Wiskunde in de nieuwe onderbouw by HC12022604459

VIEWS: 46 PAGES: 15

									Wiskunde in de nieuwe onderbouw in scenario 4
juli 2005
Deze notitie is tevens te vinden op www.fi.uu.nl/nl/vo (onderwerp ‘nieuwe leren’).

Het Freudenthal instituut werkt samen met scholen voortgezet onderwijs om invulling te
geven aan wiskunde in de nieuwe onderbouw. De nieuwe onderbouw zal voor alle scholen
starten op 1 augustus 2006. In het seizoen 2005-2006 gaat het Freudenthal instituut verder met
de ondersteuning van scholen en onderzoek naar een goede invulling van wiskunde in de
onderbouw.
Naast deze ‘pragmatische’ ondersteuning van scholen voert het Freudenthal instituut ook
onderzoek uit naar deze nieuwe vormen van wiskunde onderwijs. Hierover zal regelmatig
gerapporteerd worden in de Nieuwe Wiskrant, Euclides en andere vakbladen.


Inhoud
   Over kerndoelen en scenario’s
   Principes van realistisch wiskunde-onderwijs
   Algemene karakteristiek van wiskunde in de onderbouw
   Welke rol heeft wiskunde?


Over kerndoelen en scenario’s

Stelling          Wiskundedoelen blijven bestaan ook in de nieuwe onderbouw

De nieuwe onderbouw laat meer ruimte voor scholen. De kerndoelen (zie bijlage) zijn
algemener gemaakt en er zijn er minder, zodat bij de invulling door de school en docenten
zelf keuzes gemaakt kunnen worden. De beschreven “scenario’s” (zie het rapport van de
taakgroep vernieuwing basisvorming, 2004) laten veel toe. Scholen kunnen de
vakkenstructuur vrijwel ongemoeid laten (scenario 1), kunnen projecten per vak uitvoeren
(scenario 2), kunnen regelmatig vakoverstijgend werken (scenario 3), of kunnen een stap
maken naar volledig competentiegericht onderwijs (scenario 4).

Hoewel wiskunde nog als apart leergebied is opgenomen in de stukken van de taakgroep
zullen veel vernieuwende scholen nadrukkelijk proberen wiskunde beter vervlochten te
krijgen, onder andere in (vakken)clusters als ‘exact’, ‘science’, e.d. (scenario 3), en in
projecten en thema’s als ‘de Middeleeuwen’, ‘het bewegende lijf’, ‘natuur en techniek’
(Scenario 4). Andere scholen zullen overigens wiskunde als zelfstandig vak in principe
ongemoeid laten.

In zijn algemeenheid kan gesteld worden dat binnen de nieuwe onderbouw een
schoolwiskunde past, waarin naast de aandacht voor opbouw van (basis)vaardigheden binnen
de wiskunde ook aandacht zal zijn voor ‘gecijferdheid’ en samenhang met andere vakken. Dit
vind je onder meer ook terug in de karakteristiek van het vak, zoals de taakgroep die beschrijft
(zie bijlage).




1
Hoewel het Fi betrokken is bij diverse activiteiten op het gebied van wiskunde(onderwijs) in
de nieuwe onderbouw (Wisbaak, Technasium, Wismaat) , leggen we in de rest van deze
notitie de nadruk op plaats en rol die wiskunde kan hebben in scenario 4 scholen.


Principes van realistisch wiskunde-onderwijs

Stelling          De principes van realistisch wiskunde-onderwijs zijn onverkort van kracht
                  voor scholen die kiezen voor scenario 4

De benadering door het Freudenthal instituut van het rekenwiskundeonderwijs staat bekend
als de theorie van realistisch reken-wiskunde onderwijs. Deze benadering omvat een visie op
wat wiskunde is, hoe leerlingen wiskunde leren en hoe wiskunde onderwezen zou moeten
worden. De theorie heeft zich ontwikkeld in een cyclisch proces van doordenking van het
vorm te geven onderwijs, ontwikkeling van materiaal, uitvoering van experimenten in de klas,
en reflectie en revisie, het zogenaamde ontwikkelingsonderzoek.
Realistisch rekenwiskundeonderwijs is gebaseerd op een aantal principes (Treffers 1987,
Gravemeijer e.a. 1990, van den Heuvel Panhuizen, 1996). Deze worden hieronder kort
getypeerd.

       Wiskunde doen
        Het overdragen van kant en klare wiskunde werkt niet. Het is anti-didactisch.
        Leerlingen moeten wiskunde leren door het te doen. Leerlingen zijn daarbij actief en
        ontwikkelen wiskundige gereedschappen en inzichten. Om dit te kunnen doen zijn
        goed gekozen probleemsituaties van essentieel belang. Ook spelen eigen (wiskundige)
        producties van leerlingen een belangrijk rol.
       Fenomenologie (breedte in contexten)
        Door hetzelfde wiskundige principe of concept in een veelheid van contexten te
        verkennen, ontwikkelen de leerlingen een beter, breder en dieper begrip. Deze
        contexten vormen zowel de bron voor de wiskunde als het toepassingsgebied ervan.
       Opbouw en niveaus
        Vanuit goed gekozen, rijke, contexten bouwen de leerlingen wiskunde op. Daarbij
        blijven de leerlingen in hun aanpak en oplossing eerst dichtbij de context op een
        informeel niveau. Gaandeweg ontwikkelen ze van hieruit wiskundige kennis,
        gereedschappen en inzichten op een meer formeel niveau, door bijvoorbeeld hun
        werkwijze te verkorten, te veralgemeniseren, te schematiseren etc., daarbij zijn
        interactie en reflectie door leerlingen op hun activiteiten essentieel.
       Modellen en opbouw
        Modellen spelen een belangrijke rol bij de overgang van informele context gebonden
        wiskunde naar formele wiskunde. Een model is dan eerst een model van een situatie
        (bijvoorbeeld een ‘machientje’ dat van een ingevoerd getal een ander getal maakt),
        zo’n model wordt dan een model voor een groot aantal vergelijkbare ander situaties
        (bijvoorbeeld pijlentaal als model bij diverse onderwerpen op het gebied van de
        functies). Deze modellen zorgen zowel voor de ontwikkeling van wiskundig begrip bij
        leerlingen als voor een doorgaande lijn in onderdelen van een wiskundecurriculum.
       Interactie en reflectie
        Leerlingen die hun eigen kennis opbouwen doen dit het beste in een stimulerende
        leeromgeving waarin gelegenheid is voor interactie met anderen en voor reflectie op
        de activiteiten. Wiskunde kan volgens Freudenthal het best ‘geleid’ worden
        heruitgevonden. Daarin spelen de docenten en het lesmateriaal een belangrijke rol.


2
De hierboven genoemde punten zijn essentieel voor goed wiskundeonderwijs, ongeacht het te
kiezen scenario (1 t/m 4). Soms lijkt in het huidige onderwijs het schoolvak wiskunde te veel
gespeend van interactie en reflectie. De sommen worden gemaakt, maar er wordt te weinig
gepraat over wiskunde: er wordt amper gedaan aan uitwisseling van strategieën, aan reflectie
op activiteiten, aan het leggen van verbanden etc. Daardoor ontstaat bij de leerlingen een
ander beeld van de wiskunde dan vanuit realistisch rekenwiskundeonderwijs beoogd wordt.
Het is belangrijk dit bredere beeld van het vak wiskunde te herstellen. Dit vergt soms ook een
omslag bij en een investering van de docenten.


Algemene karakteristiek van wiskunde in de onderbouw

Stelling          Het is belangrijk dat de wiskunde bijdraagt tot een brede oriëntatie op
                  zowel de toepassingsgebieden van wiskunde als een bijdrage wat betreft
                  wiskundige geletterdheid

Leerlingen hebben op verschillende manieren wiskunde nodig: buiten school in het leven van
alledag, op school ter ondersteuning van het leren in andere leergebieden en als voorbereiding
op mogelijke keuzes voor bepaalde vervolgopleidingen. In de eerste jaren van hetvoortgezet
onderwijs verwerven leerlingen inzicht en vaardigheden op het gebied van getallen,
grootheden, maten, vormen, structuren en de daarbij passende relaties, bewerkingen en
functies. Aansluitend op het basisonderwijs ontwikkelen ze hun vaardigheden in de
‘wiskundetaal’ en worden steeds verder ‘wiskundig geletterd en gecijferd’.

De wiskundetaal bestaat onder andere uit rekenkundige, wiskundige en meetkundige
uitdrukkingen, meetkundige tekeningen en schema’s, modellen, formele en informele
notaties, schematische voorstellingen, tabellen, grafieken en opdrachten voor computer en
rekenmachine.
‘Wiskundig geletterd en gecijferd worden’ wil zeggen dat leerlingen het vermogen
ontwikkelen om in de verschillende situaties van hun huidig en toekomstig leven aan
wiskunde gerelateerde informatie te herkennen, te interpreteren en te gebruiken. Daartoe
bouwen ze een repertoire op van parate kennis, inzichten, routines en attitudes.
Omgang met rekenapparatuur en computers heeft in het wiskundeonderwijs een belangrijke
en veelzijdige plaats: leerlingen leren ze gebruiken als hulpmiddel, toepassingsmogelijkheid,
informatiebron en communicatiemiddel.
Leerlingen ontwikkelen in de basisvorming hun wiskundige kennis en vaardigheden met
onderwerpen van verschillende herkomst. Veel leerlingen zullen zich uitgedaagd voelen tot
wiskundige activiteit als zij in een betekenisvolle context, die past bij hun eigen niveau, aan
wiskundige vraagstukken werken. Anderen ontlenen die uitdaging wellicht aan een meer
abstracte, theoretische benadering.
Vanwege het oriënterend karakter van de onderbouw is het in beide gevallen belangrijk dat de
volle breedte van de toepassingsgebieden van wiskunde aan bod komt: het leven van alledag,
andere leergebieden, vervolgonderwijs, de beroepenwereld en de wiskunde zelf.
De relatie met andere vakken en leergebieden is een tweezijdige:
gebruik van contexten uit andere leergebieden in het wiskundeonderwijs en bewust werken
aan aspecten van wiskunde in het onderwijs in andere leergebieden. De transfer van
wiskundevaardigheden in andere leergebieden is een belangrijk punt van aandacht en
toepassing maakt deel uit van het beleid voor de hele school.



3
Welke rol heeft wiskunde?

Stelling         Wiskunde heeft verschillende rollen die allemaal aandacht moeten krijgen
                 ook in scenario 4 scholen.

In de nieuwe onderbouw blijven apart geformuleerde kerndoelen voor wiskunde bestaan (zie
bijlage), alle scholen moeten zorgdragen dat de leerlingen in de twee jaar van de onderbouw
hieraan hebben gewerkt. De scholen in scenario 4 zijn op zoek naar een manier om aan dit
werken aan de kerndoelen een vorm te geven die past bij de vormgeving van hun totale
onderwijsaanbod en bij hun visie op leren..

Ze worstelen daarbij vaak met vragen als: Kan wiskunde ingebed worden in thema’s? Hoedan
en welke wiskunde? Welke wiskunde blijft er dan over? Hoe ga je die aanbieden? Welke
wiskunde moeten leerlingen in de onderbouw leren? Kan en moet wiskunde apart aandacht in
het onderwijsprogramma krijgen? Hoe nodig en wenselijk is het om wiskunde als apart
(deel)vak aan te bieden? Wat leren leerlingen aan wiskunde als het in thema’s zit: hoe kom je
daar achter en hoe toets je dat?

Wat onder deze vragen ligt is het feit dat wiskunde zowel een mentale constructie is als in
veel werkelijke situaties als een ‘model’ functioneert. De wiskunde als mentale constructie,
als spel binnen regels, heeft nadrukkelijk een eigen lijn en opbouw. Deze wiskunde komt niet
zo makkelijk geheel vanzelfsprekend en natuurlijk naar boven.
Wiskunde als model, ‘geladen met vlees en bloed van de wereld’, kom je juist wel overal
tegen. Hierbij past ‘incidenteel’ gebruik.
De verhouding waarin deze twee gezichten van de wiskunde aandacht moeten krijgen kan per
onderwerp, per leerling, per moment verschillend zijn.

De Lange (2005) en Hoogland (2005) typeren de verschillende functies van wiskunde op
vergelijkbare wijze.




Figuur. Rollen van wiskunde in de schooltypen vmbo t/m vwo




4
Beroepsgerichte/toegepaste wiskunde
Dit is wiskunde ten dienste van een beroepsprofiel of ter ondersteuning van andere
schoolvakken. Wiskunde wordt verbonden aan of opgenomen in toepassingen die betekenis
hebben voor een leerling. Het gaat veelal om wiskundige technieken. Deze functie van de
wiskunde zal vaak benadrukt worden in het vmbo (mbo).
Informele/formele wiskunde
Dit is de huidige lijn in het wiskundeonderwijs. In principe is dit de wiskunde die voorbereidt
op wiskunde in universitaire en hbo-studies. Het is de schoolwiskunde zoals die van informeel
naar formeel wordt opgebouwd. Hoewel bij die opbouw contexten een rol spelen is het toch
vooral de ‘wiskunde apart’. Op de dimensie vmbo-vwo zal de wiskunde in het vmbo vaak
informeel aangeboden worden, in het vmbo zal de formalisering kant meer aandacht krijgen.
Gecijferdheid
Dit is de wiskunde (of het wiskundig kunnen duiden, denken en handelen) die een individu in
staat stelt een kritisch burger te zijn (zie de definitie van gecijferdheid bij Pisa). Dit is vooral
de wiskunde als model in veel situaties. Deze functie van de wiskuned is voor leerlingen in
alle schooltypen van belang. De invulling van gecijferdheid zal echter voor een vmbo leerling
een andere zijn dan voor een vwo leerling.

Voor elke school zal het een eigen beslissing (kunnen) zijn hoe men de verhouding in
aandacht die aan deze rollen van de wiskunde wordt besteed in het eigen onderwijs kiest.
Deze verhouding zal variëren per type leerling, per moment, per onderwerp.

De vraag hoe deze aspecten op zo’n manier aandacht kunnen krijgen dat het voor de
leerlingen zal leiden tot een goed begrip van wiskunde is niet eenvoudig te beantwoorden.
Voor scholen die kiezen voor scenario 1 zal dit weinig problemen opleveren, zij zullen veelal
een wiskunde methode kiezen en deze volgen in het vertrouwen dat de auteurs hiervoor
gezorgd hebben.
Voor scholen die kiezen voor scenario 4 liggen hier echter een aantal lastige vraagstukken, die
veel te maken met de vormgeving van het onderwijs op die scholen. Daarbij is vaak geen
ruimte en tijd voor aparte vakken/vakinhouden; geen klassikale momenten; veel eigen keuzes
voor de leerlingen in waar zij mee bezig zijn etc.

Dit vraagt om een heldere positionering van de wiskunde in het onderwijs. In de volgende
paragraaf gaan we hier nader op in.



Competentiegericht onderwijs en wiskunde: hoe doe je dat?

Stelling           Aparte aandacht en tijd voor wiskunde blijft nodig ook in scenario 4
                   scholen. In die aparte tijd zou het vooral moeten gaan om interactie over en
                   reflectie op wiskunde.

Men heeft het bij de vernieuwing van de onderbouw wel over de ‘kanteling’ van het
onderwijs. Waar eerst de lesstof centraal stond in het traditionele onderwijs staat nu de
leerling centraal. De leerling moet zelf kunnen kiezen, moet gemotiveerd zijn. De taakgroep
vernieuwing basisvorming formuleert het zo:




5
    De essentie van het leren is dat de leerling het zelf moet doen. Er zijn verschillende opvattingen over
    hoe dat precies in zijn werk gaat, maar over een aantal grote lijnen is langzamerhand wel
    overeenstemming. Leren is een actief proces waarin nieuwe dingen worden verbonden met wat een
    leerling al weet en kan.
    Dat leren kan op vele verschillende manieren, er zijn immers soorten intelligentie en verschillen in
    leerstijlen. Leren vraagt om oefening in levensechte situaties of contexten. Leren doe je soms
    individueel, maar ook samen met anderen, en kan sterk verdiept worden door zelf na te denken over
    hoe je leert. Deze kenmerken passen goed bij de onderbouw als oriëntatieperiode. Het gaat er
    immers om dat de leerling zichzelf op de goede plek krijgt: op het goede niveau, in een sector of
    profiel dat past bij de eigen ambities en interesses. De school kan daarbij helpen, maar uiteindelijk
    moet de leerling het zelf doen.

Deze visie kan nog op verschillende manieren worden uitgewerkt. Zo gooien de scenario 4
scholen radicaal het roer om en nemen alles op de schop. Zij kiezen voor zogenaamd
competentiegericht onderwijs en benadrukken dat zonder keuzevrijheid en motivatie het
onderwijs gedoemd is te mislukken.

In de praktijk (afgelopen seizoen 2004-2005 en het seizoen 2005-2006) komt het Freudenthal
instituut dergelijke scenario 4 scholen tegen. Deze scholen die rigoureus het roer hebben
omgegooid, krijgen van het FI ondersteuning bij het zoeken naar een herpositionering en
invulling van het vak/leergebied wiskunde.


Schoolportret: UniC




                                    Unic aan de Kanaalweg te Utrecht

Dit is een openbare school voor HAVO/VWO die in augustus 2004 van start is gegaan. In het
schooljaar 2005-2006 telt de school ongeveer 160 leerlingen, verdeeld over de twee
jaargroepen van leerjaar 1 en 2. De leerlingen zijn afkomstig uit heel Utrecht en een aantal
omliggende plaatsen. In de komende jaren zal het leerlingenaantal van de school groeien tot
ongeveer 825 leerlingen.
UniC is een openbare school. Dat betekent dat leerlingen, hun ouders en medewerkers
welkom zijn als ze hun medemensen respecteren en midden in de samenleving staan.
Leerlingen wordt geleerd om doordacht te handelen en op basis van een eigen visie een
bijdrage aan de samenleving te leveren; grondige persoonlijkheidsvorming is uitdrukkelijk
onderdeel van het curriculum.
UniC heeft een onderwijsconcept dat afwijkend is. Medewerkers en leerlingen moeten kunnen
werken in dit concept. Daarom hanteert UniC voor zowel leerlingen als medewerkers een
uitgebreide toelatings- of sollicitatieprocedure.
Werken en leren op UniC betekent ook actief bij de school betrokken zijn. Dit betekent dat
leerlingen actief deelnemen aan alle schoolactiviteiten en dat ouders waar mogelijk hun
steentje bijdragen aan de ontwikkeling van de school. Ook uit deze betrokkenheid zich
doordat ouders regelmatig de school bezoeken en reageren op berichtgeving vanuit de school.


6
Momenteel is de school gehuisvest in een kantoorpand aan de Kanaalweg 93 in de wijk Oog
in Al, Utrecht-West. Op termijn verhuist de school naar een gebouw aan de
Koningsbergerstraat, zijstraat van de Graadt van Roggeweg.
Unic werkt met vakoverstijgende thema's in twee stromen: natuur en maatschappij.
Leerlingen werken negen weken aan een thema. Voor wiskunde is er nog een aparte
wiskundemiddag.

    leergebieden                           natuur
                                           maatschappij
    lesmateriaal                       Er wordt voor wiskunde samengewerkt met
                                       Matrix van Malmberg. In die samenwerking
                                       wordt uitgezocht hoe het materiaal van Matrix
                                       kan worden ingezet op Unic.
    elektronische leeromgeving         edunic
                                       een systeem speciaal ontwikkeld voor UniC
    website                            www.unic-utrecht.nl




Schoolportret: Vathorst




 Zicht op de weilanden waar straks de wijk Vathorst wordt gebouwd (noordzijde Amersfoort)

Het Vathorstcollege start in schooljaar 2005/2006 als nieuwe school met een eerste leerjaar, in
het tijdelijke gebouw aan de Veenweg 23a voor de nieuwe eerstejaars leerlingen.
Daarmee heeft het moderne onderwijs in de nieuwste wijk van Amersfoort een belangrijke
vertegenwoordiger gekregen.
De ontwikkeling is in volle gang. Het is een school met een sterk kunst-en-cultuurprofiel. Het
onderwijs wordt geordend in perioden van circa zes weken rondom een historisch tijdvak.
Daarbinnen krijgen alle inhouden aandacht. Als nodig kunnen delen van vakgebieden aparte
aandacht krijgen. Algemene kenmerken zijn:
     cultuur als 'rode draad'
     onderdompelen bij de Moderne Vreemde Talen
     samenhang door het aanbieden van vakken in thema's
     maatschappelijk gewenste product-/competentiegerichte prestatievormen
     assessment als middel om te meten en beoordelen
     vaste schooltijden, in principe geen huiswerk
     het loslaten van het jaarklassensysteem waardoor tempodifferentiatie mogelijk is
     het bevorderen van de zelfstandigheid
     studiebegeleiding met behulp van interventietechnieken




7
Het Freudenthal instituut ondersteunt Vathorst bij het implementeren van de wiskunde binnen
deze nieuwe onderwijsaanpak. Vathorst is een initiatief van o.a. de Amersfoortse Berg.

    leergebieden
    lesmateriaal                      De wiskundeboeken staan op school (zowel Getal
                                      en Ruimte als Moderne Wiskunde).
                                      Daarnaast worden eigen materialen gemaakt (o.a.
                                      in webquest-vorm)
    elektronische leeromgeving        Moodle
    website                           www.vathorstcollege.nl



Schoolportret: Slash 21




                                  Plattegrond van Slash21

Slash 21 is een geheel nieuw concept voor het voortgezet onderwijs. Om in de samenleving
van morgen te kunnen functioneren, zijn nieuwe vaardigheden nodig zoals planmatig
handelen, gericht zoeken naar de juiste bron voor de antwoorden op nieuwe vragen,
communicatieve vaardigheden, vermogen tot samenwerken en zelfdiscipline.
Slash 21 speelt daarop in door de jongste pedagogische en onderwijspsychologische inzichten
te verenigen met nieuwe methoden en technieken.
Samenleving, vervolgonderwijs en arbeidsmarkt vragen breed inzetbare mensen. Opgeleid om
snel, creatief en effectief oplossingen te vinden. Mensen die kunnen combineren en verbanden
zien. Op Slash 21 wordt daarom de indeling in vakken niet langer gehanteerd, maar worden
de kernbegrippen samengenomen in twee hoofdstromen: 'Natuur en Techniek' en 'Mens en
Maatschappij'.
Binnen Slash 21 wordt om verschillende redenen het leren van wiskunde belangrijk
gevonden.
    1. Een eerste rol is: Wiskunde is een belangrijk gereedschap is bij oplossen van allerlei
        vragen waar een leerling binnen en buiten school tegen aan kan lopen. Bijvoorbeeld:
        informatie vertalen in een grafiek, of een recept omzetten naar een ander aantal
        personen.
    2. Een tweede rol van wiskunde is, dat je met behulp van wiskunde op voor de leerlingen
        nieuwe en soms niet voor de hand liggende manieren naar de wereld kunt kijken. Een




8
       voorbeeld daarvan is kijken naar vormen; de eigenschappen van die vormen
       herkennen en later weer gebruiken bij het zelf creëren van nieuwe vormen.
    3. Een derde rol van wiskunde is het vasthouden van een doorlopende leerlijn van de
       basisschool naar de bovenbouw van het voortgezet onderwijs. Een welbekend
       voorbeeld daarvan is de lijn die loopt van het rekenen naar de algebraïsche analyse.


Voorop staat om zo veel mogelijk inhouden zo veel mogelijk geïntegreerd in de thema's aan
te bieden. Echter (helaas) niet alle inhouden uit het wiskundeprogramma kunnen op deze
wijze worden opgenomen. Voor sommige onderdelen bieden de thema's te weinig
aanknopingspunten, andere onderdelen eisen hun eigen leerlijn en soms ontbreekt gewoon de
ontwikkeltijd; integreren van wiskundeinhouden is een lastig en tijdrovend proces.
Hierdoor is wiskunde op veel verschillende plaatsen terug te vinden in het Slash 21 materiaal.
Soms expliciet aan de oppervlakte, soms diep verborgen in een van de thema's zonder dat er
bij staat dat het om wiskunde gaat.


       Binnen de thema's kan wiskunde regelmatig helpen als gereedschap bij het oplossen
        van problemen. Soms moet een leerling dat dan zelf bedenken en de bijpassende
        ondersteuning zoeken, soms staat er bij waar de leerling wat ondersteuning kan
        vinden. Hiervoor is een wiskundige gereedschapskist (nog wel in ontwikkeling)
        aanwezig. Soms wordt een stukje wiskundeles aangeboden waarin de leerling die
        ondersteunde wiskunde kan leren. Dit zijn vaak stukjes speciaal ontwikkeld
        lesmateriaal, maar soms ook een passend hoofdstuk uit een wiskunde methode.
       Andere onderdelen van de wiskunde zijn in vakoverstijgende projecten terug te
        vinden. In het bijzonder is veel van de meetkunde terug te vinden in projecten rond
        vormen en figuren waar ook de beeldende vakken veel inbreng in hebben.
       De kern van de algebra uit het wiskundeprogramma is ondergebracht in een aantal
        compacte cursussen, 'Taal der wiskunde' geheten. In drie tot vijf dagdelen in een week
        worden de leerlingen ondergedompeld in dit onderwerp. Naamgeving en organisatie
        zijn geïnspireerd op de prijswinnende cursussen waarin de moderne vreemde talen
        binnen Slash 21 worden aangeboden. Echter gezien de vele taalaspecten die het leren
        van formules en hun structuur bevat staan wij ook vanuit de inhoud volledig achter
        deze naamgeving.

    leergebieden                           Natuur en Techniek
                                           Mens en Maatschappij
    lesmateriaal                       Moderne Wiskunde staat op school, wordt niet
                                       meegenomen naar huis.
    elektronische leeromgeving         Een zelf ontwikkeld systeem
    website                            www.slash21.nl




9
Schoolportret: Quest




                                          Questers

Quest is een aparte scenario 4-stroom binnen het Roland Holst College in Hilversum. In het
schooljaar 2004-2005 hebben klas 1 en 2 gedraaid. In het schooljaar 2005-2006 komt klas 3
daarbij. Verwante vakken zijn geclusterd (talen, exacte, zaakvakken en creatieve vakken).
Leerlingen werken per periode van zes weken aan een meestal zelfgekozen prestatie
gekoppeld aan een van de vier vakkenclusters. Zij doen soms verplichte thema's of modulen
binnen de clusters. De school worstelt met het invullen van prestaties voor het exacte cluster
met name voor wiskunde. Ze denken daarbij ook aan het inpassen van exacte modulen binnen
andere prestaties.
Havo/vwo-bruggers kunnen binnen het Roland Holst College de 'gewone' stroom kiezen, of
kiezen voor Quest, een nieuwe vorm van onderwijs. Quest beslaat de eerste drie leerjaren
(basisvorming) en sluit goed aan op de Tweede Fase.

De aanpak leek het eerste jaar succesvol maat de keerzijde is dat de ontwikkeling van kennis
en vaardigheden zorgelijk is, met name in het domein exact. Leerlingen halen het vaak wel
maar vinden het niet leuk. Er is daarom nu gekozen voor sectoruren waarin basisvaardigheden
aan bod komen, leerlingen kunnen wel keuzes maken. Verder zijn er prestatie-ochtenden
waarin the sky the limit is. Er zijn opties binnen prestaties om modules af te kunnen strepen,
leerlingen kunnen kiezen. Voor wiskunde maken leerlingen keuzes uit de methoden (meestal
Getal en Ruimte). Modules die ze beheersen kunnen ze ook op een andere manier afronden,
bijvoorbeeld Pythagoras via een tuinontwerp.

     leergebieden                          Natuur en Techniek
                                           Mens en Maatschappij
     lesmateriaal                      Over het algemeen wordt Getal en Ruimte
                                       gekozen
     elektronische leeromgeving        Een zelf ontwikkeld systeem.
     website                           www.arhc.nl




10
Schoolportret: Amadeus College




                             Een kijkje in de keuken bij Amadeus

Het Amadeus Lyceum in Utrecht is in het seizoen 2004-2005 nieuw gestart met een eerste
leerjaar. Het is een cultuurschool. Er wordt met leergebieden gewerkt waarbij het leergebied
'Kunst en Cultuur' leidend is. Wiskunde en science horen bij het leergebied 'Mens en Natuur'.
Het streven is deze inhouden meer te integreren in thema's (meer nog dan bijv. bij Slash 21 is
gedaan). Dit lukt deels. Het volgend schooljaar (2005-2006) is cruciaal voor deze
ontwikkelingen. Amadeus is een initiatief van De Bruijne Lyceum

Van uitgeverij EPN (Houten, o.a. uitgever van Getal en Ruimte) is toestemming verleend om
vrij te knippen en te plakken uit digitaal materiaal van deze uitgever.
Hier blijkt echter nog opvallend weinig gebruik van gemaakt te worden. Er wordt nog erg
veel nieuw eigen materiaal ontwikkeld. Voor ervaringen uit het seizoen 2004-2005 zie het
stageverslag van Claire Linders (master student science en mathematics education,
Universiteit Utrecht, 2005), mbt nieuwe leren en wiskunde onderwijs in de onderbouw van
het vo.

     leergebieden                          Kunst en Cultuur
                                           Mens en Natuur
     lesmateriaal                      Ook op deze school wordt veel materiaal zelf
                                       gemaakt. Hergebruik is wel gewenst.
     elektronische leeromgeving        Moodle
     website                           www.amadeuslyceum.nl




11
Schoolportret: Corlaer College




                                       Corlaer College
Het Corlaer College in Nijkerk heeft een aantal jaren geëxperimenteerd binnen de bestaande
school en gaat vanaf seizoen 2005-2006 jaar starten met een eerste leerjaar, volledig volgens
het nieuwe leren opgezet.
Er zijn twee leergebieden: Mens, Natuur en Techniek, en Mens, Maatschappij en Cultuur,
waarin in thema's wordt gewerkt.
Voor de talen kiest men het onderdompelingmodel.
Voor wiskunde wordt gekozen voor de fasegewijze opbouw tot een tweestromenmodel: (1)
aanbod van wiskundige vakinhoud binnen authentieke, complexe taken die in de thema's
worden gearrangeerd en (2) het laten kennismaken van de leerlingen met de wiskunde als een
'formeel denksysteem' inclusief een link met (natuur)wetenschappelijke ontwikkelingen. Voor
science geldt een vergelijkbare ontwikkeling.

     leergebieden                          Mens, Natuur en Techniek
                                           Mens, Maatschappij en Cultuur
     lesmateriaal                      Het streven is de wiskundeboeken als naslag te
                                       houden. Er zijn sets aangeschaft voor de school.
     elektronische leeromgeving        -
     website                           www.meerwegen.nl/~corlaer



Schoolportret: samenvattend
Samenvattend zijn belangrijke kenmerken van het onderwijs op deze scholen:
    Geen vakken meer (het jaar wordt opgedeeld in grote project- of themablokken van
      bijvoorbeeld zes weken, binnen zo’n blok moet alles gebeuren).
    Vakken hebben geen vaste plek meer in de week, en klassikaal lesgeven gebeurt
      nauwelijks meer (er is soms ook de opvatting dat dat niet meer mag).
    De traditionele schoolboeken zijn niet meer bezit van de leerling, maar van de school,
      ze fungeren vooral als naslagwerk.
    Al het onderwijs wordt aangeboden in een elektronische leeromgeving. Dit betekent
      een stevige hoeveelheid ict-werk voor de leerling, veel zoekopdrachten op internet,
      maar ook oefenopdrachten. Het heeft ook als consequentie dat er veel individueel
      wordt gewerkt
    De leerling heeft geen huiswerk, maar doet alle werk individueel of in groepjes op
      school.




12
        Docenten zijn niet in de eerste plaats vakspecialist, maar eerder begeleider, tutor of
         coach, soms werkmeester of leermeester; de aandacht ligt op (het leren van) de
         leerling, niet op het vak (‘minder handen voor de klas’).
        Daarnaast zij docenten vaak ook ontwikkelaars van leermiddelen.
        Leerlingen volgen doordat zij eigen keuzes maken een individueel traject.

Deze keuzes voor de inrichting van het onderwijs hebben ook consequenties voor de
vormgeving van het wiskundeonderwijs. Met name van het wiskundeonderwijs zoals het Fi
dit voorstaat. Een groot aantal van de scholen die bezig zijn met de vernieuwing van het
onderwijs in de richting van competentiegericht leren, loopt tegen problemen rond wiskunde
aan. (zie onder andere artikelen in magazine onderbouw)

Zo is het bijvoorbeeld uitermate lastig om interactie en reflectie te organiseren als er geen
aparte tijd voor is; het opbouwen van langere lijnen is moeilijk als leerlingen op verschillende
momenten aan verschillende onderwerpen werken en niet allemaal hetzelfde gedaan hebben;
het leren van wiskunde kan versnipperd raken doordat ad hoc (‘just in time’) een geïsoleerde
techniek wordt aangeboden om een zich voordoend probleem op te lossen; het vormgeven van
het eigen onderwijs in materialen en opdrachten is een tijdrovende lastige klus; …

Samenvattend proberen we vanuit het Freudenthal instituut de volgende zaken te benadrukken
als wij in gesprek zijn met deze scholen (zowel met docenten als schoolmanagers).

        Maak onderscheid in de verschillende aspecten en onderdelen van wiskunde die je wilt
         dat je leerlingen leren. Houd daarbij in de gaten dat je ook specifieke eisen stelt aan de
         doorstroom naar vervolgonderwijs.
        Onderzoek en stel vast waar en hoe de verschillende aspecten het best tot hun recht
         kunnen komen. Kijk uit dat je niet alle wiskunde ‘weg-integreert’ (in projecten e.d.),
         Zorg voor reflectie en explicitering en leg verbanden tussen de verschillende
         wiskundige activiteiten.
        Geen vak op het rooster betekent niet: ‘geen aandacht voor wiskunde’. Er zijn allerlei
         andere vormen mogelijk waarbinnen de wiskunde op een goede manier aandacht kan
         krijgen: werken aan (wiskunde)prestaties -gedurende een bepaalde tijd- denk aan de
         oude GWA’s of de opdrachten van Alympiade, B-dag, en de Grote Rekendag - maar
         ook zebraboekjes en webquests, e.d.; leer en ontwikkellijnen voor wiskunde die door
         het hele onderwijs heen lopen; Willem Wever vragen (‘weetjes’, kennis’)en Willie
         Wortel opdrachten (‘vaardigheden’, ‘maken’ ‘ontwerpen’); workshops, cursussen of
         projecten voor bepaalde gebieden van de wiskunde bijv. de algebra.
        Heb oog voor de veranderende rol van de docent. Deze heeft inmiddels verschillende
         taken in een ‘onderbouwteam’: pedagoog (het scheppen van een goed en veilig
         klimaat), vakdocent (goede vakkennis) en ontwikkelaar (zelf lesstof samenstellen).
         Het kan handig zijn deze taken te benoemen en te differentiëren binnen een team. Niet
         iedereen kan alles (en dat hoeft ook niet). Laat het Fi (als expertisecentrum) de
         ontwikkelactiviteiten steunen en kies daarbij voor de werkwijze van
         ontwikkelingsonderzoek (dus met doordenking - uitwerking - experimenten - reflectie
         -revisie en dit in samenhang met theorieontwikkeling)




13
Samengevat
Hierbij nog een keer de stellingen die we in de afgelopen paragrafen hebben gesteld en
toegelicht:

        Wiskundedoelen blijven bestaan, ook in de nieuwe onderbouw
        De principes van realistisch wiskunde-onderwijs zijn onverkort van kracht voor
         scholen die kiezen voor scenario 4
        Het is belangrijk dat de wiskunde bijdraagt tot een brede oriëntatie op zowel de
         toepassingsgebieden van wiskunde als een bijdrage wat betreft wiskundige
         geletterdheid
        Wiskunde heeft verschillende rollen die allemaal aandacht moeten krijgen ook in
         scenario 4 scholen.
        Aparte aandacht en tijd voor wiskunde blijft nodig, ook in scenario 4 scholen. In die
         aparte tijd zou het vooral moeten gaan om interactie en reflectie over en op wiskunde.



Literatuur
    Gravemeijer, K., Heuvel-Panhuizen, M. van den & Streefland, L. (Eds.). (1990).
      Contexts, Free Productions, Tests and Geometry in Realistic Mathematics Education.
      Utrecht: OW&OC, 91 pp.
    Heuvel-Panhuizen, M. van den (1996). Assessment and realistic mathematics
      education. Utrecht, the Netherlands: CD-Beta Press, 303 pp.
    Hoogland, K. (2005). Hoe gecijferd is een basisberoepsgerichte leerling in het
      VMBO?. In: Goris, T. & Wesker, L. (Eds.), Nieuwe Wiskrant. Tijdschrift voor
      Nederlands Wiskundeonderwijs, 24(3), Utrecht: Freudenthal Instituut, pp. 36-39.
    Lange, J. de (2005). Wiskunde om gecijferd van te worden. In: Goris, T. & Wesker, L.
      (Eds.), Nieuwe Wiskrant. Tijdschrift voor Nederlands Wiskundeonderwijs, 24(3),
      Utrecht: Freudenthal Instituut, pp. 42-48.
    Linders, C. (2005). Wiskunde in Scenario 4. De invulling van wiskunde op nieuwe
      scholen, die thematisch onderwijs toepassen. Utrecht: Freudenthal Institute, 36 pp.
    Nelissen, J., & Grootgeest, L. v. (2004). Het nieuwe leren. Vernieuwing. Tijdschrift
      voor Onderwijs en Opvoeding, 63(2), 4-8.
    Reeuwijk, M. v., & Dolk, M. (2005). Nieuw leren of nieuw onderwijzen. Tijdschrift
      voor het Economisch Onderwijs, 105(3), 172-175.
    Team W12-16, (1992). Achtergronden van het nieuwe leerplan. Wiskunde 12-16:
      band 1. Utrecht: Freudenthal Instituut & Enschede: Stichting leerplanontwikkeling
      (SLO), 205 pp.
    Treffers, A. (1987). Three dimensions: a model of goal and theory description in
      mathematics instruction - The Wiskobas project. Dordrecht: Kluwer Academic
      Publishers, 351 pp.


Contact
Monica Wijers, 030-2635545, m.wijers@fi.uu.nl
Vincent Jonker, 030-2635576, v.jonker@fi.uu.nl




14
Bijlage: Kerndoelen wiskunde

Deze kerndoelen wiskunde zijn vastgesteld voor de nieuwe onderbouw.

19           De leerling leert passende wiskundetaal te gebruiken voor het ordenen van het
             eigen denken en voor uitleg aan anderen, en leert de wiskundetaal van anderen
             te begrijpen.

20           De leerling leert alleen en in samenwerking met anderen in praktische situaties
             wiskunde te herkennen en te gebruiken om problemen op te lossen.

21           De leerling leert een wiskundige argumentatie op te zetten en te onderscheiden
             van meningen en beweringen, en leert daarbij met respect voor ieders
             denkwijze wiskundige kritiek te geven en te krijgen.

22           De leerling leert de structuur en de samenhang te doorzien van positieve en
             negatieve getallen, decimale getallen, breuken, procenten en verhoudingen, en
             leert ermee te werken in zinvolle en praktische situaties.

23           De leerling leert exact en schattend rekenen en redeneren op basis van inzicht in
             nauwkeurigheid, orde van grootte en marges die in een gegeven situatie
             passend zijn.

24            De leerling leert meten, leert structuur en samenhang doorzien van het
             metrieke stelsel, en leert rekenen met maten voor grootheden die gangbaar zijn
             in relevante toepassingen.

25           De leerling leert informele notaties, schematische voorstellingen, tabellen,
             grafieken en formules te gebruiken om greep te krijgen op verbanden tussen
             grootheden en variabelen.

26           De leerling leert te werken met platte en ruimtelijke vormen en structuren, leert
             daarvan afbeeldingen te maken en deze te interpreteren, en leert met hun
             eigenschappen en afmetingen te rekenen en te redeneren.

27           De leerling leert gegevens systematisch te beschrijven, ordenen en visualiseren,
             en leert gegevens, representaties en conclusies kritisch te beoordelen.




15

								
To top