Medidas de Posici�n Central: by HC12022319373

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     Medidas de Posición Central:
• Usualmente, nuestra atención se centra en dos
  aspectos de las medidas de posición central:

     – Medición del punto central (promedio)

     – Medición de la dispersión en torno al promedio




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   Medidas de Posición Central: la media
• Es la medida mas popular.
                    Suma de las observaciones
            Media =
                    Número de observaciones

• Es decir, tenemos una muestra de n observaciones:
  x1, x2,…,xn. Su media muestral es:
                        ( x1  x 2  ...  x n )
                     x
                                   n
• De forma compacta:
                                      n
                           1
                        x
                           n
                                     x
                                     i 1
                                             i     2
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   Medidas de Posición Central: la media
• Ejemplo:
  La media de la muestra de seis observaciones:

                      7, 3, 9, -2, 4, 6

  esta dada por:


            6
           i1 x i     x1  x 2  x 3  x 4  x 5  x66
                        7    3     9 2         4
     x                                                    4.5
               6                       6
                                                                   3
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 Medidas de Posición Central: la media

• Ejemplo:
Cuando muchas observaciones toman el mismo valor, estas se pueden
resumir en una tabla de frecuencias. Supongamos que el número de
Hijos en una muestra de 16 empleados fuera el siguiente:

         NUMERO DE HIJOS     0             1   2    3
         NUMERO DE EMPLEADOS 3             4   7    2

                                          16 empleados

     161 x i
      i          x1  x 2 ...  x16 3(0)  4(1)  7(2)  2(3)
x                                                            1.5
        16               16                     16
                                                                       4
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                        La mediana
• La mediana (M) es el “valor central” de un
  histograma.

• Para hallar la mediana de una distribución
  debemos:
    1. Ordenar las observaciones en orden ascendente.
    2. Si el número de observaciones n es impar, M es la observación
       central de la lista ordenada. M se halla contando (n+1)/2
       observaciones desde el comienzo de la lista.
    3. Si el número de observaciones n es par, M es la media de las dos
       observaciones centrales de la lista ordenada.


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                            La mediana
• Ejemplo:
  Los salarios de siete empleados fueron   Supongamos que se agrega al grupo el
  los siguientes (en 1000s) :              Salario de un empleado más ($31,000).
  28, 60, 26, 32, 30, 26, 29.              ¿Cuál es la mediana?
  ¿Cuál es la mediana?
Nro. de observaciones es impar             Nro. de observaciones es par
 Primero, ordenar los salarios.            Primero, ordenar los salarios.
 Luego, localizar el valor en el medio.    Luego, localizar el valor en el medio.

                                            Hay dos valores en el medio!

      26,26,28,29,30,32,60                  26,26,28,29, 30,31, 32,60
                                           26,26,28,29,29.5,30,31,32,60
                                                                                6
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                      La moda
 El modo es el valor que ocurre con mayor frecuencia
   en un grupo de observaciones.
                                  Cuando la muestra
           El modo                es grande, los datos
                                  se agrupan en intervalos
                                  y obtenemos el
                                  Intervalo modal




En un conjunto de observaciones puede haber más de un modo.
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                        La moda
     Ejemplo

     El gerente de una tienda de ropa posee la siguiente
       información sobre el talle de los pantalones que se
       vendieron ayer:
     31, 34, 36, 33, 28, 34, 30, 34, 32, 40.
     El modo es 34
                                En muchos casos, el modo nos da
                                información mas valiosa que la
                                mediana: 33.2.



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          Media, Mediana y Moda
• Si una distribución es simétrica, la media, mediana
  y modo coinciden


 • Si una distribución no es simétrica, las tres
   medidas difieren.

     Asimetría hacia la derecha       Asimetría hacia la izquierda
        (asimetría positiva)             (asimetría negativa)



                   Media                     Media Modo
           Modo                                              9
                  Mediana                        Mediana
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               Medidas de dispersión
• Caracterizar una distribución solamente a través de una medida
  central no es apropiado.

• Las distribuciones del ingreso de dos provincias con el mismo
  ingreso medio por hogar son muy distintas si una de ellas tiene
  extremos de pobreza y de riqueza, mientras que la otra tiene poca
  variación de ingresos entre familias.

• Estamos interesados en la dispersión o variabilidad de los
  ingresos, además de estarlo en sus centros.


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             Medidas de dispersión
    Ejemplo de dos conjuntos de datos con igual media




  Datos con baja dispersión    Datos con alta dispersión
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             Medidas de dispersión
• Rango

    Una manera de medir la dispersión es calcular el
    recorrido de la distribución empírica, es decir, la
    diferencia entre las observaciones máxima y mínima.

    Su mayor ventaja es que se puede calcular
    facilmente, sin embargo, no brinda información
    sobre la dispersión existente entre ambos valores
    extremos.
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Una medida de dispersión: La varianza
• La varianza s2 de un conjunto de observaciones es el
  promedio de los cuadrados de la desviaciones de las
  observaciones respecto a su media. Formalmente:

            ( x1  x )  ( x 2  x )  ...  ( x n  x )
                       2             2                     2
        s 
         2

                               n 1
• De forma compacta:
                            1
                       s  2

                           n 1
                                 (x i  x) 2

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 Propiedades del desviación estándar
• s mide la dispersión respecto a la media. Debe
  emplearse solo cuando se escoge la media como
  medida central de la distribución.
• s = 0 solo ocurre cuando no hay dispersión: todas las
  observaciones toman el mismo valor. De lo contrario s
  > 0.
• Cuanto más dispersión hay entre las observaciones,
  mayor es s.
• s, al igual que la media, se encuentra fuertemente
  influenciado por las observaciones extremas.
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           Distribuciones normales
• Todas las distribuciones normales tienen la misma forma
  general.
• La curva de densidad de una distribución normal se
  describe por su media  y su desviación estándar .
• La media se sitúa en el centro de la curva simétrica, en el
  mismo lugar que la mediana.
• Si se cambia  sin cambiar  se provoca un
  desplazamiento de la curva de densidad a lo largo del eje
  de las abscisas sin que cambie su dispersión.
• La desviación típica  controla la dispersión de la curva
  normal.
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           Distribuciones normales
• La curva con mayor desviación estándar es la curva que presenta
  mayor dispersión.
• La desviación típica  es la medida natural de la dispersión de una
  distribución normal. La forma de una curva normal no solo queda
  completamente determinada por  y , sino que además es posible
  situar  a simple vista en la curva.
• Cuando nos alejamos de , en cualquier dirección, la curva pasa de
  descender rápidamente a descender suavemente.
• Estos puntos de inflexión están situados a una distancia  de .



                                                     
                         


                                                                 16
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                      Regla Empírica
• En una distribución normal:
        El 68 % de las observaciones se encuentra entre   .
        El 95 % de las observaciones se encuentra entre   2 .
        El 99.7 % de las observaciones se encuentra entre   3 .


                              68% de los datos




                              95% de los datos


                             99.7% de los datos
                                                                      17
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Distribución normal estandarizada
• Si x es una observación de una distribución de media  y
  de desviación estándar , el valor estandarizado de x es:
                           x
                     z
                              
• La distribución normal estandarizada es la distribución
  normal N(0,1): su media es 0 y su desviación estándar es 1.

• Si una variable x tiene una distribución normal N(,),
  entonces z posee una distribución normal estandarizada.

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