Mathematik Skript by 9Gz02w

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									1 Funktionen

1.1 Der Funktionsbegriff

1.1.1 Definition

Eine Funktion ist eine Rechenvorschrift, um aus einer Zahl eine neue Zahl zu berechnen.

Schreibweise: f : x  y  f ( x)

Das bedeutet: Aus der Zahl x wird die Zahl y berechnet, und zwar gemäss der Vorschrift
namens f. Statt von der "Vorschrift namens f " spricht man in der Mathematik von der
"Funktion namens f " oder einfach von der "Funktion f ".

Und man liest es so: "Durch die Funktion f geht x über in y gleich f von x."

1.1.2 Was das konkret bedeuten kann

1.1.2.1 Die Funktion wird mit dem Taschenrechner berechnet

Die Tasten sin , cos , tan , ln , log und je nach Taschenrechnermodell noch einige andere
mehr sind so genannte Funktionstasten. Sie sind dazu da, aus einer Zahl auf eine ganz
bestimme Weise eine neue Zahl auszurechnen. sin, cos, tan, ln und log sind die Kurznamen
der Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens, natürlicher Logarithmus und Zehnerlogarithmus.

 Beispiel

 Gemäss der Sinus-Vorschrift soll aus der Zahl 30 eine neue Zahl berechnet werden.

 Das schreibt man so: sin(30) = ?

 Man liest es so: "Sinus von 30 gleich wieviel?"

 Eingetippt wird es so: 3 0 sin

 Das Ergebnis ist 0.5.

Was bedeutet nun die Sinus-Vorschrift, d.h., in welchem Zusammenhang steht die Zahl 0.5
mit der Zahl 30, aus der sie berechnet wurde?

Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck die
Hypothenuse die Länge 1 hat, und ein Winkel                           1
                                                        sin()
des Dreiecks  ist, dann bedeutet sin() die
Länge der Kathete, die dem Winkel 
                                                          .                    
gegenüber liegt. Wenn  = 30° ist, hat die fett
gezeichnete Kathete also die Länge 0.5.




                                               1
Die affine Funktion                                                                    Seite 2


Die Definition der Sinus-Funktion liest sich ziemlich kompliziert, und vorläufig müssen Sie
sie sich auch noch nicht merken. Sie sollen aber erkennen:

   Eine sinnvolle Funktion beschreibt einen Zusammenhang zwischen zwei Grössen, die eine
                            bestimmte, konkrete Bedeutung haben.


Da es viel mehr Funktionen als Tasten auf dem Taschenrechner gibt, muss man für einige
Taschenrechnerfunktionen eine Tastenkombination eingeben. Diese Kombination ist von
Taschenrechner zu Taschenrechner verschieden.

 Beispiel

 Die Funktion namens Arcussinus wird auf einigen Taschenrechnern mit ASIN, auf anderen
 mit sin-1, auf wieder anderen Modellen mit SIN-1 abgekürzt. In Büchern hat Arcussinus
 dagegen den Kurznamen arc sin.
 Zu berechnen ist der Arcussinus von 0.5.

 Schreibweise: arc sin(0.5) = ?

 Sprechweise: "Arcussinus von 0.5 gleich wieviel?"

 Einzutippen: 0 . 5         sin

                            Was hier stehen muss,
                            müssen Sie mit Ihrem
                            Taschenrechner selbst
                            herausfinden!
 Ergebnis: 30

 Anmerkung: Vielleicht fällt Ihnen auf, dass sin(30) = 0.5 und umgekehrt arc sin(0.5) = 30
 ist. Das ist kein Zufall. Sinus und Arcussinus stehen im gleichen Verhältnis zueinander wie
 Quadrat und Wurzel.


1.1.2.2 Die Funktion ist durch eine Formel definiert

Formeln sind die häufigste Methode, um Funktionen zu definieren. Im Prinzip kann man auch
alle Taschenrechnerfunktionen durch Formeln darstellen, die nur die Grundrechenarten
enthalten, nur würden diese Formeln sehr kompliziert.

 Beispiel

                                              1
 Eine Funktion ist durch die Formel y               definiert.
                                            7  x2
                                                                   1
 Man schreibt dann die Funktion so auf: f : x  y  f ( x) 
                                                                  7  x2
 Das ist keine besondere Funktion, und sie beschreibt auch keinen bedeutsamen Zusammen-
 hang. Sie hat daher auch keinen besonderen Namen: f kann man so ziemlich jede Funktion
 nennen. Ausser, dass sie uns als Beispiel dient, ist sie auch nicht sinnvoll.
Die affine Funktion                                                                                          Seite 3




 Um zu einer gegebenen Zahl x den Funktionswert y auszurechnen, setzt man die Zahl in
 die Formel ein. So ist

                                            1               1
 -    für x = 3:             f (3)                     
                                          73       2       4
                                           1                1
 -    für x = 1:             f (1)                     
                                          7 1  2            8
                                                 1                   1
 -    für x = -3:            f ( 3)                            
                                           7  (3) 2                4
 usw.


Eine Funktion kann auch aus Formeln und Taschenrechnerfunktionen zusammengesetzt sein,
                                         sin( 2 x)
z.B. ist auch f : x  y  f ( x)                    eine Funktion.
                                         1  tan( x)

1.1.2.3 Die Funktion ist durch eine Wertetabelle definiert

Bei solchen Funktionen gibt man für alle Zahlen x das zugehörige y = f (x) in einer Tabelle an.
Das kann z.B. so aussehen:

x             -6      -4    -1       0      0.5             0.8          1.1   4   5   7   10.1   22   25     26
y = f (x)    0.3      2.4   -9    0.1       8.2             3.6          4.4   4   1   1   3.34   4    2.1     5

Auch diese Funktion beschreibt keinen konkreten Zusammenhang und ist insofern nicht
sinnvoll. Was Sie an dieser Funktion lernen können, ist, dass es nichts ausmacht, wenn einige
y-Werte gleich sind (z.B. f (5) und f (7) ).

Sie werden vielleicht fragen, wie man zu allen anderen x-Werten, die nicht in der Tabelle
aufgeführt sind, das zugehörige y ausrechnet. Die Antwort ist: überhaupt nicht. Eine solche
Funktion macht über alle anderen x-Werte keine Aussage über den zugehörigen y-Wert. Wenn
Sie bei der obigen Funktion nach f (8) gefragt werden, antworten Sie: f (8) ist nicht definiert!
Übrigens sind auch andere Funktionen nicht für alle x-Werte definiert: Z.B. ist
 f : x  y  f ( x)  x für alle negativen Zahlen nicht definiert.

Wo kommen solche Funktionen vor? Denken Sie z.B., dass Sie ein Jahr lang ausschliesslich
jeden Monatsersten auf die Waage steigen und eine Wertetabelle ihres Gewichts machen.
Dann ist x der Monat (z.B. 1 für Januar, 2 für Februar usw.) und y ihr Gewicht zum jeweiligen
Zeitpunkt. Wenn Sie nicht gemessen haben, wieviel Sie Mitte Januar gewogen haben, können
Sie auch nicht angeben, wieviel f (1.5) ist. Auch das Argument, dass man dieses Gewicht ja
schätzen könnte, ändert daran nichts.
Die affine Funktion                                                                                                                                Seite 4
                                                                      wichtiger Abschnitt; auswendig lernen!!



1.1.3 Verallgemeinerungen, Redewendungen und Schreibweisen

   Wenn eine Funktion durch eine Formel definiert wird, nennt man diese Formel die
                                                                                                                        1
    Funktionsgleichung. Beispiel: Die Funktion f : x  y  f ( x)                                                             hat die Funktions-
                                                                                                                      7  x2
                                   1
    gleichung y                             .
                               7  x2
   x heisst unabhängige Variable, y heisst abhängige Variable. Damit drückt man aus, dass
    man x benutzt, um y herauszufinden, und nicht etwa umgekehrt. y wird auch
    Funktionswert genannt.
                                                       1                                                                                    1
   Statt f : x  y  f ( x)                                    kann man auch kürzer schreiben: f : x                                           , oder
                                                   7  x2                                                                              7  x2
                                             1
    noch kürzer y ( x)                                . Im letzten Fall heisst die Funktion aber nicht mehr f.
                                        7  x2
   Statt x und y verwendet man auch andere Buchstaben. Einen Zusammenhang zwischen
    Strecke und Zeit schreibt man z.B. als s(t), nicht als y(x), denn die allgemein
    gebräuchlichen Buchstaben für Strecke und Zeit sind s und t, nicht x und y. Die
    unabhängige Variable ist dann diejenige in der Klammer, die abhängige Variable
    diejenige davor.
   Nochmals zur Erinnerung: s(t) spricht man "s von t".
   Häufig hört man Dinge wie "y an der Stelle x = 4". Damit meint man y = f (4), bzw. y (4).
    Die Redewendung kommt daher, dass man sich vorstellt, dass die Funktion die ganze
    Zahlengerade x abwandert, und man schaut nun, was die Funktion tut, wenn sie sich
    gerade an der Stelle x = 4 befindet:

                                                                                                                                                         x
    -15 -14 -13 -12 -11 -10   -9   -8   -7   -6   -5   -4   -3   -2   -1   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10 11 12 13 14 15   16   17   18 19




                                                                                                       Ich bin die Funktion y(x) = 2x + 3,
                                                                                                          und momentan bin ich an der
                                                                                                         Stelle x = 4. Können Sie sagen,
                                                                                                       was mein aktueller Funktionswert
                                                                                                                        ist?




1.2 Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion

Eine Vorschrift, nach der man einer Zahl x eine Zahl y zuordnet, muss nicht für alle Zahlen
definiert sein. Wenn die Zuordnung etwa das Resultat einer Messung ist (vgl. 1.1.2.3), ist sie
nur für ganz bestimmte Werte von x definiert. Wenn die Zuordnung durch eine Formel
zustande kommt (vgl. 1.1.2.2), kann es sein, dass sich diese Formel nicht für alle Werte von x
auswerten lässt (Beispiel: y ( x)  x ).

Man nennt die Menge der x-Werte, für welche eine Zuordnung f definiert ist, die
Definitionsmenge der Funktion f. Diese Menge bezeichnet man mit dem Symbol ID oder mit
Die affine Funktion                                                                       Seite 5


ID f , wenn man ganz deutlich sagen will, dass es sich um die Definitionsmenge der Funktion
f (und nicht sonst einer Funktion) handelt.

Man kann zu einer Funktion die Definitionsmenge ausdrücklich dazuschreiben. In solchen
Fällen ist die Funktion für alle x-Werte ausserhalb der Definitionsmenge nicht definiert, selbst
wenn die Funktionsgleichung für Werte ausserhalb der Definitionsmenge ausgewertet werden
könnte.

 Beispiel

  f : x  x , ID f  IN0

 Diese Funktion ist nur für die x-Werte 0, 1, 2, 3, ... definiert, obwohl man       x für jede
 reelle Zahl ausrechnen könnte, die nicht negativ ist.


Wenn zu einer Funktion f keine Definitionsmenge angegeben ist, dann soll die grösstmögliche
Zahlenmenge, für die die Vorschrift ausgeführt werden kann, als Definitionsmenge
angenommen werden.

 Beispiel

  f : x  x (ohne Angabe der Definitionsmenge)

    x   lässt sich für jede reelle Zahl ausrechnen, die nicht negativ ist. Daher soll
            
  ID f  IR 0 angenommen werden.

Die Menge aller Funktionswerte y, die man erhält, wenn man die Vorschrift f auf alle Werte
x  ID f anwendet, heisst Wertemenge W der Funktion.
Statt Definitionsmenge und Wertemenge benutzt man auch die gleichbedeutenden Begriffe
Definitionsbereich und Wertebereich.

1.3 Graph einer Funktion

Mit jeder Zahl x, welcher eine Funktion f eine neue Zahl y = f (x) zuordnet, erhält man ein
Zahlenpaar (x, y), das man in einem Koordinatensystem als Punkt P(x/y) einzeichnen kann.
Fasst man in Gedanken alle Punkte, die auf diese Art entstehen, in einer Menge zusammen, so
erhält man den Graphen Gf der Funktion f.

Man schreibt das so: G f  {P( x / y ) | y  f ( x), x  ID f }
                                                            zweitens liegt die x-
  Der                                                       Koordinate in der
  Graph               ... be-
                      steht aus                             Definitionsmenge
  von f...
                      allen
                                  ... welche die
                      Punkten
                                  folgenden
                      P(x/y)
                                  Bedingungen        Erstens erfüllen die
                      ...                            Koordinaten die
                                  erfüllen:
                                                     Funktionsgleichung
Die affine Funktion                                                                           Seite 6


Die graphischen Darstellungen vieler Funktionen haben ein 'regelmässiges' Aussehen
(Gerade, Parabel, Hyperbel, ...). Mit ein wenig Übung lässt sich in vielen Fällen der
Funktionsgleichung y = f (x) ansehen, wie der Graph von f verläuft; in anderen Fällen ist es
nützlich, eine Wertetabelle

x
y = f (x)

zu erstellen und die Wertepaare punktweise in das Koordinatensystem zu übertragen, um den
Graphen der Funktion zu zeichnen.

Für die Wahl der Achsen gilt: Die Achse mit der unabhängigen Variablen (sog. Abszisse) liegt
waagrecht, die Achse mit der abhängigen Variablen (sog. Ordinate) steht senkrecht.

     (a)                                               (b)
                                                                             y
                       y

                           1
                               1
                                    x
                                                                                 1
                                                                                      1
                                                                                                  x




           y
                                                                         y



                                                                             10
                                                                                     90
               1                                                                          

                   1
                                           x




     (c)                                               (d)

  Beispiele für Funktionsgraphen
  (a) y = 3x – 5, (b) y = 1/x, (c) y = 0,5 x2 – 2x + 1, (d) y = tan()
Die affine Funktion                                                                                                    Seite 7



1.4 Wachstum und Monotonie

In der Alltagssprache steht der Begriff "monoton" für etwas, das immer gleich abläuft. In der
Mathematik redet man von monotonen Funktionen, wenn deren Graph entweder immer
ansteigt oder immer abfällt. Wie dieser Anstieg bzw. Abfall in Zahlen gefasst wird, sehen wir
uns jetzt etwas genauer an.

1.4.1 Steigung einer Geraden
                                                                y
Nimmt man zwei Punkte einer Geraden                                                                P2( x2/y2)
und teilt die Differenz der y-
Koordinaten, y, durch die Differenz der                                                                        y=y2 - y1
x-Koordinaten, x, dann erhält man die                                           P1(x1/y 1)
Steigung der Geraden, welche mit m                                                            x=x 2 - x 1
bezeichnet wird:
                                                                    1
                         y                                                 1
                      m                                                                                                x
                         x

Das grau eingezeichnete Dreieck heisst
Steigungsdreieck.
                                                                y
 Wählt man zwei andere Punkte als die eingezeichneten Punkte P1 und P2, so erhält man zwar
                                                                           P2( x2/y2)
nicht unbedingt das gleiche Steigungsdreieck, aber die Winkel des neuen Steigungsdreiecks
sind gleich: Alle Steigungsdreiecke einer Geraden gehen durch Vergrösserung oder
                                                                                      y=y2 - y1
Verkleinerung in einander über. (Man bezeichnet solche Dreiecke alsxähnlich).
                                                                P1( 1/y 1)
                                                                                              x=x 2 - x 1
m hängt nicht davon ab, welche Punkte man wählt. Wenn nämlich y in einem anderen
Steigungsdreieck k-mal so gross ist, wie im eingezeichneten, dann ist auch x k-mal so gross,
                                                             1
                                       k  y y               1
und im Quotienten bleibt alles gleich:            m.                                    x
                                       k  x x
Die Steigung einer Geraden ist umso grösser, je steiler sie ansteigt. Eine horizontale Gerade
hat die Steigung null. Eine fallende Gerade hat eine negative Steigung. Je stärker sie abfällt,
desto negativer ist die Steigung.

 Beispiel
                                                                    y                y=0
 Bei der steigenden Geraden sind zwei                               (0/5)                          (6/5)          m = 2/3
                                                      m=0
 Steigungsdreiecke eingezeichnet, um                                                 x=6
 deren Gleichwertigkeit zu demonstrieren.                                                                  y=2
                                                                                    (3/3)
 Bei der horizontalen Geraden besteht das
                                                                                               x=3
 Steigungsdreieck nur aus einer Linie, denn
 y = 0. Nimmt man bei der fallenden                                    1
                                                                                  (2/1)
                                                                                          y=4
 Geraden den Punkt (2/1) als P1 und (4/-3)                                   1
                                                                                                                   x
 als P2, dann ist y = -4 und x = 2. Würde
 man umgekehrt den Punkt (4/-3) als P1                       x=6
                                                   (-3/-1)                  y=-4
 und (2/1) als P2 wählen, wäre y = 4 und                                                      m = -2
 x = -2. In beiden Fällen ist m = -2.                                              x=2 (4/-3)
Die affine Funktion                                                                         Seite 8


1.4.2 Mittlere Steigung einer Funktion in einem Intervall

Auch eine Funktion f, deren Graph keine Gerade ist, kann unterschiedlich stark ansteigen oder
abfallen. Um diesen Anstieg bzw. Abfall durch eine Zahl auszudrücken, legen wir durch zwei
Punkte P1(x1/y1) und P2(x2/y2) des Funktionsgraphen eine Gerade. Die Steigung dieser
Geraden bezeichnen wir als mittlere Steigung von f im Intervall [x1,x2].

 Beispiel                                                        y


 Der           Graph         der          Funktion
                      1
  f : x  y  f ( x)  x 2  2 x  1        verläuft
                      2
 durch die Punkte P1(1/-0.5), P2(2/-1) und                           1                 P3
 P3(4/1). Im Intervall [1,2] (zwischen P1 und
 P2) ist die mittlere Steigung –0.5, im Intervall
                                                                                               x
 [2,4] (zwischen P2 und P3) beträgt sie 1. Im                                 1

 Intervall [1,4] (zwischen P1 und P3) ist die                            P1
 mittlere Steigung 0.5.
                                                                                  P2




Allgemein berechnet man die mittlere Steigung einer Funktion f im Intervall [x1,x2] so:

                                          f             y  y2 f ( x2 )  f ( x1)
                       m f [ x1 , x2 ]                  2      
                                          x [ x1 , x2 ] x2  x1     x2  x1

                         Das sind Schreib-              Hier steht, wie man diese
                         weisen für "mittlere           Steigung berechnet.
                         Steigung von f im
                         Intervall [x1,x2]".

Für die mittlere Steigung gibt es noch viele andere Bezeichnungen. Man nennt sie auch
        Differenzenquotient
        mittleres Wachstum
        durchschnittliche Steigung
        durchschnittliches Wachstum

Die momentane Steigung einer Funktion erhält man, indem man zwei Punkte betrachtet, die
beliebig nahe beieinander liegen. Die Berechnung solcher momentaner Steigungen nennt man
Differentialrechnung, und sie wird in der 3. Klasse behandelt.

1.4.3 Monotone Funktionen

Eine Funktion, die immer wächst, heisst monoton steigend. Eine Funktion, die immer fällt,
heisst monoton fallend. Die genauen Definitionen lauten so:

    Eine Funktion heisst monoton steigend im Intervall [a, b], falls Ihre Steigung in jedem
     Teilintervall [x1, x2], das ganz in [a, b] enthalten ist, positiv oder null ist.
Die affine Funktion                                                                           Seite 9


    Eine Funktion heisst streng monoton steigend im Intervall [a, b], falls Ihre Steigung in
     jedem Teilintervall [x1, x2], das ganz in [a, b] enthalten ist, positiv ist.

    Eine Funktion heisst monoton fallend im Intervall [a, b], falls Ihre Steigung in jedem
     Teilintervall [x1, x2], das ganz in [a, b] enthalten ist, negativ oder null ist.

    Eine Funktion heisst streng monoton fallend im Intervall [a, b], falls Ihre Steigung in
     jedem Teilintervall [x1, x2], das ganz in [a, b] enthalten ist, negativ ist.


 Beispiel 1                                           y


 Die          dargestellte        Funktion
                         1 2
  f : x  y  f ( x)      x  2x 1   ist im
                         2
                                                          1
 Intervall [0,2] streng monoton fallend,
 im Intervall [2,4] streng monoton                            1
 steigend. Im Intervall [1,3] ist sie nicht                                           x

 monoton, denn im Teilintervall [1,2] ist
 ihre mittlere Steigung negativ, im
 Teilintervall [2,3] dagegen positiv.



 Beispiel 2

 Die dargestellte Funktion ist überall                        y
 monoton fallend, aber nirgends streng
 monoton fallend.




                                                                  1
                                                                      1
                                                                                          x




1.5 Funktion und Umkehrfunktion

1.5.1 Definitionen und Bezeichnungen

Falls eine Funktion f jedem x  ID ein anderes y zuordnet, kann man aus dem y das x
rekonstruieren. Die Vorschrift, nach welcher dem y ein x zuzuordnen ist, wird Umkehr-
funktion von f genannt.
Die affine Funktion                                                                                 Seite 10


In Bezug auf die Bezeichnungen sind Umkehrfunktionen gewöhnungsbedürftig. Man
                                                             1
bezeichnet die Umkehrfunktion von f mit f –1, was leicht mit   verwechselt werden kann.
                                                             f
Ausserdem vertauscht man bei der Umkehrfunktion gegenüber der ursprünglichen Funktion
die Variablen x und y.

    Beispiel

    Die Funktion f : x  y  f ( x)  2 x  3 lässt sich so umkehren:
                                                 y  2x  3
                                                 y  3  2x
                                                 y3
                                                       x
                                                   2
                                     y 3
    Statt f 1 : y  x  f 1( y )         schreibt man nun aber
                                       2
                                                                x3
                                      f 1 : x  y  f 1( x) 
                                                                 2

Um noch grösseres Durcheinander zu vermeiden, verwenden wir im Zusammenhang mit
Umkehrfunktionen niemals andere Funktionsvariablen als x und y.


1.5.2 Wann ist eine Funktion umkehrbar?
Eine Funktion lässt sich genau dann umkehren, wenn sie in ihrer ganzen Definitionsmenge
streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. Bei einer Funktion, die erst ansteigt
und dann wieder abfällt, kommen notwendigerweise einige y-Werte doppelt vor. Daher lässt
sich das ursprüngliche x nicht mehr eindeutig rekonstruieren. Man kann aber bei jeder
Funktion die Definitionsmenge so weit verkleinern, dass die Funktion monoton wird1.

    Beispiel

    Die Funktion f : x  y  f ( x)  x2 ist nicht                                   y
    umkehrbar, wenn IR als Definitionsmenge
    gewählt wird. Zu jedem y > 0 existieren
    nämlich 2 x-Werte, x1 = y und x2 =  y .                Dieser Bereich fällt
    Um das noch zu verdeutlichen: y = 16 kann               nach der Verkleinerung
                                                            der Definitionsmenge
    zu x1 = 4 oder von x2 = -4 gehören. f ist auch          weg.
    nicht in ganz IR monoton. Verkleinert man
                                                                                         1
                                     
    aber die Definitionsmenge auf IR 0 , dann ist
                                                                                             1
    die verbleibende Funktion streng monoton,                                                          x
    und       ihre      Umkehrfunktion        ist
    f 1 : x  y  f ( x)  x .


1
 Im schlimmsten Fall, z.B. bei der Funktion y = 0, muss man allerdings die Definitionsmenge auf ein einziges
Element reduzieren!
Die affine Funktion                                                                          Seite 11


1.5.3 Die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion

Würde man beim Bilden der Umkehrfunktion die Variablen x und y nicht vertauschen, hätten
Funktion und Umkehrfunktion immer den gleichen Graphen. Das liegt daran, das ein Punkt
P(a/b) genau dann ein Punkt des Graphen ist, wenn b = f (a) ist. Dann ist aber auch a = f –1(b),
und somit wäre P(a/b) auch ein Punkt des Graphen von f –1.

Da man aber bei der Umkehrfunktion x und y vertauscht, entspricht dem Punkt P(a/b) des
Graphen von f der Punkt Q(b/a) des Graphen von f –1. Das führt auf folgende Regel:
                                   –1
 Man erhält den Graphen von f           , indem man bei allen Punkten des Graphen von f die
 Koordinaten vertauscht.

Geometrisch entspricht diese Vertauschung einer Spiegelung des Graphen von f an der
Geraden y = x (allerdings nur, wenn die Einheiten auf beiden Achsen gleich gewählt werden).

 Beispiel                                                y

                                                                                           y=x
 Die Funktion f : x  y  f ( x)  x2 mit                            Gf

          
  ID  IR 0     hat   die   Umkehrfunktion
  f 1 : x  y  f ( x)  x . Dargestellt sind
 die Graphen G f und G f 1 sowie die                                            Gf   -1



 Spiegelungsachse y = x.                                     1


                                                                 1
                                                                                             x




1.6 Funktionen von zwei oder mehr Variablen

Eine Vorschrift, welche jedem Zahlenpaar (x, y) eine Zahl z zuordnet, wird ebenfalls als
Funktion bezeichnet. Zum Beispiel kann der Flächeninhalt A eines Rechtecks als Funktion der
Länge  und der Breite b angesehen werden. Die entsprechende Funktion würde man so
schreiben:
                              A : (, b)  A  A(, b)    b

Funktionen von mehreren Variablen kommen in der Natur häufig vor. Zum Beispiel hängt die
Höhe z eines Wellenbergs (im Meer) von der Position ab, die mit den Koordinaten x und y
festgelegt wird, aber auch von der Zeit t. Es ist also z = f (x, y, t).

Falls die Zeit reicht, werden uns Funktionen von 2 Variablen beim Thema "lineare
Optimierung" begegnen. Andernfalls sollten Sie einfach nicht allzu erstaunt sein, wenn Sie
z.B. an der Universität einmal auf derartige Funktionen treffen.
Die affine Funktion                                                                       Seite 12



1.7 Funktionen, deren Funktionswerte Punkte sind

Eine Funktion kann auch jeder Zahl t einen Punkt (x/y) der Ebene oder einen Punkt (x/y/z) des
Raums zuordnen. Solche Funktionen benutzt man zur Beschreibung geometrischer Objekte
wie Geraden (insb. im Raum), Kreise, Ellipsen, Spiralen, usw. In der Physik beschreibt man
mit ihnen die Bewegung von Körpern in einer Ebene oder im Raum, wobei t dann die Rolle
der Zeit übernimmt.

Derartige Funktionen zeichnet man anders als die Funktionen, die Sie bis jetzt kennen: Man
zeichnet lediglich alle Punkte (x/y) oder (x/y/z), die Funktionswert eines t sind, reserviert für
das t aber keine eigene Achse 2.

Solche Funktionen werden uns in der Vektorgeometrie begegnen. Man spricht dort zwar in
diesem Zusammenhang nicht von Funktionen, sondern von Parametergleichungen, aber
grundsätzlich lassen sich Parametergleichungen auch als Funktionen auffassen.

Sogar eine Funktion, die jedem Wertepaar (s,t) einen Punkt (x/y/z) zuweist, werden wir
kennenlernen: Es ist dies die Parametergleichung einer Ebene im Raum.




2
    Falls es sich um Punkte im Raum handelt, fertigt man perspektivische Bilder an.
2 Die affine Funktion

2.1 Definition

Auch wenn die affine Funktion im Titel in der Einzahl erscheint: Jede Funktion, die die Form

                                                  f : x  y = f(x) = m x + b

hat (wobei m und b beliebige reelle Zahlen sind), wird als affine Funktion bezeichnet.
Beispiele sind also

       y = 2x + 1                (m = 2, b = 1)
                  2                       2
       y=             x–6       (m =  , b = -6)
                  3                       3
       y=x–1                     (m = 1, b = -1)
                 3                         3
       y=       x               (m =  , b = 0)
                 2                         2
       y = -4                    (m = 0, b = -4)
       y=0                       (m = 0, b = 0)

In der Schule wird diese Art von Funktion häufig auch als lineare Funktion bezeichnet. Diese
Bezeichnung ist aber falsch. Eine affine Funktion ist nur dann linear, wenn b = 0 ist. Anders
gesagt: Lineare Funktionen haben die Gleichung y = m x.

2.2 Der Graph der affinen Funktion

Der Graph jeder affinen Funktion ist immer eine Gerade. Um das einzusehen, berechnen wir
(rein algebraisch) die mittlere Steigung der Funktion y = f(x) = m x + b in einem beliebigen
Intervall [x1, x2]. Das geht so:

Zum x-Wert x1 gehört der y-Wert y1 = m x1 + b. Zum x-Wert x2 gehört der y-Wert y2 = m x2
+ b. Die mittlere Steigung ist daher

                        y2  y1 m  x2  b  (m  x1  b) m  x2  b  m  x1  b m  x2  m  x1 m  ( x2  x1 )
    m f [ x1 , x2 ]                                                                                          m
                        x2  x1          x2  x1                  x2  x1             x2  x1        x2  x1

In Worten: Die mittlere Steigung einer affinen Funktion ist immer gleich m! Eine Kurve mit
überall gleicher mittlerer Steigung kann aber nur eine Gerade sein. Zusammengefasst:

        Der Graph der affinen Funktion y = f(x) = m x + b ist eine Gerade mit der Steigung m.

Wenn Ihnen das alles zu schnell gegangen ist, müssen Sie den Abschnitt 1.4 noch einmal
lesen.




                                                               13
Die affine Funktion                                                                                                       Seite 14


Wie kann man am Graphen die Konstante3 b ablesen? Setzt man für x den Wert 0 ein, erhält
man y = m 0 + b = b. Der Punkt (0/b) ist also ein Punkt des Graphen, der übrigens immer auf
der y-Achse liegt (wegen x = 0) und von der x-Achse den Abstand b hat. Im Zusammenhang
mit dieser Abstandsüberlegung und der Lage auf der y-Achse nennt man b auch den y-
Achsenabschnitt der Gerade.

Die nebenstehende Zeichnung zeigt                            y
die affine Funktion y = m x + b
allgemein. m ist die Steigung des                                                                           P2(x2/y2 )
Graphen; sie kann mit einem
Steigungsdreieck zwischen zwei
beliebigen Punkten P1 und P2 des                                                                                     y=y2 - y1
Graphen berechnet werden. b kann                                                 P1(x1/y 1)
einerseits als die y-Koordinate des
Punktes angesehen werden, in dem
                                                                                              x=x2 - x1
der Graph die y-Achse schneidet,
                                                                                                               y y2  y1
andererseits ist es die Länge des                                                                       m       
Abschnitts auf der y-Achse zwischen                              b                                             x x2  x1
dem Nullpunkt (0/0) und diesem                                   b
Schnittpunkt; daher die Bezeichnung                                                                                           x
y-Achsenabschnitt.




            y                                                    y                              y

                                                                     1
                                                                         1
                                                                             x




                1                                                                                   1
                    1                                                                                   1
                                    x                                                                                     x




           y = 2x + 1                      y=  x–6
                                                         2                                      y=x–1
                                                         3

                        y                    y                                                  y



                                                 1                                                  1
                                                     1                                                  1
                            1                                                x                                            x
                                1
                                    x




            y=  x
                                3                y = -4                                                 y=0
                                2
    Beispiele affiner Funktionen und ihrer Graphen. Achten Sie auf die Bedeutung der
    Vorzeichen bei Steigung und y-Achsenabschnitt! Der Graph der letzten Funktion, y = 0,
    liegt auf der x-Achse und ist daher nicht so gut zu sehen.


3
 Wenn Sie das Wort Konstante nicht kennen: Das ist eine Zahl, die durch einen Buchstaben dargestellt wird,
deren Wert aber immer gleich ist. Das Gegenstück ist die Variable. Variablen bekommen Buchstaben aus dem
Schluss des Alphabets (x, y, z), Konstanten Buchstaben aus dem Anfang des Alphabets (a, b, c, …).
Die affine Funktion                                                                     Seite 15



2.3 Schnittpunkt zweier Geraden

Zwei Geraden haben
 genau einen Schnittpunkt, wenn sie verschiedene Steigungen haben
 keinen Schnittpunkt, wenn sie die gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte
  haben (sie verlaufen dann parallel)
 unendlich viele Schnittpunkte, wenn sie die gleiche Steigung und den gleichen y-
  Achsenabschnitt haben (sie sind dann identisch; man sagt auch: Die Geraden fallen
  zusammen)

Man kann also den Geraden anhand ihrer Gleichungen sofort ansehen, welcher Fall vorliegt.

   Beispiele:
    Die Geraden y = 4x – 2 und y = 4x + 2 verlaufen parallel und haben keinen
      gemeinsamen Schnittpunkt.
    Die Geraden y = 4x – 2 und y = 2x – 2 haben genau einen gemeinsamen Schnittpunkt.
    Die Geraden y = 4x – 2 und y = 4x – 2 fallen zusammen.

Nur im ersten Fall (genau ein Schnittpunkt, unterschiedliche Steigungen) ist es interessant,
den Schnittpunkt zu berechnen. Der Schnittpunkt ist derjenige Punkt, welcher beide
Geradengleichungen erfüllt. Wie man ihn findet, zeigt das folgende Beispiel.

   Beispiel: Gesucht ist der Schnittpunkt der Geraden y = 4x – 2 und y = 2x – 8. Wenn wir
   die (noch unbekannten) Koordinaten des Schnittpunkts xS und yS nennen, dann gilt
   einerseits yS = 4xS – 2 (denn der Schnittpunkt ist ein Punkt der ersten Geraden) und
   andererseits yS = 2xS – 8 (weil der Schnittpunkt auch ein Punkt der zweiten Geraden ist).
   Daraus folgt, dass 4xS – 2 = 2xS – 8 sein muss, denn beide Ausdrücke ergeben yS, die y-
   Koordinate des Schnittpunkts. Löst man diese Gleichung auf, erhält man:

                                       4xS – 2 = 2xS – 8
                                           2xS = -6
                                            xS = -3

   Der Schnittpunkt hat also die x-Koordinate -3. Die y-Koordinate erhält man durch
   Einsetzen: yS = 4xS – 2 = 4  (-3) – 2 = -14. Zur Kontrolle kann man überprüfen, dass
   man beim Einsetzen von xS = -3 in die zweite Gleichung yS = 2xS – 8 ebenfalls -14
   erhält. Das ist der Fall, den 2  (-3) – 8 = -14.

   In der Praxis macht sich leider niemand die Mühe, die Schnittpunktskoordinaten mit xS
   und yS zu bezeichnen. Man würde daher das gleiche Problem einfach so lösen:

                                        4x – 2 = 2x – 8
                                            2x = -6
                                             x = -3
                                y = 4x – 2 = 4  (-3) – 2 = -14
                               (Test: 2x – 8 = 2  (-3) – 8 = -14)

   Das ist insofern bedauerlich, als nun x und y einerseits die Funktionsvariablen
   bezeichnen und andererseits die Schnittpunktskoordinaten darstellen. Wir müssen damit
   leben.
Die affine Funktion                                                                      Seite 16



2.4 Bestimmung der Geradengleichung aus 2 gegebenen Punkten

Das Problem, durch zwei Punkte eine Gerade zu ziehen, ist geometrisch gesehen ziemlich
einfach: Man nehme ein Lineal und einen Bleistift usw. usf. Rechnerisch braucht es ein wenig
mehr Arbeit. Das Verfahren lässt sich am besten an einem Beispiel erklären.

   Beispiel: Gesucht ist die Gleichung derjenigen affinen Funktion, deren Graph durch die
   Punkte (4/7) und (-8/13) geht.

   Lösung: Die affine Funktion hat eine Gleichung in der Form y = m  x + b. Das Problem
   ist gelöst, wenn wir m und b bestimmt haben.

   Da der Punkt (4/7) zum Graphen gehört, erfüllen seine Koordinaten die Funktions-
   gleichung. Es ist also 7 = m  4 + b. Da ausserdem auch der Punkt (-8/13) die
   Funktionsgleichung erfüllt, ist 13 = m  (-8) + b. Formt man die beiden Gleichungen ein
   wenig um, erhält man b = 7 – 4m (aus der ersten Gleichung) und b = 13 + 8m (aus der
   zweiten Gleichung). Da das b der ersten Gleichung dasselbe b ist wie das der zweiten
   Gleichung, kann man gleichsetzen:

                                       7 – 4m = 13 + 8m
                                           -6 = 12m
                                             1
                                            - =m
                                             2
                                                         1
                                b = 7 – 4m = 7 - 4(- ) = 9
                                                         2
                                                          1
                             (Test: 13 + 8m = 13   + 8(-     ) = 9)
                                                          2
   Rechnerisch ist das Problem also mit der Schnittpunktsuche verwandt.

   Es gibt noch eine zweite Methode, um das Problem zu lösen: Man bestimmt zunächst
   die Steigung mit Hilfe der Beziehung
                                            y y2  y1
                                       m     
                                            x x2  x1
   Im vorliegenden Beispiel erhält man
                                       13  7   6      1
                                  m               
                                        8  4  12    2
                                                                             1
   Nun weiss man bereits, dass die Geradengleichung die Form y = - x + b hat. Wieder
                                                                             2
                                                                                   1
   gilt, dass der Punkt (4/7) die Funktionsgleichung erfüllt, und somit ist 7 = -  4 + b.
                                                                                   2
   Auflösen nach b liefert b = 9. Diese Lösungsmethode braucht zwar etwas weniger Platz
   zum erklären, sie ist aber nicht unbedingt schneller.

Beide Lösungsverfahren versagen, wenn                         y
beide Punkte die gleiche x-Koordinate                                                  Diese Gera-
haben. Das ist aber kein Unglück, denn                                                 de hat keine
                                                                          (3/2)        Funktions-
wenn beide Punkte die gleiche x-                                  1
                                                                      1                gleichung!
Koordinate haben, verläuft die Gerade                                              x
                                                                                       Eine
senkrecht und ihre Steigung wäre                                          (3/-1)       Gleichung
unendlich. Ausserdem ist eine solche                                                   hat sie aber
Gerade kein Funktionsgraph.                                                            trotzdem,
                                                                                       nämlich
                                                                                       x = 3.
Die affine Funktion                                                                          Seite 17



2.5 Weitere Formen der Geradengleichung

In diesem Abschnitt leiten wir einige Formeln her, mit deren Hilfe sich die Gleichung einer
affinen Funktion besonders einfach berechnen lässt, wenn die richtigen Grössen gegeben sind.
Sie sind so beschaffen, dass man die gegebenen Grössen direkt einsetzen kann und dann
durch Auflösen nach y die Funktionsgleichung erhält.

Diese Formeln werden als Formen der Geradengleichung bezeichnet. Auch die Funktions-
gleichung y = mx + b selbst ist eine Form der Geradengleichung, und zwar die Hauptform.

2.5.1 Punkt-Steigungsform

Häufig kommt es vor, dass man von einer Geraden die Steigung und einen Punkt des Graphen
kennt. Beispiele:

     Die Gerade beschreibt die Bewegung eines Autos, das mit konstanter Geschwindigkeit v =
      60 km/h fährt. Zur Zeit t1 = 1.2 h befindet es sich am Ort s1 = 4 km4. In diesem Fall ist die
      Steigung der Geraden 60 km/h, und der gegebene Punkt ist (1.2 h / 4 km).
                                                     y
     In einer Telefonzelle bezahlt man für
      die ersten 2 Minuten pauschal 60           160

      Rp.,      danach      pro       weitere    140
      Gesprächsminute 10 Rp. Der Zusam-
                                                 120
      menhang zwischen Gesprächsdauer
      und Preis sieht dann so aus wie            100

      rechts dargestellt, wobei x die Zeit in     80
      Minuten und y den Preis in Rappen
                                                  60
      bedeutet. Nach den ersten 2 Minuten
      wird der Zusammenhang durch eine            40

      affine Funktion beschrieben, deren          20
      Steigung 10 Rp. / min beträgt, und
                                                                                               x
      die durch den Punkt (2 min / 60 Rp.)               1  2   3   4    5    6 7    8   9 10
      geht.
     In der 3. Klasse werden wir                                      y
      behandeln, wie man mit der Methode
      der Differenzialrechnung die mo-
      mentane Steigung einer Funktion in
      einem bestimmten Punkt berechnet.
      Damit wird es möglich, die                                          1     P(2/0.5)
      Gleichung einer Tangente an den                                       1
                                                                                                 x
      Graphen      einer     Funktion      zu
      berechnen. Das Beispiel rechts zeigt
      die Funktion y = 1/x, sie hat im Punkt
      P(2/0.5) die Steigung -0.25. Die
      Tangente geht daher ebenfalls durch
      P und hat die gleiche Steigung.

Wie lässt sich nun allgemein die Gleichung einer Geraden mit der Steigung m und den
Koordinaten eines Punktes P(x1/y1) schreiben? Bevor wir an diese Frage herangehen, erinnern

4
    Denken Sie daran, dass man sich Ortsangaben wie Kilometermarkierungen vorstellen muss!
Die affine Funktion                                                                          Seite 18


wir uns daran, wozu eine Funktionsgleichung überhaupt da ist: Sie gibt für jeden Punkt (x/y)
des Graphen an, wie die y-Koordinate aus der x-Koordinate berechnet wird. Die Gleichung,
die wir suchen, muss also folgende Grössen miteinander verknüpfen:
 x- und y-Koordinate eines beliebigen Punktes der Gerade
 Die gegebenen Koordinaten x1 und y1 des Punktes P
 Die Steigung m
                                                 y
Das nebenstehende Bild hilft, diesen                                             (x/y)
Zusammenhang zu sehen: Egal, wie der
Punkt (x/y) gewählt wird, gilt immer der
Zusammenhang                                                                             y = y – y1
             y  y1 y
                        m.
             x  x1 x                                                  x = x – x1
                                                             P(x1/y1)
                                                     1
Wir multiplizieren mit x – x1 und erhalten               1
                                                                                                  x

              y – y1 = m(x – x1)

Dies ist die gesuchte Punkt-Steigungsform
der Geradengleichung.

Was man nun mit dieser Punkt-Steigungsform anfangen kann, zeigt das folgende Beispiel.

   Beispiel:
   Von einer Geraden kennt man den Punkt P(-3/5) und die Steigung m = 0.8. Gesucht ist
   ihre Gleichung in der Hauptform.
   Lösung: In der Punkt-Steigungsform ist x1 = -3, y1 = 5 und m = 0.8 einzusetzen. Das
   ergibt
                                    y – 5 = 0.8  (x – (-3))
   Auflösen:
                                      y – 5 = 0.8 x + 2.4
                                        y = 0.8 x + 7.4

   Zu beachten ist, dass so, wie diese Aufgabe gestellt ist, für x und y keine Zahlen
   eingesetzt werden! Gesucht ist ja die Gleichung der Geraden, und in dieser müssen x
   und y als Variablen vorkommen. Erst wenn jetzt noch weitere Grössen gesucht sind
   (z.B. die Nullstelle der Gerade), erhält man für x und y Zahlenwerte.


2.5.2 Achsenabschnittsform

Die Achsenabschnittsform der Geradengleichung ist dann praktisch, wenn man zwei ganz
spezielle Punkte der Geraden kennt, nämlich diejenigen, bei denen eine Koordinate null ist.
Das ist etwa in den folgenden Beispielen der Fall:
 Ein Behälter, der am Anfang 20  Wasser enthält, läuft gleichmässig aus. Nach 130 s ist er
   leer. Bekannt sind in diesem Fall die Punkte (0 s / 20 ) und (130 s / 0 ).
 Ein Fahrzeug bremst innert 10 s von 20 m/s gleichmässig bis zum Stillstand ab. Bekannt
   sind jetzt die Punkte (0 s / 20 m/s) und (10 s / 0 m/s).
Die Punkte, bei denen eine Koordinate null ist, sind die Schnittpunkte der Geraden mit den
Koordinatenachsen. Die Abstände dieser Schnittpunkte vom Nullpunkt des Koordinaten-
Die affine Funktion                                                                      Seite 19


systems werden als Achsenabschnitte bezeichnet. Zu den Schnittpunkten (0/b) und (a/0)
gehören also die Achsenabschnitte b (y-Achsenabschnitt) und a (x-Achsenabschnitt).

                                                             y
                                              b
Die Steigung der Gerade ist in diesem Fall     ,
                                              a
                                                               (0/b)
und der y-Achsenabschnitt ist eben b. Die
Gleichung der Geraden ist somit
                        b
                   y   xb                              b
                        a
Diese Form der Gleichung ist allerdings nicht
besonders schön. Daher formt man sie noch ein                  1
                                                                   1             (a/0)
wenig um:                                                                                   x
                                                                      a
                 x        b       x
          y   b  b ( x  b !)
                 a        a       a
               x
        y  (  1)b (b ausklammern)
               a
       y      x
             1 (durch b dividieren)
       b      a
         x y
            1         Das ist die Achsenabschnittsform der Geradengleichung.
         a b

   Beispiel
   Eine Gerade hat die Achsenabschnitte a = 6 und b = -9. Gesucht ist die Hauptform der
   Geradengleichung.
                                                                        x y
   Lösung: In der Achsenabschnittsform lautet die Geradengleichung             1 . Wir
                                                                        6 9
   multiplizieren mit dem Hauptnenner (= kgV von 6 und 9), also mit 36:
                                    6 x  4 y  36 | -6x
                                  -4y = -6x + 36 | : (-4)
                                              3
                                         y  x9
                                              2

Um den Graphen einer Gerade zu zeichnen, ist es oft praktisch, wenn man die
Achsenabschnitte kennt.

                         2
   Beispiel: Die Gerade y x  4 ist mit Hilfe der Achsenabschnitte zu zeichnen.
                         3
   Lösung: Durch Umformungen wird die Geradengleichung in die Achsenabschnittsform
   überführt:
                                       8           8
                                   y  x4 | x
                                       3           3
                                  8
                                 x  y  4 |: (4)
                                   3
                                      2      y
                                        x      1
                                      3     4
                                       x     y
                                               1
                                       3   4
                                        2
Die affine Funktion                                                                                  Seite 20


                                       3                       y
   Die Achsenabschnitte sind also a      1.5 und b                    1        2    3
                                                                                                     x
                                       2
   = -4. Das Bild zeigt den Graphen der Geraden.
                                                                   -1



                                                                   -2



                                                                   -3



                                                                   -4


                                                               y
                                                                        1        2    3
                                                                                                     x


                                                                   -1

2.6 Senkrechte Geraden
                                                                   -2



Welche Beziehung besteht zwischen den Steigungen zweier senkrechter Geraden?
                                                          -3



Rechts dargestellt ist eine Gerade g                   y           -4

sowie die Gerade g, die entsteht,
indem g um 90° um das Drehzen-
trum S gedreht wird. Die Rollen                                xy
der Katheten im Steigungsdreick
werden dabei vertauscht: Aus y                                                 yx
wird -x (hier kommt es noch zu
einem Vorzeichenwechsel) und                                                                    y
aus x wird y.                                           1
                                                               1            S        x
                                                                                                         x
Die Steigung der Geraden g ist
                  y
             m      ,                                                                     g
                  x
die Steigung der Geraden g ist                  g
        y     x      x      1
 m                   .                         y
        x  y       y      m

   Beispiel:                                                   xy
                        3                                        yx
   Die Gerade g : y =  x + 6 wird um 90° um den Punkt S(4/3)  g gedreht. Gesucht ist
                        4
   die Gleichung der gedrehten Geraden.
                                                                             y
                                                          1    1    4
   Lösung: Die Steigung der gedrehten Geraden ist m =    3  . S(4/3) ist nicht
                                                        1
                                                          m1  -     3 x
                                                                            S
                                                                            4                            x
   nur ein Punkt von g, sondern auch ein Punkt von g. Wir können daher die Punkt-
   Steigungsform der Geradengleichung aufstellen:                         g
                                                4
                                   g  : y  3  ( x  4)
                                                  g
                                                3
   Die Hauptform der Gleichung von g erhalten wir durch Auflösen nach y:
                             4                4   16      4   7
                          y  ( x  4)  3  x   3  x 
                             3                3    3      3   3
3 Die trigonometrischen Funktionen
Kein anderes Gebiet der Mathematik hat so viele Anwendungen in Wissenschaft und Technik
wie die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens. Einige davon sind die
folgenden:

    Vermessungen. Das Vermessen von Gebäuden und Feldern ist wohl das älteste
     Anwendungsgebiet der Trigonometrie. Im antiken Ägypten etwa mussten die Grenzen
     der Felder nach jedem Nilhochwasser wieder neu ausgemessen werden. Auch der genaue
     quadratische Grundriss der Pyramiden erforderte sehr genaue Messmethoden für Längen
     und Winkel (die Seitenlängen der Cheopspyramide weichen bei einer Länge von 227.5 m
     um nur 10 cm voneinander ab!), und um die Spitze auf ihrer Höhe von 146.6 m genau in
     der Mitte zu platzieren, musste der Seitenwinkel von 52° an allen vier Kanten genau
     eingehalten werden.
     Bereits im antiken Griechenland wurde der Erdumfang erstmals aufgrund der verschie-
     denen Sonnenstände an Orten unterschiedlicher geographischer Breite5 ermittelt. Dies
     ermöglichte den Seefahrern bereits in der Antike, auf offenem Meer ihre geographische
     Breite anhand des Sonnenstands und des Kalenders zu bestimmen. Zur Ermittlung der
     geographischen Länge waren genaue Uhren nötig, die erst den Seefahrern des 18. Jahr-
     hunderts zur Verfügung standen.
     Die Vermessung ganzer Länder und Kontinente, also die Kartographie, beruhte vor der
     Verfügbarkeit von Flug- und Satellitenaufnahmen ganz auf der Methode der
     Triangulation und ist auch heute noch teilweise darauf angewiesen. Bei dieser Methode
     tastet man sich von zwei Punkten mit bekannter Lage zu einem dritten vor, indem man
     ihn von beiden bekannten Punkten her anpeilt und die Winkel misst.
     Das heutige Verfahren zur Bestimmung der geographischen Lage eines Punktes ist das
     Global Positioning System (GPS). Dabei wird die Position eines Punktes auf der Erde mit
     Hilfe von Satelliten bestimmt, die so über der Erde verteilt sind, dass man zu jedem
     Zeitpunkt und an jedem Ort der Erde zumindest vier von ihnen anpeilen kann. Aus den
     bekannten Positionen dieser Satelliten und ihren Abständen (die aus der Laufzeit der
     Funksignale bestimmt wird), lassen sich die Koordinaten jedes Ortes der Erde (und auch
     die Höhe über dem Meer) auf weniger als 1 m genau bestimmen. Die Berechnungen sind
     allerdings komplizierter als bei der herkömmlichen Triangulation, da sie nicht auf
     Dreiecken, sondern auf räumlichen Gebilden mit 4 Ecken (so genannten Tetraedern)
     beruhen.
   Schwingungen und Wellen. Verfolgt man den Ort s einer Masse, die an einer Feder
    schwingt, als Funktion der Zeit t, so ist der Zusammenhang durch eine Sinus- oder
    Cosinusfunktion gegeben. So genannte Sinusschwingungen sind bei jeder Art von
    Schwingung oder Welle die elementarste Bewegungsform, und daher sind Sinus- und
    Cosinusfunktionen bei der Beschreibung aller Arten von Schwingungen und Wellen
    grundlegend, seien es nun Musikinstrumente, Schallwellen, Schwingungen von Atomen
    und Molekülen, Lichtwellen, Radiowellen, Mikrowellen (oder sonstige elektromagne-
    tische Wellen), Wasserwellen, Seilwellen oder was auch immer. Jeder Klang kann erzeugt
    werden, indem man reine Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz (wie sie z.B.
5
  Die geographische Breite gibt an, wie weit nördlich bzw. südlich sich ein Punkt auf der Erde befindet. Z.B.
liegt der Nordpol auf 90° nördlicher geographischer Breite, Basel auf 47.5° nördlicher geographischer Breite, der
Äquator auf 0° geographischer Breite, und der Südpol auf 90° südlicher geographischer Breite. Entsprechend
gibt die geographische Länge an, wie weit westlich oder östlich ein Punkt auf der Erde liegt. Greenwich bei
London liegt definitionsgemäss auf 0° geographischer Länge, Orte westlich davon liegen auf 0° bis 180°
westlicher Länge, Orte östlich davon auf 0° bis 180° östlicher geographischer Länge. Basel liegt auf 7.5°
östlicher Länge.

                                                       21
Die trigonometrischen Funktionen                                                         Seite 22


    von Stimmgabeln erzeugt werden), überlagert. Auf diese Weise erzeugt man in
    Synthesizern beliebige Klänge. Umgekehrt werden Klänge (z.B. Musikaufnahmen)
    elektronisch in reine Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz zerlegt, womit sich
    z.B. Rauschen eliminieren lässt, aber auch gewollte Verzerrungen eingebaut werden
    können. Auch die Komprimierung von Audiodaten (MP3 etc.) basiert auf der Zerlegung
    des Klanges in Sinusschwingungen.
   Kreisbewegungen. Bewegungen auf Kreis- und Ellipsenbahnen, z.B. die Planeten-
    bewegungen, werden mit trigonometrischen Funktionen beschrieben. Solche Daten sind
    die Grundlage für die Berechnungen von Mondphasen, Sonnenauf- und Untergangszeiten,
    Flut- und Ebbezeiten usw.
   Wechselstrom und Transformatoren. Im Gegensatz zu einer Batterie, bei der Plus- und
    Minuspol fest gegeben sind (und wo demnach der Strom stets vom Plus- zum Minuspol
    fliesst), wechselt der Strom aus der Steckdose 100 mal pro Sekunde seine Flussrichtung.
    Die Spannungsangabe 230 V ist also nur ein Mittelwert, in Wirklichkeit hat die Spannung
    einen zeitlichen Verlauf, der durch eine Sinusfunktion beschrieben wird. Beide Pole sind
    50-mal pro Sekunde der Pluspol und 50-mal der Minuspol (Man sagt daher auch, die
    Frequenz des Wechselstroms sei 50 Hertz).
    Der Grund, warum aus der Steckdose Wechselstrom und nicht Gleichstrom kommt, liegt
    darin, dass Wechselstrom sich leicht transformieren lässt, d.h., man kann seine Spannung
    leicht ändern. Das ist wichtig, weil man Strom über Leitungen nur dann transportieren
    kann, wenn in diesen Leitungen die Spannung sehr hoch ist. Hochspannungsleitungen
    haben daher Spannungen bis 380 000 Volt. Andererseits wäre die Hochspannung einer
    Leitung in einer Steckdose äusserst gefährlich (man müsste sich einer Steckdose mit
    380 000 Volt nur auf einige Zentimeter nähern, um einen elektrischen Schlag zu
    bekommen).

3.1 Definitionen der trigonometrischen Funktionen

3.1.1 Geometrische Definitionen

Um eine Definition zu erhalten, die für jeden Winkel gültig ist, gehen wir folgendermassen
vor:
 1. Wir zeichnen in ein Koordinatensystem einen Kreis mit Radius r = 1 und Mittelpunkt
     M(0/0). Diesen Kreis nennen wir von nun an den Einheitskreis.
 2. Wir drehen die x-Achse um den Winkel  im positiven Drehsinn, also gegen den
     Uhrzeiger. Die gedrehte Gerade nennen wir h.
 3. Wir ziehen eine senkrechte Gerade durch den Punkt (1/0). (Diese Gerade hat die
     Gleichung x = 1.)
 4. Den Schnittpunkt von h mit dem Einheitskreis nennen wir A. Die Koordinaten von A sind
     per Definition cos  und sin , d.h., es ist A(cos /sin ).
 5. Den Schnittpunkt von h mit der Geraden x = 1 nennen wir B. Die y-Koordinate von B ist
     per Definition tan , d.h., es ist B(1/tan ). Da h für  = 90° und  = 270° zur Geraden
     x = 1 parallel ist, gibt es für diese Winkel keinen Schnittpunkt, und somit ist tan  für
      = 90° und  = 270° nicht definiert.

Je nach Grösse von  werden die Koordinaten von A und B positiv oder negativ. Die Bilder
auf S. 23 zeigt die vier Fälle, die auftreten, wenn  zwischen 0° und 360° liegt. Da sich an der
Konstruktion nichts ändert, wenn man  um ein Vielfaches von 360° vergrössert oder
verkleinert, kann man für Winkel ausserhalb des Intervalls [0°, 360°] folgende Vorschrift zur
Definition angeben: Ist  > 360°, so zieht man von  so oft 360° ab, bis der Winkel im Inter-
Die trigonometrischen Funktionen                                                                         Seite 23



                     y                                                         y
                                           B
                                   h

                                 A                     h
                                           tan                A
                         1                                                         1
                                 sin                      sin 
                                                                              
                                                   x                                                           x
                         cos                                      cos 
                                                                                                       tan 
                                                                                                   B
                                           x=1
                                                                                             x=1




                     y                                                         y




                                       B
                             h             tan 
          cos                                                            
                                                   x                               cos                        x
  sin 
               1                                                                           sin 
                                                                                       1               tan 
      A
                                                                                            A
                                           x=1                                                   B
                                                                                             x=1 h


vall [0°, 360°] liegt, und bestimmt mit dem so erhaltenen Winkel die Funktionswerte. Ist  <
0°, so addiert man zu  so oft 360°, bis der Winkel im Intervall [0°, 360°] liegt, und bestimmt
mit dem so erhaltenen Winkel die Funktionswerte.

Diese Definitionen haben den Vorteil, dass sie ziemlich anschaulich sind. Um die
Funktionswerte von sin, cos und tan zu bestimmen, muss man sie allerdings abmessen. Im
folgenden werden wir sehen, wie die Funktionswerte berechnet werden.



3.1.2 Algebraische Definitionen

Um die trigonometrischen Funktionen sin und cos zu berechnen, berechnet man zunächst die
Länge rad des Kreisbogens des Einheitskreises k, der zum Winkel  gehört. Da zu 360° die
Die trigonometrischen Funktionen                                                                   Seite 24


                                                                                 y
                                          2
Kreisbogenlänge 2 gehört, gilt rad           und somit
                                         360
         
 rad         . Man nennt rad auch das Bogenmass des
        180                                                                         1      rad

Winkels . rad steht für Radiant.                                                                    x

Nun gelten folgende Formeln:

               3        5      7      9     11
sin    rad   rad
                      rad  rad  rad  rad  ...  ...  ...
                3!        5!      7!      9!    11!
                                                                                 y
            2
                      4
                              6
                                      8
                                             10
cos   1  rad  rad  rad  rad  rad  ...  ...  ...
            2!        4!      6!      8!     10!

Hierbei ist 2! = 21, 3! = 321, 4! = 4321 usw.6 Für die Berechnung von tan  gibt es eine
                                                                              1       x

ähnliche Folge, die aber komplizierter ist. Diese wird allerdings selten gebraucht, da (wie wir
                                                                                          x
                              sin 
noch sehen werden) tan            ist.
                              cos
Vor der Erfindung des Taschenrechners war es noch eine äusserst mühsame Beschäftigung,
den Sinus oder Cosinus eines Winkels genau auszurechnen. Daher gab es Tabellen und
mechanische Hilfsmittel wie den Rechenschieber.

Es ist nicht leicht, zu beweisen, dass die obigen Formeln wirklich das selbe ergeben wie die
geometrischen Definitionen von sin, cos und tan. Wer sich nicht mit höherer Mathematik
beschäftigen will, muss daher einfach akzeptieren, dass es so ist. Zumindest erklären die
obigen Formeln aber, wie man einen Taschenrechner so programmiert, dass er sin, cos und
tan berechnen kann.

3.2 Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen

3.2.1 Periodizität

Wie aus der geometrischen Definition der trigonometrischen Funktionen sofort abgeleitet
werden kann, wiederholen sich die Funktionswerte zumindest alle 360°. Es gilt also

                                        sin( + 360°) = sin 
                                        cos( + 360°) = cos 

für jeden Winkel . Im Falle des Tangens kann man erkennen, dass sich der Funktionswert
sogar alle 180° wiederholt. Es gilt also für jeden Winkel , für den tan() definiert ist, dass

                                    tan( + 180°) = tan 
Wegen dieser Eigenschaft werden die trigonometrischen Funktionen periodisch genannt.
Allgemein nennt man eine Funktion f(x) periodisch, wenn sie sich regelmässig wiederholt,
wenn es also eine Zahl a gibt, so dass für jedes x die Beziehung f(x + a) = f(x) gilt. a ist dann
die Periode der Funktion f. sin und cos haben somit die Periode 360°, tan hat die Periode
180°.
6
 n! wird "n Fakultät" gesprochen. Sie finden die Fakultätsfunktion auch auf Ihrem Taschenrechner. Die
Berechnung von 69! ist ein beliebter Geschwindigkeitstest für den Taschenrechner.
Die trigonometrischen Funktionen                                                                                       Seite 25




3.2.2 Beziehungen untereinander
                                                                              y
In der Skizze rechts sind das fett umrandete Dreieck                                                           B

und das grau unterlegte Dreieck ähnlich, d.h., das eine
ist eine Vergrösserung des anderen. Der Seite tan  im                                             A
                                                                                                               tan 
fett umrandeten Dreieck entspricht die Seite sin  im                             1
                                                                                               sin 
grau unterlegten Dreieck, und der horizontalen Seite im
                                                                                                                      x
fett umrandeten Dreieck mit der Länge 1 entspricht die                            cos 
Seite cos  im grau umrandeten Dreieck. Da die
Verhältnisse sich entsprechender Seiten gleich sind, ist
                      tan  sin                                                                               x=1
                                 .
                         1   cos
Diese Beziehung gilt auch, wenn  nicht zwischen 0°
und 90° liegt. Es ist für alle Werte, für die tan 
                                                                                      y
überhaupt definiert ist,

                                   sin 
                        tan  
                                   cos                                                                1
                                                                                  +90°      sin 
                                                               sin ( +90°)
                                                                                                                           x
                                                                           cos (+90°) cos 
Vergrössert man wie rechts gezeigt den Winkel  um
90°, so erkennt man, dass sin( + 90°) = cos  ist.
Ausserdem erkennt man, dass cos( + 90°) = -sin  ist.
Auch diese Beziehungen sind allgemein. Es gilt immer

                   sin( + 90°) = cos 
                   cos( + 90°) = -sin                                                            y



Zwei weitere wichtige Beziehungen zeigt wiederum die Skizze
rechts:                                                                                                    1
                                                                                                   90°–           sin 
                   sin(90° – ) = cos                                                                 
                                                                                                       cos                       x
                                                                                                                                      y


                   cos(90° – ) = sin 
                                                                                      cos(90°–




                                                                                                   90°–



Es gibt eine ganze Reihe weiterer ähnlicher Beziehungen, die in
                                                                                               sin(90°–




der Formelsammlung auf S. 6 (Abschnitt "Umwandlungen"
unten in der Mitte) zusammengefasst sind.
                                                                                                        x




sin  und cos  bilden die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck mit
der Hypotenuse 1. Gemäss dem Satz von Pythagoras ist daher (sin )2 +                                      1
                                                                                                                        sin 
(cos )2 = 12 = 1. In der Formelsammlung auf S. 6 steht dafür:                                             
                                                                                                           cos 
                                           sin2 + cos2 = 1
                                                                                                                        sin 
Die Schreibweise sin2 für (sin )2 erspart ein Paar Klammern. Man kann sie bei allen
                                                                          
                                                                           cos 
trigonometrischen Funktionen und mit jedem natürlichen Exponenten verwenden (also z.B.
tan5).
Die trigonometrischen Funktionen                                                                       Seite 26


Auf S. 6 der Formelsammlung finden sich noch weitere, nicht ganz so wichtige Beziehungen.


            Lernen Sie die eingerahmten Beziehungen dieses Abschnitts auswendig!


3.2.3 Besondere Werte

Für  = 0°,  = 90°,  = 180° und  = 270° können die Funktionswerte der trigonometrischen
Funktionen direkt aufgrund der geometrischen Definitionen angegeben werden: sin 0° = 0,
cos 0° = 1, tan 0° = 0, sin 90° = 1, cos 90° = 0, tan 90° ist nicht definiert, sin 180° = 0,
cos 180° = -1, tan 180° = 0, sin 270° = -1, cos 270° = 0, tan 270° ist nicht definiert.

Für einige Winkel können die Werte der trigonometrischen Funktionen mit dem Satz von
Pythagoras berechnet werden. Besonders häufig braucht man die Funktionswerte zu  = 30°,
 = 45° und  = 90°.
                                                                           1
Die drei Skizzen rechts zeigen, wie diese Berechungen laufen: Für  =                g = sin 30°
30° ist g = sin 30° die halbe Seite eines gleichseitigen Dreiecks mit 
                                                                         a = cos 30°
                                         1
Kantenlänge 1, d.h., g = sin 30° =         .   Nach Pythagoras ist a2 + g2 = 1,
                                         2
                                        1             1     3     3   3
also a  cos30  1  g 2         1  ( )2     1                .
                                        2             4     4     4  2                     1
Für  = 45° sind g = sin 45° und a = cos 45° die Katheten eines
                                                                                                     g = sin 45°

rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks mit Hypotenuse 1. Da beide                    
                                                                                       a = cos 45°
Katheten gleich lang sind, ist a = g und demnach a2 + a2 = 1, also 2a2
                 1              1                                    1
= 1, bzw. a2 =       oder a =      . Es ist also sin 45° = cos 45° =    . Für
                 2               2                                    2              1
 = 60° läuft die Rechnung praktisch gleich wie für  = 30°. Man                         g = sin 60°
                  3              1                                                
findet sin 60° =    und cos 60° = .                                               a = cos 60°
                 2               2
                                                                                      sin 
Die Werte tan 30°, tan 45° und tan 60° kann man mit der Beziehung tan                     berechnen
                                                                                      cos
                         3   1
und findet tan 30° =              , tan 45° = 1 und tan 60° =     3.
                        3     3

   Die Funktionswerte von sin, cos und tan für 0°, 30°, 45°, 60° und 90° sind in der
   Formelsammlung auf S. 6 zusammengefasst. Diese Werte sind so wichtig, dass man sie
   auswendig wissen sollte!


3.2.5 Die Graphen und ihre Symmetrien

Die Abbildung auf S. 27 zeigt die Graphen von sin, cos und tan im Intervall [-360°,720°].

Der Graph der Sinusfunktion und der Cosinusfunktion gehen durch Verschiebung um 360°
nach rechts in sich selbst über, der Graph der Tangensfunktion schon durch eine
Verschiebung um 180°. Diese so genannte Translationssymmetrie tritt auf, weil die
trigonometrischen Funktionen periodisch sind.
Die trigonometrischen Funktionen                                                                        Seite 27



                                     y = sin
                                     y = cos
                                     y = tan

                                      3




                                      2




                                      1




                                                                                                             
     -360°   -270°    -180°   -90°    0°        90°    180°    270°    360°    450°     540°    630°




                                      -1




                                      -2




                                     sin
Die Graphen der Sinusfunktion cos und der Tangensfunktion gehen durch Punktspiegelung am
                                Algebraisch bedeutet diese so genannte Ursprungssymmetrie,
Nullpunkt in sich selbst über.tan
dass sin(-) = -sin(), bzw. tan(-) = -tan(). Der Graph der Cosinusfunktion ist symmetrisch
                                3
zur Ordinate7, d.h., es ist cos(-) = cos(). Man bezeichnet allgemein Funktionen mit der
Eigenschaft f(-x) = -f(x) als ungerade Funktionen, und Funktionen mit f(-x) = f(x) als gerade
Funktionen. Sinus und Tangens sind demnach ungerade Funktionen, Cosinus ist eine gerade
Funktion.
                                      2
Der Graph der Cosinusfunktion geht in den Graphen der Sinusfunktion über, wenn man ihn
um 90° nach rechts verschiebt. Algebraisch bedeutet das, dass cos() = sin( + 90°) (gut
durchdenken: die Gleichung sagt aus, dass man den Cosinus von  berechnen kann, indem
man  um 90° vergrössert und von dem so erhaltenen Winkel den Sinus berechnet.). Diese
                              1
Beziehung kennen wir bereits.

An den Graphen lassen sich noch folgende wichtige Beziehungen ablesen:                                       
     -360°   -270°    -180°   -90°    0°        90°    180°    270°    360°     450°    540°    630°
                                            sin(180° – ) = sin()
                                            cos(360° – ) = cos()

                                      -1

7
    Ordinate = vertikale Koordinatenachse. Das Gegenstück ist die Abszisse (horizontale Koordinatenachse).

                                      -2
Die trigonometrischen Funktionen                                                       Seite 28



3.3 Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen sind nicht in ihrem ganzen Definitionsbereich streng
monoton steigend oder fallend. Um sie umzukehren, muss man daher ihre Definitionsmenge
verkleinern:
  sin() ist streng monoton steigend im Intervall [-90°,90°]. Die Wertemenge ist [-1,1].
  cos() ist streng monoton fallend im Intervall [0°,180°]. Die Wertemenge ist [-1,1].
  tan() ist streng monoton steigend im Intervall [-90°,90°]. Die Wertemenge ist IR .

 Die zugehörigen Umkehrfunktionen heissen Arcussinus (arc sin), Arccuscosinus (arc cos)
 und Arcustangens (arc tan). Ihre Graphen zeigt das folgende Bild.
                                         = arc sin x
                                         = arc cos x
                                         = arc tan x



                                           90°


             -3         -2         -1      0°           1      2
                                                                           x

                                           -90°
 Sucht man nun die Lösungen einer Gleichung wie sin() = 0.5, so liefert die
 Umkehrfunktion mit  = arc sin(0.5) nur eine Lösung, in diesem Fall  = 30°. Eine weitere
 Lösung erhält man durch die Beziehung sin(180° – ) = sin(): Da sin(180° – 30°) =
 sin(30°) ist, muss 180° – 30° ebenfalls eine Lösung der Gleichung sin() = 0.5 sein. Es ist
 also 1 = 30° und 2 = 150°. Dadurch, dass man zu jeder Lösung noch 360° dazuzählen
 (oder 360° davon abziehen) darf, erhält man beliebig viele weitere Lösungen. In der Regel
 ist vorgegeben, aus welchem Intervall man die Lösungen sucht.

   Beim Lösen von Gleichungen wie sin() = y oder cos() = y erhält man eine erste Lösung
       1 = arc sin(y), bzw. 1 = arc cos(y), und eine zweite über eine der Beziehungen
                      sin(180° – ) = sin() und cos(360° – ) = cos().


   1. Beispiel: Gesucht sind die Lösungen der Gleichung cos() = 0.8 im Intervall
   [0°,360°].
   Lösung: 1 = arc cos(0.8) = 36.87. 2 folgt aus der Beziehung cos(360° – ) = cos(),
   man erhält 2 = 360° – 1 = 323.13°.

   2. Beispiel: Gesucht sind die Lösungen der Gleichung sin() = -0.866 im Intervall
   [0°,360°].
   Lösung: 1 = arc sin(-0.866) = -60°. 2 = 180° – 1 = 240°. 1 liegt allerdings nicht im
   gewünschten Intervall. Indem man 360° zu 1 addiert, erhält man 3 = 300°. Die
   gesuchten Lösungen sind 2 = 240° und 3 = 300°.

   3. Beispiel: Gesucht sind die Lösungen der Gleichung cos(2) = 0.5 im Intervall
   [-90°,90°].
   Lösung: 21 = arc cos(0.5) = 60°, also 1 = 30°. Falsch wäre nun der Schluss, dass 2 =
   360° – 1 ist. Der zweite Winkel ist so zu bestimmen, dass cos(22) = 0.5 ist! Die
Die trigonometrischen Funktionen                                                      Seite 29


   Beziehung cos(360° – ) = cos() muss nun so gelesen werden: cos(360° – 2) =
   cos(2). Es folgt daraus, dass 22 = 360° – 21 sein muss, also 22 = 360° – 60° = 300°
   und 2 = 150°. 2 liegt aber nicht im gewünschten Intervall. Da wir die Lösungen der
   Gleichung cos(2) = 0.5 suchen, müssen wir diesmal zu 22 360° addieren (bzw. davon
   subtrahieren), um weitere Lösungen zu bekommen. Wir erhalten auf diese Art 23 =
   22 – 360° = -60° und somit 3 = -30°.

   4. Beispiel: Gesucht sind die Lösungen der Gleichung sin( + 20°) = 0.7071 im
   Intervall [-180°, 180°].
   Lösung: 1 + 20° = arc sin(0.7071) = 45°, also 1 = 25°. Für 2 gilt wiederum nicht
   2 = 180° – 1, sondern 2 + 20° = 180° – (1 + 20°), woraus 2 = 115° folgt. Weitere
   Lösungen existieren nicht.

Anmerkung: Bei Gleichungen mit Tangens kommt man nur über die Gleichung tan( +
180°) = tan() auf weitere Lösungen.

   Beispiel: Gesucht sind die Lösungen der Gleichung tan(3) = 1.732 im Intervall
   [-90°,90°].
   Lösung: 31 = arc tan(1.732) = 60°  1 = 20°. 32 = 31 + 180°  2 = 80°. 33 =
   31 – 180°  3 = -40°. Weitere Lösungen würde man durch Gleichungen wie 34 =
   32 + 180° usw. finden, diese Lösungen liegen aber alle ausserhalb des gewünschten
   Intervalls.

3.4 Secans, Cosecans und Cotangens

Gelegentlich tauchen in Formelsammlungen neben den bekannten trigonometrischen
Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens noch die wenig gebräuchlichen Funktionen Secans
(sec), Cosecans (csc oder cosec) und Cotangens (cot) auf. Sie lassen sich alle leicht durch
Sinus und Cosinus ersetzen:
                                 1             1             cos
                       sec        , csc        , cot  
                               cos          sin            sin 

Wir werden Cotangens sehr selten und Secans und Cosecans überhaupt nie verwenden.


3.5 Trigonometrie in rechtwinkligen und gleichschenkligen
    Dreiecken

Um ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, braucht man nicht die Grössen aller Winkel
und die Längen aller Seiten zu kennen. Es genügt

 wenn man die Längen beider Katheten kennt
 wenn man die Länge eine Kathete und die Länge der Hypotenuse kennt
 wenn man die Länge der Hypotenuse und die Grösse eines Winkels (zusätzlich zum
  rechten Winkel) kennt.
 wenn man die Länge einer Kathete und die Grösse eines Winkels (zusätzlich zum rechten
  Winkel) kennt.
Die trigonometrischen Funktionen                                                                       Seite 30


Der Satz des Pythagoras erlaubt es auch, die Länge einer Seite zu berechnen, wenn die
Längen der anderen beiden Seiten bekannt sind. Im folgenden werden wir sehen, wie man mit
den trigonometrischen Funktionen die Längen der fehlenden Seiten berechnen kann, wenn
man die Länge einer Seite und die Grösse eines Winkels (zusätzlich zum rechten Winkel)
kennt. Auch wie man mit Hilfe der Arcusfunktionen arc sin, arc cos und arc tan von zwei
gegebenen Seiten die Winkel berechnet, wird in diesem Abschnitt gezeigt. Da man ein
gleichschenkliges Dreieck entlang seiner Symmetrieachse in zwei rechtwinklige Dreiecke
zerlegen kann, lassen sich diese Berechnungen auch auf gleichschenklige Dreiecke
übertragen.

3.5.1 Grundbegriffe in rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecken

3.5.1.1 Rechtwinklige Dreiecke
                                                                                     Hypotenuse
In rechtwinkligen Dreiecken heisst die
Seite, die dem rechten Winkel gegenüber          Kathete
liegt, Hypotenuse. Die anderen beiden
Seiten heissen Katheten.
                                                                 .
                                                                         Kathete
Die Seiten werden mit den Buchstaben a, b und c beschriftet, die Ecken mit A, B und C, die
Winkel mit  und  ( ist der rechte Winkel und wird mit einem Punkt bezeichnet). Dabei
gelten folgende Regeln:

     c ist immer die Hypotenuse
     a, b und c umlaufen das Dreieck im sogenannten positiven Drehsinn, das bedeutet im
      Gegenuhrzeigersinn.
     A und  liegen gegenüber von a, B und  liegen gegenüber von b. C liegt dort, wo der
      rechte Winkel liegt.

    Beispiel:

            B                                       B
                                                         
                               c                                             c
            a        richtig                        b           falsch


        C
                .                      
                                            A
                                                    C      .                                      
                                                                                                            A
                                   b                                             a

                                                    B
Warnung: Man stösst immer wieder auf                       
anders angeschriebene Dreiecke. Daher sollten                                a
Sie Formeln (z.B. a2 + b2 = c2) nicht mit
                                                    b
Buchstaben auswendig lernen, sondern mit
Worten. Im rechtwinkligen Dreieck rechts ist
a2 + b2 = c2 falsch.                                C
                                                           .                                      
                                                                                                        A
                                                                         c

Wenn Sie sich dagegen merken: (1. Kathete)2 + (2. Kathete)2 = (Hypotenuse)2, können Sie
sofort sagen, dass in diesem Dreieck die richtige Beziehung b2 + c2 = a2 ist.
Die trigonometrischen Funktionen                                                                                    Seite 31


Wenn man sich entweder auf  oder auf  bezieht, kann man bei den Katheten zwischen
Ankathete und Gegenkathete unterscheiden:
 Bezogen auf  ist b die Ankathete, weil b an  anliegt, und a ist die Gegenkathete, weil a
   auf der gegenüberliegenden Seite von  liegt.
 Bezogen auf  ist a die Ankathete, weil a an  anliegt, und b ist die Gegenkathete, weil b
   auf der gegenüberliegenden Seite von  liegt.

              B                                    B
                                                        
                            c                                             c
Gegenkathete                                Ankathete


          C
                  .                    
                                               A   C
                                                        .
                                                                                                                    A
                         Ankathete                                    Gegenkathete

                                                                 B
                                                                     
Bei rechtwinkligen Dreiecken meint man mit der                                .       c
Höhe immer die Höhe hc auf c, also das Lot von C
auf c. Die Höhe ha auf a ist nämlich die Seite b, und            a        h
die Höhe hb auf b ist die Seite a. Statt hc nennt man
die Höhe auf c daher auch einfach h.                         C
                                                                     .                                              
                                                                                                                               A
                                                                                          b

3.5.1.2 Gleichschenklige Dreiecke

In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten
gleich lang. Diese Seiten heissen Schenkel und
werden mit dem Buchstaben s bezeichnet. Die dritte
Seite heisst Basis und wird mit a angeschrieben. Die                                              
Ecken bekommen keine Namen. Die beiden Winkel
zwischen einem Schenkel und der Basis sind gleich
gross und heissen beide . Der Winkel zwischen                                    s               ha                s
beiden Schenkeln heisst .                                                                             hs
                                                                                                            .
Ein     gleichschenkliges    Dreieck     hat   eine                                              .             
Symmetrieachse. Diese ist gleichzeitig die Höhe auf                                               a
a, die ha genannt wird. Die Höhen auf die Schenkel
heissen hs.

Die Symmetrieachse teilt das gleichschenklige
Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke auf.

Ein Spezialfall für ein gleichschenkliges Dreieck ist                                         60°
                                                                                  a                          a
das gleichseitige Dreieck. Es hat 3 gleich lange
Seiten, die alle mit a bezeichnet werden. Alle
                                                                                  60°                       60°
Winkel messen 60°.
                                                                                              a
Die trigonometrischen Funktionen                                                             Seite 32


3.5.2 Trigonometrische Funktionen als Verhältnisse

Bei der geometrischen Definition der
trigonometrischen Funktionen entstehen
zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke. Im                    y
kleineren von diesen hat die Gegenkathete
                                                                      h
die Länge sin, die Ankathete die Länge                                            g
cos und die Hypotenuse die Länge 1. Im                                    tan 
grösseren hat die Gegenkathete die Länge
                                                              1
tan und die Ankathete die Länge 18.                                 sin 
 Betrachtet man nun ein beliebiges                                .             .    x
rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel                        cos      a
und der Ankathete a, der Gegenkathete g
und der Hypotenuse h, so gilt wegen der
Ähnlichkeit der Dreiecke
                sin  g
                       .
                  1     h
                   cos a         tan  g
Ebenso findet man         und          . Daraus leitet man direkt die trigonometrischen
                     1     h         1   a
Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck ab:

                                              Gegenkathete
                                      sin                                     Ein Leben lang im
                                               Hypotenuse                      Gedächtnis behalten!
                                                Ankathete
                                       cos 
                                               Hypotenuse
                                              Gegenkathete
                                      tan  
                                                Ankathete

In jedem rechtwinkligen Dreieck, das sich mit den gegebenen Seiten und Winkeln
konstruieren lässt, kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen und ihrer
Umkehrfunktionen die fehlenden Grössen auch berechnen.

    Beispiel 1: Sie kennen die Hypotenuse c = 5 und einen Winkel (z.B.  = 40°). Gesucht
    sind die Längen der Katheten a und b.
    Lösung: Für alle derartigen Aufgaben ist es wichtig zu
                                                                       c
    wissen, dass zwei gegebene und eine gesuchte Grösse                              b
    immer durch eine der drei trigonometrischen Funktio-
    nen verknüpft werden können. Um b zu berechnen,                              .
    verknüpfen wir b mit den beiden gegebenen Grössen c
                                                                        a
                                                        b
    und . Das ist mit dem Sinus möglich: sin   .
                                                         c
    Daraus folgt b = c  sin  = 3.214. Entsprechend findet
    man a = c  cos  = 3.830.

    Beispiel 2: Sie kennen den Winkel  = 70° und die Gegenkathete b = 4.5. Gesucht sind
    die Hypotenuse c und die Ankathete a.

8
 Die Länge der Hypotenuse in diesem Dreieck lässt sich mit dem Satz von Pythagoras berechnen, sie ist
momentan aber unwichtig.
Die trigonometrischen Funktionen                                                                      Seite 33


     Lösung: Die unbekannte Hypotenuse lässt sich über den Sinus mit den bekannten
                                         b              b
     Grössen  und b verknüpfen: sin   , also c           4.7888 . Für die Ankatete ist
                                          c           sin 
            b                                       b
     tan   die geeignete Beziehung, die auf a         1.6379 führt.
            a                                     tan 

     Beispiel 3: Sie kennen den Winkel  = 55° und die Ankathete a = 10. Gesucht sind die
     Gegenkathete b und die Hypotenuse c.
                                                                 a
     Lösung: Für die Berechnung von c benutzen wir cos  . Auflösen nach c liefert
                                                                 c
           a
     c         17 .4345 . b wird dem Tangens berechnet. Man findet b = a  tan  = 14.2815.
         cos 

     Beispiel 4: Sie kennen die Gegenkathete b = 12 und die Hypotenuse c = 19. Gesucht ist
     der Winkel .
                                                            b                  b
     Lösung: Wie schon im ersten Beispiel ist sin   . Das Verhältnis           lässt sich
                                                            c                  c
                       12                   12                   12
     berechnen, es ist    . Also ist sin   , woraus   arc sin  39.17 folgt9.
                       19                   19                   19
                                               12
     Hinweis: Richtig eingetippt wird arc sin     folgendermassen:
                                               19

                                   1    2        1     9   = 2nd sin

                                                            "=" nicht vergessen!

     Beispiel 5: Sie kennen die Ankathete a = 16 und die Hypotenuse c = 18. Gesucht ist der
     Winkel .

     Lösung: Die Beziehung, die beide gegebenen und die gesuchte Grösse enthält, ist
             b                                                    16
     cos  . Ähnlich im letzten Beispiel ist also cos                und entsprechend
             c                                                    18
                16
       arc cos  27.27.
                18
     Beispiel 6: Sie kennen die Ankathete a = 3 und die Gegenkathete b = 2. Gesucht ist der
     Winkel .
     Lösung: Dieser Fall ist ganz analog zu den Beispielen 5 und 6. Sie starten mit der
                        b                        2
     Gleichung tan   und erhalten   arc tan  33.69.
                        a                        3
     Abgesehen davon, dass der gegebene oder gesuchte Winkel auch  sein kann (womit
     sich die Rollen der Katheten a und b vertauschen), sind diese 6 Fälle alle, die in
     rechtwinkligen Dreiecken überhaupt auftreten können.


                            12
9
    Die Gleichung sin  hätte natürlich ausser 1 = 39.17° noch die zweite Lösung 2 = 180° - 1 = 140.83. In
                     19
einem rechtwinkligen Dreieck müssen die Winkel  und  aber beide zwischen 0° und 90° liegen, so dass die
Lösung, die man mit der Arcusfunktion erhält, immer die einzige ist. Bei Aufgaben mit nicht-rechtwinkligen
Dreiecken ( Sinus- und Cosinussatz) kann auch die 2. Lösung Gültigkeit haben.
Die trigonometrischen Funktionen                                                          Seite 34




 Zusammenfassung

 Berechnungsaufgaben am rechtwinkligen Dreieck können so gelöst werden:

 1. Wählen Sie die Beziehung, welche die gegebenen Grössen mit der gesuchten Grösse
    verknüpft. Dabei stehen folgende Beziehungen zur Auswahl (für  steht meistens 
    oder ):

          Gegenkathete bezgl. 
 sin  
             Hypothenuse
          Ankathete bezgl. 
  cos                                   (Gegenkathete)2 + (Ankathete)2 = (Hypotenuse)2
            Hypothenuse
          Gegenkathete bezgl. 
  tan  
           Ankathete bezgl. 

 2. Schreiben Sie diese Beziehung mit den Buchstaben auf, mit denen die Seiten und
    Winkel in der Aufgabe bezeichnet werden.

 3. Lösen Sie die Beziehung algebraisch nach der gesuchten Grösse auf.

 4. Setzen Sie Zahlen für die Buchstaben ein und berechnen Sie die gesuchte Grösse mit
    dem Taschenrechner.

In schwierigeren Aufgaben sind die notwendigen Seiten und Winkel nicht von Anfang an
gegeben, sondern müssen erst berechnet oder mit zusätzlichen Angaben verknüpft werden. Es
kann auch vorkommen, dass man die rechtwinkligen Dreiecke, die zur Lösung des Problems
führen, zunächst suchen muss. Es ist in solchen Fällen nicht mehr möglich, das
Lösungsverfahren systematisch darzustellen.


3.6 Sinus- und Cosinussatz
Die trigonometrischen Funktionen sind auch bei Berechnungen in nicht-rechtwinkligen
Dreiecken noch nützlich. Allerdings ist dieser Nutzen nicht so offensichtlich wie für recht-
winklige Dreiecke, sondern beruht auf zwei Sätzen, die wir im folgenden beweisen. Es sind
dies der Sinussatz und der Cosinussatz.

3.6.1 Sinussatz
                                                                                
Das rechts gezeigte Dreieck hat den Flächeninhalt                           .
                        1
                   A  c  hc                                                             .
                        2                                        b                            a
             h
Weil sin   c und somit hc = a  sin  ist, lässt                                       h
              a                                                        ha       hc
                                                                                          b

sich der Flächeninhalt auch schreiben als
                    1                                                               .        
               A  c  a  sin  .
                    2                                                       c
                                                                                
                                                                            .

                                                                 a                            b
Die trigonometrischen Funktionen                                                                                   Seite 35


                                                                                       1
Da man statt c auch a als Grundlinie verwenden kann, gilt auch A  a  ha . Analog zu vorher
                                                                                       2
                                        1                                                                  1
ist ha = b  sin  und somit A  a  b  sin . Ebenso lässt sich zeigen, dass A  b  c  sin .
                                        2                                                                  2
Insgesamt ist also
                                1                 1                1
                                    a  b  sin   b  c  sin   c  a  sin 
                                2                 2                2

Multipliziert man diese Gleichung mit 2 und teilt sie durch a  b  c, so erhält man
                                   sin  sin  sin 
                                                  
                                      c       a        b
Daraus folgt der Sinussatz
                                      a       b        c
                                                  
                                   sin  sin  sin 

Meistens wird der Sinussatz noch um eine weitere Gleichung ergänzt, die wir im folgenden
herleiten.
In der Skizze rechts wird der Mittelpunkt des
Umkreises eines beliebigen Dreiecks10 mit den
drei Ecken verbunden, wodurch das Dreieck in                             
drei gleichschenklige Dreiecke aufgeteilt wird,                       
deren Schenkel jeweils die Länge r haben.                                  
Man erkennt leicht, dass 2 + 2 + 2 = 180°               b                      a
                                                                       r
und daher  +  +  = 90° ist. Weiter ist  =
90° - . Da  = 90° -  - , ist
                                                                                   r           r               
                                                                                          
       = 90° - (90° -  - ) =  +  = .11                                             .                      
                            c                                                  c                       c
                             c
Andererseits ist sin     2   , aber da  =                                 2                       2
                        r 2r
                         c             c
ist, gilt auch sin         bzw.           2r.
                        2r           sin 
Daraus folgt der ergänzte Sinussatz:
                                                                                                   
                                              a     b     c                                mindestens bis zur Matur
                                                             2r                          
                                            sin  sin  sin                                       
                                                                                           im Gedächtnis behalten!

                                                                               a                                   b
wobei r der Radius des Umkreises der Dreiecks ist.                        r
Anmerkung: Für Fälle, in denen einer der Winkel gesucht ist, ist der Sinussatz in der Form
                                 sin  sin  sin  1             r          r       
                                                                   
                                   a       b       c
                                                      2r             .              
(mit vertauschten Zählern und Nennern) praktischer.
                                                                               c                       c
10
                                                                               2                       2
   Dieser Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. Ganz nebenbei sei zur
Erinnerung erwähnt, dass der Mittelpunkt des Inkreises der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden ist.
11
    Dieser Sachverhalt ist als Peripherie-Zentriwinkelsatz bekannt: Der Peripheriewinkel (hier ) einer
Kreissehne (hier c) ist so gross wie der halbe Zentriwinkel dieser Sehne (hier ist  der halbe Zentriwinkel,
daher ist  = ).
Die trigonometrischen Funktionen                                                                        Seite 36


3.6.2 Cosinussatz
                                                                                              
Das Dreieck rechts wird durch die Höhe hb in zwei
rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt. Im rechten                                 c
                         q                                                                              b
Teildreieck gilt cos   , bzw. q = b  cos , sowie
                         b
                                                                                             h
b  ha  q , bzw. ha  b 2  q 2 . Im linken Teil-
  2    2   2           2                                                                      a



dreieck gilt entsprechend c 2  ha  p 2 . Da p = a – q
                                 2                                               p               . q       
ist, erhält man                                                                          a

      c 2  ha  (a  q ) 2  b 2  q 2  (a 2  2aq  q 2 )  b 2  a 2  2aq  a 2  b 2  2ab  cos .
             2




Kurz gefasst ist das der Cosinussatz
                                                                                  mindestens bis zur Matur
                                                                                  im Gedächtnis behalten
                                         c = a + b – 2ab cos 
                                          2     2     2
                                                                                     (siehe Sinussatz)!


Da der Winkel  nun aber genauso beliebig ist wie die Winkel  und , und auch alle drei
Seiten gleichbedeutend sind (c ist nicht mehr die Hypotenuse, und a und b sind keine
Katheten mehr!), ändert sich an der Gültigkeit des Satzes nichts, wenn man die
Bezeichnungen der Seiten und Winkel gemeinsam zyklisch vertauscht:
                                          a                            




                                b                   c                          

Daraus ergibt sich
                                         a2 = b2 + c2 – 2bc cos 

oder nach nochmaliger zyklischer Vertauschung der Seiten und Winkel:

                                         b2 = c2 + a2 – 2ca cos 

Der Cosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras von rechtwinkligen
auf beliebige Dreiecke. In einem rechtwinkligen Dreieck ist einer der Winkel (z.B. ) gleich
90°. Der Cosinussatz c2 = a2 + b2 – 2ab cos  ist dann (wegen cos 90° = 0) mit dem Satz von
Pythagoras identisch.

3.6.3 Dreiecksberechnungen mit Sinus- und Cosinussatz

Ein allgemeines Dreieck lässt sich konstruieren, wenn von den 6 Grössen a, b, c, ,  und 
drei Grössen gegeben sind, wobei mindestens eine Seite darunter sein muss. Je nachdem,
welche der Grössen gegeben sind, unterscheidet man die Fälle SSS, SWS, WSW, SWW, SsW
und sSW (die Bedeutung dieser Abkürzungen wird klar, sobald wir die Fälle einzeln
durchgehen). Bis auf den Fall sSW (wo es zwei nicht kongruente, eine oder keine Lösung
Die trigonometrischen Funktionen                                                        Seite 37


geben kann), erhält man immer genau eine Lösung (wobei kongruente Lösungen, also z.B.
zwei spiegelsymmetrische Dreiecke, nur als eine Lösung gezählt werden).

Mit Sinus- und Cosinussatz lassen sich diese                                      C
Lösungen (also die fehlenden Seiten und Winkel)                                   
auch rechnerisch bestimmen. Dies soll für jeden Fall
an einem Beispiel gezeigt werden. Alle Fälle beziehen                 b                 a
sich auf ein normal beschriftetes Dreieck wie das
rechts abgebildete, bei dem  gegenüber von a, 
gegenüber von b und  gegenüber von c liegt, und die                                    
Seiten, Punkte und Winkel im positiven Drehsinn            A                  c                B
(=Gegenuhrzeigersinn) beschriftet sind.

Allgemein muss darauf geachtet werden, dass die Winkel ,  und  in allgemeinen
Dreiecken im Bereich zwischen 0° und 180° (und nicht mehr nur zwischen 0° und 90°) liegen
können. Ergibt sich daher z.B. aus der Anwendung des Sinussatzes, dass sin  = 0.5, so ist 
dadurch noch nicht eindeutig bestimmt; es kann  = 30° oder  = 150° sein. Es sind dann
zusätzliche Überlegungen nötig, um herauszufinden, ob beide Lösungen oder nur eine dieser
Lösungen gültig ist. Im Zusammenhang mit dem Cosinussatz treten solche Schwierigkeiten
nicht auf, da der Cosinus im Bereich von 0° bis 180° umkehrbar ist; eine Gleichung der Art
cos  = y hat für gegebenes y also höchstens eine Lösung  im Intervall [0°, 180°].

   1. Fall: SSS (Alle Seiten sind gegeben)
   Beispiel: Gegeben sind a = 67.4, b = 49.8, c = 77.6, gesucht sind ,  und .
   Lösung: Aus dem Cosinussatz c2 = a2 + b2 – 2ab cos  erhält man durch Umformung
            a2  b2  c2                                             b2  c2  a2
   cos                 und daraus  = 81.42°. Ebenso ist cos                  (zyklische
                2ab                                                       2bc
   Vertauschung!) und somit  = 59.10°. Da die Winkelsumme im Dreieck 180° ist, findet
   man  = 180° –  –  = 39.48°.

   2. Fall: SWS (Zwei Seiten und der dazwischenliegende Winkel sind gegeben)
   Beispiel: Gegeben sind a = 3.18, b = 3.74 und  = 104.3°, gesucht sind c,  und .
   Lösung: c lässt sich direkt aus dem Cosinussatz c2 = a2 + b2 – 2ab cos  berechnen, man
   erhält c = 5.74.  kann nun wie im 1. Fall berechnet werden. Man findet  = 34.25°,
   und daraus  = 41.45°.

   3. Fall: WSW (Eine Seite und die daran anliegenden Winkel sind gegeben)
   Beispiel: Gegeben sind b = 5.33,  = 68.4° und  = 35.3°, gesucht sind a, c und .
   Lösung:  = 180° –  –  = 76.3°. Mit dem Sinussatz findet man die fehlenden Seiten:
      a      b         b  sin             c     b        b  sin 
               a               5.10 ,            c             3.17 .
   sin  sin            sin             sin  sin         sin 

   4. Fall: SWW (Eine Seite, ein anliegender und der gegenüberliegende Winkel sind
   gegeben).
   Dieser Fall unterscheidet sich praktisch nicht vom 3. Fall, denn der fehlende Winkel
   kann immer als erstes aus der Gleichung  +  +  = 180° berechnet werden. Auf ein
   Beispiel kann daher verzichtet werden.
Die trigonometrischen Funktionen                                                                  Seite 38


   5. Fall: SsW (Zwei Seiten und der der längeren Seite gegenüberliegende Winkel sind
   gegeben).
   Beispiel: Gegeben sind b = 5, c = 4 und  = 70°.
                                             sin  sin            c  sin 
   Lösung: Mit dem Sinussatz findet man                  sin              0.7517540966
                                               c     b                 b
   (da es sich um ein Zwischenresultat handelt, ist es nicht gerundet). Für  sind somit die
   Werte 1 = arc sin 0.751754... = 48.74° und 2 = 180° – 1 = 131.26° möglich. Nun kann
   aber  nur dann ein stumpfer Winkel sein, wenn die gegenüberliegende Seite c die
   längste Dreiecksseite ist. Das ist im Fall SsW aber nie so. Daher ist die richtige Lösung
   der spitze Winkel  = 48.74°.
   Da nun  und  bekannt sind, folgt sofort, dass  = 61.26° ist. Mit dem Cosinussatz
   a2 = b2 + c2 – 2bc cos  lässt sich dann auch a berechnen; man erhält a = 4.67.

   6. Fall: sSW (Zwei Seiten und der der kürzeren Seite gegenüberliegende Winkel sind
   gegeben).
   Beispiel 1: Gegeben sind b = 23.2, c = 36.7 und  = 36.4°. Gesucht sind a,  und .
                                           sin  sin            c  sin 
   Lösung: Mit dem Sinussatz findet man                sin                0.93872729.
                                             c      b                b
   Dass es in diesem Fall mehr als eine
                                                          C
   Lösung geben kann, veranschaulicht die                        
                                                                 
   Skizze rechts, in der die Lösung konstruktiv                   


   bestimmt wird: Ausgehend von der Seite b
                                                           b
   = AC zeichnet man um A einen Kreis mit
   Radius b. Die Schnittpunkte dieses Kreises
   mit dem Strahl a', der von B aus unter                                         keine Lösung mit 0
                                                          A
   einem Winkel  zu c weggeht, sind die                                 eine Lösung mit     1

                                                             r=c
   möglichen Punkte C des Dreiecks. Dabei
                                                                       2 Lösungen mit 
   kann es sein, dass der Strahl den Kreis                                                2



   zweimal schneidet ( zwei Lösungen),
   gerade berührt (eine Lösung; bei C ist dann
   ein rechter Winkel), oder nicht berührt
   (keine Lösung).

   Rechnerisch erkennt man den vorliegenden Fall an der Anzahl Lösungen der Gleichung
            c  sin                                       c  sin 
   sin              . Wenn (wie in diesem Beispiel)                 1 ist, gibt es 2 Lösungen,
                b                                              b
           c  sin                                                         c  sin 
   wenn                1 ist, gibt es nur eine Lösung ( = 90°), wenn                 1 ist, gibt es
               b                                                                b
   keine Lösung. In diesem Beispiel gibt es die Lösungen 1 = arc sin 0.93872729 = 69.84°
   und 2 = 180° – 1 = 110.16°. Entsprechend kann  die Werte 1 = 73.76° und 2 =
   33.44° annehmen. Die Seite a folgt aus dem Cosinussatz a2 = b2 + c2 – 2bc cos : Man
   erhält a1 = 37.54 und a2 = 21.54.

   Beispiel 2: Gegeben sind a = 7, b = 1 und  = 10°, gesucht sind c,  und .
                                            sin  sin              a  sin 
   Lösung: Mit dem Sinussatz findet man                  sin               1.2155.... Da
                                              b      a                  b
   die Wertemenge der Sinusfunktion aber das Intervall [-1,1] ist, hat die Gleichung sin 
   = 1.2155... keine Lösung. Es gibt somit kein Dreieck mit a = 7, b = 1 und  = 10°.
4 Gleichungen
Gleichungen sind Bedingungen, welche von unbekannten Zahlen erfüllt werden sollen. Die
Bedingungen haben die Form A = B, wobei A und B algebraische Ausdrücke sind, in denen
die unbekannten Zahlen als Buchstaben (meist vom Ende des lateinischen Alphabets)
auftreten. Im einfachsten Fall hat man eine Gleichung mit einer unbekannten Zahl, es kann
aber auch sein, dass mehrere Gleichungen gleichzeitig erfüllt werden sollen (was in der Regel
nur möglich ist, wenn die Anzahl unbekannter Zahlen mindestens gleich gross ist wie die
Anzahl Gleichungen). Man spricht dann von Gleichungssystemen, die uns ab Abschnitt 4.5
beschäftigen werden.

Die Buchstaben, welche die unbekannten Zahlen repräsentieren, werden Variablen oder
Unbekannte genannt. Eine Gleichung zu lösen, bedeutet, diejenigen Zahlen zu finden, für
welche die durch die Gleichung gegebene Bedingung erfüllt ist. Alle Lösungen einer
Gleichung bilden gemeinsam die Lösungsmenge L.

Als Definitionsmenge einer Gleichung bezeichnet man die Menge derjenigen Zahlen, die als
Lösungen überhaupt in Betracht gezogen werden. So hat die Gleichung x + 3 = -2x die
Lösungsmenge L = {-1}, wenn als Definitionsmenge die ganzen Zahlen genommen werden,
aber die Lösungsmenge L = {}, wenn als Definitionsmenge die natürlichen Zahlen genommen
werden.

Buchstaben in Gleichungen können neben Variablen auch so genannte Parameter darstellen.
Während man Variablen so bestimmen will, dass sie die Gleichung lösen (also die durch die
Gleichungen gegebenen Bedingungen erfüllen), können Parameter jeden beliebigen Wert
annehmen. Die Werte der Variablen, bei denen die Gleichungen erfüllt sind, hängen dann von
den Werten der Parameter ab. Parameter werden in der Regel durch Buchstaben vom Anfang
des Alphabets dargestellt.

  Beispiel: Die Gleichung x2 = a hat die Variable x und den Parameter a. Welches die
  Lösungen der Gleichung sind, hängt vom Wert des Parameters ab: Für a = 9 sind die
  Lösungen x1 = 3 und x2 = -3, für a = 2 sind die Lösungen x1 = 2 und x2 = - 2 , für a =
  0 gibt es nur eine Lösung (x = 0) und für a = -1 gibt es keine Lösung. Allgemein kann
  man die Lösung so schreiben:

                                       a         a0
                                      
                                    x 0          a0
                                                 a0
                                      

4.1 Äquivalenz-, Verlust- und Gewinnumformungen

Um Gleichungen zu lösen, ersetzt man sie schrittweise durch einfachere Gleichungen, bis
man am Schluss eine Gleichung der Form x = ..... bekommt (wobei x auf der rechten Seite
nicht vorkommen darf!). Bei diesen Ersetzungen ist darauf zu achten, dass die linke und die
rechte Seite der Gleichung jeweils auf die gleiche Art verändert wird. Eine solche Ersetzung
nennt man eine Umformung.



                                             39
Gleichungen                                                                                         Seite 40


Grundsätzlich kann man eine Gleichung der Form A = B auf jede beliebige Art umformen:
Wenn A und B gleich sind, müssen auch f (A) und f (B) gleich sein – für jede Funktion f (Z)12.
Was das bedeutet, zeigen die folgenden Beispiele:

 Ausdruck A        Ausdruck B           Funktion f (Z)          Ausdruck f (A)        Ausdruck f (B)
 2x + 3            4x – 7               f (Z) = Z + 7           2x + 10               4x
 2x + 10           4x                   f (Z) = Z – 2x          10                    2x
                                                Z
 10                2x                   f (Z) =                 5                     x
                                                 2
   2x                 8x                         1               x4                  3x  12
                                        f (Z) =
  x4               3x  12                     Z                 2x                    8x
  x4               3x  12
                                        f (Z) = Z  8x          4  (x – 4)           3x – 12
   2x                 8x
 (x – 7)2          (2x + 3)2            f (Z) = Z               x–7                   2x + 3
 cos(2 - 30°)     cos(+20°)           f (Z) = arccos( )
                                                      Z         2 - 30°              +20°

                                                   2x     8x                        x4
Es ist daher z.B. zulässig, die Gleichung             =         durch die Gleichung     =
                                                  x4   3x  12                      2x
3x  12
        zu ersetzen13. Diese und die darauf folgenden Umformungen würde man so notieren:
  8x
                                    2x         8x            1
                                          =            |
                                   x4       3x  12       (...) (...) steht für "die ganze
                                                                 linke, bzw. rechte Seite
                                   x  4 3x  12
                                          =              |  8x  der Gleichung"
                                     2x         8x
                                     4  (x – 4) = 3x – 12
                                4x – 16 = 3x – 12 | +16 – 3x           Im nächsten Schritt wird zwar die
                                                                       linke Seite vereinfacht, die beiden
                                              x=4                      Seiten werden aber nicht verändert.
                                                                               Daher ist kein "|" nötig.

Allerdings sieht man an diesem Beispiel auch schon, dass die neue Gleichung nicht unbedingt
die gleichen Lösungen haben muss wie die alte: Formt man weiter um, erhält man zunächst
4  (x – 4) = 3x – 12, daraus 4x – 16 = 3x – 12 und daraus x = 4. Dies ist keine Lösung der
ursprünglichen Gleichung, weil dort die Nenner x – 4 bzw. 3x – 12 null werden, wenn man
x = 4 setzt.

Allgemein kann bei einer Umformung folgendes passieren:

     Die neue Gleichung hat die selben Lösungen wie die alte Gleichung. Dann redet man von
      einer Äquivalenzumformung.

12
  Z kann A oder B sein.
13
  Warnung: Es könnte der Eindruck entstehen, dass man Zähler und Nenner immer vertauschen darf. Das geht
aber nur, wenn links und rechts vom Gleichheitszeichen nur je ein Bruch und keine Summe von Brüchen steht!
                                                            2x       8x         1        1           1
Die Umformung sieht, in mehrere Schritte zerlegt, so aus:        =          |                
                                                           x4     3x  12     (...)     2x         8x
                                                                                       x4       3 x  12
    x  4 3x  12                                                                      1    b
                 . Im zweiten Schritt werden dabei die Doppelbrüche gemäss der Regel      vereinfacht.
     2x      8x                                                                        a    a
                                                                                       b
Gleichungen                                                                               Seite 41


   Die neue Gleichung hat weniger Lösungen als die alte Gleichung. Die Umformung heisst
    dann Verlustumformung.
   Die neue Gleichung hat mehr Lösungen als die alte Gleichung. Dann spricht man von
    einer Gewinnumformung.

Leider ist es nur begrenzt möglich, Regeln dafür aufzustellen, wann eine Umformung eine
Gewinnumformung, eine Verlustumformung oder eine Äquivalenzumformung ist. Dennoch
einige Hinweise:

   Additionen und Subtraktionen von Zahlen, Variablen oder Parametern sind immer
    Äquivalenzumformungen.
    Beispiele: | +3, | - 5, | -3x, | +2x – 5, | +3x – ax
   Multiplikationen und Divisionen von Zahlen (ausser der Null) sind immer Äquivalenz-
                                         5
    umformungen. Beispiele: |  3, |     , | : 11
                                         6
   Multiplikationen mit Faktoren, welche eine Variable enthalten, können (müssen aber
    nicht) Gewinnumformungen sein.
                4x  2      5x  3
    Beispiel:                      hat keine Lösung, die Umformung |  (2x + 10) liefert die
               2 x  10 2 x  10
    Gleichung 4x – 2 = 5x + 3, welche die Lösung x = -5 hat.
   Division durch Faktoren, welche eine Variable enthalten, sind fast immer Verlust-
    umformungen. Sie können vermieden werden, indem man testet, ob die Gleichung auch
    dann erfüllt ist, wenn der Faktor, durch den dividiert werden soll, selbst null ist.
                                                                             1        7
    Beispiel: (2x – 5)  (3x + 1) = (8x + 2)  (3x + 1) hat die Lösungen  und  , durch die
                                                                             3        6
    Division der Gleichung durch (3x + 1) erhält man die Gleichung 2x – 5 = 8x + 2, welche
                        7
    nur die Lösung  hat. Die zweite Lösung erhält man, in dem man den Faktor, durch den
                        6
                                                                                          1
    dividiert werden soll ( 3x + 1) gleich null setzt: 3x + 1 = 0 führt auf x =  . Durch
                                                                                          3
    Einsetzen überzeugt man sich, dass dies eine Lösung der ursprünglichen Gleichung ist:
            1                1                  1              1
    (2 (  ) – 5)  (3 (  ) + 1) = (8  (  ) + 2)  (3 (  ) + 1), oder vereinfacht:
            3                3                  3              3
            17          2
              0=  0
             3          3
   Quadrieren kann eine Gewinnumformung sein.
   Wurzel ziehen kann eine Verlustumformung sein. Der Verlust kann vermieden werden,
    wenn man auch die negative Wurzel berücksichtigt.
                                                                                 3
    Beispiel: (2x – 5)2 = (9x + 2)2. Die Gleichung hat die Lösungen –1 und         . Wurzel ziehen
                                                                                11
    führt auf die Gleichung 2x – 5 = 9x + 2 mit der Lösung –1. Zieht man auf einer Seite die
                                                                                                 3
    negative Wurzel, erhält man statt dessen 2x – 5 = -(9x + 2), was auf die zweite Lösung
                                                                                                11
    führt.
   Arcusfunktionen (arc sin, arc cos, arc tan) ergeben in der Regel Verlustumformungen, z.B.
    hat die Gleichung sin() = 0.5 die Lösungen 30°, 150°, 390°, 510°, -330°, -210° usw., die
    Umformung | arc sin(....) führt hingegen nur auf  = arc sin(0.5) = 30°. Diese Fälle sind in
    Abschnitt 3.3 ausführlich beschrieben.
Gleichungen                                                                                        Seite 42


Diese Aufzählung enthält die drei wichtigsten Verlustumformungen, sowie die Methoden, mit
denen man sie vermeidet. Zumindest diese drei Fälle sollten Sie auswendig wissen! Über
Gewinnumformungen muss man sich weniger Gedanken machen; man kann sie leicht
dadurch in den Griff bekommen, dass man jede mögliche Lösung am Schluss in der
ursprünglichen Gleichung prüft (was ohnehin immer empfehlenswert ist), und Äquivalenz-
umformungen machen ohnehin keine Schwierigkeiten.

4.2 Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen bestehen nach allfälligem Ausmultiplizieren nur aus Summanden mit x
und ohne x. Allfällige Summanden mit x2, x im Nenner oder anderen Funktionen von x (z.B.
tan(x) ) fallen nach beidseitiger Subtraktion weg oder treten gar nicht erst auf.
Solche Gleichungen lassen sich immer mit dem gleichen Verfahren lösen:

     ausmultiplizieren – simplifizieren – separieren – (faktorisieren) – dividieren – verifizieren

Diese Schritte bedeuten:

ausmultiplizieren:                   alle Klammern auflösen
simplifizieren:                      auf beiden Seiten der Gleichung die Summanden zusammen-
                                     fassen.14
separieren:                          Summanden mit x auf eine Seite der Gleichung bringen,
                                     Summanden ohne x auf die andere Seite.
                                     Wichtig: Hierzu sind Additionen und Subtraktionen
                                     erforderlich, keine Divisionen!
faktorisieren:                       x ausklammern (nur nötig bei Gleichungen mit Parametern)
dividieren:                          durch den Faktor vor dem x teilen
verifizieren:                        die gefundene Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen und
                                     so überprüfen.

 Beispiel 1:                               (5x – 1)2 – x [10x – 3(x – 4)] = 18x2 – 21
 ausmultiplizieren:                    25x2 – 10x + 1 – x [10x – 3x + 12] = 18x2 – 21
 weiter ausmultiplizieren:             25x2 – 10x + 1 – 10x2 + 3x2 + 12x = 18x2 – 21
 simplifizieren:                                   18x2 + 2x + 1 = 18x2 – 21                | –18x2 – 1
 separieren:                                                2x = –22                        | :2
 dividieren:                                                 x = -11
 verifizieren:                        (5  (-11) – 1) – (-11) [10  (-11) – 3(-11 – 4)] =
                                                     2

                                                       18  (-11)2 – 21 

 Beispiel 2:                                   (x + c + d)2 – (x – c – d)2 = nc + nd
 ausmultiplizieren:                               x2 + c2 + d2 + 2cx + 2dx + 2cd
                                              2
                                          – (x + c2 + d2 – 2cx – 2dx + 2cd) = nc + nd
 weiter ausmultiplizieren:            x2 + c2 + d2 + 2cx + 2dx + 2cd – x2 – c2 – d2 + 2cx
                                                      + 2dx – 2cd = nc + nd
 simplifizieren:                                        4cx + 4dx = nc + nd
 separieren:                            (nicht nötig, die Gleichung ist schon separiert)
 faktorisieren:                                        (4c + 4d) x = nc + nd              | : (4c + 4d)



14
     simplifizieren bedeutet so viel wie vereinfachen.
Gleichungen                                                                              Seite 43


dividieren:                                  nc  nd n(c  d ) n
                                        x=                       
                                             4c  4d 4(c  d ) 4
verifizieren:                 (um den Aufwand in Grenzen zu halten, testen
                              wir nur einen einfachen Spezialfall, etwa n = 0,
                                                        0
                                              d.h., x =    = 0):
                                                         4
                                    (0 + c + d)2 – (0 – c – d)2 = 0c + 0d
                                         (c + d)2 – (– c – d)2 = 0 

Spezialfälle: Beim Lösen einer linearen Gleichung können folgende Spezialfälle auftreten:
1. Nach dem Separieren hat man eine Gleichung wie z.B. 0x = 3 oder 0 = 3. In diesem Fall
   hat die Gleichung keine Lösung.
2. Nach dem Separieren hat man eine Gleichung wie z.B. 0x = 0 oder 0 = 0. In diesem Fall
   ist jede Zahl der Definitionsmenge eine Lösung der Gleichung. Man schreibt:
   "Lösungmenge = Definitionsmenge", oder kurz L = ID .


4.3 Produkte, die null sind

Immer wieder trifft man auf Gleichungen, bei denen auf einer Seite ein Produkt und auf der
anderen Seite null steht. Beispiel: 4(x + 3a) (x – 4a) = 0. Da ein Produkt gleich null ist, wenn
mindestens ein Faktor null ist, ist eine solche Gleichung immer dann gelöst, wenn einer der
Faktoren gleich null ist.
Im obigen Beispiel sind die Faktoren 4, (x + 3a) und (x – 4a). Der erste Faktor, 4, ist fest und
nicht null. Der zweite Faktor, (x + 3a), ist null, wenn x + 3a = 0, also x = -3a ist. Der dritte
Faktor, (x – 4a), ist entsprechend gleich null, wenn x = 4a ist. Die Lösungen dieser Gleichung
sind daher -3a und 4a.

Ein ähnlicher Fall sind Gleichungen, bei denen auf beiden Seiten ein Produkt steht, das einen
gemeinsamen Faktor enthält. Wenn dieser Faktor null ist, sind beide Seiten der Gleichung
null, und die Gleichung ist erfüllt.

   Beispiel 1: Die Gleichung
                          (x + 3)(x – 4)(x – 1) = (x + 4)(x – 1)(x + 3)
   enthält auf beiden Seiten die Faktoren (x + 3) und (x – 1). Sie ist daher erfüllt, wenn
   entweder x + 3 = 0 oder x – 1 = 0 ist. Um die Gleichung weiter aufzulösen, dividiert
   man durch diese Faktoren (Verlustumformung! Die neue Gleichung hat die Lösungen x
   = -3 und x = 1 nicht mehr!), was auf
                                          x–4=x+4
   bzw.
                                              0=8
   führt ( keine weitere Lösung).

   Beispiel 2: Die Gleichung
                            (x + 3)(x – 4) = (x – 2)(x + 3) + (x + 3)x
   enthält auf beiden Seiten den Faktor (x + 3). Auf der linken Seite ist das offensichtlich,
   und auf der rechten Seite kann man ausklammern:
                        (x – 2)(x + 3) + (x + 3)x = (x + 3) [(x – 2) + x].
Gleichungen                                                                                          Seite 44


      Die Gleichung ist erfüllt, wenn dieser Faktor null ist, wenn also x = -3 ist. Durch
      Division durch (x – 3) (wieder eine Verlustumformung, aber die Lösung, die wir
      verlieren, kennen wir ja schon) vereinfacht sich die Gleichung zu
                                         (x – 4) = (x – 2) + x
      bzw.
                                           x–4=x–2+x
      oder
                                                 x = -2
      Insgesamt hat sie also die beiden Lösungen x = -2 und x = -3.



4.4 Bruchgleichungen

Bruchgleichungen erfordern im Vergleich zu linearen Gleichungen zwei anfängliche
Arbeitsschritt mehr, um die Brüche zu beseitigen:

1. Faktorisieren der Nenner, so weit wie nur möglich
2. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner15.

Wie das gemacht wird, zeigen die folgenden Beispiele:

                    3        1      3x  8
      Beispiel 1:                 2
                  x2 x2 x 4
      Die Brüche auf der linken Seite lassen sich nicht faktorisieren. Beim Bruch auf der
      rechten Seite hilft die 3. binomischen Formel:
                                           x2 – 4 = (x + 2)(x – 2)
      Damit erhält man
                                        3         1           3x  8
                                                      
                                    ( x  2) ( x  2) ( x  2)( x  2)
      Der Hauptnenner ist (x + 2)(x – 2). Nach der Multiplikation der gesamten Gleichung mit
      dem Hauptnenner sind alle Nenner verschwunden, und alle Faktoren des Hauptnenners,
      welche in den Einzelnennern nicht vorgekommen sind, erscheinen im jeweiligen Zähler
      als Faktoren:
                                       3(x + 2) – (x – 2) = (3x + 8)

                                                                                     (Bei diesem Faktor
                                             Faktoren, die sich weiter in            wären die Klammern
                                               Summanden zerlegen                    nicht notwendig, weil er
                                                 lassen, müssen in                   ganz allein auftaucht.
                                             Klammern gesetzt werden!                Aber schon ein
                                                                                     Minuszeichen vor dem
                                                                                     Faktor würde die
      Das weitere Auflösen ergibt:                                                   Klammern unerlässlich
                                           3x + 6 – x + 2 = 3x + 8                   machen!)
                                               2x + 8 = 3x + 8
                                                    0=x



15
     Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Einzelnenner.
Gleichungen                                                                               Seite 45


   Die Lösung ist x = 0. Da die Multiplikation mit dem Hauptnenner aber eine
   Gewinnumformung darstellen kann, müssen wir die Lösung unbedingt in der
   ursprünglichen Gleichung testen. Dieser Test ergibt
                                     3      1     3 0  8
                                                2
                                   02 02 0 4
   oder
                                        3 1        8
                                          
                                        2 2        4
   Somit ist die Lösung in Ordnung.

                   6           5            4
   Beispiel 2:          2              2
                4s  9 2s  s  3 s  1
                  2

   Die 3. binomische Formel liefert 4s2 – 9 = (2s + 3)(2s – 3), sowie s2 – 1 = (s + 1)(s – 1).
   Der Ausdruck 2s2 – s – 3 kann mit einem Zweiklammeransatz faktorisiert werden. Dazu
   setzt man an :
                                     2s2 – s – 3 = (2s + a)(s + b)
    Nun ist
                  (2s + a)(s + b) = 2s2 + as + 2bs + ab = 2s2 + (a + 2b)s + ab
   Damit dieser Ausdruck mit 2s2 – s – 3 übereinstimmt, muss ab = -3 und a + 2b = -1
   sein. Mit etwas probieren findet man a = -3 und b = 1, somit ist
                                     2s2 – s – 3 = (2s – 3)(s + 1).
   Die Gleichung erhält nun die Form
                                 6                   5              4
                                                             
                        (2s  3)( 2s  3) (2s  3)( s  1) ( s  1)( s  1)
   Der Hauptnenner ist (2s + 3)(2s – 3)(s + 1)(s – 1). Multiplikation mit diesem Haupt-
   nenner liefert
                     6(s + 1)(s – 1) + 5(2s + 3) (s – 1) = 4(2s + 3)(2s – 3)
   Ausmultiplizieren:
                               6(s2 – 1) + 5(2s2 + s – 3) = 4(4s2 – 9)
                               6s2 – 6 + 10s2 + 5s – 15 = 16s2 – 36
   Simplifizieren:
                             16s2 + 5s – 21 = 16s2 – 36 | -16s2 + 21
   Separieren:
                                             5s = -15 | : 5
   Dividieren:
                                                 s = -3
   Verifizieren:
                                 6                   5              4
                                                               
                          4  (3)  9 2  (3)  (3)  3 (3) 2  1
                                   2               2


                                              6    5 4
                                                  
                                             27 18 8

                 x     x6 3
   Beispiel 3:              
               2x  8 4  x 2
   Nur der erste Nenner kann faktorisiert werden: 2x – 8 = 2(x – 4). Damit der Nenner im
   zweiten Bruch, 4 – x, mit dem Faktor (x – 4) übereinstimmt, kann man dort –1
   ausklammern: 4 – x = -(-4 + x) = -(x – 4). Die Gleichung lautet dann:
                                       x         x6      3
                                                       
                                   2( x  4)  ( x  4) 2
Gleichungen                                                                            Seite 46


   bzw.
                                         x        x6      3
                                                        
                                     2( x  4) ( x  4) 2
   Der Hauptnenner ist 2(x – 4). Multiplikation mit diesem Hauptnenner liefert
                                  x + (x – 6)  2 = 3  (x – 4)
   Ausmultiplizieren:
                                     x + 2x – 12 = 3x – 12
   Simplifizieren:
                                 3x – 12 = 3x – 12 | - 3x + 12
   Separieren:
                                              0=0
   Nach dem, was wir über lineare Gleichungen gelernt haben, löst jede Zahl diese
   Gleichung. Nun müssen wir aber daran denken, dass die Multiplikation mit dem Haupt-
   nenner 2(x – 4) eine Gewinnumformung gewesen sein kann. Die gewonnene Lösung,
   die nicht Lösung der ursprünglichen Gleichung sein kann, ist x = 4, denn wenn man in
   der ursprünglichen Gleichung x = 4 setzt, dividiert man durch null. Die Lösungsmenge
   ist daher L = IR \ {4}.



4.5 Lineare Gleichungssysteme
Kommen in einer linearen Gleichung zwei Variablen gleichzeitig vor, so erhält man die
Gleichung einer Geraden.

   Beispiel: 8x – 2y = 6 ist die Gleichung einer Geraden mit der Steigung 4 und dem y-
   Achsenabschnitt 3 (vgl. Kapitel 2).

Jeder Punkt dieser Geraden hat Koordinaten, welche die Gleichung erfüllen. Beispielsweise
erfüllt der Punkt (2/5) die Gleichung im obigen Beispiel, denn 82 – 25 = 6. Punkte, welche
nicht auf der Geraden liegen, erfüllen auch die Geradengleichung nicht.

Eine Gleichung mit zwei Variablen hat also in der Regel keine eindeutige Lösung, wie wir sie
von Gleichungen mit einer Variablen gewohnt sind. Fügt man hingegen noch eine zweite
Gleichung – wieder mit den gleichen zwei Unbekannten – hinzu, und verlangt, dass beide
Gleichungen miteinander erfüllt sein sollen, hat das System dieser zwei Gleichungen in der
Regel eine Lösung, die aus einer Zahl für x und einer Zahl für y besteht, und die geometrisch
den Schnittpunkt zweier Geraden darstellt.

   Beispiel: Kombiniert man die Gleichung 8x – 2y = 6 aus dem vorigen Beispiel mit der
   zweiten Gleichung 3y = 2x + 21, erhält man ein Gleichungssystem, das man in der Form

                                         8x  2 y  6
                                        3 y  2 x  21

   notiert. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist x = 3, y = 9, oder geometrisch inter-
   pretiert, der Punkt (3/9).

Packt man nun drei Variablen, z.B. x, y und z, in eine Gleichung, so kann dies geometrisch als
Gleichung einer Ebene im dreidimensionalen Raum interpretiert werden. Zwei Ebenen
Gleichungen                                                                             Seite 47


schneiden sich in einer Geraden, eine dritte schneidet diese Gerade in einem Punkt: Es
braucht demnach drei Gleichungen, um mit drei Variablen ein System zu erzeugen, welches
eine eindeutige Lösung (bestehend aus drei Zahlen für die Werte von x, y und z) besitzt.

Obwohl es für Systeme mit mehr als drei Variablen schwierig wird, sich ein geometrisches
Abbild einer Gleichung zu machen, wird durch die Analogie doch klar, dass ein System mit n
Variablen in der Regel auch n Gleichungen benötigt, um eindeutig lösbar zu sein. n
Gleichungen mit n Unbekannten sind auch wirklich der Normalfall.

Ein Gleichungssystem mit n Variablen und n Gleichungen bezeichnet man gelegentlich auch
als n  n- Gleichungssystem (man spricht also z.B. von einem 3  3-Gleichungssystem, wenn
man 3 Gleichungen mit 3 Variablen hat), oder als n–dimensionales Gleichungssystem (was
daher kommt, dass ein lineares 22-Gleichungssystem geometrisch zwei Geraden in der 2-
dimensionalen Ebene und ein lineares 3  3-Gleichungssystem drei Ebenen im 3-dimensiona-
len Raum entspricht: Insofert haben 4- und höherdimensionale Systeme nicht wirklich etwas
mit Raumdimensionen zu tun!).

Wir kennen bereits eine Methode zur Lösung eines Systems von 2 Gleichungen mit 2
Unbekannten, nämlich das Gleichsetzen. Es soll anhand des letzten Beispiels noch einmal
demonstriert werden:
                                     8x  2 y  6
                                          3 y  2 x  21

Löst man beide Gleichungen nach y auf, so erhält man

                                           y  4x  3
                                               2
                                           y  x7
                                               3

                                         2
Durch Gleichsetzen erhält man 4 x  3     x  7 und daraus 12x – 9 = 2x + 21, 10x = 30, x = 3.
                                         3
Für y findet man durch Einsetzen y = 4  3 – 3 = 9.

Diese Methode ist nicht besonders elegant und erfordert häufig einen grossen
Rechenaufwand, der vermeidbar wäre. Wir werden in diesem Kapitel daher Methoden
kennenlernen, mit denen sich n-dimensionale lineare Gleichungssysteme effizienter lösen
lassen.

4.5.1 Lösungsmethoden für zweidimensionale lineare Gleichungssysteme

4.5.1.1 Die Einsetzmethode

Die Einsetzmethode kommt der Gleichsetzungsmethode am nächsten. Man löst eine
Gleichung nach einer Variablen auf, und setzt den so gewonnenen Ausdruck in die andere
Gleichung ein.

                                                    8x  2 y  6
   Beispiel: Wir verwenden wieder das Beispiel                       .
                                                    3 y  2 x  21
Gleichungen                                                                               Seite 48


   Die erste Gleichung, nach y aufgelöst, ergibt y = 4x – 3. Setzt man dies in die 2.
   Gleichung ein, erhält man
                                  3  (4x – 3) = 2x + 21


                               Diese Klammern werden allzu
                                     häufig vergessen!


   Ausmultiplizieren:
                                  12x – 9 = 2x + 21 | -2x + 9
   Separieren:
                                         10x = 30 | : 3
   Dividieren:
                                              x=3
   Einsetzen in die bereits nach y aufgelöste erste Gleichung:
                                        y=43–3=9


Der grosse Vorteil der Einsetzmethode besteht darin, dass man sie auch benutzen kann, wenn
das Gleichungssystem nicht linear ist.

4.5.1.2 Die Additionsmethode

Die Additionsmethode ist auf den ersten Blick schwer einsichtig. Bevor wir uns fragen,
warum sie überhaupt zulässig ist, sehen wir uns an einem Beispiel an, wie sie benutzt wird:

                                                    8x  2 y  6
   Beispiel: Wir verwenden wieder das Beispiel                  .
                                                 3 y  2 x  21
   Zunächst sortieren wir die Terme in der Reihenfolge "Term mit x, Term mit y, Gleich-
   heitszeichen, Zahl". Dazu muss in der zweiten Gleichung auf beiden Seiten 2x subtra-
   hiert werden.
                                        8x  2 y  6
                                       2 x  3 y  21
   Nun wird die 2. Gleichung mit 4 multipliziert:
                                        8x  2 y  6
                                         8x  12 y  84
   Addiert man nun beide Gleichungen, erhält man
                                          8x  2 y  6
                                         8 x  12 y  84
                                                10 y  90
   und daraus y = 9. Einsetzen in die erste Gleichung liefert 8x – 2  9 = 6 und daraus x = 3.

Wir überlegen uns nun, warum dieses Verfahren eigentlich funktioniert. Die Schlüsselfrage
dabei ist, warum man zwei Gleichungen so addieren darf, dass man links die linken Seiten
und rechts die rechten Seiten der Gleichungen zusammenzählt.

Sehen wir uns dazu die beiden Gleichungen aus dem obigen Beispiel etwas genauer an:
     Gleichungen                                                                                             Seite 49


                                                           Der Wert dieses Terms ist 6, denn die
                                                           Gleichung besagt ja, dass 8x – 2y = 6 ist.


                                                      8x  2 y  6
                                                     8x  12 y  84
Der Wert dieses Terms ist 84, denn die
Gleichung besagt ja, dass -8x + 12y = 84 ist.
                                                        10y = 90

                         Die Summe der Terme 8x – 2y und                   Andererseits muss der Wert der Summe gleich 90
                          –8x + 12y ist einerseits gleich                  sein, denn der Term 8x – 2y hat den Wert 6, der
                         (8x – 2y) + (–8x + 12y),                          Term –8x + 12y hat den Wert 84, und die Summe
                         also gleich 8x – 2y – 8x + 12y = 10y.             dieser Werte ist 6 + 84 = 90.




                                                      Insgesamt lässt sich daraus also
                                                      ableiten, dass tatsächlich 10y = 90 ist.


     Ziel der Additionsmethode ist es natürlich, aus den beiden Gleichungen mit zwei
     Unbekannten eine einzige Gleichung mit nur einer Unbekannten zu gewinnen. Dazu muss
     man meistens eine, häufig sogar beide Gleichungen erst mit einer Zahl multiplizieren, die
     dafür sorgt, dass eine der Variablen (bis auf das Vorzeichen) in beiden Gleichungen gleich
     häufig vorkommt.

                                                                 9x  5 y  2
        Beispiel: Wir untersuchen das System                         . Würde man einfach beide
                                                       12x  7 y  4
        Gleichungen so addieren, wie sie sind, würde man für die Summe 21x + 12y = 6
        erhalten, und hätte damit nichts gewonnen. Multipliziert man dagegen die erste
        Gleichung mit –4 und die zweite mit 3, lautet das Gleichungssystem
                                              36x  20 y  8
                                                                 ,
                                               36x  21y  12
        und die Addition liefert y = 4. Einsetzen in die erste oder zweite Ausgangsgleichung
        ergibt 9x + 5  4 = 2, bzw. 12x + 7  4 = 4; in beiden Fällen erhält man x = -2.

        Anmerkung: Statt die Gleichungen zu addieren, kann man sie auch subtrahieren, was in
        diesem Beispiel vorteilhaft gewesen wäre. Man hätte dann die erste Gleichung nicht mit
        –4 sondern mit 4 multipliziert, und so das System
                                              36 x  20 y  8
                                             36 x  21y  12
        erhalten. Die Subtraktion beider Gleichungen ergibt -y = -4, also wiederum y = 4.

     Genau so gut wie x kann man auch y durch die Addition beider Gleichungen eliminieren. Was
     einfacher ist, hängt vom Einzelfall ab.

                                                25x  12 y  5
        Beispiel: Lösung des Systems                               . Multipliziert man die zweite Gleichung
                                                11x  6 y  13
        mit 2, erhält man
Gleichungen                                                                                        Seite 50


                                             25x  12 y  5
                                                            ,
                                           22x  12 y  26
     durch Subtraktion der beiden Gleichungen kommt man auf 3x = -21, also x = -7.
     Einsetzen in die 2. Gleichung liefert 11  (-7) + 6y = 13, also ist y = 15.


4.5.1.3 Matrixschreibweise und Determinantenverfahren

Heutzutage werden lineare Gleichungssysteme häufig nicht von Hand, sondern mit einem
Taschenrechner oder einem Computer gelöst. Hier ist es weit verbreitet, Gleichungssysteme
in der so genannten Matrixschreibweise darzustellen. Diese Schreibweise ist auch Grundlage
des Determinantenverfahrens und soll im folgenden dargestellt werden.

                                                                 ax  by  p
Ein 22-Gleichungssystem kann allgemein in der Form                     geschrieben werden. a,
                                                            cx  dy  q
b, c, d, p und q sind gegebene Zahlen, x und y die Variablen. In Matrixschreibweise schreibt
man dieses System folgendermassen:
                                      a b  x   p 
                                      c d  y    q  .
                                             
                                             
                            a b                                                         x
In dieser Schreibweise ist 
                           c d  die Matrix (genauer gesagt ist es eine 22-Matrix),  
                                                                                          y
                                                                                        
      p
und   werden als Vektoren bezeichnet16.
     q
      

                                    8x  2 y  6
     Beispiel: Um das System                         in Matrixschreibweise zu schreiben, führen
                                    3 y  2 x  21
                                     ax  by  p
     wir es zunächst in die Form               über. Dazu muss in der zweiten Gleichung 2x
                                 cx  dy  q
                                  8x  2 y  6
     subtrahiert werden, was auf                  führt. Die Matrixschreibweise lautet dann
                                  2 x  3 y  21
      8  2  x   6 
       2 3  y    21 .
                  
                  

Um die Vorteile der Matrixschreibweise einzusehen, lösen wir zunächst das allgemeine 22-
Gleichungssystem mit der Additionsmethode:
                                       ax  by  p
                                          cx  dy  q
Wir multiplizieren die erste Gleichung mit -c und die zweite mit a. Danach addieren wir beide
Gleichungen.
                                        acx  bcy  cp
                                        acx  ady  qa
                                     bcy  ady  cp  qa
16
  Falls Sie Vektoren aus der Physik schon kennen und etwas ganz anderes darunter verstehen, müssen Sie sich
gedulden, bis Vektoren auch in der Mathematik genauer besprochen werden.
Gleichungen                                                                             Seite 51


Faktorisieren der neu erhaltenen Gleichung:
                                     (ad – bc) y = aq – cp
Dividieren:
                                              aq  cp
                                          y
                                              ad  bc
Statt diese Lösung in eine der ursprünglichen Gleichungen einzusetzen (was ziemlich viel
Rechenarbeit erfordern würde), berechnen wir x wieder durch Elimination: Wir multiplizieren
die Gleichung ax + by = p mit d und die Gleichung cx + dy = q mit -b. So erhalten wir
                                        adx  bdy  dp
                                       bcx  bdy  bq
                                     adx  bcx  dp  bq
Analog zum vorigen Fall erhält man
                                            dp  bq
                                         x
                                            ad  bc
Diese Lösungen kann man sich sehr viel leichter merken, wenn man sie mit so genannten
                                                             a b 
Determinanten schreibt. Die Determinante einer 22-Matrix    c d  ist per Definition
                                                                    
                                                                   
                                        a b
                                             ad  bc.
                                        c d
                                                                               a b
Mit Hilfe von Pfeilen kann man sich das Berechnungsschema gut merken:                 ad  bc.
                                                                               c d
Der durchgezogene Pfeil ist positiv zu nehmen, der gestrichelte Pfeil negativ.

                                          5  6    5 6
                                          0 2  ist 0 2  5  2  (6)  0  10.
   Beispiel: Die Determinante der Matrix       
                                               

Mit Determinanten geschrieben, lauten die Lösungen des allgemeinen linearen 22-
Gleichungssystems:
                                  p b         a p
                                 q d          c q
                            x         , y
                                 a b          a b
                                 c d          c d
                                                          a b 
Im Nenner steht also jeweils die Determinante der Matrix  c d  des Gleichungssystems. Im
                                                                
                                                               
                                                                                        p
Zähler, mit dem x berechnet wird, muss die erste Spalte dieser Matrix durch den Vektor  
                                                                                       q
                                                                                        
ersetzt werden, im Zähler, mit dem y berechnet wird, muss die zweite Spalte durch diesen
Vektor ersetzt werden.

                                                   8x  2 y  6
   Beispiel: Wir verwenden wieder das Beispiel                  .
                                                 3 y  2 x  21
   Bereits etwas weiter oben haben wir die Matrixschreibweise dieses Systems notiert:
    8  2  x   6 
   
     2 3  y    21 . Die Lösungen sind somit
                
               
        Gleichungen                                                                           Seite 52


                                           6       2
                                           21 3    6  3  (2)  21 60
                                    x                                  3,
                                           8 2   8  3  (2)  (2) 20
                                           2 3
                                               8   6
                                            2 21   8  21  6  (2) 180
                                    y                                   9.
                                           8 2            20          20
                                           2 3

        4.5.1.4 Lösbarkeit von zweidimensionalen linearen Gleichungssystemen

        In der Regel hat ein zweidimensionales lineares Gleichungssystem genau eine Lösung. Es
        kann jedoch sein, dass es keine Lösung oder unendlich viele Lösungen gibt.

              Wenn beim Determinantenverfahren die Determinante im Nenner null wird, die
               Determinanten im Zähler dagegen nicht null sind, hat das System keine Lösung. Bei den
               anderern Verfahren erhält man in diesem Fall widersprüchliche Gleichungen wie 0 = 1.
              Wenn beim Determinantenverfahren alle Determinanten (Zähler und Nenner) null
               werden, hat das System unendlich viele Lösungen. Bei den anderen Verfahren erhält man
               in diesem Fall Gleichungen, die unabhängig von x und y immer erfüllt sind, z.B. 0 = 0
               oder 2x – 3 = 2x – 3.

        Auf eine Begründung dieser Regeln verzichten wir.

        4.5.2 Dreidimensionale lineare Gleichungssysteme

        Da der Arbeitsaufwand beim Lösen dreidimensionaler Gleichungssysteme schon bedeutend
        grösser ist als bei zweidimensionalen Systemen, ist ein systematisches Vorgehen unerlässlich.
        Wir behandeln daher nur zwei Verfahren zum manuellen Lösen solcher Systeme, lernen aber
        auch, wie man sie mit dem HP 20S löst.

        4.5.2.1 Additionsverfahren

        Das Additionsverfahren zielt darauf ab, durch Addition (oder Subtraktion) aus den 3
        Gleichungen mit 3 Unbekannten zunächst 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten zu gewinnen
        (wobei diese 2 Gleichungen die selben 2 Unbekannten enthalten müssen). Diese 2
        Gleichungen kann man dann so lösen, wie in Abschnitt 4.5.1 besprochen.

                        2 x  4 y  5 z  60
            Beispiel:   3x  9 y  2 z  65
                        6 x  7 y  3z  70
           In diesem System lässt sich zunächst x am einfachsten eliminieren: Man multipliziert
           die erste Gleichung mit 3 und subtrahiert davon die 3. Gleichung, dann multipliziert
           man die 2. Gleichung mit 2 und subtrahiert davon ebenfalls die 3. Gleichung:
1. Gleichung  3       6 x  12 y  15z  180                   6 x  18 y  4 z  130  2. Gleichung  2
                          6 x  7 y  3z        70                   6 x  7 y  3z  70
3. Gleichung                                                                                3. Gleichung
                          5 y  12z            110                     25 y  z     60
Differenz                                                                                   Differenz
Gleichungen                                                                                Seite 53


   Nun hat man 2 Gleichungen für die Unbekannten y und z:
                                      5 y  12 z  110
                                      25 y     z  60
   Man kann jetzt y eliminieren, indem man die erste Gleichung mit 5 multipliziert und sie
   dann zur zweiten Gleichung addiert:
                                      25 y  60z  550
                                          25 y  z  60
                                                61z  610

   Daraus folgt z = 10. Einsetzen in die Gleichung 25y + z = 60 liefert y = 2, was wiederum
   in die Gleichung 2x – 4y + 5z = 60 eingesetzt werden kann und auf x = 9 führt.
   Da bei einer so langen Rechnung leicht Fehler passieren, empfiehlt es sich, die Lösung
   in allen drei Gleichungen zu testen:
                                    2  9  4  2  5 10  60 
                                    3  9  9  2  2 10  65 
                                    6  9  7  2  3 10  70 


Nicht immer ist eine so aufwändige Rechnung erforderlich. Wenn nicht in allen drei
Gleichungen alle drei Variablen vorkommen, sind Abkürzungen möglich.

              4 x  y  25
   Beispiel: x  2 z  30
              3 y  z  40
   Aus der 2. und 3. Gleichung lässt sich z eliminieren:
                                                                   2. Gleichung
                                            x  2 z  30
                                                                   3. Gleichung  2
                                            6 y  2 z  80
                                            x  6 y  50          Differenz


   Nun können x und y aus der 1. Gleichung und der neuen Gleichung x – 6y = -50
   berechnet werden:
                                  24x  6 y  150       1. Gleichung  6

                                          x  6 y   50           neue Gleichung
                                            25x  100              Summe

   Somit ist x = 4. Einsetzen in die 1. Gleichung liefert 4  4 + y = 25, also y = 9. Einsetzen
   in die 3. Gleichung liefert 3  9 + z = 40, also z = 13. Die Richtigkeit der Resultate kann
   mit einer Kopfrechnung überprüft werden.


4.5.2.2 Determinantenverfahren

Das Determinantenverfahren für dreidimensionale Gleichungssysteme läuft in der Art
genau gleich wie dasjenige für zweidimensionale Systeme. Ein Gleichungssystem der
Form
Gleichungen                                                                                    Seite 54



                                           ax x  a y y  az z  p
                                           bx x  by y  bz z  q
                                             cx x  c y y  cz z  r
lautet in Matrixschreibweise
                                       ax      ay    az   x   p 
                                                           
                                       bx      by    bz   y    q 
                                      c              cz   z   r 
                                       x       cy          
und hat die Lösungen
                       p ay      az                  ax   p az               ax   ay    p
                       q by      bz                  bx   q bz               bx   by    q
                       r cy      cz                  cx   r cz               cx   cy    r
                 x                    ,      y                    ,   z
                       ax   ay   az                  ax   ay   az            ax   ay   az
                       bx   by   bz                  bx   by   bz            bx   by   bz
                       cx   cy   cz                  cx   cy   cz            cx   cy   cz

Wieder steht also im Nenner die Determinante der Gleichungsmatrix, während in den
Zählern für x die 1. Spalte, für y die 2. Spalte und für z die 3. Spalte dieser Matrix durch
              p
              
den Vektor  q  ersetzt wird. Allerdings ist die Berechnung einer 33-Determinante
             r
              
ziemlich aufwändig: Es gilt
                        a b c
                        d e f  aei  bfg  cdh  ceg  afh  bdi
                        g h i
was man sich mit folgender Regel merken kann:
                                       a b c a b
                                       d e f d e
                                       g h i g h
Wie schon bei den 22-Matrizen entsprechen die durchgezogenen Pfeile positiven
Summanden, die gestrichelten Pfeile negativen Summanden.

                                                                        2 x  4 y  5 z  60
   Beispiel: Wir lösen nochmals das Gleichungssystem 3x  9 y  2 z  65 .
                                                       6 x  7 y  3z  70
   Matrixschreibweise:
                                  2  4 5   x   60 
                                              
                                  3 9 2   y    65 
                                  6  7 3   z   70 
                                              
   Die Lösungen sind demnach
Gleichungen                                                                                                  Seite 55


        60    4   5
        65     9   2
        70    7    3        60  9  3  (4)  2  70  5  65  (7)  5  9  70  (4)  65  3  60  2  (7)
  x                    
        2     4   5              2  9  3  (4)  2  6  5  3  (7)  5  9  6  (4)  3  3  2  2  (7)
         3    9    2
        6     7   3
         2745
              9
         305

         2 60 5
         3 65 2
         6 70 3             2  65  3  60  2  6  5  3  70  5  65  6  60  3  3  2  2  70  610
  y                                                                                                         2
         2 4 5                                                 305                                      305
         3    9    2
         6 7 3

        2     4   60
        3     9    65
        6     7   70        2  9  70  (4)  65  6  60  3  (7)  60  9  6  (4)  3  70  2  65  (7)
  z                    
        2     4   5                                                  305
        3      9   2
        6     7   3
         3050
               10
         305


4.5.2.3 Lösung mit dem HP 20S

Um ein 33-Gleichungssystem der Form
                                ax a y  az   x   p 
                                              
                                bx b y  bz   y    q 
                               c c      cz   z   r 
                                x    y        
direkt vom HP 20S lösen zu lassen, muss man zunächst das im Taschenrechner fix
gespeicherte Programm 3 bY 3 laden. Dazu drückt man
                                                 PRGM           LOAD    D

und dann
                                                       PRGM

Nun gibt man die neun Komponenten der Matrix des Gleichungssystems in die Speicher 1 bis
9 des Taschenrechners ein. Die Zuordnung orientiert sich dabei an den Tasten für die Zahlen.
Gleichungen                                                                                                      Seite 56


                                                                 
Der Zahlenblock des Tastaturfelds,                                   , hat gerade die Form einer 33-Matrix
                                                                 
 ax     ay   az 
                
 bx     by   bz  . Somit wird ax in Speicherplatz 7, ay in Speicherplatz 8 abgespeichert usw.:
c       cy   cz 
 x              
                                            speichern in Speicherplatz 8
               speichern in Speicherplatz 7                            speichern in Speicherplatz 9
                                                          ax     ay   az 
                                                                         
              speichern in Speicherplatz 4                bx     by   bz       speichern in Speicherplatz 6
                                                         c       cy   cz 
                                                          x              

                  speichern in Speicherplatz 1                                speichern in Speicherplatz 3

                                                  speichern in Speicherplatz 2
                                                                                        speichern in Speicherplatz 5
Um z.B. die Zahl 254 in Speicherplatz 7 abzuspeichern, drückt man

                                      STO 
                                                
Die Reihenfolge ist dabei egal, wichtig ist es aber, das vorausgehende Laden des Programms
nicht zu vergessen!
                                                                       p
                                                                       
Nach Eingabe der Matrixkomponenten werden die Komponenten des Vektors  q  auf der
                                                                      r
                                                                       
rechten Seite des Gleichungssystems an folgenden Plätzen gespeichert:
      p im Speicherplatz 0 (     STO
                                             )
      q im Input-Speicher (     INPUT
                                         )
      r wird einfach nur noch eingegeben

Die Lösungen x, y und z erhält man dann so:
      x durch Drücken von        XEQ
                                             A

      y durch anschliessendes Drücken von                  R/S




      z durch abermaliges Drücken von                R/S




Die richtige Eingabe kann man z.B. am bereits verwendeten Beispiel
                                  2  4 5   x   60 
                                               
                                  3 9 2   y    65 
                                  6  7 3   z   70 
                                               
üben, dessen Lösung (wie schon weiter oben angegeben) x = 9, y = 2, z = 10 ist.
Gleichungen                                                                              Seite 57




4.6 Quadratische Gleichungen

4.6.1 Definition

Eine Gleichung, die sich durch Äquivalenzumformungen auf die Form

                                        x2 + px + q = 0

bringen lässt, heisst quadratische Gleichung. x ist die Variable, p und q sind im konkreten Fall
Zahlen oder Parameter.

   Beispiel 1: Die Gleichung (x + 2)3 – x(x2 + 4) = 3x lässt sich durch folgende Äquiva-
   lenzumformungen auf die Form x2 + px + q = 0 bringen:

                            (x + 2)3 – x(x2 + 4) = 3x |    ausmultiplizieren
                      3    2
                    x + 6x + 12x + 2 – x3 – 4x = 3x |      zusammenfassen, -3x
                                   6x2 + 5x + 2 = 0 |      :6
                                           5     1
                                      x2  x   0
                                           6     3
                                                                  5        1
   Die Gleichung ist somit eine quadratische Gleichung mit p =      und q = .
                                                                  6        3

   Beispiel 2: Die Gleichung 4x2 – 3x + 5x3 = 8x ist nicht quadratisch. Eine Division durch
   x liefert zwar eine quadratische Gleichung, nämlich 4x – 3 + 5x2 = 8, die Division durch
   x ist aber keine Äquivalenzumformung: Die Lösung x = 0 geht verloren.


In der Regel schreibt man die allgemeine quadratische Gleichung in der Form

                                       ax2 + bx + c = 0

Zu beachten ist, dass a  0 sein muss, damit die Gleichung quadratisch ist.

4.6.2 Einfache Fälle

4.6.2.1 Reinquadratische Gleichung

Reinquadratische Gleichungen lassen sich in der Form x2 = d schreiben. Die allgemeine
quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 ist demnach reinquadratisch, wenn b = 0 ist.

Die Lösungen der reinquadratischen Gleichung x2 = d sind:

                             d und - d , kurz  d         falls d  0
                            
                          x         0                    falls d  0
                                     {}                   falls d  0
                            
Gleichungen                                                                              Seite 58


Die reinquadratische Gleichung kann also 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Das ist auch bei der
allgemeinen quadratischen Gleichung so.

4.6.2.2 Quadratische Gleichungen ohne konstanten Term

Quadratische Gleichungen ohne konstanten Term haben die Form

                                                  ax2 + bx = 0

In solchen Gleichungen kann x ausgeklammert werden:

                                                 x(ax + b) = 0

Gemäss der Regel, dass ein Produkt dann null ist, wenn mindestens ein Faktor null ist, ist
diese Gleichung erfüllt, wenn entweder x = 0 ist (1. Faktor), oder ax + b = 0 ist (2. Faktor).
                                           b
Die Lösungen sind demnach x = 0 und x =  .17
                                           a

4.6.3 Der Satz von Vieta

Der Satz von Vieta erlaubt es, in einigen Fällen die Lösungen einer quadratischen Gleichung
mit wenig Rechenaufwand zu finden, indem er Beziehungen zwischen den Koeffizienten a, b
und c der allgemeinen quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 und ihren Lösungen x1 und x2
angibt. Das Verfahren funktioniert zwar nicht immer, ist aber so einfach, dass es sich lohnt, es
auszuprobieren, bevor man zur allgemeinen Lösungsformel übergeht.

Die Beziehungen zwischen den Koeffizienten a, b und c der allgemeinen quadratischen
Gleichung ax2 + bx + c = 0 und ihren Lösungen x1 und x2 erhält man, indem man zuerst
einmal allgemein versucht, eine quadratische Gleichung aufzustellen, deren Lösungen x1 und
x2 sind. Da ein Produkt null ist, wenn mindestens ein Faktor null ist, schreibt man zwei
Faktoren auf, von denen der eine null wird, wenn x = x1 ist, und der andere, wenn x = x2 sind.
Diese Faktoren sind (x – x1) und (x – x2). Die Gleichung ist daher

                                             (x – x1)  (x – x2) = 0

Um diese Gleichung besser mit der Gleichung ax2 + bx + c = 0 vergleichen zu können,
multiplizieren wir sie aus und fassen die Terme mit x zusammen:

                                           x2 – x1x – x2x + x1x2 = 0
                                           x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0


Ausserdem dividieren wir die Gleichung ax2 + bx + c = 0 durch a:
                                           b    c
                                      x2 + x +    =0
                                           a    a
Aus dem Vergleich der Terme mit x und der konstanten Terme erhält man den Satz von Vieta:
                                             b          c
                                  x1  x2   , x1 x2 
                                             a          a

17
     Die zweite Lösung erhält man, indem man die Gleichung ax + b = 0 nach x auflöst.
Gleichungen                                                                                                Seite 59


Um die Lösungen einer quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 zu bestimmen, muss man
                                                   b                              c
also zwei Zahlen finden, deren Summe gleich  und deren Produkt gleich                ist. Das
                                                   a                              a
Lösungsverfahren ist dann erfolgreich, wenn es gelingt, diese Zahlen zu erraten. Das ist in der
                                                 b        c
Regel nur dann möglich, wenn die Quotienten  und            ganze Zahlen sind, und auch die
                                                 a        a
Lösungen ganzzahlig sind.

      Beispiel 1: 3x2 + 18x - 21 = 0. (a = 3, b = 18, c = -21)
                                           18                21
      Für die Lösungen gilt x1 + x2 =  = -6, x1x2 =             = -7. Wir versuchen zuerst die
                                            3                 3
      zweite Bedingung zu erfüllen, also x1x2 = -7. -7 lässt sich nur in -1 7 oder in 1  (-7)
      zerlegen. Im ersten Fall ist die Summe -1 + 7 = 6, im zweiten Fall ist sie 1 + (-7) = -6.
      Da im zweiten Fall auch die erste Bedingung, x1 + x2 = -6 erfüllt ist, sind die Lösungen
      x1 = -1, x2 = 7.18

      Beispiel 2: x2 – 5x + 6 = 0. (a = 1, b = -5, c = 6)
                                           (5)              6
      Für die Lösungen gilt x1 + x2 =           = 5, x1x2 =   = 6. Die zweite Bedingung lässt
                                             1               1
      unter den ganzzahligen Zahlen die Produkte 6  1, (-6)  (-1), 2  3 und (-2)  (-3) zu. Die
      erste Bedingung wird durch 2 und 3 erfüllt (2 + 3 = 5). Also sind die Lösungen x1 = 2,
      x2 = 3.

      Beispiel 3: x2 – 4x + 2 = 0. (a = 1, b = -4, c = 2)
      Für die Lösungen gilt x1 + x2 = 4, x1x2 = 2. Die zweite Bedingung wird von den
      ganzzahligen Paaren -1  (-2) und 1  2 erfüllt. In keinem dieser Fälle ist die Summe
      beider Zahlen jedoch gleich 4. Der Satz von Vieta ist in diesem Fall nicht geeignet, um
      die Gleichung zu lösen. Das bedeutet jedoch nicht, dass die Gleichung keine Lösungen
      hat: Man kann sich durch nachrechnen überzeugen, dass x1,2 = 2  2 die Lösungen
      dieser Gleichung sind.




4.6.4 Quadratische Ergänzung

Die Methode der quadratischen Ergänzung lässt sich mit jeder quadratischen Gleichung
durchführen. Angewendet auf die allgemeine quadratische Gleichung liefert sie zudem die
Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Daneben hat sie auch noch weitere
Anwendungen, die wir später noch kennen lernen werden, wie z.B. die Scheitelpunkts-
bestimmung bei Parabeln.

Am einfachsten lässt sich die quadratische Ergänzung an einem Beispiel erklären. Wir
beginnen mit einer ausführlichen Lösung, in der jeder Schritt einzeln begründet und erklärt
wird. Danach verallgemeinern wir dieses Verfahren kommen so zu einer Art Kochrezept-
Lösung, mit der die quadratische Ergänzung sehr schnell durchgeführt werden kann.



18
     oder x1 = 7 und x2 = -1. Welche Lösung man als x1 und welche als x2 bezeichnet, spielt keine Rolle.
Gleichungen                                                                                Seite 60


   Beispiel: Lösen der quadratischen Gleichung 3x2 – 6x – 18 = 0 mit quadratischer
   Ergänzung.


   Ausführliche Lösung:

   1. Schritt: Die Gleichung durch die Zahl vor dem x2 dividieren.

                                        3x2 – 6x – 18 = 0 | : 3
                                           x2 – 2x – 6 = 0

   2. Schritt: Die ersten beiden Terme zu einem Binom ergänzen.

   x2 – 2x soll so ergänzt werden, dass es die Form a2 + 2ab + b2 erhält. a ist x, 2ab ist –2x,
   also ist b = –1 und damit b2 = 1. Das vollständige Binom ist also x2 – 2x + 1.

   Um aus x2 – 2x ein vollständiges Binom zu erhalten, muss man also b2 (das ist in
   diesem Fall 1) ergänzen. Aus diesem Grund heisst die Methode "quadratische
   Ergänzung".

   3. Schritt: Das ergänzte Binom in die Gleichung einfügen.

   Die Gleichung x2 – 2x – 6 = 0 soll das vollständige Binom enthalten, ohne dabei
   verändert zu werden. Das ist nur möglich, indem man den Ergänzungsterm b2 erst
   dazuzählt und dann gleich wieder abzieht:

                                        x2 – 2x + 1 – 1 – 6 = 0

   4. Schritt: Das Binom als Quadrat schreiben.

   Die Gleichung enthält nun das Binom x2 – 2x + 1. Das ist erst dann für die Lösung
   hilfreich, wenn das Binom in seiner 2. Form, nämlich als das Quadrat (x – 1)2
   geschrieben wird. Die Gleichung lautet dann:

                                         (x – 1)2 – 1 – 6 = 0

   5. Schritt: Das Quadrat isolieren.
                                        (x – 1)2 – 7 = 0 | + 7
                                            (x – 1)2 = 7aa

   6. Schritt: Das Quadrat entfernen.
                                            x–1=  7

   Wenn (x – 1)2 = 7 ist, kann (x – 1) entweder  7 oder  7 sein, denn sowohl
   (  7 )2 als auch (  7 )2 ist 7. Die Gleichung hätte keine Lösung, wenn in diesem
   Schritt die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden müsste!

   7. Schritt: Nach x auflösen.

   x = 1  7 , d.h., x1 = 1  7 , x2 = 1  7 , oder kurz: x1,2 = 1  7
Gleichungen                                                                                    Seite 61


Der Trick der quadratischen Ergänzung besteht also darin, die Terme mit x2 und mit x so
zusammenzufassen, dass das x nur noch einmal (als erster Summand eines Binoms)
vorkommt. In dieser zusammengefassten Form lässt sich die Gleichung dann mit
herkömmlichen Umformungen auflösen.

Wenn nun allgemein x2 + px quadratisch ergänzt werden soll, lautet das zugehörige Binom
     p 2
(x +   ) , wie man durch ausmultiplizieren leicht nachrechnen kann. p muss also halbiert
     2
                                                 2
                                       p
werden. Der zu ergänzende Term ist   , d.h., das zuvor halbierte p wird jetzt quadriert.
                                      2
Man fasst daher die quadratische Ergänzung auch unter den Stichworten

                                      halbieren – quadrieren

zusammen. Mit dieser Regel lässt sich das Verfahren deutlich abkürzen:

   Beispiel: Schnelle Lösung der quadratischen Gleichung 3x2 – 6x – 18 = 0 mit quadra-
   tischer Ergänzung als Kochrezept (halbieren – quadrieren).

   1. Schritt: Division durch 3.
                                          3x2 – 6x – 18 = 0 | : 3
                                              x2 – 2x – 6 = 0

   2. Schritt: Quadratische Ergänzung mittels halbieren – quadrieren.

                                              x2 – 2x – 6 = 0
                               gleiches                          hier steht immer -, nie + !
                                                     halbieren
                            Vorzeichen!

                                          (x – 1)2 –      1–6=0
                                                 quadrieren

   3. Schritt: Das Quadrat isolieren.
                                             (x – 1)2 – 7 = 0
                                               (x – 1)2 = 7

   4. Schritt: Das Quadrat entfernen.
                                              x–1=  7

   5. Schritt: Nach x auflösen.
                                              x1,2 = 1  7



Im 4. Schritt entscheidet sich, ob die quadratische Gleichung zwei Lösungen, eine Lösung
oder keine Lösung hat. Hätte man statt (x – 1)2 = 7 z.B. die Gleichung (x – 1)2 = 0 erhalten,
hätte die Gleichung lediglich eine Lösung (x = 1); wäre beispielsweise (x – 1)2 = -3 heraus-
gekommen, hätte die Gleichung gar keine Lösung, da aus -3 keine Wurzel gezogen werden
kann.
Gleichungen                                                                                                     Seite 62


4.6.5 Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Statt jede quadratische Gleichung aufs Neue mit quadratischer Ergänzung zu lösen, ist es auf
Dauer bequemer, einmal die allgemeine quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit quadra-
tischer Ergänzung zu lösen und die dabei erhaltene Lösung als Formel zu verwenden. Die
Rechnung dazu ist die folgende:


                                                ax2 + bx + c = 0 | : a
                                                       b     c
                                                  x2  x   0
                                                       a     a
                                  halbieren

                                         2                 2                         2
                               b   b  c       b  c
                            x       0 |   
                               2a   2a  a     2a  a
                                       quadrieren
                                                 2             2
                                 b   b  c
                              x          | umformen
                                 2a   2a  a
                                            2
                              b   b2  c
                            x   2                             | auf 4a 2 erweitern
                              2a  4a  a
                                        2
                               b   b 2 4ac
                            x    2  2 | zusammenfa
                                                      ssen
                               2a  4a  4a
                                         2
                               b   b 2  4ac
                             x             | Quadrat entfernen
                               2a     4a 2
                                       b     b 2  4ac
                               x1, 2                                 | umformen
                                       2a       4a 2
                                       b     b 2  4ac
                               x1, 2                                 | umformen
                                       2a       4a 2
                                                b     b 2  4ac                 b
                                  x1, 2                                 |
                                                2a       2a                     2a
                                       b    b 2  4ac
                           x1, 2                                 | zusammenfa ssen
                                       2a      2a
                                                                                          Lösungsformel für
                                                                                          quadratische Gleichungen.
                                                           b  b  4ac
                                                                    2
                                                x1, 2 
                                                                2a                        Auswendig lernen!!!

   Beispiel: Lösung der schon bekannten quadratischen Gleichung 3x2 – 6x – 18 = 0 mit der
   Lösungsformel:
   Es ist a = 3, b = -6 und c = -18. Also ist
              (6)  (6) 2  4  3  (18) 6  62  4  3  18 6  36  216 6  252
   x1, 2                                                                  
                         23                        6                 6          6
             6  7  36 6  7  36 6  7  6
                                                 1 7 .
                  6              6             6
Gleichungen                                                                           Seite 63


4.6.6 Diskriminante

Das Verfahren zur Herleitung der Lösungsformel setzt beim Entfernen des Quadrates voraus,
                                                                                   b 2  4ac
dass die Terme unter den Wurzeln nicht negativ sind. An Wurzeln kommen vor:                  ,
                                                                                      4a 2
                                                    b 2  4ac    b 2  4ac    b 2  4ac
  b  4ac und
   2
                  4a . Da 4a2 nie negativ ist, ist
                    2
                                                                                      . Der
                                                       4a 2         4a 2         2a
einzige Term unter einer Wurzel, der somit negativ werden kann, ist b 2  4ac. Durch diesen
Term werden die quadratischen Gleichungen in drei Gruppen aufgetrennt: Diejenigen mit
zwei Lösungen (b2 – 4ac > 0), diejenigen mit genau einer Lösung (b2 – 4ac = 0) und
diejenigen ohne Lösungen (b2 – 4ac < 0). Diese trennende Grösse heisst in der Mathematik
Diskriminante (vom lat. discriminare: trennen) und wird mit D abgekürzt. Es gilt also:

   Die quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit der Diskriminanten D = b2 – 4ac hat
    zwei Lösungen, falls D > 0 ist
    eine Lösung, falls D = 0 ist
    keine Lösung, falls D < 0 ist.


                                                             b
Für D = 0 hat die Lösung die besonders einfache Form x        .
                                                             2a

4.6.7 Beispielaufgaben

Die folgenden Beispiele zeigen einige typische Aufgabenstellungen im Zusammenhang mit
quadratischen Gleichungen und das jeweilige Lösungsverfahren.

4.6.7.1 Lösen mit Substitution

                                                2
                                             9         9
   Beispiel: Zu lösen ist die Gleichung 4 v    16 v    15  0.
                                             2         2
                                9
   Lösung: Wir setzen x  v  . Damit lautet die Gleichung 4x2 – 16x + 15 = 0. Gemäss
                                2
                                            16  (16) 2  4  4  15 16  16 16  4
   Lösungsformel sind die Lösungen x1, 2                                         =
                                                     24                 8      8
      1                  5      3            9                9              5    9
   2  . Es ist also x1 = , x2 = . Da x = v – , ist v = x + und somit v1 =     + =7
      2                  2      2            2                2              2    2
           3 9
   und v2 = + = 6.
           2 2


4.6.7.2 Gleichungen mit Parametern



   Beispiel 1: Zu lösen ist die Gleichung ax2 - 2ax + (a + 1) = 0 mit Fallunterscheidung
   unter Berücksichtigung aller Parameterwerte.
Gleichungen                                                                                 Seite 64



                                                                 2a  (2a) 2  4  a  (a  1)
   Lösung: Verwenden der Lösungsformel liefert x1, 2                                           =
                                                                            2a
    2a  4a 2  4a 2  4a 2a   4a 2a              4 a          2 a         a
                                                           1        1          .
              2a                 2a         2a        2a             2a         a
   Dabei ist folgendes festzuhalten:
    Für a = 0 darf die Lösungsformel gar nicht verwendet werden, weil man durch null
       dividiert. Dieser Fall muss daher getrennt behandelt werden. Zu diesem Zweck setzt
       man in der ursprüngliche Gleichung ax2 – 2ax + (a + 1) = 0 den Parameter a = 0 und
       versucht, die Gleichung ohne Lösungsformel zu lösen. a = 0 einsetzen liefert
                                   0x2 – 2  0  x + (0 + 1) = 0
       und daraus
                                                  1 = 0,
       d.h., die Gleichung hat für a = 0 keine Lösung.
    Für a > 0 wird –a < 0, d.h.  a lässt sich nicht berechnen. Die Gleichung hat also
       nur Lösungen für a < 0 (den Fall a = 0 haben wir schon ausgeschlossen).

                                                                     a
   Die Gleichung hat somit für a < 0 die Lösungen x1, 2  1            und für x  0 keine
                                                                     a
   Lösungen.

   Beispiel 2: Für welche Werte des Parameters b hat die Gleichung bx2 + bx + 1 = 8x
   genau eine Lösung?

   Lösung: Die Gleichung hat genau dann genau eine Lösung, wenn ihre Diskriminante
   null ist. Um die Diskriminante zu berechnen, bringen wir die Gleichung erst in die Form
   ax2 + bx + c = 0. Sie lautet dann
                                       bx2 + (b – 8)x + 1 = 0.
   Die Diskriminante dieser Gleichung ist (b – 8)2 – 4  b  1. Diese Diskriminante ist null,
   wenn (b – 8)2 – 4  b  1 = 0 ist. Auflösen dieser Gleichung liefert
                                       (b – 8)2 – 4  b  1 = 0
                                       b2 – 16b + 64 – 4b = 0
                                          b2 – 20b + 64 = 0
   Das ist nun eine quadratische Gleichung für b. Ihre Lösungen lassen sich mit dem Satz
   von Vieta bestimmen: Es muss b1 + b2 = 20 und b1  b2 = 64 sein. Die
   Faktorzerlegungen von 64 sind 1  64, 2  32, 4  16 und 8  8. Da 4 + 16 = 20, sind die
   Lösungen b1 = 4 und b2 = 16. Das heisst für die Lösung der ursprünglichen Aufgabe:

   Setzt man den Wert des Parameters b in der Gleichung bx2 + bx + 1 = 8x auf 4 oder auf
   16, so erhält man in beiden Fällen eine quadratische Gleichung, welche jeweils nur eine
   Lösung hat. Mit b = 4 erhält man die Gleichung 4x2 + 4x + 1 = 8x, ihre einzige Lösung
           1
   ist x  . Mit b = 16 erhält man die Gleichung 16x2 + 16x + 1 = 8x, ihre einzige
           2
                    1
   Lösung ist x   .
                    4
5 Die quadratische Funktion (Parabel)
Die Parabel ist eine Kurvenform, der man in der Mathematik immer wieder begegnet:
 Der Graph der quadratischen Funktion y = ax2 + bx + c ist eine Parabel
 Die Menge der Punkte, welche von einem gegebenen Punkt (genannt Brennpunkt F) und
   einer gegebenen Geraden (genannt Leitgerade ) gleich weit entfernt sind, bildet eine
   Parabel
 Ein Spiegel, welcher die von einem Punkt ausgehenden Lichtstrahlen so reflektiert, dass
   alle reflektierten Lichtstrahlen parallel sind, hat die Form einer Parabel, bzw. eines
   Paraboloids (Parabelschale). Der Ausgangspunkt des Lichts ist dabei der oben erwähnte
   Brennpunkt
 Umgekehrt bündelt ein Spiegel in Form eines Paraboloids alle parallel zur
   Symmetrieachse des Paraboloids einfallenden Lichtstrahlen im bereits erwähnten
   Brennpunkt.
 Schneidet man die Oberfläche eines Doppelkegels19 mit einer Ebene, die parallel zu einer
   Tangentialebene20 des Doppelkegels verläuft (ohne mit einer solchen zusammenzufallen),
   so erhält man ebenfalls eine Parabel.
In der Physik begegnet man Parabeln beim schiefen Wurf ohne Luftwiderstand (diese
Bewegungsform kommt z.B. bei Ballsportarten, beim Speerwerfen und beim Kugelstossen
vor, aber auch beim Abschuss von Geschossen), in der Technik trifft man sie bei
Parabolantennen und Parabolspiegeln an.
Da die Parabel eine relativ einfache Funktionsgleichung hat, lassen sich an ihr einige Dinge
wie die Momentansteigung und der Extremwert studieren, die sonst erst im Rahmen der
Differentialrechnung untersucht werden können.


5.1 Die Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion
Obwohl es letzten Endes Geschmackssache ist, welche Eigenschaft der Parabel man zu deren
Definition heranziehen, und welche Eigenschaften man daraus ableiten will, entspricht es
doch einer langen Tradition, die Parabel folgendermassen zu definieren:
                                                                                         Definition der Parabel.
                                                                                         Zum auswendig lernen!



     Eine Parabel besteht aus allen Punkten einer Ebene, welche von einer vorgegebenen
     Geraden (der Leitgeraden ) und einem vorgegebenen Punkt (dem Brennpunkt F) den
     gleichen Abstand haben.

Aus dieser Definition ergibt sich auch gleich eine Möglichkeit, eine Parabel zu konstruieren:
Man zeichnet um den Brennpunkt F herum Kreise k1, k2, k3, k4, k5, ... mit den Radien 1, 2, 3,
4, 5, ..., sowie zur Leitgeraden  parallele Geraden g1, g2, g3, g4, g5, ..., die von  die Abstände
1, 2, 3, 4, 5, ... haben. Die Schnittpunkte des Kreises kn mit der Geraden gn (n kann 1, 2, 3, 4,
5, ... sein) sind von F und  gleich weit entfernt und somit Punkte der Parabel. Die Parabel
erhält man, indem man alle so konstruierten Punkte verbindet.
19
   Einen Doppelkegel besteht aus zwei Kegeln, die sich nur mit der Spitze berühren (einer steht also auf dem
Kopf) und die die gleiche Symmetrieachse haben.
20
   Eine Tangentialebene an einem Kegel ist etwas ganz einfaches: Nehmen Sie sich einen Kegel und halten Sie
ein Blatt Papier so daran, dass es den Kegel entlang einer Geraden berührt. Dann bildet das Papier eine Tangen-
tialebene an den Kegel.

                                                      65
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                                                                                                                                   Seite 66

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                                                                         14                                                                                        k12
                                                                                                                                                                                                             g14
                                                                         13                                                                                    k11
                                                                                                                                                                                                             g13
                                                                         12                                                                                   k10
                                                                                                                                                                                                             g12
                                                                         11                                                                                                                                  g11
                                                                                                                                                              k9
                                                                         10                                                                                                                                  g10
                                                                                                                                                          k8
                                         Abstand von der Leitgeraden 




                                                                          9                                                                                                                                  g9
                                                                                                                                                         k7
                                                                          8                                                                                                                                  g8
                                                                                                                                                     k6
                                                                          7                                                                                                                                  g7
                                                                                                                                                 k5
                                                                          6                                                                                                                                  g6
                                                                                                                                                k4
                                                                          5                                                                                                                                  g5
                                                                                                                                           k3
                                                                          4                                                                                                                                  g4
                                                                                                                                          k2
                                                                          3                                                                                                                                  g3
                                                                                                                                 F   k1
                                                                          2                                                                                                                                  g2
                                                                          1                                                                                                                                  g1
                                                                          0                                                                                                                                  
                                                                               13 12 11 10 9 8 7 6 5 4                   3            3              4             5     6   7 8        9 10 11 12 13
                                                                                                                             0 12
                                                                                       Abstand vom Brennpunkt F

                                                                              Konstruktion einer Parabel, bei der die Leitgerade  und der Brennpunkt F den Abstand 2 haben.
                                                                                                                                                                   p1
                                                                                                                                                                             p2
                                                                                                                                                                                   p3    p4
                                                                                                                                                                                              p5 p
                                                                                                                                                                                                  6
                                                                                                                                                                                                       p7


                                                                                                                                                                                                       p8
Anzahl Einheiten, um die der Brennpunkt über der Leitgeraden liegt




                                                                                                                                                                                                       p9

                                                                                                                                                                                                       p10
                                                                                                                                                                                                       p11
                                                                         -2                                                                                                                            p12
                                                                                                                             F
                                                                         0
                                                                         1
                                                                         2
                                                                         3
                                                                         4

                                                                          6
                                                                          7
                                                                          8
                                                                          9
                                                                         10

                                                                         12                                                                                                  p-2
Durch Veränderung des Abstands von Brennpunkt und Leitgerade lassen sich weitere Parabeln konstruieren.
Je grösser dieser Abstand ist, desto weiter öffnet sich die Parabel. Liegt die Leitgerade über dem Brennpunkt,
so ist die Parabel nach unten geöffnet.
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                                       Seite 67


Die Parabel ist offensichtlich eine achsen-                                     s1        s2
symmetrische Funktion. Derjenige Punkt der
Parabel, der auf der Symmetrieachse der                                         S1
Parabel liegt, ist vom Brennpunkt und
Leitgerade am wenigsten weit entfernt ist
(nämlich gerade halb so weit wie die
Entfernung zwischen Brennpunkt und
Leitgerade selbst). Wenn die Leitgerade                      p1
horizontal verläuft, ist er der unterste, bzw.                                                            p2
oberste Punkt der Parabel. Er heisst daher
Scheitelpunkt S der Parabel (oberes Bild).

Um die Gleichung einer solchen Parabel
herzuleiten, zeichnen wir Brennpunkt und                                                      S2
Leitgerade in ein Koordinatensystem ein.
Dabei legen wir die y-Achse so, dass der
                                                   Zwei Parabeln p1 und p2 mit ihren Symmetrie-
Brennpunkt auf ihr liegt, und die x-Achse so,      achsen s1 und s2 sowie ihren Scheitelpunkten S1
dass sie vom Brennpunkt und der Leitgeraden        und S2.
gleich weit entfernt ist. Diesen Abstand
                                                                            y
bezeichnen wir mit e (unteres Bild).

Um die Gleichung einer solchen Parabel
herzuleiten, zeichnen wir Brennpunkt und
Leitgerade in ein Koordinatensystem ein.
Dabei legen wir die y-Achse so, dass der
Brennpunkt auf ihr liegt, und die x-Achse so,
                                                                                     x
dass sie vom Brennpunkt und der Leitgeraden                             y                      P(x/y)
gleich weit entfernt ist. Diesen Abstand
                                                                      y-e            PF
bezeichnen wir mit e (unteres Bild). Im Bild                                                   y+e
ist e > 0; bei einer nach unten geöffneten                                  F(0/e)
                                                                  e
Parabel wäre e < 0.                                               e         S(0/0)        x                  x
                                                                                                        : y = -e
                                                                                                         :

Die Bedingung an einen beliebigen Punkt                     Parabel im Koordinatensystem
P(x/y) der Parabel, dass der Abstand d(P,)
von der Leitgeraden  gleich gross sein muss
wie der Abstand vom Brennpunkt F, lautet nun

                   d ( P, )  PF
also
              y  e  x 2  ( y  e) 2

Wir lösen diese Gleichung nach y auf:
                                     ( y  e) 2  x 2  ( y  e) 2
                               x 2  y 2  2ey  e 2  y 2  2ey  e 2
                                          2ey  x 2  2ey
                                              4ey  x 2
                                                   1 2
                                              y       x
                                                  4e
Damit ist gezeigt, dass die Parabel der Graph einer quadratische Funktion ist.
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                                                      Seite 68



5.2 Der Öffnungsfaktor einer Parabel
Wir haben gesehen, dass die Parabel mit Scheitelpunkt (0/0), Brennpunkt (0/e) und Leitgerade
                          1 2
y = -e die Gleichung y     x hat. e ist gerade der halbe Abstand zwischen Brennpunkt und
                         4e
Leitgerade (für negatives e liegt der Brennpunkt unter der Leitgeraden). Wie man an der
unteren Abbildung auf Seite 66 sieht, ist die Parabel um so weiter geöffnet, je grösser |e| ist.

Wenn man nicht direkt auf Brennpunkt und Leitgerade Bezug nimmt, wird die Gleichung
                                                                     1 2
einer Parabel mit dem Scheitelpunkt S(0/0) nicht in der Form y         x , sondern in der Form
                                                                    4e
                                                                                             1
y = ax2 geschreiben. a wird Öffnungsfaktor genannt. Aus dem Vergleich ist klar, dass a 
                                                                                             4e
                      1
bzw. umgekehrt e         ist. Eine Parabel mit der Gleichung y = ax2 hat also den Brennpunkt
                     4a
      1                                1
F0 /     und die Leitgerade  : y   . Weiter gilt:
   4a                                  4a
 Je grösser der Betrag des Öffnungsfaktors ist, desto steiler ist die Parabel.
 Wenn der Öffnungsfaktor positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet, andernfalls ist sie
    nach unten geöffnet. Für a = 0 ist die Parabel in Wirklichkeit eine Gerade (man sagt auch:
    Die Parabel entartet zur Geraden).
                                                  y                                                        Das Bild zeigt die
1 1   1    1     1                                                              1        1   1   1 1
6 5   4    3     2         1         2 4    16            16 4 2       1        2        3   4   5 6       Graphen von 11 Para-
                                                      6
                                                                                                           beln mit Gleichungen
                                                                                                           der Form y = ax2. Der
                                                      5                                                    jeweilige Öffnungs-
                                                                                                           faktor a ist angegeben.
                                                      4
                                                                                                           Alle gezeigten Para-
                                                                                                           beln haben den Schei-
                                                      3                                                    telpunkt (0/0) und sind
                                                                                                           symmetrisch zur y-
                                                      2                                                    Achse. Dies gilt allge-
                                                                                                           mein für alle Parabeln
                                                                                                           mit Gleichungen der
                                                      1
                                                                                                           Form y = ax2.


-6    -5    -4        -3        -2     -1                   1      2        3        4       5     6   x


                                                 -1


                                                 -2


                                                 -3


                                                 -4


                                                 -5


                                                 -6
                 -1        -1                                          -1       -1
                  2                                                              2
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                                                                                       Seite 69



5.3 Verschiebungen des Funktionsgraphen

Jede Parabel mit Scheitelpunkt (0/0) hat eine Gleichung der Form y = ax2, und umgekehrt ist
der Graph jeder Funktion mit einer Gleichung der Form y = ax2 eine Parabel mit
Scheitelpunkt (0/0).

Wir untersuchen nun, wie sich die Gleichung einer Parabel ändert, wenn man die Kurve im
Koordinatensystem parallelverschiebt. Dazu betrachten wir zunächst Verschiebungen nur in
y-Richtung, dann Verschiebungen nur in x-Richtung und kombinieren schliesslich beide
Resultate, um allgemeine Verschiebungen zu untersuchen.

5.3.1 Verschiebungen in y-Richtung
                                                                                                        y
                                                          yS                                                                                                  yS
                                                      2
Verschiebt man eine Parabel der Form y = ax
mit dem Scheitelpunkt S(0/0) um yS Einheiten                   yS                                                                                    yS

in y-Richtung, so liegt der neue Scheitelpunkt
bei S '(0/yS). Zur y-Koordinate des Scheitel-                       yS                                                                     yS
punkts wird also yS addiert. Genauso muss zur                                                                       y = ax2 + yS

y-Koordinate jedes anderen Punktes der
                                                                         yS                                                        yS
Parabel yS addiert werden. Die Gleichung y =
ax2, die angibt, wie die y-Koordinate eines                                                                                             y = ax
                                                                                                                                                 2




Parabelpunktes aus dessen x-Koordinate zu                                      yS                                             yS

berechnen ist, muss entsprechend angepasst                                                              S '(0/yS)
werden: y ist nicht mehr gleich ax2, sondern                                             yS
                                                                                                   yS
                                                                                                                    yS

um yS grösser. Die Gleichung der
                                                                                                                                                                        x
verschobenen Parabel lautet also                                                                        S(0/0)




                         y = ax2 + yS

                                                                                                        y
5.3.2 Verschiebungen in x-Richtung

Verschiebt man eine Parabel der Form y = ax2                             xS                                                                                             xS
mit dem Scheitelpunkt S(0/0) um xS Einheiten
in x-Richtung, so liegt der neue Scheitelpunkt
                                                                              xS                                                                                   xS
bei S '(xS/0). Wenn zuvor zu einem bestimmten
x-Wert der y-Wert ax2 gehört hat, so erhält                                                                                                  y = ax
                                                                                                                                                          2
                                                                                                                                                                             y = a(x - xS)
                                                                                                                                                                                             2



man den gleichen y-Wert nun mit einem um xS                                         xS                                                                    xS

grösseren21 Wert. Bei der Berechnung von y
aus x muss man bei der neuen Parabel daher                                                    xS                                            xS
zuerst die Verschiebung rückgängig machen
(dazu ersetzt man x durch x – xS) und                                                                       xS
berechnet dann den so erhaltenen Wert wie bei                                                                                      xS
                                                                                                                                                                                    x
der ursprünglichen Parabel, d.h., man quadriert                                               S(0/0)                     xS             S '(xS/0)

ihn und multipliziert ihn mit a. Damit lautet
die neue Berechnungsvorschrift

                       y = a  (x – xS)2


21
     bzw. um |xS| kleineren Wert, falls xS < 0 ist.
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                   Seite 70


5.3.3 Allgemeine Verschiebungen und die Scheitelpunktsform der Parabel-
      gleichung

Eine allgemeine Verschiebung der Parabel um xS Einheiten in x-Richtung und um yS
Einheiten in y-Richtung schiebt den Scheitelpunkt nach S '(xS/yS). Eine solche Verschiebung
kann man sich zusammengesetzt denken aus einer Verschiebung um xS Einheiten in x-
Richtung und einer anschliessenden Verschiebung und um yS Einheiten in y-Richtung. Die
Gleichung der Parabel ändert sich dabei folgendermassen:

Ursprüngliche Gleichung                                y = ax2

Verschiebung um xS in x-Richtung:                      y = a  (x – xS)2

Zusätzliche Verschiebung um yS in y-Richtung:          y = a  (x – xS)2 + yS

Somit gilt:

    Eine Parabel mit dem Öffnungsfaktor a und dem Scheitelpunkt S(xS/yS) wird durch die
    Funktionsgleichung y = a  (x – xS)2 + yS beschrieben. Diese Form der Parabelgleichung
    heisst Scheitelpunktsform.


Zum Schluss dieses Abschnitts soll noch auf die Ähnlichkeit zwischen der Scheitelpunkts-
form der Parabelgleichung und der Punkt-Steigungsform der Geradengleichung hingewiesen
werden. Eine Gerade, die durch den Nullpunkt (0/0) des Koordinatensystems geht, hat die
Gleichung y = mx. Verschiebt man die Gerade so, dass der Nullpunkt in den Punkt P(x1/y1)
geschoben wird, kann die Gleichung in der Form

                                        y – y1 = m(x – x1)

geschrieben werden. Fast die gleiche Form erhält man, wenn man bei der Scheitelpunktsform
der Parabelgleichung, y = a  (x – xS)2 + yS, auf beiden Seiten yS subtrahiert:

                                        y – yS = a(x – xS)2

Der einzige wesentliche Unterschied besteht im Quadrat, das nur bei der Parabel vorkommt.


5.4 Formen der Parabelgleichung

Neben der in Abschnitt 5.3.3 hergeleiteten Scheitelpunktsform gibt es noch andere Formen, in
denen die Gleichung einer Parabel geschrieben werden kann. Es sind dies

   die allgemeine Form y = ax2 + bx + c, und

   die Nullstellenform y = a (x – x1) (x – x2)

Im folgenden untersuchen wir, wie diese Gleichungsformen miteinander und mit der
Scheitelpunktsform zusammenhängen, und wie man die einzelnen Gleichungsformen
ineinander umwandelt.
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                    Seite 71


5.4.1 Die allgemeine Form der Parabelgleichung
Die allgemeine Form der Parabelgleichung ist y = ax2 + bx + c. Diese Form ist klammerfrei
und daher recht übersichtlich. Man erhält sie aus der Scheitelpunktsform, indem man diese
ausmultipliziert:

                                           y = a  (x – xS)2 + yS
                                      y = a  (x2 – 2xS x + xS2) + yS
                                       y = ax2 – 2axS x + axS2 + yS

Vergleicht man diese Form mit der allgemeinen Form y = ax2 + bx + c, so sieht man, dass a
auch in der allgemeinen Form der Öffnungsfaktor ist, dass b = -2axS und c = axS2 + yS ist. Die
Gleichungen für b und c können nach xS und yS aufgelöst werden, was es erlaubt, die Scheitel-
punktskoordinaten aus der allgemeinen Form zu berechnen:

                                                b = -2axS
                                                       b
                                                xS  
                                                       2a
einsetzen in c = axS2 + yS:
                                                         2
                                                    b 
                                           c  a      yS
                                                    2a 
                                                      b2
                                             c  a  2  yS
                                                      4a
                                                     b2
                                               c        yS
                                                     4a
                                                         b2
                                               yS  c 
                                                         4a
Somit gilt:

    Der Scheitelpunkt der Parabel mit der Gleichung y = ax2 + bx + c hat die Koordinaten
           b               b2
    xS      und yS  c  .
           2a              4a


Um aus der allgemeinen Form der Parabelgleichung die Scheitelpunktsform herzuleiten, muss
man aus der allgemeinen Form die Scheitelpunktskoordinaten bestimmen. Da die dazu
                           b                b2
geeigneten Formeln xS        und yS  c     in der Formelsammlung nicht zu finden sind,
                          2a                4a
gibt es folgende Möglichkeiten:

   Beide Formeln auswendig lernen
                            b
   Nur die Formel xS         auswendig lernen und yS durch Einsetzen von xS in die
                           2a
    allgemeine Form der Parabelgleichung bestimmen
   Die Scheitelpunktsform mittels quadratischer Ergänzung aus der allgemeinen Form
    gewinnen.

Im folgenden Beispiel spielen wir alle drei Varianten durch.
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                    Seite 72


   Beispiel: Gesucht ist die Scheitelpunktsform der Gleichung der Parabel, deren
   allgemeine Form durch y = 3x2 – 5x + 2 gegeben ist.

   Lösungsmethode 1 (Benutzung der Formeln für xS und yS):

                                                             5 5              (5) 2    1
   Es ist a = 3, b = -5, c = 2. Daraus ergibt sich xS          und yS  2          .
                                                             23 6              43     12
                                                             2
                                                 5   1
   Die Scheitelpunktsform lautet demnach y   x    .
                                                 6  12

   Lösungsmethode 2 (Benutzung der Formel für xS, anschliessendes Einsetzen in die
   allgemeine Form)
                                                   5 5
   Es ist a = 3, b = -5. Daraus ergibt sich xS       . Einsetzen in y = 3x2 – 5x + 2
                                                   23 6
                         2
                   5      5        1
   ergibt yS  3     5   2   . Wiederum ergibt sich für die Scheitelpunktsform
                   6      6       12
                 2
          5   1
    y  x   .
          6  12

   Lösungsmethode 3 (ohne Formeln, mit quadratischer Ergänzung):
   In der Gleichung y = 3x2 – 5x + 2 wird der Öffnungsfaktor in den Termen mit x2 und x
   ausgeklammert:
                                                5 
                                     y  3 x 2  x   2
                                                3 
                                                            halbieren
   Innerhalb der Klammer wird quadratisch ergänzt:

                                               5  25 
                                                    2

                                      y  3 x      2
                                           
                                                6  36 
                                                        
                                                          quadrieren

   Die eckige Klammer wird wieder aufgelöst:
                                                  2
                                          5  25
                                 y  3 x        2
                                          6  12
   Zusammenfassen der konstanten Terme liefert die Scheitelpunktsform
                                                      2
                                               5   1
                                         y  x  
                                               6  12


5.4.2 Die Nullstellenform der Parabelgleichung

Als Nullstellen des Graphen einer Funktion einer Funktion y = f (x) bezeichnet man die x-
Koordinaten derjenigen Punkte des Graphen, deren y-Koordinate 0 ist. Anders gesagt sind es
die x-Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse. Und nochmals anders
gesagt sind die Nullstellen die Lösungen der Gleichung f(x) = 0.
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                               Seite 73



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Die Nullstellen der Parabel mit der Gleichung
y = ax2 +bx + c sind demnach die x-
Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit
der x-Achse, oder anders gesagt, die Lösungen
der quadratischen Gleichung 0 = ax2 + bx + c.
Da diese Gleichung keine, eine oder zwei
Lösungen haben kann, kann auch die zuge-                                                               x
hörige Parabel keine, eine oder zwei
Nullstellen haben. Das sieht man auch am Bild
rechts.

Die Funktion y = a (x – x1) (x – x2) hat einen
Graphen mit den Nullstellen x1 und x2. Setzt
man nämlich x1 für x ein, wird der Faktor
(x – x1) gleich null und somit y = 0. Setzt man        Beispiele für Parabeln mit 2, 1 und 0 Nullstellen
x2 für x ein, passiert dasselbe mit dem Faktor
(x – x2).

Dass der Graph der Funktion y = a (x – x1) (x – x2) eine Parabel ist, sieht man, wenn man die
Klammern ausmultipliziert: Es ist

y = a (x – x1) (x – x2) = (ax – ax1) (x – x2) = ax2 – axx2 – ax1x + ax1x2 = ax2 –a(x1 + x2)x + ax1x2.

Vergleicht man dies mit der allgemeinen Form der Parabelgleichung, y = ax2 + bx + c, so
stellt man fest, dass der Parameter a auch in der Gleichung y = a(x – x1)(x – x2) den Öffnungs-
faktor darstellt, und dass die Beziehungen b = –a(x1 + x2) sowie c = ax1x2 gelten. Die letzten
                                                                             b         c
beiden Beziehungen sind nichts anderes als der Satz von Vieta, x1  x2   , x1 x2  .
                                                                             a         a
Die Funktion y = a (x – x1) (x – x2) hat als Graphen also eine Parabel mit Öffnungsfaktor a
und den Nullstellen x1 und x2. Man nennt die Gleichung y = a (x – x1) (x – x2) daher auch die
Nullstellenform der Parabelgleichung. Die zugehörige allgemeine Form der Parabelgleichung
erhält man durch ausmultiplizieren.

Will man umgekehrt aus der allgemeinen Form y = ax2 + bx + c die Nullstellenform herleiten,
muss man die Nullstellen berechnen. Wenn es zwei Nullstellen x1 und x2 gibt, kann man sie
einfach in die Gleichung y = a (x – x1) (x – x2) einsetzen und hat damit die Nullstellenform
gefunden. Wenn es nur eine Nullstelle x1 gibt, liegt diese Nullstelle genau am Scheitelpunkt
(siehe Abbildung oben). Die Nullstellenform ist dann mit der Scheitelpunktsform identisch
und lautet folglich
                                         y = a(x – x1)2
bzw.
                                        y = a(x – xS)2
(x1 ist dann gleich xS). Wenn es keine Nullstellen gibt, gibt es auch keine Nullstellform für die
Parabelgleichung.

Aus der Nullstellenform lässt sich auch die Scheitelpunktsform einer Parabelgleichung
einfach ableiten. Wegen der Symmetrie der Parabel liegen die Nullstellen in gleichen
Abständen links und rechts vom Scheitelpunkt. Insbesondere gilt für die x-Koordinate des
Scheitelpunkts xS, dass
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                         Seite 74

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                       x1  x2
                    xS 
                          2
ist. Dies ist auch aus dem Bild rechts
ersichtlich.    Die       y-Koordinate      des
Scheitelpunkts erhält man, indem man das
eben gewonnene xS in die gegebene
Nullstellenform der Parabelgleichung einsetzt.                                          x
Damit kennt man alle Werte, die man zum                    x1     xS      x2
Aufstellen der Scheitelpunktsform benötigt.

Umgekehrt lässt sich auch die Nullstellenform
der Parabelgleichung einfacher aus der
Scheitelpunktsform als aus der allgemeinen
Form gewinnen. Wir betrachten für beides je
ein Beispiel:

                                                          1
   Beispiel 1: Gegeben ist die Scheitelpunktsform y =       ( x  2) 2  4 der Gleichung einer
                                                          4
   Parabel. Gesucht ist die Nullstellenform.

   Lösung: Die Nullstellen erhält man, indem man y = 0 setzt. Daraus ergibt sich
                                           1
                                      0  ( x  2) 2  4
                                           4
                                             1
                                        4  ( x  2) 2
                                             4
                                         16  ( x  2) 2
                                          4  x1, 2  2
                                         x1, 2  2  4
                                                                               1
   Die Nullstellen sind somit –6 und 2. Da der Öffnungsfaktor gleich             ist, lautet die
                                                                               4
                                    1
   Nullstellenform der Gleichung y  ( x  2)(x  2).
                                    4

   Beispiel 2: Gegeben ist die Nullstellenform y = 4(x – 2)(x + 8) der Gleichung einer
   Parabel. Gesucht ist die Scheitelpunktsform.
   Lösung: Die Nullstellen sind 2 und –8, der Scheitelpunkt hat daher die x-Koordinate
        28
   xS        3. Die y-Koordinate des Scheitelpunkts ergibt sich daraus zu
          2
   yS  4(3  2)( 3  8)  100 . Mit dem Öffnungsfaktor a = 4 ergibt das die Scheitel-
   punktsform yS = 4 (x + 3)2 – 100.


5.4.3 Anleitung zum Zeichnen von Parabeln

Um eine Parabel zu zeichnen, muss man einerseits ihre Form und andererseits ihre Lage
kennen. Die Form wird allein durch den Öffnungsfaktor a bestimmt, der an allen Formen der
Parabelgleichung sofort abgelesen werden kann. Die Lage der Parabel wird durch den
Scheitelpunkt bestimmt.
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                                                                               Seite 75


Die schnellste Methode zum Zeichnen einer Parabel besteht also darin, zuerst den Scheitel-
punkt zu bestimmen, diesen in Gedanken zum Nullpunkt des Koordinatensystems zu machen
und von diesem als Nullpunkt gedachten Punkt aus eine Parabel mit der Gleichung y = ax2 zu
zeichnen. x kann man sich dabei als den horizontalen Abstand vom Scheitelpunkt denken.
Gegenüber dem herkömmlichen Zeichnen eines Funktionsgraphen mittels Wertetabelle hat
diese Methode zwei Vorteile:
 Durch die Bestimmung des Scheitelpunkts findet man sofort den interessanten Bereich der
    Parabel.
 Da der Scheitelpunkt auf der Symmetrieachse liegt, vereinfacht sich das Zeichnen weiter.

Dieses Verfahren lässt sich allerdings nur selbst üben, weswegen hier keine Beispiele
angegeben werden.

5.4.4 Zusammenfassung

Es gibt drei wichtige Formen für die Parabelgleichung:

1. Die allgemeine Form y = ax2 + bx + c
2. Die Scheitelpunktsform y = a(x – xS)2 + yS
3. Die Nullstellenform y = a(x – x1)(x – x2)

Die allgemeine Form ist wegen ihrer Einfachheit die gebräuchlichste. Die Scheitelpunktsform
ist am geeignetsten, um die zugehörige Parabel zu zeichnen. Die Nullstellenform ist zwar
praktisch, existiert aber nicht immer.

Jede der drei Formen (die ja jeweils nur auf andere Art das gleiche liefern; es ist egal, mit
welcher der Formeln man y aus x berechnet, das Ergebnis ist jeweils das selbe) lässt sich in
die anderen beiden Formen umwandeln. Die Methoden dazu fasst die folgende Darstellung
zusammen.                              Nullstellenform
                                                             y = a(x - x1)(x - x2)
                                                                                         Sa
                                           nen




                                                                                           tz v
                                        ech




                                                                                              aus
                                                                                               on
                                     ber




                                                                                                 mu
                                                                                                  Vie



                                                                                                    ltip
                                     ,2




                                                                                                     ta o
                                x1




                                                   x1  x2
                                                                                                        lizi
                               en,




                                             xS 
                                                                                                          der




                                                            ,
                            etz




                                                                                                            ere




                                                      2
                                                                                                              Lö




                                          yS  a ( xS  x1 )( xS  x 2 )
                          0s




                                                                                                               n
                                                                                                                 sun
                         y=




                                                                                                                    gsf
                                                                                                                       orm
                                                                                                                          el




                                                              ausmultiplizieren
          Scheitelpunktsform                                                                                                   allgemeine Form
                        2                                                                                                             2
           y = a(x - xS) + yS                                                                                                   y = ax + bx + c
                                                                       b            b2
                                                             xS        , yS  c 
                                                                      2a            4a
                                                                       oder
                                                              b
                                                       xS      , y S  ax S  bx S  c
                                                                            2

                                                              2a
                                                                       oder
                                                       quadratische Ergänzung
                                                           Nullstellenform
                                                          y = a(x - x1)(x - x2)
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                               Seite 76



5.5 Die Momentansteigung einer Parabel
                                                                                y

Legt man in einem Punkt P(x1/y1) die




                                                                                           ente
Tangente an eine Parabel mit der Gleichung
y = ax2 + bx + c, so nennt man die Steigung




                                                                                      Tang
dieser Tangente die Momentansteigung der
Parabel im Punkt P, oder die Momentan-
steigung der Parabel an der Stelle x1 (wobei x1
                                                                                                      x
die x-Koordinate des Punktes P ist).                                                P(x1/y1)
Um diese Steigung zu berechnen, setzt man für
die Tangente die Punkt-Steigungsform einer
Geraden, y – y1 = m (x – x1) an und bestimmt
die Schnittpunkte dieser Geraden mit der
Parabel.

Die Schnittpunkte sind sowohl Punkte der Parabel als auch Punkte der Tangente. Setzt man
daher die x-Koordinate eines Schnittpunkts in die Parabelgleichung ein, so erhält man das
gleiche y, wie wenn man die selbe x-Koordinate in die Gleichung der Tangente (aufgelöst
nach y, also y = m (x – x1) + y1) einsetzt. Für die Schnittpunkte gilt daher

                                        ax2 + bx + c = m (x – x1) + y1

Da P(x1/y1) ein Punkt der Parabel ist, gilt y1  ax12  bx1  c. Damit lautet die obige Gleichung

                                ax 2  bx  c  m( x  x1 )  ax12  bx1  c

Ausmultiplizieren, ordnen und zusammenfassen liefert

                                ax 2  bx  c  mx  mx1  ax12  bx1  c
                                  ax 2  bx  mx  mx1  ax12  bx1  0
                                  ax 2  (b  m) x  mx1  ax12  bx1  0

Dies ist eine quadratische Gleichung für die x-Koordinaten der Schnittpunkte.

Wenn die Gerade y = m(x – x1) + y1 eine Tangente an die Parabel darstellt, hat diese Glei-
chung nur eine einzige Lösung, denn eine Tangente an eine Parabel berührt die Parabel nur in
einem Punkt. Die Diskriminante der obigen Gleichung muss also null sein:

                                      (b  m) 2  4a(mx1  ax12  bx1 )  0

Ausmultipliziert:

                             b 2  2bm  m 2  4amx1  4a 2 x12  4abx1  0

Da wir die Steigung m berechnen wollen, sortieren wir die Gleichung nach Potenzen von m:

                              m 2  4ax1m  2bm  4a 2 x12  4abx1  b 2  0
                              m 2  (4ax1  2b)m  4a 2 x12  4abx1  b 2  0
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                          Seite 77




Diese Gleichung lösen wir mit quadratischer Ergänzung:

                      m  (2ax1  b)2  (2ax1  b) 2  4a 2 x12  4abx1  b 2  0
                  m  (2ax1  b)2  4a 2 x12  4abx1  b 2  4a 2 x12  4abx1  b 2  0
An dieser Stelle heben sich alle Terme ausserhalb der eckigen Klammer weg. Es bleibt

                                          m  (2ax1  b)2  0
Diese Gleichung lässt sich nun leicht nach m auflösen:

                                           m – (2ax1 + b) = 0
                                             m = 2ax1 + b

Wir erhalten damit das folgende Resultat:

   Die Parabel mit der Gleichung y = ax2 + bx + c hat an der Stelle x1 die Momentan-
   steigung 2ax1 + b.

Dieses Resultat ist ganz allgemein, und gestattet es, die Momentansteigung einer beliebigen
Parabel in einem beliebigen Kurvenpunkt zu berechnen.

5.6 Maxima- und Minimaaufgaben

Sowohl in der Geometrie als auch in der Ökonomie hat man es häufig mit Grössen zu tun,
deren Wert von einem oder mehreren Parametern abhängt, und sucht nach denjenigen Para-
meterwerten, für welche die betrachtete Grösse maximal oder minimal wird.

Beispiele:
 Spannt man mit einer Schnur gegebener Länge  ein Rechteck mit den Seitenlängen a und
   b, so ist der Flächeninhalt A durch A = ab gegeben. Dabei sind a und b durch die
   Bedingung 2a + 2b =  aneinander geknüpft. Wie sind nun a und b zu wählen, damit der
   Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird?
 Der Gewinn, der beim Verkauf einer Ware gemacht wird, hängt einerseits von der
   verkauften Stückzahl und andererseits vom Stückpreis ab. Die Verkaufszahl hängt
   wiederum vom Stückpreis ab, z.B. so, wie es die folgende Grafik zeigt:
                               Verkaufszahl
                              60000




                                                                         Stückpreis in Fr.
                                                               500
    Wir wollen annehmen, dass sich die Produktionskosten auf 100 Fr. pro Stück belaufen.
    Beim Stückpreis 0 gibt es logischerweise keinen Gewinn (sondern 6'000'000 Fr. Verlust
    aufgrund der Produktionskosten), aber auch wenn der Stückpreis zu hoch ist, gibt es auch
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                      Seite 78


    keinen Gewinn, da dann niemand mehr die Ware kauft. Es stellt sich somit die Frage, bei
    welchem Stückpreis (bzw. welcher Verkaufszahl) der Gesamtgewinn maximal ist.

Falls die Funktion, welche die Gesuchte Grösse (den Flächeninhalt, den Gewinn oder was
auch immer) beschreibt, eine quadratische Funktion des Parameters ist, ist der Graph der
entsprechenden Funktion eine Parabel. Sucht man nun nach dem Maximum bzw. Minimum
der betreffenden Grösse, so findet man es beim Scheitelpunkt der Parabel.

Für die beiden bereits genannten Probleme ergeben sich folgende Lösungen:

   Problem 1 (grösste Fläche eines Rechtecks bei vorgegebenem Umfang):

   Die Fläche des Rechtecks ist A = ab. Hierbei sind a und b aber nicht unabhängig,
   sondern durch eine Nebenbedingung miteinander verknüpft. Diese Nebenbedingung ist
                                                                                  2a
   2a + 2b = . Löst man diese Bedingung nach b auf, erhält man b                     . Dies
                                                                                   2
   wiederum eingesetzt in die Formel für A ergibt
                       2a                   1       1                  1
               A a          a    a   a     a   a  a 2  a 2  a.
                        2          2           2       2                  2
   Wenn man nun auf der x-Achse a und auf der y-Achse A aufträgt, erhält man eine
   Parabel, welche den Flächeninhalt A in Abhängigkeit von der Länge a der Kante a
   angibt (Das ganze lässt sich allerdings nur in Gedanken durchführen, weil der Parameter
    nicht bekannt ist). Der Scheitelpunkt dieser Parabel hat die x-Koordinate
         1
           
         2      1                                                                         1
              . Das bedeutet, dass die Fläche maximal wird, wenn wir a  
      2  (1) 4                                                                          4
                                                 1
                                           2 
   wählen. Für b ergibt sich dann b             4  1   a. Das Rechteck ist demnach ein
                                             2         4
                                               1
   Quadrat. Sein Flächeninhalt ist A  ab   2 .
                                              16
   Dieses Resultat ist natürlich nicht überraschend. Auf die gleiche Art lassen sich aber
   auch andere, weniger offensichtliche Flächenoptimierungen durchführen.

   Problem 2 (Gewinnoptimierung durch optimale Wahl der Stückzahl):

   Der Gewinn lässt sich mit der Formel (Stückpreis – Produktionskosten)  Verkaufszahl
   berechnen. Nennen wir den Gewinn G, die Verkaufszahl N und den Stückpreis x, so
   erhalten wir G = (x – 100)  N. Gemäss der Grafik auf der vorigen Seite gilt aber
   folgender Zusammenhang zwischen N und x (Nebenbedingung):
                                      x       N
                                                 1
                                     500 60000
   (Da die Achsenabschnitte gegeben sind, wurde die Gleichung in der
   Achsenabschnittsform ( Abschnitt 2.5.2) aufgestellt).
   Nach N aufgelöst:
                                    120x + N = 60000
                                    N = 60000 – 120x
   Eingesetzt in die Formel für G:
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                  Seite 79


             G = (x – 100)  (60000 – 120x) = 60000x – 120x2 – 6000000 + 12000x

   Zusammengefasst und sortiert:

                                      G = -120x2 + 72000x – 6000000

   Der Graph dieser Funktion ist wieder eine Parabel. Der maximale Gewinn wird am
                                                             72000
   Scheitelpunkt erzielt, dessen x-Koordinate durch xS =               300 gegeben ist.
                                                           2  (120 )
   Der maximale Gewinn lässt sich also bei einem Stückpreis von 300 Fr. realisieren. Die
   hergestellte Stückzahl beträgt dann N = 60000 – 120  300 = 24000 Stück und der
   Gesamtgewinn beläuft sich auf G = (300 Fr. – 100 Fr.)  24000 = 4'800'000 Fr.

Typisch an beiden Aufgaben ist das Auftreten einer Nebenbedingung: Die gesuchte Grösse
hängt zunächst von zwei Parametern ab (die Fläche von Länge und Breite, der Gewinn von
Stückzahl und Stückpreis), die beiden Parameter sind aber durch eine Bedingung aneinander
geknüpft. Dadurch lässt sich einer von beiden Parametern aus der Gleichung eliminieren, und
es ist möglich, das Maximum (es könnte bei anderen Aufgaben auch ein Minimum sein) zu
finden.

5.7 Weitere typische Aufgaben mit Parabeln
Neben den bereits behandelten Aufgaben mit Parabeln werden in diesem Abschnitt noch ein
paar typische Aufgaben exemplarisch gelöst.

                                                        1 2 3       5
   Beispiel 1: Gegeben ist die Parabelgleichung y        x  x  . Gesucht sind die
                                                        4      2    4
   Koordinaten des Brennpunkts F und die Gleichung der Leitgeraden .
   Lösung: Die vorgegebene Parabel hat die selbe Form wie die Parabel mit der Gleichung
       1
   y  x, deren Scheitelpunkt im Nullpunkt liegt. Wir bestimmen nun zunächst, wie
       4
   weit der Brennpunkt oberhalb, bzw. die Leitgerade unterhalb des Scheitelpunkts liegt.
   Aus Abschnitt 5.2 wissen wir, dass eine Parabel mit der Gleichung y = ax2 den
                     1                              1
   Brennpunkt F  0 /  und die Leitgerade  : y        hat. Der Brennpunkt der Parabel
                  4a                               4a
       1
   y  x hat demnach die Koordinaten (0/1) und die Leitgerade y = -1, d.h., der
        4
   Brennpunkt liegt eine Einheit über dem Scheitelpunkt, die Leitgerade eine Einheit
   darunter.
                       1      3    5
   Bei der Parabel y  x 2  x  liegt nun ebenfalls der Brennpunkt eine Einheit über
                       4      2    4
   und die Leitgerade eine Einheit unter dem Scheitelpunkt. Der Scheitelpunkt kann z.B.
                                   3
                          b
   mit der Formel xS         2  3 und anschliessendem Einsetzen in die Para-
                          2a         1
                                  2
                                     4
                       1         3        5
   belgleichung: yS   (3) 2   (3)   1 bestimmt werden. Aus den Scheitel-
                       4         2        4
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                        Seite 80


      punktskoordinaten (3/-1) folgt nun, dass der Brennpunkt die Koordinaten (3/0) hat, und
      die Leitgerade die Gleichung y = -2.

      Beispiel 2: Die Parabel y = -x2 + 4x + 5 wird a) verschoben, b) um 180° gedreht, und
      zwar so, dass ihr Bild den Scheitelpunkt (6/6) hat. Wie lautet die Gleichung der
      Bildparabel?
      Lösung: Im Fall a) behält die Parabel ihren Öffnungsfaktor a = -1. Die Bildparabel hat
      daher die Gleichung y = -(x – 6)2 + 6, oder, in der allgemeinen Form, y = -x2 + 12x – 30.
      Im Fall b) wechselt der Öffnungsfaktor sein Vorzeichen. Die Bildparabel bekommt
      dadurch die Gleichung y = (x – 6)2 + 6, oder, in allgemeiner Form, y = x2 – 12x + 42.

      Beispiel 3: Bestimmen Sie die Gleichung einer Parabel so, dass sie durch die Punkte
      P(-2/10), Q(2/10) und R(3/20) geht.
      Lösung: Wir setzen für die Parabel die Form y = ax2 + bx + c an. Die Bedingungen, dass
      P, Q und R Punkte der Parabel sind, liefern folgende Gleichungen:
                     P(-2/10) liegt auf der Parabel:     10 = a  (-2)2 + b  (-2) + c
                     Q(2/10) liegt auf der Parabel:      10 = a  22 + b  2 + c
                     R(3/20) liegt auf der Parabel:      20 = a  32 + b  3 + c
      Diese drei Gleichungen bilden das lineare Gleichungssystem
                                            4a  2b  c  10
                                            4a  2b  c  10
                                            9a  3b  c  20
      Subtrahiert man die ersten beiden Gleichungen, erhält man –4b = 0, also b = 0.
      Subtrahiert man die erste Gleichung von der dritten Gleichung, erhält man 5a + 5b = 10.
      Da b = 0 ist, folgt 5a = 10 und daraus a = 2. Setzt man a = 2 und b = 0 in die erste
      Gleichung ein, erhält man 42 – 20 + c = 10 und daraus c = 2. Die gesuchte Parabel hat
      also die Gleichung y = 2x2 + 2.

      Beispiel 4: Berechnen Sie die Schnittpunkte von Bild und Urbild, wenn der Graph von
      y = 1.5x2 am Punkt (2/6) gespiegelt wird.
      Lösung: Die Parabel y = 1.5x2 hat ihren Scheitelpunkt im Ursprung22 (0/0). Spiegelt
      man den Punkt (0/0) am Punkt (2/6), erhält man den Punkt (4/12). Bei dieser
      Spiegelung wird die Parabel auf den Kopf gestellt, die Bildparabel hat daher nicht mehr
      den Öffnungsfaktor 1.5, sondern den Öffnungsfaktor –1.5. Die Scheitelpunktsform ihrer
      Gleichung ist somit y = -1.5(x – 4)2 + 12.
      Die Schnittpunkte sind gemeinsame Punkte beider Graphen. Setzt man die x-Koordinate
      eines Schnittpunkts in eine der beiden Parabelgleichungen ein, erhält man auch den
      gleichen y-Wert. Daher findet man diese x-Koordinate, indem man das y aus beiden
      Gleichungen gleichsetzt:
                                       1.5x2 = -1.5(x – 4)2 + 12
      ausmultipliziert:
                                   1.5x2 = -1.5(x2 – 8x + 16) + 12
                                   1.5x2 = -1.5x2 + 12x – 24 + 12
      zusammengefasst:
                                       3x2 – 12x + 12 = 0 | : 4
                                            x2 – 4x + 4 = 0
      Diese quadratische Gleichung kann mit dem Satz von Vieta gelöst werden. Für die
      Lösungen gilt x1 + x2 = 4, x1x2 = 4. Daraus folgt x1 = x2 = 2. Der (einzige) Schnittpunkt

22
     Ursprung ist ein altes und schönes Wort für den Nullpunkt des Koordinatensystems.
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                     Seite 81


   hat somit die x-Koordinate 2. Die y-Koordinate ist y = 1.5  22 = 6. Der Schnittpunkt ist
   demnach (2/6).

   Beispiel 5: Die Gerade y = mx soll eine Tangente der Parabel y = mx2 + x + m sein.
   Bestimmen Sie m. Wo liegt der Berührungspunkt?
   Lösung: Damit die Gerade eine Tangente an die Parabel ist, muss sie mit der Parabel
   genau einen gemeinsamen Punkt haben. Die Schnittgleichung,

                                         mx = mx2 + x + m

   bzw. (in der Form ax2 + bx + c = 0 geschrieben):

                                        mx2 + (1 – m)x + m = 0

   darf daher nur eine Lösung haben. Das bedeutet, dass ihre Diskriminante null sein muss:

                                      D = (1 – m)2 – 4mm = 0

   Für m erhält man somit

                                      1 – 2m + m2 – 4m2 = 0
                                        -3m2 – 2m + 1 = 0
                                         3m2 + 2m – 1 = 0
                             2  22  4  3  (1)  2  16  2  4
                          m                                
                                      23               6         6
                                 1
   Die Lösungen sind –1 und . Es gibt also zwei Werte für m, mit denen die Gerade
                                 3
   y = mx Tangente an die Parabel y = mx2 + x + m wird.
   Für m = -1 ergibt sich aus der allgemeinen Schnittgleichung mx2 + (1 – m)x + m = 0

                                          -x2 + 2x – 1 = 0
                                          x2 – 2x + 1 = 0
   quadratische Ergänzung:
                                    (x – 1)2 – 1 + 1 = 0
                                        (x – 1)2 = 0
                                          x–1=0
                                            x=1
   Die Tangente hat die Gleichung y = -x, die Parabel die Gleichung y = -x2 + x – 1. Aus
   beiden Gleichungen erhält man für die y-Koordinate des Schnittpunkts y = -1. Der
   Berührungspunkt ist also (1/-1).
                  1                  1 2 2        1
   Ebenso für m = :                    x  x 0
                  3                  3       3    3
                                      x2 + 2x + 1 = 0
                                        (x + 1)2 = 0
                                           x = -1
                                          1                      1          1
   Hier erhält man die Tangente y  x, die Parabel y  x 2  x                und den
                                          3                      3          3
                           1
   Berührungspunkt   1 /  .
                           3
Die quadratische Funktion (Parabel)                                                         Seite 82

                                                                            y
   Beispiel 6: Gesucht ist die Lösungsmenge der
   quadratischen Ungleichung x2 + x – 2 < 0.                                2
   Lösung: Der Term x2 + x – 2 ist dort kleiner als
   null, wo die entsprechende quadratische Funktion                         1
   y = x2 + x – 2 kleiner als null ist. Der Graph dieser
   Funktion ist eine Parabel, die (wegen a = 1) nach
                                                           -3   -2   -1     0     1     2      x
   oben geöffnet ist. Die Nullstellen sind die
   Lösungen der Gleichung x2 + x – 2 = 0. Nach
   Vieta ist x1 + x2 = -1, x1x2 = -2 und somit x1 = -2,                     -1
   x2 = 1. Da die Parabel nach oben geöffnet ist,
   liegen die negativen Werte zwischen den Null-                            -2
   stellen, was man auch an der Zeichnung rechts
   erkennt. Die Lösungsmenge ist somit das                                  -3
   Intervall ]-2, 1[. (Die Ränder gehören nicht zur
   Lösungsmenge,        daher       verkehrte    eckige
   Klammern.)

   Beispiel 7: Gesucht ist die Lösungsmenge der Ungleichung (5x2 – 13x + 8)(2x2 – 3x)<0.
   Lösung: Wir bestimmen zunächst für die einzelnen Faktoren 5x2 – 13x + 8 und 2x2 – 3x
   wo diese grösser und kleiner als null sind. Dabei gehen wir vor wie in Beispiel 6.
                                               13  (13) 2  4  5  8
   Der Term 5x2 – 13x + 8 wird null für x                              , also für x1 = 1 und
                                                        25
   x2 = 1.6. Dazwischen ist er negativ und ausserhalb positiv, weil die Parabel y = 5x2 –
   13x + 8 nach oben geöffnet ist. Der Term 2x2 – 3x wird null für x1 = 0 und für 2x – 3 =
   0, also für x2 = 1.5. Dazwischen ist er negativ und ausserhalb positiv, weil die Parabel
   y = 2x2 – 3x nach oben geöffnet ist.
   Nun kann die Aufgabe tabellarisch gelöst werden:

                              Vorzeichen von     Vorzeichen von        Vorzeichen
             Intervall
                               5x2 – 13x + 8        2x2 – 3x          des Produkts
               ]-, 0[               +                 +                   +
                ]0, 1[               +                  -                   -
              ]1, 1.5[               -                  -                  +
             ]1.5, 1.6[              -                 +                    -
              ]1.6, [               +                 +                   +

   Das Produkt ist also in den Intervallen ]0, 1[ und ]1.5, 1.6[ negativ. Die Lösungsmenge
   ist damit ]0, 1[  ]1.5, 1.6[.

   Beispiel 8: Bestimme die Gleichung der Tangente an die Parabel y = 3x2 + 2x – 5 im
   Punkt P(-3/?).
   Lösung: Die y-Koordinate von P ist y = 3  (-3)2 + 2  (-3) – 5 = 16. Die Gleichung der
   Tangente kann somit in der Form y – 16 = m(x + 3), bzw. y = mx + 3m + 16 angesetzt
   werden. Die Schnittgleichung
                                3x2 + 2x – 5 = mx + 3m + 16
   bzw.
                                3x2 + (2 – m)x – 21 – 3m = 0
   darf nur eine Lösung haben, d.h. die Diskriminante, D = (2 – m)2 – 4  3  (– 21 – 3m)
   muss 0 sein. Das führt auf die Gleichung 4 – 4m + m2 + 252 + 36m = 0 mit der
   (einzigen) Lösung m = -16. Die Tangente hat somit die Gleichung y = -16x – 32.

								
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