double integral

Document Sample
double integral Powered By Docstoc
					                                                            Matematika Dasar


                                              INTEGRAL RANGKAP DUA

             Misal         diberikan daerah di bidang XOY yang berbentuk persegi panjang,
      {                                             }
D = ( x , y ) a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d dan fungsi dua peubah z = f ( x,y ) > 0 . Maka untuk
menghitung volume benda ruang yang dibatasi di atas oleh kurva z = f ( x,y ) dan di
bawah oleh D dilakukan sebagai berikut.
                                                          Bagi daerah D menjadi sub
    Y                                             persegi panjang yang berukuran ∆xi dan
                                                                           ∆yi. Ambil sebuah titik pada sub persegi
         d                                                                 panjang, misal titik potong diagonal
                                                                           ( xi,yi ), sehingga kita dapatkan bangun
     ∆yi                                                                   ruang yang dibatasi di atas oleh
                                                                           z = f ( x,y ) dan di bawah oleh sub
                                                                           persegi panjang. Bangun ruang ( partisi
         c                                                                 ) tersebut akan mendekati bangun balok
                                                                           dengan tinggi f ( xi,yi ). Maka kita
                                                                           dapatkan volume tiap-tiap partisi adalah
                       a             ∆xi                 b          X
                                                                           hasilkali luas alas ( ∆Ai = ∆xi ∆yi ) dan
                                                                           tinggi          ( f ( xi,yi ) ), yakni
Vi = f ( xi,yi ) ∆Ai . Bila tiap-tiap partisi kita jumlahkan maka dapat dituliskan dalam
                   n           n
bentuk :          ∑ Vi = ∑ f (xi , yi ) ∆Ai .                Jumlah volume partisi tersebut akan merupakan
                  i =1        i =1
volume bangun ruang yang dibatasi di atas oleh z = f ( x,y ) dan di bawah oleh D bila
diambil sebanyak tak hingga partisi atau n → ∞ , yakni :

                              n
             V = lim          ∑      f ( xi , yi ) ∆Ai
                   n→∞ i =1

             Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah D didefinisikan sebagai berikut:

                                                n
             ∫∫ f ( x , y )   dA = lim         ∑        f (xi , yi ) ∆Ai
             D                        n →∞ i =1



             Sifat-sifat dari integral rangkap dua diberikan berikut :
1.   ∫∫ [a f ( x , y) + bg( x, y )] dA = a ∫∫ f ( x, y ) dA + b ∫∫ g( x, y ) dA
     D                                                  D                    D
2. Bila D = B ∪ C dan B ∩ C = ∅ maka                            ∫∫ f ( x , y ) dA = ∫∫ f ( x , y ) dA + ∫∫ f ( x , y ) dA
                                                                D                   B                   C


                                                       Danang Mursita
                                           Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                                Matematika Dasar


Iterasi Integral

        Untuk menghitung integral rangkap dua dari z = f (                     x,y ) atas daerah berbentuk
persegi panjang D kita lakukan sebagai berikut.
                                                       Luas                      penampang benda yang
                                                tegak lurus                    terhadap sumbu Y dengan
             Z
                                                c ≤ y ≤                          d , misal A(yi) adalah
                                                                          b
            z                                                 A( yi ) =   ∫ f ( x , y) dx .
                                                                          a
                                                              Volume          bangun          ruang   merupakan
                                                                                              n
                         c                        d           jumlah volume :             ∑ A(yi ) ∆y     untuk
            a                                             Y                               i =1
                                                              n → ∞.
                                                              Oleh karena itu, integral rangkap dua
 b                                                            dari z = f ( x,y ) atas daerah D dapat
     X                       ∆y                               diselesaikan dengan cara berikut :

                              d                 d b          
                                              ∫ f ( x , y) dy dx .
          ∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ A( y) dy = ∫                 
          D                   c            c a               

        Dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti di atas, integral rangkap dua
dari z = f ( x,y ) atas daerah D dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut :

                              b d                 
                                 ∫ f ( x , y ) dx  dy
          ∫∫ f ( x , y ) dA = ∫                   
          D                   a c                 

Metode penyelesaian integral rangkap dua di atas dinamakan Iterasi Integrasi.


Contoh 1
Hitung integral ∫∫ f ( x , y ) dA bila
                  D

                                   {
a. f ( x , y ) = 2 xy dan D = ( x , y ) 0 < x < 2 ,1 < y < 3      }
b. f ( x , y ) = x 2 dan D daerah tertutup yang dibatasi oleh garis x = -1, x = 1 , y = 0 , y =
     1.

Jawab :
                        23                 3
                                            2         
a. ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ 2 xy dy dx = ∫ x  ∫ 2 y dy  dx = 16
                                                     
   D                  01               0 1           

                                              Danang Mursita
                                  Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                                 Matematika Dasar


                           1 1                  
                                              1 1
                                                       2
b. ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ x dx dy = ∫  ∫ x 2 dx dy =
                                 2
                                               
   D                  0 −1          0  −1            3


Integral Rangkap atas Daerah Sembarang

       Misal R merupakan daerah sembarang . Maka untuk menghitung integral rangkap
dua dari z = f ( x,y ) atas daerah R dilakukan berikut. Dibentuk daerah persegi panjang D
yang melingkupi daerah R dan didefinisikan suatu fungsi baru, g ( x, y ) yaitu:

                        f ( x, y ) ; ( x, y ) ∈R
                       
          g( x , y ) = 
                        0 ; ( x, y ) ∈D − R
                       

       Nilai integral rangkap dua dari g ( x,y ) atas D sama dengan integral rangkap dua
dari f ( x,y ) atas R, dituliskan :

          ∫∫ f ( x , y ) dA = ∫∫ g( x , y ) dA
          R                      D

Hal ini menunjukkan bahwa untuk menghitung integral rangkap dua atas suatu daerah
sembarang dapat dicari dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti menghitung
integral rangkap atas daerah berbentuk persegi panjang.
         Adapun daerah sembarang secara umum dapat dibedakan menjadi dua tipe yaitu
:
                  {
1. Tipe I, R = ( x , y) a ≤ x ≤ b , v ( x) ≤ y ≤ w( x )    }
   Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas R dituliskan dengan :

                           b w (x)       
                          ∫ f ( x , y) dy dx
   ∫∫ f ( x , y ) dA = ∫                 
   R                   a  v( x)          

                   {
2. Tiep II, R = ( x , y) g ( y ) ≤ x ≤ h ( y ), c ≤ y ≤ d  }
   Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas R ditlusikan dengan :

                           d  h ( y)               
   ∫∫   f ( x , y ) dA =     
                           ∫  ∫      f ( x , y) dx  dy
                                                    
   R                       c  g ( y)               




                                                 Danang Mursita
                                     Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                              Matematika Dasar


                   Y
                                                                 Y                 g(y)

        w(x)                                                                              h(y)
                                                                 d


        v(x)                                                     c


                   O       a                b                    O                               X
                   X
                                     Tipe I
                                                                         Tipe II

Contoh 2
Hitung integral ∫∫ f ( x, y ) dA bila
                   R

                               {
a. f ( x , y ) = 2 x dan R = ( x, y ) 0 < x < 1, x < y < − x 2 + 1   }        2
b. f(x,y) = 2y dan R merupakan daerah tertutup yang dibatasi oleh x = 2, y = x , sumbu
   X.

Jawab :
                        1 − x 2 +1           − x 2 +1
                                                 1       
                                            
a. ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ 2 x dy dx = ∫ 2 x  ∫        dy dx = −
                                                                  1
                                                                 6
   R                  0  x             0     x          
b. Daerah R dapat dituliskan menjadi :
               {
   i. R1 = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x 2 atau}
               {
   ii. R2 = ( x , y )     y ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4      }
                                     2 x2               2 x2
                                                     2 y dy  dx = 32
   Untuk R1 , ∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ ∫ 2 y dy dx = ∫  ∫             5
              R1                  0 0             0 0       
                                     4 2                 2 
                                                        4
   Untuk R2 , ∫∫ f ( x , y ) dA = ∫ ∫ 2 y dx dy = ∫ 2 y  ∫ dx  dy =
                                                                      32
                                                                     5
              R2                  0 y             0      y 


Perubahan Urutan Integrasi

       Seringkali dijumpai dalam perhitungan integral rangkap dua, kita dihadapkan
kepada bentuk iterasi yang diberikan tidak dapat dilakukan secara langsung seperti apa
yang diminta. Sebagai contoh, perhitungan integral rangkap dua berikut tidak dapat


                                            Danang Mursita
                                Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                          Matematika Dasar


dilakukan dengan iterasi yang diberikan ( dengan               mengintegralkan terhadap y kemudian
terhadap x ).

           4 2        2
           ∫ ∫    e y dy dx
           0 x2

Untuk menyelesaikan integral di atas kita harus merubah urutan integrasi. Bila integral
dituliskan dalam bentuk :

                  2
           ∫∫   e y dA
           R

                                     
maka R = ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 4, ≤ y ≤ 2 . Daerah R digambarkan berikut :
                              x
                             2       

                                                Daerah R dapat juga dinyatakan dengan :
           Y                                           {
                                                R = ( x , y) 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ x ≤ 2 y     }
                                                Oleh karena itu, nilai integral dari :

                                                 4 2       2          2 2y     2
           2
                                                 ∫ ∫    e y dy dx =   ∫ ∫    e y dx dy
                      R
                                                 0 x2                 0 0

            O                   4           X



Contoh 3
Ubahlah urutan integrasi dari integral rangkap berikut
       2
   2 y
a. ∫ ∫ f ( x , y) dx dy
   0 0
    0      x2
b. ∫       ∫ f ( x , y) dy dx
   −1 − x 2


Jawab :




                                            Danang Mursita
                                Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                                   Matematika Dasar



                        {                                  }                     {
a. Misal R = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ y 2 , 0 ≤ y ≤ 2 . Maka R = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤                                   }
                                                                                                                      x .

          2 y2                           4 2
     Jadi ∫ ∫ f ( x, y ) dx dy = ∫ ∫ f ( x, y ) dy dx .
          0 0                            0 x

                    {
b. Misal R = ( x, y ) − 1 ≤ x ≤ 0, − x 2 ≤ y ≤ x 2 .           }
                        {                                          } {
     Maka R = ( x, y ) − 1 ≤ x ≤ − − y , − 1 ≤ y ≤ 0 ∪ ( x , y ) − 1 ≤ x ≤ − y , 0 ≤ y ≤ 1                        }
          0        x2                        0 − −y                           1 − y
     Jadi ∫        ∫ f ( x , y) dy dx = ∫            ∫    f ( x , y) dx dy + ∫        ∫       f ( x , y ) dx dy
          −1   −x 2                         −1      −1                        0 −1




Koordinat Kutub

        Kadang-kadang perhitungan integral rangkap dua dalam koordinat cartesius ( x
dan y ) membutuhkan perhitungan yang rumit. Untuk lebih menyederhanakan
perhitungan kita kenalkan koordinat kutub ( polar ).
                                                          Misal ( x,y ) merupakan titik pada
                                                koordinat cartesius. Maka dalam koordinat
                                                kutub didapatkan hubungan : x = r cos θ
                       • (x,y)                  dan y = r sin θ.
                                                Integral rangkap dua dari f ( x,y ) atas
                                                daerah R dapat dituliskan :
           r            y                        ∫∫ f ( x , y ) dA = ∫∫ f (r cosθ, r sinθ) dA
                                                               R                          R
                                                                                     = ∫∫ F (r ,θ) dA
          θ
 O             x                 Sumbu Polar                                              R
                                                         Dalam koordinat cartesius, dA = dx
                                                  dy atau dA = dy dx , sedangkan dalam
dalam koordinat kutub : dA = | J(r,θ) | dr dθ atau dA = | J(r,θ) | dθ dr dengan

            ∂x              ∂x
J ( r ,θ) = ∂r              ∂θ = cos θ − r sinθ = r disebut determinan Jacobi dari r dan θ.
            ∂y              ∂y   sinθ r cosθ
            ∂r              ∂θ

Sehingga bentuk integral dalam koordinat kutub dituliskan berikut :

          ∫∫   f ( x , y) dA =     ∫∫ F ( r, θ)   J ( r, θ) dr dθ =   ∫∫ F ( r ,θ) r dr dθ
          R                        R                                  R


                                                   Danang Mursita
                                       Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                                  Matematika Dasar




Contoh 4
                                                            1   1− x2
Gunakan koordinat kutub untuk menyelesaikan ∫                    ∫       x dy dx
                                                            0 − 1− x 2
Jawab :
Misal                {
             R = ( x , y) 0 ≤ x ≤1, − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 .        }     Maka    R   merupakan   daerah
                                                     −π    π
setengah lingkaran dengan 0 ≤ r ≤ 1 dan                 ≤θ≤ .
                                                      2    2
      1      1− x2                 1 π/ 2                    1      π/ 2           2
Jadi ∫           ∫       x dy dx = ∫   ∫    r 2 cosθ dθ dr = ∫ r 2  ∫ cosθ dθ dr =
                                                                             
      0 − 1− x 2                   0 − π/ 2                  0      −π / 2         3



Soal Latihan

( Nomor 1 sd 6 ) Hitung nilai integral rangkap dua berikut :

1.   ∫∫ (1 + 8xy ) dA ; D = {( x , y ) 1 ≤ x ≤ 2 ,1 ≤ y ≤ 2}
     D
2.   ∫∫ ( 4 xy 3) dA ; D = {( x , y ) − 1 ≤ x ≤ 1,−2 ≤ y ≤ 2}
     D
               
      
3. ∫∫ 
        2
          xy
             2
                 dA ; D =
                                            {( x , y ) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}
   D  x + y + 1
                                                               π         π
4.   ∫∫ ( x sin y − y sin x ) dA ; D = ( x , y ) 0 ≤ x ≤         ,0 ≤ y ≤ 
     D                                                         2         3
     2 3
5.   ∫ ∫ (2 x − xy ) dx dy
     1 0
      π 2
6.   ∫ ∫ x cos ( xy ) dy dx
     π       1
         2

( Nomor 7 sd 16 ) Hitung integral rangkap dua berikut :

     1 x
7.   ∫ ∫         xy 2 dy dx
     0 x2


                                                   Danang Mursita
                                       Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                                       Matematika Dasar



      3 9− y
             2

8.    ∫        ∫            y dx dy
      0        0
          2π       x3
                                  y
9.        ∫         ∫       sin
                                  x
                                    dy dx
          π         0
      π       2

          ∫ ∫ ( x 2 − y 2 ) dy dx
          2 x
10.
          0    0
      2       y2        x
                       2
11.   ∫ ∫           e y dx dy
      1 0
                                                                                2
12.   ∫∫ 6xy dA               ; R daerah dibatasi oleh y = 0, x = 2 dan y = x .
          R
13.   ∫∫ xy         dA            ; R merupakan trapesium dengan titik sudut ( 1,3 ), ( 5,3 ) , ( 2,1 ) dan (
          R
   4,1 ).
14. ∫∫ x cos ( xy) dA ; R daerah dibatasi oleh x = 1, x = 2, y = ½ π dan y = 2π / x.
          R
15.   ∫∫ ( x + y )           dA ; R daerah dibatasi oleh y = x 2 dan y = x
          R
16.   ∫∫ xy 2 dA                  ; R daerah dibatasi oleh y =1, y = 2, x = 0 dan y = x.
          R

( Nomor 17 sd 22 ) Hitung integral rangkap dua berikut dengan merubah urutan
integrasinya terlebih dahulu.

      1 4               2
17.   ∫ ∫          e− y dy dx
      0 4x

                            ( )
      2 1
18.   ∫ ∫           cos x 2 dx dy
      0 y
               2
      4 2               3
19.   ∫ ∫           e x dx dy
      0 y
      3 ln x
20.   ∫ ∫           x dy dx
      1        0



                                                        Danang Mursita
                                            Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
                                                              Matematika Dasar



      1 cos−1 x
21.   ∫       ∫      x dy dx
      0       0
           π
      1        2
22.   ∫       ∫        sec 2 (cos x ) dx dy
      0 sin− 1 x

( Nomor 23 sd 29 ) Selesaikan integral rangkap dua berikut ( Gunakan koordinat kutub )

              2
                  + y 2 dA ; R daerah di dalam lingkaran x2 + y2 = 4
23.   ∫∫ ex
      R
                                                                                         2   2
24.   ∫∫   4 − x 2 − y 2 dA ; R daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh : x + y = 4,
      R
   y = 0 dan y = x.
            1                                                              2   2
25. ∫∫      2     2 dA ; R daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh : x + y = 4,
    R 4+ x + y
   y = 0 dan y = x.
                                                                2   2            2   2
26.   ∫∫ y dA        ; R daerah di dalam x + y = 4 dan di luar x + y = 1 yang terletak di
      R
   kuadran pertama.
      1 1− x2
                       (                       )
                                                   −1
      ∫    ∫               4 − x2 − y2                  2
27.                                                         dy dx
      0    0
           1− y 2
                            (              )
      1
28.   ∫       ∫        sin x 2 + y 2 dx dy
      0       0
           2 x− x2
                            ( x 2 + y 2)
      2                                    −1
      ∫        ∫
                                                    2
29.                                                     dy dx
      1        0




                                                  Danang Mursita
                                      Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Stats:
views:125
posted:2/13/2012
language:Indonesian
pages:9