CONTOH- MAKALAH- EKONOMI- MANAJERIAL by suzukiyanto

VIEWS: 223 PAGES: 15

									       EKONOMI MANAJERIAL
    Optimasi Ekonomi Tanpa Kendala


               MODUL 2




                   Oleh :
         Ir. Sahibul Munir, SE., MSi.




FAKULTAS EKONOMI PROGRAM KELAS KARYAWAN

    UNIVERSITASMERCU BUANA
               2007/2008
               Menggambarkan Hubungan Ekonomi

Untuk menggambarkan hubungan ekonomi, dapat disajikan dalam bentuk persamaan
tabel atau grafik. Jika bentuk hubungan ekonomi tersebut sederhana, maka tabel dan
grafik sudah cukup untuk menggambarkan hubungan tersebut harus menggunakan
persamaan matematis. Penggambaran hubungan ekonomis dengan persamaan
matematis juga sangat berguna dalam menentukan solusi optimal dari suatu masalah.
Sebagai contoh, misalnya hubungan antara hasil penjualan (Total Revenue, TR)
dengan jumlah output (Q) yang dijual dapat disajikan dalam bentuk persamaan
(fungsi) sebagai berikut :

             TR = 100Q – 10Q2 .............................................................. (1)

Dengan mensubstitusikan berbagai nilai hipotetis dari jumlah output (Q) barang yang
terjual ke persamaan (1) diatas, akan diperoleh skedul (daftar) hasil penjualan total
(Total Revenue) yang diterima oleh perusahaan sebagai berikut :


                       Tabel 1. Skedul Penerimaan Total Perusahaan

        Q                          100Q – 10Q2                           Penerimaan Total (TR)

         0                       100 (0) – 10 (0)2                                     $0
         1                       100 (1) – 10 (1)2                                    $ 90
                                                      2
         2                       100 (2) – 10 (2)                                    $ 160
                                                      2
         3                       100 (3) – 10 (3)                                    $ 210
         4                       100 (4) – 10 (4)2                                   $ 240



Hubungan Total, Rata-Rata, dan Marjinal
Konsep hubungan antara ukuran total, rata-rata dan marjinal adalah penting dalam
analisis optimasi. Hubungan ini pada dasarnya sama, baik itu menyangkut tentang
penerimaan, produksi biaya maupun laba. Dalam menganalisis bagaimana cara suatu
perusahaan memaksimalkan keuntungannya, kita perlu mempelajari hubungan antara
biaya total, biaya rata-rata, dan biaya marjinal bersama-sama dengan konsep
penerimaan (revenue).




Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB                                   Ir. Sahibul Munir SE, M.Si
                                                                      EKONOMI MANAJERIAL
Biaya Total, Rata-Rata dan Marjinal

Biaya Total (Total Cost, TC) : seluruh biaya yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan
dalam memproduksi sejumlah output.

Biaya total yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan terdiri dari : Biaya Tetap Total
(Total Fixed Cost, TFC) dan Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost, TVC).

                                   TC = TFC + TVC

TFC    : Biaya produksi yang jumlah tetap (tidak berubah) berapapun jumlah output
         yang diproduksi.

TVC    : Biaya produksi yang jumlahnya berubah-ubah sesuai / mengikuti perubahan
         jumlah output.



Biaya Rata-Rata (Average Cost)

Biaya rata-rata (Average Cost) : adalah jumlah biaya yang dikeluarkan oleh
perusahaan untuk menghasilkan 1 (satu) unit output (Q).

                          TC
Average Cost (AC) =          , sebagaimana biaya total, maka biaya rata-rata juga dapat
                           Q
dibedakan menjadi biaya tetap rata-rata (Average Fixed Cost), dan biaya variabel
rata-rata (Average Variabel Cost).

Average Fixed Cost (AFC) : adalah biaya tetap yang dikeluarkan oleh perusahaan
untuk setiap unit output yang diproduksinya.

                TFC
      AFC 
                 Q

Average Variable Cost (AVC) : adalah biaya variabel yang dikeluarkan oleh
perusahaan untuk setiap unit output yang diproduksinya.

                       TVC
        AVC 
                        Q




Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB                     Ir. Sahibul Munir SE, M.Si
                                                        EKONOMI MANAJERIAL
Karena TC         = TFC + TVC, maka :




AC = AFC + AVC



Biaya Marginal (Marginal Cost)

Marginal Cost (MC) : adalah tambahan biaya dikeluarkan oleh perusahaan, akibat
adanya tambahan output yang diproduksi sebanyak 1 (satu) unit.

                 TC
     MC 
                 Q

Tabel Biaya Total, Rata-Rata, Marjinal suatu Perusahaan


 Kuantitas (Q)         Biaya Total (TC)   Biaya Rata-Rata (AC)    Biaya Marjinal (MC)
         0                  $ 20                    -                      -
         1                   140                 $ 140                   $ 120
         2                   160                   80                      20
         3                   180                   60                      20
         4                   240                   60                      60
         5                   480                   96                     240




                               Fungsi Dan Diferensiasi

Fungsi       :   suatu   bentuk    hubungan   matematis   yang   menyatakan     hubungan
ketergantungan antara suatu variabel dengan satu atau beberapa variabel yang lain.

Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur, yaitu variabel, koefisien dan konstanta.
Namun demikian sebuah fungsi tidak harus mengandung sebuah konstanta, jadi
mungkin sekali mengandung konstanta dan mungkin juga tidak. Tetapi keadaan ini
sama sekali tidaklah mengurangi arti dari sebuah fungsi.


Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB                       Ir. Sahibul Munir SE, M.Si
                                                          EKONOMI MANAJERIAL
Variabel pembentuk sebuah fungsi dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan
variabel tidak bebas.

   Variabel bebas (independent variable) : adalah variabel yang nilainya tidak
    tergantung (tidak ditentukan) oleh variabel lain.

   Variabel tidak bebas (dependent variable) : adalah variabel yang nilainya
    tergantung (dipengaruhi) oleh variabel lain.

Notasi sebuah fungsi secara umum dinyatakan sebagai :

                                         Y = (x)

Contoh kongkritnya :

(1) Fungsi linear dan univariat       : Y = 5 + 0.7 x

    atau dapat pula dinyatakan        : (x) = 5 + 0.7 x

(2) Fungsi non linear dan univariat   : Y = 8 – 4x + x2, atau

                                        (x) = 8 – 4x + x2




                                        Turunan

Turunan adalah mengukur tingkat perubahan seketika dari suatu fungsi, yaitu
bagaimana variabel tidak bebas berubah sehubungan dengan suatu perubahan unit
yang sangat kecil dalam variabel bebas.

Terminologi untuk turunan adalah :

      dy          y
          lim it
      dx x 0 x

dy
   = turunan y berkenaan dengan x, nilainya sama dengan limit dari rasio x / y saat
dx
     x mendekati nol.

         dy
Selain      , notasi turunan umumnya dinyatakan dengan y’ dan’(x).
         dx




Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB                          Ir. Sahibul Munir SE, M.Si
                                                             EKONOMI MANAJERIAL
Aturan Diferensiasi (Rules of Differentiation)

Diferensiasi : adalah proses penentuan turunan dari suatu fungsi, yaitu mencari
perubah y berkenaan dengan suatu perubah x apabila perubahan x (x) mendekati nol.

Berdasarkan pengertian diatas, kita dapat mendiferensialkan berbagai macam bentuk
fungsi dengan aturan sebagai berikut :



1. Turunan dari fungsi y = C ; dimana C = konstanta
    dy
       = y’ = 0
    dx
                    dy
   y = 10, maka        = y’ = 0
                    dx
2. Turunan dari fungsi pangkat y = ax”
    dy
       = y’ = n a xn-1
    dx
   contoh : y = 4x3, maka y’ = 3(4)x3-1 = 12x2

3. Turunan dari penjumlahan (pengurangan)

   Jika y = u ± v, dimana u dan v masing-masing fungsi dari x, maka :

           dy du dv
    y'        
           dx dx dx

4. Turunan dari hasil kali suatu fungsi

   Jika y = u (x).v (x) maka :

            dy    du    dv
     y'       u    v
            dx    dx    dx        Atau y’ = u v ’ + v u ’


   Contoh :      y = 3x4 (2x – 5)
                        dy
                 y’ =       3x4(2) + (2x – 5).(12x3)
                        dx
                 y’ = 6x4 + 24x4 – 60x3 = 30x4 – 60x3

5. Turunan dari hasil bagi suatu fungsi                                       du    dv
                                                                          v      u
                                                                     u        dx    dx
               u                                                 y'  
   Jika y =      ; dimana u = g(x) dan v = h(x) maka :               v           v2
               v


Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB                         Ir. Sahibul Munir SE, M.Si
                                                            EKONOMI MANAJERIAL
                                  v u '  u v'
                          y' 
                                       v2

                       5x 3
   Contoh :    y            , maka
                      4x  3

                      dy (4 x  3)(15x 2 )  5x 3 (4)
               y        
                      dx         (4 x  3) 2

                      60 x 3  45x 2  20x 3 40 x 3  45x 3
               y'                          
                             (4 x  3) 2      (4 x  3) 2
6. Turunan fungsi dari fungsi (fungsi berantai)
   Jika y = (u) dimana u = g(x) maka



                           dy dy du
                       y'    v
                           dx du dx

   Contoh :   y = (2x2 + 3)4 ; dimana u = 2x2 + 3

                      dy
              y’ =        4(2 x 2  3) 3 (4 x)  16 x(2 x 2  3) 3
                      dx

                                     Turunan Kedua
                 d 2 y                                              dy 
Turunan kedua        2 
                          mengukur tingkat perubahan turunan pertama   atau
                  dx                                                dx 
turunan kedua adalah turunan pertama dari turunan pertama.

Notasi turunan kedua dapat dinyatakan dengan ” (x) dan y”
Contoh :   y = 2x4 + 5x3 + 3x2
           dy
               8 x 3  15x 2  6 x
           dx




Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB                              Ir. Sahibul Munir SE, M.Si
                                                                 EKONOMI MANAJERIAL
            d2y
                  24 x 2  30 x  6
            dx 2



              Maksimasi dan Minimisasi Suatu Fungsi
   Suatu fungsi untuk mencari suatu maksimum atau minimum relatif maka fungsi
    tersebut harus berada pada suatu dataran (yaitu tidak menaik juga tidak menurun
    pada titik tersebut.

   Jika suatu fungsi tidak menaik juga tidak menurun, maka turunan dari fungsi
    tersebut pada titik tersebut sama dengan nol.

   Syarat pertama dan penting (necessary condition) agar suatu fungsi mencapai
    maksimum atau minimum relatif adalah turunan pertama dari fungsi tersebut harus
    sama dengan nol.

Sedangkan syarat kedua yang mencukupi (sufficient condition) adalah turunan kedua
harus negatif untuk maksimum relatif dan turunan kedua harus positif untuk minimum
relatif.

                                           dy         d2y
Untuk suatu maksimum relatif           :       0 dan       0
                                           dx         dx 2

                                         dy         d2y
Untuk suatu minimum relatif            :     0 dan       0
                                         dx         dx 2

Sebuah masalah dapat timbul ketika derivatif dipergunakan untuk menentukan
maksimum dan minimum. Derivatif pertama dari fungsi total memberikan ukuran
apakah fungsi tersebut menaik atau menurun di setiap titik. Untuk dimaksimumkan
atau diminimumkan, fungsi tersebut harus tidak menaik dan tidak pula menurun ; yaitu,
kemiringan seperti diukur oleh derivatif pertama harus nol. Tetapi, karena nilai marginal
atau derivatif akan nol baik untuk nilai maksimum maupun nilai minimum dari sebuah
fungsi, analisis lebih lanjut diperlukan untuk menetapkan apakah nilai maksimum atau
minimum yang ditentukan.

Jika laba total ditetapkan dengan persamaan  = a – bQ + cQ2 = dQ3, maka derivatif
pertama mendefinisikan fungsi laba marginal sebagai :




Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB                      Ir. Sahibul Munir SE, M.Si
                                                         EKONOMI MANAJERIAL
            d
                M  b  2cQ  3dQ 2
            dQ




 Menemukan Nilai Maksimum dan Minimum dari Sebuah Fungsi
Derivatif kedua dari sebuah fungsi selalu negatif ketika mengevaluasi titik maksimum
dan positif di titik minimum.

Derivatif kedua dari fungsi laba total tersebut adalah derivatif dari fungsi laba marginal
ini, Persamaan 2.7 :

            d 2 dM
                      2c  6dQ
            dQ 2   dQ

Sama seperti derivatif pertama mengukur kemiringan fungsi laba total, derivatif kedua
mengukur kemiringan derivatif pertama atau, dalam kasus ini, kemiringan kurva laba
marginal. Kita dapat menggunakan derivatif kedua untuk membedakan titik maksimal
atau titik minimal, yaitu positif jika minimal dan negatif jika maksimal.

Contoh lain dapat memperjelas konsep ini. Asumsikan bahwa fungsi laba total
ditunjukan oleh persamaan berikut ini :

     Laba Total =  = -$3.000 - $2.400Q + $350Q2 - $8.333Q3

     Laba Marginal diketahui berdasarkan derivatif pertama dari fungsi laba total
tersebut.

                           d
     Laba Marginal             $2.400  $700 Q  $25Q 2  0
                           dQ

Laba total dapat dimaksimumkan atau diminimumkan di titik dimana derivatif pertama
(laba marginal) adalah nol yaitu, dimana

      d
          $2.400  $70 Q  $5Q 2  0
      dQ

Jumlah keluaran sebesar 4 dan 24 unit memenuhi Persamaan 2.10 dan karena itu
merupakan laba maksimum atau minimum.



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB                        Ir. Sahibul Munir SE, M.Si
                                                           EKONOMI MANAJERIAL
Evaluasi derivatif kedua dari fungsi laba total tersebut di setiap tingkat keluaran ini
akan menunjukkan apakah turunan kedua itu minimum atau maksimum. Derivatif
kedua dari fungsi laba total ditentukan dengan mengambil derivatif dari fungsi laba
marginal, Persamaan 2.9 :

      d 2 dM
                $700  $50Q
      dQ 2   dQ

Misalnya, pada jumlah keluaran Q = 4 :

      d 2
            $700  $50(4)  $500
      dQ 2

Karena derivatif kedua ini positif, yang menunjukkan bahwa laba marginal menaik, laba
total diminimumkan pada Q = 4 unit.

Dengan mengevaluasi derivatif kedua Q = 24 unit, kita memperoleh :

      d 2
            $700  $50(24)  $500
      dQ 2

Karena derivatif kedua ini negatif pada Q = 24 unit, yang menunjukkan bahwa laba
marginal menurun, fungsi laba total tersebut mencapai maksimum pada tingkat output
Q=24.

Menggunakan Marginal untuk Memaksimumkan Selisih antara Dua Fungsi

Contoh lain dari pentingnya konsep marginal dalam ekonomi manajerial diberikan oleh
kesimpulan mikroekonomi yang penting dan terkenal bahwa penerimaan marginal
(MR) sama dengan biaya marginal (MC) di titik maksimisasi laba.

Sebuah contoh akan membantu menjelaskan penggunaan marginal ini. Pertimbangan
fungsi pendapatan, biaya, dan laba berikut ini :

     Pendapatan Total         = TR = $41,5Q - $1,1Q2

     Biaya Total              = TC = $150 + $10Q - $0,5Q2 + $0,02Q2

     Laba Total               =  = TR – TC




Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB                    Ir. Sahibul Munir SE, M.Si
                                                       EKONOMI MANAJERIAL
Keluaran yang memaksimumkan laba dapat ditemukan dengan mensubstitusi fungsi
pendapatan total dan fungsi biaya total ke dalam fungsi laba, lalu menganalisis derivatif
pertama dan kedua dari persamaan itu :

          = TR - TC

           = $41,5Q - $1,1Q2 – ($150 + $10Q - $0,5Q2 + $0,03)

           = $41,5Q - $1,1Q2 - $150 + $10Q - $0,5Q2 + $0,02Q3

           = - $150 + $31,5Q - $0,6Q2 + $0,02Q3

Laba marginal, derivatif pertama dari fungsi laba tersebut, adalah :

              d
      M         $31,5  $1,2Q  $0,06 Q 2
              dQ



Dengan menetapkan laba marginal sama dengan nol dan menggunakan persamaan
kuadrat untuk memecahkan kedua akar, kita memperoleh Q1 = -35 dan Q2 = +15.
Karena jumlah keluaran negatif tidak mungkin, Q1 merupakan tingkat keluaran yang
tidak layak dan dapat ditolak.

Evaluasi terhadap derivatif kedua dari fungsi laba tersebut di Q = 15 akan
menunjukkan apakah ini merupakan titik maksimisasi laba atau minimisasi laba.
Derivatif kedua tersebut diketahui :

      d 2 dM
                $1,2  $0,12Q
      dQ 2   dQ




          Pendapatan Total, Biaya Total, dan Maksimisasi Laba

Hubungan pendapatan marginal dan biaya marginal dengan maksimisasi laba dapat

juga diperlihatkan dengan mempertimbangkan ekspresi laba umum           = TR – TC. Laba
marginal, derivatif dari fungsi laba total, adalah :

                  d dTR dTC
           M         
                  dQ dQ   dQ



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB                     Ir. Sahibul Munir SE, M.Si
                                                        EKONOMI MANAJERIAL
Dengan diketahui bahwa dTR/dQ berdasarkan definisi merupakan ekspresi dari
pendapatan marginal MR, dan dTR/dQ mewakili biaya marginal MC, kita memiliki :

        M  MR  MC

Karena maksimisasi setiap fungsi mengharuskan bahwa derivatif pertama harus sama
dengan nol, maksimisasi laba akan terjadi ketika :

        M  MR  MC  0

atau dimana

        MR  MC

Dengan melanjutkan contoh menarik di atas, pendapatan marginal dan biaya marginal
ditemukan dengan menghitung diferensial dari fungsi pendapatan total dan biaya total :

               dTR
        MR         $41,5  $2,2Q
               dQ


               dTC
        MC         $10  Q  $0,06 Q 2
                dQ


Ditingkat keluaran yang memaksimumkan laba, MR = MC ; jadi,

        MR  $41,5  $2,2Q  $10  Q  $0,06 Q 2  MC


Dengan menggabungkan bagian-bagian ini, kita memperoleh :

        $31,5  $1,2Q  $0,06 Q 2  0


yang merupakan ekspresi yang sama dengan yang diperoleh ketika derivatif pertama
dari fungsi laba ditetapkan di nol.

Mencari akar dari persamaan ini (sekali lagi dengan menggunakan rumus kuadrat)
menghasilkan Q1 = -35 dan Q2 = 15, nilai-nilai yang sama yang ditentukan sebelumnya.
Hal ini mengkonfirmasikan bahwa pendapatan margin sama dengan biaya marginal di
tingkat keluaran di mana laba dimaksimumkan. Contoh ini juga mengilustrasikan
bahwa walaupun MR harus sama               dengan MC di tingkat kegiatan yang
memaksimumkan laba, sebaiknya tidak berlaku. Laba tidak pasti dimaksimumkan di
setiap titik di mana MR = MC, seperti dalam contoh di Q = -35 dalam masalah ini.



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB                     Ir. Sahibul Munir SE, M.Si
                                                        EKONOMI MANAJERIAL
Untuk menyimpulkan contoh ini, Gambar 2.8 menyajikan grafik fungsi pendapatan,
biaya dan laba. Bagian atas dari grafik ini memperlihatkan fungsi pendapatan dan
fungsi biaya; pada 15 unit keluaran, kemiringan kedua kurva sama, dan MR = MC.
Bagian bawah Gambar ini memperlihatkan fungsi laba, dan keluaran yang
memaksimumkan laba diperlihatkan sebesar 15 unit, dimana keluaran d/dQ = 0 dan
d2/dQ2 < 0. Laba dimaksimumkan di Q = 15, dimana MR = MC = $8.50 dan M = 0.




                             Optimisasi Multivariat
Karena banyak hubungan ekonomi melibatkan lebih dari dua variabel, berguna bagi
kita untuk meneliti konsep optimisasi multivariat untuk persamaan-persamaan dengan
tiga variabel atau lebih. Pertimbangan fungsi permintaan untuk sebuah produk dimana
jumlah yang diminta, Q, ditentukan oleh harga yang dikenakan, P, dan tingkat
pengeluaran periklanan, A. Fungsi seperti ini akan ditulis sebagai berikut.

                                      Q  f ( P, A)
Ketika menganalisis hubungan multivariat, seperti dalam persamaan 2.11, kita harus
mengetahui pengaruh marginal dari setiap variabel independen terhadap variabel
dependen. Dengan kata lain, optimisasi dalam kasus ini memerlukan analisis tentang
bagaimana perubahan dalam setiap variabel independen mempengaruhi variabel
dependen, sambil mempertahankan pengaruh semua variabel independen lainnya
tetap konstan. Derivatif parsial adalah konsep yang dipergunakan untuk analisis
marginal seperti ini.

Dengan menggunakan fungsi permintaan dalam Persamaan 2.11, kita dapat meneliti
dua derivatif parsial :

1. Parsial dari Q dalam kaitannya dengan harga Q / P

2. Parsial dari Q dalam kaitannya dengan pengeluaran periklanan = Q / A

Peraturan untuk menetapkan derivatif parsial pada dasarnya sama dengan peraturan
untuk derivatif sederhana. Karena konsep derivatif parsial melibatkan asumsi bahwa
semua variabel tidak berubah, kecuali variabel yang bersangkutan dimana derivatif
tersebut diambil, variabel-variabel tersebut diperlakukan sebagai konstanta dalam
proses perhitungan diferensial. Pertimbangan persamaan :




Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB                      Ir. Sahibul Munir SE, M.Si
                                                         EKONOMI MANAJERIAL
       Q  3.200  50 P  39 A  0.25 PA  0.1A 2                          2.12


Dalam fungsi ini, terdapat dua variabel independen, P dan A, sehingga dua derivatif
parsial dapat dievaluasi. Untuk menetapkan parsial dalam kaitannya dengan P, catat
bahwa fungsi tersebut dapat ditulis ulang sebagai :

       Q  3.200  50 P  39 A  (0.25 A) P  0.1A 2                       2.12a

Karena A diperlakukan sebagai sebuah konstanta, derivatif parsial dari Q dalam
kaitannya dengan P adalah :

       Q
           0  50  0  0,25 A  0
       P

           = - 50 + 0,25A

Dalam menetapkan turunan parsial dari Q dalam kaitannya dengan A, P diperlakukan
sebagai sebuah konstanta, sehingga kita dapat menulis :

       Q  3.200  50 P  39 A  (0.25 A) P  0.1A 2                       2.12b

dan derivatif parsial dalam kaitannya dengan A adalah :

       Q
           0  0  39  0,25P  0,2 A
       A

           = 39 + 0,25P – 0,2A


       Q         Q
           0 dan    0
       P         A

       Q
           50  0,25 A  0                                               (1)
       P

       Q
           39  0,25P  0,2 A  0                                         (2)
       A

                             50
       0,25A = 50  A =          = 200  substitusikan
                            0,25

       ke persamaan (2)  39 + 0,25P – 0,2(200) = 0



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB                       Ir. Sahibul Munir SE, M.Si
                                                          EKONOMI MANAJERIAL
                                                  1
        39 + 0,25P – 40 = 0  0,25P = 1  P =        =4
                                                 0,25

untuk melihat maximum/minimum :

        2Q
            0
       P 2
                         maksimum
        2Q
             0,2  0
       A 2
Q maksimum = 3200 – 50(4) + 39(200) + 0,25(4) (200) – 0,1 (200)2 = 7000




Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB                  Ir. Sahibul Munir SE, M.Si
                                                     EKONOMI MANAJERIAL

								
To top