
                         5. 16 m
                         6. 30 Stufen
                         7. 1800 Kacheln
                         8. a) 126 U/min              b) 165 U/min
                         9. 60 Zähne

5.4 Rechnung:            3123,40 €




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Übungen zu 5.4.1: 1. a) 4 %            b) 5 %      c) 6 %        d) 10 %
                      e) ≈ 8,3 %
                  2. a) 50 %           b) 75 %     c) 40 %       d) 70 %
                      e) 45 %          f) 4 %      g) 37,5 %     h) ≈ 33,3 %
                       i) ≈ 83,3 %     j) ≈ 44,4 %
                  3. a) 104 %; 624 kg sind 104 % von 600 kg
                      b) 100 %; 990 g sind 110 % von 900 g
                  4. a) VK ist 125 % vom EK; EK ist 80 % vom VK
                      b) VK ist ≈ 126,8 % vom EK; EK ist ≈ 78,9 vom VK
                  5. a) 50 % des EK; ≈ 33,3 % des VK
                      b) 25 % des EK; 20 % des VK
                      c) 75 % des EK; ≈ 42,9 % des VK
                      d) ≈ 33,3 % des EK ; 25 % des VK
                  6. ≈ 29,1 %
                  7. ≈ 22,4 %
                  8. 8,0 %

Übungen zu 5.4.2: 1. a) 5 kg      b) 6 m     c) 10 g      d) 4,50 €
                  2. a) 90 €      b) 4,25 € c) 5,616 kg d) 19,8 t
                  3. a) 0,60 ∙ 750 € = 450 €
                      b) 1,50 ∙ 420 m = 630 m
                  4. 449,40 €
                  5. 93,8 kg Kupfer; 42 kg Zink; 4,2 kg Blei

Übungen zu 5.4.3: 1. a) 360 m     b) 68 kg      c) 320 €    d) 18,4 ℓ
                  2. 240 000 €
                  3. 48 000 t
                  4. im Vorjahr 52500 kg, in diesem Jahr 56910 kg.

Übungen zu 5.5.1: 1. a) 16 €         b) 23 €      c) 35 €
                  2. a) 3 €          b) 2,64 €    c) 12,74 €
                     d) ≈ 16,13 €    e) ≈ 1200,21 €
                  3. Dauer der Verzinsung 2 Monate und 2 Tage =
                     62 Tage; z = 46,50 €

                                                   1
Übungen zu 5.5.2: 1. a) 6 %                 b) 8     %
                                                   3
                                                                            2
                         2. geg: k = 4500 t; t = 300; z = 1000; Ergebnis: 26 %
                                                                            3

Übungen zu 5.5.3: 1. a) 1500 €              b) 6000 €
                  2. 367500 €

Übungen zu 5.5.4: 1. a) 6 Monate (180 Tage)            b) 50 Tage
                  2. Nach 269 Tagen sind es erstmals mehr als 10000 €.




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Aufgaben:

1.   a) 5940 ℓ          b) 15 min
2.   a) 9 Tage          b) 18 Maurer
3.   ≈ 43,9 %
4.   7,2 ℓ
5.   23000 €
6.   600 € + 480 € + 405 € = 1485 €
7.   24 %
8.   4 Monate




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UNTERRICHT DER BUNDESWEHRFACHSCHULE



Dienstgrad                 Name                       Vorname



Einheit                                 Standort                      DZE



Privatanschrift                                               Datum



Email




1. Lösen Sie mit Hilfe einer Verhältnisgleichung bzw. Produktgleichung:
   a) Ein rechteckiges Grundstück ist 25 m lang und 18 m breit.
      Wie lang ist ein gleich großes Grundstück mit einer Breite von 15 m?

   b) Ein Auto verbraucht auf einer Autobahn 6,5 l Benzin für 100 km. Im
      Tank sind noch 15,6 l. Wieviel km können noch auf der Autobahn gefahren
      werden?

2. a) Nach einer Preissenkung von 22 % kostet ein Videogerät 642,72 €.
      Wieviel kostete es vorher?

  b) Der Preis eines Autos wird von 28.500 € auf 32.800 € erhöht.
     Wieviel % des alten Preises beträgt die Preiserhöhung?
  c) Der Einbau einer neuen Heizung kostet netto 16.800 €, hinzu kommen 16 %
     Mehrwertsteuer. Bei Zahlung innerhalb 1 Woche können 3 % Skonto
     abgezogen werden. Welcher Betrag ist in diesem Fall zu überweisen?

3. a) Ein Geldverleiher bietet einen Kredit von 12.00 € für 2240 € Zinsen in 8
      Monaten an. Wie hoch ist der Zinssatz?

   b) Die Zinsen für ein Kapital betragen jährlich 1955 € bei einem Zinssatz
      von 8,5 %. Wie hoch ist das Kapital?

   c) Wieviel EURO Zinsen erhält man für ein Festgeld von 20.000 € bei
      einem Zinssatz von 6,75 % in 2 Monaten?

   d) Wieviel Tage wurde ein Kapital von 5000 € bei einem Zinssatz von
      4,5 % verzinst, wenn die Zinsen 200 € betragen?


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DstGrd                  Name       Vorname                      Blatt:




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