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calcul

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calcul Powered By Docstoc
					Calcul isothermique d'un moteur Stirling du type alpha, bêta ou gamma.
(Auteur: Jean-Pierre Van Dormael Adresse(s) de messagerie : JP.VANDORMAEL@SKYNET.BE

Ce programme Excel se compose de trois feuilles: la pemière contient une introduction et la théorie
utilisée, la seconde permet d'introduire les données et de voir les résultats et la troisième contient les
Contrairement à l'usage, nous avons employé les majuscules P et V pour la presion p et le volume v
dans les formules . C'est pour distinguer ces valeurs de leurs indices.

Introduction.
Dans les moteurs de type alpha, il y a deux pistons moteurs actionnant un vilebrequin et qui se
trouvent respectivement dans une zone froide et une zone chaude. Dans les modèles de type bêta et
gamma, il n'y a qu'un piston moteur qui transmet la puissance au vilebrequin et un piston de
Les pistons des moteurs bêta sont tous deux dans le même cylindre ce qui complique sensiblement la
construction mais permet de réduire l'espace mort entre le piston moteur et celui du déplacement en les
Dans les moteurs gamma, les pistons moteur et de déplacement sont dans des cylindres séparés. Ceci
permet une plus grande souplesse de configuration des équipages mobiles mais diminue la puissance
La méthode de calcul utilisée s'apparente à celle de Schmidt mais n'a pas besoin de définir les multiples
paramètres nécessaires à la solution analytique des intégrales. Grâce au tableur on peut utiliser
l'intégration numérique avec une précision aussi bonne qu'on le désire. Le calcul de la température
moyenne dans le régénérateur est également différente de celle de Schmidt qui utilise une moyenne
La pression P est uniforme dans tout le moteur. Ceci n'est valable que si les pertes de charges dans les
échangeurs sont faibles c.-à-d. si le moteur ne tourne pas trop vite et s'il n'est pas trop grand.

Théorie.
On choisit d'appliquer l'équation des gaz parfaits: PV=mRT (1) qui est, en première approximation,
suffisante pourdivisé en trois des températures données.
Le moteur est la fourchette volumes: le volume froid dans lequel se meut le piston moteur et qui
contient le refroidisseur, le volume chaud contenant le piston de déplacement (ou le deuxième piston
moteur du type alpha) et l'échauffeur, et le volume du régénérateur.
On suppose que le gaz dans les volumes chaud et froid est maintenu à des températures constantes:
La (basse) et Th (haute). D'où le nom d'analyse isothermique.
Tb température du gaz dans le régénérateur est égale à la température moyenne effective Tmr=(Th-
Tb)/ln(Th/Tb) où ln est le logarithme néperien du rapport (Th/Tb). Cette formule s'obtient en supposant
que la température dans le régénérateur varie linéairement de Tb à Th. La densité du gaz varie
évidemment tout au long du régénérateur. Si on divise l'espace en tranches minces, la température
moyenne sera Tmr= (T1*m1 + T2*m2 + ... +Tn*mn)/(m1 + m2 + ... +mn) où m1, m2, .. et T1, T2, ...
sont les masses de gaz et les températures des tranches successives . En passant à la limite (c.-à-d., en
En réalité, la température moyenne du gaz dans le régénérateur est plus haute quand le gaz passe de la
partie chaude à la partie froide et inversément. Il est facile de comprendre que c'est inhérent aux
échangeurs en général. Cette différence de température qui permet à la chaleur de s'écouler du gaz vers
l'échangeur et vice versa est nommée dT. Elle dépend de la construction de l'échangeur et de la nature
Le volume Vcom est et à haute température varient en fonction des positions des pistons.
Les volumes à basse le volume commun balayé par les pistons moteur et de déplacement dans un
moteur de type bêta. Il vient en déduction du volume mort froid. Si Vcom est nul, on a un moteur
Si les bielles sont suffisamment longues par rapport à la course des pistons, alpha.
gamma. S'il est positif, le moteur est un bêta. Il est nul aussi dans un moteurle mouvement de ceux-ci
peut être considéré comme sinusoïdal en fonction de l'angle phi du vilebrequin. C'est quasi toujours le
cas.
Cetmouvement duzéro lorsque le premier piston moteur est piston moteur haut. alpha) est décalé d'un
Le angle phi est piston de déplacement (ou du deuxième au point mort du type
angle psi par rapport à celui du piston moteur.
Cet angle psi est négatif pour un décalage arrière et positif pour un décalage avant par rapport au
Le volume à température décalage Vh=(Vd/2)*(1-cos(phi+psi)) Vmortd où Vd est la cylindrée du
premier piston moteur. Lehaute est: avant est le cas habituel pour+un moteur Stirling. C.-à-d. que le
piston de déplacement (ou du deuxième piston moteur du type alpha) et Vmortd est le volume mort
chaud qui contient l'échangeur chaud.               .
Le volume à température basse est: Vb=(Vm/2)*(1-cos(alpha))+(Vd/2)*(1+cos(alpha+phi)) + Vmortm -
Vcom, où Vm est la cylindrée du premier piston moteur, Vmortm le volume mort froid qui contient
l'échangeur froid, Vcom le volume commun balayé par les deux pistons et (Vd/2)*(1+cos(alpha+phi)) le
volume coté froid du piston de déplacement. Vcom et (Vd/2)*(1+cos(alpha+phi)) sont nuls pour un
Le volume invariable du régénérateur est Vr.
A tout moment, le volume total est V=Vh+Vb+Vr (4) et la masse totale du gaz est m=mh+mb+mr (5).
Les indices h, b et r indiquent les espaces à températures haute et froide, et celui du récupérateur.
A partir de la loi des gaz parfaits on a pour les trois volumes: P*Vh=mh*R*Th, P*Vb=mb*R*Tb et
P*Vr=mr*R*(Tmr+dT) où dT est l'écart de température dans le régénérateur par rapport à la moyenne
On en tire les trois masses de gaz: mh=P*Vh/(R*Th) (6), mb=P*Vb/(R*Tb) (7) et
mr=P*Vr/(R*(Tmr+dT)) (8), pour les volumes chaud, froid et du régénérateur respectivement.
La masse totale du gaz est: m=Po*Vmax/(R*To) (9) où Po, Vmax et To sont la pression, le volume et la
température du moteur lors de son remplissage, à l'arrêt, avec du gaz .
On suppose que, lors de ce remplissage, son volume interne est le plus grand. Vmax est calculé à partir
de la colonne V =Vh+Vb+Vr (10) dans les tables de calcul.
Po*Vmax/T0 = P*(Vh/Th+Vb/Tb+Vr/(Tmr+dT)) qui l'équation (5) pression
En remplaçant les valeurs des masses de gaz dans nous donne lapar celles données par les équations
P=(Po*Vmax/To)/(Vh/Th+Vb/Tb+Vr/(Tmr+dT))(et donc du type de gaz) pour un remplissage à une
Remarque: la pression est indépendante de R
pression donnée.
En intégrant sur un cycle complet le produit P*dV, on obtient le travail du moteur en joule par tour.
Pour la facilité, on intègre P*dV numériquement sur un tour complet en calculant V par pas de 5 degrés
par exemple. dV est la différence entre les pas successifs et P est la moyenne entre deux pas.
On obtient l'énergie en joule, développée en un tour.
En multipliant celle-ci par la vitesse de rotation, on obtient la puissance en watt.

En pratique.
Passez au feuillet deux en cliquant sur l'onglet "Données de calcul et résultats". Introduisez les variables
du moteur (partie à fond jaune). Les résultats s'affichent immédiatement.
Grâce à la fonction "valeur cible" dans le menu Outils d'Excel, on peut trouver les variables nécessaires à
l'obtention d'un résultat donné. Par exemple, on peut trouver la pression de remplissage nécessaire à
Enfin, faut-il le rappeler, les résultats obtenus sont théoriques. Les différences sont essentiellement dues
au fait que la température n'est pas uniforme dans les volumes supposés isothermiques et que les
pertes de charges induisent des variations de la pression en fonction du mouvement du gaz. En tenant

Note: Il semble que la théorie de Schmidt publiée par Khirata contienne une erreur dans le calcul des volumes.
Les seules données à introduire sont en rouge sur fond VERT ( colonne " valeurs à saisir, lignes 7 à 19 ). Les autres données sont calculées.
Les résultats utiles figurent lignes 30 à 35
Les données à saisir sont exprimées en dimensions usuelles (cm³, degrés Celsius, kg/cm²). Les calculs se font en Système International
(m, newton, joule, watt, sec, pascal).
                                                                                                             Données initiales:
                          PARAMETRES                          VALEURS A SAISIR                    UNITES                                    COMMENTAIRES                                              VALEURS
                                                                                                                                                                                                                           UNITES S.I
                                                                                                  usuelles                                                                                          TRANSPOSEES
Données initiales:
                                    Type de moteur=?                                     0                    (0=alpha, 1=bêta ou gamma)
                            Cylindrée moteur Vm= ?                                      60 cm3                (c'est le volume balayé par le piston moteur)                                                0.00006 m3
                                                                                                              (c'est le volume balayé par le piston de déplacement ou le deuxième
                  Cylindrée de déplacement Vd= ?                                        50 cm3                piston moteur pour le type alpha)                                                            0.00005 m3

                        Volume mort froid ou moteur                                                           Ce volume contient le   refroidisseur.
                                                                                        10 cm3                                                                                                             0.00001 m3
                                        Vmortm = ?
                          Volume mort chaud ou de                                                             Ce volume contient le réchauffeur.
                                                                                        10 cm3                                                                                                             0.00001 m3
                            déplacement Vmortd= ?
                                                                                                              Vcom est le volume commun balayé par les deux pistons dans le cas
Volume commun balayé par les deux                                                                             d'un moteur de type bêta. Il vient en déduction du volume mort froid.
                pistons Vcom= ?
                                                                                        14 cm3                                                                                                            0.000014 m3

                       Volume du régénérateur Vr=                                       20 cm3                                                                                                             0.00002 m3
                            Température haute Th=                                       80 °C                                                                                                                  353 K
                            Température basse Tb=                                       20 °C                                                                                                                  293 K
                                                                                                              C'est la différence de température moyenne du régénérateur par
                       Différence de température du
                                                                                        12 °C                 rapport à la température moyenne théorique entre l'aller et le retour                                 12 K
                                   régénérateur dT=
                                                                                                              du gaz).
                  Décalage angulaire du piston de
                              déplacement psi=
                                                                                        90 degrés                                                                                                     1.570796327 radian
                                                                                                              C'est la pression de remplissage à l'arrêt.
                       Pression interne à l'arrêt Po=                                 4.99 kg/cm2                                                                                                     489421.4781 pascal
                                Vitesse de rotation=                                  3000 t/min                                                                                                                    50 t/sec (Hz)

                                                                                                                    Calculs:
                          PARAMETRES                                VALEURS         UNITES                                                  COMMENTAIRES                                              VALEURS       UNITES S.I
                                                                   CALCULEES        usuelles                                                                                                         CALCULEES
                           Volume maximum Vmax=                       134.0510235 cm3                                                                                                                  0.000134051 m3
                                                                                                              (conditions initiales lors du remplissage à température ambiante:
                                          Po*Vmax/To=                    0.223916212                          To=20°C=293K)
                                                                                                              = Th + Tb / 2
                           Moyenne arithmétique=                                                                                                                                                                   323 K
                      Température moyenne dans le                                                             = Th - Tb / Log Néperien Th / Tb
                                 régénérateur Tm=                                                                                                                                                            322.07 K
                                                 Vr/Tm=                  6.20985E-08                          = Th + Tb / 2


                                                                                                  RESULTATS PRATIQUES :
                                                             Moteur bêta
                               Puissance calculée:                   237.05 watt                                          0.32     cv                               Si les pistons sont "carrés " (diamètre = course).
                               Pression moyenne:                    825,163 pascal                                        8.41     kg/cm²                                      Diam. Pist. Mot.=                   4.24 cm               0.0424 m
                                       Pression max:              1,274,591 pascal                                       12.99     kg/cm²                               Surface tête de piston=                14.14 cm²                0.00141 m²
                                       Pression min:                533,095 pascal                                        5.43     kg/cm²                                Diam. Pist. déplacem.=                 3.99 cm                  0.0399 m
                                                                                                                                                                                       Surface=                12.52 cm²                0.00125 m²


                          Positions des pistons dans le cas d'un moteur bêta (les deux                                                                                                   Diagramme d'indicateur.
                                      pistons sont dans un seul cylindre).
                                                                                                                                                            14.00
                  8
                                                                                                                                                            12.00
                  7

                                                                                                                                                            10.00
                  6
                                                                                                                                       Pression en kg/cm²




                                                                                                       Position de la
Position en cm.




                                                                                                                                                             8.00
                  5                                                                                    surface supérieure
                                                                                                       du piston moteur.
                  4                                                                                                                                          6.00


                  3
                                                                                                                                                             4.00

                  2                                                                                    Position de la
                                                                                                                                                             2.00
                                                                                                       surface inférieure
                  1                                                                                    du piston de
                                                                                                                                                             0.00
                                                                                                       déplacement
                  0
                          30
                               60
                                     90
                                           120
                                                 150
                                                       180
                                                             210
                                                                   240
                                                                          270
                                                                                300
                                                                                      330
                                                                                            360
                      0




                                Angle de rotation en degrés.                                                                                                                                       Volume en cm³
                                                                                                                                                     P pour         P pour                     V pour
                                                                                                                                                     graph.         graph.                     graph.                                         Position   Position
     Alpha en    Alpha en                     COS(alpha+                                                                                 P                          de 180 à                                                                  Piston     Piston
     degrés      radians      COS(alpha)      phi)           Vh en m3       Vb en m3       Vh/Th          Vb/Tb           dT   Tr        (pascal)    de 0 à 180     360               V (m3)   V (cm³)           dV          P*dV T en K mot.            déplac.
 1           0            0               1   6.12574E-17        0.000035        0.00001    9.91501E-08    3.41297E-08     0   322.069   1,146,065          11.68        11.68      0.000065        65            0             0    333       4.24314    5.02105
 2           5   0.08726646    0.996194698    -0.08715574     3.71789E-05    1.01142E-05    1.05323E-07    3.45193E-08    12   334.069   1,121,208          11.43        11.89   6.7293E-05      67.29   2.293E-06    2.59948772     337       4.23506    4.86696
 3          10   0.17453293    0.984807753    -0.17364818     3.93412E-05    1.04558E-05    1.11448E-07    3.56852E-08    12   334.069   1,081,714          11.03        12.20   6.9797E-05      69.80   2.504E-06    2.75796956     337       4.21091    4.71404
 4          15   0.26179939    0.965925826    -0.25881905     4.14705E-05    1.10222E-05     1.1748E-07    3.76185E-08    12   334.069   1,041,633          10.62        12.48   7.2493E-05      72.49   2.696E-06    2.86198521     337       4.17085    4.56346
 5          20   0.34906585    0.939692621    -0.34202014     4.35505E-05    1.18092E-05    1.23373E-07    4.03045E-08    12   334.069   1,001,661          10.21        12.70    7.536E-05      75.36   2.867E-06    2.92908632     337       4.11519    4.41636
 6          25   0.43633231    0.906307787    -0.42261826     4.55655E-05    1.28108E-05    1.29081E-07    4.37228E-08    12   334.069     962,372           9.81        12.86   7.8376E-05      78.38   3.016E-06     2.9622504     337       4.04436    4.27387
 7          30   0.52359878    0.866025404            -0.5      0.0000475    1.40192E-05    1.34561E-07    4.78472E-08    12   334.069     924,220           9.42        12.96   8.1519E-05      81.52   3.143E-06    2.96479231     336        3.9589    4.13706
 8          35   0.61086524    0.819152044    -0.57357644     4.93394E-05    1.54254E-05    1.39772E-07    5.26465E-08    12   334.069     887,549           9.05        12.99   8.4765E-05      84.76   3.246E-06    2.94014812     336       3.85946    4.00698
 9          40    0.6981317    0.766044443    -0.64278761     5.10697E-05    1.70187E-05    1.44673E-07    5.80842E-08    12   334.069     852,607           8.69        12.95   8.8088E-05      88.09   3.324E-06    2.89170994     335       3.74678    3.88461
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73        360    6.28318531               1   3.06287E-16        0.000035        0.00001    9.91501E-08    3.41297E-08     0   322.069   1,146,065                                  0.000065     65.00   2.065E-06    2.38714579     333       4.24314    5.02105
                                                                                                                                 Pmoy      825,163                     Vmax=     0.00013405                           4.74094317 joule / tour
                                                                                                                                  Pmin     533,095                                                                    237.047158 watt
                                                                                                                                 Pmax    1,274,591




                                                                                                                                          ########                                                                    246.529045
                                                                                                                               Pm          175,529                                                                    12326.4522

				
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posted:2/12/2012
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