Devoir Maison Ch 1 : Fonction exponentielle

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Devoir Maison Ch 1 : Fonction exponentielle Powered By Docstoc
					    Devoir Maison Ch 5 : Fonctions associées aux fonctions
                         exponentielle et logarithme népérien

Travaux personnalisés (2 points)
. Corrections complètes des exercices d’applications des fiches méthodes du Ch 5
Voir les fiches méthodes du chapitre 5 sur le site de Maths du Lycée : www.le-tatu.com

Menu 1 : applications a), b) et c) de la méthode « Comment déterminer la dérivée de
fonctions s’exprimant avec une exponentielle ?» pour Romina K.
Menu 2 : applications a) et b) de la méthode « Comment calculer une dérivée faisant
intervenir une fonction logarithme ?» pour Julieta F.
Menu 3 : applications c) et d) de la méthode « Comment calculer une dérivée faisant
intervenir une fonction logarithme ?» pour Nicole K.
 Menu 4 : application a) de la méthode « Comment calculer des limites et utiliser les
règles de croissances comparées ?» pour Marcos V.
Menu 5 : application b) de la méthode « Comment calculer des limites et utiliser les
règles de croissances comparées ?» pour Nicolas S.
Menu 6 : application c) de la méthode « Comment calculer des limites et utiliser les
règles de croissances comparées ?» pour Pia M.
Menu 7 : application d) de la méthode « Comment calculer des limites et utiliser les
règles de croissances comparées ?» pour Bruno B.
Menu 8 : application a) de la méthode « Comment déterminer la limite d’une
fonction comprenant des logarithmes ?» pour André L.
Menu 9 : application b) de la méthode « Comment déterminer la limite d’une
fonction comprenant des logarithmes ?» pour Brian R.
Menu 10 : application c) de la méthode « Comment déterminer la limite d’une
fonction comprenant des logarithmes ?» pour Sabine D.
Menu 11 : application d) de la méthode « Comment déterminer la limite d’une
fonction comprenant des logarithmes ?» pour Bruno G.
Menu 12 : application de la méthode « Comment étudier des fonctions s’exprimant
avec une exponentielle ?» pour Lea B.

. Recherche d’un exercice posé au Bac
A : Extrait du sujet d’Antilles Guyane (Septembre 2004)
Pour le groupe de Martin G., Lucas N. et Damien S.
Soit f la fonction définie sur [0; +  [ par f(x) = x e– x + 2.
Partie A
(La partie B, pouvant être traitée indépendamment, sera cherchée comme exercice
type Bac du Ch 9)
    1) Dresser le tableau de variation de f sur [0; +  [ et déterminer les éventuelles
         asymptotes de la courbe représentative.
    2) a) Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction f et de la
         fonction logarithme népérien ; on notera L cette dernière.
         Conjecturer avec ce graphique le nombre de solutions de l’équation f(x) = ln (x)
         sur [1 ; +  [.
         b) Montrer que la fonction g définie sur R * par : g(x) = ln(x) – f(x) est
                                                      
         strictement croissante sur [1 ; +  [.
         En déduire que l’équation f(x) = ln (x) admet une unique solution  sur
          [1 ; +  [.
         c) Déterminer à 10 – 3 près une valeur approchée de  .
B : Extrait du sujet de La Réunion (Juin 2007)
Pour le groupe de Franco C., Felipe G. et Santiago R.
                                                          xe x
                                                f ( x)  x     si _ x  0
On considère la fonction f définie sur R par :          e 1
                                                f (0)  1.
                                               
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; i ; j ).
   1) a) Déterminer la limite de f en –  .
                                                                                 1
        b) Etablir que, pour tout nombre réel x non nul, on a : f(x) = x(1 + x        ).
                                                                               e 1
           En déduire la limite de f en +  .
                                                                x
   2) Donner, sans démontrer, la limite suivante : lim x           et démontrer que f est
                                                              e 1
                                                        x0
       continue en 0.
   3) a) Démontrer que, pour tout nombre réel x, on a : e x  x + 1, et que l’égalité n’a
        lieu que pour x = 0.
        b) Calculer la dérivée f ’ de la fonction f et déterminer la fonction g telle que,
                                                     e x g ( x)
        pour tout nombre réel x non nul, f ’(x) = x             .
                                                    (e  1) 2
        c) Donner le tableau des variations de f.
   4) Soient x un nombre réel x non nul et les points M(x ; f(x)) et M’(– x ; f(– x)) de la
      courbe (C).
                                    x
       a) Etablir que f(– x) = x        , puis déterminer le coefficient directeur de la
                                 e 1
            droite (MM’).
       b) On admet que la fonction f est dérivable en 0.
            Que suggère alors le résultat précédent ?


C : Extrait du sujet d’Amérique du Nord (2001)
Pour le groupe de Victoria D., Santiago B., Santiago G. et Ignacio I.
                                                                              1 ln x
On se propose d’étudier la fonction f définie sur ]0 ; +  [ par f(x) = x +     + 2 .
                                                                              x   x
   I.       1) Soit g la fonction numérique définie sur ]0 ; +  [ par
                   g(x) = x3 – x – 2ln x + 1.
            a) Montrer que la fonction g est dérivable et que, pour tout x > 0,
                                      ( x  1)(3x 2  3x  2)
                             g’(x) =                          .
                                                 x
            b) Etudier les variations de la fonction g et déterminer le signe de g(x).
    2) a) Déterminer les limites de f en 0 et en +  .
                                                    g ( x)
       b) Montrer que pour tout x > 0 : f ’(x) = 3 , puis donner le tableau de variation
                                                      x
          de la fonction f.
 II.  désigne la représentation graphique de la fonction f dans un repère
       orthonormal (O ; i ; j ), unité graphique 2 cm.
    1) Soit h la fonction définie sur ]0 ; +  [ par h(x) = x + ln x.
            a) Etudier le sens de variation de h, puis montrer que l’équation h(x) = 0
                 admet une solution unique  sur l’intervalle [0,4 ; 0,7].
           b) Montrer que l’on a     e  =  .
    2) a) Vérifier que la droite d d’équation y = x est asymptote à  en +  .
           b) Utiliser les résultats de la question 1)a) pour déterminer les positions de
            et de d.
   3) Construire  et d dans le repère orthonormal.

D : Extrait du sujet de La Réunion (Juin 2006)
Pour le groupe de Valeria B., Natalia F., Tali K. et Florencia L.
Partie A
                                                                     x
Soit f la fonction définie sur l’intervalle]1 ; +  [ par f(x) =        .
                                                                   ln x
    1) a) Déterminer les limites de la fonction f en 1 et en +  .
         b) Etudier les variations de la fonction f.
    2) Soit (un) la suite définie par u0 = 5 et u n + 1 = f(u n) pour tout entier naturel n.
         a) On a tracé la courbe représentative C de la fonction f sur la figure donnée en
            annexe qui sera rendue avec la copie. Construire la droite d’équation y = x et
            les points M1 et M2 de la courbe C d’abscisses respectives u1 et u2.
            Proposer une conjecture sur le comportement de la suite (un).
         b) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : un  e ; on pourra utiliser la
            question 1)b).
         c) Démontrer que la suite (un) converge vers un réel  de l’intervalle [e ; +  [.
Partie B
On rappelle que la fonction f est continue sur l’intervalle ]1 ; +  [.
    1) En étudiant de deux manières la limites de la suite (f(un)), démontrer que
         f(  ) =  .
    2) En déduire la valeur de  .

Annexe A compléter et à rendre avec la copie

				
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posted:2/18/2012
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