Persamaan Kuadrat (1) by 9ow6x0T4

VIEWS: 119 PAGES: 17

									Persamaan Kuadrat (1)

      Budiharti, S.Si
Pengertian
 Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat
  tertinggi dari variabelnya adalah 2.
 Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0
  dengan a,b,c ∈ R di mana R adalah himpunan bilangan real
  dan a ≠ 0 .
 Contoh :
  x2 − 4 = 0 ,
  x2 − 9x = 0,
  x2 + 7x = 10 dan lain sebagainya.
Penyelesaian Persamaan Kuadrat
 Nilai pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat
  ax2 + bx + c = 0 disebut penyelesaian persamaan
  kuadrat.
 Beberapa cara untuk menyelesaikan (mencari akar-akar)
  persamaan kuadrat :
   1. Memfaktorkan
   2. Melengkapkan kuadrat sempurna
   3. Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)
Memfaktorkan
 Sebelum akan dibahas mengenai aturan faktor nol.
 Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali sebarang
  bilangan dengan bilangan nol adalah nol.
  Misalkan 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0.
 Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka salah
  satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol.
 Secara simbolik dinyatakan bahwa
  jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 .
 Kata atau pada ” a = 0 atau b = 0 ” berarti bahwa salah satu
  dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duanya sama
  dengan nol.
 Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah
  penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini.
  a. 4x2 − 32x = 0
  b. 7x2 = −84x

  c.

  d. x2 + 5x + 6 = 0
 Persamaan kuadrat 4x2 − 32x = 0
  dapat diubah menjadi 4x(x − 8) = 0
  dengan menggunakan aturan distributif.
 Selanjutnya dengan menggunakan aturan faktor nol akan
  diperoleh
  4x = 0 atau x − 8 = 0
 Sehingga diperoleh x = 0 atau x = 8 .
 Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 4x2 − 32x = 0
  adalah x = 0 atau x = 8
 Dengan cara yang sama dengan a, maka penyelesaian
  persamaan kuadrat 7x2 = −84x sebagai berikut.
 7x2 + 84x = −84x + 84x      Kedua ruas ditambah dengan 84x
   7x(x +12) = 0             Menggunakan sifat distributif
   7x = 0 atau x +12 = 0 Menggunakan aturan faktor nol
 Jadi penyelesaian persamaan 7x2 = −84x
  adalah x = 0 atau x = −12 .
 Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat
  x2 + 5x + 6 = 0 ?
 Untuk memahami penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita
  akan menggunakan alat peraga berikut ini.
 Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti gambar 1
  berikut ini.
         x                1

   x        x2      x             1
                              1
       a)                b)       c)
 Persegi (a) menyatakan banyaknya x2 , persegi panjang (b)
  menyatakan banyaknya x dan persegi (c) menyatakan konstanta.
 Oleh karena itu untuk menyatakan persamaan x2 + 5x + 6 = 0
  dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun (b) dan 6 bangun (c) seperti
  berikut ini.
 Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah
  persegi panjang baru seperti gambar berikut dengan ukuran
  luas yang sama.

                 x +3


      x +2
 Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan
  lebar masing-masing
  (x + 2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x + 2)(x + 3).
 Jadi persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 sama dengan
  persamaan (x + 2)(x + 3) = 0 .
 Dengan demikian untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
  tersebut akan lebih mudah.
 Denganmenggunakan aturan faktor nol diperoleh
  (x + 2) = 0 atau (x + 3) = 0 .
 Jadi penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0
  adalah x = −2 atau x = −3.
 Jadi secara umum, jika x1 dan x2 merupakan penyelesaian suatu
  persamaan kuadrat maka persamaan kuadrat tersebut adalah
  x2 - x ( x1 + x2 )+ x1 . x2 = 0.
 Cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut
  menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menfaktorkan
Melengkapkan Kuadrat Sempurna
 Ubahlah persamaan kuadrat semula dalam bentuk
  (x + p)2 = q, dengan q  0
 Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan
  bentuk persamaan yang terakhir.

 (x + p) =    q , atau x = -p    q
 Tentukan nilai x dari persamaan x2 – 2x – 2 = 0
 Penyelesaian :
 x2 – 2x + 1 + (-1) – 2 = 0
(x – 1)2 – 3           =0
(x – 1)2               =3
(x – 1)2               =      3

x–1=        3 atau x – 1 = -   3

 x1 = 1 +      3 atau x =1 -   3

 jadi HP = {1 –    3 ,1+ 3 }
 Tentukan nilai x dari persamaan x2 – 2x – 2 = 0
 Penyelesaian :
 x2 – 2x = 2                               (a+b)2 = a2 +2ab +b2
x2 – 2x + 1 = 2 + 1
(x – 1)2            =3
(x – 1)2            =          3

x–1=         3 atau x – 1 = -   3

 x1 = 1 +     3 atau x =1 -     3

 jadi HP = {1 –    3 ,1+ 3 }
Rumus abc (Al-khawarizmi)
 Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx +
  c = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering
  disebut rumus abc.
 Rumus persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara
  sebagai berikut : (cobalah melengkapi)
 ax2 + bx + c = 0
 ax2 + bx = - c
         

             b 2  4ac
             2
       b 
   x   
       2a     4a 2
Rumus abc (Al-khawarizmi)
 Jika ax2 + bx + c = 0, dengan a, b,c ∈ R, a 0


 Maka              b  b 2  4ac
          x 12   
                         2a

								
To top