אי שוויונים
מאת: אבי משולם
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
1
מאת: אבי משולם
מתודולוגיה
• מהו אי שוויון?
• כללים ופעולות • אי שוויונים ממעלה ראשונה
• מערכת "וגם"
• מערכת "או" • אי שוויונים ממעלה שנייה • אי שוויונים עם ערך מוחלט • אי שוויונים עם משתנה במכנה
42 פברואר 70 פונקציה לינארית 2
מאת: אבי משולם
מהו אי שוויון?
• אי שוויון – אם בין שני אגפים של תבנית פסוק מופיע אחד מסימני אי השוויון (, ≠, ≤, ≥), אז תבנית הפסוק נקראת אי שוויון.
– דוגמא: 5>2.
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
3
מאת: אבי משולם
כללים ופעולות
• אם מחברים או מחסרים אותו מספר לשני אגפי אי שוויון, מקבלים אי שוויון שקול לו.
פסוק אמת
– דוגמא:
7 3
נותר פסוק אמת נותר פסוק אמת
535 7 21 8
535 7 2 2
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
4
מאת: אבי משולם
כללים ופעולות (המשך)
• אם כופלים או מחלקים באותו מספר חיובי את שני אגפי אי השוויון, מקבלים אי שוויון שקול לו.
פסוק אמת
– דוגמא:
64
24 6 / 21 8
נותר פסוק אמת
נותר פסוק אמת
2 : /6 4 32
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
5
מאת: אבי משולם
כללים ופעולות (המשך)
• אם כופלים או מחלקים באותו מספר שלילי את שני אגפי אי השוויון, יש להפוך את סימן האי שוויון כדי לקבל אי שוויון שקול לו.
פסוק אמת
– דוגמא:
64
נותר פסוק אמת נותר פסוק אמת
)24 6 / ( 218
)24 6/ : ( 32
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
6
מאת: אבי משולם
אי שוויונים ממעלה ראשונה
• באי שוויון מהמעלה הראשונה, נרכז את כל המשתנים בצד שמאל של אי השוויון ואת המספרים בצד ימין של אי השוויון.
12 x 2 x 19 6 x 1 4 x 1 12 x 2 x 6 x 4 x 19 4 : /024 x 5x
– דוגמא מס' 1:
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
7
מאת: אבי משולם
אי שוויונים ממעלה ראשונה (המשך)
– דוגמא מס' 2:
)4 ( x 3)( x 2) x( x x 2 2 x 3x 6 x 2 4 x 6 2 x 3 x 4 x 5 : /6 5 x 2.1 x
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
8
מאת: אבי משולם
אי שוויונים ממעלה ראשונה (המשך)
– דוגמא מס' 3:
3x 8 2 x 82 x / 41 4 2(3 x 8) 7(2 x) 28 x 6 x 16 14 7 x 28 x 41 6 x 7 x 28 x 16 )5115 x 30/ : ( 2x
42 פברואר 70 פונקציה לינארית 9
מאת: אבי משולם
מערכת "וגם"
• נתונים 2 אי שוויונים או יותר ויש למצוא את כל המספרים שמקיימים את כל האי שוויונים, כלומר יש למצוא את קבוצת החיתוך של קבוצת האמת של כל האי שוויונים.
– דוגמא:
)8 5(4 x 3) 3(5 8 x
וגם
3 5x 4 4 x 7 6
• נפתור כל אי שוויון בנפרד ונציב את הפתרונות על ציר מספרים.
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
01
מאת: אבי משולם
)מערכת "וגם" (המשך
:– דוגמא
8 5(4 x 3) 3(5 8 x) 8 20 x 15 15 24 x 20 x 24 x 8 4 x 8 / : 4 x 2
וגם
5x 4 4 x 3 / 42 7 6 6(5 x 4) 7(4 x 3) 30 x 24 28 x 21 30 x 28 x 21 24 2 x 3/ : 2 x 1.5
-3
-2
-1
0
1 1.5 2
3
-2 ≤x≤1.5
07 42 פברואר פונקציה לינארית 11
מאת: אבי משולם
מערכת "או"
• נתונים 2 אי שוויונים או יותר ויש למצוא את כל המספרים המקיימים כל אחד מאי השוויונים בנפרד וביחד. כלומר, יש למצוא את האיחוד של קבוצות האמת של כל האי שוויונים.
– דוגמא:
7( x 3)(4) 3x
או
7 x 4 5 8x 7 4x 3 3 3
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
21
מאת: אבי משולם
)מערכת "או" (המשך
:– דוגמא
( x 3)(4) 3 x 7 4 x 12 3 x 7 4 x 3 x 7 12 x 19/ : (1) x 19
או
7 x 4 5 8x 4x 7 / 3 3 3 3 7 x 4 (5 8 x) (4 x 7) 7 x 4 5 8 x 4 x 7 7 x 8x 4 x 7 4 5 19 x 16/ :19 16 x 19
-3
-2
-1
0 16/19 1
2
3
19
x>19 ≤ 91/61 אוX1=a
פרבולה "ישרה"
2x
42 פברואר 70 פונקציה לינארית 71
מאת: אבי משולם
אי שוויונים עם משתנה במכנה
• נביא את אי השוויון למצב בו יש אפס בצד ימין של אי
השוויון ושאר האיברים בצד שמאל של אי השוויון. • נבדוק מתי המונה והמכנה מתאפסים (כל אחד בנפרד). • נבחין בין 2 אפשרויות:
– אי השוויון גדול מאפס המונה והמכנה שווי סימן.
– אי השוויון קטן מאפס המונה והמכנה שוני סימן.
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
81
מאת: אבי משולם
אי שוויונים עם משתנה במכנה (המשך)
9 2 x 3x 1 2 1x
2
• דוגמא:
9 2 x 2 3x 0 1 2 1x 1 2 x 2 3x 9 x 2 0 2 1x 01 x 2 3 x 0 2 1x
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
91
מאת: אבי משולם
אי שוויונים עם משתנה במכנה (המשך)
• דוגמא:
0 x 2 3 x 10 0 x 2 2 x 5 x 10 0 x ( x 2) 5( x 2) 0 ( x 5)( x 2) 5 x1 2x2
2- 5
0 x2 1
אין פיתרון. תמיד חיובי
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
02
מאת: אבי משולם
אי שוויונים עם משתנה במכנה (המשך)
• דוגמא:
2-
5
2-x
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
12
מאת: אבי משולם
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
22