Docstoc

Beberapa Trik Pembuktian

Document Sample
Beberapa Trik Pembuktian Powered By Docstoc
					                                                           Smart Mathematics 2012

                     Sifat-sifat dasar Gelanggang dan Lapangan

1. Buktikan bahwa himpunan bilangan bulat          tidak memiliki balikan pada operasi perkalian!
   Bukti dengan Kontradiksi:
   Andaikan himpunan bilangan bulat         memiliki balikan pada operasi perkalian. Artinya,


   Pilih                              , maka:




                ontradiksi dengan pernyataan bahwa               .

   Jadi haruslah himpunan bilangan bulat        tidak memiliki balikan pada operasi perkalian
2. Buktikan bahwa                               dimana     bukan bilangan prima, maka       bukan
   lapangan!
   Jawab:
   Misal                  bukan bilangan prima, maka                               sehingga
   Artinya                             sehingga
   Untuk menunjukkan bahwa          pada kasus di atas bukan lapangan, cukup dengan
   menunjukan bahwa             tidak memiliki balikan pada operasi perkalian
   Dengan Kontradiksi:
   Andaikan           memiliki balikan pada operasi perkalian, maka
             , sehingga                 .
                                             sifat pada persamaan
                                            sifat unsur    dan sifat assosiatif perkalian
                                            sifat balikan pada operasi perkalian
                                             sifat unsur    di
           kontradiksi dengan         pada persamaan
   Jadi haruslah          tidak memiliki balikan pada operasi perkalia.
   Jadi karena ada                 yang tidak memiliki balikan pada operasi perkalian, maka
                             dimana    bukan bilangan prima, maka         bukan lapangan


     1
                                                          Smart Mathematics 2012
3. Buktikan bahwa setiap lapangan        merupakan Daerah Integral.
   Bukti:
   Misal      Daerah Integral, maka                 dengan           dan        maka           . Artinya
   tidak memuat pembagi nol.
   Dengan Kontradiksi:
   Andaikan      memuat pembagi nol. Artinya                   dengan           dan          yang
   memenuhi               . Maka;


                                         sifat setiap unsur tak nol di laspangan
                                         sifat Assosiatif pada opersai perkalian dan sifat unsur
                                        sifat unsur balikan pada opersai perkalian di
                                        sifat unsur
            kontradiksi dengan yang diketahui bahwa             .
   Jadi, haruslah    tidak memuat pembagi nol. Artinya              adalah Daerah Integral
4. Buktikan bahwa                          . Jika            , maka          untuk suatu
   Bukti:


                                                    sifat setiap unsur tak nol di
                                           sifat setiap unsur balikan pada operasi penjumlahan di
                                           sifat Assosiatif perkalian di
                                           sifat Distributif di
   Karena           dan     bukan pembagi nol maka haruslah:


                                        sifat setiap unsur tak nol di
                                          sifat balikan pada operasi penjumlahan di
                                          sifat unsur     di
   Jadi,                       . Jika         , maka




     2
                                                        Smart Mathematics 2012
5. Jika     lapangan dan                 Buktikan bahwa            !
   Bukti:
                                                      sifat unsur
                                                      sifat balikan penjumlahan di
                                                      sifat Assosiatif penjumlahan di
                                                      sifat Distributif di
                                                      sifat unsur
                                                      sifat balikan penjumlahan di
   Jadi     lapangan dan                 Buktikan bahwa
6. Buktikan bahwa                          . Jika               , maka         untuk suatu
   Bukti:
   Misalkan
   Karena         , maka terdapat          yang memenuhi                                     . Maka;




                                                     sifat Assosiatif Penjumlahan di
                                                     sifat
                                                     sifat unsur
7. Berikan contoh yang menguatkan bahwa pada Gelanggang tidak selalu berlaku hokum
   pembatalan terhadap operasi perkalian.
   Jawab :
   Misal     gelanggang             dengan           , tetapi
   Pilih gelanggang      ,              , maka:
                    tetapi
8. Misal     lapangan,         . Jika       unit di , maka      adalah unit.
   Bukti:
   Misal       dua buah unit di , maka terdapat                                                .
                                                     Sifat assosiatif perkalian di
                                                     Sifat assosiatif perkalian di
                                                     Sifat balikan perkalian di

     3
                                                               Smart Mathematics 2012
                                                       Sifat unsur 1 di


   Jadi Jika        unit di , maka          adalah unit.
   Karena terdapat
9. Misal       ring komutatif.    daerah integral jika dan hanya jika pada         berlaku
   hukumpembatalan pada perkalian.
   Bukti:


                                                       sifat setiap unsur tak nol di
                                                sifat setiap unsur balikan pada operasi penjumlahan di
                                                sifat Assosiatif perkalian di
                                                sifat Distributif di
   Karena            dan   bukan pembagi nol maka haruslah:


                                             sifat setiap unsur tak nol di
                                               sifat balikan pada operasi penjumlahan di
                                               sifat unsur     di
   Jadi,                         . Jika            , maka
   Bukti:
   Akan dibuktikan bahwa pada              tidak memiliki pembagi nol.
   Ambil sebarang                yang memenuhi                 dengan         , akan ditunjukkan bahwa
           .


                                                       Sifat unsur
                                                       Sifat pembatalan di
   Karena             dengan              diperoleh         , maka     tidak memuat pembagi nol. Artinya
     merupakan daerah Integral.




     4
                                                            Smart Mathematics 2012

                                      Sifat-sifat dasar Suku Banyak
1. Jika                                        tentukanlah solusi dari     !
   Jawab:




                     atau
              atau
                atau
            atau
   Jadi, solusi dari                      adalah        atau
2. Misal           adalah suku banyak atas lapangan . Buktikan bahwa
                       , maka         tidak memiliki balikan pada operasi perkalian di     .
   Bukti:
   Misalkan                     dengan                  .
   Andaikan                          yang memenuhi                                Tinjau dua kasus.
      Jika


       Jadi kontradiksi
      Jika




       Karena
       Jadi kontradiksi.
   Jadi, haruslah                                      , maka        tidak memiliki balikan pada
   operasi perkalian di          .




       5
                                                             Smart Mathematics 2012
3. Misal        adalah suku banyak atas lapangan . Buktikan bahwa
                      , maka        memiliki balikan pada operasi perkalian di           .
   Bukti:
                      , maka                          . Berdasarkan sifat lapangan,             , yang
   memenuhi
   Jadi                                                      , sehingga
4. Buktikan bahwa                       , tak tereduksi di        .
   Bukti:
   Dengan Kontradiksi:
   Andaikan                    , tereduksi di          , maka terdapat
                                                dan                bukan unit sehingga
                        . Karena                      , maka                   dan                   .
   Misalkan
                                    , dengan           dan


   Diperoleh:




   Substitusi: pers      dan pers       ke pers



                                                                          Tiap ruas dikalikan




   Kontradiksi, karena

     6
                                                                Smart Mathematics 2012
   Jadi,                    , tak tereduksi di        .
5. Misalkan          suku banyak atas lapangan            dan                 dengan
   Jika pemfaktoran                             trivial, maka                atau       .
   Bukti:
   Misalkan pemfaktoran                              trivial, artinya          atau    merupakan unit.
      Untuk kasus          unit
       Jika        unit, maka               dan                                         .
       Artinya




       Jika                        maka              kontradiksi dengan
       Jika                      maka                           . Sehingga             tidak mungkin
       Jika                      maka               memenuhi
      Untuk kasus          unit, caranya sama
6. Misalkan          suku banyak atas lapangan            dan
   Jika                                                    , maka                             .
   Bukti:
   Misal                                  dan               .
                , artinya                   sedemikian hingga:




   Karena                                 , maka:
                     . Artinya                    . Sehingga
                                    ,
   Jadi, jika                                                    , maka




       7
                                                             Smart Mathematics 2012
7. Misalkan        suku banyak atas lapangan         dan                  dengan
   Pemfaktoran                           nontrivial jika dan hanya jika                            dan
                             .
   Bukti:
   Misalkan               dan


   Misal                     nontrivial, maka                             dan            bukan unit.
   Sehinga                  dan                      .
   Akan ditunjukkan                                  dan
   Misalkan                  , maka




   Karena                  , maka


   Jadi                              .
   Dengan cara yang sama akan diperoleh                                     .


   Misal                  dan
   Misal                                 dan                              akan ditunjukkan bahwa
                       nontrivial
   Dengan Kontradiksi:
   Andaikan                      dan                     .
   Misal                     , maka


   Kontradiksi dengan yang diketahui bahwa
   Jadi haruslah                     dan                     .
   Artinya,                         dan              bukan unit. Sehingga,
                       nontrivial.


     8
                                                        Smart Mathematics 2012
8. Misalkan          suku banyak atas lapangan   dan
   Jika              , maka                                                 . Dimana
   atau                           . Buktikan bahwa        adalah tunggal.
   Bukti:
   Misalkan
                                Dimana           atau                              dan
                                Dimana            atau
   Dengan eliminasi, diperoleh:


   Akan ditunjukkan bahwa
   Dengan kontradiksi
   Andaikan                     , maka
                                     . Karena            atau                            dan
              atau                          .

                                                                    Kontradiksi.

   Jadi haruslah                   , sehingga              .




     9

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:419
posted:2/22/2012
language:Malay
pages:9