Estudo das derivadas by HC12030320509

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									Unidade III – Derivadas
Competência
      Aplicar as regras de derivação para as funções algébricas e
       transcendentes.
      Determinar a equação da reta tangente e da reta normal a uma curva.
       Identificar os pontos extremos de uma curva.
      Otimizar os modelos matemáticos aplicados.


   Objetivos
          Conceituar e interpretar a derivada geometricamente.
          Interpretar as variações nos modelos funcionais aplicados aos mais
           diversos ramos do conhecimento, como Economia, Engenharia,
           Física,   Biologia,   Finanças,   Administração   e   Tecnologias   da
           Informação.
Aula 01
Um pouco de História
       Um dos primeiros desdobramentos da geometria analítica foi o cálculo
diferencial e integral. Criado por Newton e Leibnitz, no século XVII, ele é
utilizado para analisar e prever as variações dos comportamentos de forças ou
de coisas móveis. Permite equacionar e representar graficamente a órbita dos
planetas, a trajetória de uma bomba ou de um corpo em queda, a variação da
intensidade de um som. O cálculo é uma das ferramentas utilizadas por
Newton na sua teoria de Gravitação Universal. O conceito de cálculo se prende
na chamada “convergência para um limite” que nada mais é do que um valor
desconhecido que pode ser medido por aproximações sucessivas e cada vez
menores até aproximar-se de zero. Para fazer esse tipo de medição, Newton e
Leibnitz criaram duas operações: a diferenciação e a integração. A primeira, a
diferenciação, que é o nosso caso, além de outros, se prende na análise e
esboço de gráficos determinando os pontos extremos (máximo ou mínimos)
das funções. Fica evidente, a importância das derivadas, particularmente na
Econometria, onde é fundamental o cálculo do valor máximo de uma função,
bem como, na Estatística onde o método dos mínimos quadrados é utilizado
como condição para que cada erro seja minimizado.


Introdução
       Os exemplos acima citados demonstram que o traçado de gráficos e o
estudo de máximos e mínimos são por si próprios, importantes, levando-se em
consideração que quase todas as disciplinas contêm tópicos que se relacionam
com o estudo dos máximos e mínimos e com a habilidade de esboçar e
interpretar gráficos. Para desenvolver a teoria dos máximos e mínimos e para o
traçado de gráficos é conveniente que se tenha um profundo conhecimento
sobre o comportamento gráfico de uma função. A seguir, apresentamos uma
situação que retrata tudo o que foi mencionado acima.
          Um fabricante se propõe a fazer caixas abertas a partir de folhas de
papelão retangulares de 8 cm de comprimento e 5 cm de largura. Para tanto,
devem ser cortados quadrados idênticos em cada canto da folha e, sendo que
a parte restante dos lados deve ser dobrada de modo a se obter uma caixa
sem tampa. O nosso problema consiste em determinar as dimensões da caixa
de maior volume que pode ser construída com esta folha e calcular esse
volume.


                               x                x
Solução:                   x                          x

                           x                          x   x                   5 – 2x
                               x                 x               8 – 2x

          A caixa assim obtida tem formato de um paralelepípedo retângulo, cujo
volume é dado por: V = área da base x altura, onde a base é um retângulo
de área (5 – 2x).(8 - 2x ) e a altura x, então V = (5 – 2x).(8 – 2x).x ou ainda
                                                5
V = 4x³ - 26x² + 40x, sendo que 0  x            .
                                                2
          Derivando, temos:


V’ = 12x² - 52x + 40
                      10
E, V’ = 0, para x =            ou para x = 1.
                       3


                                                10
          Podemos desconsiderar o valor            pelo fato de estar fora do domínio
                                                 3
da função. Então, para x = 1, as dimensões da caixa são 1 cm, 3 cm e 6cm, as
quais nos fornecerão um volume máximo de 18 cm³.
          No desenvolvimento do assunto , o aluno terá oportunidade de verificar
as diversas aplicações das derivadas.
Definição de Derivada


   Definição: Dada a         função f , definida em um intervalo real , chamamos
                                             lim         f ( x  h)  f ( x )
    derivada de f à função f ’(x) =                                           , se existir e for finito
                                           h0                    h
    este limite.


   Notação: A derivada da função f pode ser representada por uma das
    seguintes formas:
                                         df   dy
                         y ’ = f’(x) =      =
                                         dx   dx
Exemplos:


    Calcular, pela definição, a derivada das funções abaixo :


    Questão 1. f(x) = x²


    Solução:


                 lim     f ( x  h)  f ( x )
    f ’(x) =                                  , onde :
               h0                h


    f(x) = x²      e f(x + h) = (x + h)² = x² + 2xh + h² , substituindo na definição
    temos:


                   lim
                           x 2  2 xh  h 2  x 2    lim 2 xh  h 2  0
      f ’(x) = h  0                              =                 = (indet.)
                                     h              h0      h       0

                     h( 2 x  h)
                   lim
      f ’(x) =                   = 2x + 0 = 2x
                 h0      h


      Logo , se f(x) = x²  f ’(x) = 2x
                             1
Questão 2. f(x) =
                             x

                   1               1              lim f ( x  h)  f ( x )
Solução: f(x) =      ; f(x + h) =     e f ’(x) =                           , então:
                   x              xh            h0           h

                    1     1
           lim          
f ’(x) =           xh x =              0
                                          , levantando a indeterminação , temos:
           h0        h                 0

                       x  ( x  h)
            lim         x ( x  h)     lim     h         lim     1       1
f ’(x) =                            =                  =                 = 2
           h0               h        h  0 hx( x  h)   h  0 x( x  h)   x

                        1                    1
Logo , se f(x) =          , então f ’(x) = - 2
                        x                    x

Questão 3. Dada f(x) =              x , calcule f ’( 1 ).

Solução:

Calculando a derivada de f(x)


f ’(x) =
           lim         xh       x =   0
                                              (indeterminação)
           h0             h                0


f ’(x) =
              xh  x xh  x
           lim
                     .         =
                                    lim    xh  x                    
                                                                     2      2


             
         h0    h             
                        xh  x   h  0 h( x  h  x )

           lim        xhx                       1        1
f ’(x) =                          =                     =
           h0     h( x  h  x )               x0  x   2 x

                   1
Logo f ’(x) =            .
                  2 x

                        1                       1
Então f ’( 1 ) =                  f ’( 1 ) =
                       2 1                      2
Regras de derivação


1. Derivada da constante:


   f(x) = k  f ’(x) = 0 , para k  


   Questão 1. f(x) = 5  f ’(x) = 0


   Questão 2. f(x) = - 3  f ’(x) = 0




2. Derivada da função f(x) = x n


   f(x) = x n  f ’(x) = n . x n 1




   Questão 1. f(x) = x³  f ’(x) = 3.x 31 = 3x²




   Questão 2. f(x) = x 10  f ’(x) = 10.x 101 = 10x 9




                       1
   Questão 3. f(x) =     3
                           = x 3  f ’(x) = -3.x 31 = - 3 . x   4

                       x


                       1                                          1
   Questão 4. f(x) =     = x 1  f ’(x) = -1 . x 11 = - x² = - 2
                       x                                          x



                               1                    1               1
                                               1     1 1        1
   Questão 5. f(x) =    x = x 2  f ’(x) =       . x2 =   .x 2 =
                                               2        2        2 x
                                 1                     1                4
                       1                   1  1    1             
   Questão 6. f(x) = 3    = x 3  f ’(x) = - . x 3 = - . x              3
                        x                   3         3


                       1
        f ’(x) =   3
                   3 x4
3. Derivada da função f(x) = k. g(x)




   f(x) = k. g(x)  f ’(x) = k . g’(x)




   Questão 1. f(x) = 5. x³  f ’(x) = 5 . (x³)’ = 5 . 3x² = 15 x²




   Questão 2. f(x) = 9 x 4  f ’(x) = 9 . (x 4 )’ = 9 . 4 .x³ = 36 x³




4. Derivada da função f(x) = a x




   f(x) = a x  f ’(x) = a x . ln a




   Questão 1. f(x) = 2 x  f ’(x) = 2 x . ln 2




                      1                1         1
   Questão 2. f(x) = ( ) x  f ’(x) = ( ) x . ln( )
                      3                3         3




   Questão 3. f(x) = e x  f ’(x) = e x . ln e = e x       , pois ln e = 1


         f(x) = e x  f ’(x) = e x
5. Derivada da função f(x) = ln x


                           1
  f(x) = ln x  f ’(x) =
                           x


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Aula 02
Propriedades operatórias das derivadas


Propriedade 1 - Derivada da soma


f(x) = u(x) + v(x) + w(x)  f ’(x) = u’(x) + v’(x) + w’(x)


Exemplos:
Derivar:
Questão 1. f(x) = 3x² + 5x + 4  f ’(x) = (3x²)’ + (5x)’ + (4)’


     f ’(x) = 6x + 5


Questão 2. f(x) = 2x 5 -       x + 3x  f ’(x) = (2x 5 )’ – ( x )’+ (3x)’


                          1
     f ’(x) = 10 x 4 -         +3
                         2 x


Propriedade 2 - Derivada do produto


     f(x) = u(x) . v(x)  f ’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x)
Exemplos:


Derivar:
Questão 1. f(x) = x² . e x  f ’(x) = (x²)’. e x + x² . (e x )’ = 2x . e x + x² . e x


     f ’(x) = e x (2x + x² )
                                                                                      1
Questão 2. f(x) = x . ln x  f ’(x) = (x)’ . ln x + x . (ln x)’ = 1 . ln x + x .
                                                                                      x


     f ’(x) = ln x + 1




Propriedade 3 - Derivada do quociente


               u ( x)                  u , ( x).v( x)  u( x).v, ( x)
      f(x) =             f ’(x) =
               v( x)                               v 2 ( x)




Exemplos:
      Derivar:


                         x                   ( x), .e x  x.(e x ),   1.e x  x.e x
Questão 1. f (x) =               f ’(x) =                          =
                         ex                          (e x )2               e2 x


                     e x (1  x)
            f ’(x) =
                          e2 x


                           x             ( x), .(x  1)  x.(x  1),   1.( x  1)  x.1
Questão 2. f(x) =              f ’(x) =                             =
                         x 1                      ( x  1) 2
                                                                           ( x  1) 2


                       1
       f ’(x) =
                   ( x  1) 2




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Aula 03
Regra da Cadeia
           A regra da cadeia é aplicada na derivação da função composta.
           Seja a função y = x³, sendo que u = x² + 1. Então y = (x² + 1)³ ou y =
x 6 + 3x 4 + 3x² + 1 onde y’= 6x 5 + 12x³ + 6x. Por outro lado, sabe-se que y’=
dy           dy du            dy du
   e que y’=       ou que y’=       . Assim se y = x³ e u = x² + 1, vem que
dx           dx du            du dx
dy         du
   = 3u² e    = 2x. Substituindo-se na expressão acima temos:
du         dx
            y ’= 3u². 2x = 3(x² + 1).2x = 6x(x 4 +2x² +1)  y’= 6x 5 + 12x³ + 6x


   A partir da regra da cadeia, as regras de derivação passam a ser:


                                       m 1
    1. y = u m  y ’ = m. u                   . u’




    2. y = a     u
                      y ’ = a u . ln a . u’




                                  u,
    3. y = ln u  y ’ =
                                  u
Exemplos:
Derivar:
Questão 1. f(x) = ( x 2 - 1 ) 3
Solução: Regra y = u m  y ’ = m.u m 1 . u’ , onde u = x² - 1
Aplicando a regra, temos:
            f ’(x) = 3(x² - 1) 31 .(x² - 1) ’ = 3(x² - 1) 2 . 2x
            f ’(x) = 6x (x² - 1) 2
Questão 2. f(x) = ln (x³ - 5x² + 4)
                                u,
Solução: Regra y = ln u  y ’ =    , onde u = x³ - 5x² + 4
                                u
                         ( x 3  5 x 2  4),
         Então: f ’(x) =
                           x3  5 x 2  4


                                             3 x 2  10 x
                         f ’(x) =
                                            x3  5 x 2  4


                                                                              1

Questão 3. f(x) =              2x2  5x  1 = (2x 2 5x  1 )                 2




                                                                    m 1
Solução: Regra y = u                    m
                                              y ’= m . u                  .u’


                                                  1
                1                                   1
     f ’(x) =     (2x² +5x – 1)                   2
                                                          . (2x² +5x – 1) ’
                2


                                                                                             4x  5
                                                      1
              1                                   
     f ’(x) =   (2x² + 5x – 1)                        2
                                                          .(4x + 5 )  f ’(x) =
              2                                                                          2 2 x2  5x  1


                               x 2 3
Questão 4. f(x) = 2


     Solução: Regra y = a                         u
                                                           y ’ = a u . ln a . u ’

                    2
                        3                                                    x 2 3
     f ’(x) = 2 x            . ln 2 . (x² - 3) ’  f ’(x) = 2                          . ln 2 . (2x)


                  x2  4   u  x 2  4  u ,  2 x
Questão 5. f(x) = 2       
                  x 4     v  x  4  v  2 x
                                  2        ,



                                              u                    u , .v  u.v ,
    Solução: Regra y =                                     y ’=
                                              v                          v2
                2 x( x 2  4)  ( x 2  4)2 x               16 x
    f ’(x) =                                   f ’(x) =
                          ( x  4)
                             2      2
                                                         ( x  4) 2
                                                            2
                                   x
Questão 6. f(x) = e
    Solução: Regra y = a                          u
                                                          y ’= a u . ln a . u ’
    f ’(x) = e x . ln e . x ’  f ’(x) = e                         x


   A função f(x) = e                  x
                                            é chamada de perpétua, sua derivada é ela mesma.


   Se f(x) = e         x
                                  f ’(x) = e x


                                  x 2 5 x  4
Questão 7. f(x) = e


     Solução: Regra y = a                          u
                                                           y ’= a u . ln a . u ’


                  x 2 5 x  4
     f ’(x) = e                  . ln e . (x² - 5x + 4) ’


                   x 2 5 x  4
     f ’(x) = e                     . (2x – 5)




                                                      x 2 1        u  x2  1  u,  2x
Questão 8. f(x) = (x² +1) . e                                           x 2 1
                                                                   v  e         v,  2 x.e x 1
                                                                                               2




    Solução : Regra y = u . v  y ’= u ’. v + u . v ’




                             x 2 1                                    x 2 1
    f ’(x) = 2x . e                         + (x² + 1) . 2x . e
                            x 2 1
    f ’(x) = 2x . e                        . (x² + 2)
Exemplo:
Questão 1. Dada a função f, calcule x para o qual f ’(x) = 0.


1. f(x) = 3x² - 12x + 6


    Solução: f ’(x) = 6x – 12


                  f ’(x) = 0  6x – 12 = 0


                  x = 2


2. f(x) = x³ - 9x² + 15x –1




    Solução: f ’(x) = 3x² - 18x + 15


                                                    x  5
                  f ’(x) = 0  3x² - 18x + 15 = 0  
                                                    x  1
3. f(x) = e x . x²


    Solução: f ’(x) = (e x ) ’. x² + e x . (x²) ’ = e x . x² + e x . 2x




                  f ’(x) = e x ( x² + 2x )


                  f ’(x) = 0  e x ( x² + 2x ) = 0


    Como e    x
                   o, para qualquer x real, então:


                                x0
                  x² + 2x = 0  
                                 x  2
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Aula 04
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA
      A derivada de uma função num ponto x 0 é a declividade dessa função

nesse ponto. Sabe-se porém, que a declividade a de uma reta é a tangente do
ângulo  que a reta forma com o sentido positivo do eixo X , ou ainda , que é a
taxa de variação da distância vertical relativa à variação da distância horizontal.
                       y 2  y 1 y
Então: a  tg                    .
                       x 2  x1 x

      A diferença x  x  x 0 é chamada acréscimo ou incremento da variável

x relativa a x0    e   a      diferença y  f ( x)  f ( x 0 ) acréscimo ou incremento da

                                                    y f ( x)  f ( x 0 )
função f relativa a x0. O quociente                                      recebe o nome de taxa
                                                    x      x  x0

média de variação ou razão incremental de f relativa a x0.




                                  f    s                                    f   t
             f ( x 0  h)                  Q                     f ( x0 )

                   f ( x0 )            P                                                 P

                                                                                   x0

                                      x0   x0  h


      Considerando os gráficos acima , podemos notar que ,fazendo o ponto
Q se aproximar do ponto P ,isto é , fazendo h tender a zero , observamos que a
reta s, secante ao gráfico,                 vai mudando o seu coeficiente angular , se
   aproximando de sua posição limite, ou seja ,                    aproximando-se da reta t,
                                                                                  y  yo   y
   tangente ao gráfico, cujo coeficiente angular é dado por : tg                           .
                                                                                  x  xo   x

           Dessa forma podemos dizer que a derivada de uma função f no ponto x 0

   é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa
   x 0 .Para obtenção dessa reta tangente , fazemos o uso da fórmula da

   Geometria Analítica:
                                                            y
           y - y 0 = a ( x - x 0 ) , onde a = f’( x 0 ) =      e P(x 0 ; y 0 ).
                                                            x
   Questão 1. Achar a equação da reta tangente à curva f( x) = x² - 6x + 5 , no
   ponto de abscissa
        x 0 = 2.

        Solução:
        x 0 = 2  y 0 = - 3 e P( 2 , - 3 )

        f’( x ) = 2 x – 6  a = f’( 2 ) = 2(2) - 6  a = -2 e a equação da reta será:
   y + 3 = - 2 (x – 2 )  y = -2 x + 1


   Questão 2. Achar a equação da reta tangente à curva y = x³ - 2 x² + 4 , no
   ponto de abscissa
        x 0 = - 1.

        Solução:
        x 0 = - 1  y 0 = 1 e P(- 1 , 1)

        f’( x ) = 3x² - 4x  f’( - 1) = 7  a = 7.
        Equação da reta: y – 1 = 7 ( x + 1)  y = 7 x + 8


   Variação de uma função
   Crescimento e decrescimento de uma função
   Teorema: Dada a função a função f , derivável em ]a , b[, então:
*se f’(x)>0 para todo x  ]a, b[, então f é crescente em ]a, b[.
*Se f’(x)<0 para todo x  ]a, b[, então f é decrescente em ]a, b[.
Desta forma para se estudar a variação de uma função, procedemos da seguinte
maneira:
1. Derivamos a função.
2. Verificamos o sinal da derivada.
3. Fazemos então a variação.


   Estudar a variação da função f ( x)  x 3  12x.

   1. Derivada: f(x) = x 3  12x  f ' ( x)  3x 2  12
   2. Sinal da derivada
                              x  2
   f’(x) = 0  3 x 2  12  0 
                               x  2
         
                                          f ' ( x)  0  x  2 ou x  2 e
         2        2
    f ' ( x)  0  2  x  2
   3. Variação:
                                                 
   f é crescente nos intervalos:  00 , 2 e 2 ,00         
   f é decrescente no intervalo:  2,2


   Máximos e Mínimos relativos
   Teorema
   Se f é uma função derivável em um intervalo ]a , b[ tal que f’(x0) = 0, então:
* Se f” (x0) > 0, então x0 é abscissa de ponto de mínimo relativo
* Se f” (x0) < 0, então x0 é abscissa de ponto de máximo relativo
   Exemplo:
   Determine os pontos de máximo e mínimo relativo, se existir, da função
               1 3
    f ( x)      x  2 x 2  3x  1
               3
   Solução:
              1 3
    f ( x)     x  2 x 2  3x  1
              3
    f ' ( x)  x 2  4 x  3
    f " ( x)  2 x  4
                                   x1  1
    f ' ( x )  0  x  4 x  3  0
                      2

                                    x"  3
                                     É ponto de máximo relativo
    f " (1)  2.1  4  2  0
    f " (3)  2.3  4  2  0        É ponto de mínimo relativo
          Desta forma podemos dizer que x = 1 é abscissa de ponto máximo e x
= 3 de ponto mínimo
Concavidade – ponto de inflexão
Teorema
Se f”(x)>0 para todo x  ]a, b[, então f tem concavidade voltada para cima
(c.v.c.) em ]a, b[.
Se f”(x)<0 para todo x  ]a, b[, então f tem concavidade voltada para baixo
(c.v.c.) em ]a, b[.
Se f”(x) tem sinais distintos nos intervalos ]a, c[ e ]c, b[ e se f é contínua em c,
então c é um ponto de inflexão (P.I) da função f.
Exemplo:
Estudar       a      concavidade       e   ao    ponto   de   inflexão,    da    função
   x3 5 2
y    x  14 x  10
   3 2
                                                                          
Solução                                                                       5
f ' ( x)  x 2  5 x  14                                                     2
                                                                 C.V.B em ]-00, 5/2[
f " ( x)  2 x  5                                               C.V.B em ]5/2, +00[
                                   5        Para x>5/2           P.I em x = 5/2
f " ( x)  0  2 x  5  0  x             Para x<5/2
                                   2
         5
Para x     f " ( x)  0  f é côncava para cima
         2
Para x   f " x   0  f é côncava para baixo
        5
        2
               5
Desta forma x  é abscissa de ponto de inf lexão
               2
Representação gráfica das funções utilizando derivadas
Para representar graficamente uma função sugerimos que sejam seguidos os
seguintes tópicos:
1. Domínio da função
2. Interseção com os eixos
3. Comportamento no infinito
4. Derivada
4.1. Sinal da derivada(crescimento e decrescimento)
4.2. Pontos de máximo ou mínimo
5. Segunda derivada(ponto de inflexão)
     6. Esboço gráfico
                        .
     Exemplo:
     Construir o gráfico de f ( x)  x 3  3x  4

1)       Domínio D f  

2)       Interseção com os eixos:
        Para x = 0 x  0  y  4 A(0 , 4)
3) Comportamento no infinito:
     quando x     y  
     quando x    y  
4. Derivada
      f’(x) = 3x2 – 3
5. Sinal da derivada
                                   x 1  1
       f ( x )  0  3 x 2  3  0
                                   x"  1
      5.1. Crescimento e decrescimento
      para y’ > 0  x  1 ou x  1 a função é crescente
      para y’ < 0  1  x  1 a função é decrescente
          C             D              C

           
            1     1


     5.2.Pontos de máximo e mínimo
                   6 B 1, 6)  x 1  y  6
      x  1  yPonto (máximo B éponto de máximo
                 Ponto 1, 2  C é ponto de mínimo
      x  1  y  2  C mínimo x  1  y  2
     6)Segunda derivada
       f”(x) = 6x




     6.1.Sinal de f”
  f " ( x)  0  6 x  0  x  0
  f " ( x)  0  x  0  concavidade para cima
  f " ( x)  0  x  0  concavidade para baixo
    
       0




6.2.Ponto de inflexão
x = 0 ponto de inflexão x = 0 x  0  y  4 A(0 , 4) ponto de inflexão
7. Esboço gráfico


Acesse a Ferramenta Atividades e realize a Atividade 4.
SÍNTESE DA UNIDADE
        Nesta unidade, mostramos as derivadas e algumas de suas múltiplas
aplicações. Pudemos observar a importância da derivada de uma função no
estudo da variação dessa função, e a partir daí tirar conclusões sobre o
comportamento gráfico.
        Foi possível perceber também algumas propriedades que associa a
teoria das derivadas, ao crescimento e decrescimento das funções, destacando
principalmente a influência das derivadas na determinação dos pontos de
otimização da função.



REFERÊNCIAS
AVILA, Geraldo. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1988.
GUIDORIZZI, Hamilton Luis. Um Curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC,
1988.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol. 8. São Paulo:
Atual Editora. 1999.
MEDEIROS, Matemática Básica Para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas.
2002.
MORETTIN, Pedro A. Hazzan, Samuel & BUSSAB, Wilton de O. Cálculo de
funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.
WHIPKEY, Kenneth & WHIPKEY, Mary Nell. Cálculo e suas múltiplas
aplicações. Rio de Janeiro: Campus, 1982.

								
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