Modeling Development and Parameter Estimation

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Modeling Development and Parameter Estimation Powered By Docstoc
					        結構方程模式
Structural Equation Modeling



Modeling Development and
  Parameter Estimation
模型發展與參數估計
階段一                           理論性發展
模型發展                (Theoretical Development)



                              模式設定
                      (Model Specification)



                              模型辨識
                      (Model Identification)




 階段二                          抽樣與測量
                   (Sampling and Measurement)
估計與評鑑

                              參數估計
                      (Parameter Estimation)



         模型契合度估計                                  模型修飾
        (Assessment of Fit)              (Model Modification)



                              討論與結論
                    (Discussion and Conclusion)
Part I 模式界定





    SEM模型各種參數狀態圖示


     *E1       V1                     *D       V4       *E4
          1        *            1         1        1

     *E2       V2   *   F1   *       F2    *   V5       *E5
           1                                        1
                    *   1                  *
     *E3       V3                              V6       *E6
           1                                        1


    (eta)為q×1的依變項向量
    (xi)為r×1的自變項向量
    (gamma)為q×r的自變項與依變項間結構參數矩陣
    B(beta)為q×q的依變項間結構參數矩陣
    (phi) 為r×r的自變項間共變矩陣
    SEM矩陣關係及數學導出式
       =                      +                    
                                                       E1    V1=*•F1+E1
V1  0     0 0 0 0 0 0 V1  1     0 0 0 0 0 0   
V                                                E2 
 2  0     0 0 0 0 0 0 V2  0
                                     1 0 0 0 0 0           V2=*•F1+E2
                                                       E3 
V3  0     0 0 0 0 0 0 V3  0     0 1 0 0 0 0         V3=*•F1+E3
                                              E4
V4   0   0 0 0 0 0 1 V4   0   0 0 1 0 0 0 0        V4=1•F2+E4
                                                      E 
V  0      0 0 0 0 0  V5  0     0 0 0 1 0 0 0  5 
 5                                           E       V5=*•F2+E5
V6  0     0 0 0 0 0  V6  0     0 0 0 0 1 0 0  6 
 F  0                                                D      V6=*•F2+E6
 2        0 0 0 0 0 0  F2  0
                                   0 0 0 0 0 1   
                                                    
                                                       F1 
                                                             F2=*•F1+D



V1=0•V1+0•V2+0•V3+0•V4+0•V5+0•V6+0•F2+1•E1+0•E1+0•E2+0•E3
+0•E4+0•E5+0•E6+*•F1=*•F1+E1
BW法與LISREL矩陣概念比較表
            BW 法                              LISREL 法
  符號               意義          符號                        意義
 (Beta)    內衍變項之間因果關    (Beta)         BE     內衍潛在變項被內衍潛在變項
            係之迴歸係數矩陣                            解釋之迴歸係數矩陣
                                         LY     內衍測量變項被潛在內衍變項
                         y (Lambda y)          解釋之迴歸係數矩陣


 (Gamma)   外衍變項對內衍變項    (Gamma)        GA     內衍潛在變項被外衍潛在變項
            解釋的迴歸係數矩陣                           解釋之迴歸係數矩陣
                         x (Lambda x)   LX     內衍測量變項被外衍潛在變項
                                                解釋之迴歸係數矩陣
 (Phi)     外衍變項變異數共變    (Phi)          PI     外衍潛在變項變異數共變數矩
            數矩陣(包括殘差項                           陣
            的共變)
                         (Psi)          PS     內衍潛在變項誤差項變異數共
                                                變數矩陣
                         (Theta-Delt   TD     內衍測量變項被外衍潛在變項
                                                解釋之誤差項變異數共變數矩
                        a)
                                                陣
                         (Theta-Epsi   TE     內衍測量變項被內衍潛在變項
                                                解釋誤差項變異數共變數矩陣
                        lon)
LISREL分析的八種矩陣概念列表
符號與發音            縮寫        代 表 意 義         mm   mf    order

結構模型矩陣
B beta           BE   內衍潛在變項被內衍潛在變項解釋      ZE   FI   NENE
                      之迴歸矩陣(E 到 E 的迴歸係數)

     gamma      GA   內衍潛在變項被外衍潛在變項解釋      FU   FR   NENK
                      之迴歸矩陣(E 到 K 的迴歸係數)


測量模型矩陣
 x lambda x     LX   外衍觀察變項被外衍潛在變項解釋     FU    FI   NYNE
                      之迴歸矩陣(K 到 X 的因素負荷量)

y    lambda y   LY   內衍觀察變項被內衍潛在變項解釋     FU    FI   NXNK
                      之迴歸矩陣(E 到 Y 的因素負荷量)

     phi        PI   外衍潛在變項共變矩陣(K 到 K 的   SY   FR   NKNK
                      因素共變)

殘差矩陣
 psi            PS   內衍潛在變項被外衍潛在變項解釋      SY   FR   NENE
                      之誤差項共變矩陣(解釋殘差)

 theta-delta   TD   內衍觀察變項被內衍潛在變項解釋      DI   FR   NXNX
                      之誤差項共變矩陣(X 變項殘差)

 theta-epsil   TE   內衍觀察變項被內衍潛在變項解釋      DI   FR   NYNY
     on               之誤差項共變矩陣(Y 變項殘差)
完整LISREL模型的參數圖示
   1          2             1              2



 x1            x2           y1                y2

x11          x21         y11           y21
                                                        ■ 結構模型方程式
         1                        1              1
                                                              
                     γ21

   21                                  β12
                                                        ■ y 變項測量模型方程式

         2
                     γ22
                                   2              2   y   y  

x12          x22         y12           y22
                                                        ■ x 變項測量模型方程式

 x3            x4           y3                y4        x   x  

   3          4             3              4
參數的基本概念
   參數(Parameter)
    –   模型中未知而需要進行推估的量數
    –   參數所指的是一個計量的概念,而非母群體的
        本身
   參數的類型
    –   迴歸分析中,各預測變項對於效標變項預測力
        的Beta係數即是迴歸分析的參數
    –   變異數分析中,主要效果與交互效果是估計參
        數
    –   因素分析中,因素負荷量是估計參數
    –   在結構方程模式可能包括上述各種參數的估計
SEM參數的設定原則
   原則一:所有的外衍變項的變異數都是模型的參數。
   原則二:所有的外衍變項之間的共變數都是模型的參
    數(除了基於理論假設被設定為0或特定數值者)。
   原則三:所有與潛在變項有關的因素負荷量都是模型
    的參數(除了基於理論假設被設定為0或特定數值者)。
   原則四:所有觀察變項之間或潛在變項之間的迴歸係
    數都是模型的參數(除了基於理論假設被設定為0或特
    定數值者)。
   原則五:與內衍變項有關的量數(例如內衍變項的變
    異數,或是內衍變項之間的共變數,或是內衍與外衍
    變項之間的共變數),都不是模型的參數。
   原則六:對於每一個潛在變項,必須給定一個適當的
    潛在量尺。
自由、固定與限定參數
   六種原則所決定的參數,都必須利用SEM來
    進行估計,因此都是自由參數,除非某些參
    數被設定特殊的限制條件。
   SEM模型當中的參數,有時因為某些理由被
    設定為常數(通常是1.00)而不被估計者,
    稱為固定參數。
   限定參數的使用,多半與多樣本間的比較有
    關,例如某一個參數在甲樣本與乙樣本間被
    設定為等同(equivalent),此時SEM對於這
    兩個參數僅進行一次的估計,是為限定參數。
 模型辨識性
    t 法則
     --Bollen(1989)利用資料測量數與參數估計數的比較來判斷模
      型的辨識性,提出了一個衡量辨識性的必要但非充分的辨識條
      件計算法則t法則(t-Rule)。
     測量資料數(the numbers of data points; DP)
                 1
              t  ( p  q)( p  q  1)
                 2
1.   當t<DP,稱為過度辨識(over-identified),好比我們有過多
     的方程式,但是只需要求取少數幾個因子解;
2.   當t=DP,稱為恰好辨識(just-identified),好比我們用兩個方
     程式來求二元因子的解;
3.   當t>DP,稱為辨識不足(under-identified),如同我們用太少
     的方程式求取過多的因子解,在SEM分析中,辨識不足的情況
     將導致無法進行任何參數估計。
Part II 參數估計
共變數推導定理

定理一:某一個變項與自己的共變即等於該變項的變異數。亦即:
  Cov(X,X)=Var(X)
定理二:經過線性整合後的變項的共變數為:
  Cov(aX+bY,cZ+dU)
  =acCov(X,Z)+adCov(X,U)+bcCov(Y,Z)+bdCov(Y,U)
定理三:經過線性整合後的變項的變異數為:
  Var(aX+bY)=Cov(aX+bY,aX+bY)
  =a2Cov(X,X)+b2Cov(Y,Y)+2abCov(X,Y)
定理四:獨立的兩個變項的線性整合後的變異數為:
  Var(aX+bY)=a2Cov(X,X)+b2Cov(Y,Y)
觀察共變的推導

 E1      V1   1         21         4    V4   E4
              2                     5
 E2      V2         F1         F2          V5   E5
              3                     6
 E3      V3                                V6   E6



 V1  1F1  E1

 V2  2 F2  E2

 定理二       計算兩個觀察變項的共變數為:
 Cov(V1,V2)=Cov( 1F1+E1, 2F1+E2)
 =12Cov(F1,F1)+1Cov(F1,E2)+ 2Cov(E1,F1)+Cov(E1,E2)
 =12Cov(F1,F1)= 12Var(F1,F1)=  1 2
       Cov(V1,V4)=Cov(1F1+E1, 4F2+E4)
       =14Cov(F1,F2)+1Cov(F1,E4)+4Cov(E1,F2)+Cov(E1,E4)
       =14Cov(F1,F2)= 1421

     Var(V1)=Cov(1F1+E1, 1F1+E1)
      = 1 Cov( F1 , F1 )  1Cov( F1 , E1 )  1Cov( E1 , F1 )  Cov( E1 , E1 )
           2


= 1Var ( F1 )  Var ( E1 )  1  1
   2                           2




         1  1
           2


           1 2      2   2
                       2

  =       1 3        2 3       3  3
                                     2


         1421      2421       3421       2   4
                                                   4
         1521      2521       3521         4 5      5  5
                                                                2


         1621      2621       3621         4 6        5 6       2   6
                                                                              6
F (Q)  ( s   ())W -1 ( s   ()
     k   g    k    i
    w               gh,ij
                                 ( s gh   gh )( sij   gh )


                                 契合函數
    g 1 h1 i 1 j 1




                                 function for fitting covariance structures

                                  加權最小平方法(weighted least-squares; WLS)

                                         F (Q)  ( s   ())W -1 ( s   ()
                                                                      k    g    k    i
                                                                    
                                                                     g 1 h 1 i 1 j 1
                                                                                           w gh ,ij ( s gh   gh )(sij   gh )
WLS基本爭議
   當觀察值數目(n)增加,矩陣的規模即快速增加,造成
    執行SEM分析的操作時間與複雜度。例如當n=20,W矩
    陣共有22155個元素。
   當存在著遺漏值時,估計的進行會因為遺漏的型態而影
    響,須使用列出排除法(listwise deletion)而非配對排
    除法(paired deletion),將具有遺漏值的樣本去除,此
    時將造成樣本的流失與流失一致性的問題。
   配合W矩陣權數不同的估計法,整個SEM分析需要大量
    的樣本數,動輒數百至數千人,提高實際操作的難度。
   WLS法必須建立在一定的統計假設之上,例如當觀察變
    項的常態分配假設違反時,統計檢定正確性可能違反,
    WLS的結果將被扭曲。
無加權最小平方法(ULS)法

   求取與S矩陣的差異(殘差矩陣)平方和
    的最小值,當所有的觀察變項有類似的測
    量尺度時,適合使用此一方法。


       FULS
               1
               2
                   
               tr (S  Σ()) 2   
一般最小平方法(GLS)法

   一般化最小平方法(generalized least
    squares)的基本原理也是使用差異平方和的
    概念,只是在計算每一個差異值時,同時計算
    了一個特定的權數用以整合個別的比較值。



       FGLS        
               tr (S  Σ())W 1
               1
               2
                                      
                                      2
最大概似(ML)法

   觀察數據都是從母體中抽取得到的資料,
    而所抽出的樣本必須是所有可能樣本中被
    選擇的機率的最大者,若能符合此一假設,
    估計的參數即能反應母體的參數。


     FML  log Σ  log S  tr (SΣ )  
                                -1
漸近分配自由法
(Asymptotic Distribution Free)
   一種無須常態假設為基礎的參數估計法,由
    於不需考慮常態分配的問題,因此稱為分配
    自由(free)。
   ADF法也可以視為是WLS法的一種特例,利
    用W-1權數,來消除多變量常態假設的影響。



    FADF 
             1
             2
                                            
               (  1) 1 tr S  Σ()W 1   S  Σ()W 1
                                           2
                                                                 
                                                                 2
Goodness-of-fit index
                     指標名稱與性質     範圍 判斷值           適用情形

適合度指標

GFI(Bentler, 1983)                 0-1     >.90   說明模型解釋力
假設模型可以解釋觀察資料的變異數與共變數的比例

  AGFI(Bentler, 1983)             0-1*     >.90   不受模式複雜度影響
  考慮模式複雜度後的GFI

PGFI(Mulaik, 1989)                 0-1     >.90   適合估計參數較少時
考慮模式複雜度後與簡約性的GFI

NFI(Bentler & Bonett, 1980)        0-1     >.90   說明模型較虛無模型的改善程
比較假設模型與獨立模型的卡方差異                                     度

  NNFI(Bentler & Bonett, 1980)    0-1*     >.90   不受模式複雜度影響
  考慮模式複雜度後的NFI

替代性指標

  CFI (Bentler, 1988)              0-1     >.95   說明模型較虛無模型的改善程
  假設模型與獨立模型的非中央性差異                                   度特別適合小樣本

RMSEA(Browne & Cudeck, 1993)       0-1     <.05   不受樣本數與模式複雜度影響
比較理論模式與飽和模式的差距
考量樣本數與模式複雜度

AIC(Akaike, 1987)                   -     越小越好    適用於效度複核
經過簡約調整的模型契合度的波動性                                  非巢套模式比較

 CAIC(Akaike, 1987)                 -     越小越好    適用於效度複核
 經過簡約調整的模型契合度的波動性                                 非巢套模式比較

殘差分析

  RMR                               -     越小越好    瞭解殘差特性
  未標準化假設模型整體殘差

  SRMR                             0-1     <.08   瞭解殘差特性
  標準化假設模型整體殘差

				
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