Programma Andrey Sarychev Metodi MATEMATICI I by t34lCw7Q

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									                                            CORSO DI METODI MATEMATICI I
  Corso di studio in Management Internazionalizzazione e Qualità, Facoltà di Economia, Università di Firenze
                          Anno Accademico 2011-2012; Docente: Andrey Sarychev

                                           Programma aggiornato al 20 settembre 2011



                                                 OBIETTIVO FORMATIVO
Lo scopo di questo corso è impostare ad avere un approccio rigoroso e quantitativo alla modellizzazione e allo studio di
problemi concreti e fornire strumenti matematici per risolverli.



                                                 PROGRAMMA DEL CORSO

    1.   CENNI DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI. INSIEMI DI NUMERI. NUMERI REALI
         Insiemi e sottoinsiemi; operazioni con gli insiemi, “algebra” degli insiemi. Numeri naturali, interi, razionali. Numeri
         irrazionali, principio di Dedekind. Estremo inferiore ed estremo superiore, massimi e minimi. Punti interni, insiemi
         aperti, insiemi chiusi. Frontiera e punti di accumulazione. Teorema di Bolzano-Weierstrass.



     2. INTRODUZIONE ALLE FUNZIONI
Funzioni come modelli: esempi. Funzione: dominio, codominio, immagine e controimmagine di un elemento, grafici. Funzioni
e relazioni. Funzione identità, funzione indicatrice di un insieme. Funzioni elementari: polinomi, potenze, funzione valore
assoluto, esponenziali, seno, coseno, tangente. Funzioni monotone (crescenti o decrescenti), pari, dispari, convesse,
concave. Funzione inversa, funzione composta, grafico della funzione inversa. Funzioni “inverse”: Logaritmi, arcoseno,
arcotangente. Intorni; minimi e massimi, relativi e assoluti, estremo inferiore e superiore; punti di accumulazione, punti
interni.

     3. LIMITI E CONTINUITÀ
Definizione di limite, limite destro e limite sinistro, esistenza di un limite, aritmetica dei limiti, limite della funzione composta,
teorema della permanenza del segno del limite, limiti notevoli, forme non immediate, asintoti, infiniti ed infinitesimali. Limiti
infiniti, limiti ad infinito. Funzioni continue e loro proprietà. Continuità della funzione composta e la funzione inversa.
Teorema di Weierstrass. Punti di discontinuità.

      4. DERIVABILITÀ
La derivata; calcolo di alcune derivate. Significato geometrico della derivata in un punto. Derivate destra e sinistra. Derivata
delle funzioni elementari. Regoli di derivazione. Derivabilità e continuità. Caratterizzazione della monotonia attraverso le
derivate; massimi e minimi locali. Teoremi di Rolle e di Lagrange; regole di De l'Hopital. Derivata seconda, convessità , punti
di flesso. Studio del grafico di una funzione, usando le derivate.
ALCUNE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE
Metodo delle tangenti, metodo delle secanti. Risoluzione di problemi di ottimizzazione sull’intervallo; modelli pratici.

     5. L’INTEGRALE SECONDO RIEMANN
L’integrale definito secondo Riemann, proprietà. Integrale indefinito: funzioni primitive. Teorema fondamentale (Newton-
Leibniz) del calcolo integrale. Metodi di integrazione (per parti, per sostituzione). Integrazione delle funzioni razionali.
Calcolo di aree e volumi. Integrale improprio. Criteri di integrabilità (confronto, confronto asintotico), l’esempio fondamentale
della densità Gaussiana.

    6.   FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI: ELEMENTI DI CALCOLO DIFERENZIALE
         Funzioni definite in uno spazio euclideo (R2, R3); dominio, codominio, grafico. Continuità delle funzioni. Derivata
         direzionale e derivate parziali; gradiente. Derivate di ordine superiore. Massimi e minimi delle funzioni.


                                                       DATI COME NOTI
Regole della logica booleana, nozioni di insiemi, N, Q, R, teoria degli insiemi e operazioni fra insiemi; operazioni elementari
tra numeri, calcolo letterale, polinomi, scomposizione in fattori primi nei casi semplici, prodotti notevoli ; radicali, equazioni e
disequazioni di primo e secondo grado, valore assoluto; geometria elementare: rette parallele e ortogonali. Geometria
analitica nel piano: coordinate nel piano cartesiano, distanza tra due punti
                                              RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

                                                         LIBRO DI TESTO
1)   E. Giusti, Elementi di Analisi Matematica, Bollati Boringhieri Editrice, 2008 (capp. 1,2, 4-10)

2)   S. Salsa, A.Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2011.

     Per FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI:

3)   C .P. Simon, L.E. Blume, Matematica 1 per l’economia e le scienze sociali, Università Bocconi Ed., 2002 (cap. 8)

4)   L.Vanucci, P.Visani, Metodi Matematici e applicazioni economico-finanziarie vol.2, Pitagora Editrice Bologna, 2003, Cap. 4


                                                       PROVA D’ESAME
La prova d’esame servirà a verificare l’avvenuta acquisizione degli strumenti forniti a lezione e la capacità di ragionare,
collegare ed usare tali strumenti.
Negli appelli di Gennaio e Febbraio l’esame consisterà in una prova scritta. La prova scritta richiederà di risolvere alcune
esercizi e di rispondere ad una domanda teorico-pratica, e riguarderà le varie parti del programma.
Negli appelli successivi l’esame può consistere in una prova orale.

Si consiglia caldamente di: seguire e studiare il corso durante lo svolgimento, partecipando in un modo attivo nelle
sessioni degli esercizi. In tal modo sarà molto più facile e veloce la preparazione dell’esame.

								
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