Matematica in azienda by 64S2YcH

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									Curve mirabili




                     PROGETTO LAUREE
                       SCIENTIFICHE

                         Polo di Bassano




                 MATEMATICA          in   AZIENDA

                   “CURVE MIRABILI”


                                 Curve
                          che hanno segnato
                      la storia della matematica
                                scrutate
                         da un punto di vista
                   geometrico-matematico-artistico




                              a cura di

        Roberta Carminati, Graziano Gheno, Matteo Mattarolo
       Curve mirabili




                                      PRESENTAZIONE

Il presente volume raccoglie il progetto elaborato dal Polo di Bassano del Grappa composto:

       - Proff. Paolo Malesani e Tomaso Millevoi, docenti del Dipartimento di matematica
         dell’Università di Padova,

       - Proff. Roberta Carminati, Graziano Gheno, Matteo Mattarolo, docenti del L.S.S.
        “ J. Da Ponte” di Bassano del Grappa,

       - alunni :
               Monica Baggio ,Vanessa Baggio, Giulia Bizzotto, Silvia Bontorin, Daniela Dalla
                  Pria, Alice Di Berardo, Irene Donazzan, Jlenia Guazzo, Martina Santagiuliana,
                  Cristina Sartori, Michela Tollin dell’I.T.C.”Einaudi”

                       Michele Lamberti, Alessandro Meneghini, Rahmani Shpend dell’I.T.I. “Fermi”

                       Paolo Frigo, Eva Lanaro, Giulio Ragazzon, Daniele Tartaglia, Gaia Vanzo,
                        Tommaso Zorzi del L.S.”J. da Ponte”

       - Maestro Prof. Amedeo Fiorese


Il progetto si riferisce allo studio di alcune curve geometriche che hanno fatto la storia della
matematica osservate anche con occhio artistico e si è articolato nelle seguenti fasi:

        Studio e analisi di luoghi geometrici effettuati dai Proff. P. Malesani e T. Millevoi
         dell’Università di Padova

        Studio e analisi, partendo dai ‘ tre problemi classici ‘ sorti nella Grecia del V e IV a.C., di
         curve che hanno segnato la storia della matematica effettuati dai Prof. R.Carminati,
         G.Gheno, M.Mattarolo del Liceo “J. Da Ponte”

        Tecniche compositive, materiali espressivi e forme geometriche elaborati nella produzione
         artistica dal Maestro Prof. A. Fiorese

        Produzione di “forme mirabili” da parte degli alunni
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                                              RINGRAZIAMENTI


Desideriamo vivamente ringraziare:

-- il Prof. Benedetto Scimemi del Dipartimento di Matematica di Padova, responsabile
   regionale del P.L.S. per la stima e il sostegno datoci in questi tre anni di lavoro.

-- i Proff. Paolo Malesani e Tomaso Millevoi per la preziosa collaborazione

-- il Maestro Prof. Amedeo Fiorese per il vissuto artistico raccontato

-- gli alunni: Monica Baggio ,Vanessa Baggio, Giulia Bazzotto, Silvia Bontorin, Daniela Dalla
    Pria, Alice Di Berardo, Irene Donazzan, Jlenia Guazzo, Martina Santagiuliana, Cristina
    Sartori, Michela Tollin, Michele Lambert, Alessandro Meneghini, Rahmani Shpend, Paolo
    Frigo, Eva Lanaro, Giulio Ragazzon, Daniele Tartaglia, Gaia Vanzo, Tommaso Zorzi che
    sono stati “ l’anima “del progetto

-- Il Prof. Gaetano Sicilia D. S. del Liceo “J. da Ponte” per il suo contagioso entusiasmo nel
   sostenere il progetto

--- Il Prof. Giovanni Pone e l’Ing. Luigi Mottin Dirigenti Scolastici rispettivamente
    dell’Istituto Tecnico Commerciale ‘ Einaudi ‘ e Istituto Tecnico Industriale ‘ Fermi ‘ per
    l’adesione delle loro scuole al progetto.

--- Il Dott. Luigi D’Agrò per l’attenzione e il sostegno al progetto in questi tre anni.

 Un ringraziamento particolare a:



                che hanno finanziato la pubblicazione del presente volume.




                Il presente lavoro è disponibile nei siti:                            www.liceodaponte.it
                                                                                      www.mathesis.irio.net

     Ci scusiamo anticipatamente con i nostri lettori per inesattezze e imprecisioni che inevitabilmente costelleranno questo lavoro.
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                                         Sommario
Introduzione

                 -- Strategie per l’apprendimento delle scienze     pag. 7
                 -- Un matrimonio che si può fare
                 -- Una collaborazione che si consolida nel tempo       9
                 -- Il Maestro A. Fiorese al “da Ponte”

Abstract


Riga e compasso in Platone

                 1) Costruzioni con riga e compasso
                 2) Impossibilità di duplicare il cubo
                 3) Impossibilità di trisecare un angolo
                 4) Impossibilità di quadrare un cerchio


Coniche

                 1)   Apollonio e le sue coniche
                 2)   Coniche: sezione tra cono e piano
                 3)   Coniche: ‘ ombra ‘ di una sfera
                 4)   Coniche: sia ‘ sezione ‘ sia ‘ ombra ‘
                 5)   Eccentricità di una conica


Duplicazione del cubo

                      1)   Ippocrate e il suo metodo di riduzione
                      2)   Menecmo e le sue coniche
                      3)   Nicomede e la sua concoide
                      4)   Diocle e la sua cissoide
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Trisezione di un angolo

                     1)   Ippia e la sua trisettrice
                     2)   Pappo e la sua iperbole
                     3)   Nicomede e la sua concoide
                     4)   Etienne Pascal e la sua lumaca
                     5)   Archimede e la sua spirale


Cicloide

                     1)   La bella ‘ Elena ‘
                     2)   Fermat e la retta tangente
                     3)   Cartesio e la retta tangente
                     4)   Torricelli e l’area cicloidale
                     5)   Johann Bernoulli e la curva brachistocrona
                     6)   Huygens e la curva isocrona

Spirale logaritmica

                     1) Sezione aurea di un segmento
                     2) Successione di Fibonacci
                     3) Spirale logaritmica
                     4) Spirale aurea con riga e compasso

Il Maestro A. Fiorese


‘ Forme mirabili ‘ elaborate dagli alunni

Bibliografia
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               Strategie per l’apprendimento nelle scienze
Molto spesso la disaffezione degli studenti allo studio delle discipline scientifiche nasce sui banchi

di scuola.

Mi sono chiesto, allora, quali strategie didattiche implementare nella scuola per sviluppare

l’interesse per la ricerca scientifica - come collegare, insomma, l’acquisizione teorica con

l’applicazione tecnologica, utile a dare un senso all’apprendimento scientifico.

E’ necessaria forse una totale inversione di tendenza?

Dal mio modesto osservatorio occorre una sorta di innovazione didattico-metodologica in grado di

superare quella vetusta concezione della separatezza tra cultura umanistica e scientifica a favore di

una cultura pluridisciplinare impostata magari su tematiche esperienziali vissute nella quotidianità.

Questo lavoro – che ho l’onore di presentare – ha tutto il merito di aver interpretato la strada che il

Liceo “J. Da Ponte”, l’ITIS “E. Fermi” ed il ITC “L. Einaudi” possono seguire, ovvero potranno

seguire lungo il percorso formativo, se sapranno coniugare competenze fondamentali di base con

attività laboratoriali.

Aver saputo interpretare, infatti, talune opere ‘artistiche ‘ in un linguaggio matematico è

l’espressione più alta di come il tanto declarato inutile teorico possa essere invece giustificato nel

contesto del concreto esistenziale: non a caso tutto ciò che è teorico è ritenuto lontano dal mondo

esperienziale degli alunni e dalla loro motivazione ad apprendere.

Il piacere della scoperta è, forse, per gli studenti una molla per l’apprendimento, per cui è

soprattutto a loro che va l’apprezzamento per l’interesse, l’entusiasmo e le competenze prodigate in

questo prezioso contributo.



                                                    IL DIRIGENTE SCOLASTICO

                                                         Dott. Prof. Gaetano Sicilia
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                         Un matrimonio che si può fare
            Matematica e arte: un binomio possibile? Si direbbe ancora una volta di sì,
     guardando la produzione dei lavori realizzati, nell’ambito del progetto “Lauree
     Scientifiche” del Polo di Bassano.
     Nell’antichità era così: le proporzioni degli edifici architettonici rette dai numeri, come
     quelle sottostanti alle sculture. Così per i filosofi – Pitagora in primis – capaci di intuire il
     “divino” grazie alla simbologia numerica, ma pronti anche a riconoscere, nello slancio di
     un’abside o nel profilo di un arco, l’armonia, sublime aspirazione dell’uomo e ad un tempo
     sicuro elemento costitutivo della bellezza.
            Visione classica, senz’altro, ma visione che è possibile rivivere anche oggi sui banchi
     di scuola, se un gruppo di insegnanti di matematica, medio superiori e universitari, uniti
     dalla medesima passione, dialoga con i colleghi delle materie letterarie, filosofiche e
     artistiche. Scopo dichiarato: far percepire agli studenti, attraverso percorsi personali,
     improntati alla scoperta e alla creatività, la bellezza e le “regole”profonde di una disciplina
     considerata dai più assolutamente ostica. Scoprire, appunto, non sentirlo “raccontare”, sia
     pure dal più raffinato dei critici o storici dell’arte, né leggerlo su un manuale di letteratura
     latina, come all’interno di un cammino che consente all’uomo di oggi di ripercorrere le
     strade che l’umanità ha tracciato durante la faticosa, ma esaltante, via dell’invenzione.

           Questi giovani del Liceo Scientifico “J. Da Ponte”, dell’Istituto Tecnico Industriale
     “ Fermi” e dell’Istituto Tecnico Commerciale “Einaudi”, guidati dai propri insegnanti, si
     mostrano allora capaci di comprendere il valore del nesso tra matematica e arte e di
     reinterpretarlo alla luce della sensibilità dei moderni, o per meglio dire, della post-
     modernità.
     Tutto ciò è stato possibile grazie ad uno studio rigoroso, ma confidando anche
     nell’intuizione e nella capacità inventiva, non più mortificata da modalità di insegnamento
     improntate a pratiche passivanti, ma esaltata, al contrario, da suggerimenti che lasciano
     spazio alla libertà.

          Questo dimostra che, se si può imparare la matematica padroneggiandone il dominio
     cognitivo, cosa senz’altro utile per le scienze applicate, quelle in cui l’homo economicus o
     l’homo faber è chiamato oggi massimamente ad esprimersi, scoprire altri volti di una
     materia considerata spesso incomprensibile, grazie alla dimensione storica della stessa,
     può aprire davvero orizzonti di creatività in grado di dare voce e spazio ad esigenze
     profonde dell’anima che parlano ai contemporanei come hanno parlato in passato.

           A queste voci e a questi spazi oggi si vuole dare piena cittadinanza nell’ambito della
     progettualità scolastica, nella speranza che esempi come questi, di didattica viva, di
     didattica partecipata, non restino isolati, ma costituiscano germi di future, fruttuose altre
     esperienze.

                                                           Gianna Miola
                                                       Dirigente USR per il Veneto
     Curve mirabili




                      Una collaborazione che si consolida nel tempo

Nel mese di novembre 2007, presso il Liceo Scientifico “J. Da Ponte” di Bassano del Grappa, i
professori Paolo Malesani e Tomaso Millevoi dell’Università di Padova, Dipartimento di
Matematica, hanno dato l’avvio al Progetto Lauree Scientifiche. Il loro contributo si è concretizzato
nel tenere al Liceo Scientifico “J. Da Ponte” quattro lezioni rivolte agli allievi dei tre Istituti
Superiori coinvolti nel Progetto.
A questi studenti è capitata così la favorevole opportunità di apprendere, in una dozzina di ore di
lezione, utili insegnamenti e una efficace sintesi sull’argomento di geometria “luoghi geometrici”.

La chiara fama dei relatori, la passione e l’entusiasmo per gli argomenti trattati, unitamente alla
loro ricca e poliedrica esperienza, maturata in decenni di insegnamento universitario, hanno
prodotto negli studenti un positivo interesse e una chiara visione di sintesi sull’argomento.

Il docente Prof. Malesani, partendo dalla definizione di luogo geometrico, ha percorso un originale
cammino algebrico – analitico che ha condotto gli allievi a comprendere, in modo motivato e con
convinzione, la retta e le curve circonferenza, parabola, elisse e iperbole. Le costruzioni grafiche
sono risultate conseguenza delle corrispondenti definizioni di luoghi geometrici, con
l’arricchimento delle proprietà matematico – geometriche specifiche di ogni curva. Nell’esposizione
sono emerse, in forma spontanea e sentita, valutazioni anche sulla bellezza e sull’armonia legate a
questi luoghi geometrici. Viene sottolineato che non casualmente insigni matematici e fisici del
passato, da Archimede a Pascal, da Galilei a Bernoulli, si sono interessati a queste curve e
valutandone la elegante e funzionale forma, hanno cercato di applicarle in ambito fisico, strutturale
e decorativo.

Molto interessante il metodo con cui il Prof. Millevoi ha trattato le sezioni coniche. Partendo
dall’equazione di 2° grado in due variabili ha spiegato che essa può rappresentare, a seconda del
valore numerico e del segno dei coefficienti, tre tipi di curve: una ellisse (o un cerchio), una
iperbole, una parabola, oppure due rette, o una retta, o un punto, o, infine, nessun luogo geometrico.
Il docente patavino con efficacia proponeva le questioni geometriche, oggetto della lezione,
coinvolgendo l’interesse e anche la curiosità degli ascoltatori.
Utilizzando chiarezza nell’esposizione, di volta in volta venivano introdotti riferimenti e aneddoti
storici legati agli argomenti trattati, particolarmente interessanti e molto apprezzati dagli allievi. A
costoro veniva simpaticamente negato un tranquillo e passivo ascolto della lezione, in quanto il
docente rivolgeva frequentemente domande scegliendo casualmente l’interlocutore.
.
 Curve mirabili




                  Il Maestro Amedeo Fiorese al “ da Ponte”

Il Progetto Lauree Scientifiche ( P.L.S. ), di durata biennale, partito nel settembre 2005 per
iniziativa del Ministero dell’Istruzione, avente per finalità l’incremento delle iscrizioni
universitarie alle facoltà scientifiche, a giugno 2007 aveva esaurito il suo compito.
A vedere i numeri delle iscrizioni 2007 in Matematica all’Università di Padova si direbbe bene
anche! ( è tutto da dimostrare che l’inversione di tendenza sia merito del progetto P.L.S. ).

Noi del Liceo ‘ da Ponte ‘ siamo stati invitati a partecipare al progetto dal Prof. B. Scimemi,
Coordinatore per la Regione Veneto per Matematica poichè allora partecipavamo a un progetto
dell’IRRE organizzato dalla Prof.ssa Margherita Motteran, il cui Direttore era proprio il Prof. B.
Scimemi.

Il progetto P.L.S. nell’intento di recuperare nuovi talenti allo studio delle materie scientifiche,
anche in prospettiva generale di crescita e sviluppo, proponeva una sinergia tra Impresa-
Università- Scuola Superiore.

Noi ricordiamo ancora la data dell’11 novembre 2005 data in cui, nell’ambito del P.L.S., si era
tenuto a Verona un convegno; in quella sede il Prof. Stevanato del Dipartimento di Chimica
Dell’Università Cà Foscari delineava quelle che dovevano essere le linee guida del progetto.

Erano esattamente quelle che tra di noi avevamo già concordato:

-- scelta di una problematica
-- sua modellizzazione da parte di Docenti universitari
-- sviluppo di elementi teorici da parte di Docenti del liceo
-- illustrazione del problema da parte dell’Azienda
-- elaborazione di strategie risolutive da parte degli alunni
-- discussione finale tra i partecipanti al progetto.

E’ quello che abbiamo fatto nei due anni di validità del progetto.

Per l’a.s. 2007/08 il Progetto da carattere nazionale doveva essere programmato a livello
regionale. Ma come si sa, i tempi della efficienza non sempre coincidono con quelli della
politica. Per cui per quest’anno non si doveva proseguire nel lavoro che tutto sommato ci aveva
dato, da un punto di vista professionale, anche tante soddisfazioni.

Tuttavia a settembre 2007 il Prof. B. Scimemi ci informa che c’era la possibilità di continuare il
progetto a patto di poterlo chiudere entro dicembre 2007.
Che fare!
Spronati dal nostro nuovo Preside Prof. G. Sicilia ci siamo recati a Padova dal Prof. B.
Scimemi per l’input al progetto e per riottenere come tutors i Proff. P. Malesani e B. Viscolani
con i quali avevamo lavorato i primi due anni. Per impegni di lavoro il Prof. B. Viscolani non
poteva essere presente ed era pertanto sostituito dal Prof. T. Millevoi.
  Curve mirabili




Consapevoli della atipicità del P.L.S. per questo anno scolastico, forti della presenza dell’illustre
‘geometra’ dell’Università di Padova Prof. T. Millevoi, decidiamo allora di uscire dai canoni
standard seguiti nei due anni precedenti e di affrontare un argomento che ha sempre affascinato
ed appassionato l’animo di noi giovani studenti di matematica:

            le curve geometriche che hanno scandito la storia della matematica nei secoli.

Per questo argomento ci mancava però l’interlocutore azienda!
Che fare?
Un ricordo!
Ogni volta che si percorre la strada che da Bassano porta a Marostica, una volta imboccata via
Vicenza, non si può non rimanere colpiti da quelle forme ‘ ardite ‘ , non usuali per le produzioni
in ceramica che accompagnano il viandante che si inoltra nelle terre a sud ovest di Bassano.

In quelle forme si colgono ‘ curve geometriche artistiche’ per cui l’associazione con le nostre
intenzioni è immediata. Solo il tempo di illustrare il nostro progetto che dal Prof. A. Fiorese
otteniamo un sì entusiasta!

A noi il Prof. A. Fiorese piace chiamarlo Maestro non tanto per la competenza, la passione,
l’amore che lascia trasparire dal suo lavoro ma per la modestia e la semplicità che trasmette al
proprio interlocutore e soprattutto per il vissuto artistico fatto di aneddoti, di ricordi giovanili, di
tecniche compositive tipiche di un artigianato di Bottega ormai in disuso.

Il suo comportamento asciutto ma di sostanza, la semplicità nel proporsi, i riferimenti continui
all’importanza della formazione, i costanti richiami ai valori positivi che devono accumunare
nei processi educativi uniti alle doti artistiche che non siamo certamente noi a scoprire hanno
costituito la parte nuova ma non certo meno significativa del nostro lavoro.

Siamo dunque riconoscenti al Maestro Prof. A. Fiorese per aver coinvolto e catturato
l’attenzione e la stima degli alunni del progetto. Basti pensare che la sua disponibilità, del tutto
gratuita, data inizialmente per un solo incontro si è protratta, su richiesta degli alunni a ben
quattro momenti.
Curve mirabili




                                         Bibliografia
G. Bagni: Dopo larte de Labbacho        Ateneo di Treviso

G. Bagni: Storia della matematica

E. Bell: I grandi matematici            Sansoni

C. Boyer: Storia della matematica Mondadori

U. Bottazzini; P.Freguglia, L. Toti Rigatelli: Fonti per la storia della matematica

F. Enriques: Questioni riguardanti le matematiche elementari

W.Hatcher: Fondamenti della matematica Boringhieri

L. Hoghen: Il cammino della scienza Sansoni

M.Kline: Storia del pensiero matematico Feltrinelli
Curve mirabili




ABSTRACT


                 Il progetto Lauree Scientifiche-Matematica Polo di Bassano si articola
                 nelle seguenti fasi:

                    Studio e analisi di luoghi geometrici effettuati dai Proff. P.
                     Malesani e T. Millevoi dell’Università di Padova

                    Studio e analisi di curve geometriche che hanno segnato la storia
                     della matematica, partendo dai ‘ tre problemi classici’ sorti nella
                     Grecia del V, IV secolo a.C., effettuato dai Proff. R.Carminati,
                     G.Gheno, M.Mattarolo del Liceo “J. Da Ponte”

                    Tecniche compositive, materiali espressivi e forme geometriche
                     elaborate nella sua produzione artistica da parte del Maestro Prof.
                     A. Fiorese

                    Produzione di “forme mirabili” da parte degli alunni
     Curve mirabili




                  RIGA E COMPASSO
                                                IN
                                PLATONE

“ Platone riteneva che un abisso separasse gli aspetti teorici da quelli di calcolo e così anche nella
geometria abbracciava la causa della matematica pura, contrapponendola alle idee materialistiche
dell’artigiano e del tecnico.
Plutarco,nella vita di Marcello, parla della indignazione di Platone per l’impiego di mezzi
meccanici nelle dimostrazioni geometriche.
A quanto pare Platone considerava l’impiego di tali mezzi come ‘la pura e semplice corruzione e
distruzione di ciò che v’era di buono nella geometria, che voltava così vergognosamente le spalle
agli oggetti incorporei dell’intelligenza pura.’
Può darsi quindi che Platone sia stato, di conseguenza, il principale responsabile della restrizione
nella geometria greca a quelle costruzioni geometriche che potevano essere effettuate usando
soltanto riga e compasso.
E’ probabile che la ragione di tale limitazione risiedesse non tanto nella semplicità degli strumenti
usati per costruire rette e cerchi, quanto piuttosto nella simmetria delle configurazioni; ognuno
degli infiniti diametri di un cerchio costituisce una retta di simmetria della figura, e ogni punto di
una retta di estensione infinita può venire concepito come centro di simmetria, così come qualsiasi
perpendicolare alla retta data è una retta rispetto alla quale la retta data è simmetrica.
La filosofia platonica, con la sua ipostatizzazione delle idee, nel senso di attribuire natura
sostanziale e divina, doveva assegnare alla retta e al cerchio un ruolo privilegiato fra tutte le altre
figure geometriche. “
     Curve mirabili




 1) Costruzioni con riga e compasso
Il V secolo a.C. è da ritenersi un periodo fecondo per la civiltà occidentale: esso inizia con la
disfatta degli invasori persiani nell’Antica Grecia e si conclude con la resa di Atene a Sparta.
Tra questi due eventi si estende l’età di Pericle contrassegnata da grandi capolavori nella letteratura
e nell’arte.

La prosperità economica e l’atmosfera intellettuale di Atene durante quel periodo attrassero
numerosi scienziati e studiosi da tutte le parti del mondo greco, portando alla realizzazione di una
sintesi di mentalità diverse.

Dalla Ionia arrivarono uomini come Anassagora dotati di mentalità pratica, dall’Italia meridionale
altri, come Zenone, con forti inclinazioni metafisiche.

Molteplici pure le posizioni filosofiche: Democrito di Abdera presentava una concezione del mondo
materialistica, mentre Pitagora in Italia proponeva una concezione idealistica nel campo della
scienza e della filosofia.

Ad Atene dunque dominava un audace spirito di libera indagine che qualche volta andava in
conflitto con istituzioni e idee consolidate dalla tradizione.

Anassagora, per esempio, fu imprigionato ad Atene con l’accusa di empietà in quanto sosteneva che
il sole non era una divinità, ma solo una grossa pietra incandescente.

Pure Socrate inizialmente era stato attratto dalle idee scientifiche di Anassagora, ma, in seguito, alla
concezione naturalistica preferì la ricerca di verità etiche.

L’età “eroica” della matematica greca si ebbe a partire dal IV secolo a.C.

Colui che caratterizzò la matematica in quel periodo fu Platone; l’Accademia di Atene al cui
ingresso si leggeva “nessuno entri se non è geometra” divenne il centro della matematica e da
questa provennero tutti gli studiosi di matematica dell’epoca.
Platone sosteneva che la vera conoscenza è quella delle idee, oggetti sia della matematica che della
filosofia, la cui esistenza, indipendentemente dalle nostre menti, è un mondo a sé stante. Il mondo
dell’esperienza è solo un riflesso del mondo delle idee e la matematica non si riferisce ad oggetti
concreti, ma ad oggetti ideali

Della geometria quindi non venivano perseguite finalità pratiche; non è più la geometria empirica
degli egiziani, legata a concreti problemi di misurazione del terreno e consistente in un numero di
regole pratiche per la misurazione e la costruzione di alcune figure geometriche semplici, diventa
una scienza razionale, staccata da ogni esigenza applicativa .
“Gli esperti di geometria utilizzano figure visibili e costruiscono su di esse le dimostrazioni non
pensando però a queste bensì ai loro modelli: eseguono i calcoli sul quadrato e sul diametro in sé
non su quelli che stanno tracciando e così via” [Repubblica, libro VI]
       Curve mirabili




Tale atteggiamento ebbe una notevole influenza sulle costruzioni geometriche.
Quello che si deve cercare non è una costruzione perfetta perché gli strumenti comportano sempre
degli errori, ma una costruzione teoricamente perfetta, cioè perfetta per le figure geometriche ideali
delle quali i disegni sono solo una rappresentazione fisica.
Pare che proprio Platone volesse che nella costruzione di figure geometriche si facesse uso solo
della riga e del compasso poiché tali strumenti permettevano di tracciare “le linee perfette”.

Così facendo la riga e il compasso si potevano considerare come strumenti “ideali” e pertanto la
risoluzione di problemi con il loro uso prescindeva dalla materialità delle costruzioni e dai livelli di
approssimazione attinenti all’uso di strumenti meccanici.

In questo contesto vengono affrontati ‘ i tre problemi classici ‘ che hanno caratterizzato la storia
della matematica fino al 1800, e cioè:
      la quadratura del cerchio che consiste nel costruire un quadrato equivalente ad un cerchio
       dato,
      la duplicazione del cubo che consiste nel costruire un cubo di volume doppio di uno dato,
      la trisezione di un angolo che consiste nel costruire un angolo la cui ampiezza sia un terzo
       dell’angolo dato.

La ricerca della soluzione di questi tre problemi ha profondamente influenzato la geometria e ha
prodotto nel mondo greco importanti scoperte, come le sezioni coniche e curve di terzo e quarto
grado.
Successivamente per molti secoli ancora questi problemi furono analizzati con il medesimo tipo di
approccio finché, dal 1600 in poi, si cominciò a mettere in crisi le strade battute in passato; si pensò
che si poteva dimostrare l’impossibilità di risolvere in modo elementare i tre problemi .
Solo nel corso del XIX sec. grazie alla teoria delle equazioni di Gauss, Abel e Galois, unita al
contributo notevole precedentemente dato dalla geometria analitica si chiuse in modo definitivo la
questione dimostrando in modo formale la loro non risolubilità utilizzando solo riga e compasso
usati ‘in modo classico ‘.

Si ricorda che nel ‘ modo classico’
              la riga può essere utilizzata solo per costruire:
                     -- il segmento tra due punti
                     -- una retta per un punto o per due punti
       mentre
               il compasso può essere usato per costruire
                       --una circonferenza dato il centro e il raggio.
L’uso della riga o del compasso fuori da queste tre costruzioni è detto ‘non classico ‘.
E’ quindi è ‘ non classico ‘ per esempio:
                  -- l’uso della riga graduata
                  -- l’uso del compasso per portare sul piano distanze predefinite

Nel seguito, quando si parlerà di costruzioni con riga e compasso, salvo diversa indicazione, si
intenderà che siano condotte ‘ in modo classico ‘.
     Curve mirabili




 riga e compasso in ambito geometrico

Con la sola riga si può:

       1. dato un punto A costruire una qualsiasi retta per A

       2. dati due punti A e B costruire la retta per A e B

       3. costruire il punto comune a due rette


Con il solo compasso si può:

       4.     dati due punti A e B costruire la circonferenza di centro A e raggio AB

       5. individuare gli eventuali punti di intersezione tra due circonferenze


Con la riga e il compasso si può:

       6. individuare gli eventuali punti di intersezione fra una retta data e una circonferenza



 riga e compasso in ambito analitico
    Le precedenti sei costruzioni geometriche si traducono rispettivamente nelle sei azioni
    analitiche:

      1. determinazione dell’equazione di una retta per un punto A

      2. determinazione dell’equazione della retta per due punti A e B

      3.     risoluzione di un sistema di primo grado in due equazioni due incognite

      4. determinazione dell’equazione di una circonferenza di dato centro e raggio

      5. risoluzione di un sistema di quarto grado in due equazioni due incognite

      6. risoluzione di un sistema di secondo grado in due equazioni due incognite
      Curve mirabili




   Analisi delle sei costruzioni geometrico-analitiche


        1. Problema:
              dato un punto A(xA , yA ) costruire una retta qualsiasi per A.

          La risoluzione richiede
          --per via geometrica: l’uso della sola riga
          --per via algebrica: l’uso delle operazioni di : -addizione
                                                           -sottrazione
                                                           -moltiplicazione
                                                           -divisione

        2. Problema:
                dati A(xA , yA ) e B A(xB , yB ) costruire la retta per A e B

             La risoluzione richiede
               --per via geometrica: l’uso della sola riga
               --per via algebrica:l’uso delle operazioni di: -addizione
                                                              -sottrazione
                                                              -moltiplicazione
                                                              -divisione

        3.     Problema:
                  dati A(xA , yA ), B(xB , yB ), C(xC , yC ), D(xD , yD ) costruire il punto comune
                   alle rette AB e CD

             La risoluzione richiede
               --per via geometrica: l’uso della sola riga
              --per via algebrica: l’uso delle operazioni di: -addizione
                                                              -sottrazione
                                                              -moltiplicazione
                                                              -divisione

        4.     Problema:
                  dati i punti A(xA,yA ), B(xB,yB ) costruire la circonferenza di centro A e
                  raggio AB.

             La risoluzione richiede
              --per via geometrica: l’uso del solo compasso
              --per via algebrica: l’uso delle operazioni di: -addizione
                                                              -sottrazione
                                                              -moltiplicazione
                                                              -divisione
                                                              - potenza
Curve mirabili




  5. Problema:
        dati i punti A(xA , yA ), B(xB , yB), C(xC , yC), D(xD , yD) dopo aver costruito la
        circonferenza di centro A e raggio AB e quella di centro C e raggio CD,
        determinare gli eventuali loro punti comuni.

       La risoluzione richiede
          --per via geometrica: l’uso del solo compasso
          --per via algebrica: l’uso delle operazioni di:- addizione
                                                         - sottrazione
                                                         -moltiplicazione
                                                         -divisione
                                                         - potenza
                                                         -estrazione di
                                                           radice quadrata

  6.    Problema:
           dati i punti A(xA, yA), B(xB ,yB ), C(xC, yC ), D(xD, yD ) dopo aver costruito la
           retta per A e B e la circonferenza di centro C e raggio CD, determinare gli
           eventuali loro punti comuni.

       La risoluzione richiede
         --per via geometrica: l’uso della riga e del compasso
         -- per via algebrica: l’uso delle operazioni di: -addizione
                                                          -sottrazione
                                                          -moltiplicazione
                                                          -divisione
                                                          -potenza
                                                          -estrazione di
                                                           radice quadrata
     Curve mirabili




 2) Impossibilità di duplicare il cubo
In base alle considerazioni sopra esposte si dimostra

                       l’impossibilità di risolvere il problema della duplicazione del cubo

utilizzando solo riga e compasso.

Infatti,
           siano a, b, c  K0
           ( K0 rappresenta l’insieme dei punti del piano e la misura dei segmenti );

           Con l’uso della sola riga si riescono a determinare elementi del tipo
                                                                              a+b
                                                                              a-b
                                                                              ab
                                                                              a  b con b ≠ 0
           che sono sempre elementi di K0.


           Mentre con
                 l’uso del compasso si riescono anche a determinare elementi del tipo
                                                                                          a2
                                                                                           c
           In questo caso si ottengono nuovi numeri, individuati da c , che
                             non sono elementi di K0.
           Pertanto i numeri del tipo e + f c , con e ed f elementi di K0 , vanno a costituire un
           nuovo insieme di numeri costruibili con riga e compasso, rispetto al quale K0 è un
           sottoinsieme.
           Indichiamo con K1 questo nuovo insieme i cui elementi siano a1, b1 , c1 , …
           In K1 si possono ripetere le stesse osservazioni fatte in K0.
           Pertanto indicati con a1 , b1, c1, elementi di K1
           con
                 l’uso della sola riga si possono ottenere elementi del tipo
                                                                             a1+ b1
                                                                             a1-b1
                                                                             a.1  b1
                                                                             a1  b1 con b1 ≠ 0
           mentre con
                   l’uso del compasso si riescono anche a determinare elementi del tipo
                                                                                          a12
                                                                                            c1
                                                    4
                      in cui   c1 , è uguale alla       c.
     Curve mirabili




            I numeri del tipo e1 + f1 c1 , con e1 ed f1 appartenenti a K1 , costituiscono un
            nuovo insieme di numeri costruibili con riga e compasso, nel quale K1 è un suo
            sottoinsieme.
            Indicato con K2 questo nuovo insieme si possono ripetere le stesse osservazioni
            fatte in K1 ottenendo successivamente nuovi insiemi numerici K3, K4 , K5 , …

            In generale,
                partendo da un generico insieme Kn con l’utilizzo della sola riga si
                costruiscono elementi appartenenti ancora allo stesso insieme, mentre l’uso del
                compasso porta ad introdurre nuovi elementi che si ottengono facendo la radice
                quadrata degli elementi dati.

Pertanto usando il compasso si possono sì ricavare nuovi numeri, rispetto ai precedenti, ma questi
sono sempre e solo la radice di indice pari di un qualsivoglia numero appartenente all’insieme di
partenza K0 e mai una sua radice a indice dispari.
E’ per questo motivo che il problema della duplicazione del cubo con l’utilizzo della sola riga e
del solo compasso non è possibile.

Infatti,
           preso un elemento an di Kn con l’uso della sola riga e compasso non si otterrà mai
           3
             √an.
    Curve mirabili




 2) Impossibilità di trisecare l’angolo
Utilizzando solo riga ed compasso già i matematici greci erano riusciti sia a bisecare l’angolo, sia
                                                  m
a trisecare alcuni angoli particolari del tipo α = k con m, k  N
                                                   2
Infatti,
         se l’angolo è di 90° si può prima determinare un angolo di 60°, attraverso la costruzione di
un triangolo equilatero, e poi bisecarlo.

Partendo da questa costruzione si possono allora trisecare sia gli angoli multipli di 90°
( è sufficiente costruire opportuni multipli di 30° ) sia gli angoli ottenuti bisecando l’angolo di 90° e
continuando a bisecare gli angoli via via ottenuti.

                     In generale tuttavia la trisezione dell’angolo è impossibile.

   Solo nel 1837, Pierre Laurent Wantzel ( 1814 – 1848 ) dimostrò, con un procedimento
    algebrico, che esistono angoli che non possono essere trisecati con riga e compasso.

    Come abbiamo già visto, utilizzando solo riga e compasso, usati in ‘modo classico ‘, da un
    punto di vista algebrico-analitico si possono costruire equazioni e sistemi le cui soluzioni non
    possono rappresentare tutti i punti del piano.
    Ora, se l’angolo da trisecare è α, ricordando le formule di triplicazione della goniometria si ha:

                                                   3 tan g ( / 3)  tan g 3 ( / 3)
                                    tan g ( )                                      ;
                                                         1  3 tan3 g ( / 3)

    ponendo quindi a = tang(α) e x = tang(α/3) si ottiene

                                              x3 – 3ax3 – 3x + a = 0

    equazione questa che, salvo casi particolari, è irriducibile.

    Da un punto di vista geometrico,
                                         ciò equivale ad affermare che, salvo i casi particolari
                                         sopra esposti, è impossibile trisecare l’angolo.
     Curve mirabili




 4) Impossibilità di quadrare un cerchio

Sulla quadratura del cerchio a partire dal IV secolo a.C. per oltre 2200 anni si sono cimentati
inutilmente generazioni di matematici a tal punto che questo problema divenne addirittura
proverbiale per le cose impossibili.

Dante nel XXXIII canto del Paradiso così si esprime:

                      " Qual'è 'l geometra che tutto s'affige
                        per misurar lo cerchio,e non ritrova,
                        pensando, quel principio ond'elli indige,

                       tal era io a quella vista nova:
                       veder voleva come si convenne
                       l’imago al cerchio e come vi s’indova;

                       ma non eran da ciò le proprie penne:
                       se non che la mia mente fu percossa
                       da un fulgor in che sua voglia venne.”
                                                     v. 133- 141


In questi versi, Dante paragona il suo tentativo di spiegare nel Verbo la presenza contemporanea
della natura umana e della natura divina a quello dei geometri che si cimentano nella
dimostrazione della quadratura del cerchio.
Traspare inoltre che egli dia per scontato che la quadratura del cerchio sia un problema di
risoluzione impossibile dal momento che lo paragona a quello della comprensione del mistero
dell’Incarnazione.

E’ incerto il periodo in cui venne inizialmente formulato il problema della quadratura del cerchio.

I primi riferimenti storici sicuri del problema risalgono al IV secolo a.C. anche se resta incerto il
contesto in cui venne inizialmente formulato.
Infatti si racconta che il filosofo Anassagora di Clazomene ( IV secolo a. C. ) mentre era in
prigione come abbiamo accennato con l’accusa di empietà, passava il tempo cercando di quadrare
il cerchio.

Quasi nello stesso periodo Ippocrate di Chio, dopo aver risolto il problema relativo alla
quadratura delle lunule, per lungo tempo cercò di risolvere pure quello relativo alla quadratura del
cerchio.
        Curve mirabili




Certo che il problema della quadratura del cerchio è legato alla natura di π

Anche in questo caso è quasi impossibile risalire a chi per primo abbia osservato che misura della
circonferenza e misura del raggio variano in modo proporzionale.

   A partire dal 300 a. C. con Euclide (360 a. C.- 300 a. C.) viene riportato che la misura della
    circonferenza è proporzionale alla misura del raggio e che l’area del cerchio è proporzionale
    al quadrato del raggio, senza tuttavia specificare se le due costanti di proporzionalità erano da
    ritenersi diverse o uguali.

   E’ Archimede ( 287 a. C. - 300 a. C. ) il primo ad aver tentato una determinazione della
    costante di proporzionalità tra misura della circonferenza e misura del raggio.
    Egli considerando poligoni regolari inscritti e circoscritti in una circonferenza con numero di
    lati via via crescente sino a 96 riuscì a dare alla costante un valore compreso tra 3 + 10/71 e 3
    + 10/70.

   Nel corso degli anni nel tentativo di quadrare il cerchio si sono trovati per π valori sempre più
    approssimati.

   Nell’antichità la migliore approssimazione di tale costante è dovuta a Tolomeo che
    nell’Almagesto nel 150 d.C. propone il valore di 377/120 (circa 3.1416 ) ottenuta sempre con
    la tecnica dei poligoni regolari inscritti e circoscritti lavorando su poligoni di 720 lati.

   Viéte (1540 -1603) arriva a determinare nove cifre decimali usando poligoni di 216 lati.
    Sempre Viéte è il primo a dare un’espressione numerica teoricamente infinita per tale
    costante 2/π = cos(90/2) * cos(90/4) * cos(90/8) *…

   A partire dal 1706, in onore a Pitagora, il matematico scozzese W. Jones propone per tale
    costante il simbolo π e successivamente tale adozione divenne di uso comune grazie ad Eulero
    che nel 1748 in Introductio in Analysin Infinitorum scrive
    “ sati liquet Peripheriam huius Circuli in numeris rationalibus exacte exprimi non posse, per
    approximationes autem invente est… 3.14159… (128 cifre) pro quo numero, brevitatis ergo,
    scriba π, ita ut sit π = semicircnferentiae circuli, cuius radius = 1, seu π erit longitudo arcus
    180 graduum.”

   Sempre nel periodo fine 1600 - primi 1700 Newton e Leibniz trovarono numerosi sviluppi in
    serie legati a π.

   E’ nel 1761 che J. Lambert ( 1728-1777 ) dimostra che π è irrazionale.
    Questa dimostrazione tuttavia non supera la questione della quadratura del cerchio in quanto
    con riga e compasso è possibile, come abbiamo visto, la costruzione di alcuni numeri
    irrazionali.

   L’impossibilità della quadratura del cerchio solo con riga e compasso è stato risolto in modo
    definitivo solo nel 1882 da Carl Louis Lindemann ( 1852 – 1939 ) con la dimostrazione,
    attraverso tecniche di analisi superiore, che π non solo è irrazionale ma anche trascendente.
      Curve mirabili




 Quadratura della lunula di Ippocrate
In riferimento al problema della quadratura va sottolineato che la quadratura delle lunule è il primo
esempio, nella storia della matematica, di quadratura di superfici a contorno curvilineo.
Sia dato un triangolo rettangolo isoscele ABC di lato l e sia O il punto medio dell’ipotenusa.
Con centro in O si costruisca si costruisca l’arco di circonferenza BDC.
Con centro in A si costruisca l’arco di circonferenza BEC.

La figura piana delimitata dagli archi BDC e BEC si chiama lunula.



                                                                             C

                                   D
                                              E



                                                   O




                               B                                           A



Si dimostra che
               l’area della lunula BDCE è equivalente all’area del triangolo rettangolo ABC.

Infatti
                            2
          l’area ABDC vale   l perchè un quarto di cerchio di raggio l
                           4
                                                             2
                          2                                   l
          l’area BEC vale l perché metà cerchio di raggio 2
                          4

Dal momento che
               S (ABDC ) = S( ABC ) + S(BDC ) e
               S(BEC ) = S(BDC ) + S( BEC )
                                                ne consegue che
                S( ABC ) = S(BEC ) .
                                         c.v.d.
     curve mirabili




                         LE CONICHE

“ Ces corbse sont vraiment d’une fécondité inépuisable. Chaque jour ouvre des voies nouvelles a
l’étude de leurs nombreuses et intéressantes propriétiés. Que l’on ne pense pas de telles
speculations soient oiseuses, ni de mince intérêt. Chaque découverte sur ces courbes sera toujours
le prelude de découvertes plus belles et generales, qui agrandiront le rôle qu’elles jouent dans
toutes les parties des sciences mathématiques, et qui conduiront à la connaisance de propriétés
analogues dans une infinité d’autres courbes d’un ordre supérieur; propriétés aux quelles on ne
serait point conduit, en travaillant directement sue ces courbes trop compliquées et d’une etude
difficile”. [M. Chasles].
Curve mirabili




 1) Apollonio e le sue coniche
Di Apollonio si sa che era nato a Perga, in Pamfilia, all’incirca nel 262 a .C e che aveva ricevuto la
sua educazione scientifica ad Alessandria. Per un certo periodo visse anche a Pergamo, dove c'era
una Accademia e una biblioteca che in ordine di importanza veniva immediatamente dopo quella
del Museo di Alessandria.

L'opera che ha fatto sì che Apollonio diventasse noto come "il grande geometra" è intitolata Conikà
("Le coniche").
Di questo trattato in otto libri, solo i primi quattro sono pervenuti nel testo originale greco; i tre
successivi invece sono giunti a noi tramite una traduzione araba.
L'opera si compone di otto libri: i Libri I-IV ci sono pervenuti nell'originale greco; i Libri V-VII ,
invece, nella versione araba di Thabit ibn Corra; il Libro VIII è andato perduto.

Nel libro I Apollonio illustra i motivi che lo hanno portato a scrivere l'opera: mentre si trovava ad
Alessandria, era stato visitato da un geometra di nome Neucrate e fu per le sue sollecitazioni che
stese una versione affrettata delle Coniche in otto libri. Più tardi, a Pergamo, ebbe il tempo di
perfezionare ogni libro.
Apollonio considera i primi quattro libri una introduzione elementare e perciò si è avanzata l'ipotesi
che gran parte del loro contenuto fosse già apparso in precedenti trattati.
Gli ultimi quattro libri vengono descritti da Apollonio come ulteriori sviluppi degli argomenti al di
là degli elementi essenziali.
Ricordiamo che prima di Apollonio la parabola, l’ellisse e l’iperbole si ottenevano come sezione
distinte di tre particolari coni circolari retti, ad angolo al vertice rispettivamente retto, acuto od
ottuso, con un piano perpendicolare ad una generatrice.

Sembra sia stato Apollonio a dimostrare per primo che le tre coniche si potevano ottenere da un
unico cono retto, di angolo al vertice qualsiasi, semplicemente variando l’inclinazione del piano di
intersezione e quindi ‘unificando’ le tre figure stesse.

Sempre ad Apollonio è dovuta una successiva generalizzazione quando dimostrò che le tre figure si
potevano ottenere sezionando un cono qualsiasi, non necessariamente retto, con un piano.

Infine è sempre dovuta ad Apollonio l’ aver sostituito il cono a una falda ( si pensi al cono di
gelato), con il cono a due falde, o cono indefinito, di cui diede la seguente definizione

      “Se una retta, prolungatesi all’infinito e passante sempre per un punto fisso, viene fatta
       ruotare lungo la circonferenza di un cerchio che non si trovi nello stesso piano del punto
       in modo che passi successivamente attraverso ogni punto di quella circonferenza, la
       retta che ruota traccerà la superficie di un cono doppio”( o cono indefinito).

Pure il termine “ Coniche” è dovuto sempre ad Apollonio:
     “Si chiama conica la curva che si ottiene intersecando un cono indefinito con un piano”.

Questa estensione, tra l’altro, fece sì che l’iperbole assumesse la forma di curva ‘a due rami ‘ a noi
familiare .
     Curve mirabili




Per apprezzare la linearità e la completezza delle dimostrazioni condotte dal “grande geometra”
proponiamo una proposizione del suo primo libro.
Prop.XI
“Un cono sia tagliato da un piano α passante per l’asse (del cono) e da un altro piano β secante la
base del cono secondo una retta perpendicolare alla base del triangolo passante per l’asse (del
cono). Inoltre il diametro della sezione conica ( risultante) sia parallelo a uno dei lati del triangolo
passante per l’asse. (Si dimostra allora) che il quadrato di ogni segmento condotto da un punto
della sezione conica (così ottenuta) parallelamente alla retta risultante dalla intersezione fra il
piano secante β e la base del cono , fino al diametro della sezione conica , è equivalente al
rettangolo che ha per lati il segmento che sul diametro va dal vertice della conica al punto in cui
arriva sul diametro il segmento ( di cui sopra si chiede il quadrato) e un certo segmento di cui si
richiede che il rapporto tra questo e il segmento che va dal vertice del cono al vertice della conica
sia uguale al rapporto del quadrato della base del triangolo passante per l’asse del cono e il
rettangolo che ha per lati i due rimanenti lati del triangolo ( in questione ). Chiameremo tale
sezione conica parabola
                                    V




                           Z
                                      K


                                                F
                      B                               C



                                     F
La proposizione afferma che
                               AK 2  ZA * p        dove p è tale che
                                 p     BC 2
                                                si avrà quindi
                                ZV AB * AC
                                      ZA * ZV * BC 2
                               AK 2                 .
                                         AB * AC

In quest’ultima relazione le grandezze
                                          ZV, BC, AB, AC
sono costanti una volta fissato il cono e il piano α .
Da un punto di vista analitico , fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con l’asse
delle ascisse coincidente con la retta ZA e origine in Z si ha
                                                                     y2= a x
     Curve mirabili




 2) Le coniche: sezione tra cono e piano
Def.
   Un cono indefinito retto è la figura ottenuta dalla rotazione di 360° di una retta s, generatrice del
  cono, attorno ad una retta r, asse, ad essa incidente con un angolo α in un punto V.

   La retta s e il punto V sono detti rispettivamente generatrice e vertice del cono

Riprendendo la definizione di conica:
“si chiama conica la curva che si ottiene intersecando un cono indefinito con un piano”
gli enti geometrici che la caratterizzano e che utilizzeremo nel seguito sono:

                     C: cono indefinito
                     s: retta generatrice del cono
                     V: vertice del cono
                     r: asse di rotazione del cono
                     : angolo di semiapertura del cono individuato dalle rette r ed s
                     : piano secante il cono C e perpendicolare a un piano contenente r
                     : angolo  90° tra il piano  e l’asse di rotazione r:




                      s
                                     r




                                    V
                                         

                                         β
                          
     Curve mirabili




Le situazioni che si possono ottenere intersecando un cono indefinito C con un piano , si
possono così schematizzare:

                                             si  coniche degeneri




Il piano  passa per V:


                                             no  coniche non degeneri

In base a una valutazione analitica la schematizzazione precedente produce:

                                                      allora C   = V : vertice del cono

                            si                      =  allora C   = s1: una generatrice cono

                                                      allora C   = s1, s2: due generatrici cono


Coniche degeneri                                  90° allora C    ellisse

                                                 = 90°    allora C    circonferenza
                            no
                                                  =  allora C    parabola

                                                    allora C    iperbole

 rappresentazione geometrica dei sette tipi di coniche

         Coniche degeneri : il piano  passa per V

          -- α   allora C   = V : vertice del cono

                                 s       r

                                             
                                     V
                                    
Curve mirabili




     -- α =  allora C   = s1: una generatrice del cono



                          s
                                        r

                                        V
                                        =




                                            
     -- α   allora C   = s1, s2: due generatrici del cono


                      s            r


                              V
                                        

                              s1

                                                s2


    Coniche non degeneri : il piano  non passa per V

     -- α    90° allora C    ellisse


                                            s        r




                                                     V
                                                         
                                                                 
     Curve mirabili




         --    = 90°   allora C    circonferenza


                                     s           r




                                                     

                               




         -- α =  allora C    parabola



                                             s   r


                                             
                                                     

                                                     β




--    allora C    iperbole



                                         s           r

                                                     



                                                         
     Curve mirabili




 3) Le coniche: ‘ombra’ di una sfera
Le coniche, oltre che come intersezione di un cono indefinito C ed un piano , si possono ottenere
come ‘ombra’ di una sfera che intercetta un fascio di luce uscente da una sorgente puntiforme.

Si consideri la seguente situazione:

                  V:     sorgente di luce puntiforme

                  S:    sfera di diametro d


                  1: piano di appoggio della sfera S

                  O:     zona d’ombra proiettata dalla sfera sul piano 1


                  VA: raggio di luce uscente da V, tangente la sfera in H e perpendicolare
                       al piano1

                  VB: raggio di luce uscente da V, tangente la sfera in K

                  F:     punto di appoggio della sfera sul piano 1:

 La zona d’ombra O può essere vista come la sezione tra il piano 1 con il cono d’ombra che la
sorgente V genera attraversando la circonferenza di diametro HK.

                          V




                                           K
                          H
                                            S               F

                          A                             B
        1                    O
      Curve mirabili




NOTA.
    La curva che delimita la zona d’ombra, essendo sezione di un cono con un piano,
    è una conica.

Variando con continuità la posizione della sorgente V in modo tale che VA sia sempre
perpendicolare al piano 1, si ottengono le coniche precedenti.

In particolare se:

       -- VA  d  ellisse (vedi ultimo disegno pagina precedente )


       -- VA “scorre all’infinito”  l’ellisse tende alla circonferenza.



                           V




                          H                 K
                                           S

                          A                   B
         1                   O



      Osserviamo che:
          -- le generatrici VA e VB tendono a divenire tra loro parallele

            -- HK tende a divenire il diametro della sfera parallelo ad AB
Curve mirabili




    -- VA = d  parabola
              V         K


                 k

                 A                                                            B
                       F



        Osserviamo che:
             -- il raggio VK risulta parallelo al piano e quindi il suo punto d’ombra B è
                ‘ andato ‘ all’infinito .

 -- d/2  VA  d  iperbole



                               K

                        V

                        H


         B B               A       F
           1


        Osserviamo che:
             -- In questo caso è il prolungamento del raggio VK ad incontrare il
                 piano 1 : con una visione dinamica di continuità si può pensare
                 che il punto B dopo essere ‘ scappato ‘ all’infinito verso destra si
                 ripresenti ora da sinistra .
             -- La curva si compone di due rami: uno di origine A, effettivamente
                 di ombra, generato dalla circonferenza di diametro HK; l’altro di
                 origine B, ma ‘ virtuale ‘.

    VA = d/2  conica degenere ( retta )


                           V=H=K


                                   A=B    F
     Curve mirabili




 4) Le coniche: sia “sezione” sia “ombra”
Le ‘ombre di una sfera ‘ sono ‘le sezioni coniche di Apollonio’.

Consideriamo:

  un cono indefinito C e una sfera S inscritta nel cono e a questo tangente lungo una
   circonferenza, di diametro HK, che taglia la sfera in due calotte: una superiore rivolta verso il
   vertice V del cono indefinito, l’altra, inferiore, rivolta verso ‘ il basso’.

   Nel disegno sottostante è rappresentata una sezione della sfera individuata da una
   circonferenza; HK è la corda che divide la circonferenza in due archi: uno rivolto verso il
   vertice del cono e l’altro, , rivolto verso ‘il basso’.

  un piano  perpendicolare al piano contenente la circonferenza e tangente al suo arco inferiore 
   nel punto F.

  una sorgente puntiforme luminosa posta in V

Ruotando il piano  lungo  si riproducono le stesse situazioni già viste con il ‘ gioco ‘ delle
ombre.


 Circonferenza
 Se α  = 90° allora C    circonferenza




                                V

                            H        K

                                FF

                                                      F



                 La circonferenza risulta essere:
                          -- l’ombra sul piano  della circonferenza di diametro HK
                          -- la sezione di  con il cono indefinito
     Curve mirabili




 Ellisse

Se     90° allora C    ellisse




                           H                                   K


                                     C          B

                                 A         D                  O




                L’ellisse risulta essere:
                         -- l’ombra sul piano  della circonferenza di diametro HK
                         -- la sezione del piano  con il cono indefinito.

                  I punti A,B,C,D sono chiamati vertici dell’ellisse; inoltre
                  il segmento AB è chiamato asse maggiore dell’ellisse;
                  il segmento CD è chiamato asse minore dell’ellisse;
                  il punto 0 è chiamato centro dell’ellisse

Sue proprietà:

    -- e’ simmetrica rispetto al segmento AB perché questo è l’ombra del diametro HK e una
        circonferenza è simmetrica rispetto ad un qualsiasi diametro

    -- è simmetrica rispetto al segmento CD, perpendicolare ad AB, nel suo punto medio O,
       perché ombra del diametro perpendicolare ad HK nel suo punto medio.

    -- facendo diminuire con continuità l’ampiezza dell’angolo  , mantenendola tuttavia sempre
       maggiore di α,
                      -- varia la posizione del punto di tangenza F tra la sfera e il piano Π
                      -- il punto B, ombra di K sul piano , si “allontana” da A
                      -- l’asse maggiore si allunga
                      -- l’asse minore si allunga
     Curve mirabili




 Parabola
Se  =      allora C    parabola




                             K          H        A




La parabola risulta essere:
     -- l’ombra sul piano  della circonferenza di diametro HK
     --la sezione del piano  con il cono indefinito.

Il punto A è chiamato vertice della parabola

Sue proprietà

  -- L’ombra della circonferenza di diametro HK è ora una curva aperta

  -- L’ombra del punto K sul piano, cioè il punto B, è ‘andato all’infinito’

  -- L’ombra del segmento HK sul piano è una semiretta t detta
                                                  asse di simmetria della parabola

   -- La curva e’ simmetrica rispetto alla semiretta t perché questa è l’ombra del diametro HK
     Curve mirabili




 Iperbole
Se        allora C    iperbole




                                                                      B




                                 H        K                           A




L’iperbole risulta essere:
                     -- l’ombra sul piano  della circonferenza di diametro HK
                     -- la sezione del piano  con il cono indefinito.
                     -- presenta due rami:
                                           - uno reale e uno virtuale nel caso delle ‘ombre’;
                                           - tutti e due reali con le sezioni.

I punti A e B sono detti vertici dell’iperbole.
La retta AB è chiamata asse traverso dell’iperbole.
Il punto medio 0 di AB è chiamato centro dell’iperbole
La retta perpendicolare alla retta AB in O è chiamata asse non traverso

Sue proprietà

--il punto B ora si trova dalla parte opposta di F rispetto ad A
--la curva e’ simmetrica rispetto alla retta AB, perché questa è l’ombra del diametro HK
--facendo diminuire con continuità l’ampiezza dell’angolo  :
               -varia la posizione del punto di tangenza F tra la sfera e il piano π
               -il punto B, ombra di K sul piano , si è “avvicinato ” ad A
        Curve mirabili




 5) Eccentricità di una conica

Def.:
         -- direttrice (indicata con d ): la retta di intersezione tra il piano Π e il piano contenente
            la circonferenza di diametro HK ( la direttrice è perpendicolare alla retta AF)

         -- fuoco (indicato con F): il punto di tangenza tra la sfera S e il piano 



Per tutte le coniche non degeneri vale il seguente

Teorema 1:
         Preso un punto P qualsiasi,appartenente alla conica, il rapporto fra la
        sua distanza dal fuoco F e la sua distanza dalla direttrice è costante.

Dim.
   Sviluppiamo la dimostrazione considerando le coniche ad ‘ ombra’ data l’interscambiabilità
   con le coniche a ‘sezione’.
   In particolare, inoltre, consideriamo l’ombra di una ellisse dal momento che, come vedremo,
   non viene limitata la generalità della dimostrazione.

     La dimostrazione si articola in più punti:

         Si consideri la seguente situazione:
                            V




                                             K
                           H
                                             S             F

                           A                                        B
           1                  O




         Preso un punto qualsiasi P, appartenente all’ellisse, uniamo P con V;
         ( la retta PV è una generatrice del cono)
         e indichiamo con P’ il punto di tangenza fra la generatrice PV e la sfera;

         La situazione che si ottiene è sotto riportata:
Curve mirabili




                       V
                                                       P’



                                           K
                       H


                       A           F               B
    1                  O              P

        Si ha che:
                PF=PP’
                   poiché PP’ e PF sono due segmenti di tangenza condotte da P alla sfera.

       Considerato ora solo il piano 1 rappresentiamo su di esso l’ellisse e la direttrice d

                   d


                 D             A           F                    L          B

                 R                                              P


        Indichiamo con L la proiezione di P sulla retta AB
         Osservando la figura si ha che, indicato con PR la distanza di P da d,
                                          PR = LD
        Consideriamo il piano 2 parallelo al piano del cerchio di diametro HK e passante
         per P.

                           V
                                                       P’



                                           K
                       H
                                               W                         π2

                       A           F               B
    1                 T               P
   Curve mirabili




          Indichiamo con TW la proiezione di HK sul piano 2 .
           Si ottiene un tronco di cono retto avente per basi i due cerchi in esame

    Deduciamo che

                         PP’=TH

                                PF PP' TH
    Quindi                          
                                PR LD LD

       Inoltre, per il teorema di Talete, varrà:

                    H



            D        A                    L


                                    TH AH
                     T                
                                    LD AD

           Quindi, alla fine

                                   PF AH
                                        ;
                                   PR AD

           Ora poiché A, H, D sono punti fissi risulta che il rapporto

                                PF
                                   è costante;
                                PR

Nota1
    -- A tale costante si dà il nome di eccentricità, e la si indica con e.


       -- La dimostrazione è indipendente dal tipo di conica considerata in quanto nella
           dimostrazione la posizione del punto V è del tutto ininfluente.

        -- Osservando le figure relative ai vari tipi di conica si intuisce, però, che il valore
           dell’eccentricità dipende dal particolare tipo di conica

       -- Dal momento che il valore dell’eccentricità è indipendente dal punto scelto
          sulla conica, per determinarne il valore si considera il punto A.

                                                                                      AF
            L’eccentricità di una conica risulta quindi essere espressa da e =
                                                                                      AD
     Curve mirabili




 Eccentricità per la parabola
Consideriamo la figura:


                              V        K


                              H                           F


                      D      A         F


            il triangolo VHK è isoscele perché VH e VK sono tratti di tangenti condotte da
             V alla sfera.

            il triangolo HAD è isoscele perché simile al triangolo VHK

            AH = AF perché tratti di tangenti condotte da A alla sfera

            AD = AH = AF

             Concludiamo che:
                                           AF
                                               1;
                                           AD

                L’eccentricità per la parabola è: e = 1

 Eccentricità per l’ellisse

Consideriamo la figura:
                                       V


                                                   K1
                                       V1
                                                         K
                                        H                                   F



                      D           D1       A   A                 B
                                                                                     AF
Dalla figura, sfruttando la relazione precedente e osservando che AD>AD1 si che          1;
                                                                                     AD
                          L’eccentricità per l’elisse è: e < 1
     Curve mirabili




 Eccentricità per l’iperbole
Consideriamo la figura:


                          V1    K          K1

                            V
                           H




               D1     D    A         F

                                                                                     AF
Dalla figura, sfruttando la relazione precedente e osservando che AD<AD1 si ha che       1;
                                                                                     AD
                      L’eccentricità per l’iperbole è: e > 1




Nota.
                                                                   AF
 -- Le tre coniche sono caratterizzate dal rapporto costante          e;
                                                                   AD
 -- Il valore dell’eccentricità e permette di riconoscere la conica:

                          e<1   ellisse

                          e=1   parabola

                          e>1   iperbole
     Curve mirabili




                      DUPLICAZIONE
                                             DEL
                                         CUBO
Una leggenda narra di una epidemia che imperversava ad Atene e del ricorso degli abitanti
all’oracolo di Delfi per sapere fino a quando la pestilenza li avrebbe afflitti; la risposta
dell’oracolo fu “Raddoppiate l’ara di Apollo mantenendone la forma se volete placare le ire
divine “. L’ara di Apollo era cubica ; allora ne fu costruita una con le dimensioni doppie di
quella ; ma la pestilenza si fece ancora più acuta: non era stato esaudito l’ordine dell’oracolo . Il
problema si presentava così assai più complesso e Platone, a cui gli Ateniesi si sarebbero rivolti,
li ammonì dicendo che “ Il dio ha punito il popolo per aver trascurato la scienza della geometria
che è scienza per eccellenza”.
      Curve mirabili




 1) Ippocrate e il suo metodo di riduzione

Ippocrate di Chio (470 a.C. - 410 a.C.), da non confondere con l'omonimo padre della medicina, è
considerato uno dei più illustri geometri dell'antichità.
Dedito al commercio, fu vittima di una truffa in cui perse tutto il suo denaro. Per guadagnarsi da
vivere si dedicò alla geometria.
E’ noto, come abbiamo visto, per essere riuscito a quadrare le lunule e aver trasformato il problema
della duplicazione del cubo in un problema di geometria piana.

A tal fine si avvalse del metodo di riduzione, metodo che consiste nel trasformare un problema in
un altro, risolto il quale resta risolto anche il problema primitivo .

Ridusse dunque il problema della duplicazione del cubo a quello di
            inserire due segmenti x e y medi proporzionali tra due segmenti dati a e b
                             in modo che possa valere la relazione
                                         a:x = x:y =y:b

La costruzione di tali segmenti può avvenire nel seguente modo:
                                           B



                                                x

                       A             a          H y   C
                                                b
                                                  D

Considerati i triangoli rettangoli ACB e CBD per il secondo teorema di Euclide si ha
                        a:x = x:y e
                        x:y =y:b       da cui a:x = x:y = y:b.

 Da      a:x=y:b         si ha    x = ab / y
         a:x = x:y        si ha   x2 = ay.

Da          x = ab / y
            x2 = ay.        si ottiene   x3 = a2b.

Quindi
        il segmento x può essere visto come il lato di un cubo che risulta equivalente ad un
parallelepipedo avente base quadrata di spigolo a e altezza b.
In particolare, se si considera l’altezza b = m*a , con m  Q0 ,si ottiene x3 = m*a3
Per m = 2 si ha
                  x3 = 2*a3
                            che equivale al problema della duplicazione del cubo.
    Curve mirabili




 2) Menecmo e le sue coniche

Menecmo (380 a.C. ca. - 320 a.C. ca.) fu uno studioso greco di matematica e geometria ed è noto
per la sua fondamentale scoperta sulle “sezioni coniche”.
Fu infatti il primo matematico a mostrare che sezionando un cono circolare retto con un piano
perpendicolare a una sua generatrice se l’angolo al vertice è:



        retto allora si ottiene una parabola




        acuto allora si ottiene un’ellisse




        ottuso allora si ottiene un’iperbole.




Menecmo ha fatto le sue scoperte sulle sezioni coniche mentre stava cercando di risolvere il
problema della duplicazione del cubo.

In particolare trovò che se un cono retto con un angolo al vertice di 90° viene tagliato con un piano
perpendicolare a una generatrice, la curva di intersezione è una parabola la cui equazione, in termini
di geometria analitica, è
                                                y2=ax
dove a è una costante che dipende dalla distanza del piano dal vertice del cono.
La costante a sarà successivamente chiamata “latus rectum” della curva.

Le soluzioni da lui date sono descritte da Eutocio (480-540 d.C) nel suo commentario alla opera di
Archimede “Sulla sfera e il cilindro”.
     Curve mirabili




   Le coniche di Menecmo e la duplicazione del cubo.
Per quanto riguarda il problema della duplicazione del cubo, rifacendosi al metodo di riduzione
introdotto da Ippocrate, Menecmo diede due seguenti soluzioni

Prima soluzione di Menecmo

Dati due segmenti a e b
-- si individuino inizialmente due parabole aventi come “latus rectum” la prima a e la
   seconda b; ---
-- quindi si dispongano in modo tale che i loro vertici coincidano con gli assi e siano
   perpendicolari fra loro.




I segmenti PM e OM sono i medi proporzionali cercati tra a e b .
Infatti

          PM2 = a* OM       e    OM2 = b* PM         e cioè

            a   PM                  b   OM
                          e                        da cui
           PM OM                   OM PM

             a   PM OM
                  
            PM OM    b

In particolare se a = 2b il segmento OM è il lato del cubo doppio di quello avente b per spigolo.
    Curve mirabili




Seconda soluzione di Menecmo

Dati due segmenti a e b,
--si costruisca la parabola di parametro a
--l’iperbole equilatera avente per asintoti l’asse della parabola e la sua perpendicolare nel
  vertice della parabola stessa e di parametro a*b.




I segmenti PM e OM sono i medi proporzionali tra a e b .
Infatti

         MP2 = a* OM         e    OM*PM = a*b          e cioè

           a   PM                    a   OM
                            e                       da cui
          PM OM                     PM    b

            a   PM OM
                 
           PM OM    b

In particolare se a = 2b
                           OM3 = 2b3 .
    Curve mirabili




 3) Nicomede e la sua concoide
Nicomede (280-210 a. C.) è ricordato per aver studiato una curva da lui chiamata per la sua forma
“concoide” (in greco significa conchiglia), curva che gli è servita a risolvere sia il problema della
duplicazione del cubo sia quello della trisezione di un angolo.

Vediamone dunque la definizione.
Siano dati:
-- O un punto qualsiasi detto polo,
-- b una retta non passante per C detta base
-- l un numero reale positivo detto passo.

Sulla retta c del fascio individuato da O, da parti opposte rispetto ad E, si considerino due punti F e
G tali che EG = EF = l




              Il luogo geometrico dei punti G e F al variare della retta r è detto concoide.

La curva, nel caso particolare in cui la distanza di C dalla retta b sia maggiore del passo l, è la
seguente:
       Curve mirabili




E’ interessante lo strumento che Nicomede inventò per descrivere un ramo della curva.
Considerò tre aste:
              una prima MN nella quale praticò una scanalatura AB
              una seconda RS fissata nel punto medio di MN
              una terza GD, che poteva ruotare attorno ad un punto O fisso di RS, all’interno
                  della quale praticò un’altra scanalatura EF




             G




   M                    E                                                   N
         A                                                              B
                                     R



                                         O


                                              F
                                                  D
                                         S



All’interno della scanalatura EF
                                fissò una punta che potesse scorrere lungo la scanalatura AB
quando l’asta CD ruotava attorno a O;

All’estremità C della terza asta
                                   fissò la punta di una matita.

Al ruotare dell’asta CD attorno a O allora
                                  la punta della matita
                     descriveva un ramo della concoide di polo O e di passo GE.
     Curve mirabili




   La concoide di Nicomede e la duplicazione del cubo.
Pure Nicomede, rifacendosi al metodo di riduzione, mediante la sua concoide risolse il problema
di
              inserire due segmenti x e y medi proporzionali tra due segmenti dati a e b
e quindi il problema della duplicazione del cubo.

Dimostrazione
                      (è lunga ma non complessa).

Siano AB e AD i due segmenti tra i quali devono essere inseriti i medi proporzionali.
Per comodità supponiamo che AB = 2a e AD = 2b
Si costruisca il rettangolo ABCD individuato dai segmenti dati
                          A            B




                        D              C
Detto E il punto medio di AD, lo si congiunga con C e si prolunghi EC fino ad incontrare in F il
prolungamento di AB.

       F                      A              B


                              E                     Notare che AF = 2a ( i triangoli AFE e EDC
                                                                            sono congruenti)


                         D              C
 Si tracci da G, punto medio di AB, la perpendicolare ad AB e con centro in B si costruisca la
circonferenza di raggio b. Sia O la loro intersezione non interna al rettangolo
                                O


F                             A    G     G          B


                              E




                              D              C
    Curve mirabili




Si congiunga O con F e da B si conduca la parallela BI ad OF


                               O


F                          A    G        B


I                          E




                           D            C




Si consideri ora la concoide avente O come polo, la retta BI come base e b come passo.
La concoide incontra la retta AB in un punto K; inoltre le rette AB e BI individuano su OK un
segmento MK = b ( per definizione di concoide)



                       G        O
                                                      M

F                          A    G           B
                                                                        K

I                          E                          B




                           D            C




Indicato con L il punto di incontro della retta CK con la retta AD, si dimostra che i segmenti BK e
DL sono i medi proporzionali cercati.
     Curve mirabili




                           G
                                        O
                                                                   M

F                                  A     G          B
                                                                               K
                                                                   B
I                                  E




                                   D              C

                                   L




Infatti
          si ponga BK = x e DL =y .
    Si ha:
        OG = BO2  BG2 = b 2  a 2
        GK = a +x
    Quindi, per il teorema di Pitagora
          OK =        (a  x) 2  (b 2  a 2 )  b 2  2ax  x 2
    I triangoli BMK e FOK sono simili perché hanno tutti gli angoli congruenti
     (BI parallela a FO…) e quindi sarà

              FK : BK = OK : MK              cioè ricordando che

              FK = x + 4a          e che MK = b si ha
              4a  x       b  2ax  x 2
                               2
                                             da cui , elevando al quadrato entrambi i termini,
                  x               b
           16 a 2  x 2  8ax b 2  2ax  x 2
                                                    , riducendo,
                     x2                  b2
            x 4  2ax 3  8ab 2 x  16a 2 b 2  0 ; raccogliendo a fattor comune
           x 3 ( x  2a)  8ab 2 ( x  2a)  0
                                                  si ottiene quindi

                                   ( x 3  8ab 2 )( x  2a)  0
          Poiché x + 2a ≠ 0 (dato che x e 2a sono misure di segmenti) si perviene a
           x 3  8ab 2  0   cioè x 3  2a(2b) 2
    Curve mirabili




Poiché i triangoli LDC e BCK sono simili si ha che

                                          2a: y = x: 2b               e, quindi,
                                             xy = 4ab                 da cui
                                                  4ab
                                              y         ;            elevando alla terza potenza
                                                     x
                                           y 3  4 3 a 3b 3 / x 3 ;   ricordando che
                                           x 3  2a(2b) 2             si ha
                                                 4 3 a 3b 3
                                           y3              ;         e quindi semplificando
                                                  2 3 ab 2
                                            y 3  2b(2a ) 2
Dunque si ottiene:
                                           xy  4ab
                                          
                                           3             2

                                           x  2a ( 2b)
                                           y 3  2b( 2a ) 2
                                          
                                          
La terza e la prima uguaglianza, divise membro a membro, danno
                                               y2
                                                   2a
                                                x
                                                             ovvero
                                             y  2ax ;
                                                2




a loro volta la seconda e la prima divise membro a membro danno:
                                           x2
                                                2b ovvero
                                            y
                                           x 2  2by
Risulta, infine:
                                             2a y     x
                                                  
                                              y    x 2b
   In particolare,

                     se 2a = b
                               y è uguale al lato del cubo doppio di quello avente 1 per lato.
Infatti,
       da y 2  2ax e da x 2  2by segue:
                                         y4
                                               2by e quindi
                                        4a 2
                                          y 3  8a 2 b sostituendo
                                          y 3  2b 3 estraendo la radice cubica
                                           y  b3 2      e, se b = 1, si ha
                                           y3 2.           c.v.d.
    Curve mirabili




 Equazione cartesiana della concoide rispetto a una retta base

Si consideri un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e si ponga
     il polo nell’origine O
     la retta base b parallela all’asse delle ordinate.
     l il passo




In tale sistema di riferimento risulta che:
    - la retta c ha equazione y=mx
    - la retta b ha equazione x = b

Il punto E, essendo intersezione tra c e b, avrà coordinate (b,mb).
Le coordinate di G ( F) siano (x,mx).
Dovrà valere la relazione
                                         GE = l (GF=l) e cioè,
ricordando come si calcola la distanza tra due punti dovrà essere


 ( x  b) 2  (mx  mb ) 2  l 2      →    ( x  b) 2  m 2 ( x  b) 2  l 2 →
                                                                 2
                                                              y
        ( x  b) 2 (1  m 2 )  l 2   →    ( x  b) 2 (1      2
                                                                 )  l2        →
                                                             x

                                          ( x  b) 2 ( x 2  y 2 )  l 2 x 2
     Curve mirabili




 Equazione polare
Si fissi un sistema di riferimento polare di semiasse OA.




Indicato con H il punto di intersezione tra la retta b e l’asse polare, si ponga OH = b

Poiché OG = OE + EG si ha
                                   ρ = (b/cosα) + l.     (1)

Poiché OF = EC - EF si ha
                                   ρ = (b/cosα) - l.

Grafici della concoide al variare di b e l.
Curve mirabili
     Curve mirabili




 4) Diocle e la sua cissoide

Diocle (240-180 a.C.) è famoso per aver risolto pure lui il problema dell’inserzione di due medi
proporzionali fra due segmenti dati tramite lo studio della sua “cissoide”.

Oltre alle informazioni che di lui ci dà Eutocio nel suo commentario ai testi di Archimede, si
posseggono anche notizie tratte da un antico manoscritto arabo recante la traduzione dell’opera di
Diocle “gli specchi ustori” e rinvenuta in Iran nel 1970.

L’opera è divisa in tre parti: la prima tratta di problemi sugli specchi ustori, la seconda di problemi
relativi alla sfera e la terza della duplicazione del cubo.

Vediamo dunque la definizione di cissoide

Considerata una circonferenza di raggio r,
-- si fissi su essa un punto O
-- per il punto A diametralmente opposto si tracci la tangente AT.

Condotta quindi per O una retta che incontri AT in H e la circonferenza in M, si consideri
su essa un segmento OP uguale ad MH.




                      Il luogo dei punti P quando la retta ruota intorno ad O è la cissoide
     Curve mirabili




La curva è la seguente:




 Equazione cartesiana della cissoide con procedimento geometrico




Siano:
-- P un punto qualsiasi della cissoide
-- M e H rispettivamente i punti di intersezione della retta OP con la circonferenza di diametro
   OA e con la tangente alla circonferenza medesima in A
-- Q e N le proiezioni di P e M sul diametro OA .
     Curve mirabili




   Il triangolo OMA è rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza; quindi per il II teorema
    di Euclide si ha
                                      MN 2  ON.NA

   Dal momento che OP = MH( per definizione di cissoide) per il teorema di Talete si ha che
    OQ = NA, ossia Q e N sono simmetrici rispetto al centro del circolo
    Quindi

                                       2
                                   MN  (OA  OQ) * OQ                     (1)

   I triangoli OQP e ONM sono simili; varrà pertanto

                                           PQ   MN
                                                                    da cui
                                           OQ OA  OQ

                                                  PQ * (OA  OQ )
                                       MN                                   (2)
                                                        OQ

Confrontando la (1) con la (2) segue

                                           PQ 2 * (OA  OQ )
                                                       2
                                                                    OQ e quindi
                                                  OQ

                                              2                        3
                                       PQ * (OA  OQ)  OQ

Se ora si pone
                 PQ = y , OQ = x , OA = 2r si ottiene

                                            x 3  y 2 ( 2r  x )
                                                                    che risolta rispetto ad y dà

                                                             x3
                                                  y
                                                           x  2r



 Equazione cartesiana della cissoide con procedimento analitico

Per determinare l’equazione cartesiana della cissoide consideriamo un sistema di riferimento
cartesiano ortogonale e poniamo
-- l’origine nel punto 0
-- il centro della circonferenza in C(r,0)
     Curve mirabili




In tale sistema di riferimento :

--A ha coordinate (2r,0)
-- la retta per 0 è y=mx
-- la circonferenza di centro C ha equazione (x-r)2 + y2 = r2
--la retta per A e T è parallela all’asse delle ordinate e quindi ha equazione x = 2r




Le coordinate del punto H , essendo questo intersezione della retta per 0 con la retta AT, si
determinano risolvendo il sistema

                          y = mx
                                      ; pertanto H (2r, 2mr)
                          x = 2r

Le coordinate del punto M , essendo questo intersezione della retta per 0 con la circonferenza, si
determinano risolvendo il sistema

                          y = mx
                                                                2r         2r
                         (x-r)2 + y2 = r2     ; pertanto M (          ,m        )
                                                               1 m 2
                                                                         1  m2

Il punto P appartiene alla retta per 0 ; pertanto P (x, mx).
      Curve mirabili




   Imponiamo ora che 0P = MH.

    Si ha, ricordando la formula della distanza fra due punti ,

                                        2r                    2r
                       x 2  m2 x 2  (        2r ) 2  ( m         2mr ) 2         da cui
                                       1 m 2
                                                             1 m 2




                                             2rm 2 2        2rm 2 2
                       x 2 (1  m 2 )  (          )  m2 (        )
                                            1  m2          1  m2

                                      4r 2 m 4
                       x (1  m ) 
                        2         2
                                                (1  m 2 )
                                    (1  m )2 2




                                         4r 2 m 4
                                x2 
                                       (1  m 2 ) 2

                                       2rm 2
                                 x          ; ma essendo m = y/x si ha
                                      1  m2

                                        y
                                   2r ( ) 2
                                        x                          2ry 2
                                x                    quindi    x 2     da cui
                                        y
                                   1  ( )2                       x  y2
                                        x

                             x 3  xy 2  2ry 2 ,       y 2 ( x  2r )   x 3 e quindi

                                                               x3
                                                         y
                                                             x  2r
    Curve mirabili




 Equazione polare della cissoide


Si fissi un sistema di riferimento polare di semiasse OA.




                   ˆ
Sia OA = 2r e HOA = α..
Poiché il triangolo OAH è rettangolo si ha
                                                      2r
                                              OH =
                                                     cos
Poiché il triangolo OMA è rettangolo si ha
                                              OM= 2rcosα
Quindi
                                          2r
                     MH = OH – OM =           -2rcosα
                                         cos
Ma MH = OP; quindi
                                2r
                          ρ=        -2rcosα
                               cos
     Curve mirabili




 La cissoide e la duplicazione del cubo

Tramite la cissoide si può risolvere il problema della duplicazione del cubo.

Infatti:
           sia AB = a il lato del cubo da duplicare.

Si consideri la cissoide relativa alla circonferenza di diametro AB = a.
Quindi
-- sulla tangente in A alla circonferenza si consideri un segmento AS=2a;
-- congiunto S con B, sia U l'intersezione di SB con la cissoide e H la proiezione di U su AB;
-- unito U con A si indichi con T l'intersezione di UA con la tangente in B alla circonferenza




                                                       H




BT è il lato del cubo di volume doppio del cubo di lato a .
Dim.:

   I triangoli SAB e UHB sono simili e dunque:

                                       SA: AB = UH: HB

    Dette (x,y) le coordinate di U punto della cissoide la proporzione precedente diventa

                                     2a: a = y : (a-x)     da cui
                                          y
                                               2 (1)
                                        ax
       Curve mirabili




    Poiché il punto P appartiene alla cissoide le sue coordinate soddisfano all’equazione

                                       x 3  (a  x) y 2
                                                             dalla quale si ottiene
                                                   2
                                        1  y
                                           3          (2)
                                       ax x

    Confrontando quindi la (2) con la (1) si ha

                                        y3
                                           2          (3)
                                        x3

    I triangoli ATB e AUH sono simili e dunque:

                        BT: AB = UH : AH       e quindi      BT : a = y : x   da cui

                                              ay
                                      BT =
                                               x

     Elevando al cubo si ottiene

                                          y 3a 3
                                      BT  3 ;
                                         3

                                           x

    sostituendo in quest'ultima l'espressione (3) si ottiene

                                       BT 3  2a 3
                                                             c.v.d.



Nota
La cissoide applicata alla parabola portò Diocle a interessanti conclusioni nel campo dell’ottica
geometrica fra le quali l’affermazione che il paraboloide è l’unica superficie a focalizzare in un sol
punto i raggi del sole.
     Curve mirabili




                           TRISEZIONE
                                           DI UN
                                 ANGOLO
“Cet acharnement devint une espèce de maladie épidémique, qui s’est trasmise de siècle en siècle
jusqu’à nos jours: elle devait cesser et elle cessa en effet pour ceux qui suivirent le progrès des
Mathématiques, lorsque dans les temps modernes on commença d’appliquer l’Algèbre à la
Géometrie.
Aujourd’hui le mal est incurable pour ceux qui attaquent ces questions avec les armes des anciens
parce que n’étant pas au courant des sciences actuelles, il n’existe aucun moyen de les guérir.’
[Bossut]
    Curve mirabili




 1) Ippia e la sua trisettrice
Ippia di Elide (460 a.C. - 400 a.C. c) ,filosofo e matematico greco, fu attivo soprattutto nei campi
dell'astronomia e della geometria.
Non ci è pervenuto nessuno dei suoi numerosi scritti, molte cose su di lui tuttavia si conoscono
attraverso i dialoghi di Platone.
Come matematico, Ippia fu il primo ad introdurre una curva nella geometria greca, la cosidetta
Trisettrice di Ippia, che gli ha permesso di trisecare un angolo e sarà utilizzata in seguito da
Dinostrato (350 a.C. circa) per risolvere il problema della quadratura del cerchio; non è possibile
tuttavia stabilire se Ippia sia stato consapevole di questa seconda applicazione.

Vediamone dunque la definizione.
Considerato un quadrato ABCD,




facciamo
       -- traslare verso il basso il lato AB in modo uniforme fino a farlo coincidere con il lato DC
       -- ruotare il lato DA in modo uniforme in senso orario fino a farlo coincidere con DC in
           modo tale che DA si sovrapponga a DC nello stesso istante in cui AB si sovrappone a
           CD.

     Il luogo dei punti P intersezione dei due segmenti AB e DA durante il loro movimento è la
                                          trisettrice di Ippia

Il suo grafico è il seguente( curva AQ):
     Curve mirabili




 Equazione polare

Fissato un sistema di riferimento polare di semiasse DC




dalla definizione stessa della trisettrice si ha

                                        
                                        2  a                     
                                                     con   0≤α≤     .
                                         A' D                    2

Dal momento che DP = ρ si ha
                                     A’D = ρsenα     e quindi
                                       
                                       2      a
                                                     da cui
                                            sen

                                  sen  2a
     Curve mirabili




 Equazione cartesiana


Si consideri un sistema di riferimento cartesiano ortogonale in cui
-- l’origine coincida con il punto D
-- l’asse delle ascisse coincida con la retta DC
-- l’asse delle ordinate coincida con la retta DA




Ipotizziamo che:
-- AD = 1.
-- sia T il periodo del moto circolare uniforme di rotazione del lato DA.
  ( ne consegue che l’intervallo di tempo in cui avvengono i due moti è T/4)

Supponiamo che dopo un certo tempo t il lato DA abbia raggiunto la posizione DA’’.
Indicato allora con α l’angolo A’’DC, la retta A’’D avrà equazione

                                              y = tgα*x .
Ma
       -- poiché il moto di AD è uniforme, detta ω la sua velocità angolare, è α = ωt e
       -- ricordando che ω =2π /T ,
l’equazione della retta è
                                        y = tg(2π t/T) x.

D’altra parte il lato che trasla, al tempo t, si troverà in A’B’.
Poiché
        -- il lato trasla di un tratto = 1 in un tempo T/4 ,
        -- la velocità di traslazione v = 1/(T/4) (v=s/t)
indicato con
                y lo spazio percorso da AD nel tempo t si avrà

                                           y = 4t/T .
         Curve mirabili


Quindi
           y = tg(2π t/T) x   e
           y = 4t/T
                              sono le equazioni parametriche del luogo cercato.

Ricavando dalla seconda t = Ty/4 e sostituendolo nella precedente, si ottiene

                          y = tg (2π /T * Ty/4) x   e quindi

                          y = tg (π y/2) x



   Ippia e la trisettrice di un angolo

                                                  ˆ
Sia α un angolo acuto da trisecare. per esempio, PDC l’angolo da trisecare.

Disponiamo l’angolo in modo che
-- un lato coincida con il lato DC del quadrato
-- l’altro intersechi in P la trisettrice e in A” l’arco di circonferenza descritto da A durante la
  rotazione di DA attorno a D.

Conduciamo da P la parallela a DC e indichiamo con A’ e B’ i suoi punti di intersezione con DA e
CD.




Trisechiamo ora semplicemente i segmenti B’C e A’D nei punti R,S,T,U.
I segmenti TR e US tagliano la trisettrice in V e W.
Risulta quindi che
                     i segmenti VD e WD divideranno l’angolo α in tre parti uguali.
     Curve mirabili




 2) Pappo e la sua iperbole
Pappo di Alessandria fu uno dei più importanti matematici del periodo tardo ellenistico.
Visse durante il regno di Diocleziano(284-305d.C) ed è stato sicuramente il maggior cultore della
geometria dei suoi tempi.
Della sua vita si conosce ben poco e anche le date della sua nascita e della sua morte sono assai
incerte.
Le sue opere sono in gran parte andate perdute; l'unica pervenutaci è quella intitolata Synagoge,
nota anche come Collectiones mathematicae.
Quest’opera è un compendio di matematica che consiste di otto volumi in cui viene trattato anche il
problema della trisezione di un angolo.

Pappo riferisce di una soluzione al problema della trisezione ottenuta studiando una particolare
iperbole i cui asintoti formano tra loro un angolo di 120°

                                         x2    y2
Tale iperbole ha:        -- equazione        2 1
                                         a 2 3a
                         -- eccentricità e = 2

e gode di una particolare proprietà:
                                         è il luogo geometrico dei punti E tali che
                                                 ˆ       ˆ
                                                EAD  2EDA
dove
                      -- D e B sono i vertici dell’iperbole
                      -- A un punto sull’asse delle ascisse tale che BA = 1/2DB
Infatti,
           indicato con I il punto di intersezione dell’asse del segmento DB con DE, si dimostra che
                                                        
                                             ˆ
                                            EAI  IAD  EDA
    Curve mirabili




Di questa proprietà diamo due dimostrazioni

1) con procedimento geometrico.

 Bisogna dunque dimostrare che IA è bisettrice dell’angolo in A ossia che
                                   DI : IE = DA : AE (1)

 Indicata con P la proiezione di E sulla retta AD, per il teorema di Talete, si ha

                                             DI : IE = DH : HP

 e perciò la (1) è vera se vale
                                    DH : HP= DA : AE (2)

 Infatti
           posto E = (x, y) si ha

                     3           a
           DH =        a , HP= x- , AE =       AP2  PE 2  (2a  x) 2  y 2 , DA = 3a
                     2           2

   Quindi la (2) equivale a
                                  3          a
                                    a : ( x  )  3a : (2a  x) 2  y 2 da cui
                                  2          2

                                        2 x  a  (2a  x) 2  y 2

                               4 x 2  a 2  4ax  4a 2  x 2  4ax  y 2

                                      3 x 2  y 2  3a 2
                                                        che è l’equazione dell’iperbole data.

 La relazione (2) è dunque vera e quindi è vera anche la (1); allora IA è bisettrice dell’angolo in A
            ˆ
 e quindi EAD  2EDA .ˆ


2) con procedimento analitico

   In un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy si considerino
   -- i punti D (-a,0); B (a ,0); A (2a,0)
   -- la retta r passante per D che forma un angolo α con la direzione positiva dell’asse delle
       ascisse
   -- la retta s passante per A che forma un angolo 180°-α con la direzione positiva dell’asse delle
      ascisse.
Curve mirabili




Si dimostra che E, punto di intersezione di r con s, appartiene all’iperbole di equazione
                           3 x 2  y 2  3a 2
Infatti
        - l’equazione della retta r è y=m(x+a)        con m = tgα mentre
                                                                    2tg
             - l’equazione della retta s è y = m1(x -2a) con m1=
                                                                  1  tg 2
              Quindi le coordinate del punto E soddisfano il seguente sistema

                 y = tgα (x +a)
                       2tg
                 y=            (x-2a)
                     1  tg 2

        Ricavato dalla prima equazione
                                                         y
                                                tgα =
                                                        xa
                                                              e sostituito nella seconda si ha
                                     y
                             2
                        y         x  a ( x  2a )               →
                                    y2
                           1
                                ( x  a) 2
                                      y
                              2
                        y          x  a ( x  2a )              →
                           ( x  a) 2  y 2
                               ( x  a) 2
                                  y        ( x  a) 2
                       y  2                           ( x  2a) ; →
                              ( x  a) ( x  a) 2  y 2

                         3 x 2  y 2  3a 2

                                              che è l’equazione dell’iperbole cercata.
      Curve mirabili




 Pappo e la trisezione di un angolo
Problema:
                                 
             trisecare l’angolo aOd .

Risoluzione:
            si consideri
                       -un cerchio di centro O che interseca a in A e d in D
                       - l’iperbole equilatera del tipo
                                       3 x 2  y 2  3a 2
                                                          di vertici D e B, con A tale che BA = ½ DB

                Indicato con P l’intersezione tra iperbole e circonferenza la semiretta OP triseca
                 l’angolo dato.




Infatti
               ˆ
           se PDA = α allora
                      ˆ
                     PAD = 2α perché P appartiene all’iperbole
                       ˆ                                                                         ˆ
                     POA = 2α perché angolo al centro che insiste sullo stesso arco dell’angolo PDA
                       ˆ                                                                          ˆ
                     POD = 4α perchè angolo al centro che insiste sullo stesso arco dell’angolo PAD
          cioè
                 2 x PÔA = PÔD c.v.d.
     Curve mirabili




 3) Nicomede e la sua concoide
La concoide di Nicomede, che è stata introdotta per risolvere il problema della duplicazione del
cubo, può essere utilizzata anche per risolvere il problema della trisezione dell’angolo.

Problema:
             trisecare l’angolo aÔb .

       Risoluzione:

             - sia L un punto qualunque del lato b e LD la perpendicolare al lato a;
             - sia γ la concoide rispetto alla retta LD di polo O e di passo k = 2 OL.
             - sia C il punto di intersezione con γ della parallela ad a passante per L.

         La retta OC triseca l’angolo dato.




Dimostriamo dunque che

                             ˆ      1 ˆ
                            COA =     BOA
                                    3

Per maggior chiarezza si riporta ingrandita la parte del grafico interessata alla dimostrazione.
     Curve mirabili




                                                                  B




                               L                                                    C

                                                         M

                               N

          O                        D                                            A


Sia N il punto d’intersezione di OC con LD .
Poiché C appartiene alla concoide γ è CN = k = 2OL.

Sia M il punto medio di CN ;
                              sarà quindi CM = MN = k/2
                        ˆ C è un angolo retto;
D’altra parte l’angolo NL
                                               quindi LM è mediana relativa all’ipotenusa CN del
triangolo rettangolo CLN e come tale è metà dell’ipotenusa stessa, cioè
                                        LM = NM

Ma CN = 2OL e quindi
                           OL = ½ CN= NM

Si avrà pertanto
                          LM = NM = OL

Ne segue che i tre triangoli
                                   LOM     LMC        LMN sono isosceli e quindi:

                                        ˆ     ˆ       ˆ
                                       LOM = NML = 2 LCM

Ma gli angoli
                            ˆ     ˆ
                           LCM e COA sono congruenti perché angoli alterni interni e perciò

                           LÔM = 2 CÔA.
                                             c.v.d.
   Curve mirabili




 4) Etienne Pascal e la sua lumaca

Questa curva era già nota agli antichi ma Etienne Pascal, padre di Blaise, ne fece uno studio così
approfondito che da allora prese il suo nome.

La lumaca di E. Pascal è una concoide rispetto a una circonferenza di diametro b , di polo un punto
O appartenente alla circonferenza stessa e di passo a .

Definizione
         --detto O un punto qualsiasi di una circonferenza γ di diametro OA= b, sia c una retta del
            fascio proprio di centro O.
         -- sia E il punto di intersezione tra c e γ diverso da O.
         --sulla retta c , da entrambe le parti rispetto ad E si considerino due punti F e G tali che
            EG = EF = a .




           Il luogo geometrico dei punti G e F al variare della retta c è la lumaca di Pascal

                                              b
Il suo grafico, nel caso particolare in cui      1 , è:
                                              a
         Curve mirabili




 Equazione polare

Fissato un sistema di riferimento polare di semiasse OA,




consideriamo una circonferenza di
                                      --diametro b e
                                      --centro nel punto medio del segmento OA
si ha:
                          OG = OE + EG ; OF= OE - EG
                                        e quindi
                                                 ρ = b cosα  a

 Equazione cartesiana.
Si consideri un sistema di riferimento cartesiano Oxy in cui
-- l’asse delle ascisse coincida con la retta con OA
-- la circonferenza di diametro b abbia centro nel punto medio del segmento OA.

Ricordando le equazioni di passaggio da coordinate polari a coordinate cartesiane

                                                                     x
                           ρ=      x 2  y 2 , e cosα =
                                                                x2  y2
dall’equazione polare si ottiene

                                                        x
                                x2  y2 = b                     a        da cui
                                                  x y
                                                    2       2




                                   x 2  y 2  bx  a x 2  y 2

                           ( x 2  y 2  bx) 2  a 2 ( x 2  y 2 )
Curve mirabili




   Curve particolari:


          b
   se       1 il grafico della lumaca di Pascal è:
          a




            b
      se      1 grafico è
            a




         b
 se        1 il grafico è:
         a
    Curve mirabili




 La lumaca di Pascal e la trisezione di un angolo
Una particolare lumaca di E. Pascal, quella che si ottiene con passo a = b/2, è una curva che risolve
il problema di trisecare un angolo.
Infatti si dimostra che una tale lumaca è il luogo dei punti P del piano per i quali

                     nel triangolo AOP l’angolo in O è doppio di quello in P.




Dim.:
        se in un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy si consideri il triangolo OPA con l’angolo
        in O doppio dell’angolo in P allora P appartiene alla concoide rispetto alla circonferenza di
        centro A, raggio OA e passo OA.

   Infatti
              Da O tracciamo una retta qualsiasi inclinata di 2α e dal punto A una retta inclinata di 3α.

             Il punto comune a queste due rette è un punto P del luogo geometrico cercato.

             Conduciamo la bisettrice dell’angolo AÔP e sia H il punto d’incontro della bisettrice con
             AP.
             Si ha
                          ˆ
                       OPA = α = HÔP = AÔH
                 e
                       OĤA = PÔA = 2α (per il teorema dell’angolo esterno)

             I due triangoli OAH e PAO sono simili, poiché hanno tutti gli angoli congruenti;
Curve mirabili




      quindi:
                    OA : AH = AP : OA
                    OH : OA = OP : AP

      Da
                                                                OA 2
                 OA : AH = AP : OA si ricava             AH 
                                                                 AP

      Da
                                                                OA.OP
                 OA : AH = HO : PO si ricava            OH 
                                                                 AP

      D’altra parte il triangolo POH è isoscele perciò OH = PH

      Quindi si avrà
                                            OA 2   OA.OP
                   AP = AH + HP = AH + OH =      +       da cui
                                             AP     AP

                             AP² = OA² + (OA)(OP)
                             AP² = OA (OA + OP) (1)

      Nel sistema cartesiano ortogonale introdotto
         --il punto A ha coordinate (a,0)
        --il punto P ha coordinate (x,y);

      pertanto la relazione (1) diventa

                         ( x  a) 2  y 2  a( a  x 2  y 2 )

                   x 2  a 2  2ax  y 2  a 2  a x 2  y 2 e quindi

                    ( x 2  y 2  2ax) 2  a 2 ( x 2  y 2 )


     che è l’equazione cartesiana della lumaca di E. Pascal cercata.

                                  ˆ
     Quindi ne segue che PÂX = 3 OPA .

                                                      c.v.d.
    Curve mirabili




 5) Archimede e la sua spirale
Si hanno pochi dati certi sulla vita di Archimede. Tutte le fonti concordano sul fatto che fosse
siracusano e che sia stato ucciso durante il sacco di Siracusa del 212 a.C.
Tra le poche altre notizie certe vi è inoltre quella che abbia trascorso un soggiorno in Egitto, e che
ad Alessandria d’Egitto venne quindi a contatto con vari scienziati di Alessandria, tra i quali
Eratostene, al quale dedicò il suo famoso trattato Il metodo .
E’ il matematico che meglio rappresenta la matematica del periodo Alessandrino.

Nel 1906 uno studioso danese, J.L.Heiberg, trovò a Costantinopoli una vecchia pergamena
composta da 185 fogli; vennero così alla luce numerosi trattati di Archimede, peraltro già noti
tramite altre fonti. Tra questi trattati vi era quello sulle spirali

Vediamone dunque la definizione.

Consideriamo
-- una semiretta c di origine O che ruota nel piano con velocità angolare costante attorno ad O;
-- un punto P che contemporaneamente si muove su c con velocità costante a partire da una
   posizione P0.
                          Il luogo descritto da P è la spirale di Archimede.

Il suo grafico è il seguente:
     Curve mirabili




 Equazione polare
Fissato un sistema di riferimento polare di asse una semiretta b di origine O,




  sia
         -- ρo la posizione iniziale del punto sull'asta (misurata a partire dal centro di rotazione),
         -- α0 l’angolo iniziale, cioè l’angolo che si viene a formare tra la semiretta c e la semiretta b
         -- v la velocità costante con la quale si muove il punto P lungo la semiretta c
        -- ω la velocità angolare costante con la quale si muove la semiretta c attorno ad O.

  Si ha
                                      ρ = ρo + v t
                                      α = α0 + ω t

  da cui, ricavando t dalla seconda equazione e sostituendo nella prima, si ottiene l’equazione del
  luogo geometrico descritto dal punto P:

                                            ρ = ρo + v/ω (α - αo)

  In particolare,
                      se ρ o = 0 e αo = 0, si ha 1'equazione (in coordinate polari):

                                                 ρ= (v/ω) α
    Curve mirabili




 La   spirale di Archimede e la trisezione di un angolo
Data una spirale del tipo ρ= (v/ω) α si può facilmente effettuare la trisezione di un angolo.

   Disponiamo l’angolo acuto α da trisecare in modo che
    -- il vertice coincida con l’origine O della semiretta b
    -- uno dei lati coincidano con la semiretta b.




    L’altro lato c dell’angolo intersecherà la spirale in un punto che individua su questo lato un
    segmento OR di misura r .

   Tracciamo allora la circonferenza con centro nell’origine e raggio pari ad r;
    tale circonferenza individua un segmento OH sull’asse delle y.

   Dividiamo in tre parti il segmento OH e disegniamo archi di circonferenza con centro
    nell’origine e raggio pari ad 2r/3 e r/3.

    Tali archi intersecano la spirale in due punti P e Q, punti che individuano le due linee che
    trisecano l’angolo di partenza.
    La dimostrazione è banale. Infatti ρ è proporzionale ad α.

Con questo metodo ogni angolo può essere diviso in un numero qualsiasi di parti uguali.
      Curve mirabili




 Archimede e la trisezione dell’angolo con riga e compasso
Con un utilizzo ‘ non classico ‘ di riga e compasso il problema della trisezione dell’angolo è
certamente risolvibile.
Si riporta come esempio una risoluzione di tale problema attribuita ad Archimede.
                                                                                 ˆ
Data la circonferenza di raggio r e centro O si consideri l’angolo al centro AOB da trisecare.
Si costruisca
             -- la retta per B che interseca ulteriormente la circonferenza nel punto D e il
                prolungamento della semiretta AO in C in modo tale che il segmento CD sia
                congruente al raggio r.




Si dimostra che
                                 ˆ                               ˆ
                       l’angolo OCD è un terzo dell’angolo dato AOB .
Infatti:
                      ˆ                          ˆ
           l’angolo OCD è congruente all’angolo DOC poiché il triangolo ODC è isoscele per
           costruzione.

                                    ˆ               ˆ
       Indicato con α l’angolo OCD , l’angolo ODB vale 2α in quanto angolo esterno al
       triangolo ODC e quindi:
                                  ˆ
                   gli angoli CDO = 180 - 2α
                                  ˆ
                                BOD = 180 - 4α
                                  ˆ                  ˆ
                                AOD = 180 - 4α + AOB = 180 - α
                    ossia
                                 ˆ
                               AOB = 3α
                                         c.v.d.
E’ da notare che nella costruzione del segmento DC si è utilizzato la riga in modo ‘ non classico ‘ in
quanto si è costruito la retta BC in modo tale che CD fosse uguale al raggio.
    Curve mirabili




                             CICLOIDE


“ Questa linea arcuata son più di cinquant’anni che mi venne in mente di descriverla …per
adattarla agli archi di un ponte.
Parvemi da principio che lo spazio potesse essere triplo del cerchio che lo descrive , ma non fu
così, benché la differenza non sia molta…
 Ebbi circa un anno fa una scritta di un Padre Mersenne dei Minimi di San Francesco di Paola da
Parigi, ma scritta in caratteri tali che tutta l’Accademia di Firenze non ne potesse trar costrutto
alcuno…, io risposi all’amico che me la mandò che facesse intender a detto Padre che mi
scrivesse in caratteri più intellegibili “.Galileo Galilei
        Curve mirabili




 1) La “bella Elena”

“La cicloide è una linea comunissima, la più frequentemente ricorrente dopo la retta e la
circonferenza; essa si presenta così spesso ai nostri occhi che ci stupisce non sia stata affatto
considerata dagli antichi: nessun accenno se ne trova presso i classici”.[B.Pascal]

La storia della cicloide è tuttavia disseminata di sfide e controversie.
Nel 1658 B.Pascal bandì un concorso a premi destinato a non passare inosservato nella storia della
matematica del XVII a causa non tanto del filone di indagine che esso contribuì ad alimentare
quanto a causa delle polemiche cui dette origine.
“Qualche mese fa, quando incominciai a interessarmi alla cicloide mi imbattei in molti problemi la
cui risoluzione sembra presentare notevoli difficoltà. Ora li propongo all’attenzione dei geometri di
tutto il mondo stabilendo un premio per coloro che otterranno di questi i risultati esatti: ciò non per
ricompensarli della fatica , ma per esprimere loro la mia ammirazione e rendere pubblico omaggio
al loro ingegno”. [B.Pascal]
Nel bando non solo si chiedeva di prendere in esame alcuni problemi legati alla cicloide e di
presentarne la soluzione entro il 1° ottobre dello stesso anno ma anche venivano dichiarati i premi
che i primi due vincitori avrebbero ricevuto: si trattava in particolare di quaranta monete d’oro per il
primo, venti per il secondo.
Il risultato della gara fu imprevedibile: per un motivo o per l’altro i singoli concorrenti furono tutti o
invitati a ritirarsi spontaneamente o eliminati d’ufficio; nessun premio venne quindi assegnato e la
somma stanziata a tale scopo ritornò nelle mani di chi l’aveva elargita e cioè a Pascal stesso.
Ma la vera polemica esplose quando Pascal pubblicò i vari risultati relativi ai temi proposti nel
concorso e dichiarò di averli determinati da parecchio tempo e si proclamò di conseguenza primo
ideatore e risolutore di quei problemi; egli si espose inevitabilmente all’aperta critica dei suoi
contemporanei e dei posteri.

Anche la data e la paternità della scoperta della cicloide non sono univoche: difficile dire chi
l’abbia considerata per primo.
     Nicola Cusano ( 1401 – 1464 ) forse la affrontò nei suoi tentativi di quadratura del cerchio.

      Per altri la sua scoperta risalirebbe alla fine del 1500 ad opera di Galileo che per primo ne
       avrebbe studiato le proprietà.

      Pascal, al contrario, ne attribuisce la scoperta a Padre Mersenne, persona di riferimento per
       lo scambio di ‘notizie’ tra gli scienziati dell’epoca.
       Infatti nell’ottobre del 1658
               nell’ histoire de la Roulette, autrement appellé la Trochoide ou la Cycloide
       Pascal sostiene che Padre Mersenne sia stato il primo ad immaginare questa curva e
       successivamente, dopo aver chiesto a Galileo di determinare “ l’espace cycloidale “, si
       sarebbe rivolto nel 1634 a Gilles Personnier de Roberval e questi avrebbe dimostrato che
       ‘l’espace cicloidale est 3πr2’ .

Una cosa è comunemente accettata: l’attribuzione del nome da parte di Galileo.
     Curve mirabili




Vediamone dunque la definizione.

“Siano assegnate una retta DA e una circonferenza DL mutuamente tangenti nel punto D; supposta
la retta DA fissa e riguardato il punto D come fisso sulla circonferenza DL, si immagini che questa
rotoli [senza strisciare] sulla retta data mantenendosi tangente ad essa e procedendo da sinistra
verso destra fin tanto che D torni ad essere il punto di mutuo contatto. Nel frattempo D avrà
descritto una linea, posta tutta al di sopra della base AD, che dapprima sale e poi, dopo aver
raggiunto un punto C di massimo livello , ridiscende verso il punto A: tale curva è detta cicloide.”
[B.Pascal].




Per alcuni decenni lo studio delle sue molteplici proprietà, alcune delle quali analizzeremo in modo
analitico, venne effettuato da quasi tutti i più grandi matematici del seicento quali Fermat,
Descartes, Pascal, Roberval, Torricelli, Huygens, Newton, Leibniz e Bernoulli.

Non è marginale considerare che è del 1637 la pubblicazione del
                         ‘ Discours de la méthode’
                                                   di Descartes.
Scrive M. Kline:
                 ‘ la geometria delle coordinate rese possibile l’espressione di figure e di cammini
                 sotto una forma algebrica da cui poteva essere derivata la conoscenza
                 quantitativa. L’algebra che Descartes aveva pensato fosse soltanto uno strumento,
                 un’estensione della logica piuttosto che una parte della Matematica, diventò più
                 vitale della geometria. Mentre dall’epoca dei greci fino al 1600 la Geometria
                 aveva dominato la Matematica e l’Algebra le era subordinata, dopo il 1600
                 l’Algebra diventò la disciplina fondamentale; in questa trasposizione di ruoli il
                 Calcolo Infinitesimale doveva esser il fattore decisivo’.


Ricordiamo che due furono le problematiche che, a partire dal 1637, determinarono la nascita del
nuovo calcolo:
    a. una geometrica inerente alla determinazione della retta tangente a una curva
    b. una meccanica inerente alla determinazione della velocità istantanea in un moto.

Relativamente alla cicloide affrontiamo il problema della retta tangente a una curva.
     Curve mirabili




 2) Fermat e la sua retta tangente

Il problema della costruzione della retta tangente a una curva era già stato risolto dai geometri greci
nel caso delle curve algebriche allora note escogitando, per ognuna di esse, una costruzione ad hoc
ottenuta ricorrendo a proprietà specifiche della curva in esame.

A partire dunque dal 1637 vennero affrontate nuove curve non solo di tipo algebrico e quindi si
dovettero individuare nuovi percorsi per la soluzione al problema.

In questa ricerca un contributo fondamentale fu dato da Pierre de Fermat, magistrato di Tolosa,
appassionato studioso di classici e in particolare cultore delle opere di Diofanto.
Nel gennaio 1638 Fermat scrive a Padre Mersenne una lettera in cui espone il suo

                      ‘ methodus ad disquirendam maximam et minimam’

suddiviso in due parti:
  a. la prima rivolta a spiegare il metodo per la determinazione dei massimi e dei minimi di
     una curva
  b. la seconda intesa a ricondurre a questo metodo la
            ‘ inventionem tangentium ad data puncta in lineis quibuscumque curvis’

 a. Il suo metodo per la determinazione dei massimi e dei minimi , detto anche          delle ‘
                                 adeguaglianze ‘
    si basa sul fatto che una curva in un intorno di un punto in cui ammette o massimo o minimo
     diventa ‘ stazionaria ‘, cioè, usando le parole di Keplero,
                       “ le variazioni della curva sono insensibili”.


    Metodo delle ‘adeguaglianze’

      Ricordiamo brevemente in cosa consiste questo suo metodo

      Sia, per esempio,
                      f(x) la funzione di cui deve determinare il minimo o massimo.

      Partendo da f(x) calcola il valore di f(x+E), dove E rappresenta un incremento
       arbitrario della variabile indipendente.

      Stabilisce quindi una ‘ adeguaglianza ‘ fra i valori così ottenuti:

                                       f(x)  f(x+E)

         “id comparo.. tamquam essent aequalia, licet severa aequalia non sint, et huyusmodi
          comparationem vocavi adaequalitatem.”
        Curve mirabili




         Quindi nei due membri di questa ‘adeguaglianza’ esegue tutte le semplificazioni possibili
          ottenendo alla fine una ‘adeguaglianza’ contenente l’incognita E.

         Divide questa ‘adeguaglianza’ per E o per la potenza minima con cui compare E

         Pone infine E = 0 e risolve quindi l’equazione così ottenuta rispetto a x.
          Le radici della equazione danno i valori della x in corrispondenza dei quali la funzione
          ammette massimo o minimo.
In questo procedimento, svolto con tecniche di calcolo puramente numerico, non è difficile scorgere
un procedimento che solo dopo qualche decennio porterà Newton e Leibniz alla formulazione del
calcolo differenziale.

b. Osservando che la differenza tra una curva e la sua retta tangente ha nel punto di tangenza un
   minimo o un massimo egli arriva alla determinazione della retta tangente alla curva.

       Metodo per la determinazione della retta tangente.




                                         P       P1




    T                                        Q   Q1
        Data la curva f(x), siano:

                     -- P( x, f(x)) e P1(x+E, f(x+E)) due suoi punti
                     -- Q(x,0) e Q1(x+E,0) le loro proiezioni sull’asse delle ascisse
                     -- PT la retta tangente da determinare essendo T l’intersezione della retta
                        tangente con l’asse delle ascisse
                                                                       QP
         se PT è la retta tangente alla curva in P allora il rapporto    è massimo o minimo o
                                                                       QT
                                      QP
           stazionario fra i rapporti 1 1 corrispondenti ai punti P1 della curva prossimi a P.
                                      Q1 T
       Curve mirabili




Questo metodo permette di determinare la misura del segmento QT ( detto sottotangente) nota la
quale si determina la tangente.

Per Fermat dunque la determinazione della retta tangente a una cicloide diventa il banco di prova
del suo metodo delle ‘ adeguaglianze ‘nella sua massima generalità, ossia applicato sia alle curve
algebriche sia a quelle trascendenti.



   Fermat e la tangente alla cicloide
    Questa è la sua dimostrazione.

   Dapprima individua una proprietà caratteristica della cicloide.

                                                                 O                     A


                                                   B                     D                 C




F                                                                Q                       E

Considerata la semicicloide FBAEF sia ADE un semicerchio generatore.
-- Da C , punto qualsiasi del diametro AE, traccia la retta parallela ad EF che incontra in B la
    cicloide e in D il cerchio.
-- Trasla ora il semicerchio ADE fino a sovrapporre D su B.

Per le proprietà della cicloide si ha
                             l’arco BQ = al segmento FQ
                       il segmento QE = segmento BD = all’arco AD.

In particolare,
                qualunque sia C sul diametro AE risulta
           l’arco AD = al segmento BD compreso tra la semicirconferenza e la cicloide.

E’ questa la proprietà caratteristica da cui parte Fermat per la costruzione della retta tangente alla
cicloide in B.
     Curve mirabili




   Disegna ora la retta tangente alla semicirconferenza in D, che è in grado determinare, e la retta
    tangente alla cicloide in B ancora incognita.
                                                                                      P

                                                                                         N
                                                                                         A

                                                  B                      D               C

                           H
                                  K                               R S                     I




F                                                                                         E

    Sono tutte quantità note le misure di :

    AC = b            BC = c          PC = d          PD = f         BD = g          DC = h.

    mentre è incognita la misura di CN = a.

    Considerato sulla tangente alla cicloide per B un punto H, porta per la parallela alla retta BC.
    Siano nell’ordine K, R, S, I rispettivamente i punti di intersezione di questa retta con la
    cicloide, la tangente alla semicirconferenza in D, la semicirconferenza e il diametro AE.

    Posto CI = e, per la similitudine dei triangoli HNI e BCN si ha
                                                   HI : BC = NI : NC ossia
                                                                                        ae
                                                               HI = (BC*NI)/NC = c *
                                                                                          a
   Prende in esame ora la proprietà caratteristica della cicloide relativamente al punto H.
    Si ha in successione
                          HR  arco AS = arco AD + arco DS = BD + arco DS.

    A questo punto Fermat afferma che si possono prendere porzioni delle tangenti già trovate al
    posto delle porzioni corrispondenti sulla curva in modo da costruire la adeguaglianza.

    Nel caso in esame, sostituendo l’arco DS di curva con la porzione corrispondente DR sulla
    tangente si ha :
                          HR  BD + DR
    Curve mirabili




   Esprime HR e DR in termini delle quantità note.

    Per la similitudine dei triangoli PRI e PDC si ha
                                                                                                 f
                                                              DR : CI = PD : PC ossia DR = e *
                                                                                                 d
    Inoltre HR = HI – RI sempre per la similitudine dei triangoli PRI e PDC si ha

                     RI : DC = PI : PC da cui
                                                            d e
                                                 RI = h *
                                                              d
    In conclusione si ha
                                         ae      d e          f
                                    c*        h*       g  e*
                                          a         d           d

    Sviluppando e ricordando che c = g+h si ha

                                                  e      e  f           d *c
                                               c*  h*  e*   ossia a 
                                                  a      d  d           f h
    che rappresenta il valore che si doveva determinare.



 1) Descartes e la sua retta tangente
Anche Descartes escogita un metodo per la costruzione della retta tangente alla cicloide, metodo
che, anche se non generale come quello di Fermat, è estremamente brillante e conciso.

L’idea base che permette a Descartes di risolvere il problema è che, mentre il cerchio generatore
scivola lungo al retta AC, ad ogni istante il punto C, in cui il cerchio generatore tocca il segmento
AC, è immobile e il moto in quell’istante si riduce a una rotazione attorno al punto C

Di conseguenza la retta CB, che unisce il centro istantaneo di rotazione al punto B sulla cicloide, è
ortogonale alla cicloide medesima .
La perpendicolare alla retta CB condotta per B è dunque la retta tangente cercata.




                                B




                            A                    C
    Curve mirabili




a. Equazione parametrica
Si fissi un sistema di riferimento cartesiano ortogonali tale che:
-- l’asse delle ascisse coincida con la linea AD lungo la quale la ruota ( circonferenza ) rotola
   verso la ascisse crescenti.
-- l’asse delle ordinate coincida con la retta passante per il centro della ruota




In tale sistema di riferimento, nel momento in cui si incomincia ad analizzare il moto,
-- il centro della ruota ha coordinate C( 0, r ) ,avendo indicato con r il raggio della ruota
-- il punto P che descrive la cicloide ha coordinate (0,0)

Ad ogni istante t l’ascissa di C, che è uguale all’ascissa del punto M di contatto tra la ruota e l’asse
delle ascisse, coincide con l’arco PM .




               P
                           C
               N          CC



     O          Q       M
    Curve mirabili




                         ˆ
Se si pone ora l’angolo PCM = θ risulta
                                          
                                  l’arco PM = OM = rθ

Le coordinate di P in funzione dell’angolo θ sono dunque:

                             x  O M  Q M   x  r  rsen 
                                           
                             y  C M  PN    y  r  r cos

Queste rappresentano le equazioni parametriche della cicloide.

Ipotizziamo ora che la ruota rotoli con velocità v costante, allora l’angolo θ crescerà con velocità
angolare ω uniforme.
Ricordando che
                  θ = ωt
                  v = ωr
                         si può pensare alla cicloide descritta da due movimenti:
-- uno traslatorio uniforme lungo l’asse delle x di equazione

                                             x  rt
                                                      ,
                                            y  0
-- l’altro di moto circolare uniforme in senso orario attorno al punto C (0,r) di equazioni

                                        x  rt  rsent
                                                         .
                                        y  r  r cost
La composizione dei due moti genera la cicloide.

b. Equazione cartesiana
                                  ry                   ry
Da y  r  r cos  cos                  ar cos
                                    r                    r
                               ossia
                               ry                     r y
                x  r * arccos         r * sen arccos     
                                 r                      r 
Sapendo che
                     sen(arccos( ))  1  h 2
                               h                   si ha:

                                      2
         r y      r y                 r 2  y 2  2ry  r 2 1
         
sen(arccos      1                                             2ry  y 2
          r         r 
                                                        2
                                                      r            r

e l’equazione diventa
                                         ry
                           x  r * arccos     2ry  y 2
                                          r
    Curve mirabili




 4) Torricelli e l’area cicloidale

Prima di trattare di questo aspetto puramente geometrico suscitato dalla cicloide, e cioè quello
relativo all’area della superficie delimitata dalla curva e dal piano di scorrimento della roulette,
riteniamo anche in questo caso interessante inquadrare il problema nel contesto storico del tempo.

Oltre alle tecniche di costruzione e di calcolo già formalizzate dalle geometria classica greca, a
partire dal 1500, in Europa si fece strada la ricerca di nuove strategie risolutive per i problemi che
venivano proposti, strategie certamente meno precise e rigorose da un punto di vista formale, ma
più incisive da un punto di vista pratico di quelle classiche.
Tra gli innovatori ricordiamo

   Keplero ( 1571 -1630 ) che per primo abbandonò il metodo di esaustione di Eudosso, con le
    sue difficili dimostrazioni per assurdo e lo sostituì con ragionamenti diretti sugli infiniti e sugli
    infinitesimi.
    In particolare a lui si deve la determinazione :

    -- dell’area di un cerchio considerandola come somma delle aree di infiniti triangoli aventi il
        vertice sul centro e la base infinitesima su una corda
    -- il volume di una sfera considerata come somma di infiniti volumi di piramidi aventi il
      vertice nel centro della sfera e la base infinitesima su una calotta.

   Cavalieri ( 1598 – 1647 ) che cercò di dare unitarietà al lavoro di quel periodo
    Egli considerò

    -- una qualunque superficie piana come costituita da un’infinità di corde tra loro parallele
       intercettate entro la superficie medesima
    -- un volume di un solido come costituito dalle infinità di sezioni piane intercettate entro di esso
      costituiti da un sistema di piani paralleli.

    Ciascuno di questi elementi elementari, siano esse corde o piani, chiamati da Cavalieri
                                   ‘indivisibili ‘
    gli permisero di giungere alla formulazione dei due principi che portano il suo nome.

    “Figure piane quali si vogliano, collocate tra le medesime parallele, nelle quali- condotte linee
    rette qualunque equidistanti alle parallele in questione- le porzioni intercettate di una qualsiasi
    di dette rette sono uguali, sono del pari uguali tra di loro. E figure solide quali si vogliono
    collocate tra i medesimi piani paralleli, nelle quali- condotti piani qualunque equidistanti a
    quei piani paralleli- le figure piane generate nei solidi stessi da uno qualsiasi dei piani condotti
    sono uguali, saranno del pari uguali tra di loro. Le figure si chiamino poi ugualmente
    analoghe, se confrontate tra di loro, tanto quelle piane, che quelle solide, e anche [si dica che
    esse lo sono] rispetto alle linee, o ai piani paralleli, tra i quali si suppongono collocate, prese
    come riferimenti, quando sia necessario dirlo esplicitamente. [B. Cavalieri].
     Curve mirabili




Tornando al problema dell’area racchiusa dalla cicloide è Torricelli ( 1608 – 1647 ) il primo ad
aver comunicato a Firenze nel 1644 la soluzione del problema.

Riportiamo di seguito il preambolo torricelliano con la sua dimostrazione fatta utilizzando appunto
gli indivisibili di Cavalieri

“ Mi piace qui aggiungere la soluzione di un problema interessante che a prima vista sembra
difficilissimo se se ne considera l’argomento e l’enunciazione. Esso tormentò e fuggì, molti
anni or sono ai primi matematici del nostro secolo.
Si facciano le seguenti supposizioni.

Si immagini su una retta fissa AB il circolo AC, tangente alla retta AB nel punto A.
E si fissi il punto A sulla periferia del circolo.

Allora si immagini di far ruotare il circolo AC sulla retta fissa AB con moto insieme
circolare e progressivo verso B ed in modo che negli istanti successivi tocchi sempre la linea retta
AB con un punto finché il punto fissato non torni di nuovo al contatto con la linea ad esempio in B.

E’ certo che il punto A , fisso sulla periferia del circolo rotante AC, descriverà qualche
linea, dapprima ascendente a partire dalla linea sottostante AB, poi culminante verso D , e da
ultimo, prona e discendente verso il punto B.

Tale linea è stata chiamata cicloide dai nostri predecessori , soprattutto Galileo già 45 anni
orsono.

La retta AB è stata chiamata base della cicloide ed il circolo AC il generatore della cicloide.

Discende dalla natura della cicloide la proprietà che la sua base AB sia uguale alla
periferia del circolo generatore AC, e questo non è così oscuro.

Infatti tutta la periferia AC, nella sua rotazione, si è commisurata con la retta fissa AB.

Si chiede ora
             che proporzione ha lo spazio cicloidale ADB al suo circolo generatore AC.

Dimostreremo che ne è triplo.
                                        Le dimostrazioni saranno tre.”



Noi di seguito ne proponiamo una fatta seguendo il metodo degli indivisibili di Cavalieri.
         Curve mirabili




Scrive Torricelli:

” Lo spazio compreso tra la cicloide e la sua retta base è triplo del circolo generatore, ovvero è
  sesquialtero ( sesquialtero = 1+ ½ ) del triangolo avente la sua stessa base ed altezza.

    Dico che la semicicloide ALBCFA è tripla del circolo CDEFC, ovvero                sesquialtero del
    triangolo ACF”.


                              M                                        O                    C


                                                    B              X       D   R           H
                                                                   S



                                                                                           G



                          T
 L                  V         Q                                            E               I


A                         N                                            P                    F


    Sul diametro CF si prendano due punti H ed I ugualmente distanti dal centro G del circolo.

    Tracciate HB, IL, CM parallele a AF, passino per i punti B ed L i semicircoli OBP e MLN
    uguali a CDF, tangenti alla base AF.

    E’ chiaro che i segmenti
                                         IE , QL , HD , XB sono uguali ,

    come sono pure uguali gli archi OB e LN.

    Analogamente essendo uguali CH e IF
                                 sono uguali AV e RC per le proprietà delle rette parallele.

    Tutta la periferia MLN , per la definizione stessa della cicloide, è uguale al segmento AF.

    Analogamente l’arco NL = al segmento AN e l’arco restante ML è uguale al segmento NF.
    Curve mirabili




Per lo stesso motivo l’arco BP = al segmento AP
                                             l’arco BO = al segmento PF.

Poiché AN = arco NL = arco OB = PF
                                  risulta pure AT = SC e AV = RC e pure VT = SR.

Perciò nei triangoli equiangoli VTQ e SRX sono uguali VQ = RX.

Ne consegue che LV + BR = LQ + BX = EI + DH

Questo è vero qualunque siano i punti I ed H purché ugualmente distanti dal centro G.

Tutte le linee del tipo LV e BR formano la figura ALBCA, mentre le linee EI e DH danno
luogo alla semicirconferenza CDEF. Pertanto queste due figure sono uguali.

Ma il triangolo ACF è duplo del semicircolo CDEF in quanto di base AF uguale al
semicircolo e di altezza uguale al diametro.

Dunque, componendo, l’intero spazio cicloidale sarà sesquialtero del triangolo inscritto
ACF poiché è triplo del semicircolo CDEF ….”
     Curve mirabili




   5) Johann Bernoulli e la curva brachistocrona
Nel 1696 Johann Bernoulli proponeva ai matematici dell’epoca di trovare

‘ lineam curvam data duo puncta in diversis ab horizonte distanctis et non in eadem recta verticali
posita connectentem, super qua mobile propria gravitatem decurrens et a superiori puncto moveri
incipiens citissime discendat ad punctum inferius.’

Il problema era stato affrontato già da Galileo il quale nel 1638 dava del problema una soluzione
errata: pensava che la traiettoria cercata fosse un arco di circonferenza.

La sfida lanciata da J. Bernoulli venne raccolta, tra gli altri, da Newton, da de L’Ospital e dal
fratello Jacob.

Da un punto di vista meccanico il problema è il seguente:
supponendo di considerare due punti A e B che si trovino a quote differenti, determinare la
traiettoria che deve descrivere un grave per andare da A a B nel minor tempo, trascurando
eventuali problemi legati all’attrito.

Si possono prevedere due casi:

    1) Se A e B sono in verticale la traiettoria che risolve il problema è il segmento che unisce i
       due punti.

                                      .A




                                      .B

    2) Se A e B non sono in verticale il problema si presenta più complesso.

        Si potrebbe pensare che la traiettoria cercata sia sempre un segmento, ma semplici
        esperienze dimostrano che ciò non è.

        Bernoulli e la sua brachistocrona

        J. Bernoulli propose una dimostrazione che presenta anche interessanti risvolti didattici.
        Egli paragona
                                     il movimento di caduta del grave
                           al movimento di propagazione della luce in un mezzo,

        problema quest’ultimo già studiato in quel periodo da Snell, Fermat e Cartesio.
    Curve mirabili




Relativamente alla propagazione della luce da un mezzo ad un altro ,J. Bernoulli sapeva che

   nel momento in cui la luce si propaga da un mezzo ad un altro di diversa densità, essa possiede
    una velocità diversa; questo comporta che il percorso descritto non è una retta, ma una spezzata.




                                          iˆ


                                               O

                                                   ˆ
                                                   r




   indicati con iˆ ed r rispettivamente gli angoli di incidenza e di rifrazione del raggio luminoso
                        ˆ
    rispetto alla normale al piano di incidenza valeva la relazione

                                        ˆ
                                     seni
                                          = costante.    (1) (legge di Snell)
                                        ˆ
                                     senr

          Questa legge è in sintonia con il principio di Fermat che asserisce che il percorso seguito
          dalla luce per raggiungere due punti è quello che impiega minor tempo; e quindi la luce
          percorrerà spazi maggiori dove la velocità è maggiore.
          E cioè
                              seniˆ senr ˆ
                                   =         dove v e u sono le velocità di propagazione della luce
                                v      u
          nei due mezzi

          Da ricordare infine che solo all’inizio dell’800 con Fresnel resta determinata la costante
          che interviene nella (1), ossia che

                                        ˆ
                                     seni v
                                           
                                        ˆ
                                     senr u
          dove v e u sono le velocità di trasmissione del raggio rispettivamente nel primo e nel
          secondo mezzo.
         Curve mirabili




Nella sua dimostrazione Bernoulli

   seguendo il principio di Fermat dell’ottica geometrica, sostituisce il problema di caduta di un
    grave con un problema di ottica;
   inoltre mutuando il procedimento degli ‘ indivisibili ‘ già consolidato con Cavalieri, suppone
    che il raggio luminoso passi attraverso un numero n imprecisato di strati ognuno di spessore d
    costante.

         A
         1     α1

         2          α2 α2

         3                  α3   α3

         .

         .

         .

         n                                                                       αn            αn


             In figura con αi si è indicato l’angolo di rifrazione da uno strato a quello successivo e
             l’angolo di incidenza tra quest’ultimo e il seguente.

In questo modo si ha che
-- la velocità del punto che cade varia non con continuità, ma con continui salti da uno strato
   all’altro.
-- in virtù del principio di Fermat in ogni tratto il percorso è rettilineo
-- la traiettoria complessiva che risulta è una poligonale.

Inoltre si sa che
                  la velocità di un punto materiale che parte da una posizione di riposo è proporzionale
alla radice quadrata della distanza in verticale percorsa.
Infatti per il principio di conservazione dell’energia meccanica si ha:
          1 2
            mv  mgh            donde
          2
                                      v  2gh

Pertanto nell’i-esimo strato essa risulterà
                         sen  i
                                  costante dove con d se ne è indicato lo spessore
                            d
     Curve mirabili




Utilizzando poi il metodo degli indivisibili,
                                             nel momento in cui lo spessore d tende a zero,
-- la poligonale tende a una curva,
-- l’angolo αi tende a diventare l’angolo formato tra la curva e la sua retta tangente in un
   punto P.

D’altra parte la relazione precedente
                   sen 
                           costante, dove i è il numero degli strati, deve continuare a valere.
                     i*d

Quindi la curva γ cercata deve essere tale che, se α è l’angolo formato dalla tangente con la
verticale in un qualsiasi punto,

P ( xp , yp ) e h = yA – yP
                              allora
                                       sen
                                                 costante.
                                            h


          A




                                 h



                              P ( xP, yP)

                                α

                                                                                  γ




        La traiettoria non può quindi essere un segmento.
        Infatti, per il principio di Fermat, quando la velocità è minima si devono percorrere spazi i
        più brevi possibili .
        Quindi, in particolare, se la velocità fosse zero allora la traiettoria dovrebbe essere verticale.
    Curve mirabili




La traiettoria γ non può essere un arco di circonferenza come aveva erroneamente ipotizzato
Galileo.

Infatti se γ fosse una circonferenza di raggio r

        A
                                                                          α




                                   h




                           P

                                       α     γ



dal momento che
               h = r senα si avrebbe
                                   sen           h
                                                      rapporto questo non costante dal momento che h
                                          h      r
varia al variare di P sull’arco di circonferenza.

La traiettoria è una cicloide!
Infatti
        la sua equazione parametrica è
                                           y(θ) = r( θ – senθ; 1- cosθ)
      la cui derivata prima
                              y’ (θ) = r( 1 – cosθ; senθ)

      dà le coordinate del vettore velocità

Considerato allora un generico punto P( r( θ – senθ; 1- cosθ)) si ha che il modulo della sua velocità
v è
                                   v  r 2 1  cos
    Curve mirabili



                  
Quindi il versore T della velocità è :

                                      1  cos     sen     
                                     T
                                                ;            ;
                                           2      2 1  cos 
                                                              
                                         
ma la componente orizzontale del versore T è senα, cioè

                                               1  cos
                                                          = senα
                                                  2
Pertanto

                      1  cos
       sen              2        1
                                   rapporto questo costante.
           h         r 1  cos   2r
                                                                   c.v.d.

           A




                                 h


                                 P(xP ; yP )
                                       
                                       T
                                 α

                                                                            γ
      Curve mirabili




    6) Huygens e la curva isocrona
L’isocronismo del pendolo è quel fenomeno per cui le sue oscillazioni si svolgono tutte nello stesso
intervallo di tempo, in modo indipendente dalla loro ampiezza.

La legge dell’isocronismo del pendolo fu formulata da Galileo prima del 1592 in seguito ad una
serie di osservazioni, condotte nella Cattedrale di Pisa, sull’oscillazioni di una lampada votiva.
Questa lampada che costituì i modelli per i suoi studi sul pendolo si trova oggi nella Cappella Aulla
del Camposanto Monumentale di Pisa.

Galileo osservando le oscillazioni della lampada, mossa per l’accensione, misurò i tempi di
oscillazione utilizzando i battiti cardiaci.
In questo modo constatò , in modo abbastanza approssimativo, che i tempi di oscillazione erano
sempre indipendenti dall’ampiezza dell’oscillazione stessa.

Come sappiamo le oscillazioni del pendolo, che descrive archi di circonferenza, non sono
rigorosamente isocrone.
Infatti, solo per angoli di apertura del pendolo dell’ordine di quattro - sei gradi vale con buona
approssimazione la legge

                                   l
                         T = 2        con l lunghezza del filo e g accelerazione di gravità.
                                   g

In questo contesto i fisici successivi a Galileo si posero il problema di trovare, se esistesse, una
curva
        “in modo che un pendolo, che ne descrivesse archi , avesse oscillazioni isocrone”.


La cicloide è la curva isocrona!

Ad Huygens viene attribuito il

    Teorema
           un punto materiale che oscilla descrivendo un arco di cicloide ha un periodo
             che dipende unicamente dalle caratteristiche geometriche della cicloide.

Dim.:
     Considerato un sistema di assi cartesiani ortogonali con l’asse delle ordinate rivolto verso il
     basso, in esso la cicloide “rovesciata” di equazioni parametriche

                                              x  t  sent
                                             
                                              y  1  cost
     Curve mirabili




ammette il seguente grafico:




Si supponga che un grave si trovi in quiete in un punto P0 della curva corrispondente a un certo
valore t0 del parametro t con 0 < t0 < π.

Si dimostra che
                lasciandolo liberamente cadere, il tempo T necessario per arrivare alla posizione
più bassa della cicloide “rovesciata” è indipendente dalla posizione di P0.
Infatti
                                                                     t
                        ( x' )  ( y ' )
                                2         2                   sen
             ds                                      2 
        T =  
                                                     g t 0 cos t 0  cos t
                                                dt                 2       dt
              v     t0
                       2 g  y (t )  y (t 0 )

                                                                                    t
dove si è usata la relazione            ( x' ) 2  ( y' ) 2  2  2 cost  2sen 2     .
                                                                                    2
Ricordando inoltre che
                                                t
                                cost  2 cos2         e quindi
                                                2
                                                                                   t           t
                                                             cost 0  cost  2 cos2 0  cos2    
                                                                                    2          2
e ponendo
                                      t
                                cos     u      t
                                      2    e cos 0  u 0 si ha
                                                 2
                            t
                      sen
     1                                      2        du     2  dw          
                                                             = 
     g t 0                                    t 0 u 2  u 2 g t 0 1  w 2  g
T=                          2         dt =
                t0        t                  g
              cos2  cos2                            0
                 2        2
valore che è indipendente dal punto P0 iniziale.

Quindi qualunque sia il punto P0 sulla cicloide dal quale il corpo parte da fermo il tempo T di
caduta fino al punto più basso è sempre lo stesso.
Ossia la cicloide è isocrona.
Curve mirabili




                         SPIRALE
                       LOGARITMICA

        Ci piace iniziare questo unità con un ricordo giovanile che vuole essere un augurio.

                                               che
 ‘ i calandroni quando con canto melodioso, che è un inno alla primavera, salgono danzando
verso il cielo per individuare il loro nido descrivano spirali logaritmiche muovendosi verso
l’interno in quanto questa traiettoria permette loro di ottimizzare lo sforzo nella ricerca della
posizione’.
     Curve mirabili




Curva ‘ nuova ‘ pure lei. Dotata di innumerevoli proprietà, è stata studiata per la prima volta da
Cartesio nel 1638 e successivamente dai matematici del seicento tra cui merita una nota
particolare Jacob Bernoulli.
Essa permette inoltre di recuperare due argomenti che nella storia della matematica hanno da
sempre destato tanto fascino: la sezione aurea di un segmento e la successione di Fibonacci


 1) Sezione aurea di un segmento
La proposizione 11 del secondo libro degli Elementi di Euclide propone come
          “ dividere una linea secondo una proporzione estrema e media “

In termini attuali Euclide propone di dividere un segmento AB in due parti AC e CB tali che

                                          AB : AC = AC : CB.

                         A                      C                  B
Il segmento AC, medio proporzionale tra tutto il segmento AB e la parte rimanente CB, è detto
                                           sezione aurea
                                                          del segmento AB
 Costruzione diretta:
                         dato il segmento AB determinarne la sua sezione aurea

    -- Disegnata la circonferenza di centro O, diametro ED = AB e tangente il segmento AB in B
    -- condotta la secante AD alla circonferenza passante per il centro O.
              la parte esterna AE della secante è la sezione aurea del segmento dato AB.
    Infatti,
           se dal un punto esterno A si conduce la retta tangente AB e la retta secante AD per
           il teorema della secante e della tangente il segmento di tangenza AB è medio
           proporzionale tra tutta la secante AD e la sua parte esterna AE.

                      Essendo ED = AB e AE = AF si ha
                                          AD : AB = AB : AE
                                  ( AD – AB ) : AB = ( AB – AE ) : AE
                                          AF : AB = FB : AF
                                          AB : AF = AF : FB        c.v.d.


                                                                                   D



                                                                          O
                                                      E



                                      A                   F           B
   Curve mirabili




 Costruzione inversa:
                         trovare quel segmento AB di cui è data la sezione aurea AC

    -- Costruito il quadrato ACDE di lato AC
    -- disegnata la circonferenza di centro M e di raggio MD, essendo M il punto medio di AC
    -- prolungato AC fino a incontrare la circonferenza in B.
                                    il segmento AB è quello cercato.
       Infatti,
                 ˆ        ˆ
               DEB  DBG perché angoli alla circonferenza che sottendono la stessa corda DB,
                ˆ       ˆ                                            ˆ
              AEB  CBD in quanto complementari degli angoli DEB e DBG .   ˆ
              Quindi i triangoli rettangoli ABE e DBC sono simili.
              Pertanto vale la proporzione
                                      AB : AE = CD : BC ossia
                                      AB : AC = AC : BC         c.v.d.

                    E                               D                     G




               A                     M                 C                  B
Particolarità della sezione aurea
   1) proprietà : un segmento è la sezione aurea della sua somma con la sua sezione aurea
                   Infatti data la proporzione aurea
                                                     AB : AC = AC : CB segue
                                            ( AB + AC ) : AB = ( AC + CB ) : AC
                                            ( AB + AC ) : AB = AB : AC

  2) proprietà: tolta la sezione aurea, la parte rimanente di un segmento è la sezione aurea della
                sezione aurea del segmento.
                Infatti posto s = AC e r = CB la proporzione aurea diventa
                                               (s + r) : s = s : r
               Applicando allora le proprietà delle proporzioni si ottiene
                                                 s : (s+r) = r : s e quindi
                                                 s :r = r : ( s-r).
  Nota:
        Queste due proprietà stanno a dire che la sezione aurea di un segmento si autogenera
                              per addizione o per sottrazione.
   Curve mirabili




Delle proprietà sopra evidenziate diamo ora tre applicazioni che utilizzeremo in seguito.

1) Rettangolo aureo.

   Teorema
           Se in un rettangolo ABCD, in cui il lato BC è la sezione aurea di AB, si traccia la
           diagonale AC,
                                      allora
           nel rettangolo AGFE con AG= AD il lato GF è la sezione aurea di AG.
    Dim.
         Dalla similitudine dei triangoli ABC e AGF segue che
                                                              AB : BC = AG : GF c.v.d.

           In particolare il rettangolo GBCM , ottenuto da ABCD togliendo il quadrato AGMD, è
           congruente al rettangolo AGFE e quindi GB è la sezione aurea di BC
           Infatti
                     AB : BC = BC : GB
                     BC : AB = GB : BC
                     BC : ( AB – BC ) = GB : ( BC - GB )
                     BC : GB = GB : FM
                                            c.v.d.
       Ripetendo un qualunque numero di volte l’operazione precedente si ottengono sempre nuovi
       rettangoli i cui lati mantengono sempre le stesse proprietà.

                    D                            M                      C




                    E                                F


                    L                I




                        A          H            G                       B

   2) Triangolo isoscele aureo

        Teorema
              Se nel triangolo isoscele ABC la base BC è la sezione aurea del lato AB
                                      allora
                                                ˆ
                           l’angolo al vertice BAC = π/5
     Curve mirabili




      Dim.:
         Sia BC la sezione aurea di AB.
         Si consideri un punto D su AB tale che CD = BC.
         I triangoli ABC e BCD sono simili e quindi vale la proporzione
                                    AB: BC = BC : BD
         Ma BC è la sezione aurea di AB e quindi
                             BC = CD = AD
                                            e pertanto anche il triangolo ADC è isoscele e
                                   ˆ     ˆ
           sono uguali gli angoli DAC , ACD , DCB .ˆ
                                                                                        ˆ
           Essendo π la somma degli angoli interni di un triangolo segue che l’angolo BAC = π/5.
                                                                                     c.v.d.
                                                   A

                                                        π/5



                                               D 3π/5



                                              2π/5            π/5
                                          B                           C
 Conseguenza
                  La base BC è uguale al lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza.

Consideriamo un decagono regolare inscritto in una circonferenza.
Unendo alternativamente i suoi vertici si ottiene un pentagono regolare inscritto nella stessa
circonferenza; in particolare l’angolo al centro che sottende un qualunque lato vale 2π/5.
Tracciando inoltre dallo stesso vertice del pentagono le due diagonali, essendo l’angolo alla
circonferenza metà del corrispondente angolo al centro, si ripropone con il lato opposto al vertice il
triangolo isoscele con angolo al vertice di π/5 : ne consegue che in un pentagono regolare il lato è la
sezione aurea della diagonale




                                                  π/5
     Curve mirabili




Da un pentagono regolare unendo, in tutti i modi possibili, i suoi vertici si ottiene una figura detta
“pentagramma”; internamente si ottiene ancora un pentagono regolare.

Su questo pentagono ripetendo la costruzione precedente si ottengono ancora le figure iniziali.



                                                     A




                      B                        K                 H                         E




                                          L                            G


                                                         F




                                   C                                          D

Pertanto non solo le coppie di segmenti
                                        AC e CD
hanno le proprietà della sezione aurea, ma pure le coppie
                                                             CD e CL e le coppie CL e LF .

Come semplice curiosità va ricordato che la figura della stella a cinque punte o pentagramma era il
simbolo della scuola pitagorica, scuola che aveva fatto della numerologia una base filosofica.
A tal proposito si ricorda che il pentagono regolare e il numero 5 ad essa associato hanno
un’importanza fondamentale all’interno della filosofia pitagorica: il cinque rappresentava il
matrimonio in quanto somma di 2 numero femminile e 3 numero maschile, mentre il pentagramma
era il simbolo della fratellanza.
   Curve mirabili




   3) Triangolo rettangolo aureo

         Teorema
                        Se in un triangolo rettangolo un cateto è la sezione aurea dell’ipotenusa
                                                   allora
                         la proiezione di questo cateto sull’ipotenusa è la sua sezione aurea.
        Ossia se
                       AC è la sezione aurea di AB allora AH è la sezione aurea di AC.
                                  C




                   A          H              E             B
           Dim.
               Infatti,
                    indicato con E il punto di AB tale che AE = AC per ipotesi si ha che

                                 AB : AC = AC : EB
                         ossia
                                    AC2 = AB * EB

                         Ma per il primo teorema di Euclide si ha anche che

                                    AC2 = AB * AH
                         e quindi
                                     EB = AH
                         Il teorema è quindi vero per la seconda proprietà della sezione aure.
                                                                                                    c.v.d.
                    La stessa costruzione può essere ripetuta sul triangolo ACH e così via

 Rapporto aureo e numero aureo
Risolviamo ora da un punto di vista algebrico il problema della misura del segmento aureo.
Dato il segmento AB = h si ha
                               AB : AC = AC : CB.
                                                          Posto AC = x si ha
                                    h:x=x:(h–x)
                                                          ossia l’equazione
                                       2        2
                                      x +hx – h = 0
                                                          le cui soluzioni sono:
                                          h
                                     x1 = (1  5)
                                          2
                                          h
                                     x2 = (1  5)
                                          2
    Curve mirabili




Eliminando la radice negativa si trova come soluzione del problema
                                  h
                            x = (1  5) = 0,618033..
                                  2

                       x   1 5
   Il rapporto          =       = 0.618033…si dice
                       h     2
                                                rapporto aureo.

      Questo valore rappresenta un numero irrazionale algebrico che generalmente è indicato con φ
      ( phi in onore a Fidia l’architetto del Partenone le cui dimensioni sono in rapporto aureo )

   Il suo reciproco
                   h          1 5
                       1/φ =      = 1.618033…= Φ si dice
                    x           2
                                                                        numero aureo
   Sue proprietà.

           1)        Φ = 1 + φ.

                      Infatti

                                     1 5 111 5 2 1 5      1 5
                                Φ=                        1        1 φ
                                       2      2        2          2

                                       2
                         1 5    3 5
           2)        Φ = 
                       2
                          2 
                                      = 1+Φ
                                   2



           3)         Φ = 1    1  1    1  1  1    1  1  1  1  ...

                           cioè Φ ha il valore della radice continua.

                                       1            1               1               1
           4)        Φ = 1 + φ = 1+       = 1+           =1+              =1+
                                                1
                                                      1
                                                                1
                                                                      1
                                                                              1
                                                                                      1
                                                                  1
                                                                        1
                                                                                 1
                                                                                        1
                                                                                   1
                                                                                          1
                                                                                       1  ...
                           cioè Φ ha pure il valore della frazione continua.

“ la geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora, l’altro è la divisione di un
segmento secondo il medio ed estremo. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro e
definire il secondo una pietra preziosa”. Keplero…………………………………………………………..
   Curve mirabili




Al valore 5 che compare nella formula precedente è forse legato il problema della scoperta della
incommensurabilità di alcune grandezze.
Sembra che i primi a imbattersi in questo numero e quindi a scoprire la incommensurabilità tra il
segmento dato e la sua sezione aurea siano stati proprio i pitagorici nel momento in cui hanno
affrontato lo studio delle proprietà del pentagono.
Va inoltre ricordato che uno dei fondamenti della loro filosofia era che l’essenza di tutte le cose,
sia in geometria come nella vita pratica, fosse regolato da principi che traevano fondamento da
proprietà specifiche dei numeri interi o di loro rapporti.
La scoperta che ci potessero essere grandezze che non sono catalogabili in questa tipologia di
rapporti minò alle fondamenta tutta la loro impostazione filosofica.

Il numero φ nasce quasi certamente nell’antica Grecia, anche se alcuni storici lo datano molto
prima: per esempio sarebbe stato utilizzato come rapporto tra dimensioni nelle costruzioni delle
Piramidi già dagli Egizi.
Certo che la civiltà greca classica, in particolare le scuole che si rifacevano ai Pitagorici e a
Platone, tentarono di unificare tutte le arti e le scienze secondo rapporti aurei in quanto si riteneva
piacessero alle divinità.
Artisti e architetti facevano ricerca di tale rapporto nelle loro opere che usavano nella
costruzione di templi ( Partenone ), piazze ( Acropoli ), abitazioni private, vasi e statue.
Pure nel Rinascimento italiano troviamo tale rapporto. Per tutti basti pensare a Leonardo il quale
ha praticato un uso continuo della divina proporzione: la ritroviamo in particolare nella
Gioconda, nell’ Ultima Cena e nell’ Uomo.




 2) La successione di Fibonacci
Leonardo Pisano, detto il Fibonacci , è stato uno dei più illustri matematici italiani del Medioevo.
Figlio di un mercante di Pisa fin da piccolo visse, seguendo il padre nei suoi viaggi, nei paesi arabi
dove ebbe la possibilità non solo di visitare l’Egitto, la Siria e la Grecia ma pure di studiare con
maestri mussulmani.
Questo gli permise di approfondire i metodi algebrici arabi e il loro sistema di notazione indo-
arabico.
Tornato in Italia pubblicò nel 1202 ‘ Liber abaci ‘ in cui espose i fondamenti di algebra in uso
presso gli Arabi.
Il Fibonacci è ricordato soprattutto per la successione che porta il suo nome e legata al problema di
riproduzione dei conigli.
Infatti nell’anno 1223 a Pisa l’imperatore Federico II di Svevia bandì una gara di matematica il cui
quesito era:
 “ quante coppie di conigli si ottengono in un anno ponendo che ogni coppia dia alla luce un’altra
coppia ogni mese e che una nuova coppia sia in grado di riprodurre sempre con le stesse modalità
al secondo mese di vita. “
Curve mirabili




La risposta di Fibonacci si articolò secondo il seguente schema:

                                                             CC     CC       CC

                                                                            CC

                                                                            CC


                                    CC          CC           CC     CC       CC


                                                                    CC       CC


                                                             CC     CC       CC

                                                                            CC

                                                                             CC

CC               CC     CC          CC          CC           CC     CC       CC

                                                                    CC       CC

                                                                            CC

                                                 CC          CC     CC      CC

                                                                    CC       CC

                                                                            CC

                                                             CC     CC       CC

                                                                            CC

                         CC         CC           CC          CC     CC      CC

                                                                    CC       CC

                                                                    CC       CC

                                                 CC          CC     CC       CC

                                                                            CC
  1              1       2          3            5            8      13      21
                       (1+1)      (2+1)         (3+2)       (5+3)   (8+5)   (13+8)
     Curve mirabili




Come si nota dallo schema, questa successione è caratterizzata dal fatto che

ogni suo elemento, eccetto i primi due che sono uguali a uno, è dato dalla somma dei due che lo
precedono.

In modo formale
                                                  Fn-2 * Fn-1 = Fn .

    Alcune proprietà della successione di Fibonacci

       La successione di Fibonacci gode di molteplici proprietà.
       Ne presentiamo alcune che si prestano a una dimostrazione con il metodo dell’induzione.

    1) Sommando, partendo dal primo, n elementi della successione e aggiungendo 1 si ottiene
       ancora un numero della successione che segue di due l’ultimo scritto.

         In modo formale
                                                   F1+ F2 + F3+… + Fn + 1 = Fn+2

        La dimostrazione, condotta per induzione, si articola in tre parti:

    a) La proposizione è vera per un valore iniziale, per esempio n = 1
                                                                        F1 +1 = F3.
    b) Supposta vera la proposizione per un n qualsiasi
                                                                 k 1 Fk +1 = Fn+2.
                                                                   n


    c) La si dimostra vera per l’indice successivo
                  Infatti
                        k 1 Fk +1 = k 1 Fk + Fn+1 +1 = Fn+2 + Fn+1 = Fn+3.
                           n 1          n




        Quindi si può affermare che la relazione è vera.

    2) Moltiplicando la somma di due termini alterni della successione per l’elemento centrale si
       ottiene l’elemento della successione il cui indice è dato dalla somma dei due indici alterni

        In modo formale
                       ( Fn + Fn+2 )* Fn+1 = F2n+2

        Si considerino le proposizioni:
                    P(1): F2n+2 = F2 * F2n+2-1 + F1 * F2n+1-1
                    P(2): F2n+2 = F3 * F2n+2-2 + F2 * F2n+1-2
                    P(3): F2n+2 = F4 * F2n+2-3 + F3 * F2n+1-3
                    P(4): F2n+2 = F5 * F2n+2-4 + F4 * F2n+1-4
                      .........................     ..............................   ...................................
                       P(k): F2n+2 = Fk+1 *F2n+2-k + Fk * F2n+1-k
Curve mirabili




       Si prova che la proposizione P(k) è vera.

       La dimostrazione condotta per induzione si articola in tre parti..

                 a) la proposizione è vera con k = 1
                                              P(1): F2n+2 = F2 * F2n+2-1 + F1 * F2n+1-1
                                              P(1): F2n+2 = F2n+1 + F2n

                 b) supposta vera la proposizione per un k qualsiasi
                                        P(k): F2n+2 = Fk+1 *F2n+2-k + Fk * F2n+1-k

             c) si dimostra vera la proposizione per il k successivo
                 Infatti da
                       P(k): F2n+2 = F2n+1 + F2n = Fk+1 *F2n+2-k + Fk * F2n+1-k
                                                 = Fk+1 *( F2n+1-k +F2n-k ) + Fk * F2n+1-k
                                                 = F2n+1-k ( Fk+1 + Fk ) +Fk+1 * F2n-k
                                                  = Fk+2 *F2n+1-k + Fk+1 * F2n-k
                  Ossia
                        F2n+2 = F2n+1 + F2n = Fk+2 *F2n+2-k-1 + Fk+1 * F2n+1-k-1
                                                                                 che è proprio P(k+1).
          Quindi la proposizione P(k) è vera per ogni k.

           Tornando alla proposizione da provare
                                                            ( Fn + Fn+2 )* Fn+1 = F2n+2

           Si ha che la proposizione precedente P(k) con n = k diventa

                                      P(n): F2n+2 = Fn+1*( Fn + Fn+2)
                                                                        c.v.d.

    3) Sommando i quadrati di due elementi consecutivi della successione si ottiene ancora un
       numero della successione di posto uguale alla somma dei due indici.

          In modo formale
                               (Fn )2 + ( Fn+1 )2= F2n+1

          Per induzione si ha:

                 a) la proposizione è vera per n = 1
                                                    (F1 )2 + ( F2 )2= F3

                 b) posta vera per un n qualsiasi
                                                 (Fn )2 + ( Fn+1 )2= F2n+1

                 c) la proposizione si dimostra vera per il successivo n+1
                                                                         (Fn+1 )2 + ( Fn+2 )2= F2n+3
Curve mirabili




                     Infatti
                           (Fn+1 )2 + ( Fn+2 )2= (Fn +1 )2 + ( Fn+1 + Fn )2=
                                               = (Fn+1)2 + (Fn+1 )2 2Fn+1*Fn +(Fn )2
                                               = (Fn+1 )2 +F2n+1 + 2Fn+1*Fn
                                               = F2n+1 +Fn+1* ( Fn+1+ Fn )
                                                                       per la proprietà del punto precedente
                                               = F2n+1 + F2n+2
                                               = F2n+3
                                                        c.v.d.

    4) Ma la successione di Fibonacci ha una proprietà che la accumuna alla sezione aurea.

          La successione che si ottiene facendo il rapporto tra due elementi consecutivi della
          successione di Fibonacci tende o al rapporto aureo o al numero aureo
          In modo formale
                                    F
                           -- lim n  φ
                               n F
                                     n 1
                                                       ovvero
                                   F
                           -- lim n = Φ
                              n F
                                    n 1


           Infatti
                     il rapporto tra due elementi della successione è del tipo:

                     Fn 1      F            1            1                1                 1
                            1  n 1  1         1            1                1
                      Fn         Fn          Fn             1                1                 1
                                                       1             1                 1
                                            Fn 1         Fn 1              F                   1
                                                                         1  n2            1
                                                          Fn  2             Fn  3            1  ...


         Per n → +∞ il rapporto tra due elementi consecutivi ripropone la frazione continua
         trovata precedentemente per Φ.
   Curve mirabili




 3) Spirale logaritmica
Si consideri
               -- una semiretta di origine O che ruota di moto uniforme attorno ad O
               -- un punto P che si muove sulla semiretta con velocità proporzionale alla sua distanza
                 dall’origine.
                          Il luogo dei punti descritto da P è la spirale logaritmica
Il suo grafico è il seguente:




 Equazione polare
Fissato un sistema di riferimento polare di asse una semiretta di origine O.
Siano
      -- a la distanza iniziale del punto P dall’origine
      -- ω la velocità angolare costante con la quale si muove la semiretta origine attorno ad O
      -- θ l’angolo fra l’asse polare e la semiretta che ruota , supposto che all’istante t=0
         l’angolo sia nullo
      -- v la velocità del punto P.
      -- ρ la distanza di P dall’origine in un istante t
Si ha
                       θ=ωt
                       v=hρ       (1)
Da (1) si ottiene
                     d              d
                          h →           hdt → ln   ht  c →   e ht  c →   e ht e c
                      dt              
 Poiché per t = 0 è
                       ρ = a si ha a  e c e quindi   ae ht
 D’altra parte,
                                                          
                                                      h
                    essendo t = θ / ω si ha   ae        
                                                          e quindi
                                        kθ
                                 ρ = a*e
                                           che è l’equazione canonica della spirale logaritmica

Poiché θ si ricava dalla notazione precedente applicando i logaritmi le è stato attribuito il nome di
                                      spirale logaritmica.
  Curve mirabili




Proprietà

   1) è una curva che per angoli che crescono in progressione aritmetica i raggi vettore crescono
      in progressione geometrica.
       Per tale motivo è pure detta
                                    spirale geometrica
      Infatti
              in un riferimento polare si dimostra che la successione di punti Pn (ρn ,θn ) tali che:

                     ρn = ρn-1 *q con ρ0 = a
                     θn = θn + d con θ0 = 0
                                                                                                 ln q
                                                                                                      
                                                   appartiene all’equazione ρ = a* e              d
                                                                                                          (1)

        La dimostrazione condotta per induzione si articola in tre parti:
             1) il punto P0 soddisfa l’equazione

                   2) supposto che il generico punto Pn la soddisfi, ossia che
                                             ln q
                                                  n
                                 ρn = a* e    d
                                                       sia vero

                   3) si dimostra che pure Pn+1 ( ρn*q, θn +d) soddisfa l’equazione (1).
                      Infatti
                                          ln q                             ln q
                                               ( n  d )           1            n  ln q
                              q*ρn = a* e  d
                                                          →    ρn = a* e d
                                                                    q
                                             ln q                                      ln q
                                  1               n                                        n
                              ρn = a* e       d
                                                       e   ln q
                                                                       →   ρn = a* e    d
                                                                                                  c.v.d.
                                  q

   2) l’angolo ψ compreso tra un qualsiasi raggio vettore e la tangente alla curva è costante.
      Per questo è pure detta
                                   spirale equiangolare
      Infatti
              cotgψ = dρ/ρdθ = (a*k*ekθ )/ a*k* ekθ dθ = k

                                                                  dρ                       ψ
                                    ρdθ
                                                                                       P
                                     dθ
                                                                  O                                raggio vettore

                                                                                                           retta tangente

        Una spirale logaritmica è definita dunque, fissato il centro, dall’angolo tangenziale polare ψ
        che la retta tangente alla curva forma con il raggio vettore OP in un suo qualsiasi punto P.
Curve mirabili




     3) La curva su una semiretta uscente da O stacca segmenti che sono tra loro in proporzione.
        Per questo è pure detta
                                spirale proporzionale




          Dimostriamo che
                                 la costante di proporzionalità vale e 2 k .
           Infatti,
                      lungo una semiretta uscente da O si considerino i punti della spirale
                          P1( ρ1 , θ ); P2( ρ2 , θ+2π ); P3( ρ3 , θ+4π ); … Pn( ρn , θ+(n-1)*2π ) …

                  i cui raggi vettori valgono rispettivamente
                        ρ1 = a*ekθ ; ρ2 = a*ek(θ+2π); ρ3 = a*ek(θ+4π); … ρn = a*ek(θ+(n-1)2π)…

                  mentre gli incrementi di lunghezza sono
                                                        i1 = ρ2 – ρ1 = a*ekθ*( e2kπ - 1 )
                                                        i2 = ρ3– ρ2 = a*ekθ*ek2π *( e2kθ – 1 )
                                                        i3 = ρ4 - ρ3 = a*ekθ*e4kπ *( e2kπ – 1 )
                                                        …= ….
                                                        in = ρn+1 – ρn = a*ekθ *e(n-1)k2π *(e2kπ – 1 )..
          Si ha che
                         in
                               = e2kπ
                        i n 1
             La dimostrazione condotta per induzione si articola in tre punti:
                                                              i2
                        1) è vera per un valore iniziale         = e 2 k
                                                              i1
                                                                           in
                        2) supposta vera per un valore n qualsiasi               = e 2 k
                                                                          i n 1
                                                                   i n 1    a * e k * e nk 2 (e 2k  1)
                             3) si dimostra vera per il successivo        =      k     ( n 1) 2 k   2 k
                                                                                                             = e 2 k
                                                                     in     a *e *e                  (e  1)
                                                                                                              c.v.d.
Curve mirabili




4) Quando tre raggi OA, OB, OC formano angoli tra loro uguali allora il raggio centrale OB
   è medio proporzionale tra gli altri due, ossia

                                                         OA : OB = OB : OC
    Per questo è anche detta
                                       spirale continua
    Infatti
                                                                              ˆ     ˆ
                 siano dati tre raggi vettori OA, OB, OC tali che gli angoli AOB = BOC .

                                                 C

                                                                  B



                                                                               A

                                                          α
                                                              α

                                                     O


    Posto
                    OA= a*ekθ ; OB = a*ek(θ+α); OC = a*ek(θ+2α)

   si ha che

                    OA * OC = (a*ekθ )* ( a*ek(θ+2α) ) = a2*e2k(θ+α)

                     OB * OB = (a*ek(θ+α) )2 = a2*e2k(θ+α)
                                                                      c.v.d.

 5) La spirale logaritmica è infinita nei due versi.

    Infatti
                 non parte dal centro O ma si trova inizialmente a distanza a dal centro O.
                 Inoltre se
                 -- θ assume valori positivi crescenti, il punto che descrive la spirale logaritmica si
                     allontana velocemente dal centro.
                 -- θ assume valori negativi in valore assoluto crescenti il punto descrive infinite
                    rivoluzioni avvicinandosi asintoticamente al centro O, senza mai raggiungerlo.
 Curve mirabili




6) Partendo da un punto P e muovendosi all’interno della spirale, si deve girare infinite volte
   attorno al centro prima di raggiungerlo;tuttavia la distanza percorsa è finita.

   La prima dimostrazione di questa proprietà è dovuta a Torricelli con un procedimento lungo e
   complesso.
   Con gli strumenti dell’analisi si ha che la lunghezza della curva tra due punti A, B è

                                                                   
                           ds 2   2   '2 d 2  e 2 k  k 2e 2 k d 2
                  cioè

                           s=
                                2
                                1
                                                     1  k 2 k 2
                                     e k 1  k 2 d =
                                                       k
                                                                  
                                                             e  e k1        
   Pertanto, se per esempio il punto A tende asintoticamente su O attraverso infinite evoluzioni,
   ossia se se θ1 tende a -∞ allora la lunghezza dell’arco s vale

                                 1  k 2 k 2
                           s=           e
                                   k
                                                  c.v.d.

7) In una spirale logaritmica ad angoli che crescono in progressione aritmetica corrispondono
   archi che crescono in progressione geometrica.

  Dalla proprietà precedente si ottiene che              la lunghezza degli archi è proporzionale alla
 differenza dei corrispondenti raggi vettori.
  Infatti, l’arco di curva

                                   AB =
                                               k
                                                     
                                             1  k 2 k 2
                                                     e e   k1
                                                                  
                                                                  2   1 
                                                                               1 k 2
                                                                                k
   Inoltre, nella proprietà 1) si era visto che ad angoli che aumentano in progressione aritmetica
   corrispondono raggi vettori che aumentano in proporzione geometrica.
   Ma, se i raggi crescono in progressione geometrica pure la loro differenza cresce in
   progressione geometrica.
   Pertanto in una spirale logaritmica non solo i raggi vettore ma pure gli archi aumentano in
    progressione geometrica.
                                                      c.v.d.

8) In una spirale logaritmica le corde sottese da angoli uguali sono in progressione geometrica
.
  Infatti
       si in un piano polare considerino i punti

                  P1( ρ1 , θ ); P2( ρ2 , θ+α ); P3( ρ3 , θ+2α ); … Pn( ρn , θ+(n-1)α ) …

       i cui raggi vettori valgono rispettivamente

                  ρ1 = a*ekθ ; ρ2 = a*ek(θ+α); ρ3 = a*ek(θ+2α); … ρn = a*ek(θ+(n-1)α)…
   Curve mirabili




    mentre i vettori differenza sono

                                    d1 = ρ2 – ρ1 = a*ekθ*( ekα- 1 )

                                    d2 = ρ3– ρ2 = a*ekθ*ekα *( ekα – 1 )

                                    d3 = ρ4 - ρ3 = a*ekθ*e2kα *( ekα– 1 )
                                              …= ….
                                    dn = ρn+1 – ρn = a*ekθ *e(n-1)kα *(ekα– 1 )..

   Si dimostra che
                     i vettori di sono in progressione geometrica.

    La dimostrazione condotta per induzione si articola in tre punti:

                      1) è vera per una coppia iniziale
                               d2 = d1 *ekα

                      2)   supposta vera per un valore coppia qualsiasi
                               dn = dn-1*ekα

                      3) si dimostra vera per la coppia successiva

                      4) dn+1 = dn *ekα
                                          c.v.d.


   5) Inoltre le spirali logaritmiche sono auto simili nel senso che sono congruenti a se stesse
      sotto trasformazioni di similitudine ( scalandole si ottiene lo stesso risultato che
      ruotandole).



Jakob Bernoulli che ne studiò le molteplici proprietà rimase talmente affascinato da questa curva
da chiamarla
                                         spira mirabilis

e da volerne una incisa sulla sua tomba accompagnata dalla scritta

                                       eadem mutata resurgo

 Sfortunatamente per lui sulla sua lapide a Basilea compare incisa solo una spirale archimedea.
      Curve mirabili




 Spirale logaritmica aurea


 La spirale aurea è quella particolare spirale logaritmica per cui ad angoli che crescono di α
corrispondono raggi vettori tra loro in rapporto aureo.

Ossia,
           dati
                                      ( )  a * ek

                                   (   )  a * e b (  )  a * e b * e b ,
    se il loro rapporto
                                (   ) a * e b * e b
                                                          e b  
                                   ( )      ae  b


                                                                    allora la spirale si dice aurea




 4) Spirale aurea con riga e compasso


      1)      Spirale aurea costruita per punti mediante un
                                                                          triangolo isoscele aureo

              I ) costruzione
                            Sia OX la semiretta polare

               Si traccino, uscenti da O, cinque semirette che formino tra loro angoli di 2π/5 di cui una
                coincidente con OX

                                                                                     ˆ
               Si costruisca il triangolo isoscele OP1P2 con l’angolo al vertice OP1 P2 di misura π/5
                Allora OP1P2 è un triangolo ‘aureo’ in cui OP2, la base, è la sezione aurea di OP1, lato.

                                                      ˆ
               Si tracci la bisettrice dell’angolo OP2 P1 che interseca la semiretta OX in Q ;
                allora ( per proprietà già analizzate ) si ha che OQ è la sezione aurea di OP2 .

               Sulla semiretta uscente da O che forma con OP2 un angolo di 2π/5 si prenda un punto P3
                tale che OP3 = OQ

               Si costruisca il triangolo OP2P3 che risulta essere isoscele aureo sulla base OP3 .

.
Curve mirabili




     Si ripeta successivamente più volte questa operazione

       I punti P1, P2, P2, P3, P4, P5 , P6 , P7 , …così determinati sono punti di una spirale
       logaritmica aurea di angolo 2π/5




                                              P2

                                   O          P6       Q


                     P3

                                    P7                         π/5
                                         O
                                                  P6       Q          P1                        X


                       P4
                                             P5
Curve mirabili




  II) costruzione
            Si consideri il triangolo isoscele aureo ABC in cui BC è la sezione aurea di AB.

                                                ˆ
        Si conduca da la bisettrice dell’angolo ACB che incontra ACB in E

        Pure il triangolo BCE è isoscele aureo.

       Si ripeta l’operazione più volte.

        Tutti i punti dei vari triangoli isosceli che vengono costruiti in questo modo sono punti
        che appartengono a una spirale logaritmica aurea di angolo 2π/5.
         Infatti i segmenti che congiungono questi punti, presi due a due in modo progressivo,
         rappresentano corde della curva che sono tra loro in progressione geometrica e quindi
         per la proprietà 7) la spirale è aurea.

        In questo caso non resta definita l’origine….




                                                        A




                                      E


                                            H       G       D

                                                F


                              B                                              C
   Curve mirabili




   2)        Spirale aurea costruita per punti mediante un
                                                                    quadrato aureo

            Si consideri un sistema di coordinate polare OX

                   Uscenti da O si considerino quattro semirette perpendicolari fra loro di cui una
                    coincidente con OX

                   Si costruisca il rettangolo aureo OP1P2P3 in cui P1P2 è la sezione aurea di OP1

                   Il rettangolo AP1P2B è aureo e lo si riporti in OP3P4 P5

                   Si ripeta successivamente questa costruzione.

           I punti P1 , P3, P5, P6, P7 …. sono punti di una spirale logaritmica di angolo π/2.


                           P4                       P3                          B                      P2




                         P5
                                                     O    P7                    A                  P1



                                                P6




In questo caso con α = π/2
                                             ln 
                                si ha   k=
                                              /2

Da notare la particolarità di queste spirali auree :
mettono in relazione la costante k con le due costanti più significative di tutta l’analisi      e e π.
Curve mirabili




3)        Spirale aurea costruita per punti mediante
                                                  un triangolo rettangolo aureo

         Si consideri un sistema di coordinate polare OX

           Si costruisca il triangolo rettangolo aureo OP1P2 in cui OP2 è la sezione aurea di OP1 .

           Si indichi con H la proiezione di P2 su OP1.
            Pure OH è la sezione aurea di OP2 .

           Si costruisca su OP2 il triangolo rettangolo aureo OP2P3.

           Si ripeta successivamente questa costruzione.

         I punti P1, P2, P3, P4, P5, ... appartengono a una spirale logaritmica di angolo α tale che
         cosα = φ

         Infatti
                       OP2 = OP1 cosα
          ma
                  OP2 / OP1 = φ
                                        da cui segue cosα = φ




                                        P2



                  P3


             P4               α
                         O              H                                 P1
Curve mirabili




4)        Spirale aurea costruita per punti mediante la
                                                                  successione di Fibonacci

          Come abbiamo visto c’è una stretta relazione tra sezione aurea e numeri di Fibonacci.
          Questo legame coinvolge anche la spirale aurea.
          Infatti,
                   partendo dalla successione di Fibonacci è possibile costruire una curva che
          approssima una spirale laurea. Vediamo come.

            Si costruisca una serie di quadrati in cui, dopo i primi due tra loro uguali, il lato del
             quadratosuccessivo è la somma dei lati dei due precedenti e tracciamo un arco di
             cerchio ( vedi figura ).
         La curva che si ottiene, come spiegato dagli esempi, è una spirale che approssima
         quella logaritmica.
                                                             C     B     E
        Infatti, sia dato un quadrato ABCD con AB = 1,              1    1
        si costruisca successivamente il quadrato ABEF. D           A F
        Centrando in A si costruisca l’arco di cerchio BF


        Sul rettangolo DFEC si costruisca il                  C                        E
        quadrato DFGH.                                                1        1
        Con centro in D si costruisca l’arco FH .             D                        F
                                                                          2

                                                                  H                    G

       Sul rettangolo CHGE                 L                  C                    E
      si costruisca il quadrato CHIL.                                 1        1
      Si costruisca con centro in C .
      l’arco HL                                          3                2


                                            I                 H                    G

     Sul rettangolo LEGI si                 N                                          M
     costruisca il quadrato LEMN.
     Si costruisca con centro E
     l’arco LM.                                               5



                                            L                     C                    E
                                                                      1        1

                                                          3                2


                                            I                 H                    G
   Curve mirabili




Sul rettangolo NIGM si costruisca              N                           M        O
il quadrato MOPG.
Si costruisca con centro G l’arco MP.
                                                   5
                                                                                8


                                               L       C                   E
                                                           1       1

                                                   3           2


                                               I       H               G            P

Sul rettangolo NIGM si costruisca              N                           M        O
il quadrato MOPG.
Si costruisca con centro I l’arco PQ.
                                                   5
                                                                                8


                                               L       C                   E
                                                           1       1

                                                   3           2


                                               I       H               G            P

L’operazione si può ripetere infinite volte.
E quindi……



                                                                           13
Curve mirabili




                   IL MAESTRO
                 AMEDEO FIORESE
                                                 Curve mirabili




“L’artista nasce nel 1939 e la sua biografia è la storia di una vocazione precoce e di una carriera
di riconoscimenti. Ha solo 17 anni quando vince il Concorso del Vaso Triveneto ed è subito
contattato dal direttore della commissione Giorgio Wenter Marini, che vuole saggiarne le
potenzialità. Sostenuto da una borsa di studio procuratagli dallo stesso Marini, porta a termine con
successo gli studi presso l’Istituto d’Arte di Venezia. Nel 1963, ottenuta l’abilitazione a Padova,
diventa docente di disegno nelle scuole superiori. Nel frattempo la sua attività non si interrompe,
culminando nella partecipazione alle Biennali di Venezia del 1958, del 1959 e del 1962, in diverse
esposizioni personali, e nella medaglia d’oro al Concorso internazionale di Faenza del 1976,
grazie al quale le sue opere vengono esposte in Giappone.
Nel 1983 lascia la cattedra per dedicarsi a tempo pieno alla scultura. Da quel momento la sua
biografia coincide con le tappe evolutive della sua creatività.
Come narrano le cronache, una tappa fondamentale della vita artistica di Fiorese è stata l’attività
degli anni Settanta nella fonderia Bonvicini di Verona, dove ha avuto modo di confrontarsi e
imparare nuove tecniche accanto alla presenza di grandi maestri della ricerca plastica quali De
Chirico, Pomodoro e Manzù. L’eco di questa esperienza traspare in molte sue sculture.




                                    Viaggio cosmico
     Curve mirabili




Amedeo Fiorese appartiene a quel genere, ormai raro, di maestro di bottega. Le sue opere sono le
sue creature e quando le mostra ai visitatori chiede pareri e conferme, ma soprattutto una
condivisione consapevole della fatica amorosa che ha dedicato alle forme, alle luci e ai colori delle
sue opere.
Nella storia della sua ricerca prevale oggi, come scelta preminente, l’astrazione, dove egli si
manifesta uno sperimentatore di materiali.
La ceramica, il grés, la porcellana, il bronzo, l’oro, le resine, la pittura, il marmo, corrispondono
tutti alla sua anima di alchimista.




               Forma in azione n.2.                             Acrobata




               Fonte battesimale                              Legami

Questo è il luogo interiore e magico nel quale ha inizio l’elaborazione delle sue sculture, ognuna
delle quali esprime significati strettamente connessi alla sua essenza tattile e visiva. Se da una
parte l’artista sperimenta attraverso il materiale, dall’altra egli ricerca con passione la forma. Non
troviamo nella sua vasta produzione informali modelli estetici standardizzati, poiché è assai bene
applicata un’originale tecnica compositiva che rende espressivo, irripetibile ed estremamente teso
il risultato finale. Da questo punto di vista sono precipue e significative le sue sculture realizzate in
grés, dove un particolarissimo procedimento di impasto con ossidi di ferro crea venature e
stratificazioni irregolari che esaltano, per contrappunto cromatico, la predisposizione geometrica
che sta alla base dell’invenzione strutturale.” [Paolo Levi]
      Curve mirabili




Amedeo Fiorese è dunque un artista eclettico, in continua ricerca di idee e forme, in costante
osservazione del mondo esterno per carpire significati, emozioni, colori, contrasti, che poi con
mirabile esperienza e maestria sa interiormente sintetizzare e armonizzare e quindi tradurre nella
produzione.




                       Matador                                     Viaggio cosmico

Inventando modi e composizione di materiali diversi che ordina e converte in arte, dà anche
significato ed espressione ad oggetti di per sé insignificanti: fili di ferro, cassette di plastica, parti di
strumenti e di utensili non più funzionanti.
Riesce così a ridare vita e protagonismo anche a ciò che viene dismesso e destinato all’oblio,
rendendo interessante un materiale povero quanto un materiale prezioso.
Questa uguaglianza, quasi una materiale democrazia, che non consente all’oro di essere più
importante del caolino o la lucentezza del bronzo non appannare il grigiore di un marmo, rende
piacevoli e mirabili le sue opere.




                  Fiore                                         Inno alla contemporaneità

Dunque materiali molteplici e forme sempre in evoluzione, dimensioni e strutture sempre diverse:
non esiste la parola monotonia nel prodotto artistico del Maestro.
Niente di improvvisato o casuale. Basta ripercorrere le tappe della sua vita e ascoltare il suo passato
per rendersi conto di quanto impegno, quanto studio, quanto lavoro sono alla base della sua
formazione; poi il meritato successo!
     Curve mirabili




 Il Maestro e i ragazzi del Progetto

La presentazione delle proprie opere al gruppo di allievi rende gli ascoltatori particolarmente
incuriositi ed interessati.

L’artista più volte sottolinea il contenuto matematico e analitico delle linee e delle forme: vuole
rendersi conto del legame tra le evoluzioni spaziali delle sue sculture e il contenuto rigoroso della
geometria che esse esprimono.




Questo è il segnale chiaro e distinto che rende partecipe e stimola la platea ad essere coinvolta in
questo ambizioso e difficile progetto: ricercare e individuare nelle sue opere le mirabili curve che ne
configurano le opere della sua arte.

Anzi, si cercherà di andare oltre: individuare quelle curve per inventare altre nuove strutture ed
oggetti che le rappresentino. Il compito viene recepito dagli studenti che si ripromettono di
individuare parziali rappresentazioni delle curve studiate nelle sculture del Maestro, con
l’intenzione di trarre ispirazione per poterle inserire in pur modesto lavoro personale da produrre nel
giro di poche settimane.

								
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