Mathe Vorbereitung by qjwOGA

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									1. Kombinatorik (Permutation, Variation, Kombination)

Permutation (= Zahl der Reihenfolgen): "Jede mögliche Anordnung von n Elementen, in der
alle Elemente verwendet werden, heißt Permutation dieser Elemente."

Als einführendes Beispiel mag die Zahl der Anordnungen von sechs unterscheidbaren
Objekten mit Beachtung der Reihenfolge dienen. Offensichtlich kann jedes der Objekte "auf
den ersten Platz gelangen", es gibt also sechs Möglichkeiten, den ersten Platz zu besetzen.
Wenn der erste Platz besetzt ist, bleiben noch fünf Kandidaten für den zweiten Platz, ist auch
dieser besetzt, nur noch vier Kandidaten für den dritten Platz, und so fort. Für den vorletzten
Platz bleiben schließlich nur noch zwei Objekte übrig, und der letzte Platz muss mit dem
übrig gebliebenen Objekt besetzt werden.

Allgemein: Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Elementen: n!

Das Ausrufezeichen steht für "Fakultät" und wird auch so gelesen, also "n Fakultät".

Wenn den Kandidaten feste Plätze zugeordnet werden, und man wissen möchte, wieviele
Möglichkeiten existieren, so dass sich kein einziger Kandidat auf seinen vorgesehenen Platz
setzt, berechnet man das über die Subfakultät !n. Bei sechs Kandidaten sind das !6 = 265
Möglichkeiten.

Beispiel:

      Es gibt 6·5·4·3·2·1 oder 6! = 720 Möglichkeiten, sechs unterscheidbare Objekte
       anzuordnen.

Variation (ohne Zurücklegen)

Bei der Variation ohne Zurücklegen sollen k Plätze mit jeweils einem von n Objekten besetzt
werden. Jedes Objekt kann dabei höchstens einen Platz einnehmen.




Variation (mit Zurücklegen)

Wenn aus n Objekten k Objekte mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge
ausgewählt werden sollen, dann kann jedes der n Objekte auf jedem der k Plätze der Auswahl
erscheinen, es gibt demzufolge nk mögliche Auswahlen.

Beispiel:

      Wenn aus 3 Objekten 11 mal mit Zurücklegen gezogen wird, dann sind 311 = 177.147
       verschiedene Auswahlen möglich.
      Beispiel Zahlenschloss: Bei einem Zahlenschloss mit 3 Ringen und je 10 Ziffern gibt
       es 103 = 1000 verschiedene Variationen (000 - 999).
Kombination

Im Gegensatz zu den Variationen werden bei den Kombinationen die Anordnungen außer
Acht gelassen, d.h. "abc" aus "abcde" ist gleichwertig mit "bca" aus "abcde". Es muss also
weniger Kombinationen als Variationen geben.

Kombination ohne Zurücklegen:

Auswahlprobleme ohne Zurücklegen können als Anordnungsprobleme aufgefasst werden. Die
Zahl der möglichen Auswahlen kann ermittelt werden, indem die Zahl der Anordnungen
ermittelt wird, bei denen die ausgewählten Objekte auf ausgezeichneten Plätzen angeordnet
sind.

Dieses Auswahlproblem kann auf die Ermittlung aller Anordnungen zurückgeführt werden,
bei denen die ausgewählten Objekte auf den ersten Plätzen landen, wobei es weder bei den
ausgewählten noch bei den nicht ausgewählten Objekten auf die Reihenfolge ankommt.

Wenn aus n Objekten k ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt
werden sollen, so gibt es jeweils die Klasse der k ausgewählten Objekte und die Klasse der (n-
k) nicht ausgewählten Objekte, in der es auf die Reihenfolge nicht ankommt. Dabei sind k und
n-k in der Formel austauschbar, da man die n Objekte in zwei Teilmengen teilt; welche davon
die interessierende ist, hat keinen Einfluss auf die Anzahl der möglichen Aufteilungen.




Beispiel:

      Wenn aus 49 Objekten nun 6 ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
       ausgewählt werden sollen, wie dies zum Beispiel bei der Ziehung der Lottozahlen der

       Fall ist, so gibt es                          mögliche Auswahlen.

Kombination mit Zurücklegen:




Beispiel:

      Eine Anwendung davon ist das Gummibärchen-Orakel. Dort wählt man k=5 Bärchen

       von n=5 Elementen aus (5 Farben). Demnach gibt es
       verschiedene Kombinationen.
2. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Formel von Laplace, Bedingte
Wahrscheinlichkeit, …)

Wahrscheinlichkeiten werden mit dem Buchstaben „P“ (von frz. probabilité, eingeführt von
Laplace) oder „W“ dargestellt.

Wahrscheinlichkeiten tragen keine Einheit, sondern sind Zahlen zwischen Null und Eins,
wobei Null und Eins zulässige Wahrscheinlichkeiten sind. Deshalb können sie als
Prozentangaben (20 %), Dezimalzahlen (0,2), Brüche (2/10) oder Trefferquote (2 von 10,
oder auch 2 zu 8) angegeben werden.

Nur in dem Fall, dass es nur abzählbar viele mögliche Versuchsausgänge des
Zufallsexperiments gibt, gilt folgende Aussage: Ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0
kann als unmöglich, eines mit Wahrscheinlichkeit 1 als sicher interpretiert werden.

Führt man ein Zufallsexperiment mehrmals hintereinander durch, so kann die relative
Häufigkeit eines Ereignisses errechnet werden, indem man die absolute Häufigkeit, also die
Anzahl geglückter Versuche, durch die Anzahl der unternommenen Versuche dividiert. Für
eine unendliche Anzahl von Versuchen geht diese relative Häufigkeit in die
Wahrscheinlichkeit über; die in der Praxis oft vorgenommene Gleichsetzung von relativer
Häufigkeit mit Wahrscheinlichkeit nach nur endlich vielen Versuchen ist gefährlich, da sie für
Verwechslungen und Fehlschlüsse sorgt.

Formel von Laplace:




Bedingte Wahrscheinlichkeit:

Bedingte Wahrscheinlichkeit (auch konditionale Wahrscheinlichkeit) ist die
Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass ein Ereignis
B bereits vorher eingetreten ist. Es wird geschrieben als P(A | B), der senkrechte Strich ist als
"unter der Voraussetzung" zu lesen und wie folgt zu verstehen: Wenn das Ereignis B
eingetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A gegeben durch P(A | B), es
handelt sich also nicht um eine (logische) Bedingung für A. Genauso schreibt man auch
PB(A), was jedoch die selbe Bedeutung wie die Schreibweise mit dem senkrechten Strich hat.

Beispiele:

      Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Münzwurf das Wappen zu bekommen, beträgt
       beim ehrlichen Wurf einer Münze 0,5 (wenn man ausschließt, dass die Münze auf dem
       Rand stehenbleiben kann)
      Die Wahrscheinlichkeit, mit einem idealen Würfel (Laplace-Würfel) eine Vier zu
       würfeln, beträgt 1/6 = 0,16666...
3. Additionssatz, Multiplikationssatz (Ereignisse die einander ausschließen und nicht
ausschließen, verschiedene Darstellungsmöglichkeiten)

???
4. Baumdiagramm und Vierfeldtafel

Das Baumdiagramm:

Das Baumdiagramm ist eine einfache grafische Darstellung zum Lösen von
Wahrscheinlichkeiten. Durch diese Darstellungsform hat man einen guten Überblick. Äste
werden ineinander multipliziert und untereinander addiert.



                                    Fitnesscenter




                                                     Keine
                       Dopingmittel                  Dopingmittel
                       0.2                           0.8




       Mineralstoff-        Keine MS-          Mineralstoff-         Keine MS-
       tabletten            Tabletten          tabletten             Tabletten
       0.82                 0.18               0.38                  0.62




Wenn man anhand dieses Beispiels nun erfahren möchte, wieviel Prozent der Personen im
Fitnesscenter Dopingmittel und Mineralstofftabletten nehmen müsste man die
Warscheinlichkeit, dass jemand Dopinmittel nimmt, mit der Warscheinlichkeit, dass jemand
der Dopinmittel nimmt auch Mineralstofftabletten nimmt multiplizieren. In unseren Fall
wären dies 0.2*0.82 also 16,4 %.
Wenn man nun den Prozentsatz der Personen wissen möchte die Mineralstofftabletten
nehmen wäre dies (0.2*0.82)+(0.8*0.38), also 46,8%.

Eine weitere Darstellungsmöglichkeit ist die 4 Felder Tabelle

                  %-Satz der Personen die keine Mineralstofftabletten nehmen

                             Dopinmittel   keine Dopinmittel
Mineralsctofftabletten       a             b                 (0.2*0.82)+(0.8+0.38)
keine Mineralstoff Tabletten c             d                 1-((0.2*0.82)+(0.8+0.38))
                             0.2           0.8



       %-Satz der Dopingmittel nimmt                     %-Satz der Personen die keine
                                                         Mineralstofftabletten nehmen
                              %-Satz der keine Dopingmittel nimmt
a = der Prozentsatz der Personen die Dopinmittel und Mineralstoff Tabletten nehmen
b = der Prozentsatz der Personen die Dopinmittel und keine Mineralstoff Tabletten nehmen
c = der Prozentsatz der Personen die keine Dopinmittel und Mineralstoff Tabletten nehmen
d = der Prozentsatz der Personen die keine Dopinmittel und keine Mineralstoff Tabletten
nehmen
5. Binomialverteilung

Die Binomialverteilung (manchmal nicht ganz korrekt auch Bernoulli-Verteilung genannt) ist
eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Sie beschreibt den wahrscheinlichen Ausgang einer Folge von gleichartigen Versuchen, die
jeweils nur zwei mögliche Ergebnisse haben, also die Ergebnisse von Bernoulli-Prozessen.
Wenn das gewünschte Ergebnis eines Versuches die Wahrscheinlichkeit p besitzt, und die
Zahl der Versuche n ist, dann gibt die Binomialverteilung an, mit welcher Wahrscheinlichkeit
sich insgesamt k Erfolge einstellen. Unter diesen Voraussetzungen ist der Versuch ein
Bernoulli-Versuch.

Die Binomialverteilung ist zur Beschreibung von Zufallsgrößen der folgenden Art geeignet:

         Die Bestimmung der Anzahl einer bestimmten Eigenschaft in einer Stichprobe aus
          einer Menge von Elementen, wenn die Reihenfolge beim Entnehmen der Stichprobe
          aus der Gesamtmenge keine Rolle spielt, und die entnommenen Elemente wieder
          zurückgelegt werden (Ziehen mit Zurücklegen). Beispiel: Ein Korb enthält N Bälle,
          davon sind M schwarz und N − M weiß. Die Wahrscheinlichkeit, einen Schwarzen zu
          finden, ist also p = M / N. Es werden insgesamt n Bälle entnommen, untersucht und
          wieder zurückgelegt. Dabei werden k Schwarze identifiziert. Insgesamt gibt es Nn


          Möglichkeiten für die Auswahl der Bälle. In                            Fällen davon
          werden k schwarze Bälle ausgewählt, d.h. die Wahrscheinlichkeit, unter n Bällen k
          Schwarze zu finden
          ist




   Die Binomialverteilung ist dabei auch auf Probleme ohne Zurücklegen anwendbar. Diese
   Bedingung existiert in diesem Beispiel, damit die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg sich
   nicht ändert.

         Die Bestimmung der Gesamtanzahl von defekten Bauteilen, die unter identischen
          Bedingungen hergestellt worden sind.
         Die Abschätzung der zufälligen Anzahl von identischen Bauteilen, die in einem
          Zeitintervall ausfallen, wenn sie unter gleichen Randbedingungen verwendet werden.



Krnjic:

                               Binomialverteilung
Einer Binomialverteilung liegt ein Bernoulli-Experiment genannt zugrunde.
Bernoulli-Experimente sind Experimente, die
   1. genau 2 mögliche Ergebnisse (z.B.: 0,1) haben und
   2. die unter denselben Bedingungen beliebig oft wiederholt werden können, wobei jedes
       Ereignis jedes Mal mit derselben Wahrscheinlichkeit p auftritt.
Beispiel:
Ein Eisenbahnwaggon mit Eiern in 8er-Kartons steht einige Stunden in der Sonne.
Der Besitzer behauptet, 15% der Eier seien verdorben und verkauft daher günstig ab.

Wir testen die Eier, indem wir einen Karton entnehmen. Wie ermitteln nun die
Wahrscheinlichkeit in diesem 8er-Karton genau 0,1,2, … ,8 verdorbene Eier
vorzufinden (unter der Voraussetzung, dass die 15% Behauptung stimmt).
Voraussetzung: P (Ei verdorben) = p = 0,15

Wahrscheinlichkeit für 0 verdorbene Eier.
8 Eier testen. 0 verdorbene erwischen:
g (0)  1  0,15   0,2724  27 ,2%
                   8




Wahrscheinlichkeit für 1 verdorbenes Ei.
8 Eier testen. 1 verdorbenes erwischen:
g (1)  8  1  0,15   0,15 1  0,3846  38,5%
                       7




Wahrscheinlichkeit für 2 verdorbene Eier.
8 Eier testen. 2 verdorbene erwischen:
        8
g (2)     1  0,15  0,152  0,2376  23,8%
                        6
         2
         
        8
g (3)     1  0,15  0,153  8,4%
                        5
         3
         
        8
g (4)     1  0,15  0,154  1,85%
                         4
         4
         
                 :
         8
g (8)     1  0,15  0,158  0,0000003%
                        0
        8
         
 Binomialverteilung
 n … Anzahl der Versuche (mit genau zwei möglichen Ausgängen)
 p … Erfolgswahrscheinlichkeit
 x … Anzahl der Erfolge

                                     Wahrscheinlichkeit für

          genau x Erfolge                                          höchstens x Erfolge
               n
     g ( x)     1  p   p x
                            n x
               x                                            G( x)  g (1)  g (2)  ...  g ( x)
               
6. Annahmestichprobenprüfung

Aus wirtschaftlichen bzw. technologischen Gründen ist man oft gezwungen, die Qualität von
Losen (Lieferungen) durch eine Annahmestichprobenprüfung zu beurteilen. Es wird dabei nur
eine Teilmenge des Loses, eine Stichprobe, geprüft. Man nimmt dabei in Kauf, dass ein
Anteil von fehlerhaften Einheiten durch diese Prüfung schlüpft, kennt jedoch ungefähr das
Risiko.




Operations- Charakteristik

Die OC gibt Auskunft über die Annahmewahrscheinlichkeit PAN, wenn der Fehleranteil im
Los p wäre. Da die Losqualität im Allgemeinen nicht bekannt ist, ist die OC eine „Was wäre,
wenn“- Kurve.




Die OC fällt von 1 streng monoton auf 0 ab.
Die Bewertung einer Stichprobenprüfung erfolgt anhand ihrer OC. Je nach Größe der
Annahmewahrscheinlichkeit PAN unterscheidet man 3 Bereiche der OC.
   (1) Bereich hoher Annahmewahrscheinlichkeit:
       Lieferant ist bestrebt Lose zu liefern, die bei der Stichprobenprüfung mit hoher
       Wahrscheinlichkeit angenommen werden (deren Fehleranteil p im Bereich mit hoher
       Annahmewahrscheinlichkeit liegt).
       PAN = 1 – α = 90 % = Annahmewahrscheinlichkeit am rechten Rand des Bereiches.
       Wenn 0 ≤ p ≤ p1-α, so ist die Wahrscheinlichkeit für eine ungerechtfertigte
       Rückweisung höchstens gleich α (α = Lieferantenrisiko)
       In diesem Bereich werden Lose mit einer Wahrscheinlichkeit ≤ α zurückgewiesen.

   (2) Bereich kleiner Annahmewahrscheinlichkeit:
       Abnehmer ist interresiert Lose ab bestimmten Fehleranteil p nur mit geringer
       Wahrscheinlichkeit abzunehmen. PAN = β = 10% = Annahmewahrscheinlichkeit am
       linken Rand des Bereichs.
       Wenn p ≥ pβ, so ist die Wahrscheinlichkeit für eine unerwünschte Losannahme
       höchstens β. (β…Abnehmerrisiko)
       In diesem Bereich werden Lose mit einer Wahrscheinlichkeit ≤ β zurückgewiesen.


   (3) Bereich mittlerer Annahmewahrscheinlichkeit
       P1- α < p < pβ PAN = 50%
       Je höher der Stichprobenumfang n ist, je mehr also geprüft wird, desto kürzer ist dieser
       Bereich; die OC wird steiler.

       Bei der 100%- Prüfung entfällt der Bereich der mittleren Annahmewahrscheinlichkeit
       (3)




Durchschlupf

Wenn man in einem Los mit N Stücken n Stücke prüft, bleiben N – n Stücke ungeprüft. Jedes
von diesen Stücken ist mit einer Wahrscheinlichkeit von p defekt.
Anzahl der defekten Stücke im geprüften Los: (N-n)*p
Anteil der defekten Stücke im geprüften Los: (N-n)/N*p

Angenommen aber defekt:


D = AOQ = (1- n/N)*p*PAN D...Durchschlupf (AOQ...Average Outgoing Quality)
D= p* PAN
Durchschlupf = Restfehleranteil, der im Mittel bei vielen Losen mit gleichen Feheleranteil p
unentdeckt bleibt.
Average Outgoing Quality…durchschnittlich ausscheidende Qualität




PAOQL ist die zu Dmax gehörige Qualitätslage (AOQL…Average Outgoing Quality Limit)
7. Urnenmodell


Ein Urnenmodell beschreibt ein hypothetisches Experiment. Dazu wird ein fiktives Gefäß
mit Kugeln gefüllt, welche anschließend zufällig gezogen werden. Durch ein Urnenmodell
lassen sich so verschiedene Zufallsexperimente, etwa eine Lottoziehung, simulieren.

Voraussetzung für die Anwendung des Urnenmodells ist das Vorliegen eines Laplaceschen
Wahrscheinlichkeitsraumes. Der Stichprobenraum Ω ist hierbei endlich und mit der
Gleichverteilung versehen.

Das Urnenmodell dient zur Vereinfachung der Lösung kombinatorischer Abzählprobleme, die
man bei der Betrachtung von Laplace-Wahrscheinlichkeitsexperimenten häufig antrifft.

Konkretisierung der Modelle:

In die Urne werden N durchnummerierte Kugeln gegeben. Anschließend k Kugeln aus der
Urne zufällig gezogen.

Zusätzlich ist festzulegen, ob eine gezogene Kugel wieder in die Urne zurückgelegt werden
soll, oder außerhalb der Urne verbleibt. In letzterem Fall können natürlich nicht mehr Kugeln
gezogen werden, als in der Urne zu Beginn waren

Weiter ist zu beachten, ob man nur an der "Gesamtheit" aller gezogenen Kugeln interessiert
ist, oder ebenso an ihrer Reihenfolge. Die Reihenfolge der Kugeln wäre beispielsweise
wichtig, wenn sich daraus eine Telefonnummer ergäbe. Unwichtig hingegen, würde sie eine
Lottoziehung beschreiben. Hier kommt es bei einer gezogenen Zahl eben nicht genau darauf
an, wann die Ziehung erfolgte.

Zusammenfassend lässt sich eine Ziehung durch folgende Regeln charakterisieren: von 1 bis
N sonst gleichartigen Kugeln werden k aus einer Urne zufällig gezogen, wobei

      Modell 1: Ziehung in geordneter Reihenfolge, mit Zurücklegen
      Modell 2: Ziehung in geordneter Reihenfolge, ohne Zurücklegen
      Modell 3: Ungeordnete Ziehung, mit Zurücklegen
      Modell 4: Ungeordnete Ziehung, ohne Zurücklegen

beschreibt.

Beispiel:

   Wie groß ist beim Zahlenlotto (6 aus 49) die Wahrscheinlichkeit P für
                        Richtige?

   Verwende das Modell Ω4 mit Ziehung ohne Zurücklegen, ohne Berücksichtigung der
   Reihenfolge:
Anschaulich bedeutet dies:
8. Normalverteilung (wann wendet man diese an, wo gibt es Normalverteilte größen in
der Praxis, usw.)

Die Normal- oder Gaußverteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein wichtiger Typ
kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch
Gauß-Funktion, Gauß-Kurve, Gauß-Glocke oder Glockenkurve genannt.

Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen
Grenzwertsatz, der besagt, dass eine Summe von n unabhängigen, identisch verteilten
Zufallsvariablen im Grenzwert n => ∞ normalverteilt ist. Das bedeutet, dass man
Zufallsvariablen dann als normalverteilt ansehen kann, wenn sie durch Überlagerung einer
großen Zahl von Einflüssen entstehen, wobei jede einzelne Einflussgröße einen im Verhältnis
zur Gesamtsumme unbedeutenden Beitrag liefert.

Viele natur-, wirtschafts- und ingenieurswissenschaftliche Vorgänge lassen sich durch die
Normalverteilung entweder exakt oder wenigstens in sehr guter Näherung beschreiben (vor
allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene
Richtungen wirken).

Zufallsgrößen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Versuche bei
der Bestimmung von Geschwindigkeiten, Messfehlern, Beobachtungsfehlern wie:

 zufällige Beobachtungs- und Messfehler.

 zufällige Abweichungen vom Nennmaß bei der Fertigung von Werkstücken.
9. Näherung der Binomialverteilung durch Normalverteilung (wann kann man das
machen, warum braucht man das, …)

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10. Poissonverteilung (zählende Prüfung auf Anzahl der Fehler pro Einheit)

Die Poisson-Verteilung ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es handelt sich um
eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die beim mehrmaligen Durchführen eines
Bernoulli-Experiments entsteht. Letzteres ist ein Zufallsexperiment, das nur zwei mögliche
Ergebnisse besitzt (z.B. „Erfolg“ und „Misserfolg“). Führt man ein solches Experiment sehr
oft durch und ist die Erfolgswahrscheinlichkeit gering, so ist die Poisson-Verteilung eine gute
Näherung für die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Poisson-Verteilung wird
deshalb manchmal als die Verteilung der seltenen Ereignisse bezeichnet. Zufallsvariablen
mit einer Poisson-Verteilung genügen dem Poisson-Prozess.

Eigenschaften:

      Die Poisson-Verteilung Pλ wird durch den Parameter λ vollständig charakterisiert.
      Die Poisson-Verteilung ist stationär, d. h. nicht von der Zeit abhängig.
      In einem Poisson-Prozess ist die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem
       bestimmten Zeitpunkt Poisson-verteilt, die zufällige Zeit bis zum n-ten Ereignis
       Erlang-verteilt. Wichtig ist der Spezialfall n = 1, der zur Exponentialverteilung führt.
       Sie beschreibt die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis (sowie die Zeit zwischen
       zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen) eines Poissonprozesses.

Anwendung: Die Poisson-Verteilung ist eine typische Verteilung für die Zahl von
Phänomenen, die innerhalb einer Einheit auftreten.

So wird sie häufig dazu benutzt, zeitliche Ereignisse zu beschreiben. Gegeben sind ein
zufälliges Ereignis, das durchschnittlich einmal in einem zeitlichen Abstand t1 stattfindet,
sowie ein zweiter Zeitraum t2, auf den dieses Ereignis bezogen werden soll.

Die Poissonverteilung Pλ(n) mit λ = t2 / t1 gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass im Zeitraum t2
genau n Ereignisse stattfinden. Anders ausgedrückt ist λ die mittlere Auftretenshäufigkeit
eines Ereignisses.
11. Verteilung von Stichprobenkenngrößen

12. Unterschied Zufallsstreubereich – Vertrauensbereich

13. Vertrauensbereich für die Binomialverteilung (p unten, p oben)

14. Vertrauensbereich Normalverteilung

15. Statistische Tests (Fehler 1. Art, 2. Art)
16. Fourierreihe (wo finden die Fourierreihen Anwendung)

Als Fourierreihe (nach Jean Baptiste Joseph Fourier) einer periodischen Funktion f(x), die
abschnittsweise stetig und monoton ist, bezeichnet man deren Entwicklung in eine
Funktionenreihe aus Sinus- und Kosinusfunktionen.

Allgemeine Form:

Eine periodische Funktion f mit Periode T>0, die einer der angegebenen Klassen angehört,
lässt sich durch eine Reihe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen, deren Frequenzen
ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz ω = 2π / T sind,




Die Kreisfrequenz ω skaliert hierbei die Periode 2π von Sinus und Kosinus auf die
entsprechende Periode T. In der praktischen Anwendung wird man die Reihe häufig nach
endlich vielen Reihengliedern abbrechen. Man erhält dann nur eine Approximation von f in
Form eines trigonometrischen Polynoms.

Bsp. Sinuspuls:




ANWENDUNGEN ???
17. Folgen und Reihen (Formel herleiten können anhand von Beispielen, Grenzwert)


Folgen (Einführung)
Bei einer Folge bestehen die Elemente der Definitionsmenge (n) aus IN (Menge der
natürlichen Zahlen: 1, 2, 3...) und der Wertebereich (an) aus IR (rationale Zahlen). Die
Folgeglieder <an> entstehen durch Bildungsgesetze. n gibt die Nummer des Folgegliedes an.
Das n-te Folgeglied heißt an, sein Vorgänger an-1 und sein Nachfolger an+1.

Beispiel: Das Bildungsgesetz sei <an> = <n2>
Da n IN (sprich: n ist Element aus IN), ergibt sich für <an> die Folge der Quadratzahlen.
für n = 1 ergibt sich: a1 = 12 = 1
für n = 2 ergibt sich: a2 = 22 = 4
für n = 3 ergibt sich: a3 = 32 = 9
usw.

Wertetabelle:




Aufgabe 1)
Bilde a1 bis a5 (die ersten 5 Folgeglieder) für die folgenden Bildungsgesetze:
a) <an> = <2n>          b) <an> = <2n– 1> c) <an> =n12

Aufgabe 2)
Bestimmen Sie aus den angegebenen Folgegliedern a1 bis a5 die Bildungsgesetze:
Arithmetische Folgen
Bei arithmetischen Folgen ist die Differenz zweier benachbarter Folgeglieder konstant.
Es gilt: an+1 – an = d (d = Differenz)

Beispiel:




Das n-te Folgeglied einer arithmetischen Folge wird errechnet, indem zum ersten Folgeglied
(n – 1)-mal die Differenz d hinzuaddiert wird.




Daraus ergibt sich ein allgemeines Bildungsgesetz für arithmetische Folgen:




Aufgabe 3)
Bestimmen Sie die fehlenden Größen:
Geometrische Folgen
Bei geometrischen Folgen ist der Quotient zweier benachbarter Folgeglieder konstant.


Es gilt          (q = Quotient)

Beispiel:

Das n-te Folgeglied einer geometrischen Folge wird errechnet, indem zum ersten Folgeglied
(n – 1)-mal der Quotient q hinzumultipliziert wird.




Skizze:


Daraus ergibt sich ein allgemeines Bildungsgesetz für geometrische Folgen:




Aufgabe 4)
Bestimmen Sie die fehlenden Größen:
Grenzwert
Grenzwert = Summe einer unendlichen geometrischen Reihe (BSP. 100€)

Bei der Grenzwertuntersuchung möchte man herausfinden, ob die Folgeglieder einer Folge
sich einem Wert annähern (konvergentes Verhalten = hat einen Grenzwert) oder ob sich die
Werte ins Unendliche bewegen (divergentes Verhalten = hat keinen Grenzwert).

gibt es einen Grenzwert g, so gilt:              
gibt es keinen Grenzwert g, so gilt:                 oder 

Der Grenzwert kann ein beliebiger Wert sein. Ist der Grenzwert Null, so spricht man von
einer Nullfolge. Das „lim“ steht für Limes (lat. Grenze) und bedeutet, dass in Gedanken ein
unendlich großer Wert für n in das Bildungsgesetz der Folge einzusetzen ist.

Beispiel:

Gesucht wird der Grenzwert der Folge                 . Dazu wird der Grenzwert für n
gegen Unendlich gebildet. Bei Brüchen werden alle Summanden des Zählers und des Nenners
durch die höchste Nennerpotenz dividiert. Nach dem Kürzen entstehen Konstanten und
Nullfolgen (Brüche mit n im Nenner).




Diese Folge hat den Grenzwert g = 2. Mit wachsendem n nähern sich die Folgeglieder immer
mehr dem Wert 2.
Beispiel:


Gesucht wird der Grenzwert der Folge                   . Dazu wird der Grenzwert für n
gegen Unendlich gebildet. Ist n ein Exponent, wird der Ausdruck so umgeformt, dass ein
konvergentes oder divergentes Verhalten zu erkennen ist.




Hier handelt es sich um eine Nullfolge (Grenzwert g = 0). Mit wachsendem n nähern sich die
Folgeglieder immer mehr dem Wert Null.
Arithmetische Reihen
Bei der arithmetischen Reihe werden die Glieder einer arithmetischen Folge aufsummiert. Es
wird die Summe einer bestimmten Anzahl von Folgegliedern berechnet.

Es gilt:       Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an




Aus den 10 Folgegliedern der 5er Reihe wurden 10 : 2 = 5 Paare gebildet, deren Summe stets
55 beträgt:




Daraus ergibt sich die allgemeine Formel zur Berechnung der arithmetischen Reihe:




setzt man für an die Formel der arithmetische Folge ein, ergibt sich:
Geometrische Reihen
Bei der geometrischen Reihe werden die Glieder einer geometrischen Folge aufsummiert. Es
wird die Summe einer bestimmten Anzahl von Folgegliedern berechnet.

Es gilt:       Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

bzw:           Sn = a1 + a1 · q + a1 · q2 + a1 · q3 + ... + a1 · qn-1

Dieser Ausdruck wird mit q multipliziert:

                      Sn · q = a1 · q + a1 · q2 + a1 · q3 + ... + a1 · qn-1 + a1 · qn
Bei Subtraktion der beiden letzten Zeilen ergibt sich:

                                        Sn · q – Sn = a1 · qn – a1
                                        Sn (q – 1) = a1 (qn – 1)

Daraus ergibt sich die allgemeine Formel zur Berechnung der geometrischen Reihe:
18. Extremwertaufgaben (warum erste Ableitung und warum Null setzen)

Extremwert => Überbegriff für ein Maxima und Minima | Maximum => größter Wert der
Funktion | 1. Ableitung => Steigung | Wenn man die Steigung Null setzt, erhält man einen
Extremwert |

Beispiel:
Mit einer Rolle Zaun (50m) soll ein möglichst großes Stück Land, rechteckig eingezäunt
werden. Wie groß ist die eingezäunte Fläche?

Fläche des Rechtecks: F = x*y




Daraus folgt: 2x+2y = 50

Umgeformt auf Y: y = (50-2x)/2

In die Funktion Y einsetzen: F(x) = x * y = x * ( 50 - 2x) /2 = 25x-x2

Erste Ableitung der Funktion für Maxima: F'(x) = 25 - 2x.

Nullstelle für die erste Ableitung: F'(x) = 0 = 25 - 2x <=> x = 12,5

Einsetzen in die Formel (Rechteck): F= 12,5*12,5 = 156,25 m²
19. Differentialrechnung (Grundbegriffe)

Eine Differentialgleichung (oft durch DGL abgekürzt) ist eine Gleichung, in der eine
gesuchte Funktion y und deren Ableitungen nach einer oder mehreren Variablen x oder x =
(x1,...,xm) auftreten

eine Differentialgleichung n-ter Ordnung. Hierbei bezeichnet Dky die k-ten Ableitungen nach
der oder den Unbekannten x. Dabei beschreibt eine Differentialgleichung insbesondere das
Änderungsverhalten dieser Größen zueinander. Viele Naturgesetze können mittels
Differentialgleichungen formuliert werden, bzw. andersherum sind Differentialgleichungen
ein wesentliches Werkzeug der mathematischen Modellierung.


Eine Vielzahl von Phänomenen in Natur und Technik kann durch Differentialgleichungen und
darauf aufbauende mathematische Modelle beschrieben werden. Einige typische Beispiele
sind:

      in der Physik verschiedene Arten von Bewegungen, von Schwingungen oder das
       Belastungsverhalten von Bauteilen,
      in der Astronomie die Bahnen der Himmelskörper und die Turbulenzen im Innern der
       Sonne,
      in der Biologie etwa Prozesse bei Wachstum, bei Strömungen oder in Muskeln,
      in der Chemie die Reaktionskinetik von Reaktionen,
      in der Elektrotechnik das Verhalten von Netzwerken mit energiespeichernden
       Elementen,
      in der Differentialgeometrie das Verhalten von Flächen,
      in der Strömungsmechanik das Verhalten eben dieser Strömungen.

Das Feld der Differentialgleichungen hat der Mathematik entscheidende Impulse verliehen.
Viele Teile der aktuellen Mathematik forschen an der Existenz-, Eindeutigkeits- und
Stabilitätstheorie verschiedener Typen von Differentialgleichungen.
20. Differentialgleichung 1. Ordnung

Die Differenzialgleichung erster Ordnung ist vor allem bei Halbwertszeiten von Wichtigkeit.
Um sie besser zu veranschaulichen werde ich sie Anhand eines Beispiels erklären.

Bsp.: Die Post bietet als Service Kühltransporte an. Bei einem Test wurde eine Flüssigkeit mit
einer Anfangstemperatur von -14°C in den Behälter gestellt und in einem Laderaum mit einer
Lufttemperatur von 24°C gelagert. Nach 10 Stunden hat sich die Flüssigkeit auf 2°C erwärmt.
Gib die Differentialgleichung, die die Erwärmung beschreibt, an und ermittle die Funktion
T(t).

Aus der Angabe lassen sich folgende Parameter Festlegen:

T0 h  14C
Taussen  24C
T10 h  2C

Nun müssen wir die Differentialgleichung aufstellen. Da wir die Funktion T(t) suchen stellen
wir die Temperatur T in Verhältnis mit der Zeit t. Dieses Verhältnis ist der Parameter k
multipliziert mit der Temperatur T minus der Aussentemperatur.

dT
    k  (T  24)
dt

Jetzt wird nach Variablen getrennt, so das die Variabel T links vom Istgleich steht.

  dT
        k  dt
T  24

Nun ist es erforderlich beide Seiten der Gleichung zu Integrieren.

    dT
 T  24   k  dt
ln(T  24)  k  t  C

Nun haben wir einen Neuen Parameter „C“ der sich durch das Integrieren ergiebt. Um auf T
istgleich umformen zu können muss man beide Seiten der Gleichung mit einem exponential
erweitern.

T  24  e k t  C

T  e k t  C  24

Jetzt sind noch 2 unbekannte Parameter in unserer Gleichung vorhanden. Durch die Angabe
wissen wir, dass zum Zeitpunkt t = 0 die Temperatur -14°C beträgt sowie, dass die
Temperatur zum Zeitpunkt t = 10, 2°C beträgt. Werden diese zwei Zustände in unsere oben
ermittelte Gleichung eingesetzt kommen wir auf die zwei unbekannten Parameter „k“ und
„C“.
Für t = 0 und T = -14°C.

 14  e k 0  C  24

Da e0 1 ergibt kommt man auf folgende Lösung:

C  38

Für t = 10 und T = 2°C.

2  e k 10  (38 )  24

k  0,054654

Jetzt können wir unsere ermittelten Parameter in die Allgemeine Gleichung einsetzen und
erhalten die Differentialgleichung, die die Erwärmung beschreibt.

T  e 0, 054654t  (38 )  24
21. Exponentialfunktion

In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten x die reellen Zahlen zugelassen.
Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die Variable enthält, befindet sich
bei Exponentialfunktionen die Variable im Exponenten; daher auch die Namensgebung.
Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der Berechnung von
Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung.
22. Sinussatz, Cosinussatz herleiten

23. Umgekehrte Kurvendiskussion (Textbeispiel)

Umgekehrte Kurvendiskussion: Von einer Funktion sind einige Eigenschaften vorgegeben
(Man kennt sozusagen das Ergebnis der Kurvendiskussion). Die Funktion ist zu ermitteln.

Beispiel: Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung und hat in W (1|–2) eine
Wendetangente mit der Steigung 2.

Funktion 3. Ordnung: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Geht durch den Ursprung => d = 0 [d entfällt völlig]

0 = ax³ + bx² + cx

Erste Ableitung bilden: f’(x) = 3ax² + 2bx + c

Zweite Ableitung bilden: f’’(x) = 6ax + 2b

Bei x=1 befindet sich der Wendepunkt (zweite Ableitung von 1 muss null sein):

f’’(1) = 0 => 0 = 6a + 2b

x = 1 hat die Y-Koordinate „-2“ => Wenn man für x = 1 einsetzt, bekommt man -2 heraus:

f(1) = –2 => –2 = a + b + c

Im Wendepunkt ist die Steigung (erste Ableitung) 2:

f’(x) = 2 => 2 = 3a + 2b + c

Drei Unbekannte (a, b, c), welche man mit drei Gleichungen herausbekommen kann.
(Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren):

I       0 = 6a + 2b            à –3a = b

II      –2 = a + b + c         à –2 – a – b = c

III      2 = 3a + 2b + c

II in III eingesetzt:

        2 = 3a + 2b + (–2 – a – b)

        2 = 2a + b – 2                |+2

IIa     4 = 2a + b
I in IIa eingesetz:

        4 = 2a + (–3a)

        4 = –1a                      | : (–1)

        –4 = a

a in I eingesetz:

        –3 ∙ (–4) = b

        12 = b

a und b in III eingesetz:

        –2 – (–4) – 12 = c

        – 10 = c

Die gesuchte Funktion: f(x) = –4x³ + 12x² – 10x
24. Geometrische unendliche Reihe

25. Schwerpunkt und Herleitung

								
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