Siruri de Numere Reale, Progresii

Şiruri de

numere reale



Prof: Tulvan Emilia

Obiectivele urmărite în

lecţie:

• să definească noţiunea de şir de numere

reale

• să facă diferenţa între un şir de numere

reale şi o mulţime de numere reale

• să prezinte modalităţile de definire ale unui

şir de numere reale, cu exemplificări

• să determine termenii unui şir în anumite

condiţii date

Defiţie:

Un şir de numere reale reprezintă o

succesiune de numere reale a1 , a2 , a3 ,... an ,...

realizată după o anumită regulă, fiecare

număr ocupând un loc bine determinat.

Notaţia matematică utilizată este:

an n1

Numerele a1 , a2 , a3 ,... an ,... se numesc

termenii şirului a n n1

Indicele fiecărui termen al şirului arată

locul pe care-l ocupă acesta în

succesiune şi se numeşte rang.

Termenul cu indicele n se numeşte

termen general.

Exemple de şiruri:

( an ) : 1,2,3,4,...,n,...

2 2 2 2

(bn ) : 1 ,2 ,3 ,...,n ,...

1 1 1 1

(cn ) : 1, , , ,...,( 1)  ,...

n



2 3 4 n

( xn ) : 1,1,2,2,3,3,...

( yn ) : 5,5,5,5,...

Un şir de numere reale se numeşte şir

constant dacă toţi termenii săi sunt

egali:

a,a,a,a,...

Un şir de numere reale nu este o

mulţime de numere reale

• Într-un şir elementele se pot repeta, pe

când într-o mulţime elementele sunt

distincte

• Ordinea elementelor unei mulţimi nu este

esenţială, pe când pentru un şir este foarte

importantă

Moduri de definire

a unui şir de

numere reale

1. Şiruri definite descriptiv

(prin descriere)



Exemplu:

( d n ) : 1,11,111,1111 ,...





Acest şir se poate descrie astfel: fiecare

termen al său se scrie cu ajutorul cifrei 1 şi

numărul cifrelor este egal cu rangul

termenului şirului.

2. Şiruri definite cu ajutorul unei

formule

Un şir poate fi definit indicând o formulă

( numită formula termenului general) din

care se obţine orice termen al şirului

particularizând pe n (n=1, n=2, n=3,...)

Exemplu:

Fie şirul an n1 definit prin formula an  5n  2

Termenul a10  5  10  2  50  2  52

3. Şiruri definite printr-o relaţie de

recurenţă



O relaţie de recurenţă este o formulă cu

ajutorul căreia se exprimă orice termen al

şirului, începând de la un anumit rang, în

funcţie de termenii precedenţi (unul sau

mai mulţi)

Exemplu:

Fie şirul an n1 , având primul termen 5 şi

relaţia de recurenţă: a n 1  2a n  3

Termenul a2  2  5  3  10  3  13

Muncă independentă:

1) Să se determine primii trei termeni ai

şirului cu termenul general an  3n  5

2) Să se determine a 4 , dacă a =-1 şi

1



1

an1  an  4

2

3) Să se determine formula termenului

general pentru şirul definit descriptiv astfel:

2 3 4 5 6

, , , , ,...

1 2 3 4 4

Exerciţiu oral:

Să se completeze cu încă 3

termeni fiecare şir:



• 1, 5, 9, 13, 17, ......, ......., .....

• 2, 12, 22, 32, ......, ......., .....

• 7, 9, 11, 13, ......, ......., .....

• 19, 16, 13, 10, ......, ......., .....

• 36, 31, 26, 21, ......, ......., .....

Progresia

aritmetică

Obiectivele urmărite în

lecţie:



• să poată identifica o progresie aritmetică

• să poată determina orice termen al unei

progresii aritmetice, având anumite ipoteze

• să utilizeze legătura cu media aritmetică a

termenilor unei progresii aritmetice

• să calculeze suma primilor n termeni ai

unei progresii aritmetice, în diverse ipoteze

Definiţie:

Un şir de numere reale în care orice termen,

începând cu al doilea, se obţine din

termenul precedent adunat cu acelaşi

număr se numeşte progresie aritmetică.

Aşadar, progresia aritmetică este un şir

an n1 definit prin relaţia de recurenţă

a n 1  a n  r , unde r este un număr real

fixat, numit raţie.

Exemple de progresii aritmetice





• 1,2,3,4,5,... cu raţia r = 1

• -10,-5,0,5,10,15,... cu raţia r = 5

• 99,96,93,90,87,84,81,..., cu raţia r = -3

• 19,17,15,13,11,9,7,5,3,1,..., cu raţia r = -2

Proprietăţile

unei progresii

aritmetice

P1) Un şir an n1 este progresie

aritmetică dacă şi numai dacă

orice termen începând cu al

doilea este medie aritmetică a

termenilor vecini lui, adică

pentru n ≥ 2 avem:

a n 1  a n1

an 

2

Exemplu



Fie a n n1 o progresie aritmetică pentru

care avem a 8 = 17 şi a10 = 25.

Să se afle a 9 şi raţia r.



a8  a10 17  25

Soluţie: Avem: a9 

2



2

 21







Termenii consecutivi cunoscuţi sunt:

17, 21, 25, adică r = 4.

P2) Într-o progresie aritmetică

an n1 , termenul general este

dat de formula:

a n  a1  (n  1)  r

Exemplu

Fie a n n1 o progresie aritmetică

pentru care avem a1 = 24 şi r = -5.

Să se afle a 9



Soluţie:

a9  24  (9  1)  (5)  24  40  16

P3) Suma primilor n termeni ai

progresiei aritmetice an n1

este dată de formula:



a1  an   n

S n  a1  a 2  a3  ...  a n 

2

Exemplu

Să se calculeze suma S = 2+4+6+8+...+24.



Soluţie: Avem o progresie aritmetică cu raţia

r = 2 şi cu numărul de termeni n = 12. Atunci:



S

2  24  12  26  6  156

2

Exerciţii orale



• 1) Care din următoarele şiruri este

progresie aritmetică:

a) 7, 5, 3, 1, -1, -3, ...

b) 2, 3, 5, 6, 8, 9, ...

Exerciţii orale

2) Care este raţia unei progresii

aritmetice cu

a1 =10 şi a 2 = 15

Exerciţii orale



• 3) Să se determine x real pentru care

tripletul 4, x, 12 formează o progresie

aritmetică.

Muncă independentă

1) Să se determine termenii x, y, z, t ai

progresiei aritmetice: x,y,-21,z,-15,t,...

2) Să se determine termenul a10 al unei

progresii aritmetice dacă a3  12 , a 6  30

3) Să se determine suma primilor n termeni

ai unei progresii aritmetice dacă

a3  12 , a5  36 , n  50

Progresia

geometrică

Obiectivele urmărite în

lecţie:

• să poată identifica o progresie geometrică

• să poată determina orice termen al unei

progresii geometrice, având anumite

ipoteze

• să utilizeze legătura cu media geometrică

a termenilor unei progresii geometrice

• să calculeze suma primilor n termeni ai

unei progresii geometrice, în diverse

ipoteze

Definiţie

Un şir de numere reale al cărui prim termen

este nenul, iar fiecare termen începând cu al

doilea se obţine din termenul precedent prin

înmulţirea cu acelaşi număr nenul se numeşte

progresie geometrică.

Aşadar progresia geometrică a n n1este un şir

definit prin relaţia de recurenţă a n 1  a n  q

unde q este un număr real nenul fixat, numit

raţie.

Exemple de progresii geometrice



• 1,3,9,27,81,243,.... cu raţia q = 3

• 16,8,4,2,1,... cu raţia q = 0,5

• 1,5,25,125,625,... cu raţia q = 5

• 1,-1,1,-1,1,-1,... cu raţia q = -1

Proprietăţile

unei progresii

geometrice

P1) Un şir an n1 de termeni pozitivi este

o progresie geometrică dacă şi numai

dacă orice termen începând cu al doilea

este medie geometrică a vecinilor săi,

adică pentru n ≥ 2 avem:



an  an1  an1

Exemplu

Fie a n n1 o progresie geometrică

pentru care avem a 8 = 4 şi a10 = 9.

Să se afle a 9 şi raţia q.



Soluţie: Avem: a9  4  9  6



Termenii consecutivi cunoscuţi sunt: 4,6,9,

adică q = 3

2

P2) Într-o progresie geometrică a n n1

termenul general este dat de formula:



n 1

an  a1  q

Exemplu



Fie a n n1 o progresie geometrică

pentru care avem a1 = 24 şi q = 2.

Să se afle a 4



Soluţie:

4 1

a 4  24  2  24  8  192

P3) Suma primilor n termeni ai

progresiei geometrice an n1

este dată de formula:



S n  a1  a 2  a 3  ...  a n 

 

a1  q n  1

q 1

Exemplu

Să se calculeze suma

S = 1+2+4+8+16+...+256.



Soluţie: Avem o progresie geometrică cu raţia

q = 2 şi cu numărul de termeni n = 9. Atunci:



S



1 29  1 

 2 9  1  512  1  511

2 1

Exerciţii orale



• 1) Care din următoarele şiruri este

progresie geometrică:

a) 1, 4, 16, 64, 256, ...

b) 2, 4, 6, 8, 10, ...

Exerciţii orale



2) Care este raţia unei progresii

geometrice cu

a1 =10 şi a 2 = 30

Exerciţii orale



• 3) Să se determine x real pentru care

tripletul 4, x, 36 formează o progresie

geometrică.

Muncă independentă

1) Să se detemine primii doi termeni ai

progresiei geometrice pentru care

a8  256 , q  4



2) Să se determine suma primilor n termeni

ai unei progresii geometrice dacă:

a1  8, a3  2, n  8



3) Să se verifice dacă numerele 3 , 5 , 7

Pot fi termeni ai unei progresii geometrice?

4) Să se determine x real astfel încât tripletul: x-4,

x+2, 2x+2, să fie în progresie aritmetică

5) Să se rezolve ecuaţia:

1+4+7+...+x = 117

6) Un triunghi dreptunghic au măsurile unghiurilor

în progresie aritmetică. Ce măsuri au acestea?

7) O tribună a unui stadion se compune din 20

rânduri şi fiecare rând următor are cu 16 locuri mai

mult decât rândul precedent. În ultimul rând sunt

404 locuri. Câţi spectatori încap în tribună?

8) Suma a 10 numere în progresie aritmetică este

145. Ştiind că al patrulea, al doilea şi al nouălea

termen sunt în progresie geometrică, să se

determine numerele.

Spor la muncĂ!!!