Das Kerncurriculum Mathematik verstehen ... - PowerPoint by 7vT88e2s

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									Wir müssen die Kinder und Jugendlichen mit der
bestmöglichen mathematischen Bildung ausstatten,
mit einer Bildung, die sie befähigt, persönliche
Wünsche und Berufsvorstellungen in einer sich
ständig ändernden Welt zu erfüllen.
Mathematische Kompetenzen öffnen Türen zu einer
produktiven Zukunft. Ein Mangel an mathematischen
Kompetenzen verschließt diese Türen.
(NCTM 2000)



 Das Kerncurriculum Mathematik verstehen
   – Entstehungsgeschichte – Struktur – Beispiele –

    Jan-Peter Braun                             Berthold Fritsch
SINUS-Transfer Niedersachsen              SINUS-Transfer Niedersachsen
     Landeskoordinator                           Setkoordinator


                                                    Niedersachsen, November 2006
Überblick über den heutigen Tag
– Vortrag und Workshop –

9.30    (I)   Bildungsstandards und Kerncurricula – von veränderten
              Lehrplänen zu verändertem Unterricht (90‘)
11.00         Pause (15´)
11.15    (II) Das Kerncurriculum verstehen – Entwicklung und Aufbau der
              neuen Kerncurricula im Fach Mathematik (60‘)
12.15         Mittagspause (60´)
13.15    (II) Fortsetzung (60‘)
14.15 (III) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum – Anregungen für
            einen kompetenzorientierten Unterricht (120‘)
16.15 (IV) Ausblick und Fragen (15‘)
16.30         Ende der Veranstaltung

                                  Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik
                          Teil I
Bildungsstandards und Kerncurricula
- Von veränderten Lehrplänen zu verändertem Unterricht –
           Kapitel 1 des Kerncurriculums … und mehr




                        Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik
Stimmen zum Kerncurriculum
                                  „In zwei Jahren
 „Kerncurricula sind eine
                                  denken die sich
 Modeerscheinung –                                         „Kerncurricula
                                  wieder was
 genauso wie die                                           sind Standards –
                                  anderes aus.“
 Mengenlehre werden auch                                   Ich möchte keine
 Kerncurricula bald wieder                                 standardisierten
 in Vergessenheit geraten!"   „Für die jungen Lehrkräfte   Menschen!"
                              ist das sicherlich
                              interessant. Ich habe noch
                              5 Jahre bis zum Ruhe-
„Die da oben verlangen        stand, da stelle ich mich
immer mehr von uns! Bei       nicht mehr um."
dieser Erlassflut muss ich
Schwerpunkte setzen. Das                  „Kerncurricula sind das
Kerncurriculum wird nicht                 Gleiche wie
mein Schwerpunkt."                        Rahmenrichtlinien – alter
                                          Wein in neuen
                                          Schläuchen!“

                              Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik
Stimmen zum Kerncurriculum
„Alles ist anders! – Wie      „Das Kerncurriculum
soll ich das leisten?"        Mathematik sieht ja ganz      „Meine Schüler
                              anders aus als das            können nicht mal
  „Jetzt heißt das eben
                              Kerncurriculum Englisch,      schriftlich
  nicht mehr Ziele sondern
                              und dieses wiederum           dividieren und
  Kompetenzen.“
                              anders als das                dann soll ich
„Was haben die sich denn      Kerncurriculum Deutsch –      prozessbezogene
da ausgedacht? Jetzt          die wissen wohl selbst        Kompetenzen
haben wir neben               nicht, was sie wollen.“       aufbauen?“
Bildungsstandards noch
etwas, mit dem wir uns                            „In Klasse 5/6 sind 102
beschäftigen müssen!"                             Erwartungen formuliert –
                                                  Ich kann doch in
     „Endlich wird sich der Unterricht in         realistisch für Unterricht zu
     der Schule mal wirklich grundlegend          Verfügung stehenden 300
     verändern, dafür investiere ich              Unterrichtsstunden nicht
     gerne Zeit und Arbeit.“                      102 Themen stopfen!"

                                Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik
Stimmen zum Kerncurriculum
                             „Endlich
„Kerncurricula sind der      können wir uns     „Habt Ihr es in Niedersachsen
Innovationsmotor für die     auf die            gut! Wir müssen selbst mit den
Verbesserung des             wesentlichen       Bildungsstandards
Bildungssystems – durch      Inhalte            zurechtkommen und diese auf
Kerncurricula schneidet      beschränken.“      die einzelnen Jahrgangsstufen
Niedersachsen in der                            herunterbrechen."
kommenden PISA-Studie        „Endlich ändert sich mal was. Wer braucht auch
deutlich besser ab."         schon 6/18 : 7/15. Im Berufsleben müssen wir
                             teamfähig sein, Probleme lösen und dabei
                             technische Hilfsmittel sinnvoll einsetzen.“
                                           „Wir als Fachdidaktiker sollten uns
 „Super, dass Ihr Euren Lehrern so         mit Kritik am Kerncurriculum sehr
 etwas bietet. Ich nutze bereits die       zurückhalten. Wir haben es in den
 Entwurfsfassung für die                   vergangenen Jahrzehnten nicht
 Lehrerbildung in Kursen zur               geschafft, etwas Vergleichbares zu
 Umsetzung der Bildungsstandards."         entwickeln."

                               Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik
                               Teil II
         Das Kerncurriculum verstehen
                    - Entwicklung und Aufbau –
                Kapitel 3 des Kerncurriculums … und mehr

(1)   Von TIMSS zu den Bildungsstandards
(2)   Von den Bildungsstandards zum Kerncurriculum
(3)   Die Struktur des Kerncurriculums
(4)   Die prozessbezogenen Kompetenzbereiche verstehen
(5)   Neues an den inhaltsbezogenen Kompetenzbereichen verstehen

                             Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik
  Jahr      Untersuchung                 Gutachten
 (1) Von TIMSS zu den Bildungsstandards
 1997    TIMSS 1995
     – ein Überblick –   Steigerung der
 1998
Module                              Effizienz des MNU




                                                                     SINUS-Modellv.
(1) Weiterentwicklung der
  1999                                  Kooperation
                 Zentrale Befunde
    Aufgabenkultur                       Zentrale Idee
                                        Impulse von außen
                                         Kooperation
  2000           o die in den
(2) Naturwissenschaftliches Lehrplänen gesetzten Ziele werden
                                        Fokussierung
                    nicht erreicht       Impulse von außen
    Arbeiten                        (7) Förderung von Mädchen und Jungen
  2001       PISA 2000                   Fokussierung
                 o die Leistungen der Schüler variieren stark
(3) Aus Fehlern lernen          KMK–Zentrale Handlungsfelder
                                    (8) Entwicklung von
                 o im internationalen Vergleich liegen die Aufgaben für die
  2002
(4) Sicherung von Basiswissen - dem Durchschnitt Schülern
                    Leistungen unter Kooperation von
    verständnisvolles Lernen auf
  2003
    unterschiedlichen Niveaus         Bildungsstandards
                                    (9) Verantwortung für das eigene Lernen
                                        stärken




                                                                     S-T
(5) Zuwachs PISA 2003
  2004        von Kompetenz
    erfahrbar machen —          Bildungsstandards Mathe/NW
    Kumulatives Lernen              (10)Prüfen - Erfassen und Rückmelden
  2005                                  von Kompetenzzuwachs
(6) Fächergrenzen erfahrbar




                                                                     S-T 2
  2006
    machen -                        (11)Qualitätssicherung innerhalb der
                                 Kerncurricula Niedersachsen
    Fachübergreifendes und              Schule und Entwicklung
    fächerverbindendes Arbeiten
                                        schulübergreifender Standards
                                           Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Jahr                             Kommissionsbildung
(1) Von den Bildungsstandards zum
10/04   Informationsveranstaltung
    Kerncurriculum – ein Überblick –
12/04
        Kommissionssitzungen
                                8 Sitzungen a 2 ½ Tage
 2/05                              (tlw. 12 h am Tag)
                                                                    Inoffizielle
 4/05                                                              Einbeziehung
                               Erste Version im Internet
                                                                   von Experten
 6/05
 8/05                            Expertenanhörung

10/05                           Expertengutachten
                                Durchlauf durchs MK               Inoffizielle
12/05
                                                                  Diskussion
        Sprecher




                                   Anhörfassung
 2/06                                                            mit Experten
                                  Landtagsfassung
 4/06
                                  Druckfassung/Internetfassung
 6/06
                                  Veröffentlichung
                                                     Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Die Vorlage – NCTM Principles and
Standards for School Mathematics




                           Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Durch die Kommission gesetzte
Prämissen
• so kurz wie möglich
• so umfangreich wie zum Verständnis (auch für fachfremd
  unterrichtende Lehrkräfte) notwendig
• kurze und prägnante Hinweise zu den einzelnen Kompetenzbereichen
• kurze und prägnant formulierte Texte „drumherum“
• Abbildung des kumulativen Kompetenzaufbaus
• die formulierten Kompetenzen müssen überprüfbar sein
• Grundideen für Laien verständlich
• kompatibel zu bzw. anschlussfähig an länderübergreifende
  Publikationen/Materialien
• Mitdenken von Folgeprodukten
   – Lernentwicklungsdokumentation, Handreichungen, Schulcurriculum
                                         Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
(3) Die Struktur des Kerncurriculum




                             Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Gliederung des Kerncurriculums

   Allgemeine Informationen zu den niedersächsischen
   Kerncurricula (2 Seiten)
1. Bildungsbeitrag des Faches (1 Seite)
       – Kerncurricula und Bildungsstandards
       – Kompetenzen
2. Unterrichtsgestaltung mit demLebensbewältigung (5 Seiten)
       – Befähigung zur praktischen Kerncurriculum
        – Kompetenzerwerb
        – Befähigung zur Weltorientierung
3. Erwartete Kompetenzen (1 Seite) und zur Wahrnehmung
        – Struktur der Kerncurricula
          der Mathematik als Kulturgut
   1. Prozessbezogene Kompetenzbereiche (6 Doppelseiten)
        – Befähigung zum rationalen Handeln und zum kritischen
   2. Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche (7 Doppelseiten)
          Vernunftgebrauch
        – Befähigung zum sozialen Handeln und zum
4. Leistungsfeststellung und Leistungsbewertung (1 ½ S.)
          eigenverantwortlichen Lernen
5. Aufgaben der Fachkonferenz (1 Seite)


                                     Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Die mathematischen Kompetenzbereiche
                      Mathematische Bereiche
                       – Zahlen und Operationen
                       – Größen und Messen
                       – Raum und Form
                       – Funktionaler Zusammenhang
                       – Daten und Zufall
                        –   Modellieren
                        –   Problemlösen
                        –   Argumentieren
    Mathematik          –   Kommunizieren
                        –   Darstellen
                        –   Symbolische, formale und
                            technische Elemente

                            Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Der Kern jedes mathematischen Bereichs

                          Grundlegende Idee (Kern)
                          eines mathematischen
                          Bereichs
                          (Kernkompetenz)
                           –   …
                           –   …
                           –   …
                           –   …
     Mathematik



                           Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Formulierung von Kernkompetenzen
(prozessbezogener Kompetenzbereich)

Problemlösen

Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler –
erkennen ein mathematikhaltiges                                                      →…



                                     Kompetenzaufbau


                                                       Anforderung


                                                                     Schwierigkeit
Problem und präzisieren es                                                           →…


setzen Problemlösestrategien ein                                                     →…
                                                                                     →…
beurteilen Prozesse und Ergebnisse                                                   →…
der Problemlösung



                                                         Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Formulierung von Kernkompetenzen
(inhaltsbezogener Kompetenzbereich)

Zahlen und Operationen

Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler –
besitzen sinntragende                                                   →…
Vorstellungen von                                                       →…


                                Kompetenzaufbau




                                                        Schwierigkeit
Zahlenbereichen

stellen Zahlen dar und nennen                                           →…
Besonderheiten der                                                      →…
Zahldarstellung
rechnen flüssig                                                         →…
schätzen und prüfen                                                     →…
ihre Ergebnisse

                                                  Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Kompetenzabbildung in einem
prozessbezogenen Kompetenzbereich

Darstellen
                   Ende                Ende                Ende
                   Schuljahrgang 6     Schuljahrgang 8     Schuljahrgang 10
Kernkompetenzen    Erwartungen         Erwartungen         Erwartungen
Schülerinnen und       Kompetenzaufbau
                   Schülerinnen und Schülerinnen und       Schülerinnen und
Schüler –          Schüler –         Schüler –             Schüler –
…                  →…                  →…                  →…
                       Anforderung
erstellen          →…                  →…                  →…
mathematische      → erstellen         → strukturieren     → bereiten
Darstellungen        exakte              Darstellungen       Darstellungen
                     Darstellungen       übersichtlich       präsentations-
                                                             gerecht auf
                   → … Schwierigkeit   →…                  →…
                   →…                  →…                  →…
                                          Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Kompetenzabbildung in einem
inhaltsbezogenen Kompetenzbereich

Raum und Form
                      Ende              Ende                  Ende
                      Schuljahrgang 6   Schuljahrgang 8
                          Kompetenzaufbau                     Schuljahrgang 10
Kernkompetenzen       Erwartungen         Erwartungen         Erwartungen
Schülerinnen und      Schülerinnen und    Schülerinnen und    Schülerinnen und
Schüler –             Schüler –           Schüler –           Schüler –
Identifizieren und    →erkennen und       →erkennen und       →erkennen und
strukturieren ebene    benennen            benennen            benennen
und räumliche          Eigenschaften       Eigenschaften       Eigenschaften
Figuren in der         einfacher           von Prismen         geometrischer
Umwelt                 Körper                                  Grundkörper
                       (Würfel,                                (Zylinder,
                       Quader)                                 Pyramide,
                                                               Kegel, Kugel)
                      → … Schwierigkeit   →…                  →…
                                             Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Struktur

Kompetenzbereich
                                                 Ende                Ende                Ende
                                                 Schuljahrgang 6     Schuljahrgang 8     Schuljahrgang 10
Kernkompetenzen                                  Erwartungen         Erwartungen         Erwartungen
Schülerinnen und                                 Schülerinnen und    Schülerinnen und    Schülerinnen und
Schüler –                                        Schüler –           Schüler –           Schüler –
…                                                →…                  →…                  →…
 Kompetenzaufbau


                   Anforderung


                                 Schwierigkeit




                                                     Kompetenzaufbau
                                                 →…                  →…
                                                                     →…                  →…
…                                                → …Anforderung      →…                  →…
                                                 →…
…                                                →…                  →…                  →…
                                                     Schwierigkeit
                                                                                         →…

                                                                        Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Begriffsklärungen
Kompetenzaufbau – Anforderungen – Schwierigkeit – Kompetenzstufen

                            Die fachdidaktische Lehr-/Lernforschung steht noch
Kompetenzaufbau
                            am Anfang
Lern- und
entwicklungspsychologisch   Das Kerncurriculum ist ein Kompetenzmodell
bedingt und erklärbar
                            Anforderungsbereiche
Anforderung                 (bezogen auf prozessbezogene Kompetenzen)
Kognitiver Anspruch           I: Reproduzieren
(kognitive Komplexität)      II: Zusammenhänge herstellen
                            III: Verallgemeinern und Reflektieren

                             Abhängig von
Schwierigkeit
                             - dem Thema/Stoff
Empirisch ermittelbar        - den bereits aufgebauten Kompetenzen/Vorwissen
(z.B. PISA-Kompetenzstufen, - der Vertrautheit
Erfahrungen von Lehrkräften) - …

                                            Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
(4) Die prozessbezogenen Kompetenz-
    bereiche verstehen


  Modellieren

          Problemlösen
                  Argumentieren

                          Kommunizieren

                                         Darstellen

    Symbolische, formale und technische Elemente
                          Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Modellieren
Ziel                                               Kernkompetenzen
•   Mathematik in der Realität                     Schülerinnen und Schüler
    - erkennen
    - beurteilen                                   •   stellen zu
                                                       Sachsituationen Fragen,
•   Realitätsbezogene Situation mit                    die sich mit
    mathematischen Mitteln                             mathematischen Mitteln
    - verstehen,                                       bearbeiten lassen
    - strukturieren
    - einer Lösung zuführen                        •   verbinden Realsituationen
                                                       mit mathematischen
Mittel                                                 Modellen
•   Mathematisches Modell                          •   arbeiten im Modell
       – vereinfachtes Abbild der Realität         •   beurteilen das Ergebnis
       – Bindeglied zwischen Umwelt und                und das Modell in Bezug
         Mathematik                                    auf die Realsituation
       – berücksichtigt nur Teilaspekte


                                             Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Eine Beispielaufgabe zum Modellieren
Tanken                                     Lösungsweg
Herr Stein wohnt in Trier, 20 km            1. Problemsituation verstehen
von der Grenze zu Luxemburg
                                                Fragestellung/Problem
entfernt. Er fährt mit seinem VW
                                                strukturieren/präzisieren
Golf zum Tanken nach Luxemburg,                       Entscheidungsaufgabe:
wo sich direkt hinter der Grenze            2. Problem mathematisieren
                                                      Lohnt es sich 20 km zur
eine Tankstelle befindet. Dort                        günstigeren Tankstelle zu
                                            3. Mathematisch arbeiten (im
kostet der Liter Benzin nur 1,05 €,                   fahren? ich Geld, wenn ich
                                                        Spare
                                                Modell arbeiten)
                                                        zur 20 km entfernten
im Gegensatz zu 1,30 € in Trier. - KLuxemburg
                      KDifferenz = KTrier
                                                        günstigeren Tankstelle
                                            4. Ergebnis interpretieren und
                       für Herrn (1,30€/l  45l) + (1,30€/l  2km  8l/100km)
Lohnt sich die Fahrt KTrier       =                     fahre?
                                                überprüfen 40km  8l/100km)
                      KLuxemburg= (1,05€/l  45l) + (1,05€/l 
Stein? Begründe deine Antwort!                       Umgang mit Termen und
                                                       Die Fahrt evtl. …
                                                   Gleichungen, lohnt Grafen
                                                   und technische Hilfsmittel
                                                                … oder?

                                               Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Eine Beispielaufgabe zum Modellieren mit
geringerem Anforderungsniveau
Kuchenrezept
Lisa benötigt für einen Kuchen die    Geringeres Anforderungsniveau, da
folgenden Zutaten:                    o Situation klar umrissen
250 g Mandeln, 250 g Mehl, 125 g
Zucker, 5 Eier, etwas Salz, 40 g      o Ein Modell nahe liegt (Zylinder,
Mandelblättchen.                        Zuordnung)
Der Teig reicht nach Rezept für
eine runde Backform mit 22 cm
Durchmesser. Lisa besitzt aber nur
eine Form mit 26 cm Durchmesser.
Beide Formen haben die gleiche
Höhe.
Verändere die Liste der Zutaten so,
dass der Teig in der größeren
Backform die gleiche Höhe wie in
der kleineren Form hat. Runde
geeignet.                                  22 cm                  26 cm



                                        Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Beispielaufgabe zum Modellieren mit
geringem Anspruchsniveau
Trinkpäckchen                        Geringes Anforderungsniveau, da
Gegeben ist ein Trinkpäckchen mit    o lediglich einschrittiges Vorgehen
angeklebtem Strohhalm.                 notwendig
a) Miss Länge, Breite und Höhe       o das Modell vorgegeben ist
des Trinkpäckchens. Zeichne                                 Einstichloch
maßstabsgetreu ein Schrägbild.
b) Berechne das Volumen des
Trinkpäckchens. Vergleiche mit der
Angabe auf der Verpackung.




                                       Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Problemlösen
Ziel                                                                 1
                                                       Kernkompetenzen
•   lösen eines mathematikhaltigen
    Problems, bei dem
       – ein Lösungsansatz nicht
                                             O         Schülerinnen und Schüler
                                                                          2
                                                       •   erkennen ein
                                                           mathematisches 3
         offensichtlich ist



Mittel
       – ein Lösungsverfahren (Algorith-
         mus) nicht zu Verfügung steht
                                            O O            Problem und präzisieren
                                                           es              4
•   Zerlegungsprinzip                                  •   setzen          5
•
•
    Analogieprinzip
    Vorwärtsarbeiten
                                           O O O
                         „In welche Teilprobleme
                          lässt sich das Problem       •
                                                           Problemlösestrategien
                                                           gezielt ein     6
                                                           beurteilen Prozess und
•   Rückwärtsarbeiten   „Habe ich ein ähnliches
                          zerlegen?“                       Ergebnis der
                         Problem bereits gelöst?“
                           „Was lässt sich alles aus
•   Systematisches Probieren                               Problemlösung
                            den wird benötigt, um
                           „Was gegebenen Daten
•                            mathe-
    Veranschaulichen durchfolgern?“
                            das Gesuchte zu
    matische Figur, Skizze, Tabelle
                            erhalten?“
                                               Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Beispielaufgabe zum Problemlösen
Fläche                               Lösungsweg
In das abgebildete Quadrat mit der   1. Hilfslinie einzeichnen
Seitenlänge a sind zwei Halbkreise
                                     2. Berechnung Flächeninhalt des
und eine Diagonale eingezeichnet.
                                        Kreises
Berechne den Inhalt der blauen
                                     3. Berechnung Flächeninhalt des
Fläche.
                                        Halbkreises
                                     4. Berechnung Flächeninhalt des
                                        Dreiecks
                                     5. Ablau = (AHalbkreis – ADreieck) : 2




                                         Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
       Raum und Zeit (Mittagspause)
            - bis 13.15 Uhr -




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                       Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik
Argumentieren
Ziel                                                   Kernkompetenzen
•   Verbinden von Aussagen zu
    Argumentationsketten                               Schülerinnen und Schüler

•   Verstehen und kritisches Bewerten                  •   hinterfragen
    von Argumentationen                                    mathematische Aussagen
Mittel                                                 •   begründen Vermutungen
•   Schüler zum Formulieren aufordern                  •   bewerten Argumente
       –   „Begründe …!“
       –   „Überprüfe …!“
       –   „Beweise …!“
       –   „Widerlege …!“
       –   „Kann es sein, dass …!“
       –   „Warum ist das so?“
       –   „Gilt das immer?“
       –   „Warum sind dies alle Fälle, die...?“



                                                   Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Beispielaufgabe zum Argumentieren
Summe von Nachbarzahlen              4. Iterativer Ansatz
                                     5. Inhaltlicher Ansatz
                                     Mögliche Ansätze
Jette behauptet: „Die Summe von      • Pragmatischer Ansatz 3 teilbar
                                     1.eine der drei Zahlen muss durch
                                     1+2+3 = 6; und 6 ist durch
drei aufeinanderfolgenden              3 teilbar sein (3er-Reihe)
                                     man nimmt und 9 ist durchfolgende
                                     2+3+4 = 9; 3 aufeinander 3 teilbar
natürlichen Zahlen ist stets durch   • eine der B. 3, 4, 5
                                     Zahlen, z. drei Zahlen lässt bei der
drei teilbar.“                       Die Summe wächst jeweils um 3
                                       Division durch 3 den Rest 1
3. Zeichnerischer Ansatz             und bleibt deshalb 4+4+4 teilbar
                                     (4 -1) + 4 + (4+1) =durch 3 = 3 · 4
Hat Jette recht? Begründe deine      • eine der drei Zahlen lässt bei der
Antwort.                               Division durch 3 den Rest 2
                                     2. Algebraischer Ansatz
                                     ->der Rest (1+2 = 3) lässt sich
                                       durch die erste dieser drei
                                     Wenn n 3 teilen, also ist die
                                       Summe dann gilt:
                                     Zahlen ist,durch 3 teilbar
                                     n+(n+1)+(n+2) = 3n + 3 = 3 ·(n+1)



                                        Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Kommunizieren

Ziel                                Kernkompetenzen

• Verstehen von Texten und          Schülerinnen und Schüler
  mündlichen Äußerungen             •   teilen mathematische Gedanken
                                        anderen schlüssig und klar mit
• verständliche (fachsprachliche)
  Darstellung von Überlegungen,     •   vollziehen mathematische
  Lösungswegen, Ergebnissen             Argumentationen anderer nach,
                                        bewerten sie und diskutieren
Mittel                                  sachgerecht
                                    •   gehen konstruktiv mit Fehlern um
• Sprache

         Abgrenzung zum
         Argumentieren:
         Der Adressatenbezug

                                        Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Beispielaufgabe zum Kommunizieren
Badewannen-Geschichte




Der obige Graf beschreibt den Wasserstand in einer Badewanne.
Erfinde eine Geschichte dazu!

                                       Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Darstellen

Ziel                              Kernkompetenzen

• eigenständige Erzeugen von      Schülerinnen und Schüler
  Darstellungen                   •   beschaffen sich aus Darstellungen
                                      mathematikhaltige Informationen
• verständliche Umgehen mit
  vorgegebenen Darstellungen      •   erstellen mathematische
                                      Darstellungen
Mittel                            •   bewerten gegebene Darstellungen
   –   Diagramme
                                  •   dokumentieren ihren Lernprozess
   –   Abbildungen
   –   Skizzen
   –   statistische Schaubilder
   –   Grafen



                                      Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Beispielaufgabe zum Darstellen
Wahlen                               Lösung
Stelle das folgende Wahlergebnis
45                                                          A
40
in einem Kreisdiagramm dar:
35
30                                                          B
Partei A: 30 %
25                Partei B : 40 %
20
Partei C: 25 %    Sonstige: 5 %                             C
15
10
 5                                                          sonst
 0
     A       B       C      sonst
                                    40
Stelle folgendes Wahlergebnis in    35

einem Diagramm dar:                 30
                                    25
                                    20
Partei A: 30 %    Partei B : 40 %   15

Partei C: 25 %    Sonstige: 5 %     10
                                     5
                                     0
                                          A        B        C       so nst




                                         Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Symbolische, formale und technische
Elemente
Ziel                                        Kernkompetenzen
•   Ausbildung entlastender Routinen        Schülerinnen und Schüler
•   Gebrauch mathematischer                 •   verwenden mathematische
       – Fakten („Wissen, dass …“)              Werkzeuge
       – Fertigkeiten („Wissen, wie …“)     •   verwenden Variablen, Terme,
Mittel                                          Gleichungen (auch Formeln) und
                                                Funktionen
       – Lösungs- und Kontrollverfahren
         (Algorithmen) mit Schrittfolge     •   wählen Informationsquellen und
       – geometrische Grundkonstruktionen       technische Hilfsmittel aus
         / Werkzeuge
       – Taschenrechner, Software
       – Variable, Terme, Gleichungen,
         Funktionen
       – Nachschlagewerke


                                                Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Erwartungen aus „Symbolische, formale
und technische Elemente“
Achtung! Folgen beachten …           Achtung! Folgen beachten …
• Ende Schuljahrgang 8               • Ende Schuljahrgang 10
   – nutzen dynamische                   – nutzen die erweiterten
     Geometriesoftware                     Möglichkeiten des
   – nutzen die Standardfunktionen         Taschenrechners (Speicher,
     des Taschenrechners                   statistische Funktionen,
                                           Editierfunktionen)
   – nutzen
     Tabellenkalkulationssoftware        – nutzen Software oder einen
                                           grafikfähigen Taschenrechner
   – wählen technische Hilfsmittel
                                           zur Darstellung und
     unter Berücksichtigung der
                                           Manipulation funktionaler
     Kriterien Genauigkeit,
                                           Zusammenhänge
     Zeitökonomie und
     Fehleranfälligkeit aus              – nutzen Software zur
                                           Präsentation mathematischer
                                           Sachverhalte


                                       Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Aufbau prozessbezogener Kompetenzen


Modellieren            Die prozessbezogenen
                       Kompetenzen werden
  Problemlösen         von den Schülerinnen
     Argumentieren     und Schülern in der
                       Auseinandersetzung
       Kommunizieren   mit mathematischen
                       Inhalten erworben.
          Darstellen

    Symbolische, formale und technische Elemente

                          Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
(5) Neues an den inhaltsbezogenen
    Kompetenzbereichen verstehen


  Zahlen und Operationen

      Größen und Messen
           Raum und Form

               Funktionaler Zusammenhang

                   Daten und Zufall


                           Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Zahlen und Operationen
Achtung! Folgen beachten …                  Kernkompetenzen
• Ende Schuljahrgang 6                      Schülerinnen und Schüler
   – wenden die 4 Grundrechenarten auf
     Brüche mit überschaubarem              •   besitzen sinntragende
     Nenner in Sachsituationen an               Vorstellungen von Zahlbereichen
   – rechnen mit Dezimalbrüchen in
     Sachsituationen                        •   stellen Zahlen dar und nennen
   – führen die Division mit einfachen          Besonderheiten der Zahldarstellung
     mehrstelligen Divisoren aus
                                            •   rechnen flüssig
   – rechnen im Kopf, halbschriftlich und
     schriftlich, wählen das Verfahren      •   schätzen und prüfen ihre
     sinnvoll aus, nutzen dabei                 Ergebnisse
     Rechenvorteile
• Ende Schuljahrgang 10
   – rechnen mit Zehnerpotenzen in
     Anwendungszusammenhänge



                                                Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Größen und Messen
Achtung! Folgen beachten …           Kernkompetenzen
• Ende Schuljahrgang 6               Schülerinnen und Schüler
   – rechnen alltagsnahe Längen-,    •   verwenden Größen und Einheiten
     Massen- und Zeiteinheiten in        sachgerecht
     benachbarte Einheiten um
                                     •   schätzen und messen
                                     •   berechnen Größen
• Ende Schuljahrgang 10
   – bestimmen näherungsweise        •   nutzen Maßstäbe
     den Flächeninhalt nicht
     geradlinig begrenzter Flächen
     und das Volumen unregelmäßig
     geformter Körper




                                         Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Raum und Form
Achtung! Folgen beachten …          Kernkompetenzen
• Ende Schuljahrgang 6              Schülerinnen und Schüler
   – konstruieren                   •   identifizieren und strukturieren
     achsensymmetrische Figuren         ebene und räumliche Figuren aus
     und setzen Muster fort             der Umwelt
• Ende Schuljahrgang 10             •   stellen ebene und räumliche
   – konstruieren geometrische          Figuren dar und operieren in der
     Figuren mit Zirkel und             Vorstellung mit ihnen
     Geodreieck sowie dynamischer   •   untersuchen Symmetrien und
     Geometriesoftware                  konstruieren symmetrische Figuren
                                    •   lösen innermathematische und
                                        realitätsbezogene geometrische
                                        Probleme


                                        Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Funktionaler Zusammenhang
Achtung! Folgen beachten …          Kernkompetenzen
• Gestrichen                        Schülerinnen und Schüler
   – „Definitionsmenge“,            •   beschreiben Muster, Beziehungen
     „Lösungsmenge“                     und Funktionen
• Ende Schuljahrgang 8              •   nutzen mathematische Modelle zur
   – wechseln zwischen                  Lösung von inner- und
     Funktionsgleichung, Graf,          außermathematischen Problemen
     Tabelle und verbaler           •   analysieren und formalisieren inner-
     Beschreibung von linearen          und außermathematische
     Zusammenhängen                     Situationen unter funktionalem
   – geben zu vorgegebenen Grafen       Aspekt
     und Funktionstermen            •   analysieren Veränderungen in
     Sachsituationen an
                                        unterschiedlichen
                                        Zusammenhängen

                                        Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Daten und Zufall
Achtung! Folgen beachten …         Kernkompetenzen
„Daten und Zufall“ ist die neue    Schülerinnen und Schüler
Schwerpunktsetzung im              •   formulieren Fragen, sammeln
inhaltlichen Bereich                   Daten und stellen sie angemessen
                                       dar
Begründung: Die Mathematik als
Kommunikationsmittel hat in den    •   nutzen zur Analyse von Daten
vergangenen beiden Jahrzehnten         angemessene statistische
beständig an Bedeutung                 Methoden
gewonnen.                          •   interpretieren Daten
Hinweis: Dieser Kompetenzbereich   •   beurteilen Zufallsphänomene mit
sollte – wo immer möglich – mit        den Prinzipien der Wahr-
anderen Kompetenzbereichen             scheinlichkeit
verknüpft werden.

                                       Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Aufbau inhaltsbezogener Kompetenzen
Die prozessbezogenen Kompetenzen
werden von den Schülerinnen und
Schülern in der Auseinandersetzung mit
mathematischen Inhalten erworben.




      Die inhaltsbezogenen Kompetenzen
      werden (nachhaltig) von den Schülerinnen
      und Schülern durch mathematische
      Prozesse (Handlungen) erworben.

                                  Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
                             Teil III
        Unterrichtsgestaltung mit dem KC
- Anregungen für einen kompetenzorientierten Unterricht –
        Kapitel 2 des Kerncurriculums … und mehr

   (1) Vorbemerkungen
   (2) Kooperation von Schülerinnen und Schülern
   (3) Verantwortung für das eigene Lernen
   (4) Umgang mit Fehlern
   (5) Individuelle Förderung
   (6) Umgang mit Medien
       Workshop I: Kompetenzorientierter Unterricht
   (7) Die Rolle der Aufgabe
       Workshop II: Kompetenzorientierte Aufgaben

                            Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik
 (1) Vorbemerkungen

Module    Steigerung der
       Effizienz
(1) Weiterentwicklung der des MNUFörderung von Mädchen und
                                (7)
    Aufgabenkultur
                                          Jungen
(2) Naturwissenschaftliches
    Arbeiten                           (8) Entwicklung von Aufgaben
                                           für die Kooperation von
(3) Aus Fehlern lernen                     Schülern
(4) Sicherung von Basiswissen -       (9) Verantwortung für das eigene
    verständnisvolles Lernen auf
    unterschiedlichen Niveaus      Zentrale Idee
                                          Lernen stärken

(5) Zuwachs von Kompetenz          Kooperation
                                      (10)Prüfen - Erfassen und
    erfahrbar machen —                   Rückmelden von
    Kumulatives Lernen             Impulse von außen
                                         Kompetenzzuwachs
(6) Fächergrenzen erfahrbar        Fokussierung innerhalb
                                      (11)Qualitätssicherung
    machen - Fachübergreifendes           der Schule und Entwicklung
    und fächerverbindendes                schulübergreifender Standards
    Arbeiten

                                          Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
(1) Vorbemerkungen




                     Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
(1) Vorbemerkungen




                     Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
(1) Vorbemerkungen




    Die folgenden Informationen betrachten Sie bitte als
             praxiserprobte Anregungen
   für einen kompetenzorientierten Unterricht im Sinne
                  des Kerncurriculums!




                                  Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
(2) Kooperation von Schülerinnen und
    Schülern
   Kooperative Lernformen bilden die Grundlage dafür,
     dass kognitives Lernen und soziales Lernen im
   Kooperative Unterrichtsformen
       Unterricht miteinander verbunden werden.
   •Partner- und Gruppenarbeit                             Timo Leuders, 2006

   •Ich-Du-Wir-Prinzip
   •Projektarbeit
   •Aufgaben zur Kooperation von Schülern      Prozessbezogene
                                               Kompetenzbereiche
                                                    Kommunizieren
             Modul 8:                               Argumentieren
  Entwicklung von Aufgaben für die
      Kooperation von Schülern



                           Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
(3) Verantwortung für das eigene Lernen

       Individuelle Lernprozesse strukturieren

       •Lerntagebuch
       •Selbstdiagnose/Partnerdiagnose
       •Lernzirkel/Lernen an Stationen
       •Wochenplan
       •Freiarbeit
       •Problemlösekompetenz
                                                    Modul 9:
                                              Verantwortung für das
                                               eigene Lernen stärken



                        Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
(4) Individuelle Förderung

   •   Definition von Basiswissen
   •   Sicherung von Basiswissen (Karteikarten, Übungs- und
       Wiederholungszirkel, ...)
   •   Aufgaben mit hohem Differenzierungsniveau
   •   Diagnose
   •   Gezielte Fördermaßnahmen für einzelne Schüler



                                                   Modul 4:
                                         Sicherung von Basiswissen -
                                          Verständnisvolles Lernen auf
                                            unterschiedlichen Niveaus


                            Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
(5) Umgang mit Fehlern

           Um- ist das Ergebnis richtiger Entscheidungen.
           Erfolg und Irrwege sind Teile des
     Richtige Entscheidungen sind das Ergebnis von Erfahrung.
                  Modellierungs- und
        Erfahrung ist das Ergebnis falscher Entscheidungen.
                Problemlöseprozesses.
                              Anthony Robbins

 •   Trennung von Lern- und Leistungssituationen
 •   Fehler als Lerngelegenheit für beide Seiten –
     Lehrkräfte und Schüler



                                                         Modul 3:
                                                     Aus Fehlern lernen


                            Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
(6) Umgang mit Medien
    Taschenrechner
    Dynamische Geometriesoftware
    Grafikfähiger Taschenrechner
    Internet




                        Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Workshop I:
  Videodokumentation eines
  kompetenzorientierten Unterrichts




                  Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Workshop I:
     Videodokumentation eines
     kompetenzorientierten Unterrichts



Aufgabe:
 Welche Kompetenzbereiche werden in den gezeigten
  Unterrichten thematisiert?
 Video Start




                    Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
(7) Die Rolle der Aufgabe


Typisierung nach PISA 2003

Aufgabentyp 1          Aufgabentyp 2               Aufgabentyp 3
Technische Aufgaben    Rechnerische          Begriffliche
                       Problemlöse- und      Modellierungs- und
                       Modellierungsaufgaben Problemlöseaufgaben
Rechnen/konstruieren   Anwendungsaufgaben/         Modellierungs- und
nach vorgegebenen      Problemlöseaufgaben         Problemlöseaufgaben
Regeln (nach           (klassische                 bei denen der
vorgegebenem Ansatz)   Textaufgaben) bei der       Zusammenhang
                       gesuchte Größe aus          zwischen erworbenen
                       einem Ansatz heraus         Kompetenzen selbst
                       berechnet wird              hergestellt werden
                                                   muss

                             (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
(7) Die Rolle der Aufgabe
Aufgabenvariationen




   Endlich ist es soweit! Das Steinhuder Meer ist seit 15 Jahren mal
   wieder zugefroren und zum Schlittschuhlaufen freigegeben. Doch
    der 14jährige Nico darf mit seinen 2 Freunden die Eisfläche erst
     betreten, wenn der gesamte See vom Schnee befreit ist. Die 8
   Arbeiter, die den Schnee räumen, versprechen, in 4 Stunden fertig
      zu sein. Nico und seine Freunde überlegen: Wann wäre die
                Eisfläche frei, wenn wir mithelfen würden?




                              (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
(7) Die Rolle der Aufgabe
    Aufgabenvariationen



     Ein rechteckiger Hof ist 6,00 m lang und 5,30 m breit.
     Berechne die Fläche!

•    Wie viel m² Stoff braucht Giesela für eine Tischdecke, die bei einem
     rechteckigen Tisch der Breite 80 cm und Länge 1,20 m auf jeder Seite 15 cm
     überhängen soll?

•    Wie viel Stoff brauchst du für die Tischdecke zu deinem Tisch (Schule oder zu
     Hause)?

•    Ein Parkplatz ist ungefähr so groß wie ein Fußballfeld. Wie viele Autos
     können in etwa darauf parken?




                                    (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
(7) Die Rolle der Aufgabe
Aufgabenvariationen




• Vor einer Ampel stauen sich auf 100 m Autos. Gehe
  davon aus, dass ein Auto 4 m lang ist. Der Abstand
  beträgt 1 m von Auto zu Auto. Wie viele Autos stehen
  vor der Ampel?
• Vor einer Ampel stauen sich auf 200 m Autos. Wie viel
  Menschen stehen in Stau. Begründe deine Antwort!




                            (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
(7) Die Rolle der Aufgabe
Aufgabenvariationen




  Die Tageszeitung wiegt 180g. Die Samstagszeitung
  wiegt doppelt soviel. Bernd muss 147 Zeitungen
  austragen. Wie viel kg muss er in der Woche austragen?

• Die Tageszeitung wiegt 180g. Die Samstagszeitung
  wiegt doppelt soviel. Bernd muss 147 Zeitungen
  austragen.


                            (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
(7) Die Rolle der Aufgabe
Aufgabenvariationen




• Berechne:           23 - (16 - 4) : (-2)


• Du hast die Ziffern des heutigen Datums 12.02.2012
  zur Verfügung. Setze Rechenzeichen so, dass -1
  herauskommt.



                            (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
(7) Die Rolle der Aufgabe
       Kompetenzorientierte Aufgaben


     Kompetenzorientierte Aufgaben gestalten einen
          kompetenzorientierten Unterricht.


     Kompetenzorientierte Aufgaben
     •   fordern nicht ausschließlich technische Fertigkeiten
         (Symbolische, technische und formale Elemente)
     •   sind nicht kalkül- und verfahrenstechnisch orientiert
     •   ermöglichen verschieden Lösungswege
     •   verknüpfen prozessbezogene und inhaltsbezogene
         Kompetenzbereiche.



                          Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Workshop II:
 Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe




                    Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
    Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe
•     Offenes Pflaster
•     Bei einer wasserdurchlässigen
      Befestigung einer Garageneinfahrt mit
      Rasengittersteinen können die
      Niederschläge wieder im Erdreich
      versickern und in die Grundwasserströme
      ge-langen. Dadurch bleibt der
      Wasserkreislauf erhalten und die
      Niederschlagswasser werden nicht direkt
      über den Kanal in die Flüsse abgeleitet.
•     Das nebenstehende Bild zeigt einen
      solchen Rasengitter-stein. Er besteht aus
      wasserdurchlässigen Öffnungen und
      wasserundurchlässigen Betonteilen.
•     Der 40 cm × 60 cm × 10 cm große
      Rasengitterstein besteht aus 6
      gleichartigen offenen Pflastersteinen.
•     Das folgende Bild zeigt Form und Maße
      eines dieser offenen Pflastersteine:



                                     Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
 Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe
a) Herrn Meiers Garageneinfahrt ist 8 m lang und 6 m breit.
   Wie viele solche Rasengittersteine werden benötigt?
b) Wie viel Prozent der gesamten Garageneinfahrt bestehen
   dann aus den wasserdurchlässigen Öffnungen?
c) Herr Meier entdeckt auf einer Palette im Hof eines
   Baumarktes einen Stapel mit Rasengittersteinen (siehe Bild).
   Wie viele Rasengittersteine befinden sich auf der Palette,
   wenn sie lückenlos aneinandergereiht auf der Palette
   aufgestapelt sind?
   Erläutere, wie du deren Anzahl bestimmst.
d) Kann man mit einem LKW mit 7,5 Tonnen Ladegewicht alle
   benötigten Rasengittersteine in einer Fahrt anliefern?
   (Dichte von Beton: 2,3 g/cm³)
   Lege dar, wie du zu deiner Lösung gekommen bist.

Aufgabe:
 Welche Kompetenzbereiche/Kernkompetenzen/Erwartungen werden in
  den Teilaufgaben konkretisiert?
 Ordnen Sie die Teilaufgaben einem Anforderungsbereich zu.
                                  Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
                                  Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe
 Pflasteraufgabe                              a)
                                                     wählen naheliegende Modelle
                         Modellieren          X      lösen Aufgaben unter Anwendung mathematischer Modelle
                                                     interpretieren das Ergebnis in Bezug auf die Realsituation
Kompetenzbereich
Prozessbezogener




                        Problemlösen

                        Argumentieren

                       Kommunizieren
                                                     entnehmen Informationen aus komplexeren Grafiken sowie längeren Texten
                          Darstellen          X      erstellen einfache Darstellungen für mathematische Situationen

                   Symbolische, formale und          stellen Sachsituationen durch Gleichungen dar
                     technische Elemente
                                              X      wählen Lösungs- und Kontrollverfahren und wenden sie an

                   Zahlen und Operationen
Kompetenzbereich
Inhaltsbezogener




                                                     berechnen Flächeninhalt und Umfang von Quadrat und Rechteck
                     Größen und Messen        X      rechnen alltagsnahe Flächen- und Volumeneinheiten in benachbarte Einheiten um

                       Raum und Form

                       Funktionaler
                       Zusammenhang

                       Daten und Zufall

                                                    (Lesekompetenz)
                     Anforderungsbereich       II


                                                            Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
                                  Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe
 Pflasteraufgabe                              b)
                                                     wählen naheliegende Modelle
                         Modellieren          X      lösen Aufgaben unter Anwendung mathematischer Modelle
                                                     interpretieren das Ergebnis in Bezug auf die Realsituation
Kompetenzbereich
Prozessbezogener




                        Problemlösen

                        Argumentieren

                       Kommunizieren
                                                     entnehmen Informationen aus komplexeren Grafiken sowie längeren Texten
                          Darstellen          X
                   Symbolische, formale und          stellen Sachsituationen durch Gleichungen dar
                     technische Elemente
                                              X      wählen Lösungs- und Kontrollverfahren und wenden sie an
                                                     lösen einfache Sachprobleme mit proportionaler Struktur (Zweisatz)
                   Zahlen und Operationen     X      verwenden Prozentrechnung sachgerecht und berechnen Zinsen
Kompetenzbereich
Inhaltsbezogener




                                                     berechnen Flächeninhalt und Umfang zusammengesetzter Figuren
                     Größen und Messen        X      rechnen alltagsnahe Flächen- und Volumeneinheiten in benachbarte Einheiten um

                       Raum und Form

                       Funktionaler
                       Zusammenhang

                       Daten und Zufall

                                                    (Lesekompetenz und Mehrschrittigkeit)
                     Anforderungsbereich       II

                                                            Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe




                         Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Eine Umsetzung des Kerncurriculums kann nur gelingen, wenn der Lehrer
   vertraut ist
•   mit der Idee, Leistung durch Kompetenzen zu beschreiben und mit dem
    hierfür verwendeten Kompetenzmodell (Prozessbezogene Kompetenzen,
    Inhaltsbezogene Kompetenzen, Anforderungsbereiche)
•   mit der Analyse von Aufgaben, herkömmlicher wie neuartiger, mittels einer
    „Kompetenzbrille“
•   mit der zielgerichteten Konstruktion bzw. Variation kompetenzorientierter
    Aufgaben
•   mit dem variablen Einsatz solcher Aufgaben in einem auf
    Kompetenzentwicklung ausgerichteten Mathematikunterricht
•   mit der Verwendung solcher Aufgaben für Diagnosen und Evaluationen
•   mit der Umsetzung von Diagnose- und Evaluationsergebnissen in gezielte
    Fördermaßnahmen für einzelne Schüler oder für die ganze Klasse

                             Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
                            Teil IV
               Ausblick und Fragen
                 -   Das Unterstützungssystem –
          Kapitel 4 und 5 des Kerncurriculum … und mehr



(1) Die Unterstützungssysteme zur Implementierung der Kerncurricula
    Mathematik
(2) Fragen




                          Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik
Das offizielle Unterstützungssystem in
Niedersachsen

• Veröffentlichung kompetenzorientierter Kerncurricula
   – enthalten theoretisch fundiertes, auf die Praxis ausgerichtetes und
     in Teilen erprobtes Kompetenz- und Kompetenzaufbaumodell
   – in der Form und Konsequenz u.W. deutschlandweit (ggf. weltweit)
     erstmalig

• Informationsveranstaltungen „Das Kerncurriculum
  verstehen“
   – Niedesachsen: Oktober/November 2006, 9.30 – 16.30 Uhr
   – Teilnehmer: Fachleiter Mathematik




                                                 Teil IV: Ausblick und Fragen
Das offizielle Unterstützungssystem in
Niedersachsen
Curriculare Vorgaben
• Abschlussprüfungen Sek. I
• Bildungsstandards
• EPA
• Kerncurricula/Rahmenrichtlinien
• Leistungsüberprüfungen-9/10
• Operatoren
• Vergleichsarbeiten
• Zentralabitur
• Materialien

cuvo.nibis.de
                                    Teil IV: Ausblick und Fragen
Unterstützung der schulischen
Fachgruppen
Wer?             Die schulische Fachgruppe
Wann?            Im Kalenderjahr 2007
Mit wem?         In Kooperation mit 4 bis 6 weiteren Schulen der Region
Wo?              In Ihrer Region (Regionale Lehrerfortbildung)
Zeitrahmen?      1 ½ Tage oder 4 Nachmittage
Was?             Unterstützung der Schulen bei
                 - Entwicklung/Auswahl/Variation/Einsatz von Aufgaben
                 - dem Aufbau eines Schulcurriculums
                 - der Dokumentation der individuellen Lernentwicklung
                 - der Sicherung von Basiswissen
Durch wen?       Ausgebildete Multiplikatoren (tlw. mit SINUS-Erfahrung)
Die Angaben stellen eine Planungsgrundlage dar. Änderungen sind möglich.

                                                    Teil IV: Ausblick und Fragen
Das offizielle länderübergreifende
Unterstützungssystem
Veröffentlichungen
• Blum / Drüke-Noe / Hartung
  / Köller (Hrsg.):
  Bildungsstandards
  Mathematik: konkret.
  Oktober 2006 (Cornlesen)
www.iqb.hu-berlin.de




                                     Teil IV: Ausblick und Fragen
Das länderübergreifende SINUS-
Unterstützungssystem
Veröffentlichungen
• Ulm, Volker:
  Mathematikunterricht für
  individuelle Lernwege öffnen
  2004 (Kallmeyer)
www.sinus-transfer.de




                                 Teil IV: Ausblick und Fragen
Das inoffizielle länderübergreifende
Unterstützungssystem
Veröffentlichungen
• Herget, Wilfried / Jahnke,
  Thomas / Kroll, Wolfgang:
  Produktive Aufgaben für den
  Mathematikunterricht 2001
  (Cornelsen)




                                       Teil IV: Ausblick und Fragen
Das inoffizielle länderübergreifende
Unterstützungssystem
Veröffentlichungen
• Büchter, Andreas / Leuders,
  Timo:
  Mathematikaufgaben selbst
  entwickeln. Lernen fördern –
  Leistungen überprüfen
  2005 (Cornelsen Scriptor)
• weitere Titel siehe SINUS-
  Handreichung „Literatur-
  hinweise und Materialien
  zum Kerncurriculum“

                                       Teil IV: Ausblick und Fragen
Das SINUS-Unterstützungssystem in
Niedersachsen

Handreichungen zum Kerncurriculum
• Literaturhinweise und Materialien zum Kerncurriculum Tipp
• Vom Kerncurriculum zum Schulcurriculum
• Lernentwicklungsdokumentation mit dem Kerncurriculum
• Das Kerncurriculum verstehen (in Arbeit)
• Unterrichtsbezogene Qualitätsentwicklung mit dem
  Kerncurriculum (in Arbeit)
• Unterricht mit dem Kerncurriculum (in Planung)
• www.sinus-niedersachsen.de
                                        Teil VI: Ausblick und Fragen
Sonstige Unterstützungssysteme in
Niedersachsen
Diskussionsforum Kerncurriculum
• Kerncurricula und Handreichungen
  herunterladen
• fachspezifisch diskutieren
• Ideen austauschen
• Informationen erhalten und weitergeben
• Fragen stellen und Antworten geben
• Materialien und Aufgaben herunter-
  laden und anderen zu Verfügung stellen
• Ergänzungen und Erläuterungen zu den
  Kerncurricula bereitstellen und lesen

www.kerncurricula.de
                                           Teil IV: Ausblick und Fragen
Raum für Fragen
Kein Buch kann jemals fertig werden:
während wir daran arbeiten, lernen wir
immer gerade genug, um seine
Unzulänglichkeit klar zu sehen, wenn wir es
der Öffentlichkeit übergeben.
(Popper, 1970)




                                              Teil IV: Ausblick und Fragen
Das Kerncurriculum Mathematik verstehen
– Entstehungsgeschichte – Struktur – Konsequenzen –
     Jan-Peter Braun                  Berthold Fritsch
SINUS-Transfer Niedersachsen    SINUS-Transfer Niedersachsen
     Landeskoordinator                 Setkoordinator

                               Niedersachsen, November 2006
      Ende der
     Präsentation
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– Tel. (0 51 71) 790 25-28 – Fax -29 – E-Mail braun@sinus-niedersachsen.de;
fritsch@sinus-niedersachsen.de
Ergänzungen zu dieser Präsentation
Folgende Seiten wurden in Fortbildungen bisher nicht genutzt. Vielleicht können Sie jedoch
die eine oder andere Folie verwenden.
Merkmale guter Bildungsstandards

1. Fachlichkeit
2. Fokussierung
3. Kumulativität
4. Verbindlichkeit für alle (Mindeststandards)
5. Differenzierung (über Mindeststandards hinaus)
6. Verständlichkeit
7. Realisierbarkeit



                               (1) Von TIMSS zu den Bildungsstandards
Überprüfung der Bildungsstandards

• Überprüfung von Kompetenzmodellen
   – Voraussetzung für den Einsatz der Testinstrumente in den u.g.
     Bereichen
• Systemmonitoring
   – z.B. TIMSS, PISA
• Schulevaluation
   – interne und externe Evaluation
   – Bezug auf die Programmatik und Spezifika der Schule
• Individualdiagnostik und Förderung einzelner Schüler
   – einen kleinen Kompetenzbereich detailliert erfassen



                                   (1) Von TIMSS zu den Bildungsstandards
Testentwicklung

• Die Testentwicklung sollte in der Verantwortung einer
  wissenschaftlich qualifizierten Agentur liegen.
• Eine enge Zusammenarbeit mit
   – Landesinstituten,
   – Fachdidaktischen Vereinigungen,
   – Lehrerverbänden,
   – Universitären Zentren
   ist notwendig.

• Kommerzielle Anbieter sollten in die Testentwicklung
  einbezogen werden.


                                 (1) Von TIMSS zu den Bildungsstandards
Kompetenzorientierter Unterricht


 „Es geht darum, so genau wie möglich zu
 ermitteln, inwieweit Schüler über
 mathematisch-kognitive Werkzeuge
 verfügen, mittels derer sie die mit
 Mathematik verbundene Welt zu
 erschließen und zu verstehen, mittels derer
 sie Mathematisierung vorzunehmen
 vermögen“ (Cohors-Fresenborg/Sjuts/
 Sommer 2004)

      Voraussetzungen für eine fachbezogene Lernentwicklungsdokumentation
Kompetenzorientiert unterrichten

Wohl soll der Schüler auch künftig Kenntnisse
und Fertigkeiten gewinnen – wir hoffen sogar:
noch mehr als früher -, aber wir wollen sie
ihm nicht beibringen, sondern er soll sie sich
erwerben.
Damit wechselt des Lehrers Aufgabe auf allen
Gebieten. Statt Stoff darzubieten, wird er
künftig die Fähigkeit des Schülers zu
entwicklen haben.
Und das Tun des Schülers ist nicht mehr auf
Empfangen eingestellt, sondern auf
Erarbeiten. Nicht Leitung und Rezeptivität,
sondern Organisation und Aktivität ist es, was
das Lehrverfahren der Zukunft kennzeichnet.
                      Johannes Kühnel, 1950


                                     (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Von SINUS zum Kerncurriculum –
Vom Kerncurriculum zu SINUS


     Unterrichtsgestaltung                 Kernentwicklungs-
                  mit dem                  Bereiche des
           Kerncurriculum                  Mathematikunterrichts




          Prinzipien guten
                                            SINUS-
              Mathematik-
                                            Module
                unterrichts



                              (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Kapitel 2: Unterrichtsgestaltung mit dem
Kerncurriculum
• Kompetenzbereiche
• Kompetenzentwicklung (SINUS-Modul 5)
• Kooperation von Schülerinnen und Schülern (Modul 8)
• Umgang mit Fehlern (SINUS-Modul 3)
• Verantwortung für das eigene Lernen (SINUS-Modul 9)
• Individuelle Förderung (SINUS-Modul 4, SINUS-Modul 7)
• Umgang mit Medien
• Aufgaben im Mathematikunterricht (SINUS-Modul 1)
• Die zentrale Stellung prozessbezogener Kompetenzen (Modul 6)



                            (4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Bildungsstandards Mathematik




                        (1) Von TIMSS zu den Bildungsstandards
Modellieren
Anforderungsbereich I               Anforderungsbereich II
• vertraute und direkt erkennbare   • mehrschrittige Modellierungen
  Standardmodelle nutzen (z.B.        innerhalb weniger und klar
  „Dreisatz“)                         formulierter Einschränkungen
                                      vornehmen
• direktes Überführen einer
  Realsituation in ein              • Ergebnisse einer solchen
  mathematisches Modell               Modellierung interpretieren
• direktes Interpretieren eines     • Ein mathematisches Modell
  mathematischen Resultats            passenden Realsituationen
                                      zuordnen oder an veränderte
                                      Umstände anpassen
Modellieren

Anforderungsbereich III
• ein Modell zu einer komplexen
  Situation bilden, bei der
  Annahmen, Variablen,
  Beziehungen und
  Einschränkungen neu definiert
  werden müssen
• Überprüfen, Bewerten und
  Vergleichen von Modellen
Problemlösen

Anforderungsbereich I                Anforderungsbereich II
• lösen einer einfachen              • finden eines Lösungsweges zu
  mathematischen                       einer Problemstellung durch ein
  Aufgabenstellung durch               mehrschrittiges
  Identifikation und Auswahl einer     strategiegestützes Vorgehen
  naheliegenden Strategie (z.B.
  zeichnen einer einfachen
  Hilfslinie)
Problemlösen
Anforderungsbereich III
• Konstruieren einer elaborierten
  Strategie, um z.B. die
  Vollständigkeit einer
  Fallunterscheidung zu
  begründen oder eine
  Schlussfolgerung zu
  Verallgemeinern
• Reflektieren über verschiedene
  Lösungswege
Argumentieren

Anforderungsbereich I               Anforderungsbereich II
• Routineargumentationen            • überschaubare mehrschrittige
  (bekannte Sätze, Verfahren,         Argumentationen
  Herleitungen, usw.)                 nachvollziehen, erläutern oder
  wiedergeben und anwenden            entwicklen
• einfache rechnerische
  Begründungen geben
• mit Alltagswissen argumentieren
Argumentieren
Anforderungsbereich III
• komplexe Argumentationen
  nutzen, erläutern oder
  entwickeln
• verschiedene Argumente nach
  Kriterien wie Reichweite und
  Schlüssigkeit bewerten
Kommunizieren

Anforderungsbereich I
                                    Anforderungsbereich II
• Darlegung einfacher               •   Verständliche, i.d.R. mehrschrittige
  mathematischer Sachverhalte           Darlegung von Lösungsverfahren,
• Identifikation und Auswahl von        Überlegungen und Ergebnissen
  Informationen aus kurzen          •   Äußerungen (richtige, aber auch
  mathematikhaltigen Texten (die        fehlerhafte) von anderen Personen
  Ordnung der Information im Text       zu mathematischen Texten
  entspricht weitgehend den             interpretieren
  Schritten der mathematischen      •   Identifikation und Auswahl von
  Bearbeitung)                          Informationen aus
                                        mathematikhaltigen Texten (die
                                        Ordnung der Information entspricht
                                        nicht unmittelbar den Schritten der
                                        mathematischen Bearbeitung
Kommunizieren

Anforderungsbereich III
• Entwickeln einer kohärenten
  und vollständigen Präsentation
  eines komplexen Lösungs- oder
  Argumentationsprozesses
• Komplexe mathematische Texte
  sinnentnehmend erfassen
• Äußerungen von anderen
  vergleichen, bewerten und ggf.
  korrigieren
Darstellen

Anforderungsbereich I           Anforderungsbereich II
• Standarddarstellungen von     • gegebene Darstellungen
  mathematischen Objekten und     verständig interpretieren oder
  Situationen anfertigen und      verändern
  nutzen
                                • zwischen zwei Darstellungen
                                  wechseln
Darstellen
Anforderungsbereich III
• unvertraute Darstellungen
  verstehen und verwenden
• eigene Darstellungsformen
  problemadäquat entwickeln
• verschiedene Formen der
  Darstellung zweckgerichtet
  beurteilen
Symbolische, formale und technische
Elemente

Anforderungsbereich I             Anforderungsbereich II
• Verwenden elementarer           • mehrschrittige Anwendungen
  Lösungsverfahren                  formal mathematischer
                                    Prozeduren
• direktes Anwenden von Formeln
  und Symbolen                    • Umgang mit Variablen, Termen,
                                    Gleichungen und Funktionen im
• direktes Nutzen einfacher         Kontext
  mathematischer Werkzeuge
  (z.B. Formelsammlung,           • mathematisches Werkzeug je
  Taschenrechner)                   nach Situation und Zweck
                                    gezielt auswählen und
                                    einsetzen
Symbolische, formale und technische
Elemente
Anforderungsbereich III
• Durchführen komplexer
  Prozeduren
• Bewerten von Lösungs- und
  Kontrollverfahren
• Reflektieren der Möglichkeiten
  und Grenzen mathematischer
  Werkzeuge
Kompetenzorientierte Diagnose




 „Das gesamte Unterrichtsarrangement
 muss auch auf Diagnose und daraus
 abgeleitete Konsequenzen ausgerichtet
 sein“ (Helmke 2003)

                   Teil V: Unterrichtsplanung mit dem Kerncurriculum
Kompetenzorientierte Aufgaben


„Repräsentiert man Bildungsstandards
durch Aufgaben, so geben die
Aufgabenbearbeitungen Aufschlüsse
darüber, in welchem Maße angesprochene
Kompetenzen bereits entwickelt sind und in
welchem Maße Anforderungen eines
bestimmten Bereichs bewältigt wurden.“
(Sjuts 2006)


                   Teil V: Unterrichtsplanung mit dem Kerncurriculum
Eckpfeiler der Kommissionsarbeit zu
Beginn der 1. Sitzung

• Prozess
   – Benennung eines Kommissionssprechers
   – möglichst Abstimmung zwischen den Kommissionen
   – Abstimmung der Kommissionssprecher untereinander und mit der
     Projektleitung im Kultusministerium (je 1 Projektleiter für GS,
     HS/RS und Gymnasium/IGS)

• Ergebnis
   – Abbildung über Doppeljahrgangsstufen
   – Standards als Kompetenzen formuliert

• Sonst:
   – keine!


                                      Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Bestandteile von Kompetenzmodellen

• Komponenten
  – beschreiben das Gefüge von der Anforderungen, deren
    Bewältigung von Schülern erwartet wird.

• Stufen
  – liefert wissenschaftlich begründete Vorstellungen darüber, welche
    Abstufungen eine Kompetenz annehmen kann bzw. welche Grade
    oder Niveaustufen sich bei den einzelnen Schülern feststellen
    lassen.
                       Jede Kompetenzstufe ist durch kognitive Prozesse
                       und Handlungen von bestimmter Qualität spezifiziert,
                       die Schüler auf dieser Stufe bewältigen können, aber
                       nicht auf niedrigeren Stufen.
                       Die Kompetenz einer Person lässt sich über
                       Aufgaben beschreiben, denen ein entsprechender
                       Schwierigkeitsgrad zugeordnet werden kann.

                                        Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Problem bei dem Weg von den
Bildungsstandards zum Kerncurriculum

Variante A:                       Variante B:
  Endkompetenz Ende Klasse 10       doppeljahrgangsspezifisch zu
                                    konkretisierende übergeordnete
• Beispiel aus „symbolische,        Kompetenz
  formale und technische
  Elemente der Mathematik“:       • Beispiel aus „Probleme
                                    mathematisch lösen“:
  mit Variablen, Termen,
  Gleichungen, Funktionen,          geeignete heuristische
  Diagrammen, Tabellen arbeiten     Hilfsmittel, Strategien und
                                    Prinzipien zum Problemlösen
• Beispiel aus „Funktionaler        auswählen und anwenden
  Zusammenhang“:
                                  • Beispiel aus „Raum und Form“:
  verwenden die Sinusfunktion
  zur Beschreibung von              erkennen und beschreiben
  periodischen Vorgängen            geometrische Strukturen in der
                                    Umwelt

                                     Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Bildungsstandards und Kompetenzmodelle

• Aufgabe der Bildungsstandards:
   – Kompetenzen benennen, die Schüler erwerben müssen, damit
     Bildungsziele als erreicht gelten können.

• Aufgabe der Kompetenzmodelle:
   – beschreiben, welche Lernergebnisse von Schülern in bestimmten
     Altersstufen in den jeweiligen Fächern erwartet werden.
   – beschreiben, welche „Wege zum Wissen und Können“
     eingeschlagen werden können.




                                     Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Das dem Kerncurriculum zugrunde
liegende „Modell des Kompetenzerwerbs“
• Gliederung in prozessbezogene und inhaltsbezogene Kompetenzen
• Beschreibung der Kompetenzbereiche durch eine begrenzte Anzahl
  an Kernkompetenzen
   – geben den Kern des Kompetenzbereichs an
   – auch für den Laien in verständliche Sprache
• Konkretisierung der Kernkompetenzen über Erwartungen
   – Erwartungen sind „Teilkompetenzen“
   – gegliedert nach Doppeljahrgangsstufen
• Gliederung
   – bildet einen systematischen, kumulativen Kompetenzaufbau ab
   – nach Anforderungen (Anforderungsniveau)
   – nach Schwierigkeit


                                           Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
4 Seiten zusammenfassende Thesen zum
Kerncurriculum (Seite 1)
 Das vorliegende Kerncurriculum ist soll Schülerinnen
 und Schüler befähigen, wichtige mathematische
 Konzepte und Verfahren mit Verständnis zu erlernen.
 Die erwarteten Kompetenzen zu erreichen, wird nicht
 einfach sein, aber die Aufgabe ist außerordentlich
 bedeutsam.
 Wir müssen die Kinder und Jugendlichen mit der
 bestmöglichen mathematischen Bildung ausstatten, mit
 einer Bildung, die sie befähigt, persönliche Wünsche
 und Berufsvorstellungen in einer sich ständig
 ändernden Welt zu erfüllen.


                                Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
4 Seiten zusammenfassende Thesen zum
Kerncurriculum (Seite 2)

 Wir leben in einer durch Mathematik geprägten Welt.
 Ob wir uns zu einem Kauf entschließen oder eine
 Versicherung, eine Geldanlage oder einen Kredit
 wählen, wir verlassen uns auf mathematisches
 Verständnis.
 Das World Wide Web, CD-ROMs und andere Medien
 verbreiten riesige Mengen an Informationen.
 Die am Arbeitsplatz benötigten Anforderungen an
 mathematischem Denken und Problemlösen sind in
 den vergangenen beiden Jahrzehnten enorm
 angestiegen.

                                Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
4 Seiten zusammenfassende Thesen zum
Kerncurriculum (Seite 3)

 In einer solchen Welt haben diejenigen, die Mathematik
 verstehen und anwenden können, Möglichkeiten, die
 andere nicht haben.
 Mathematische Kompetenz öffnet Türen zu einer
 produktiven Zukunft.
 Ein Mangel an mathematischer Kompetenz verschließt
 diese Türen.




                                Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
4 Seiten zusammenfassende Thesen zum
Kerncurriculum (Seite 4)

 Schülerinnen und Schüler haben unterschiedliche
 Fähigkeiten, Bedürfnisse und Interessen.
 Dennoch muss jede und jeder fähig sein, Mathematik in
 seinem persönlichen Leben anzuwenden; am
 Arbeitsplatz und beim weiteren Bildungsweg.
 Alle jungen Menschen haben Anspruch auf
 Gelegenheiten, die Kraft und die Schönheit der
 Mathematik zu verstehen.
 Sie müssen mathematische Basiskompetenzen
 erwerben können, die sie befähigt, flüssig zu rechnen
 und Probleme kreativ und einfallsreich zu lösen.

                                 Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Die Rolle der Aufgaben

Aufgaben werden in Lernsituationen genutzt, um

•   die Lernausgangslage festzustellen,
•   die Einführung neuer Begriffe und Verfahren vorzubereiten und
    durchzuführen,
•   intelligente Übungsmöglichkeiten zum Wiederholen und Festigen
    bereitzustellen,
•   mathematikhaltige Probleme aus der Lebenswelt der Schülerinnen und
    Schüler aufzugreifen,
•   den Erfolg des Kompetenzaufbaus zu ermitteln.


In Leistungssituationen nutzt man Aufgaben
• zur individuellen Leistungsfeststellung,
• zur Qualitätssicherung von Unterricht.


                             Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Kompetenzorientierter Unterricht


  „Man weiß aus der Lehr-/Lernforschung,
  dass ein bloßes Abarbeiten und Trainieren
  von Aufgaben höchstens bei rein
  verfahrensorientierten Aufgabentypen
  überhaupt Effekte haben kann. Für
  langfristigen Kompetenzaufbau notwendig
  ist ein entsprechend breit angelegter,
  konsequent kompetenzorientierter
  Unterricht.“ (Blum, Köller u.a. 2006)

                                   Teil IV: Ausblick und Fragen

								
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