Kein Folientitel - PowerPoint 5 by 203x8y1

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     Bewegungsanalyse                                                 fsu         j e na



    Bewegungsanalyse und Kinetik
                  für Diplomsportwissenschaftler

                                  SS 2002

                       Prof. Dr. R. Blickhan


Nigg, .M., Herzog, W. (1994) Biomechanics of the musculo-skeletal system. Wiley
Winter, D.A. (1979) Biomechanics of human movement. Wiley
Zatsiorsky, V.M. (1998) Kinematics of human motion. Human Kinetics
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    Bewegungsanalyse                        fsu      j e na



                        Ziel
•    Einführung in die Nutzung von Messgeräten
•    Datenerfassung, Bearbeitung und Reduktion
•    Inverse Dynamik
•    Vergleich mit einfacher Vorwärtsdynamik
                                                                motion science
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                             Zeitplan
Termin Aufgabe               Aufgabe
 3.4.02 Vorbesprechung       Aufteilung der Gruppen, Inhalt
10.4.02 Versuche             2 Gruppen (Labor)
17.4.02 Versuche             2 Gruppen (Labor)
24.4.02 Kinematik            Berechnung: Schwerpunktshöhe und Kraft
 8.5.02 Kinematik            Berechnung: Schwerpunktshöhe und Kraft
15.5.02 Kinematik            .Digitalisierung
22.5.02 Kinematik            Bahn: Ballen, Ferse, Knöchel, Kniegelenk,
                             Hüftgelenk
29.5.02 Kinematik            Winkel: Fußgelenk, Kniegelenk, Hüfte
 5.6.02 Dynamik              Inverse Dynamik (statisch, Fußgelenk)
12.6.02 Dynamik              Inverse Dynamik (statisch, Kniegelenk)
19.6.02 Dynamik              Inverse Dynamik
26.6.02 Vorstellung          Vorstellung
 3.7.02 Schlussbesprechung   Schlussbesprechung
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                   Ablauf
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                    Setup
• Labor Biomechanik
• 2 Kameras (links, rechts, Camsys, evtl.
  Qualisys)
• Kraftplattform (klein)
• (evtl. EMG)
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                           Gruppen
1.    Hohes Hüpfen am Ort mit Störung im Boden, bei
      niederer und höherer Frequenz
     1.   Reaktionskräfte
     2.   Bewegung Daten a
     3.   Bewegung Daten b
2.    Steifigkeitsbestimmung
     1.   Aus Kraftdaten
     2.   Modell
3.    Inverse Dynamik
     1.   Programm
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                    Gruppen 2002
Kraftplattform   Kinematik    Modell/EMG   Inverse Dynamik


Kleinert         Lindner      Albrecht     Fischer
Bachmann
Komischke        Grzybowski   Möller       Sjörgren

Weiß             Campe        Schumann     Schwalbe

                              Friebel
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                    Versuchsablauf
KRAFTMESSUNG
1. Machen Sie sich mit der Kraftplattform vertraut.
2. Legen Sie (warum vorsichtig?!!) ein Gewicht auf die
   Plattform und beobachten Sie das Ergebnis.
3. Wie vergleicht sich die abgelesene Position mit der
   beobachteten?
4. Prüfen Sie die Definition des Koordinatensystems. Wohin
   zeigt x,y,z
5. Stellen Sie zusammen, welche Darstellungsmöglichkeiten
   es gibt.
6. Protokollieren Sie und begründen Sie alle Einstellungen.
7. Schauen Sie sich das Format der ausgegebenen Daten an.
8. Prüfen Sie, wie Sie die Daten speichern und in MATLAB
   einlesen können.
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                Versuchsablauf
SYNCHRONISATION
1.   Wie wird die Synchronisation von Plattform und Kamera
     gewährleistet?
2.   Prüfen Sie die Synchronisation durch ein einfaches
     Experiment.
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                Versuchsablauf
VIDEOAUFNAHMEN
1. Wir führen lediglich eine Ebene Analyse durch.
2. Stellen Sie die Kameras so auf, dass dort wo es notwendig
   ist, die linke und rechte Ansicht gleichzeitig im Blickfeld
   haben.
3. Machen Sie sich der Bedienung der Kameras vertraut.
4. Achten Sie darauf, dass das Objekt gut ausgeleuchtet ist.
5. Bringen Sie an der Person an den interessierenden Punkten
   Marker an.
6. Führen Sie Testaufnahmen durch und betrachten sich die
   abgespeicherten Bilder.
7. Notieren Sie sich alle Einstellungen, auch die der
   Objektive. Schreiben Sie sich die Geräte auf. Fertigen Sie
   eine Skizze mit dem Versuchsaufbau an.
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                  Versuchsablauf
DIGITALE BEARBEITUNG DER AUFNAHME
1.   Winanalyse dient zur Ermittlung der Koordinaten (und Winkel). Nur
     ein Rechner mit „Dongel“ kann die teure Software nutzen.
2.   Machen Sie sich mit WINANALYSE vertraut. Lesen Sie das
     Datenfile in Winanalyse ein. Die kursiv geschriebenen Befehle
     entstammen einer älteren Version von Winanalyse und können sich
     verändert haben. Winanalyse
3.   Informieren Sie sich über die Bedeutung der Symbole im Toolbar.
     File/Load Image Sequenz
4.   Informieren Sie sich über die Kommandos im Image Sequenz
     Fenster
5.   Versuchen Sie die Qualität des Bildes zu verbessern. (Image
     Sequences/Filter, oder Gamma Correction). Beschreiben Sie die
     Änderungen. Welche Filter stehen zur Verfügung und was bewirken
     sie? Wie könnte man solche Filter realisieren?
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KALIBRIERUNG
Kalibrieren Sie die von Ihnen erstellte Aufnahme:
A) Ebene Kalibrierung:
Frame Sequences/Calibration; Festlegung der Punkte (drag
and drop); Sizing: Entfernung in mm; Festlegung des aspect
ratio‘s; Close
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                    Versuchsablauf
PUNKTVERFOLGUNG
(nicht notwendig bei online tracking Qualisys)
 1. Definieren Sie ihre Digitalisierungspunkte und tracken Sie das oder
    die Objekte.
 2. Objects/New Object Sequence; drag and drop Objekt zu einer
    bestimmten Position (Winanalyse nummeriert die Objekte in der
    Reihenfolge der Eingabe durch). Bei 3D-Aufnahmen kann jetzt die
    Information der einen Kamera zur Positionierung in der zweiten
    genutzt werden (smart object position).
 3. Show Dialogs; In der Objects Dialog Box können jetzt Einstellungen
    für das Objekt, den Bereich in welchem WINanalyse im nächsten Bild
    sucht und den Verfolgungs-algorithmus vorgenommen werden.
    Wichtig: im Objects Menu gibt es Befehle zur Löschung und zur
    Korrektur bereits definierter Objects. Entsprechende Dialog Boxes
    gibt es für Templates und Connection Angles. Sie können jetzt
    tracken. Probieren Sie es aus!
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                     Versuchsablauf
EXPORT DER ZEITREIHEN

 • Schauen Sie sich die Zeitreihen x(t), y(t), r(t) und ihre Ableitungen an.
   Exportieren Sie die Rohdaten in ein Textfile. Lesen Sie dieses wieder
   aus. Versuchen Sie dieses File Matlab kompatibel zu gestalten.
 • Relevante Kommandos (WINanalyse Manual 1.4 S59 bis S67):
 • Analyse/New/Sequences
 • Anlayse/New/Connections
 • (Analyse/New/Connections/Stick Figure) brauchen wir später
 • Export Analysis Data......
 • Analyse/Display
 • Enable Reticules or Disable Reticules
 • Enable or Disable Frame Numbers
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                  Versuchsablauf
MESSUNG DER BEINSTEIFIGKEIT
 1. Messe das Gewicht der Versuchsperson durch ruhiges
     Stehen auf der Plattform.
 2. Berechne die Verschiebung des Schwerpunktes durch
     zweimalige Integration der vertikalen Komponente
     Reaktionskraft.
 3. Stellen Sie Kraft und Verschiebung in Abhängigkeit von
     der Zeit als Graphen dar.
 4. Stellen Sie die Kraft in Abhängigkeit während der
     Verschiebung während des Bodenkontaktes dar.
 5. Bestimmen Sie die Steifigkeit des Beines.
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                    Ablauf
MODELLIERUNG
1. Vergleiche die Steifigkeit in unterschiedlichen
   Situationen.
2. Welche Abhängigkeiten würden Sie auf der
   Grundlage des Masse-Feder-Modells erwarten?
3. Integrieren Sie hierzu die entsprechenden
   Differentialgleichungen und ändern Sie die
   Anfangsbedingung und die Systemeigenschaften.
4. Wie müssten die Lösungen aussehen?
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                        Ablauf
INVERSE DYNAMIK
 1. Überlegen Sie, welche Daten Sie für eine inverse Dynamik
    benötigen. Stellen Sie die notwendigen
    anthropometrischen Daten für eben diese Versuchsperson
    zusammen.
 2. Notieren Sie sich die Gleichungen noch einmal. Versuchen
    Sie eine Matrixformulierung. Lösen Sie die Gelichung
    nach den unbekannten Gelenkkräften auf. Schreiben Sie
    einen Algorithmus in MATLAB, zur Berechnung der
    Kräfte und Momente während der Kontaktphase.
 3. Zeichnen Sie Moment(Zeit) und Moment(Winkel)-
    Diagramme für die Kontaktphase.
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Inhalt
   A. Dynamometrie
        A.1   Eigenschaften von Kraftplattformen
        A.2   Signalverarbeitung
   B. Kinemetrie
        B.1   Von der Aufnahme zum Bild
        B.2   Vom Bild zu den Koordinaten
        B.3   Analyse
   C. Einfache Vorwärtsmodelle
        C.1   Hüpfen am Ort und Laufen - Masse-Feder-System
   D. Mehrkörpersystem
        D.1   Starrkörperdiagramm - Inverse Dynamik
        D.2   Starrkörperdiagramm - Drehungen und Trägheitsmomente
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   A. Dynamometrie

Sie haben alle bereits erste Erfahrungen mit der Dynamometrie
gesammelt (Praktikum: Forschungsmethoden), so daß ich mich
an dieser Stelle kurz fassen kann. Aufgrund der Tatsache, daß
die Berechnung von Beschleunigungen aus der Kinematik mit
großen Fehlern behaftet ist, bzw. für so komplexe Ketten wie
dem menschlichen Körper auch mit einem erheblichen
Aufwand verbunden ist, sind in der Regel synchrone
Messungen von Reaktionskräften und oder Beschleunigungen
notwendig.
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   A. Dynamometrie
  A.1 Eigenschaften von Kraftplattformen
Es gibt zwei Grundprinzipien, die gegenwärtig in großem
Umfang bei der Konstruktion von Kraftplattformen genutzt
werden: Piezoeffekt und elektrischer Widerstand in Leitern.
Beim Piezoeffekt bewirkt die Belastung eine geringfügige
Verformung und diese eine Verschiebung der Ladung (Q) an
den beiden Kontaktflächen des Piezos. Die Ladung ist damit
proportional zur Kraft.
Das Problem des Meßverfahrens besteht darin, daß die Ladung aufgrund von
Verlusten (Kabelwiderstände etc.) schnell wieder abfließt. Damit werden
statische Messungen (wiegen etc.) unmöglich (Hochpaß). Auf der anderen
Seite sind die Systeme steif. Die Resonanzfrequenz eines Systems beträgt:
                                    1 k
                            f 
                                   2 m
 Sie ist für eine Piezokraftplattform vergleichsweise hoch.
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   A. Dynamometrie
  A.1 Eigenschaften von Kraftplattformen
Beim zweiten Prinzip wird die Änderung des Widerstandes bei gedehnten
dünnen (auf Folien aufgedampften) Drähten gemessen
(Dehnungsmessstreifen). Diese Folien werden auf Metallfedern aufgeklebt.
Die Kraft auf die Plattform bewirkt eine Biegung der Federn und diese eine
Änderung des Widerstandes. Letztere wird mit Verstärkern gemessen. Mit
diesem Meßprinzip sind statische Messungen möglich. Schwierig wird
allerdings das Erreichen hoher Frequenzen. Steife, also hochfrequente
Plattformen liefern nur geringe Signale. Hier können neue Halbleiter
weiterhelfen, die aber extrem temperaturempfindlich sind.
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   A. Dynamometrie
  A.1 Eigenschaften von Kraftplattformen
Gute Kraftplattformen sind in der Regel in der Lage, drei
Kraftkomponenten (Fx,Fy,Fz), die Lage des Kraftschwerpunktes
(x0,z0) sowie das vertikale Drehmoment als Signal zu liefern.
Wichtig ist in der Beschreibung dieser Instrumente nicht nur
Empfindlichkeit, Linearität, Auflösungsvermögen und
Grenzfrequenz, sondern auch das Übersprechen oder die
Trennschärfe der unterschiedlichen Signale. Beachten Sie,
häufig sind Koordinatensysteme unterschiedlich orientiert. Für
eine dynamische Analyse müssen aber Koordinaten
gleichsinnig gewählt werden (s.u.).
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   A. Dynamometrie
  A.1 Eigenschaften von Kraftplattformen
Plattformen müssen soweit sie fest eingebaut sind nicht immer
wieder neu geeicht werden. Dennoch ist eine Überprüfung z.B.
durch auflegen eines Gewichtes sinnvoll. Umständlicher ist die
Eichung der unterschiedlichen Komponenten, zumal statische
Eichungen bei Piezosystemen unmöglich sind und für
Messungen höchstens Sekunden zur Verfügung stehen. Noch
schwieriger ist eine dynamische Eichung. Eine Möglichkeit
besteht zum Beispiel darin, ein ausreichend schnelles
resonantes System mit definierter Amplitude auf der Plattform
schwingen zu lassen.
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   A. Dynamometrie
  A.2 Signalverarbeitung

Die Plattformen müssen mit Spannungen versorgt und die
Ausgangssignale müssen verstärkt werden.Wie hoch die
Verstärkung eingestellt werden muß hängt von der Signalgröße
und dem Meßbereich der erfassenden Geräte, in der Regel eine
AD-Wandlerkarte ab. Ist das Signal zu hoch, so wird es
abgeschnitten, ist es zu klein, so wird es nicht ausreichend fein
beim digitalisieren in Stufen zerlegt. Gängige Wandlerkarten
besitzen ein Auflösungsvermögen von 12bit oder 4096 Stufen.
Letztere decken in der Regel +- 10 V ab.
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  A. Dynamometrie
  A.2 Signalverarbeitung
Der Körper erzeugt Kräfte auf den Boden (actio), umgekehrt
beschleunigt die reaktio den Körper, und zwar dessen
Schwerpunkt. Aus dem Zeitintegral über die Kraft kann die
Änderung des Impulses bzw. bei bekannter Masse die
Änderung der Geschwindigkeit bestimmt werden. Das zweite
Integral erlaubt die Berechnung der Verschiebung des
Schwerpunktes. Wichtig: Aus den Anfangsbedingungen müssen
jeweils die Integrationskonstanten bestimmt werden. Die
Anfangsbedingungen sind wiederum aus anderen Signalquellen
(Photozellen, Kinemetrie) zu ermitteln:
           Fi
       ai  ; vi  vi 0   ai dt; xi  xi 0   vi dt;
           m
                                                     motion science
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  A. Dynamometrie
  A.2 Signalverarbeitung
Kennt man die Lage des Schwerpunktes und Richtung und
Angriffspunkt des Kraftvektors, so kann auch die Änderung des
Drehimulses (H) aus dem wirkenden Drehmoment (D)
berechnet werden:

                 H  H o   Ddt
Hieraus den Vektor der Drehgeschwindigkeit zu errechnen setzt die
Kenntnis des Trägheitsmomentes voraus. Da sich dies von
Augenblick zu Augenblick ändert, wird die Rechnung natürlich
etwas aufwendiger. Wir kommen auf dieses Thema später zurück.
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   A. Dynamometrie
  A.2 Signalverarbeitung
Der Vollständigkeit halber, auch das dürften Sie inzwischen
wissen, soll erwähnt werden, daß sich hieraus leicht unter
Vernachlässigung der rotatorischen Energieanteile
Fluktuationen der kinetischen und potentiellen Energie des
Schwerpunktes errechnen lassen.
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   A. Dynamometrie
  A.2 Signalverarbeitung
Als letztes soll noch einmal kurz auf das Problem der
Synchronisation eingegangen werden. Hier bieten sich zwei
Grundsätzliche Möglichkeiten an: Entweder erfolgt durch das
Master-Slave Prinzip direkt eine elektronische Synchronisation
der Meßsysteme oder die Synchronisation muß durch
Synchronisationssignale gesichert werden.
Das Master-Slave Prinzip setzt voraus, daß beispielsweise der Takt der
Signalwandlung des Plattformsignals durch ein von der Kamera
ausgehenden Trigger gesteuert werden kann, oder umgekehrt. Dies ist bei
den Hochgeschwindigkeitssystemen eingeschränkt möglich. Dort werden
auch die Kameras untereinander pixelgenau synchronisiert. Werden
kommerzielle Kamerasysteme verwendet, so ist dies nicht möglich.
Industriekameras besitzen mit dem „Genlok“ wenigstens die Möglichkeit die
Kameras untereinander zu synchronisieren. Ansonsten müssen Signale
herhalten.
Prof. Dr. R. Blickhan    Kinematik und Dynamik           motion science
          Bewegungsanalyse                               fsu        j e na

        A. Dynamometrie
       A.2 Signalverarbeitung
   Hierbei treten zwei Probleme auf: erstens muß mindest zu
   einem Zeitpunkt sowohl auf der Kameraseite als auch bei der
   Registrierung der Kraftdaten ein exakt gleicher Zeitpunkt
   gefunden werden, zweitens muß der Takt der Signale (Bildrate,
   Samplingrate bekannt oder rekonstruierbar sein. Eine einfache
   Lösung besteht darin, daß beispielsweise über Photozellen ein
   Stufensignal ab und angeschaltet wird, welches sowohl auf der
   Tonspur des Videos als auch in den Kraftdaten gespeichert
   wird. Steuert man mit diesem Signal einen LED der
   beispielsweise vorsichtig vor das Objektiv der Kamera montiert
   wird, so kann man Beginn und Ende der relevanten Bildfolge
   direkt sehen. Hat man keine Photozellen, so tut es auch ein
   Schalter. Die Zuordnung der Kamerabilder und Samples muß
   durch Zählen und Interpolation erfolgen.
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B. Kinemetrie

 Für die Erfassung von Bewegungsdaten gibt es vielfältige
 Systeme. Einige von ihnen liefern direkt Koordinaten des
 bewegten Körpers. Aber da auch diese Systeme optische
 Abbildungen zugrunde legen, ist es hilfreich, diese
 durchzudenken und ihre Vor- und Nachteile zu informieren.
 Auch spielt die quantitative Verarbeitung von Bilddaten
 immer noch eine dominante Rolle.
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 B. Kinemetrie
B.1 Von der Aufnahme zum Bild
Bei allen Kameras wird mit Linsen ein Bild des zu
beobachtenden Gegenstandes auf einer Bildebene projiziert.
In dieser Ebene befindet sich der Film oder bei einer
Videokamera der CCD-Chip. Bei dünnen Linsen werden
parallele Strahlen so gebrochen, daß sie durch den
Brennpunkt im Abstand f hinter Linse gehen. Das Bild im
Abstand a vor der Linse wird im Abstand b abgebildet. B/a
ist die Vergrößerung:

                      1 1 1
                        
                      f a b
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B. Kinemetrie
B.1 Von der Aufnahme zum Bild



                         f
          a                  b

Weitwinkel     f = 10 bis 25 mm
Normal         f = 25 bis 60 mm
Tele           f = 60 bis 200

Für Objekte in großer Entfernung ist f = b
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 B. Kinemetrie
 B.1 Von der Aufnahme zum Bild

Der Durchmesser der Linse bzw.die im Objektiv enthaltene
Blende bestimmt die Menge des einfallenden Lichtes.
Für die auf der Linse angegebene Apertur gilt:
                                    f
                fstop 
                          Durchmesse r der Blende

Die Lichtmenge ändert sich mit der Fläche der Blende und
damit mit dem Quadrat der Apertur.

Die Tiefenschärfe hängt vom Winkel der Strahlen hinter der
Linse ab. Sie ist damit hoch bei kleiner Blende, großer
Brennweite oder bei großer Entfernung des Objektes.
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 B. Kinemetrie
 B.1 Von der Aufnahme zum Bild

Sie kennen alle das Verwackeln beim Photographieren. Dem
entspricht die Bewegungsunschärfe bei Filmaufnahmen.
Standardvideosignale setzen ein ganzes TV-Bild aus zwei
Halbbildern mit einer Frequenz von 50 Hz zusammen.
Durch einen mechanischen oder elektronischen Shutter
(Verschluß) mit kürzeren Verschlußzeiten kann diese
Bewegungsunschärfe klein gehalten werden. Damit sinkt
natürlich wieder proportional die Lichtmenge, die für die
Abbildung zur Verfügung steht.
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 B. Kinemetrie
 B.1 Von der Aufnahme zum Bild

Ein weiteres wesentliches Problem ist die Qualität der
Linsen. Vor allem Zoomobjektive und minderwertige Ware
zeigen teils extreme Verzeichnungen. Man kann diese
Verzeichnungen mit Hilfe eines Vektorfeldes kartieren (Nigg
und Herzog S 260). Bei Zoomobjektiven ist dies für
unterschiedliche Einstellungen durchzuführen. Moderne
Software ist in der Lage, in eingeschränktem Umfang zu
korrigieren.
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 B. Kinemetrie
 B.1 Von der Aufnahme zum Bild

Der in den Videokameras enthaltene CCD-Chip ist in Pixels
aufgeteilt. Die Zahl der Pixels bestimmt das räumliche
Auflösungsvermögen. Bei Farbkameras reduziert sich dieser
WERT, da mehrere Pixels notwendig sind, um den Farbwert
zu kodieren. In Digitalsystemen bleibt diese
Flächenzuordnung erhalten. Man muß nur noch den
analogen grau- oder Farbwert in ein digitales Signal
umwandeln. Bei einer 8bit Wandlung sind dies also 28 oder
256 Stufen. In modernen Systemen wird direkt mit diesen
digitalen Signalen verlustfrei weitergearbeitet. Dies
bedeutet, daß bei einer Pixeldichte von 512 von 512
Bildpunkten und einer Bildrate von 25 Bildern/s eine
Übertragungsrate von 70 MHz notwendig ist (Fire wire).
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  B. Kinemetrie
 B.1 Von der Aufnahme zum Bild
Bei einer Hochgeschwindigkeitskamera mit 500 Bildern/s
erhöht sich dies um das 20-fache. Die zweite Schwierigkeit
ist der Speicherplatz. Wenn ich eine Sequenz der
beschriebenen Auflösung von 1 s Länge unkomprimiert
abspeichern möchte benötige ich 6 Mb Speicherplatz. Rate
und Platz sind für Standardbildfrequenzen kein Problem
mehr.
Traditionell ist der Umweg über das Analogsignal notwendig. Die
Spannungswerte der einzelnen Pixels werden Zeile für Zeile ausgelesen und
aneinandergereiht. Um den Bildeindruck zu verbessern, werden die Zeilen
versetzt abgetastet, so daß das ganze Bild sich aus zwei leicht versetzten
Halbbildern zusammensetzt. Dieses wird dann in speziellen Formaten (VHS, S-
VHS, video8, betacam) auf Magnetband gelesen. Bei der Kopie dieses Materials
treten erhebliche Verluste auf. Zur Weiterverarbeitung empfiehlt sich auch hier,
das Signal in ein digitales Format, z.B. AVI, dem Bildformat für Windows zu
wandeln.
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 B. Kinemetrie
 B.2 Vom Bild zu Koordinaten
Wir wollen jetzt in einem ersten Schritt für das beobachtete
Objekt Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung
ausmessen. Hierzu wird die auf Diskette abgespeicherte
Bildsequenz in ein Analyseprogramm (WINanalyse)
eingelesen.
Bevor eine Analyse erfolgen kann, muß die Aufnahme
calibriert werden, d.h. es muß ein Zusammenhang zwischen
dem Videobild und der wirklichen Anordnung und
Ausdehnung der beobachteten Objekte geschaffen werden.
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 B. Kinemetrie
 B.2 Vom Bild zu den Koordinaten
Der populärste und einfachste Algorithmus ist die direkte
lineare Transformation (DLT). (Das Programm WINanalyse
benutzt einen anderen Algorithmus.) Im einfachsten
zweidimensionalen Fall befinden sich Gegenstand und Bild
in parallelen Ebenen. Bei gleicher Kameraeinstellung ist
dann die Größe des Bildes proportional zur Größe des
Gegenstandes. Setzt man voraus, daß die Bildproportionen
erhalten bleiben, also nicht etwa bei der Übertragung und
Wandlung das Bild gestaucht oder gestreckt wird, so ist der
Abbbildungsfaktor horizontal und vertikal gleich. Hinzu
kommt in der Regel die Lage des Nullpunktes (also zwei
Koordinaten).
Für den Zusammenhang zwischen Bildkoordinate (U,V) und
Ortskoordinate (x,y) gilt also:
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  B. Kinemetrie
 B.2 Vom Bild zu den Koordinaten

                                      U B      V C
U  Ax  B;V  Ay  C              x      ; y
                                        A         A


Dies sind drei Unbekannte. Wenn man nun zwei
Markierungen oder die Endpunkte einer Strecke im
Gegenstandsraum ausmißt bzw. ihren Ort definiert, kann
man für die zwei Punkte vier Gleichungen (für jede
Komponente eine) aufschreiben. Und kann hieraus die
unbekannten Kamerakonstanten (A,B,C) ermitteln.
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  B. Kinemetrie
 B.2 Vom Bild zu den Koordinaten
Komplizierter wird die Situation bei der 3D-Anordnung.
Man benötigt mindestens zwei Kamerabilder eines Punktes
um denselben sicher rekonstruieren zu können.
Für jede Kamera sind die Objekte nicht mehr koplanar, die optische
Achse der Kameras zeigen nicht in Richtung einer Achse des
Objektraumes. Aber alle Punkte entlang eines bestimmten Strahles
bilden auf den gleichen Punkt ab. Die Richtung dieses Strahles wird
durch ein Verhältnis festgelegt. Die etwas längliche mit Vektoralgebra
angereicherte Rechnung führt wieder auf einen einfachen Satz von
Gleichungen:
         Ax  By  Cz  D      Hx  Jy  Kz  L
      U                  ;V 
         Ex  Fy  Gz  1      Ex  Fy  Gz  1
                                                                     motion science
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 B. Kinemetrie
 B.2 Vom Bild zu den Koordinaten
Stellt man die Gleichungen um, so ist leicht ersichtlich, daß
es sich hier wiederum um ein lineares Gleichungssystem
handelt, mit den 11 Kamerakonstanten als Unbekannten:
        Ax  By  Cz  D  EUx  FUy  GUz  U
        EVx  FVy  GVz  Hx  Jy  Kz  L  V
 Wir benötigen also mindestens 11 Eichgleichungen zur
 Bestimmung dieser unbekannten Größen oder mindestens 6
 Paßpunkte. Mehr sind natürlich besser. Man kann dann durch
 Minimierung der Fehlerquadrate zuverlässigere Eichwerte
 erhalten.
 Wichtig ist natürlich, daß jede Gleichung linear unabhängig ist, d.h. nicht durch
 Multiplikation mit einem Faktor auseinander gewonnen werden kann. Das bedeutet,
 daß auf die Anordnung der Punkte etwas geachtet werden muß.
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  B. Kinemetrie
 B.2 Vom Bild zu den Koordinaten
Wie Sie gesehen haben, läßt sich dieser Algorithmus für eine
beliebige Anzahl von Kameras (>= 2) berechnen. Überlegen
Sie, was ungünstige und günstige Positionen für Kameras
sind?
In jedem Fall verbessert sich natürlich die Ortsbestimmung
mit weiteren Kameras, wobei der Sprung von zwei nach drei
Kameras am größten ist.
Neben dem linearen Abbildungsproblem treten vor allem aufgrund
mangelhafter Linsen nichtlineare Effekte auf. Diese, wir haben dies
geprüft und festgestellt, führen zu unterschiedlichen Fehlern in
Abhängigkeit von der Position des Objektes. Der Algorithmus von
WINANALYSE korrigiert automatisch radiale Bildfehler. Alles was
darüber hinausgeht müßte selbst korrigiert und implementiert werden.
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 B. Kinemetrie
 B.2 Vom Bild zu den Koordinaten
Im nächsten Schritt geht es um die eigentliche
Digitalisierung. In der Regel sind es wenige Punkte eines
Bildes dessen tatsächliche Raumkoordinaten man gerne
wüßte. In zahlreichen Labors wird auch an Algorithmen
gearbeitet, mit welchen Bilder automatisch auf das
notwendigste reduziert werden können. Wie Sie aus dem
Praktikum wissen ist es zur Auffindung spezifischer Punkte
hilfreich, wenn Markierungen, z.B. in Form eines
aufgeklebten Styrophorballs oder als Hautmarkierung
(schwarzes Kreuz auf weißem Tape) vorhanden sind. Man
kann dann die Punkte anfahren und mit der Maus anklicken
(digitalisieren). Dies ist die traditionelle Methode.
Prof. Dr. R. Blickhan    Kinematik und Dynamik                        motion science
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        B. Kinemetrie
       B.2 Vom Bild zu den Koordinaten
     Die Stärke der Software WINanalyse beruht auf seiner
     Fähigkeit, Bildpunkte (Objekte) automatisch verfolgen zu
     können. Hierzu müssen Objekte definiert werden und der
     Rechner muß den gleichen Punkt in jedem Bild wieder
     finden. Hierzu muß der Rechner die im Bild enthaltene
     Information nutzen.
     Es wird um den Punkt eine Fläche festgelegt (area of interest; template)
     innerhalb dessen die Charakteristika des Bildes genauer spezifiziert
     werden. Dies kann Beispielsweise an Hand der Grau- oder Farbwerte
     erfolgen. Ein schwarzer Punkt vor weißem Hintergrund zeigt innerhalb
     des Templates ein Grauwertgebirge. Der Rechner merkt sich die flächige
     Form der Verteilung und sucht nach dem Bildwechsel in der Umgebung
     nach, wo eine ähnliche Verteilung (texture) auftritt. Hat der Rechner
     einen Punkt über einige Bilder verfolgt, so kann er sogar schätzen wo
     sich der Punkt im nächsten Bild wahrscheinlich aufhält.
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        B. Kinemetrie
       B.2 Vom Bild zu den Koordinaten
     Ist die Textur eher unzuverlässig, so ist es besser sich an den
     Häufigkeiten der Grauwerte zu orientieren und diese Verteilungen
     innerhalb des Templates zu vergleichen (SSD-Correlation). Dies
     funktioniert vor allem bei Farben gut. Die Farbwerte sind relativ sicher.
     Aber Bilder mit Farbe enthalten bei gleicher Ortsauflösung dreimal
     soviel Information. Dies bedeutet man benötigt Zeit beim Auswerten und
     Speicherplatz. High-Speed-Videofilme sind bisher in der Regel schwarz
     weiß. Die Gefahr bei Schwarzweißbildern ist, daß die Grauwerte sich bei
     sich ändernder Beleuchtung schlagartig ändern können. Hier ist es besser
     auf Strukturen in der Verteilung zurückzugreifen (Cross-correlation).


                                 (S  S )(S   S  )
                                          ij        0       ij         0

                            
                                ij
                        rxy,
                                  ( S  S )( S  S )
                                     ij
                                               ij       0          ij   0
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        B. Kinemetrie
       B.2 Vom Bild zu den Koordinaten
   Sie sehen, die Zahl der Rechenoperationen hängt natürlich von der Größe
   des Templates ab. Ist das Template zu groß, so ist die Gefahr gegeben, daß
   sich am Rande des Templates rapide Änderungen einstellen, die dann dazu
   führen, daß das Objekt nicht mehr gefunden wird. Sie können also sehen,
   automatisches Tracking ist wunderbar, wenn es zuverlässig ist. Durch
   vorsichtige Gestaltung des Versuches kann man sich viel Arbeit ersparen.
   Infrarotsysteme haben den Vorteil, daß sie von Anfang an über einen
   vergleichsweise hohen Kontrast verfügen. Entsprechend benutzt man solche
   Verfahren zur Online-Digitalisierung bis etwa 200 Bilder/s. Unter
   Feldbedingungen ist ein solches System unbrauchbar.
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        B. Kinemetrie
       B.2 Vom Bild zu den Koordinaten
   Wenn Sie nur einen Ball verfolgen, dann genügt ein Punkt im
   Bild. In der Regel verfolgen Sie aber komplexere Objekte. Sie
   müssen dann mehrere Punkte festlegen. Häufig ist es sinnvoll
   diese Punkte in geeigneter Weise zu verbinden (stickfigures).
   Jetzt wird natürlich die Reihenfolge der Eingabe und die
   Definition der Verbindungen wichtig. Hat man Verbindungen
   und Reihenfolgen von Punkten, so kann man sich natürlich
   auch Winkel ausrechnen lassen. Hierauf kommen wir noch
   einmal zurück. Ich hoffe, daß die Firma hier inzwischen
   brauchbare Algorithmen liefert.
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    Bewegungsanalyse                                   fsu       j e na

   B. Kinemetrie
  B.3 Analyse
Der erste Schritt auch unmittelbar nach einer Digitalisierung
muß darin bestehen, die Digitalisierung zu überprüfen. Gerade
bei solchen automatischen Prozessen stellt sich häufig die
Frage, ob sich im Laufe der Zeit der vom Rechner verfolgte
Punkt gegenüber der Markierung verschoben hat oder gar
aufgrund des Algorithmuses Sprünge auftraten. Hier ist eine
visuelle Kontrolle hilfreich.
 WINanalyse erlaubt die Darstellung der Zeitreihen der
Koordinaten (x, y, z) der verfolgten Punkte sowie ihrer ersten
zweiten und dritten Ableitung nach der Zeit. Zusätzlich können
die entsprechenden Daten des resultierenden Vektors (r)
dargestellt werden. Bei vorhandenen oder neu definierten
Verbindungen kann auch der zeitliche Verlauf von
Abstandsänderungen und Drehwinkeln berechnet werden.
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   B. Kinemetrie
  B.3 Analyse
Wir haben jetzt elegant ein Kapitel unterschlagen, welches in
WINanalyse unter der Überschrift „Adjust sequences“
zusammengefaßt ist. Es enthält Interpolation, Glättung und
Näherung.
Häufig tritt die Situation auf, dass ein zu verfolgender Punkt
beim Tracking verloren bzw. verdeckt oder unsichtbar wird. Der
fehlende Bereich muß dann aus den vorhandenen Daten
geschätzt oder interpoliert werden. Dies geschieht häufig indem ein
Polynom ausreichend hoher Ordnung (n) an die zwei Enden der bekannten
Daten angepaßt wird. Winanalyse benutzt allerdings ein neuronales Netz.
Die Polynom-Approximation steht als besondere Option mit einstellbarer
Ordnung zur Verfügung.

             y  a  a t  a t  ...  a t
                     1      2        3
                                         2
                                                         n
                                                            n
                                                        motion science
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   B. Kinemetrie
  B.3 Analyse
Zur Glättung wird ein Tiefpassfilter eingesetzt. Ein Tiefpass
lässt nur niedere Frequenzen eines Signals passieren, ein
Hochpass nur die höheren. Hierbei muss in der Regel die
Frequenz eingestellt werden, mit der gefiltert wird. WINanalyse
zeigt sich hier etwas kryptisch. Gerade bei der Bildung von
Ableitungen werden durch die Differenzenbildung statistische
Fehler verstärkt und führen dann in der zweiten Ableitung zu
riesigen, verrauschten Daten. Ein Tiefpass ist eine Art
begrenzter Integrator. Es mittelt in einem gewissen Umfeld die
Signale. Da die Signale hierbei dauerhaft verfälscht werden, ist
es wichtig, die Signale vor der Bearbeitung immer
abzuspeichern.
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   1. Kinemetrie
  1.3 Analyse
Winter (1979) gibt einen Algorithmus für einen Butterworth-
Filter zweiter Ordnung an (je höher die Ordnung desto steiler
das Filter):

  y f n  a0 yn  a1 yn 1  a2 yn  2  b1 y f n 1  b2 y f n  2
yf: gefilderte Daten; y: ungefilterte Daten; n: Sampleindex
Die Koeffizienten sind für unterschiedliche Verhältnisse der Samplefrequenz
(fs) zur Cut-off-Frequenz (fc) in einer Tabelle aufgelistet. Hier drei Sätze:

   fs/fc         a0            a1           b1            b2
   5             0,2006        0,4132       0,3695        -0,1959
   10            0,06745       0,1349       1,1430        -0,4128
   20            0,0201        0,0402       1,5610        -0,6414
                                                       motion science
    Bewegungsanalyse                                   fsu      j e na

   1. Kinemetrie
  1.3 Analyse
Zu beachten ist, daß die angegebene Frequenz der Wert ist, an
dem die Amplitude auf die Hälfte abgesunken ist. Man sollte
mit seiner Eckfrequenz schon doppelt so hoch wie die höchste
interessierende Frequenz liegen. Des weiteren verursacht jede
Filterung eine Phasenverschiebung. Daher wendet man das
Filter in der Regel zweimal also einmal von links und noch
einmal von rechts an, um diesen Effekt weitgehend zu
kompensieren.
                                                                 motion science
     Bewegungsanalyse                                            fsu         j e na

   B. Kinemetrie
  B.3 Analyse
An dieser Stelle sind einige Bemerkungen zur Winkelberechnung
angebracht. Betrachtet man den Menschen als Kette aus Festkörpern, so
können die unterschiedlichen Positionen des Körpers durch Drehungen in
den Gelenken erzeugt werden. Dies gilt auch für den übersichtlicheren
zweidimensionalen Fall. Es ist jedoch klar, daß die Rekonstruktion der
Körperposition aus bekannten Winkeln zu Problemen führen kann. In der
Kette addieren sich dann nämlich die Fehler von Glied zu Glied auf. Besser
ist also zunächst die Bestimmung der Orientierung der Glieder im Raum und
von dort aus die Bestimmung der Orientierung der Segmente zueinander,
dies gilt natürlich erst recht auch für die Segementgeschwindigkeiten, bei
welchen sich die Winkelgeschwindigkeiten in einer Kette addieren. Gibt
man nun Winkel an, so ist es wiederum wichtig anzugeben, welcher Winkel
überhaupt gemeint ist.
                                                                            motion science
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       B. Kinemetrie
      B.3 Analyse
   Versuchen wir es mit einer Rechenvorschrift: Aus den Koordinaten der
   Gelenke der Kette lassen sich leicht Vektoren von Gelenk zu Gelenk
   errechnen. Sie wissen aus der Anfängervorlesung, dass der Betrag des
   Skalarproduktes zwischen zwei Vektoren a und b gegeben ist durch:
                                
                               a  b  ab cos
    Hierbei spannt sich der Winkel zwischen den beiden Vektoren auf
    (Richtungskosinus). Bei Vektoren der Länge 1 in gleicher Richtung ergibt
    das Skalarprodukt direkt den Richtungscosinus. Nun ist der Kosinus nur
    innerhalb eines Intervalls von 180° eineindeutig. Sie bekommen für 90° und
    -90 den gleichen Wert 0. Hier kann es beispielsweise helfen sich
    gleichzeitig das Kreuzprodukt anzuschauen.
                                          I   II   III   IV
                                    sin   +   +    -     -
                                    cos   +   -    -     +
Wir werden später sehen, daß die eindeutige Festlegung räumlicher Drehungen trickreich ist.
                                                                 motion science
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   B. Kinemetrie
  B.3 Analyse
Hierzu gibt es eine weiter Motivation: Sinus und Cosinus ändern sich etwa
linear im Bereich des Nulldurchganges. Im Bereich des Maximums also für
den Cosinus um 0° und für den Sinus um 90° ändern sich diese Größen nur
gering. Aufgrund des immer vorhandenen Meßfehlers bedeutet dies, daß in
diesem Bereich die vorhergesagten Winkel mit einem sehr großen Fehler
behaftet sind. Man tut also gut daran, den Winkel alternierend aus den
unterschiedlichen Funktionen zu bestimmen.
                                                      motion science
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   C. Einfache Modelle

In den bisherigen Kapiteln haben wir uns mit einigem Mut zur
Lücke mit der Erfassung der Bewegung und der Kräfte
beschäftigt. Mit statistischen Methoden kann man auch
versuchen, hier Regeln zu ermitteln bzw. Vorhersagen für
zukünftiges Verhalten zu treffen. Präzisere Aussagen und ein
über kategorisierendes Einordnen hinausgehendes Verständnis
lässt sich jedoch nur durch Aufbau in sich stringenter
Modellvorstellungen entwickeln. Die mathematische
Beschreibung ist Voraussetzung für eine hinreichende
Quantifizierung und auch logische Formulierung. Wir wollen
uns vorsichtig an diese Art der Vorgehensweise herantasten.
                                                     motion science
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  C. Einfache Modelle
  C.1 Hüpfen am Ort - Masse Feder System
Häufig ist es für das Verständnis von Zusammenhängen
nützlich, möglichst einfache Modelle zu entwerfen. Das Masse-
Feder-System ist ein solches einfaches Modell für Laufen,
Hüpfen und Springen. Beschränken wir uns auf das Hüpfen auf
der Stelle.




           y                    y0
                                                          motion science
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    C. Einfache Modelle
   C.1 Hüpfen am Ort und Laufen - Masse Feder System
 Eine solche Bewegung lässt sich in zwei Phasen unterteilen: 1.
 Kontaktphase, 2. Flugphase. In der Flugphase beschreibt der
 Schwerpunkt eine Flugparabel, in der Kontaktphase verhält sich
 der Hüpfer etwa wie das Masse-Feder-System. Wir setzten
 dementsprechend für die beiden Phasen unterschiedliche
 Differentialgleichungen an:


Kontakt :                            Flug :
dv y k                               dv y   g dy
      y0  y   g ;
                       dy
                           vy             ;    vy ;
 dt  m                 dt             dt    m dt
  von t = 0 bis tc                    von t = tc bis tc + ta
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   D. Mehrkörpersysteme
  D.1 Starrkörperdiagramm-Inverse Dynamik
Naturnahe Modelle des Menschen müssen sich mit seiner
segmentierten Struktur auseinander setzen. Näherungsweise
betrachtet man also den Menschen als eine Kette von starren
Körpern. (Inzwischen weiß man, dass es vor allem bei Stößen
wichtig ist, die Eigenschaften der weichen Massen mit zu
berücksichtigen.) Wie kann man nun für eine solche Kette die
Bewegungsgleichungen formulieren?
Zunächst einmal ist es wichtig sich über die Eigenschaften
eines starren Körpers im klaren zu werden.
                                                                  motion science
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   C. Mehrkörpersysteme
  C.1 Starrkörperdiagramm-Inverse Dynamik
Betrachten wir einen starren Körper. Für diesen gilt, daß sich jede Bewegung
aus Translation und Rotation zusammensetzen lässt. Wirkt eine äußere Kraft
so wird der Körper beschleunigt. Geht die Wirkungslinie der Kraft durch den
Schwerpunkt, so erfolgt eine Beschleunigung desselben proportional der
angreifenden Kraft F. Proportionalitätskonstante ist die Masse m des
Körpers. Wirkt die Kraft exzentrisch, so erzeugt sie zusätzlich eine Drehung
des Körpers um den Schwerpunkt. Die Winkelbeschleunigung ist
proportional zum wirkenden Drehmoment M, die Proportionalitätskonstante
ist das Trägheitsmoment I. Der Winkel j kann zwischen dem körperfesten
und dem raumfesten Koordinatensystem festgelegt werden. Es gilt, dass zu
jedem Zeitpunkt die Summe der Kräfte sowie die Summe der Drehmomente
gleich Null sein muss. Auf die komplexe Größe Trägheitsmoment kommen
wir später noch einmal zurück.
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     D. Mehrkörpersysteme
 D.1 Starrkörperdiagramm-Inverse Dynamik

       
M j  rj  F j
                                     r1
                                          C
Statik :
                        F1
 Fj  0;  M j  0;
 j           j
                                rC
Dynamik :
            
       d 2 rC             d 2j
 Fj  m dt 2  0;  M j  I dt 2  0;
j                  j

Diese Gleichungen lassen sich leicht in den jeweiligen
Komponenten formulieren.
                                                      motion science
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   D. Mehrkörpersysteme
  D.1 Starrkörperdiagramm-Inverse Dynamik
Die einzelnen Segmente der den Menschen beschreibenden
Kette sind mit einem oder zwei Gelenken miteinander
verbunden. Über sie werden Kräfte auf das jeweilige Segment
übertragen. Dies bedeutet, an dieser Schnittstelle sind sowohl
Kräfte als auch Momente entgegengesetzt gleich. Dies gilt auch
für die von den Muskeln übertragenen Kräfte und Momente. Sie
werden in den einfachsten Ansätzen unter den Gelenkkräften
und Momenten subsummiert. Wir werden später sehen warum.
                                                    motion science
Bewegungsanalyse                                    fsu      j e na



                                                          ri+1


                             Fi,i+1        Mi,i+1


                                      ri,i+1
                   Fi,i-1
                                ri


                       Mi,i-1
                    ri,i-1
      ri-1
                                                                                                             motion science
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   D. Mehrkörpersysteme
  D.1 Starrkörperdiagramm-Inverse Dynamik
Jetzt können wir die Bewegungsgleichung für das i-te Segment aufschreiben
(Vorsicht, wirken an einem Segment äußere Kräfte so müssen die
Gleichungen um die entsprechenden Kräfte und Momente erweitert
werden.). Die ebene Formulierung lautet wie folgt:

   Translation :
   mi , x  Fi ,i 1, x  Fi ,i 1, x ( Fi , ext, x )
      ri
   mi , y  Fi ,i 1, y  Fi ,i 1, y ( Fi , ext, y )
      ri
   Rotation :
   I izj i , z  M i ,i 1, z  M i ,i 1, z ( M i , ext, z )
       
    (ri ,i 1, y  ri , y ) Fi ,i 1, x  (ri ,i 1, y  ri , y ) Fi ,i 1, x ((ri , ext, y  ri , y ) Fi , ext, x )
    (ri ,i 1, x  ri , x ) Fi ,i 1, y  (ri ,i 1, x  ri , x ) Fi ,i 1, y ((ri , ext, x  ri , x ) Fi , ext, y )
                                                          motion science
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   D. Mehrkörpersysteme
  D.1 Starrkörperdiagramm-Inverse Dynamik
Bleiben wir bei der transparenteren ebenen Formulierung und
versuchen wir es mit einem Zweisegmentsystem bestehend aus
Fuß, Unterschenkel. Zunächst der Fuß (Glied Nr. 1):
Aus den Menschmodellen (vgl. WINanalyse)
ist die Lage des Schwerpunktes bekannt. Man
muß nachschauen, möglicherweise ist es der
Vektor relativ zum Sprunggelenk (r12-r1) der                    F1ext
                                               r12
angegeben wird. Für die Winkelstellung des           r1
Fußes kann uns der Vektor zwischen Ferse rF
und Ballen r1ext helfen. Ansonsten muß die
Orientierung des segmentfesten                              r1ext
Koordinatensystems bekannt sein bzw.
rückgerechnet werden. Es wird angenommen,
die Kraft wirke im Ballen. Auch die Massen
und Trägheitsmomente sind aus Tabellen
bekannt.
                                                                 motion science
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   4. Mehrkörpersysteme
  4.1 Starrkörperdiagramm-Inverse Dynamik
Schreiben wir uns die DGLn für den Fuß auf:

 Translation :                                                         F1ext
                                                r12
 m   F  F
   r
   11    12    1 ext
                                                          r1
 Rotation :
                                                           r1ext
      M  (r  r ) F  (r  r ) F
 I 11    12  12  1   12   1 ext 1  1 ext

Hierbei habe ich absichtlich die kompaktere Vektorschreibweise genutzt. Sie
sehen, aus dem ersten Gleichungspaar lässt bei bekannten Koordinaten und
Reaktionskraft die Gelenkkraft F12 berechnen. Hieraus wiederum kann aus dem
zweiten Gleichungspaar das Gelenkmoment errechnet werden. Das letztendlich
die Wirkung der Muskulatur repräsentiert. Sie sehen auch, für solche Rechnungen
benötigt man die empfindliche zweite Ableitung. Für das ebene Problem dürfte das
Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit keine Probleme bereiten.
                                                            motion science
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   D. Mehrkörpersysteme
   D.1 Starrkörperdiagramm-Inverse Dynamik
Wenn wir jetzt ehrgeizig sind, können wir uns auch noch das
nächste Segment, den Unterschenkel, anschauen:
Translation :
            
     F  F   F  F
                              
m2 r2    21     23       12     23
                                                           r23
Rotation :
                                        
     M  M  (r  r ) F  (r  r ) F
I 2 2     21      23      21    2   21      23    2    23
                                                       r2
  M 12  M 2 3  (r12  r2 )( F12 )  (r23  r2 ) F23

Auch diese Gleichungen können leicht                     r21
nach den unbekannten Kräften (F23)
und Momenten (M23) aufgelöst
werden.
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 Bewegungsanalyse                     fsu      j e na



         D. Mehrkörpersysteme
Der folgende Abschnitt zur Information.
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   D. Mehrkörpersysteme
 D.2 Starrkörperdiagramm-Drehungen und Trägheitsmoment
Dieses Kapitel möchte ich nur anreißen. Es kann von Anfängern
übersprungen werden. Der Formalismus hierzu ist doch recht anspruchsvoll.
Ist ein körperfestes 3D-Koordinatensystem gegenüber dem laborfesten
Koordinatensystem verdreht, so lässt sich bei bekannter Ausrichtung der
zugehörigen Einheitsvektoren die Verdrehung über die bereits bekannten
Richtungscosinus aus dem Skalarprodukt ausdrücken. Insgesamt gibt es
dann 3*3 =9 Stück die in einer entsprechenden Matrix angeordnet werden
können. Nun weiß man seit Euler, dass 3 Größen der Rotation und drei der
Translation ausreichen um die Lage eines Körpers eindeutig zu beschreiben.
Es gibt nun eine Reihe unterschiedlicher Verfahren dies zu tun. Aus der
Technik ist das bekannteste die Nutzung von Eulerwinkeln. Kardanwinkel
sind in der Biomechanik die gebräuchlichsten.
                                          motion science
    Bewegungsanalyse                      fsu      j e na

  D. Mehrkörpersysteme
 D.2 Starrkörperdiagramm-Drehungen und Trägheitsmoment
Kardanwinkel sind anschaulicher.
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  D. Mehrkörpersysteme
 D.2 Starrkörperdiagramm-Drehungen und Trägheitsmoment
Kardanwinkel sind anschaulicher.
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  D. Mehrkörpersysteme
 D.2 Starrkörperdiagramm-Drehungen und Trägheitsmoment
Kardanwinkel sind anschaulicher.
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  D. Mehrkörpersysteme
 D.2 Starrkörperdiagramm-Drehungen und Trägheitsmoment
Betrachten wir zunächst die Drehung eines 2D-
Koordinatensystems:



            Y                            x'  X cosj  Y sin j
                           j             y '   X sin j  Y cosj
    y‘
                                          x'   cosj        sin j  X 
                               x‘         
                                          y '    sin j           
                                                           cosj  Y 
                                                                     
                       j
                                X
                                                                     motion science
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  D. Mehrkörpersysteme
 D.2 Starrkörperdiagramm-Drehungen und Trägheitsmoment
Entsprechend können im 3D-Fall Drehungen um
Koordinatenachsen erzeugt werden:
    Um die x - Achse :
     x'   1      0                 0  X 
                                                      
     y '    0 cosj x        sin j x  Y   R x (j x ) X T
     z '   0  sin j         cosj x  Z 
                      x               
    Um die y - Achse :
     x'   cosj y         0 sin j y  X 
                                                 T
     y'    0            1    0  Y   R y (j y ) X
     z '    sin j       0 cosj y  Z 
                   y                
    Um die z - Achse :
     x'   cosj z         sin j z       0  X 
                                                          T
     y '     sin j z   cosj z        0  Y   R z (j z ) X
     z'   0                            1  Z 
                 z         0              
                                                                                                    motion science
           Bewegungsanalyse                                                                         fsu           j e na

       D. Mehrkörpersysteme
 D.2 Starrkörperdiagramm-Drehungen und Trägheitsmoment
Führt man nun Drehungen nacheinander aus, so müssen lediglich die
Matrizen miteinander multipliziert werden. Es ist nun so, daß die
Reihenfolge wichtig ist. (Matrizenmultiplikationen sind nicht kommutativ!)
Man bekommt andere Winkel, wenn man die Reihenfolge ändert. Auch
wichtig: es wird jetzt um die jeweils neuen Achsen gedreht.
  x
   T                                                 T               T
  y   x  R z '' (j z '' ) R y ' (j y ' ) R x (j x ) X  R z '' y ' x X
 z
  
                              Cj z '' Sj y '                         Sj z '' Sj y '                Sj y ' 
                                                                                                             
 R z '' y ' x      Sj z '' Cj x  Cj z '' Sj y ' Sj x    Cj z '' Cj x  Sj z '' Sj y ' Sj x    Cj y ' Sj x 
                   Sj Sj  Cj Sj Cj                        Cj z '' Sj x  Sj z '' Sj y ' Cj x   Cj y ' Cj x 
                       z ''   x        z ''  y'      x                                                       
C: cos; S: sin
Im inversen Fall kann man durch Koeffizientenvergleich mit den
Richtungscosini die gewünschten Winkel errechnen (Nigg, Herzog S270)
                                                                        motion science
     Bewegungsanalyse                                                   fsu       j e na

    D. Mehrkörpersysteme
 D.2 Starrkörperdiagramm-Drehungen und Trägheitsmoment
Nachdem das jetzt mit den Drehungen schon so kompliziert war, satteln wir
jetzt mit den Trägheitsmomenten noch eins drauf. Wir wissen aus der
Einführungsveranstaltung, daß bezogen auf irgendeine Drehachse das
Trägheitsmoment gleich der (infinitesimalen) Summe über alle
Masseteilchen multipliziert mit dem jeweiligen Abstand zum Quadrat ist:

                      I   lim
                               x 0
                                        r V    r dV
                                       i
                                            2                    2

                                                           V

Es ist anschaulich klar, daß für das Segment eines menschlichen Körpers dieses Integral für
jede Achse unterschiedlich ist. Man benötigt also eine möglichst kompakte Schreibweise um
die vielen möglichen Fälle auch beschreiben zu können. Hierzu dient der sogenannte
Trägheitstensor, eine 3x3 Matrix. Durch eine Koordinatendrehung kann das durch den
Schwerpunkt gelegte Koordinatensystem so gedreht werden, dass der Trägheitstensor nur
noch Elemente in der Hauptdiagonalen besitzt. Man nennt die entsprechenden
Trägheitsmomente: Hauptträgheitsmomente. Vollständig sind Literaturangaben also erst dann,
wenn diese Hauptträgheitsmomente und die Orientierung des dazugehörigen
Koordinatensystems angegeben sind.
                                                               motion science
        Bewegungsanalyse                                       fsu        j e na

    D. Mehrkörpersysteme
 D.2 Starrkörperdiagramm-Drehungen und Trägheitsmoment
Schreiben wir uns dies wenigstens kurz auf:

           I xx
              CM
                      I xy
                         CM
                               I xz 
                                   CM
           CM                        
 I CM      I yx      CM
                      I yy     I yz 
                                   CM

            I CM    I zy
                         CM
                               I zz 
                                 CM
           zx                        
mit
 I xx   ( y 2  z 2 )dm etc.
   CM


Die Trägheitsprodukte
 I xy   xydm etc.
   CM


          en                   tion
verschwind bei der Transforma auf Hauptachsen
Bei symmetrischen Körpern sind die Hauptachsen leicht zu definieren. Im
anderen Fall müssen sämtliche Integrale bestimmt werden und dann durch
Rotation des Koordinatensystems die Hauptachsen errechnet werden
(Eigenwertproblem).

								
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