UNA NUOVA FORMULAZIONE DEL PARALLELISMO
NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
NICOLA D’ALFONSO
Sommario. In questo paper introduco una nozione primaria di
direzione che sostituisce quella di linea. Riformulando il postu-
lato delle parallele secondo questa nuova nozione, sviluppo una
u
trattazione pi` intuitiva delle rette parallele.
1. Introduzione
u e
Il modo pi` semplice di procedere ` fare riferimento all’assiomatiz-
zazione di Hilbert e sostituire i seguenti assiomi:
(1) Dati due punti esiste una e una sola retta (che passa per essi)
(2) Data una retta e un punto non su di essa, esiste una e una sola
retta passante per quel punto, e priva di punti in comune con
essa
con questi altri:
(1) Dati due punti esiste una e una sola direzione (che li collega
spazialmente)
(2) Data un punto e una direzione esiste una e una sola retta (che
passa per quel punto, e ha quella direzione)
o
La nuova assiomatizzazione pu` essere considerata equivalente alla
precedente, nel preciso senso che dagli assiomi introdotti seguono quelli
rimossi.
Postulate 1.1. Dati due punti esiste una e una sola direzione (che li
collega spazialmente). Si osservi in proposito la seguente figura 1:
Figura 1. Direzione determinata da due punti
Date: Ottobre 29, 2011.
2000 Mathematics Subject Classification. 51M05.
Key words and phrases. parallelismo nella geometria euclidea, assiomi della
geometria euclidea.
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2 NICOLA D’ALFONSO
Postulate 1.2. Dato un punto e una direzione, esiste una e una sola
retta (che passa per quel punto e abbia quella direzione). Si osservi in
proposito la seguente figura 2:
Figura 2. Retta associata ad un punto e una direzione
Theorem 1.1. Dati due punti esiste una e una sola retta (che passa
per essi). Si osservi in proposito la seguente figura 3:
Figura 3. Retta passante per due punti
a
Dimostrazione. La dimostrazione di questa propriet` discende diretta-
mente dalle considerazioni che seguono.
Il postulato 1.1 nella pagina precedente ci garantisce che i due pun-
ti dati A e B sono sufficienti per identificare una qualsiasi direzione.
a
In aggiunta il postulato 1.2 ci garantisce che tale direzione sar` pro-
a
prio quella che caratterizzer` ogni retta passante per i suddetti punti.
a
Questo significa che esister` una e una sola retta in grado di passare
per A e B e avere la direzione individuata. Infatti se ci fossero pi` u
u
rette in grado di farlo, non sarebbe pi` vero che per uno stesso punto
(A o B) e una stessa direzione si possa definire una e una sola retta,
contraddicendo il postulato 1.2.
Theorem 1.2. Data una retta e un punto non su di essa, esiste una
e una sola retta passante per quel punto e avente la sua direzione. Si
osservi in proposito la seguente figura 4:
Figura 4. Retta parallela ad un’altra retta data e
passante per un punto non su di essa
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UNA NUOVA FORMULAZIONE DEL PARALLELISMO NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
a
Dimostrazione. La dimostrazione di questa propriet` discende diretta-
mente dal postulato 1.2 nella pagina precedente. Infatti dato il punto
P ′ e la direzione della retta r individueremo una e una sola retta.
a o
Questa propriet` pu` essere considerata equivalente all’assioma sos-
e
tituito perch´ come vedremo in seguito (teorema 2.9) due rette distinte
aventi la stessa direzione non possono avere punti in comune.
2. Riformulazione del parallelismo
Definition 2.1. Rette dotate della stessa direzione vengono definite
parallele. Si osservi in proposito la seguente figura 5:
Figura 5. Direzione di due rette parallele
Da notare che la definizione qui introdotta non specifica che le rette
parallele debbano essere distinte. Questo significa che dovremo con-
siderare parallele tutte le rette coincidenti, essendo queste dotate della
stessa direzione.
Theorem 2.1. Condizione necessaria e sufficiente affinch´ le rette pas-
e
e
santi per uno stesso punto siano distinte ` che abbiano una diversa
direzione. Si osservi in proposito la seguente figura 6:
Figura 6. Rette passanti per un punto
Dimostrazione. La dimostrazione di questa propriet` discende diretta-
a
mente dalle considerazioni che seguono.
Se le rette che passano per lo stesso punto sono distinte avranno
necessariamente direzioni differenti. Infatti se potessero avere le stesse
direzioni, per il postulato 1.2 a fronte non sarebbero distinte.
Partendo invece dall’ipotesi che le rette che passano per lo stesso
punto hanno direzioni differenti, possiamo concludere immediatamente
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che sono distinte. Infatti se fossero coincidenti, e quindi avessero tutti i
punti in comune, avrebbero anche la stessa direzione per il postulato 1.1
a pagina 1.
Theorem 2.2. Dato il punto di intersezione tra due rette distinte, gli
angoli che si formano sono univocamente determinati dalle direzioni
delle suddette rette. Si osservi in proposito la seguente figura 7:
Figura 7. Angoli formati da due rette distinte che si intersecano
Dimostrazione. La dimostrazione di questa propriet` discende diretta-
a
o
mente dal teorema 2.1 nella pagina precedente. Infatti si pu` costruire
un’intersezione uguale a quella delle rette r e t soltanto tracciando a
partire dal punto O due rette aventi le loro direzioni.
e
Theorem 2.3. Condizione necessaria e sufficiente affinch´ due rette
e
siano parallele ` che tagliate da una trasversale formino angoli cor-
rispondenti uguali. Si osservi in proposito la seguente figura 8:
Figura 8. Angoli formati da una trasversale a due rette parallele
a
Dimostrazione. La dimostrazione di questa propriet` discende diretta-
mente dalle considerazioni che seguono.
Se le rette r e t sono parallele, i punti O e P rappresentano l’in-
tersezione di rette aventi la stessa direzione, e quindi per il teore-
ma 2.2individueranno gli stessi angoli. Questo significa che gli angoli
corrispondenti saranno uguali, ovvero avremo: α=µ, β=η, γ=ψ, δ=φ.
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UNA NUOVA FORMULAZIONE DEL PARALLELISMO NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
Partendo invece dall’ipotesi che gli angoli corrispondenti sono uguali
e
` facile verificare che le rette r e t sono parallele. Infatti per il teore-
ma 2.2 a fronte, i punti O e P possono formare angoli uguali a partire
da una retta con la stessa direzione (la trasversale), solo se anche l’altra
a
retta di cui sono intersezione avr` la stessa direzione.
Il teorema appena dimostrato ci consente di considerare la nozione
di parallelismo tra due rette equivalente alla presenza di trasversali che
le tagliano in ogni punto formando angoli corrispondenti uguali.
e
Theorem 2.4. Condizione necessaria e sufficiente affinch´ due rette
e
siano parallele ` che la perpendicolare ad una di loro sia perpendicolare
anche all’altra. Si osservi in proposito la seguente figura 9:
Figura 9. Retta perpendicolare ad un’altra retta data
a
Dimostrazione. La dimostrazione di questa propriet` discende diretta-
mente dalle considerazioni che seguono.
Se le rette r e t sono parallele per il teorema 2.3 nella pagina prece-
a a
dente l’angolo α della retta t dovr` essere retto, e quindi la retta u sar`
perpendicolare anche a quella t.
Partendo invece dall’ipotesi che la perpendicolare u alla retta r sia
anche perpendicolare alla retta t, individuiamo due angoli corrispon-
denti uguali e quindi per il teorema 2.3 a fronte potremo considerare
parallele le rette r e t.
Il teorema appena dimostrato ci consente di considerare la nozione
di parallelismo tra due rette equivalente alla presenza di trasversali che
le tagliano in ogni punto formando angoli retti.
Theorem 2.5. Condizione necessaria e sufficiente affinch´ due rette
e
e
siano parallele ` che risultino entrambe perpendicolari ad una terza
retta. Si osservi in proposito la seguente figura 10:
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Figura 10. Due rette perpendicolari ad un’altra retta data
a
Dimostrazione. La dimostrazione di questa propriet` discende diretta-
mente dalle considerazioni che seguono.
Se le rette r e t sono perpendicolari alla stessa retta u formano angoli
corrispondenti uguali e quindi per il teorema 2.3 a pagina 4 potremo
considerarle parallele.
e
Partendo invece dall’ipotesi che le rette r e t sono parallele, ` imme-
e
diato verificare che se una di loro ` perpendicolare ad una terza retta u,
a
questa dovr` essere perpendicolare anche all’altra dovendo rispettare
l’uguaglianza tra gli angoli corrispondenti stabilita dal teorema 2.3 a
pagina 4.
Il teorema appena dimostrato ci consente di considerare la nozione
a
di parallelismo tra due rette equivalente alla capacit` di tali rette di
condividere in ogni punto le stesse perpendicolari.
Theorem 2.6. Condizione necessaria e sufficiente affinch´ due rettee
e
siano parallele ` che ogni punto dell’una sia distante dall’altra parallela
e
di uno stesso valore, purch´ tutte le distanze non si estendano mai su
entrambi i semipiani definibili dalla parallela considerata. Si osservi in
proposito la seguente figura 11:
Figura 11. Equidistanza di una retta da un’altra retta data
a
Dimostrazione. La dimostrazione di questa propriet` discende diretta-
mente dalle considerazioni che seguono.
Se le rette r e t sono parallele, dovremo fare riferimento a un pun-
′
to P1 qualsiasi appartenente ad una di loro. Sappiamo che esiste una
o
sola perpendicolare all’altra parallela che passa per esso, come si pu`
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UNA NUOVA FORMULAZIONE DEL PARALLELISMO NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
osservare in [1, p.53, n.155]. Sia P1 il piede della perpendicolare e d1
ı
la distanza tra i due punti cos` considerati. Si prenda un altro punto
′ ′
P2 sempre sulla stessa retta a cui appartiene P1 ma ad una distanza
arbitraria da esso, e sia P2 il piede della perpendicolare all’altra paral-
lela passante per esso e d2 la distanza tra questi due punti. Si osservi
in proposito la seguente figura 12:
Figura 12. Rappresentazione dei passaggi descritti precedentemente
Per il teorema 2.4 a pagina 5 sappiamo che le perpendicolari al-
la retta r saranno perpendicolari anche alla retta t ad essa parallela.
Di conseguenza potremo considerare retti anche gli angoli µ e η. In
aggiunta, per il teorema 2.3 a pagina 4 sappiamo che saranno uguali
′
anche gli angoli α e β formati dalla trasversale P1 P2 . Questo significa
e
che potremo considerare uguali anche gli angoli γ e δ perch´ ottenuti
togliendo lo stesso valore all’angolo piatto formato dalle rette r e t nei
′ ′ ′ ′
punti P1 e P2 . Ne consegue che i triangoli P1 P1 P2 e P1 P2 P2 hanno
uguali il lato in comune e i due angoli ad esso adiacenti e pertanto
per il secondo criterio di uguaglianza dei triangoli consultabile in [1,
′
p.26, n.105] potremo considerarli uguali. Ma se i triangoli P1 P1 P2 e
′ ′
P1 P2 P2 sono uguali lo saranno anche le distanze d1 e d2 .
′
Ripetendo questo procedimento tenendo fisso il punto P1 e variando
′
e
il punto P2 si dimostra che la retta t ` equidistante dalla r.
Da notare che non solo le rette parallele sono equidistanti l’una dal-
l’altra, ma lo sono dello stesso valore, in quanto le perpendicolari su
cui si calcolano le distanze sono perpendicolari ad entrambe le rette,
come si deduce dal teorema 2.5 a pagina 5. Si poteva giungere im-
mediatamente a questa conclusione, osservando che le propriet` che a
ci consentono di calcolare la distanza tra due rette parallele possono
essere applicate allo stesso modo a tutti i loro punti. Pertanto qual-
siasi sia il punto sul quale determiniamo la distanza di una retta da
una sua parallela, finiremo sempre per ottenere lo stesso valore, perch´ e
se agiamo nello stesso modo su punti aventi le stesse propriet`, non a
potremo ottenere risultati differenti.
8 NICOLA D’ALFONSO
Da notare come il discorso fin qui seguito valga anche nel caso par-
ticolare di due rette parallele coincidenti tra loro. In questo caso la
a
suddetta distanza dovr` essere considerata sempre pari a zero.
Partendo invece dall’ipotesi secondo la quale le due rette r e t sono
equidistanti l’una all’altra, dovremo fare riferimento alla figura 11. Il
teorema 2.3 a pagina 4 ci garantisce che esiste una retta parallela a r
′
passante per P1 . Infatti per individuare tale parallela basta tracciare
′
una retta u passante per P1 che forma un angolo retto con la perpen-
dicolare su cui si calcola la distanza di P1 dalla retta r. Sia Q′′ il punto
′
di u la cui distanza dalla retta r sia calcolata sulla perpendicolare a r
passante per P2 . Si osservi in proposito la seguente figura 13:
Figura 13. Rappresentazione dei passaggi descritti precedentemente
Per quanto visto nella prima parte di questa dimostrazione, poich´ lae
′
retta u parallela a r passa per il punto P1 distante d da essa, dovr` avere
a
ogni altro punto a tale distanza da r, compreso Q′′ . Questo significa che
′
i punti P2 e Q′′ , entrambi situati nella stessa parte di piano rispetto
alla retta r ed entrambi distanti d da essa dovranno coincidere. Ne
consegue che la retta u e la retta t avranno due punti in comune e per
il teorema 1.1 a pagina 2 potremo considerarle coincidenti, e quindi
e
concludere che la retta t ` parallela a r.
Il teorema appena dimostrato ci consente di considerare la nozione
di parallelismo tra due rette equivalente alla loro equidistanza.
e
A questo proposito occorre sottolineare che poich´ per due punti
passa una e una sola retta (teorema 1.1 a pagina 2), la suddetta con-
dizione di equivalenza si realizza prendendo due rette di cui una abbia
due punti equidistanti all’altra.
Theorem 2.7. Data una retta e un punto interno ad essa, esiste una
a
e una sola parallela a tale retta passante per quel punto, e coincider`
con la retta data. Si osservi in proposito la seguente figura 14:
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UNA NUOVA FORMULAZIONE DEL PARALLELISMO NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
e
Figura 14. Retta parallela a s´ stessa
Dimostrazione. La dimostrazione di questa propriet` discende diretta-
a
mente dalle considerazioni che seguono.
Dal momento che qualsiasi retta passante per P avrebbe in tale punto
una distanza nulla dalla retta r, per il teorema 2.6 a pagina 6 potremo
considerarla una parallela di r a patto di mantenere in ogni suo punto
una distanza nulla da essa. In sostanza ogni retta parallela a r passante
a
per P dovr` coincidere con r.
ae
Altro modo di esprimere questa propriet` ` quella di affermare che
data una retta e un punto interno ad essa non esiste nessuna retta
parallela passante per quel punto che sia al contempo distinta da essa.
Theorem 2.8. Ogni segmento sar` in progressivo allontanamento o
a
in progressivo avvicinamento ad una qualunque retta a cui non sia par-
allelo, a patto di non estendersi in entrambi i semipiani definibili a
partire da essa. Si osservi in proposito la seguente figura 15:
Figura 15. Segmento non parallelo rispetto ad una
retta data
Dimostrazione. La dimostrazione di questa propriet` discende diretta-
a
mente dalle considerazioni che seguono.
Prendiamo in considerazione per la retta r il verso di percorrenza a
destra, e supponiamo che sia possibile per il segmento t sia avvicinarsi
che allontanarsi dalla retta r. Se questo accade deve esserci almeno
un punto P ′ su t la cui distanza da r sia pari a d, un punto P1 ad ′
′
esso precedente e un punto P2 ad esso successivo le cui corrispondenti
distanze d1 e d2 siano entrambe superiori (oppure entrambe inferiori,
e
nel qual caso il procedimento ` analogo a quello qui presentato) a d. Si
osservi in proposito la seguente figura 16:
10 NICOLA D’ALFONSO
Figura 16. Rappresentazione dei passaggi descritti precedentemente
Tracciamo la parallela di r passante per P ′ (che sappiamo essere
esistente per il teorema 1.2 a pagina 2 e distinta dal segmento t), e
chiamiamo Q′ e R′ i punti nei quali tale parallela si incontra con le
perpendicolari d1 e d2 , posizionati a distanza d dalla retta r per il
teorema 2.6 a pagina 6.
Notiamo inoltre che per costruzione i punti Q′ e R′ differiranno da
′ ′
quelli P1 e P2 situati ad una quota superiore. Si osservi in proposito la
seguente figura 17:
Figura 17. Rappresentazione dei passaggi descritti precedentemente
e
Dal momento che la retta u ` distinta dal segmento t potranno avere
′ ′ ′
in comune il solo punto P e quindi le figure P1 Q′ P ′ e P2 R′ P ′ rappre-
senteranno dei triangoli, e pertanto gli angoli α e γ saranno diversi da
zero.
′ ′
Siccome i punti P1 e P2 hanno entrambi una distanza dalla retta r
che ` superiore alla distanza d posseduta dai punti Q′ e R′ , gli angoli
e
α e γ occuperanno la stessa parte di piano rispetto alla retta Q′ R′
rendendo l’angolo β minore dell’angolo piatto che la retta Q′ R′ forma
nel punto P ′ , come mostrato in [1, p.15, n.66]. Ne consegue che il
a a
segmento t non sar` veramente rettilineo e dunque non esister` nessun
segmento capace sia di avvicinarsi che di allontanarsi da una retta a
e e
cui non ` parallelo, purch´ ci si limiti a segmenti che non si estendono
su entrambi i semipiani definibili da tale retta.
e
Theorem 2.9. Condizione necessaria e sufficiente affinch´ due rette
e
distinte siano parallele ` che potendole prolungare indefinitamente non
sarebbe comunque possibile attribuire loro alcun punto in comune. Si
osservi in proposito la seguente figura 18:
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UNA NUOVA FORMULAZIONE DEL PARALLELISMO NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
Figura 18. Due punti di una retta equidistanti da
un’altra retta data
Dimostrazione. La dimostrazione di questa propriet` discende diretta-
a
mente dalle considerazioni che seguono.
Se le rette t e r sono parallele e distinte tra loro, non potranno avere
alcun punto in comune per quanto le si prolunghi. Infatti se avessero
un punto in comune, non potrebbero essere distinte e avere la stessa
direzione per il teorema 2.1 a pagina 3.
Partendo invece dall’ipotesi che non sia possibile attribuire alle rette
t e r alcun punto in comune anche prolungandole indefinitamente, ` e
facile verificare che sono parallele. Supponiamo infatti che non siano
parallele, e quindi che la retta t sia o in progressivo avvicinamento o
ı
in progressivo allontanamento dalla retta r (se cos` non fosse sarebbe
possibile individuare un segmento contenuto in t sia in avvicinamento
che in allontanamento dalla retta r, cosa impossibile per il teorema 2.8 a
pagina 9). In questo caso potendo prolungare indefinitamente tali rette
a
nella parte in cui si avvicinano, la loro distanza verr` inevitabilmente
ad annullarsi facendole incontrare.
Il teorema appena dimostrato ci consente di considerare la nozione
a
di parallelismo trsa due rette equivalente all’impossibilit` che abbiano
un punto in comune.
Theorem 2.10 (Quinto postulato di Euclide). Se una trasversale a due
rette forma due angoli interni coniugati minori di un angolo piatto, le
due rette, se indefinitamente prolungate, si incontreranno nella parte
dove sono presenti gli angoli interni coniugati minori dell’angolo piatto.
Si osservi in proposito la seguente figura 19:
12 NICOLA D’ALFONSO
Figura 19. Due rette date tagliate da una trasversale
a
Dimostrazione. La dimostrazione di questa propriet` discende diretta-
mente dalle considerazioni che seguono.
Se gli angoli coniugati α e ψ non sono supplementari (un discorso
analogo varrebbe per gli angoli coniugati β e φ), gli angoli γ e µ a cui
sono invece supplementari risulteranno distinti dai corrispondenti ψ e
α e quindi per il teorema 2.3 a pagina 4 potremo concludere che le rette
t e r non sono parallele. Ne consegue che per il teorema 2.9 a pagina 10
le rette t e r avranno un punto O di intersezione. Dal momento che tale
punto di intersezione former` un triangolo con i punti P e P ′ , dovr` per
a a
forza essere dalla parte degli angoli coniugati con una somma minore
o a
ad un angolo piatto come si pu` dedurre dalla propriet` consultabile
in [1, p.52, n.153].
Riferimenti bibliografici
[1] Hart, C.A. and Feldman, D.D. and Tanner, J.H. and Snyder, V. , Plane
geometry, American book company, London, 1911.
Studioso indipendente, Milano - Italia
E-mail address: nicola.dalfonso@hotmail.com