Ordnung mit Bessel Charakteristik wenig �berschwingen 3 by 43d7l5x

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									Formelsammlung                       NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Inhaltsverzeichnis:
                     Thema                                    Unterpunkt        Seite
Filter allgemein                                    Definition                    6-3
                                                    Unterscheidung Filterarten    6-3
                                                    Symbole und Diagramme         6-3
Eigenschaften von passiven Filtern                  Komplexe Übertragungsfunkt.   6-4
                                                    Amplitudengang                6-4
                                                    Grenzfrequenz                 6-4
                                                    Phasengang                    6-4
Allgemeine Filtergleichungen                        Allg. Tiefpass-Gleichung      6-5
                                                    Allg. Hochpass-Gleichung      6-5
                                                    Allg. Bandpass-Gleichung      6-5
Steigung des Amplitudenganges und Phasenlage
                                                    Berechnung                      6-5
im Sperrbereich des Filters
Allgemeine Filterkoeffizienten                      Tabelle                        6-6
Vergleich Filter-Charakteristik                     Amplitudengang                 6-7
                                                    Phasengang                     6-7
RC-Tiefpass (1.Ordnung)                             Schaltung                      6-8
                                                    Berechnung                     6-8
                                                    Allgemeine Gleichung           6-8
RC-Hochpass (1.Ordnung)                             Schaltung                      6-9
                                                    Berechnung                     6-9
                                                    Allgemeine Gleichung           6-9
Kettenschaltung aus gleichen RC-Filtern             Erklärung                     6-10
                                                    Bsp. TP-Kettenschaltung       6-10
RLC-Tiefpass (2.Ordnung)                            Schaltung                     6-11
                                                    Berechnung                    6-11
                                                    Allgemeine Gleichung          6-11
RLC-Hochpass (2.Ordnung)                            Schaltung                     6-12
                                                    Berechnung                    6-12
                                                    Allgemeine Gleichung          6-12
Kettenschaltung aus gleichen RLC-Filtern            Erklärung                     6-13
                                                                                  6-13
Allgemeines zu aktiven Filtern                      Definition                    6-14
                                                    Komplexe Übertragungsfunkt.   6-14
                                                    Grenzfrequenz                 6-14
                                                    Phasengang                    6-14
Aktiver Tiefpass (1. Ordnung)                       Schaltung                     6-15
                                                    Berechnung                    6-15
                                                    Allgemeine Gleichung          6-15
Aktiver Hochpass (1. Ordnung)                       Schaltung                     6-16
                                                    Berechnung                    6-16
                                                    Allgemeine Gleichung          6-16
Aktiver Bandpass (1. Ordnung)                       Schaltung                     6-17
                                                    Berechnung                    6-17
                                                    Diagramm Bandbreite           6-17
Allgemeines zu Aktive Filter 2.Ordnung              Gesamtübertragungsfunkt.      6-18
                                                    Gesamtphasengang              6-18
                                                    Dimensionierung               6-18
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Stand: 04.03.2012                        Rev. 3                                Seite 6-1
Formelsammlung                      NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Aktiver Tiefpass (2.Ordnung)                       Schaltbild                         6-19
                                                   Berechnung                         6-19
                                                   Allgemeine Gleichung               6-19
Schwitched-Capacitor-Filter (SC-Filter)            Grundprinzip                       6-20
                                                   Invertierender SC-Filter           6-20
                                                   Nichtinvertierender SC-Filter      6-20
SC-Filter 1. Ordnung                               Schaltbild                         6-21
                                                   Berechnung Hochpass                6-21
                                                   Berechnung Tiefpass                6-21
                                                   Allgemeine Gleichung               6-21
SC-Filter 2. Ordnung                               Schaltbild                         6-22
                                                   Berechnung Hochpass                6-22
                                                   Berechnung Tiefpass                6-22
                                                   Berechnung Bandpass                6-22
                                                   Allgemeine Gleichung               6-22
Parameter für Sallen-Key-Schaltungen               Tabelle                            6-23
Tiefpass in Sallen-Key-Schaltung (2.Ordnung)       Schaltbild                         6-23
                                                   Berechnung                         6-23
Hochpass in Sallen-Key-Schaltung (2.Ordnung)       Schaltbild                         6-24
                                                   Berechnung                         6-24
Aktiver Bandpass 2. Ordnung                        Schaltbild                         6-25
                                                   Berechnung                         6-25
                                                   Diagramme                          6-25
Aktive Doppel-T-Bandsperre 2. Ordnung              Schaltbild                         6-26
                                                   Berechnung                         6-26
                                                   Diagramme                          6-26




Stand: 04.03.2012                         Rev. 3                                   Seite 6-2
Formelsammlung                      NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Filter allgemein:
Filter sind Vierpole, mit denen man einzelne Frequenzbereiche aus einem Signalgemisch
trennen kann.

Je nach Aufbau unterscheidet man verschiedene Filterarten:
- passive Filter (RC, LC, RLC): Anwendung hauptsächlich im HF-Bereich
- aktive Filter (mit OP aufgebaut  Grundverstärkung): Anwendung im NF-Bereich
- SC-Filter (Filter mit geschalteten Kapazitäten): Grenzfrequenz wird mit der Taktfrequenz
  eingestellt, mit der die Kapazität geladen wird. Anwendung im NF-Bereich

Symbole für Filterarten:
  Filterart             Symbol               Diagramm




 Tiefpass




Hochpass




Bandpass




Bandsperre




    F  j  = Übertragungsfunktion
U2
U1


Stand: 04.03.2012                      Rev. 3                                     Seite 6-3
Formelsammlung                                       NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Eigenschaften der passiven Filter:

Die Eigenschaften eines Filters werden durch folgende Kennwerte beschrieben:

Komplexe Übertragungsfunktion:

             U2                                                         Y1 Y 2
                             F  j  
                                            Z2
F  j                                                   F  j  
             U1                           Z1  Z 2                        Y2

Amplitudengang (beinhaltet Steilheit und Überschwingen):

                 Re 2 2  Im 2 2
                                                           F  j  dB  20 log F  j  
                    U          U
F  j  
                 Re 12  Im 12
                    U         U


                      ReZ 2 2  ImZ 2 2                                       ReY 1  Y 2 2  ImY 1  Y 2 2
F  j                                                            F  j  
                 ReZ 1  Z 2 2  ImZ 1  Z 2 2                                     ReY 2 2  ImY 2 2

Grenzfrequenz:

             
Es gilt: F j g         1
                              0,707 bzw. F j g             dB  3dB
                           2

Phasengang:

                     ImF  j 
  j   arctan
                                 
                                              RAD einstellen !!!
                     ReF  j 

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion
|F(jω)| = Amplitudengang
|F(jω)|dB = Amplitudengang in dB
φ(jω) = Phasengang in °

U1 = Eingangsspannung in V
U2 = Ausgangsspannung in V
Z1 = komplexer Eingangswiderstand in V
Z2 = komplexer Ausgangswiderstand in V
Y1 = komplexer Eingangsleitwert in V
Y2 = komplexer Ausgangsleitwert in V

Re{x} = Realteil der Größe
Im{x} = Imaginärteil der Größe (ohne ` j ` !!!)




Stand: 04.03.2012                                         Rev. 3                                                Seite 6-4
Formelsammlung                                 NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Allgemeine Gleichungen für Filter:

Allgemeine Tiefpass-Gleichung:


F P   AP  
                                                          A0
                   1  a  P  b  P  1  a
                        1       1
                                       2
                                                  2                       
                                                       P  b2  P 2  ... 1  an  P  bn  P 2   
Allgemeine Hochpass-Gleichung:


F P   AP  
                                      A
                    a1 b1   a2 b2                a     b 
                   1   2   1    2   ...  1  n  n 
                      P P         P P               P P2 

Allgemeine Bandpass-Gleichung:

                      Ar
                         P
F P   AP  
                      Q                                        fr
                                                        Q
                  1                                          B
                 1   P  P 2 
                  Q            
                               

Weiterhin gilt:
                        p                                                         2                    f            f2
p  j           P               mit σ = 0° folgt: P  j               P2             P j              P2  
                        g                                          g             g2                  fg            fg2

F(P) = A(P) = Allgemeine Übertragungsfunktion
A0 = Grundverstärkung des Tiefpass bei ω = 0 Hz
A = Grundverstärkung des Hochpass bei ω   Hz
Ar = Grundverstärkung des Bandpass bei ω = ωr

a1 , b1 = Allgemeine Filterkoeffizienten für Filter 1. Ordnung
a2 , b2 = Allgemeine Filterkoeffizienten für Filter 2. Ordnung
an , bn = Allgemeine Filterkoeffizienten für Filter n. Ordnung

P = komplexe normierte Grenzfrequenz
p = komplexe Kreisfrequenz mit Phasenverschiebung σ
Q = Güte des Filters
fr = Resonanzfrequenz des Bandpass in Hz
B = Bandbreite des Bandpass (Obere Grenzfrequenz – Untere Grenzfrequenz)

Steigung des Amplitudengangs und Phasenlage im Sperrbereich des Filters:

          20dB
d  n                               n      n   90 
         Dekade

n = Ordnung des Filters
d = Steigung des Amplitudenverlaufs im Sperrbereich des Filters ( f  10  f g )
φn = Phasenlage des Ausgangssignals bei ω  


Stand: 04.03.2012                                      Rev. 3                                                  Seite 6-5
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Allgemeine Filterkoeffizienten:
                                  Ordnung n
Charaktaristik                                   Koeffizient a    Koeffizient b
                                  des Filters
                                  1.Ordnung       a1 = 1.0000      b1 = 0.0000
                                  2.Ordnung       a1 = 1.2872      b1 = 0.4142
     kritische Dämpfung                           a1 = 0.5098      b1 = 0.0000
                                  3.Ordnung
                                                  a2 = 1.0197      b2 = 0.2599
                                                  a1 = 0.8700      b1 = 0.1892
                                  4.Ordnung
                                                  a2 = 0.8700      b2 = 0.1892
                                  1.Ordnung       a1 = 1.0000      b1 = 0.0000
                                  2.Ordnung       a1 = 1.3617      b1 = 0.6180
        Bessel Filter                             a1 = 0.7560      b1 = 0.0000
                                  3.Ordnung
                                                  a2 = 0.9996      b2 = 0.4772
                                                  a1 = 1.3397      b1 = 0.4889
                                  4.Ordnung
                                                  a2 = 0.7743      b2 = 0.3890
                                  1.Ordnung       a1 = 0.0000      b1 = 0.0000
                                  2.Ordnung       a1 = 1.4142      b1 = 1.0000
      Butterworth-Filter                          a1 = 1.0000      b1 = 0.0000
                                  3.Ordnung
                                                  a2 = 1.0000      b2 = 1.0000
                                                  a1 = 1.8478      b1 = 1.0000
                                  4.Ordnung
                                                  a2 = 0.7654      b2 = 1.0000
                                  1.Ordnung       a1 = 1.0000      b1 = 0.0000

    Tschebyscheff-Filter          2.Ordnung       a1 = 1.3022      b1 = 1.5515

     mit 1 db Welligkeit                          a1 = 2.2156      b1 = 0.0000
                                  3.Ordnung
                                                  a2 = 0.5442      b2 = 1.2057
                                                  a1 = 2.5904      b1 = 4.1302
                                  4.Ordnung
                                                  a2 = 0.3039      b2 = 2.2697
                                  1.Ordnung       a1 = 1.0000      b1 = 0.0000

    Tschebyscheff-Filter          2.Ordnung       a1 = 1.1813      b1 = 1.7775

     mit 2 db Welligkeit                          a1 = 2.7994      b1 = 0.0000
                                  3.Ordnung
                                                  a2 = 0.4300      b2 = 1.2036
                                                  a1 = 2.4025      b1 = 4.9862
                                  4.Ordnung
                                                  a2 = 0.2374      b2 = 1.1869
                                  1.Ordnung       a1 = 1.0000      b1 = 0.0000

    Tschebyscheff-Filter          2.Ordnung       a1 = 1.0650      b1 = 1.9305

     mit 3 db Welligkeit                          a1 = 3.3496      b1 = 0.0000
                                  3.Ordnung
                                                  a2 = 0.3559      b2 = 1.1923
                                                  a1 = 2.1853      b1 = 5.5339
                                  4.Ordnung
                                                  a2 = 0.1964      b2 = 1.2009

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Vergleich der Kennlinien eines Tiefpasses mit verschiedenen Charaktaristika:

Amplitudengang:




1 = Tiefpass 4. Ordnung mit kritischer Dämpfung
2 = Tiefpass 4. Ordnung mit Bessel-Charakteristik
3 = Tiefpass 4. Ordnung mit Buttworth-Charakteristik
4 = Tiefpass 4. Ordnung mit Tschebyscheff-Charakteristik mit 3dB Welligkeit
    (Überhöhung max. 3dB)

Sprungantworten:




1 = Tiefpass 4. Ordnung mit kritischer Dämpfung (ohne Überschwingen)
2 = Tiefpass 4. Ordnung mit Bessel-Charakteristik (wenig Überschwingen)
3 = Tiefpass 4. Ordnung mit Buttworth-Charakteristik (mittleres Überschwingen)
4 = Tiefpass 4. Ordnung mit Tschebyscheff-Charakteristik mit 0,5dB Welligkeit
    (großes Überschwingen)
5 = Tiefpass 4. Ordnung mit Tschebyscheff-Charakteristik mit 3dB Welligkeit
    (sehr großes Überschwingen)


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RC-Tiefpass (1.Ordnung):


                                                  F  j  
                                                                  1
F  j  
                    1
             1  j  R1  C1                                         
                                                               1 j
                                                                      g


F  j                                          F  j  
                           1                                           1
               1    R1  C1 2                                       
                                                                               2
                                                                 1       
                                                                    g    
                                                                          


                                                                       F  j  dB  20 log F  j  
           1                                 1
g                            fg 
        R1  C1                       2    R1  C1

                                                                                             
  j   arctan   R1  C1                                        j   arctan      
                                                                                   g         
                                                                                              
RAD einstellen !!!                                                    DEG einstellen !!!

Allgemeine Tiefpass-Gleichung:
                                                 
F P  
                A0
                                        P j
           1  a1  P                          g

A0  1             a1   g  R1  C1             a1  1

          a1                             a1
R1                            C1 
        g  C1                        g  R1

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion
|F(jω)| = Amplitudengang
ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz
fg = Grenzfrequenz in Hz
|F(jω)|dB = Amplitudengang in dB
φ(jω) = Phasengang in °

F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion
A0 = Grundverstärkung des Tiefpass bei ω = 0 Hz
a1 = Allgemeiner Filterkoeffizient je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 )

R1 = Widerstand in Ω
C1 = Kapazität in F




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RC-Hochpass (1.Ordnung):

F  j                                               F  j  
                        1                                                1
                     1                                                   g
             1                                                     1
                j  R1  C1                                             j


F  j                                               F  j  
                            1                                                1
                                1                                                      2
               1                                                       g        
                      R1  C1 2                                  1 
                                                                        
                                                                                   
                                                                                   
                                                                                  


                                                                             F  j  dB  20 log F  j  
          1                                       1
g                                 fg 
       R1  C1                             2    R1  C1

                                 
  j   arctan
                           1
                                  RAD einstellen !!!
                                  
                       R1  C1 

                     g                                                    g   
  j   arctan
                                                                                        1
                          DEG einstellen !!!                                     
                                                                                
                                                                                      
                                                                                             
                                                                                       g   
                                                                                            

Allgemeine Hochpass-Gleichung:
                                                     
F P  
              A
                                              P j
            a1                                     g
           1  
               P

                                                 1
A  1                              a1                        a1  1
                                            g  R1  C1

              1                                            1
R1                                          C1 
       a1   g  C1                                 a1   g  R1

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion
|F(jω)| = Amplitudengang
ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz
fg = Grenzfrequenz in Hz
|F(jω)|dB = Amplitudengang in dB
φ(jω) = Phasengang in °

F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion
A = Grundverstärkung des Hochpass bei ω   Hz
a1 = Allgemeiner Filterkoeffizient je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 )

R1 = Widerstand in Ω
C1 = Kapazität in F

Stand: 04.03.2012                                              Rev. 3                                            Seite 6-9
Formelsammlung                                    NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Kettenschaltung von 2 gleichen passiven RC-Filtern:


Um einen besseren Dämpfungs-
verlauf (d.h. Steigung des Ampli-
tudenganges im Sperrbereich)
zu erhalten, kann man mehrere
gleiche RC-Filter hintereinander
schalten.

Dabei stellt das zweite RC-Glied die Belastung des ersten RC-Gliedes dar.
Für die Übertragungsfunktion muss nun die Gleichung eines belasteten Spannungsteilers
aufgestellt werden, was bei mehreren hintereinander geschalteten RC-Glieders nur noch
mit extremem mathematischen Aufwand zu realisieren ist.

                                                       1
Mit R1  C1  R2  C2  R  C und  g1                     folgt:
                                                    R1  C1


                                                              F  j  
                                                                                        1
F  j  
                             1
             1  j  3  R  C    R  C 2
                                                                                                         2
                                                                                          
                                                                           1 j  3             
                                                                                       g1    g1 
                                                                                                  


F  j                                                      F  j  
                                   1                                                        1

               1    R  C    9    R  C 
                                 2 2                  2                       
                                                                                 
                                                                                        2  2
                                                                                                  
                                                                                                    
                                                                                                       2

                                                                             1       9    
                                                                               g1            g1 
                                                                                        

                                                                       F  j  dB  20 log F  j  
                         0,374                      0,0595
 g  0,374   g1                          fg 
                         R1  C1                    R1  C1

                                                                                                  
                                                                                                  
                                                                                                
                           3                                                               3
  j   arctan
                 
                                      
                                     2
                                                                        j   arctan           
                    1    R  C  
                                                                                                2
                                                                                       1    
                                                                                                
                                                                                          g1  
                                                                                               
RAD einstellen !!!                                                    DEG einstellen !!!
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion
|F(jω)| = Amplitudengang
ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz
fg = Grenzfrequenz in Hz
|F(jω)|dB = Amplitudengang in dB
φ(jω) = Phasengang in °
R1 = R2 = Widerstand in Ω
C1 = C2 = Kapazität in F
Um eine bessere Steilheit des Amplitudenganges im Sperrbereich des Filters zu erreichen,
können auch RLC-Filter verwendet werden, die weniger Aufwand erfordern.

Stand: 04.03.2012                                    Rev. 3                                                  Seite 6-10
Formelsammlung                                                    NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
RLC-Tiefpass (2.Ordnung):


F  j  
                                 1
             1  j  R1  C1   2  L1  C1


F  j  
                                 1
                                                              2
                                                      
             1  j  a1              b1            
                           g               g         
                                                       


F  j                                                                       F  j  
                                        1                                                                        1

                1     2
                                        
                              L1  C1    R1  C1 2
                                           2
                                                                                            
                                                                                                      
                                                                                                      
                                                                                                             
                                                                                                             
                                                                                                                 2 2
                                                                                                                           
                                                                                                                           
                                                                                                                                 
                                                                                                                                 
                                                                                                                                     2

                                                                                            1  b1             a1      
                                                                                                      g                 g   
                                                                                                                 

                                                                              g
                                                                                                 F  j  dB  20 log F  j  
         a1                                      b1
g                              g2                                  fg 
       R1  C1                                 L1  C1                        2 

                                                                                                                        
                                                                                                                   
                       R1  C1                                                                        a1        
  j   arctan                                                                       j   arctan               
                                                                                                                    g
                 
                            
                     1   2  L1  C1 
                                                                                                       
                                                                                                         1 b     
                                                                                                                     
                                                                                                                        2

                                                                                                              1 
                                                                                                         
                                                                                                                 g  
                                                                                                                       
RAD einstellen !!!                                                                      DEG einstellen !!!
Allgemeine Tiefpass-Gleichung:
                                                                                                2
F P  
                  A0
                                                                                        P2  
         
         1  a1  P  b1  P 2
                               P j
                                    g                                                          g2

A0  1             a1   g  R1  C1                     b1   g 2  L1  C1

          a1                                    b1                              a1                         b1
R1                              L1                                  C1                        C1 
       C1   g                            C1   g   2
                                                                             R1   g                   L1   g 2

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion
|F(jω)| = Amplitudengang
ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz
fg = Grenzfrequenz in Hz
|F(jω)|dB = Amplitudengang in dB
φ(jω) = Phasengang in °
F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion
A0 = Grundverstärkung des Tiefpass bei ω = 0 Hz
a1 , b1 = Allgemeine Filterkoeffizienten je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 )
R1 = Widerstand in Ω
C1 = Kapazität in F
L1 = Induktivität in H

Stand: 04.03.2012                                                    Rev. 3                                                Seite 6-11
Formelsammlung                                          NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
RLC-Hochpass (2.Ordnung):


F  j  
                        1
                  R1        1
             1         2
                j  L1   L1  C1

F  j  
                             1
                                                    2
                          g                
             1  j  a1  
                           
                                  b1   g
                                         
                                                
                                                
                                             

F  j                                                                  F  j  
                                 1                                                                            1
                                       2                 2                                                    2 2
                            R1                                                                                                     2
               1    1                                                              1  b    g         a g           
                2  L C    L                                                          1 
                                                                                                          
                                                                                                                  1 
                                                                                                                       
                                                                                                                                    
                                                                                                                                    
                      1  1      1                                                                                            
                                                                                                              

                                                                         g
                                                                                             F  j  dB  20 log F  j  
         R1                                  1
g                         g2                                  fg 
       a1  L1                         b1  L1  C1                      2 

                                                                                                                               
                      R1                                                                                    a g  
                                                                                                                          
                                                                                                            1    
                      C1                                 g                                                          
  j   arctan
                                                                        1
                             
                                                             
                                                              
                                                                   
                                                                                            j   arctan
                         1                                                                                        g  
                                                                                                                              2
                 1 2
                    L C                                                                                1  b1     
                           1                                         g                                                
                          1
                                                                                                                         
RAD einstellen !!!                                                                          DEG einstellen !!!
Allgemeine Hochpass-Gleichung:

                                                                        2
F P  
               A
                                       P j                   P2  
            a1 b1                             g                       g2
           1   2 
              P P 

                             R1                                    1
A  1             a1                           b1 
                           g  L1                        g  L1  C1
                                                              2


                                        R1                                   1                                          1
R1  a1   g  L1           L1                              L1                                    C1 
                                     a1   g                          b1   g 2  C1                            b1   g 2  L1

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion
|F(jω)| = Amplitudengang
ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz
fg = Grenzfrequenz in Hz
|F(jω)|dB = Amplitudengang in dB
φ(jω) = Phasengang in °
F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion
A = Grundverstärkung des Hochpass bei ω   Hz
a1 , b1 = Allgemeine Filterkoeffizienten je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 )
R1 = Widerstand in Ω
C1 = Kapazität in F
L1 = Induktivität in H
Stand: 04.03.2012                                            Rev. 3                                                          Seite 6-12
Formelsammlung                    NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Kettenschaltung aus gleichen passiven RLC-Filtern:
Wie auch bei der Kettenschaltung von gleichen passiven RC-Filtern kann mit einer
Kettenschaltung aus gleichen passiven RLC-Filtern eine Verbesserung der Steigung des
Amplitudenganges im Sperrbereich des Filters erreicht werden.
Um allerdings die Allgemeinen Filterkoeffizienten von Seite 6-5 verwenden zu können,
sollten die Filter „entkoppelt“ werden, indem z.B. ein Impedanzwandler zwischen Ausgang
des ersten Filters und Eingang des zweiten Filters geschaltet wird.




Stand: 04.03.2012                     Rev. 3                                 Seite 6-13
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Allgemeines zu aktiven Filtern:

Als aktive Filter werden solche Filter bezeichnet, die eine bestimmte Grundverstärkung A0
haben.

Diese Filter werden meist mit OP-Schaltungen realisiert, die den Vorteil haben, dass
nun keine Induktivitäten mehr benötigt werden und dass bei Kettenschaltungen die
einzelnen Filter untereinander entkoppelt sind.

Übertragungsfunktion:

             U 2
F  j  
              U1

             Z2
F  j  
                                           Y1
                             F  j  
              Z1                          Y 2

Amplitudengang (beinhaltet Steilheit und Überschwingen):

                  Re 2 2  Im 2 2
                                                        F  j  dB  20 log F  j  
                     U          U
F  j  
                  Re 12  Im 12
                     U         U


                  ReZ 2 2  ImZ 2 2                              ReY 12  ImY 12
F  j                                                F  j  
                  ReZ 12  ImZ 12                                ReY 2 2  ImY 2 2

Für die Grenzfrequenz:
                                R2
                                              R2 
              
Es gilt: F j g           A    R
                                             R  bzw. F j g
                           0  1  0,707                                 dB  A0  3dB
                            2    2           1 

Phasengang:
                      ImF  j 
  j   arctan
                                  
                                                RAD einstellen !!!
                      ReF  j 

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion
|F(jω)| = Amplitudengang
|F(jω)|dB = Amplitudengang in dB
φ(jω) = Phasengang in °
U1 = Eingangsspannung in V
U2 = Ausgangsspannung in V
Z1 = komplexer Eingangswiderstand in V
Z2 = komplexer Ausgangswiderstand in V
Y1 = komplexer Eingangsleitwert in V
Y2 = komplexer Ausgangsleitwert in V
Re{x} = Realteil der Größe
Im{x} = Imaginärteil der Größe (ohne ´ j ´ !!!)

Stand: 04.03.2012                                     Rev. 3                                   Seite 6-14
Formelsammlung                                      NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Aktiver Tiefpass 1. Ordnung:

                   R2                                             R2
                                                             
                                                F  j  
                                                                  R1
F  j  
                   R1
           1  j  R2  C2                                         
                                                             1 j
                                                                    g

                        R2                                          R2

                                                F  j  
                                                                    R1
F  j  
                        R1
               1    R2  C2    2                                        2
                                                                       
                                                               1       
                                                                  g    
                                                                        


                                                                     F  j  dB  20 log F  j  
           1                                1
g                          fg 
        R2  C 2                    2    R2  C 2

                                                                                                       
  j   arctan  R2  C2                                                    j   arctan     
                                                                                              g        
                                                                                                        
RAD einstellen !!!                                                               DEG einstellen !!!

Allgemeine Tiefpass-Gleichung:
                                               
F P  
                A0
                                        P j
           1  a1  P                        g


A0   0   
                   R2
                                        a1   g  R1  C1          a1  1
                   R1

          a1                           a1
R1                          C1 
        g  C1                      g  R1

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion
|F(jω)| = Amplitudengang
ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz
fg = Grenzfrequenz in Hz
|F(jω)|dB = Amplitudengang in dB
φ(jω) = Phasengang in °

F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion
A0 = Grundverstärkung des aktiven Tiefpass bei ω = 0 Hz
a1 = Allgemeiner Filterkoeffizient je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 )

R1 = Widerstand in Ω
R2 = Rückkopplungswiderstand in Ω
C2 = Kapazität in F



Stand: 04.03.2012                                      Rev. 3                                                Seite 6-15
Formelsammlung                                          NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Aktiver Hochpass 1. Ordnung:
                 R2

F  j  
                 R1
                   1
           1
              j  R1  C1

              R2

F  j  
              R1
                  g
             1
                  j

                         R2                                          R2
                                                                                          g   
F  j  
                                                                                                     1
                                                     F  j  
                         R1                                          R1
                                                                                               
                                                                                                      
              1
                              1                                      g   
                                                                               2
                                                                                                      
                      R1  C1    2                            1 
                                                                      
                                                                           
                                                                                                   g   
                                                                                                       

                                                                     F  j  dB  20 log F  j  
          1                                     1
g                               fg 
       R1  C1                           2    R1  C1

                                                                                g 
  j   arctan                                                     j   arctan
                   1
                         
                                                                                     
                                                                                      
                                                                                      
               R1  C1                                                         
RAD einstellen !!!                                                   DEG einstellen !!!
Allgemeine Hochpass-Gleichung:
                                                   
F P  
              A
                                           P j
            a1                                   g
           1  
               P

                                                        1
A      
                        R2
                                           a1                       a1  1
                        R1                         g  R1  C1

              1                                         1
R1                                        C1                                     Bei ω ≥ ωg folgt: re  R1
       a1   g  C1                              a1   g  R1

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion
|F(jω)| = Amplitudengang
ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz
fg = Grenzfrequenz in Hz
|F(jω)|dB = Amplitudengang in dB
φ(jω) = Phasengang in °
F(P) = allgemeine Übertragungsfunktion
A = Grundverstärkung des Hochpass bei ω   Hz
a1 = Allgemeiner Filterkoeffizient je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 )
R1 = Widerstand in Ω
R2 = Rückkopplungswiderstand in Ω
C1 = Kapazität in F
re = dynamischer Eingangswiderstand


Stand: 04.03.2012                                           Rev. 3                                             Seite 6-16
Formelsammlung                                         NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Aktiver Bandpass 1.Ordnung:


F  j  
                                     1
             R1 C2                       1      
                   j  R1  C2 
                                                
             R2 C1                    R2  C1 
                                                 


F  j  
                                           1
                            2                                        2
               R1 C2                        1      
              
              R          R1  C2              
               2   C1  
                                          R2  C1 
                                                      

F  j  dB  20 log F  j  

            1                               1                                   1                             1
 gu                       f gu                                    go                    f go 
         R1  C1                     2    R1  C1                         R2  C 2                 2    R2  C 2

b  f go  f gu             f0          f gu  f go                0   gu   go

                                                                                                2           
                                                                                                            1
  j   arctan
                      
                      2  R1  R2  C1  C2  1 
                                                                                               gu   go  
                                                                               j   arctan               
                       R1  C1    R2  C2                                                               
                                                                                                      
                                                                                              
                                                                                                   gu  go     
                                                                                                                 
RAD einstellen !!!                                                           DEG einstellen !!!

A0    0  
                      1
                   R1 C 2                                                    Idealisierter Bandpass:
                     
                   R2 C1

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion
|F(jω)| = Amplitudengang
|F(jω)|dB = Amplitudengang in dB
ωgu = Untere Grenzkreisfrequenz in Hz
fgu = Untere Grenzfrequenz in Hz
ωgo = Obere Grenzkreisfrequenz in Hz
fgo = Obere Grenzfrequenz in Hz
b = Bandbreite in Hz
f0 = Bandmittenfrequenz in Hz (Geometrisches Mittel auf f gu und fgo)
ω0 = Bandmittenkreisfrequenz in Hz
φ(jω) = Phasengang in °
A0 = Grundverstärkung des Bandpass bei ω = ω0

R1 = Widerstand in Ω
R2 = Rückkopplungswiderstand in Ω
C1 = Kapazität in F
C2 = Kapazität in F


Stand: 04.03.2012                                          Rev. 3                                              Seite 6-17
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Aktive Filter 2. Ordnung:

Ebenso wie bei den passiven Filtern, lassen sich aktive Filter 2. und höherer Ordnung
durch eine Kettenschaltung von aktiven Filtern erzielen.

Dabei werden, bedingt durch die Entkopplung, die Übertragungsfunktionen bzw. die
Amplitudengängen der einzelnen Filter multipliziert.

F  j   F  j 1  F  j 2  ...  F  j n               F  j   F  j 1  F  j  2  ... F  j  n

Um eine größere Steilheit bzw. Steigung beim Amplitudengang zu erreichen, wählt man
folgende Dimensionierung:

           1        1          1         1
R C                                       und A0  A01  A02  ...  A0n
         g         g1       g2        gn

F(jω) = komplexe Gesamtübertragungsfunktion der Kettenschaltung
F(jω)1 , F(jω)2 , F(jω)n = komplexe Einzelübertragungsfunktionen der Filter

|F(jω)| = Gesamtamplitudengang der Kettenschaltung
|F(jω)|1 , |F(jω)|2 , |F(jω)|n = Einzelamplitudengänge der Filter

A0 = Gesamtverstärkung der Kettenschaltung
A01 , A02 , A0n = Einzelverstärkungen der Filter




Stand: 04.03.2012                                       Rev. 3                                               Seite 6-18
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Aktiver Tiefpass 2. Ordnung:

                   R2
                   
F  j  
                   R1              1
                           
           1  j  R2  C2 1  j  R3  C3

                         R2

F  j  
                         R1                          1
                                       
               1    R2  C2 2         1    R3  C3 2

mit folgender Dimensionierung für bessere Steilheit folgt:
R2  C2  R3  C3  R  C              und      A0 ges  A01  A02

                        R2                                                R2
                                                                     
F  j                                        F  j  
                        R1                                                R1
             1  j    R  C 2                                        
                                                                                          2
                                                             1 j  2       
                                                                        g g 
                                                                              

                       R2                                                          R2

F  j  
                       R1
                                                F  j  
                                                                                   R1
             1    R  C 2                                                  2 2                2
                                                                                           
                                                                                     4        
                                                               1                   g      
                                                                 g                           
                                                                                  

                                                                     1                               1                    g
g          2  1   g1       2 1   g 2             g1                            g2                     fg 
                                                                  R2  C 2                        R3  C3                 2 

                                                                                                              
                                                                                                           
                     2    R2  C 2                                                             2 
  j   arctan                                                                  j   arctan
                                                                                                           g 
                    1    R  C 2                                                                      2
                              2    2 
                                                                                                    1    
                                                                                                           
                                                                                                       g  
                                                                                                           
RAD einstellen !!!                                                                DEG einstellen !!!
Allgemeine Tiefpass-Gleichung:
                                                                                     2
F P  
                  A0
                                                                                  P  2
                                 
                               P j                                                 2
         1  a1  P  b1  P 2
                                    g                                                g

A0   0   
                    R2
                    R1
                                        a1  2   g  R  C              
                                                                  b1   g  R  C         2
              a1                           a1                          b1                                 b1
R2                           C2                         R2                             C2 
       2   g  C2                   2   g  R2                22  Cg 2                       2 2  Rg 2


Stand: 04.03.2012                                        Rev. 3                                                    Seite 6-19
Formelsammlung                          NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Switched-Capacitor-Filter (SC-Filter)

Grundprinzip:

Durch ersetzen Eingangswiderstandes einer Intergratorschaltung durch einen
geschalteten Kondensator kann eine lineare Abhängigkeit zwischen der Schaltfrequenz fs
und dem simulierten Widerstandswert RÄquiv erzeugt werden.

                1               1                                      C                
R Äquiv             mit U 2     U1  dt    RÄquiv  C                 
            f s  Cs                                                Cs  f s        2   fs

                        C         
Das Kapazitätsverhältnis   bzw.      wird vom Hersteller des SC-Filters vorgegeben.
                        Cs      2 
Den Parameter η findet man in den Datenblättern des SC-Filters.
Er liegt zwischen 50 und 200.

Invertierender SC-Filter:

Der Schalter S1 wird mit der Schaltfrequenz fs geschaltet.

Bei rein Sinusförmigen Signalen gilt:
F  j   
                1
               j

allgemein mit p  j   und σ = 0:

F  j   
              1
             p


Nicht-Invertierender SC-Filter:

Die beiden Schalter S1 und S2 werden beide gleichzeitig mit der
Schaltfrequenz fs betätigt.

Bei rein Sinusförmigen Signalen gilt:
F  j  
              1
             j

allgemein mit p  j   und σ = 0:

F  j  
            1
           p

RÄquiv = simulierter Widerstandswert in Ω
 = Integrationskonstante
C = Rückkopplungs-Kapazität in F
Cs = geschaltete Kapazität in F
fs = Schaltfrequenz in Hz
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion


Stand: 04.03.2012                           Rev. 3                                      Seite 6-20
Formelsammlung                              NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
SC-Filter 1.Ordnung:




        Hochpass                                                     Tiefpass

           R3          R                                                 1
U HP         U e    3   U TP
                       R                                      U TP          U HP
           R2          1                                                p

                                R3                                                                     R3
                                                                                                  
                 U HP                                                               U TP
 F  j HP                                                   F  j TP 
                                R2                                                                     R2
                                                                                        
                 Ue            R    1                                               Ue             R1
                           1 3                                                              1        p
                               R1 p                                                              R3

mit p  P   g folgt:                                         mit p  P   g folgt:
                                R3                                                                R3
                                                                                              
              U HP                                                           U TP
F P HP                                                       F P TP 
                                R2                                                                R2
                                                                                 
              Ue               R3       1                                    Ue             R1     g
                       1                                                             1                   P
                            R1   g P                                                        R3

      fs                                                       fs
mit        folgt (gilt nicht zwingend !!):             mit        folgt (gilt nicht zwingend !!):
      fg                                                       fg

          1       1                                                      1       1
                         g  1                                                       g  1
      2   f g  g                                                 2   f g  g

                    R3                                                     R1    g
mit a1  1                  R1  R3                      mit a1  1                       R1  R3
                 R1   g                                                    R3

         R3            R3                                            R1           R1
A            R2          R3  R2  A                   A0           R2           R1  R2  A0
         R2            A                                            R2           A0

Ue = Eingangsspannung in V
UHP = Hochpass-Ausgang in V                         UTP = Tiefpass-Ausgang in V
R1, R2 , R3 = Widerstände in Ω
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktionen
F(p) = allgemeine Übertragungsfunktion
a1 = Allgemeiner Filterkoeffizient je nach Filtercharakteristik (siehe Seite 6 – 6 )
 = Integrationskonstante
fs = Schaltfrequenz in Hz
fg = Grenzfrequenz in Hz
ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz
A = Grundverstärkung bei ω   Hz                  A0 = Grundverstärkung bei ω = 0 Hz

Stand: 04.03.2012                              Rev. 3                                              Seite 6-21
Formelsammlung                                              NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
SC-Filter 2.Ordnung:

            R3          R                          R 
U HP          U e    3   U BP
                        R                          3   U TP
                                                     R 
            R2            4                          1

          1
U BP         U HP
         p
          1
U TP         U BP
         p
                                                           R3
                                                       
                U HP
F P HP 
                                                           R2
                     
                Ue                   R3       1       R3                             1
                         1                                                    
                                 R4     g P R1     g               2
                                                                                     P2

                                                                R1
                                          P    r 
                U BP
F P BP 
                                                                R2
                     
                Ue            R1     r    R     r 2
                         1                P 1               P2
                                  R4               R3

                                                       R1
                                                   
             U TP
F P TP 
                                                       R2
                  
             Ue
                        1
                              R1     g
                                              P
                                                                
                                                           R1     g   2  P 2
                                    R4                              R3

      fs                                           1       1
mit        folgt (gilt nicht immer !!!):                                                       g  1
      fg                                       2   f g  g

Hochpass:                                                                                 Tiefpass:

a1 
         R3
                             b1 
                                             R3
                                                                                          a1 
                                                                                                 R1    g
                                                                                                                  b1 
                                                                                                                             
                                                                                                                         R1     g   2
     R4    g                         
                                    R1     g       2                                            R4                          R3

           R3               R3                                                                     R1            R1
A              R2               R3  R2  A                                          A0            R2         R1  R2  A0
           R2               A                                                                     R2            A0

Bandpass:                                                                        R1, R2 , R3 , R4 = Widerstände in Ω
                                                                                 F(p) = allgemeine Übertragungsfunkt.
R1  R3                                                                          a1 , b1 = allgemeine Filterkoeffizienten
      R4               R4                                                        (je nach Charakteristik (siehe S. 6 – 6 )
Q              R1              R4  R1  Q                                     A = Grundverstärkung bei ω   Hz
      R1               Q                                                         A0 = Grundverstärkung bei ω = 0 Hz
                                                                                 Ar = Grundverstärkung bei ω = ωr
Ar   R                             Q                R2  Ar
    1           R2  R1                R1                                     = Integrationskonstante
Q    R2                            Ar                       Q                    fs = Schaltfrequenz in Hz
Ue = Eingangsspannung in V                                                       fg = Grenzfrequenz in Hz
UHP = Hochpass-Ausgang in V                                                      ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz
UTP = Tiefpass-Ausgang in V                                                      fr = Resonanzfrequenz in Hz
UBP = Bandpass-Ausgang in V                                                      Q = Unterdrückungsgüte

Stand: 04.03.2012                                                   Rev. 3                                                    Seite 6-22
Formelsammlung                                   NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Parameter für Sallen-Key-Schaltungen:

     Charakteristik             d – Parameter                  k – Parameter         Sprungantwort

kritische Dämpfung                          2                                     stark verzögert
                                                                                  gerade, ohne
        Bessel                           3 =1,732                  1.274
                                                                                  Überschwinger
                                                                                  leichter
      Butterworth                        2  1.414                  1
                                                                                  Überschwinger
Tschebyscheff mit
                                         1.045                     0.863
 +1 dB Welligkeit

Tschebyscheff mit                                                                 gedämpfte
                                         0.895                     0.852          Schwingung
 +2 dB Welligkeit

Tschebyscheff mit
                                         0.767                     0.861
 +3 dB Welligkeit

d = Dämpfungsfaktor
k = Korrekturfaktor


Tiefpass in Sallen-Key-Schaltung (Mitkopplung):

                      3 d
F  j                             2
                            
             1 j          
                       d    
                    E      E
        1                       E
E                      g 
       RC                      k
            1                   fE
fE                      fg 
       2   R  C             k
                                                R  2  d 
A0  3  d        d  3  A0     A0  1 
                                                     R

               d2                                       d2                 3 d
H    E  1                   fH       f g  k  1           AH 
               2                                        2                       d2
                                                                         d  1
                                                                                4
F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion
ωE = Entwurfskreisfrequenz in Hz , fE = Entwurfsfrequenz in Hz
ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz , fg = Grenzfrequenz in Hz
A0 = Grundverstärkung bei ω = 0 Hz
d = Dämpfungsfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22)
k = Korrekturfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22)
ωH = Überhöhungskreisfrequenz in Hz (Höchstes Überschwingen bei dieser Frequenz)
fH = Überhöhungsfrequenz in Hz
AH = Verstärkung bei Resonanzüberhöhung

Stand: 04.03.2012                                     Rev. 3                                 Seite 6-23
Formelsammlung                                  NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Hochpass in Sallen-Key-Schaltung (Mitkopplung):

                     3 d
F  j                         2
                  E      
             1      d  E 
                  j       
        1
E                         g  E  k
       RC
            1
fE                         fg  fE  k
       2   R  C
                                                R  2  d 
A  3  d          d  3  A       A  1 
                                                     R
             E                                 fE                       3 d
H                                  fH                        AH 
              d2                                  d2                            d2
         1                                 1                         d  1
              2                                   2                             4

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion
ωE = Entwurfskreisfrequenz in Hz
fE = Entwurfsfrequenz in Hz
ωg = Grenzkreisfrequenz in Hz
fg = Grenzfrequenz in Hz
A = Grundverstärkung bei ω   Hz
d = Dämpfungsfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22)
k = Korrekturfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22)
ωH = Überhöhungskreisfrequenz in Hz (Höchstes Überschwingen bei dieser Frequenz)
fH = Überhöhungsfrequenz in Hz
AH = Verstärkung bei Resonanzüberhöhung




Stand: 04.03.2012                                      Rev. 3                            Seite 6-24
Formelsammlung                                           NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Aktiver Bandpass 2. Ordnung

                               
                        k j
                               0
F  j                                         2
                                      
             1  j  3  k         
                                       
                                0     0

                                     
                               k
                                     0
F  j  
                                2
                   2                     2
                1        3  k    
                                             
                                    0 
                     0                  

                                                                                                    3  A0    0 
                                                                      A0    0  
                 1                                    1                                  k
0  r                                  f0                                                  k
               R C                              2   R  C                           3 k        1  A0    0 

     f0                   1                          1
Q                  Q                    k  3             b  f go  f gu
     b                   3 k                        Q

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion
|F(jω)| = komplexe Übertragungsfunktion
ω0 = ωr = Bandmitten bzw. Resonanzkreisfrequenz in Hz
f0 = fr = Resonanzfrequenz in Hz
A0(ω=ω0) = Grundverstärkung bei ω = ω0
k = Korrekturfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22)
Q = Güte des Filter
b = Bandbreite des Filter
fgu = untere Grenzfrequenz
fgo = obere Grenzfrequenz

Diagramm von Amplitudengang (oben) und Phasengang (unten) des Bandpass:




Stand: 04.03.2012                                           Rev. 3                                              Seite 6-25
Formelsammlung                                       NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Aktive Doppel-T-Bandsperre 2. Ordnung

                             2 
                      k  1    
                             
F  j                    0 
                                                 2
                                          
             1  j  4  2  k          
                                           
                                    0     0

                                2 
                         k  1    
                               0  
F  j                        
                              2
                  2                        2
               1       4  2  k    
                                               
                 0                    0 
                                          

                                                         A0    0   k
                 1                       1                                           1               1
0  r                     f0                                             Q            k  2
               R C                 2   R  C                                  4 2k            2Q

F(jω) = komplexe Übertragungsfunktion
|F(jω)| = komplexe Übertragungsfunktion
ω0 = ωr = Bandmitten bzw. Resonanzkreisfrequenz in Hz
f0 = fr = Resonanzfrequenz in Hz
A0(ω=ω0) = Grundverstärkung bei ω = ω0
k = Korrekturfaktor (siehe Tabelle Seite 6-22)
Q = Güte des Filter

Diagramm von Amplitudengang (oben) und Phasengang (unten) der Bandsperre:




Stand: 04.03.2012                                       Rev. 3                                      Seite 6-26

								
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