Introducci�n a la Probabilidad

Document Sample
Introducci�n a la Probabilidad Powered By Docstoc
					                              Introducción a la
                              Probabilidad




Dpto. de Estadística - UNCo      Tema: Probabilidad   1
    ¿Cuál es la probabilidad de aprobar Estadística?

    ¿Cuál es la probabilidad de no encontrarme con un corte de
     ruta cuando voy a clase?

    Todos los días nos hacemos preguntas donde utilizamos el
     concepto de probabilidad.

    La idea intuitiva es lo suficientemente correcta para lo que
     necesitamos de ella en este curso.

    En este capítulo vamos a:
       Definir probabilidad.
       Reglas de cálculo.
       Teorema de Bayes

Dpto. de Estadística -
UNCo                                               Tema 4: Probabilidad   2
Origen del calculo de probabilidades


                         Surge de preguntarse
                         cómo repartir el dinero
                         apostado en un juego de
                         azar que se interrumpe
                         antes de finalizarlo?????



  Blaise Pascal                                      Fermat 1601-1665
  1623-1662

Dpto. de Estadística -
UNCo                                                 Tema 4: Probabilidad   3
Experimentos
      Determinísticos



      Aleatorios




                         AZAR


Dpto. de Estadística -
UNCo                            Tema 4: Probabilidad   4
E1 Se arroja un dado :
Si observamos su cara superior, el conjunto
  de resultados posibles es

Ω: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }



Dpto. de Estadística -
UNCo                            Tema 4: Probabilidad   5
Experimentos-Espacio Muestra
    E2 Se arrojan dos dados y se observa la
             suma de sus caras.



      Ω           2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12


Dpto. de Estadística -
UNCo                                   Tema 4: Probabilidad   6
E3 :Se arroja una moneda hasta que
    aparezca cara.


Ω { C, XC, XXC, XXXC, XXXXC, ..., X..XC, .... }




Dpto. de Estadística -
UNCo                                  Tema 4: Probabilidad   7
Ejemplo : Sea el experimento arrojar dos dados.
El conjunto de resultados posibles es:
  Ω            = {(x,y)/ x = 1, 2 .. 6, y = 1, 2 .. 6 }
                                                          Ω

    A
                                                                 A = {(x,y) / x + y = 5 }

                                                              A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}



                    1    2    3    4     5     6




Dpto. de Estadística -
UNCo                                                                      Tema 4: Probabilidad   8
    Sucesos
Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son
posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio
muestra (Ω).                                                E espacio muestral


Se llama suceso a un subconjunto de dichos resultados.



                                                                   E espacio muestral

Se llama suceso complementario de un suceso A, A’,                    A
al formado por los elementos que no están en A                                    A’



    Dpto. de Estadística -
    UNCo                                                 Tema 4: Probabilidad           9
Se  llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los
resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los
que están en ambos).
         E espacio muestral                     E espacio muestral
                                                             UNIÓN
            A                                      A

                 B                                     B


    Se llama suceso intersección de A y B, A∩B o simplemente
    AB, al formado por los resultados experimentales que están
    simultáneamente en A y B
                                  E espacio muestral
                                             INTERSEC.
                                     A

                                         B

Dpto. de Estadística -
UNCo                                                       Tema 4: Probabilidad   10
                     DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD.
Espacio muestra equiprobable
# (cardinal de ) a la cantidad de resultados posibles del experimento
cada resultado posible tiene una probabilidad de 1/#Ω de ocurrir.
                                   1
                           P() 
                                  #
Sea A un subconjunto de , Ω, simbolizando con #A al cardinal de A
que indica el número de casos favorables al suceso A, calculamos la
probabilidad de dicho suceso (siempre que sea equiprobable) como el
cociente:

            # A número de resultados favorables
   P ( A)     
            #   número de resultados posibles

   Dpto. de Estadística -
   UNCo                                             Tema 4: Probabilidad   11
PROPIEDADES
PROPIEDAD 1                       0 ≤P(A) ≤ 1


Como 0 ≤ #A ≤ # Ω                    0   # A #
                                               0  P( A)  1
                                    # # #

PROPIEDAD 2                       P( )= 0
                                   #   0
 Como # = 0                              P()  0
                                   # #

PROPIEDAD 3                       P(Ω) =1

                                          #
                         Ya que P(Ω ) =      1
                                          #
Dpto. de Estadística -
UNCo                                                      Tema 4: Probabilidad   12
PROPIEDAD 4                      P (AB) = P(A) + P(B), si AB =

 Si AB =, entonces #(AB) = #A + #B.                                     A
                                                                                                  B
                  #( A  B ) # A  # B # A # B
 P( A  B)                                  P ( A)  P ( B )
                     #        #       # #

PROPIEDAD 5                P (AB) = P(A) + P(B)- P(AB) si AB ≠

                     # ( AUB) # A  # B  # ( A  B) # A # B # ( A  B)
    P ( A  B)                                         
                        #             #             # #      #                A

    P ( A  B)  P ( A)  P ( B)  P( A  B)                                          B

PROPIEDAD 6                      P( A ) = 1 - P(A)

            # (A) #   # A   # # A                                 A
   P( A )                         1  P( A)
             #      #       # #                                           A’
Dpto. de Estadística -
UNCo                                                                  Tema 4: Probabilidad   13
                      DEFINICIÓN FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD.
Si se repite un experimento una gran cantidad de veces y se observa la aparición de
un resultado (suceso A) podrá notarse que la frecuencia relativa del suceso tiende a
estabilizarse en un valor a medida que crece el número de repeticiones del
experimento.
Simbolizando con f a la cantidad de veces que apareció el suceso A como resultado
del experimento, y con n a la cantidad de veces que se repitió el experimento

                                   f
                             lim     p
                             n   n
La frecuencia relativa del suceso se estabiliza en un valor que es la probabilidad
teórica del suceso A y la propia frecuencia relativa es la probabilidad empírica del
suceso A.

Asociada a cada suceso existe una probabilidad teórica, a la cual tiende la
frecuencia relativa del mismo a medida que aumenta la cantidad de repeticiones
del experimento.
    Dpto. de Estadística -
    UNCo                                                     Tema 4: Probabilidad   14
n          f         h         n      f     h
10         6       0,60        110   56    0,51

20         8       0,40        120   63    0,53
                                                   0,65
30        14       0,47        130   61    0,47
                                                    0,6

40        19       0,48        140   72    0,51    0,55

                                                  h 0,5
50        25       0,50        150   75    0,50
                                                   0,45
60        31       0,52        160   78    0,49     0,4

70        38       0,54        170   83    0,49    0,35
                                                          0   50   100       150      200        250
80        43       0,54        180   89    0,49                          n


90        46       0,51        190   95    0,50

100       51       0,51        200   101   0,50
      Dpto. de Estadística -
      UNCo                                                         Tema 4: Probabilidad     15
 PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE SUCESOS
      Sucesos Excluyentes

   P (AB) = P(A) + P(B), si AB =


   P (AB C) = P(A) + P(B) + P(C), si ABC =

     Sucesos No Excluyentes

   P (AB) = P(A) + P(B)- P(AB)




Dpto. de Estadística -
UNCo                                      Tema 4: Probabilidad   16
PROBABILIDAD CONDICIONAL

Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A
sabiendo que pasa B:
                                      E espacio muestral

                  P( AB )
      P( A | B)                           A
                   P( B)                             B




Dpto. de Estadística -
UNCo                                                       Tema 4: Probabilidad   17
Probabilidad condicionada
 A                                                    A



                B
                                                                B




            P(A) = 0,25                                    P(A) = 0,25
            P(B) = 0,10                                    P(B) = 0,10
            P(AB) = 0,10                                   P(AB) = 0,08

                         ¿Probabilidad de A dado B?
          P(A|B)=1                                         P(A|B)=0,8
Dpto. de Estadística -
UNCo                                                      Tema 4: Probabilidad   18
Probabilidad condicionada
 A                                                    A




                         B
                                                                           B




           P(A) = 0,25                                    P(A) = 0,25
           P(B) = 0,10                                    P(B) = 0,10
           P(AB) = 0,005                                  P(AB) = 0
                         ¿Probabilidad de A dado B?
          P(A|B)=0,05                                      P(A|B)=0
Dpto. de Estadística -
UNCo                                                      Tema 4: Probabilidad   19
   Dos sucesos son independientes si la
    ocurrencia de uno no añade información sobre
    el otro. En lenguaje probabilístico:

    A       indep. B  P(A|B) = P(A)


   Dicho de otra forma:
     A indep. B  P(AB) = P(A) P(B)




Dpto. de Estadística -
UNCo                                    Tema 4: Probabilidad   20
Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

     A1                  A2
                              Son una colección de sucesos

                              A1, A2, A3, A4…


                              Tales que la unión de todos ellos forman
                               el espacio muestral, y sus intersecciones
                               son disjuntas.

    A3                   A4




Dpto. de Estadística -
UNCo                                               Tema 4: Probabilidad   21
     A1                      A2
                                    Todo suceso B, puede ser
                                    descompuesto en componentes
                                    de dicho sistema.

                         B
                                  B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )


    A3                       A4




 Nos permite descomponer el problema B en
 subproblemas más simples..
Dpto. de Estadística -
UNCo                                                   Tema 4: Probabilidad   22
Teorema de la probabilidad total
     A1                      A2
                                  Si conocemos la probabilidad de B en
                                  cada uno de los componentes de un
                                  sistema exhaustivo y excluyente de
                                  sucesos, entonces…
                         B        … podemos calcular la probabilidad de B.



    A3                       A4



         P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

           =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …
Dpto. de Estadística -
UNCo                                                     Tema 4: Probabilidad   23
Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De
ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el
20%.
¿Qué      porcentaje de fumadores hay en total?
             P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)                    T. Prob. Total.
                                                       Hombres y mujeres forman
             = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)               Un Sist. Exh. Excl.
                                                       De sucesos
             =0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7

                  = 0,13 =13%
¿Seelije a un individuo al azar y resulta
                                                hombre?
fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea unMujeres
                                                                                  Varones
T. Bayes
                        P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F)
                                = P(F|H) P(H) / P(F)
                                = 0x2 x 0,3 / 0,13                      fumadores
Dpto. de Estadística -
UNCo                                                       Tema 4: Probabilidad      24
                                = 0,46 = 46%
   Expresión del problema en forma de árbol

                                             Fuma        P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2
                                     0,1


            0,7             Mujer
                                      0,9
                                                          P(H | F) = 0,3x0,2/P(F)
                                            No fuma
Estudiante
                                                      •Los caminos a través de nodos
                                     0,2              representan intersecciones.
            0,3                              Fuma
                       Hombre                         •Las bifurcaciones representan
                                                      uniones disjuntas.
                                    0,8
                                            No fuma


   Dpto. de Estadística -
   UNCo                                                         Tema 4: Probabilidad   25
Teorema de Bayes
                                      Si conocemos la probabilidad de B en cada
                                      uno de los componentes de un sistema
     A1                         A2    exhaustivo y excluyente de sucesos,
                                      entonces…

                                      …si ocurre B, podemos calcular la
                                      probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de
                         B            cada Ai.

                                                         P(B Ai)
                                             P(Ai | B) 
                                                          P(B)
    A3                          A4
                  P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

                  P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

                  =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …
Dpto. de Estadística -
UNCo                                                          Tema 4: Probabilidad   26

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:17
posted:2/21/2012
language:Spanish
pages:26