D�monstration de la m�thode de Bessel : by 43d7l5x

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									                                               Démonstration de la méthode de Bessel :

1) Introduction :
La méthode de Bessel est destinée à déterminer avec précision la distance focale d’une
lentille convergente. On forme pour cela 2 images à l’aide de la même lentille en la
déplaçant. L’une est grande et l’autre petite. La distance séparant l’objet lumineux de
l’écran est constante, on la nomme D sur le schéma. La distance séparant les positions
respectives de la lentille pour lesquelles on a une image nette se nomme d. Chacune des
positions de la lentille correspond à une solution de la formule de conjugaison des lentilles
minces.




2) démonstration :
Pour l’une des positions de la lentille et si l’on appelle O son centre optique et F’ son
foyer image. On peut écrire le formule de conjugaison des lentilles minces.
 1          1                1
                               en posant OA'  D  OA et en le remplaçant dans l'équation
OA '        OA           OF '
                          1                1                       1
on obtient;                                    C ; en posant           C;
                     D+OA                 OA                      OF'
OA  ( D  OA)                                   -D
                              C;                             C ; sous la forme d'un polynôme du second
 OA( D  OA)
                                                         2
                                          D.OA  OA
                         2
degré: C.OA  CD.OA  D  0
Résolution de l'équation du 2nd degré.
  C 2 .D 2  4C.D

            C.D  C 2 .D 2  4C.D                               C.D  C 2 .D 2  4C.D
O1 A                                                 ; O2 A 
                                 2C                                            2C
Exprimons à l'aide des résultats précédents la différence d=O1 A  O2 A

       ( C.D  C 2 .D 2  4C.D )  ( C.D  C 2 .D 2  4CD )
d
                                                   2C
         C .D  4CD
             2       2

d                                    ;          C 2 .d 2  C 2 .D 2  4CD;        C(D 2 -d 2 )=4D;
                 C
         4D                                                               1           4D
C=                   ; si l'on revient à l'expression de C;                    =            ;
     D d
        2        2
                                                                         OF'       D  d2
                                                                                     2



                                 D2  d 2
en définitif; OF'=
                                          4D
                                                                                                D
Cas particulier en portant dans la relation d=0; on obtient OF'   ; on retrouve là
                                                                 4
la détermination de la distance focale par la méthode de Silbermann.

								
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