Mappeoppgave Sannsynlighet og kombinatorikk Nils-Jakob

					                                     Mappeoppgave

                             Sannsynlighet og kombinatorikk

                     Nils-Jakob Herleiksplass & Stian McFadden

Innledning

I denne oppgaven vil vi presentere et undervisningsopplegg knyttet til temaet sannsynlighet
og kombinatorikk. Opplegget er rettet mot elever på 9-trinn, med estimert varighet på 45
minutter og skal være oppstart av tema for klassen. Vi starter med å redegjøre for de mål som
er oppført i henhold til læreverket Grunntall for niende klasse. Deretter en kort presentasjon
av oppgaven og hvordan den skal gjennomføres. Så kommer selve timeforløpet der vi
beskriver oppstart, gjennomføring og avslutting basert på relevant litteratur. Til slutt kommer
en fremstilling av matematikken som inngår.

Vi har valgt å bruke læreboka Grunntall 9 (Bakke & Bakke 2006) som presenterer statistikk,
kombinatorikk og sannsynlighet på følgende måte:

       Mål for det du skal lære:
              Tegne diagrammer skriftlig og digitalt
              Finne Variasjonsbredde, gjennomsnitt, median og typetall
              Finne antall muligheter når noe kombineres
              Finne sannsynligheten ved en enkel hendelse, ved en serie hendelser og
               uttrykke dersom brøk, desimaltall og prosent


       Kombinatorikk


       Kombinatorikk er matematikk som brukes til å telle opp antall mulige måter en kan
       kombinere ting på.
       Hvor mange muligheter finnes det?
       Når du skal finne ut hvor mange muligheter det finnes, kan det være lurt å bruke
       brikker eller tegne for å synliggjøre de forskjellige mulighetene.


       Sannsynlighet
       I kombinatorikk setter vi opp eller tegner opp alle kombinasjonsmulighetene som
       finnes. Dette kan vi bruke til å finne ut hvor sannsynlig det er at en bestemt
       kombinasjon inntreffer.
       Hvor sannsynlig er det?
       Når vi skal finne ut hvor sannsynlig det er at noe inntreffer, og har tegnet alle
       mulighetene, kan vi telle opp hvor mange av mulighetene (mulige utfall) som oppfyller
       kravene vi er ute etter (ønskede utfall).


       Sannsynlighet ved en serie hendelser
       I noen brettspill kaster vi to terninger når vi spiller. Hvor stor er sannsynligheten for
       at vi får to seksere? Hvor stor er sannsynligheten for at vi får to like terninger?


Oppgaven


The Monty Hall problem.

Tema: Sannsynlighet, forsøk med sannsynlighet, store talls lov, modellering, problemløsning,
kombinatorikk.

Bakgrunn: Vi har valgt å ta utgangspunkt i The Monty Hall problem. Dette er en berømt
sannsynlighetssoppgave som ble popularisert av matematikeren Marylyn vos Savant.
Oppgaven skapte i sin tid relativ stor diskusjon og debatt på verdensbasis. Dette er noe vi
håper den vil skape hos elever i 9-trinn, samt stimulere til matematisk tenkning og
engasjement.

Utstyr(per gruppe): 3 kopper, en lekebil og 2 leke geiter.

Fremgangsmåte: Du er med i en konkurranse i et kjent TV program. Du blir presentert 3 dører
og må velge 1 av dem. Bak 1 av dørene skjuler det seg en splitter ny bil. Bak de andre 2
dørene skjuler det seg geiter. Etter at du har valgt en av dørene åpner programlederen, som vet
hva som skjuler seg bak dørene, en av dørene som skjuler en geit. Deretter spør han:” vil du
beholde døra du har valgt, eller vil du bytte?”

Vi omgjør oppgaveteksten til å omhandle en pengepremie samt å benytte oss av to forskjellige
fargede geiter. Dette er grunnet at elever i 9-trinn ikke besitter sertifikat, og vil kanskje føle at
oppgaven er lite relevant dersom den skulle ha omhandlet en bilpremie. Vi har valgt å bruke
fargede geiter for å unngå misoppfattningen av at geit1 og geit2 er samme hendelse.

Oppstart

Ved oppstart av timen vil vi introdusere til temaet kombinatorikk og sannsynlighet ved å
stimulere til elevenes forkunnskaper. Dette gjør vi ved å stille et åpent spørsmål som f. Eks.
”Hva tenker dere på når dere hører ordene sannsynlighet og kombinatorikk?” Et slikt
spørsmål åpner for at alle elevene kan bidra med sine tanker og dermed blir ikke
introduksjonen begrenset til kun de faglig sterke elevene (Karlsen 2010).

Ettersom vi befinner oss i 9-trinn og har lærerverk Grunntall 9, vet vi på forhånd at Grunntall
8 har lærermål som elevene har blitt introdusert for, og forhåpentligvis har oppnådd. Disse er
som følger:

          Finne antall muligheter når noe kombineres
          Bestemme sannsynlighet for en hendelse ved å eksperimenter, og å regne ut.
          Uttrykke sannsynlighet som brøk, desimaltall og prosent

Vi ser her at i grunntall sine mål for 8-trinn er i tråd med Lk-06 sine mål for opplæring etter
10-trinn(LK-06). For eksempel ved: ”beskrive utfallrom og uttrykke sannsynligheter som
brøk, prosent og desimaltall”. I utvidet form finner man igjen de samme målene i Grunntall 9.

Når problemet skal presenteres velger vi å skrive opp disse målene for timen på tavla, basert
på lærermålene i Grunntall og LK-06.

          Utforske sannsynlighet og kombinatorikk
          Fremstille resultater på ulike måter (brøk, desimaltall, prosent, tegning, tabell)1
          Vise med eksempler enkle kombinatoriske muligheter av problemet

Etter at elevenes bakgrunnskunnskaper har blitt stimulert forklares forløpet av timen til
elevene, samtidig som det punktvis skrives på tavlen. Dette er for å gjøre timen forutsigbar for
elevene noe som bidrar til bedre klasseledelse(Nordahl i Lillejord mfl,. 2010)

Oppgaven skal introduseres til elevene ved at de får utdelt oppgaven på egne ark som vi har
laget på forhånd. Oppgavearket er som følger:


1
    Her vil vi få elevene til å komme med forslag på ulike fremstillinger og få disse opp på tavla
TV-konkurransen
Du er med i en TV-konkurranse. Programlederen gir deg valget mellom tre dører. Bak
en av dørene skjuler det seg kr. 100 000,- pengepremie. Bak de andre to dørene er det en
hvit og en svart geit. Du velger en dør, for eksempel dør nr.1. Deretter velger
programlederen, som vet hva som skjuler seg bak hver enkelt dør hver eneste gang, å
åpne en dør med en av geitene bak. F. eks dør nr.2. Deretter sier han til deg: ”Vil du
bytte dør eller beholde den du har?”


OPPGAVE:
       Still en hypotese - Hva mener du/dere lønner seg? Hvorfor? Hva er sjansen for å
        vinne?
       Ved hjelp av pappkopper og lekefigurer skal dere gå sammen i grupper på 2-3 pr
        gruppe og finne ut av hva som lønner seg. Gjør forsøket til sammen 20 ganger,
        hvor dere i halvparten av forsøkene beholder døra, og i den andre halvparten
        bytter dør.
       Skriv ned resultatene i en tabell (F. eks slik)

                                       Tabell v/bytting
Forsøk nr:       Jeg valgte       Programleder valgte                   Jeg vinner
1
2
3



                                     Tabell v/ å beholde
Forsøk nr:       Jeg valgte       Programleder valgte                   Jeg vinner
1
2
3



       Beskriv resultatene deres. Hva lønner seg?
       Vis resultatet matematisk og bruk gjerne flere måter
       Sammenlign resultatet og din/deres hypotese. Er det noen forskjeller, hva
        kommer dette av? Diskuter i gruppen.
Utstyrsliste:
      3 pappkopper
      Et kronestykke for å representer pengepremie
      En svart og en hvit geitefigur


I en elevaktiv undervisningstime er det eksplisitt at oppgavetypene henger sammen med
graden av elevaktivitet. Det er derfor viktig at disse velges med omhu av lærer. Oppgavene
bør være av en slik type at de stimulerer til tenkeprosesser på et høyt kognitivt nivå, samtidig
være så rike med lav inngangsterskel slik at man engasjerer alle elevene (Herleiksplass 2011).
Dersom det skulle vise seg at enkelte elever klarer oppgaven vi har bestemt oss for med en
gang, har vi et forslag til utvidelse. Man kan stille elevene spørsmålet: ”Hva om
programlederen ikke visste hva som befant seg bak dørene når han åpner. Ville dette endret
sjansene for å vinne?” Ved å legge til slik informasjon oppfyller oppgaven i noen grad
kravene om en åpen oppgave ved at man kan legge til/fjerne informasjon (Scott mfl. 2008).
Denne oppgaven mener vi legger opp til elevaktivitet fordi elevene får stilt hypoteser, de må
utforske problemet og deretter argumenter/begrunne sine hypoteser basert på utforskingen. En
slik oppgave oppfordrer dermed til at elevene skal finne egne løsninger, besitte følelsen av
læring og forstå matematisk sammenhenger samt hvordan de fungerer. Noe som har en sterk
sammenheng med elevers motivasjon innenfor matematikk (McFadden 2010). I henhold til
LK06 sine krav om matematisk kompetanse er argumentasjon/begrunnelse og forståelse av
faget, en grunnleggende ferdighet samt et formål. Siden vi har lagt opp til hypoteser i plenum
både før og etter oppgavestart, viser vi til den grunnleggende ferdigheten innen
kommunikasjon.


”Å kunne uttrykke muntlig i matematikk innebærer å gjøre antakelser, stille spørsmål,
argumentere og forklare en tankegang ved hjelp av matematikk. Det innebærer videre å delta
i samtaler, kommunisere ideer, drøfte problemer og løsningsstrategier med andre”


Matematiske tekster karakteriseres for å være multimodale. Av denne grunn er det en større
utfordring for elever å tolke og avkode teksten (Maagerø 2009). Etter utdeling av
oppgaveteksten vil vi derfor gå igjennom den i plenum. Dette gjøres ved at læreren spør for
eksempel elevene ”Hva er det oppgaven spør om”, ”Hva skal vi finne ut”,” Hvordan finner vi
ut dette?” Deretter be medelever gjenta en forklaring med egne ord etc. Deretter ber vi
elevene sette i gang forsøket. Når elevene jobber med utforskingen skal vi som lærere gå
aktivt rundt og observere aktiviteten. Her kan man etter behov veilede og hjelpe elevene, men
i utgangspunktet forholde seg relativt passiv og la elevene selv løse problemet i sine
respektive grupper(Karlsen i Vinje-Christensen & Karlsen i Aagre 2009).

Resultater/Refleksjon:

Etter at elevene er ferdig å med den utforskende delen byr vi opp til en felles gjennomgang på
tavlen. Der gjennomgår vi følgende punkter.

      Hva har dere funnet ut, hva lønner seg?
       Ved å stille slike åpne spørsmål legger vi opp til en faglig diskusjon hvor det
       forhåpentligvis vil dukke opp ulike meninger. For å videre engasjere elevene i
       matematisk tenkning og stimulere til argumentasjon, bruker vi oppfølgingsspørsmål
       som f. eks.: ”Hvorfor mener dere det?” eller ”Hvordan har dere tenkt?”. En slik
       kommunikativ fremgangsmåte vil legge opp til å styrke den grunnleggende
       ferdigheten i matematikk ”å kunne utrykke seg muntlig”. Samtidig er denne måten å
       kommunisere med elevene på i tråd med Lampert & Cobb sin utvidelse av IRE-
       modellen for kommunikasjon. Den klassiske IRE modellen består av Igangsetting –
       Respons - Evaluering. Her stiller f. eks. lærer eleven et spørsmål. Eleven svarer, og
       lærer evaluerer om det er riktig eller galt, eventuelt stille ledende spørsmål. Den
       utviklede modellen bytter ut evalueringspunktet med feedback. Dette stimulerer til
       flere responser, gjerne fra medelever (Herleiksplass 2011). En slik
       kommunikasjonsmodell vil vi bruke igjennom hele resultat- og refleksjonsdelen av
       timen. Dette innebærer feil svar ønskes velkommen og blir brukt til videre utforsking
       helt til eleven selv innser hva som er matematisk korrekt og kan begrunne det.


      Samle inn data fra alle gruppene.
       Her vil vi foreslå at læreren samler inn data fra alle gruppene og representerer funnene
       i en felles tabell. Vi ønsker her å få frem den relative frekvensen per gruppen ut ifra de
       overordnede valgene: Bytte eller Beholde, med hensyn på premie (for eksempel 7 av
       10 ganger ga det å bytte kopp premie). Ved å summere antall premiehendelser og
       antall forsøk vil vi finne gjennomsnittlig relativ frekvens. Forhåpentligvis vil dette gi
       et svar tilnærmet lik sannheten.
       Deretter vil det være et poeng å ta opp igjen spørsmålet om hva som lønner seg. Vi går
       her ut ifra at total relativ frekvens for å bytte vil være høyere, slik at elevene kan se
       hva som lønner seg.
      Sannsynligheten
       Helt til slutt skal vi sammen med elevene finne ut av hva den faktiske sannsynligheten
       er for utfallene. Vi kan benytte oss av tabellen elevene brukte for å føre inn sine
       resultater til å komme frem til alle kombinasjoner som gir premie. Ved å se at mange
       av hendelsene blir identiske vil resultatet koke ned til visuelt fire muligheter.


       Jeg velger     Programleder velger             Premie
       Geit1          Geit2                           Pp.
       Geit2          Geit1                           Pp.
       Pp.            Geit1                           Geit2
       Pp.            Geit2                           Geit1

       Som lærer må man her argumentere for at de to siste hendelsene er identiske, grunnet
       at ”pengepremie” kun kan velges på én måte. Dersom dette ikke er visuelt nok for
       elevene, foreslår vi å benytte en enkel illustrasjon:



       Penge          Geit1           Geit2
       premie




Her foreslår vi å spørre elevene: ”Hvor stor er sannsynligheten for at vi velger en geit? Og
hvor stor er sannsynligheten for at vi velger pengepremie?” Her vil hendelsen å velge geit
visuelt være to forskjellige hendelser, i motsetning til pengepremie som fungerer som 1
hendelse.

Elevene ble i begynnelsen av timen bedt om å skrive et kort refleksjonsnotat om hva de trodde
Sannsynlighet og kombinatorikk omhandlet. Som lekser vil vi foreslå at elevene skriver en
kort loggføring av timens innhold, hva som var bra med timen og eventuelt hva som var
vanskelig. Dette er for at elevene skal kunne systematisere og sette ord på tankene sine. En
slik prosess bevisstgjør elevene på sin egen læring samtidig som den fremmer Lk-06 sine
kompetansemål for grunnleggende ferdigheter i matematikk (Wittek 2010)
Presentasjon av matematikken som inngår.

For å kunne gjennomføre dette opplegget må læreren kunne følgende punkter:

      Store talls lov
       I sannsynlighetsteori går store talls lov ut på at gjennomsnittet av en følge stokastiske
       variabler (funksjon som tilordner verdier til elementer i utfallsrommet til et tilfeldig
       forsøk) konvergere mot deres felles forventingsverdier, når antall variabler går mot
       uendelig. Med andre ord, vil den relative frekvensen nå en forventet verdi når antall
       forsøk blir tilstrekkelig stor mange nok.
      Kombinatorikk
       Du må kunne sette opp en tabell med antall mulige utfall og vurdere hvilke utfall som
       er identiske. Samtidig argumentere for at det å velge en geit er en permutasjon, altså
       den kan velges på to forskjellige måter. Dette er også grunnen til at vi har delt de inn
       med indekser. Geit1, Geit2, Bil vil være én permutasjon av mengden Bil, Geit1, Geit2
       osv.
      Relativ frekvens
       Du må vite at relativ frekvens er total mengden antall gunstige utfall over antall
       mulige utfall.

Avslutningsvis:

I denne oppgaven har vi presentere et undervisningsopplegg knyttet til temaet sannsynlighet
og kombinatorikk. Vi startet med å redegjøre for de respektive mål i henhold til læreverket
Grunntall 9. Deretter presenterer vi kort oppgaven og hvordan den skal gjennomføres. Så
kommer selve timeforløpet der vi beskriver oppstart, gjennomføring og avslutting basert på
relevant litteratur. Til slutt presenterer vi matematikken som inngår. I arbeid med denne
oppgaven merker vi oss utfordringene av oppgavens art. Vi har for eksempel ved flere
anledninger måtte kutte ned på planlagte gjennomføringer grunnet tidsrammen. Andre
utfordring har lagt opp til hvordan man helt praktisk skal gjennomføre opplegget. Vi merker
oss her at den generelle omsettingen av didaktisk kunnskap til praksis er en krevende prosess.
I kontrast er det slike utfordringer som knytter teori og praksis slik at en tydelig bevisstgjøring
forekommer hos oss.

Litteraturliste
Bakke,B & Bakke,I,N. (2006). Gruntall 9. Matematikk for 9-trinn

Bakke,B & Bakke,I,N. (2006). Gruntall 9 Ressursperm. Matematikk for ungdomstrinnet.
Elektronisk undervisningsforl

Herleiksplass,N,J (2010). Elevaktivitet.
Dato:15.02.11: http://wp.home.hive.no/nherle/matematikk/innleveringer-2/didaktiske-
oppgaver/

Karlsen,L.(2010) Presentasjon v/Lesing og skriving som grunnleggende ferdigheter: Lesing,
skriving og samtale i matematikk.
Dato: 15.02.11: https://fronter.com/oa/main.phtml

Karlsen, L. & Vinje-Christensen, P. (2009) Elevaktiv matematikkundervisning. Hvordan
omsette didaktisk teori til praksis. I: Aagre, W. (red.) Lærerutdanning for ungdomstrinnet , s.
199 - 124. Oslo, Gyldendal.

Lillejord,S. Manger,T. Nordahl,T.(2010). Livet i skolen 2. Bergen, Fagbokforlaget.


Maagerø,E. (2009) ”De langsomme teksten. Om å lese matematikk” Læsepedagogen
5/2009,s. 22-77

McFadden,S.(2010). Elevaktivitet.Hvordan tilrettelegge for elevaktiv undervisning i
matematikk.
Dato:15.02.11: http://wp.home.hive.no/smcfadden/matematikk/mappeoppgaver/

Skott,j. Jess,K. Hansen, H,C. (2009). DeltaMatematik for lærerstuderende. Fredriksberg,
Forlaget samfundslitteratur.

Wittek,L.(2010) Presentasjon v/Lesing og skriving som grunnleggende ferdigheter:
Prosessorientert skriving

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:24
posted:2/23/2012
language:Norwegian
pages:9