Aufgaben zur Zentripetalkraft: by 7vT88e2s

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									Physik                         Aufgaben zu Zentripetalkraft und Gravitationskraft                      1/12

Aufgaben zur Zentripetalkraft:

1. Ein mit Wasser gefülltes Glas kann über dem Kopf geschleudert werden, ohne das Wasser herausfließt.
   Berechne für eine Armlänge von r = 0,6 m die hierfür benötigte Geschwindigkeit v.

         Die Zentripetalbeschleunigung muss größer als die Erdbeschleunigung g sein.
                     v2
         aZ  g         g  v  r  g  v  0,6m  10m / s 2  2,4m / s
                     r
2. Für Gummireifen beträgt die Haftreibungszahl f H = 0,65 und die Gleitreibungszahl f Gl = 0,5 auf trockener
   Fahrbahn. Auf nasser Fahrbahn beträgt die Haftreibungszahl f H’ = 0,4. Bestimme die maximale
   Geschwindigkeit v, mit der ein Auto in eine Kurve mit Kurvenradius r = 100 m einfahren kann. Berechne
   auch, wie sich die Geschwindigkeit für nasse Fahrbahn ändert. Erläutere, warum Rennfahrer die Kurve
   schneiden?

         Die Zentripetalbeschleunigung darf nicht größer als die Haftreibungskraft der Reifen sein.
                       m  v2
         FZ  FH              fH  m  g  v        f H  r  g  v  0,65  100m  10m / s 2 
                         r
         v  25,5m / s  91,8km / h
         Auf trockener Fahrbahn darf das Auto nicht über 91,8 km/h in der Kurve erreichen.
         v  0,4  100m  10m / s 2  20m / s  72km / h
         Um mit einer höheren Geschwindigkeit durch eine Kurve fahren zu
         können, muss der Radius der Kurve vergrößert werden. Aus diesem
         Grund bietet es sich an, bei Kurvenfahrten die Kurve zu „schneiden“,
         was allerdings wegen des Gegenverkehrs gefährlich ist.
                m  v2
         FZ            verdoppelt sich der Kurvenradius, so halbiert sich FZ.
                  r
         r ~ v 2  Um mit doppelter Geschwindigkeit durch die Kurve fahren
         zu können, muss der Radius viermal so groß werden.

3. Begründe, warum ein Mensch gleich bleibender Masse am Äquator etwas weniger wiegt, als am Nordpol
   oder auf dem 52 Breitengrad. Berechne auch jeweils die prozentualen Gewichtsunterschiede.

         Am Äquator ist die Entfernung der Erdoberfläche zur
         Drehachse am größten (r = 6.370 km). Am Nordpol ist
         die Entfernung der Erdoberfläche zur Drehachse am
         kleinsten (r = 0 km). Damit ist auch die
         Umdrehungsgeschwindigkeit v am Äquator am größten.
                                        2   r
         Die Geschwindigkeit ist   v            mit T = 24h.
                                           T
         Entsprechend ist die Zentripetalkraft am Äquator am
         größten.
              m  v2 m  4  2  r 2       4  2  r
         FZ                           m
                r            r T 2            T2
         Am Äquator ist r = 6370 km : FZ  m  0,0337 m / s
                                                            2


         Verglichen mit   Fg  m 10m / s 2 ergibt sich ein Anteil
         von 0,00337. Am Äquator ist man um 0,337% leichter.
                                            r'
         Für den Breitengrad  gilt:   cos    r '  r  cos
                                            r
         Auf dem 52-Breitengrad ist r ' 3933km und FZ  m  0,0207 m / s .
                                                                         2


         Verglichen mit   Fg  m 10m / s 2 ergibt sich, dass man auf dem 52-Breitengrad ist um 0,207%
         leichter ist.
         Eigentlich müsste man nur die zum Erdmittelpunkt hin gerichtete Komponente der Zentripetalkraft
         betrachten. Darauf wird hier aber verzichtet, da der Effekt zu klein ist.
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4. Ein Autofahrer sieht plötzlich eine sehr breite Mauer vor sich
   auftauchen. Bei welcher der folgenden beiden Möglichkeiten
   hat er die größere Chance nicht mit der Mauer in Konflikt zu
   kommen?
   a) Er tritt mit voller Kraft auf die Bremse, jedoch so, dass die
       Räder nicht blockieren und bremst so den Wagen mit
       konstanter        Verzögerung       bei     gleichbleibender
       Fahrtrichtung.

            Der Bremsweg entspricht der Strecke x. Es gilt:
                 1                 2 x
            x     a t2  t 
                 2                  a
                                                                          2 x       1 v2
            Für die Geschwindigkeit gilt:   v  a t  v2  a2  t 2  v2  a2 
                                                                                x 
                                                                           a         2 a
                                                                                     1 v2
            Um den Wagen in den Stillstand zu bremsen muss der Bremsweg die Länge x     haben.
                                                                                     2 a
    b) Er weicht der Mauer auf einem kreisförmigen Bogen mit konstanter Geschwindigkeit aus, ohne zu
       schleudern.
    - Es darf angenommen werden, dass die maximal möglichen Beschleunigungen bei der Kurvenfahrt
       und beim Abbremsen gleich groß sind.
    - Es trete keine Schrecksekunde auf!

            Die erste Annahme ist sinnvoll, das der Wagen durch die Haftreibung abbremst und diese
            gleichzeitig den Wagen bei der Kurvenfahrt in der Kurve hält.
            Die Zentripetalbeschleunigung darf nicht größer als die Beschleunigung a beim Abbremsen
            werden.
                     v2        v2
            aZ  a     a r
                     r         a
                                                                                   v2
            Um den Wagen in der Kurve zu halten muss der Radius größer als r         sein.
                                                                                   a
            Vergleicht man beide Aufgabenteile sieht man, dass die Abbremsstrecke nur halb so groß ist
            wie der minimale Kurvenradius. Es bestehen also bessere Chancen das Auto zu bremsen, als
            eine Kurve zu versuchen, bei der man sonst ungebremst in die Wand fährt.
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5. Auf dem Rummelplatz soll eine Achterbahn reibungsfrei durch einen Looping vom Radius r = 12 m
   fahren.
   a) Bestimme die Geschwindigkeit, die die Achterbahn in der Spitze des Loopings haben muss, damit
       sie gerade nicht herunterfällt.
           Die Zentripetalbeschleunigung muss größer als die Erdbeschleunigung g sein.
                         v2
           aZ  g           g  v  r  g  v  12m  10m / s 2  10,95m / s  39,44km / h
                         r
   b) Berechne die Geschwindigkeit, mit der die Achterbahn in den Fußpunkt des Loopings einfahren
      muss, damit sie in der Spitze nicht herunterfällt.
         Die Energie in der Spitze des Loopings besteht aus Lageenergie W Pot und Bewegungsenergie
         W kin. Beide Energien müssen zusammen so groß sein wie die Energie des Wagens bei der
         Einfahrt in den Looping. Diese Energie besteht aus Bewegungsenergie.
                                     1                         1
           Wkin '  WPot  Wkin        m  v' 2  m  g  h   m  v 2  v' 2  2  g  h  v 2 
                                     2                         2
           Die Höhe des Loopings entspricht dem doppeltem Radius: h = 2  r
           In der Spitze des Loopings gilt für die Geschwindigkeit    v  r  g (Aufgabenteil a).
           v' 2  2  2  r  g  r  g  v'  5  r  g  24,5m / s  88,3km/ h

   c) Bestimme die Höhe, aus der die
      Achterbahn starten muss, damit sie
      antriebs- und reibungslos gerade eben
      den Looping durchfahren kann.
          Die Bewegungsenergie W kin’ bei der
          Einfahrt in den Looping muss der
          Lageenergie     W Pot’’ auf   dem
          Startpunkt entsprechen.
           WPot ' '  Wkin ' 
                           1
           m  g  h' '   m  v ' 2 
                           2
                         2
                 1 v'
           h' '          
                 2 g
           Ich setze für v’ das Ergebnis aus Teilaufgabe b ein v'      5 r  g .
                    1 5r  g         5
           h' '              h' '   r  30m
                    2   g             2

   d) Begründe, warum die Masse der Achterbahn hierfür keine Rolle spielt.
         Die Masse der Fahrzeuge hat zwar eine größere Gewichtskraft zur Folge. Gleichzeitig vollzieht
         diese Masse eine Kreisbewegung und die Zentripetalkraft ist durch die Masse der Fahrzeuge
         ebenfalls größer. Die beiden Effekte heben sich gegenseitig auf.

   e) Erläutere, warum viele Achterbahnloopings in der Spitze einen engeren
      Kurvenradius als an den Seiten haben. Beachte hierbei besonders den
      Energieaspekt.
                                                                   v2
           Für die Zentripetalbeschleunigung gilt die Formel a Z     . Die
                                                                   r
           Geschwindigkeit der Fahrzeuge ändert sich nicht augenblicklich. Der
           Radius der Loopingbahn wird aber kleiner. Demnach wird die
           Zentripetalbeschleunigung größer. Man kann also mit einer
           geringeren Geschwindigkeit eine höhere Zentripetalbeschleunigung
           (die g ausgleichen muss) erreichen. Das bedeutet, dass man
           Bewegungsenergie für den Looping spart und somit auch von einer
           geringeren Höhe starten kann.
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Aufgaben zur Gravitationskraft

6. Erläutere, von welcher Gegend der Erde es am leichtesten wäre ein Raumschiff zu starten.
   a) New Mexico (südlich über Mexico hinweg).
   b) Kalifornien (nördlich über den Pazifischen Ozean)
   c) Florida (östlich über den Atlantischen Ozean)
   d) Moskau (östlich über Sibirien)
           Da die Erde sich nach Osten dreht hat jeder Körper, der von der Erde aus startet schon eine
           Geschwindigkeitskomponente in Richtung Osten. Diese Geschwindigkeitskomponente ist durch
           die Rotation der erde um ihre Achse bedingt. Sie ist am Äquator am größten und am Pol ist sie
           gleich Null.
           Eine Rakete, die senkrecht am Äquator startet hat zusätzlich eine Geschwindigkeitskomponente
           von 1.667 km/h in Richtung Osten.
           Deswegen ist es am günstigsten einen Startpunkt am Äquator in Richtung Osten zu wählen,
           damit man Energie für die Geschwindigkeit der Rakete „sparen“ kann.
           Hier ist also Florida der beste Startpunkt.

7. Wohl jeder in den USA war erstaunt und alarmiert,
   als die UdSSR den Wettlauf in den Weltraum dank
   dem Start des ersten Erdsatelliten Sputnik 1957 in
   der ersten Runde gewannen. Die brennendste
   Frage war, wie viel Nutzlast die UdSSR auf die
   Umlaufbahn bringen konnten. Der US-Präsident
   fragte seine Forschungsberater Folgendes: „Alles,
   was wir von Sputnik kennen, ist seine Höhe und
   seine Bahngeschwindigkeit. Können Sie aus diesen
   Informationen die Masse vom Sputnik berechnen?“
   Die Forscher antworteten:
   a) „Ja, können wir.“
   b) „Nein, können wir nicht.“
           Auf der Umlaufbahn kreist der Satellit um die Erde. Die Gravitationskraft ist dabei die Ursache
           der Zentripetalkraft. Beide Kräfte müssen gleich groß sein.
                          mSatellit  v 2        M    m
            FZ  Fg                      '  G  Erde 2 Satellit 
                               r                      r
            v2      M
                G  Erde  v 2  r  G  M Erde  konst.
            r        r2
           Beiden Kräfte sind proportional zur Masse des Satelliten. Dadurch spielt die Masse des
           Satelliten keine Rolle für seine Umlaufbahn. Man kann also keine weiteren Informationen
           gewinnen.

8. Sputnik I, der künstliche Erdsatellit, fiel auf die Erde zurück, weil die Reibung im
   äußeren Teil der Erdatmosphäre ihn verlangsamte. (Natürlich geschieht dies mit
   allen          Raumschiffen           auf           niedrigen         Umlaufbahnen.)
   Während Sputnik auf immer engeren Spiralbahnen die Erde umlief, beobachtete
   man, dass seine Geschwindigkeit
   a) abnahm
   b) gleich blieb
   c) anstieg
           Der Satellit verlor an Geschwindigkeit auf der oberen Umlaufbahn, dadurch fällt er auf eine
           tiefere Umlaufbahn. Auf jeder Umlaufbahn hat der Satellit potentielle Energie
                          M Erde  mSat .
            WPot  G                    .
                                r
           Durch das Herabfallen von einer äußeren auf eine innere Bahn gewinnt der Satellit Energie:
                                              M Erde  mSat.       M    m                           1          1 
            WPot  Winnen  Waußen  G                     G  Erde Sat.  G  M E  m Sat                  
                                                 rinnen              raußen                         r        rinnen 
                                                                                                     außen          
           (Weil rinnen < raußen ist, wird W Pot negativ, das heißt es wird Energie frei.)
           Diese hinzugewonnene Energie erhöht die Bewegungsenergie und führt zu einem Anstieg der
           Geschwindigkeit des Satelliten. Nur reicht der Geschwindigkeitszuwachs nicht aus, um eine
           höhere Umlaufbahn zu erreichen. So bremst er durch die Atmosphäre doch weiter ab.
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9. Der Mond bewegt sich mit der Umlaufzeit T = 27,3 d um die Erde. Der
   Radius der als Kreis um den Erdmittelpunkt angenommenen Mondbahn ist
   R = 3,84  10 km.
                5

   (Mondradius rM = 1,74  10 km; mittlere Monddichte m = 3,34 g/cm
                             3                                       3

   a) Bestimmen Sie die Bahngeschwindigkeit v des Mondes sowie die
       Zentripetalbeschleunigung a auf seiner Kreisbahn.
                 s 2    r 2    384 .000 km
            v                                  3.682 km / h  1.023 m / s
                 t     T          27 ,3  24 h
    b) Welche Kraft übt die Erde auf den Mond aus?
                                        4
            Volumen einer Kugel:   V       r3
                                        3
            Masse des Mondes:

             m  V  m 
                         4
                         3
                                              
                              1,74  106 m  3.340kg / m 3  7,37  10 22 kg
                                               3



                 mv 2
                         7,37  10 22 kg  1.023 2 m 2 / s 2
            FZ                                              2  10 20 N
                  r               384 .000 .000 m
    c) Berechnen Sie die Masse der Erde ohne die Mondmasse zu verwenden.
          Die Zentripetalkraft wird durch die Gravitationskraft aufgebracht, beide Kräfte müssen gleich
          groß sein.
                         mM  v 2    M m     v2      M           v2  r
            FZ  Fg              G E 2 M      G  2E  M E          6,02  10 24 kg
                           r           r      r        r           G
10. Cavendish konnte mit seinem Versuch zum ersten Mal die Kraft zwischen zwei Massen m und M konkret
    messen. Hieraus gewann er die Gravitationskonstante G. Erläutere, warum er behauptete, mit diesem
    Versuch die Erde gewogen zu haben.
           Cavendish konnte mit seinem Experiment die Gravitationskonstante G bestimmen. Erst jetzt war
           es möglich die Anziehungskraft zwischen zwei Massen zu bestimmen.
           Anhand der Daten für den Mondumlauf (Umlaufzeit T und Umlaufradius r) konnte so erstmals
           die Masse der Erde bestimmt werden.
           Die Zentripetalkraft wird durch die Gravitationskraft aufgebracht, beide Kräfte müssen gleich
           groß sein.
                        mM  v 2    M m     v2      M     4  2  r 2      M
            FZ  Fg             G E 2 M      G  2E                G  2E 
                            r         r      r        r      r T  2
                                                                              r
                 4   r
                      2   3
            ME 
                   G T 2
11. Falls die Erde keine Luft (Atmosphäre) oder Gebirge als Hindernisse besäße, könnte ein Satellit mit
    ausreichender Anfangsgeschwindigkeit ganz nahe an der Erdoberfläche kreisen – immer vorausgesetzt,
    dass er sie nicht berührt?
    a) Ja, könnte er.
    b) Nein, Bahnen sind nur in genügendem Abstand von der Erdoberfläche möglich, wo die Schwerkraft
        verringert ist.
            Für die Umlaufbahn muss lediglich die Zentripetalkraft gleich der Gravitationskraft entsprechen.
            Diese Gleichung ist unabhängig vom Bahnradius r lösbar, wenn die Bahngeschwindigkeit v
            entsprechend stimmt. Es ist also möglich.
12. Die ISS umkreist die Erde in einer Höhe von 400 km über der Erdoberfläche.
    a) Berechne, um wie viel Prozent die Flughöhe über dem Erdradius liegt.
                                                           h   400
          Das Verhältnis von Flughöhe und Erdradius ist            6,3%
                                                          R E 6370
    b) Berechne die Dauer T eines Umlaufs der ISS um die Erde.
        Die Zentripetalkraft wird durch die Gravitationskraft aufgebracht, beide Kräfte müssen gleich groß
        sein.
                       m  v2      M m  v2      M     4  2  r 2      M
          FZ  Fg             G  E2      G  2E                G  2E 
                         r          r    r        r      r T  2
                                                                          r
                 4  2  r3           4  2  r3
          T2                T                    5.169,8s  86Min.
                  GME                  GME
Physik                            Aufgaben zu Zentripetalkraft und Gravitationskraft                            6/12

13. Wettersatelliten oder Telekommunikationssatelliten sollten möglichst immer über der selben Stelle der
    Erdoberfläche schweben.
    a) Zeige, dass die Höhe der Umlaufbahn unabhängig von der Masse des Satelliten ist. (Deswegen ist
       diese Umlaufbahn auch so voll besetzt.)
         Die Zentripetalkraft wird durch die Gravitationskraft aufgebracht, beide Kräfte müssen gleich groß
         sein.
                         m  v2      M m  v2      M     4  2  r 2      M
          FZ  Fg               G  E2      G  2E                G  2E 
                           r          r    r        r      r T  2
                                                                            r
                      ME
          r3  G            T 2 Die Umlaufbahn ist unabhängig von der Satellitenmasse m.
                     4  2

    b) Berechne die Höhe dieser geostationären Umlaufbahn über der Erdoberfläche.
                   ME                       ME
          r3  G        T 2  r  3 G           T 2  42 .300 km
                  4  2
                                           4  2


          Die Höhe über der Erdoberfläche ist demnach h  r  RE  42 .300 km  6370 km  35 .930 km
    c) Berechne die Geschwindigkeit des Satelliten auf seiner Umlaufbahn.
          v2      M            M
              G  2E  v  G  E  3.076 m / s  11 .074 km / h
          r        r            r
    d) Bestimme die Energie, die aufgewendet werden muss, um einen Satelliten der Masse von m = 5 t
       auf diese Umlaufbahn zu bringen.
         Zunächst muss der Satellit von der Erdoberfläche im Abstand R E zum Erdmittelpunkt auf die
         Umlaufbahn in der Entfernung r zum Erdmittelpunkt gebracht werden. Hierzu muss dem Satelliten
         potentielle Energie zugeführt werden.
                                          M Erde  m Sat .       M      m Sat .                      1 1 
            W Pot  W R  Wr  G                         G  Erde            G  M E  mSat    r R 
                                                                                                         
                                                r                    RE                                  E 


                                                                         G  M E  m Sat   1,3  10  
                                               1             1                                         7
            W Pot  G  M E  m Sat                 
                                         42 .300 .000 m 6.370 .000 m 
            W Pot  2,67  10 J
                              11


          Zusätzlich benötigt der Satellit für die Kreisbewegung Bewegungsenergie auf der Umlaufbahn.
                      1
            Wkin       mSat.  v 2  2,37  1010 J
                      2
          Aufgrund des großen Umlaufradius muss die Bewegung der Erde nicht berücksichtigt werden. So
          dass sich als Gesamtenergie ergibt zu.
            W  W Pot  Wkin  2,67  10 11 J  0,237  10 11 J  2,907  10 11 J .
          Daraus ergibt sich eine Startgeschwindigkeit von:
                              1                                      2  Wkin ( Start)
            Wkin ( Start)       mSat.  v 2  2,907  1011 J  v                     10.783m / s  38.820km / h
                              2                                           mSat

    e) Erläutere, warum ein solcher Satellit nicht ständig über dem 50-ten Breitengrad stehen kann
       (sondern nur über dem Äquator).
         Auf der Umlaufbahn muss ständig die Zentripetalkraft aufgebracht werden, damit der Satellit nicht
         die Bahn verlässt. Die Ursache der Zentripetalkraft ist die Gravitationskraft. Beide Kräfte müssen
         gleich groß und gleich gerichtet sein.
         Die Gravitationskraft zeigt auf den Erdmittelpunkt. Also sind nur Umlaufbahnen erlaubt, die um den
         Erdmittelpunkt als Drehzentrum herumführen. Im Mittelpunkt der Bahn über dem 50-ten
         Breitengrad steht nur die Erdachse, nicht aber der Erdmittelpunkt. Also sind nur Umlaufbahnen
         parallel zu Großkreisen über der Erdoberfläche möglich.
Physik                           Aufgaben zu Zentripetalkraft und Gravitationskraft                       7/12

14. Man spricht von der Fluchtgeschwindigkeit, wenn ein Körper das Gravitationsfeld eines anderen Körpers
    gerade eben verlassen kann.
    a) Berechne die 1. kosmische Geschwindigkeit für einen Satelliten, der auf der Erdoberfläche im
        Abstand R um den Mittelpunkt startet und im gleichen Abstand eine kreisförmige Umlaufbahn
        einschlägt.
          Auf der Erdoberfläche gilt:
                            M Erde  m                  M Erde
          F  m g G              2
                                          g G              2
                                                                   9,8m / s 2
                               RE                        RE
         Für den Satelliten der die Erde auf Höhe der Erdoberfläche umkreist gilt:
                        m  v2              M     m
          FZ  FG              m  g  G  Erde2  v  g  R  v  g  R  7.981m / s
                                                      2

                          R                   RE

   b) Berechne die 2. kosmische Geschwindigkeit, also die Fluchtgeschwindigkeit aus dem
      Gravitationsfeld der Erde, bzw. des Sonnensystems. (Der Satellit startet im Abstand R zum
      Mittelpunkt und soll gerade eben r = „unendlich“ weit weg kommen.)
       Dem Satelliten muss potentielle Energie zugeführt werden. Die Bewegungsenergie des Satelliten
       beim Start wird in potentielle Energie umgewandelt.
                                                          M Erde  m Sat .       M      m Sat .
         Wkin ( Start )  W Pot  Wr  W R  G                           G  Erde
                                                                r                    RE
          1                            1 1                        1     1 
                                        r R   v  2  G  M E     R  
                                       
             mSat .  v 2  G  M E  mSat    
                                                      2
                                                                             
          2                                  E                           E 

                             1            GME             GME
          v2  2  G  M E      v  2           v  2     2
                                                                  R E  v  2  g  R  11.179m / s
                             RE            RE               RE

   c) Berechne die 3. kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit vom Sonnensystem).
       Es ergibt sich die selbe Rechnung wie in Aufgabenteil b, nur die Masse der Sonne wird für M
       eingesetzt und R ist der Radius der Erdbahn.
                   G  M Sonne      G  2  1030 kg
          v  2                2                  42.181m / s
                    RErdbahn         150  109 m
         Diese Geschwindigkeit kann bis jetzt noch nicht mit Raketentriebwerken nicht erreicht werden.
         Trotzdem konnte ein Satellit (Pioneer 10) das Sonnensystem verlassen. Hierzu wurden
         sogenannte Swing-By Manöver eingesetzt, wobei der Satellit durch Vorbeiflügen an Planeten
         Energie gewonnen hat.

15. Wie wiegt man die Sonne? Die Erde bewegt sich in 356,25 Tagen auf einer annähernd kreisförmigen
    Bahn vom Radius 150.000.000 km um die Sonne. Weil die Erde nicht auf die Sonne stürzt, muss die
    Zentrifugalkraft der Kreisbewegung und die Gravitationskraft gleich groß sein.
    a) Bestimme die Masse der Sonne.
            Die Zentripetalkraft wird durch die Gravitationskraft aufgebracht, beide Kräfte müssen gleich
            groß sein.
                        m  v2         M m v2      M     4  2  r 2      M
            FZ  Fg            G  S2        G  2S                G  2S 
                          r               r r       r       r T  2
                                                                            r
                 4   r
                      2   3
            MS               2  10 30 kg
                   G T 2
   b) Bestimme die Fallbeschleunigung (gSonne) auf der Sonnenoberfläche, wenn ihr Radius 700.000 km
      beträgt.
                                          MS m                         MS
            Fg '  Fg  m  g '  G                2
                                                         g'  G               2
                                                                                     272m / s 2  27 g
                                           rSonne                      rSonne
Physik                            Aufgaben zu Zentripetalkraft und Gravitationskraft                          8/12

16. Der Jupitermond Kallisto braucht zu einem Umlauf um den Planeten auf einer
                                    6
    kreisförmigen Bahn (r = 1,88·10 km) die Zeit von 16 Tagen und 17 Stunden.
    a) Bestimme die Masse des Jupiters.
            Die Zentripetalkraft wird durch die Gravitationskraft aufgebracht, beide
            Kräfte müssen gleich groß sein.
                           m  v2         M m    v2      M
             FZ  Fg               G J2           G  2J 
                             r               r    r       r
             4   r
                  2   2
                               M
                         G  2J 
               r T 2
                                r
                    4   r
                         2   3
             MJ                 1,89  10 27 kg
                      G T 2



    b) Bestimme die Fallbeschleunigung (gJupiter) an der Jupiteroberfläche, wenn
       sein Durchmesser 1,43  10 km beträgt.
                                 5

                                           MJ m                         MJ
             Fg '  Fg  m  g '  G                 2
                                                           g'  G               2
                                                                                       24,7m / s 2  2,5 g
                                           rJupiter                    rJupiter

    c) Welches Gewicht (in N) würde ein Mann auf der Jupiteroberfläche besitzen, wenn er auf der Erde
       die Gewichtskraft 800 N erfährt?
             Fg '  m  g '  2000 N

17. Der Radius der Mondbahn ist etwa 60 mal so groß wie der Radius der Erdkugel. Die Erde hat eine etwa
    81 mal so große Masse wie der Mond.
    An welchem Punkt der Verbindungslinie Erde-Mond wird ein Körper von beiden Himmelskörpern mit
    gleich großer entgegengesetzter Kraft angezogen?
    (Dies ist der sogenannte abarische Punkt.)
         Gleichsetzen der beiden Gravitationskräfte:
                                    ME m     MM m  ME MM   r'2 M M
         Fg  Erde  Fg  Mond   G       G        2  2  2     
                                     r2        r '2   r  r'  r    ME
         Die Entfernung vom Körper zum Mond beträgt r’ = 60  RE – r .
                ME
         r2        r ' 2  r 2  81 r ' 2  r  81 r ' 2  9  r '
                MM
         Der Körper ist also 9-mal weiter von der Erde entfernt, als zum Mond.
         r  9  (60  RE  r )  10  r  540  RE  r  54  RE  r '  6  RE =343.980 km.
         Dieser Punkt liegt in einer Entfernung von 343.980 km zur Erde.

18. Die Abnahme des Ortsfaktors g soll nun genauer untersucht werden.
    a) Berechnen sie mit Hilfe der Daten aus der Formelsammlung den
        mittleren Ortsfaktor auf der Erdoberfläche und zeichnen Sie
        dann den Verlauf von g(r) in Abhängigkeit von r für r > r e.
                                       ME
             Fg '  Fg  g '  G              2
                                                    9,81m / s 2
                                       rErde

    b) Berechnen sie die Abnahme Δg100 des Ortsfaktors in 100m Höhe
       über der Erdoberfläche und geben Sie näherungsweise an, um
       welchen Betrag sich g in diesem Bereich pro Höhenmeter
       ändert. Gehen sie bei der Herleitung davon aus, dass die Höhe
       100m sehr klein gegenüber dem Erdradius ist.
                              ME                ME
             g  G              2  2
                                       G          2  2
                                                          0,00031m / s 2
                         6.370.000 m       6.370.100 m
             Das entspricht auf 100 m einen Unterschied von ca. 0,003% und auf 1 m 0,00003%.
Physik                                      Aufgaben zu Zentripetalkraft und Gravitationskraft                                            9/12

19. Dem deutschen Physiker Jolly gelang es im 19. Jahrhundert erstmals nachzuweisen, dass zwei
    identische Massen in verschiedenen Höhen nicht gleich viel wiegen. Er baute eine große Balkenwaage,
    bei der sich die eine Waagschale im Dachgeschoss eines mehrstöckigen Hauses befand, während die
    zweite 21 m tiefer in den Keller abgesenkt werden konnte. Er legte zwei Massen von je 5,000000 kg auf
    die Schalen und glich sie bei gleicher Höhe auf ein Milligramm genau ab.
    a) Auf welche Waagschale musste er nach dem Absenken der einen Masse eine Zusatzmasse legen,
        um wieder Gleichgewicht zu haben? Wie groß musste diese Zusatzmasse sein?
            Da die Balkenwaage im Gleichgewicht war, müssen die beiden Gewichtskräfte gleich gewesen
            sein.
                                                                                                                     2
                                             M E  m1                    M E  m2       m1           m2        r      m
                  Fg1  Fg 2  G                         2
                                                                   G          2
                                                                                            2
                                                                                                         2
                                                                                                               2
                                                                                                               r      2 
                                                                                                                     
                                                     r1                    r2           r1           r2         1     m1
                                        2
                   6.370.021m               m
                                1,0000066  2  m2  1,0000066  m1  5,000033 kg
                   6.370.000m               m1
                  Das Zusatzgewicht muss 33 mg betragen haben.

   b) Wie wird sich g(r) qualitativ verändern, wenn man von der Erdoberfläche zum
      Erdmittelpunkt                                                        geht?
      Begründen sie ihre Antwort.
         Befindet sich ein Körper unterhalb der Erdoberfläche, wird er nur von
         den Teilen der Erde angezogen, die näher am Erdmittelpunkt sind als
         der Körper. Alle Stücke der Erde, die weiter vom Erdmittelpunkt entfernt
         sind „ziehen“ den Körper in entgegengesetzte Richtungen und heben
         sich gegenseitig auf. Dadurch ist nur noch eine kleinere Masse für die
         Anziehung des Körpers verantwortlich und g(r) wird kleiner, umso kleiner
         r wird.


Aufgaben zu den Kepler’schen Gesetzen

20. Berechnen Sie Umlaufdauer T und Geschwindigkeit v eines
    Satelliten, der die Erde in 500 km Höhe umkreist. Benutzen Sie
    dabei die Tatsache, dass der rM = 384000 km entfernte Mond in TM =
    27,3 Tagen um die Erde läuft.
    Hinweis:
    Der Erdradius beträgt rE = 6370 km.
        Es gilt das 3. Keplersche Gesetz, da sich Mond und Satellit um
        die gemeinsame Zentralmasse der Erde drehen.
                                                                    (27,3  24) 2                              (27,3  24) 2
              2            2                     2
         T1           T2                    T2
                               T1                  r1                         6870km3                                  6870km3  1,57h
                                                              3
              3            3                     3
         r1           r2                    r2                      384.000km3                                 384.000km3
         Der Satellit hat eine Umlaufzeit von ca. 94 Minuten.
                  2    r 2    6870 km
         v                                 27 .500 km / h  7.640 m / s
                      T          1,57 h
         Die Geschwindigkeit des Satelliten beträgt 7.640 m/s

21. Angenommen, Sie lebten auf dem Mond. Wenn die Erde direkt über
    ihrem Kopf stünde, wie lang würde es dann dauern, Bevor Sie den
    Erduntergang sehen könnten?
    a) einen Tag (Erdtag, 24 Stunden)
    b) einen Vierteltag (6 Stunden)
    c) einen Monat (die Zeit, die der Mond benötigt, um einmal um die
        Erde zu kreisen)
    d) einen Viertelmonat
    e) Man könnte die Erde niemals untergehen sehen.
           Von der Erde aus sieht man immer die gleiche Seite des Mondes. Die Rückseite des Mondes
           war eine rätselhafte Sache, bis sie erstmalig von einem russischen Raumschiff fotografiert
           wurde.
           Wenn man auf der Seite des Mondes lebte, die der Erde zugewandt ist, würde man die Erde
           niemals untergehen sehen, da diese Seite dauernd auf die Erde ausgerichtet ist.
Physik                          Aufgaben zu Zentripetalkraft und Gravitationskraft                   10/12

22. Das zweite Keplersche Gesetz besagt, dass eine
    imaginäre Linie zwischen einem Planeten und der Sonne
    gleiche Flächen in gleichen Zeiten während des Umlaufs
    um die Sonne überstreicht. Wenn die Gravitation zwischen
    der Sonne und den Planeten irgendwie abgeschaltet
    würde und die Planeten nicht länger auf elliptischen
    Bahnen fliegen würden, würde dann das oben genannte
    keplersche Gesetz immer noch zutreffen? Welche Antwort
    ist richtig?
    a) Ja das zweite Gesetz würde immer noch gelten, auch
          wenn die Gravitation abgeschaltet worden wäre.
    b) Nein, die keplerschen Gesetze beziehen sich auf die
          von     der     Gravitation    erzeugten    elliptischen
          Umlaufbahnen. Wenn die Gravitation abgeschaltet ist, ist das zweite keplersche Gesetz
          bedeutungslos.
              Keplers zweites Gesetz besagt, dass die imaginäre Linie zwischen einem Planeten und der
              Sonne gleiche Flächen in gleicher Zeit überstreicht. Das bedeutet nichts weiter, als dass der
              Drehimpuls des Planeten um die Sonne sich nicht ändert. Wird jetzt die Gravitation
              abgeschaltet, z.B. wenn sich der Planet in Position E befindet, schießt der Planet entlang der
              Linie e f g h i j mit konstanter Geschwindigkeit davon. Wenn die Abstände zwischen e und f, g
              und h, e und j alle gleich sind, muss der Planet für diese Strecken jeweils die gleiche Zeit
              benötigt haben.




             Die Dreiecke efs und ghs und ijs sind jedoch alle gleich. Warum? Weil die Dreiecke gleiche
             Basen        und        eine       gemeinsame         Höhe      im      Punkt  s besitzen.
             Ist ef = gh = ij, dann gilt: Fläche von efs = Fläche von ghs = Fläche von ijs.

23. Ein Satellit bewegt sich auf einer Ellipsenbahn um die Erde. Sein
    erdnächster Abstand beträgt 300 km, sein größter Abstand 2000 km.
    Bestimmen Sie mit Hilfe des zweiten keplerschen Gesetzes das
    Verhältnis der Geschwindigkeiten an diesen Stellen?
    Hinweis: Der Erdradius beträgt 6370 km.
        Die Fläche, die der Fahrstrahl Satellit - Erde im Aphel bzw. Perihel
        in einer kleinen Zeitspanne überstreicht ist näherungsweise gleich
        einer Dreiecksfläche (siehe Zeichnung). Der durch die Krümmung
        der Bahn bedingte Fehler ist umso kleiner je kleiner die gewählte
        Zeitspanne ist. Diese kann in der folgenden Überlegung beliebig
        klein angenommen werden.
        Das zweite keplersche Gesetz kann damit
        folgendermaßen formuliert werden:
         1                   1
             rP  v P  t   rA v A t 
         2                   2
                               v       r
         rP  v P  rA v A  P  A 
                               v A rP
         v P (6370  2000 )km                   5
                                       1,25 
         vA        (6370  300 )km              4
         Die Geschwindigkeit im Perihel ist um den Faktor 1,25 größer als die Geschwindigkeit im Aphel.
Physik                                 Aufgaben zu Zentripetalkraft und Gravitationskraft                           11/12

24. Die Rotationsachse der Erde ist unter φ = 66,5° gegen die
    Ebene der Erdbahn geneigt und zeigt im Weltraum stets in die
    gleiche Richtung.
    a) Erläutern Sie an Hand von Skizzen, wie die verschiedenen
         Jahreszeiten zustande kommen (Nordhalbkugel).
           Aufgrund der feststehenden geneigten Rotationsachse
           der Erde ist die Sonneneinstrahlung auf die lila skizzierte
           Testebene der Nordhalbkugel im Winter weniger intensiv
           als im Sommer (im Winter treffen "weniger Strahlen"
           unter einem kleineren Winkel α auf die Testebene als im
           Sommer).




    b) Die Erde befindet sich am 2. Januar im Perihel. Wann durchläuft sie das Aphel?
         Aus Symmetriegründen dauert die Bewegung vom Aphel bis zum Perihel ein halbes Jahr. Am 4.
         Juli ist gerade seit dem 2. Januar ein halbes Jahr verstrichen.
    c) Eine Jahreszeit dauert 89 Tage, eine 90 Tage und zwei dauern 93 Tage. Wie lange dauern auf der
       Nordhalbkugel jeweils Frühling, Sommer, Herbst und Winter?
         Der Winter dauert 89 Tage, Frühling und Sommer dauern je 93 Tage und der Herbst 90 Tage.
    d) Wie verliefe das Jahr bei uns, wenn φ = 0° bzw. 90° wäre?
         φ = 0°: Es wäre nur eine Halbkugel der Erde ständig von der Sonne bestrahlt (dort würde es nie
         Nacht). Die andere Halbkugel wäre ständig dunkel.
         φ = 90°: Es gäbe auf der ganzen Erde keine Jahreszeiten. Es wäre an jedem Ort der Erde immer
         Tag- und Nachtgleiche.

25. Kometen sind mit riesigen, schmutzigen Schneebällen vergleichbare
    Körper von einigen Kilometern Durchmesser. Sie umlaufen die
    Sonne auf langgestreckten Ellipsenbahnen. Erst in Sonnennähe
    entsteht in günstigen Fällen ein Schweif, der eine Länge von über 1
    AE erreichen kann.
    a) Wie entsteht der Schweif? Warum verliert der Komet an
        Materie?
          In Sonnennähe verdampft die sonst eingefrorene Materie, es
          kommt zur Bildung von Gas und Staub. Bei der Bestrahlung
          mit Sonnenlicht wird das Gas und der Staub sichtbar.
          Aufgrund der relativ geringen Masse des Kometen können
          sich schnelle Gasteilchen aus dem Anziehungsbereich des Kometen entfernen.

    b) Seit mehr als 2000 Jahren wird der immer in gleichen Zeitabständen wiederkehrende halleysche
       Komet beobachtet. Der letzte Periheldurchgang fand im Jahre 1986 statt, der nächste wird für das
       Jahr 2062 erwartet. Wie lang ist die große Halbachse seiner Bahnellipse?
         Die Umlaufdauer des Kometen beträgt demanch 76 Jahre.
         Es gilt das 3. keplersche Gesetz, als Referenzobjekt wird die Erde benutzt.
                2            2
           T1           T2                  a13               (150.000.000km) 3
                                 a2  3        T22    3                      (76a) 2  2,7  109 km =18 A.E.
           a1
                3
                        a2
                             3
                                            T12                     (1a) 2

    c) Im Perihel seiner Bahn ist Halley 90 Millionen Kilometer von der Sonne entfernt. Wie weit ist er im
       Aphel von der Sonne entfernt?
         Der größte Durchmesser der Ellipsenbahn ist 2  a = 5,4  10 km.
                                                                     9

         Die Apheldistanz und die Periheldistanz ergeben zusammen diesen Wert.
         Apheldistanz = 5,4  10 km – 0,09  10 km = 4,5  10 km = 30 A.E.
                                9                9             9
Physik                                 Aufgaben zu Zentripetalkraft und Gravitationskraft                             12/12


26. Die Asteroiden sind kleine Himmelskörper, die sich
    zwischen Mars- und der Jupiterbahn bewegen. Geben
    Sie einen sinnvollen Bereich für die Umlaufzeiten dieser
    Kleinobjekte um die Sonne an.
        Die Radien der Asteroidenbahnen liegen zwischen
        dem Radius der Mars- und der Jupiterbahn.
        Aufgrund des dritten Gesetzes von Kepler folgt
        dann, dass die Umlaufdauern der Asteroiden
        zwischen der Umlaufdauer des Mars und des Jupiter
        liegen:
        1,9 a < TAsteroid < 11,9 a
        Die Umlaufdauer ist ja unabhängig von der Masse
        der Objekte.

27. Auch der Kleinplanet Ceres mit seiner Umlaufdauer von
    4,60 a liegt im Asteroidengürtel. Bestimmen Sie den
    Radius der (vereinfacht kreisförmigen) Ceres-Bahn in
    astronomischen Einheiten AE.
        Man benutzt das 3. keplersche Gesetz und die Erde als Referenzobjekt bei ihrer Bewegung um die
        Sonne.
                2            2
           T1           T2                  a13               (150.000.000km) 3
                                 a2  3        T22    3                      (4,6a) 2  4,1  108 km =2,8 A.E.
           a1
                3
                        a2
                             3
                                            T12                     (1a) 2
          DerKleinplanet bewegt sich in einem 2,8-mal größeren Abstand um die Sonne als die Erde.




Die Aufgaben sind aus folgende Quellen:
        Metzler Physik, Schroedel-Verlag, Braunschweig 2007
        Dorn Bader Physik Oberstufe Gesamtband 12/13, Schroedel-Verlag, Hannover 1986
        Leifi-Physik, Uni München, http://leifi.physik.uni-muenchen.de
        Lewis C. Epstein, Denksport Physik, dtv 2007

Zusätzliche Aufgaben:
        Dorn Bader S. 108 Nr. 3, 4, 5, 6, 7
        Dorn Bader S. 112/113 Nr. 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12
        Dorn Bader S. 123 Nr. 1, 2, 3, 4, 5, 6

								
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