GEOMETR�A EN EL ESPACIO

Document Sample
GEOMETR�A EN EL ESPACIO Powered By Docstoc
					GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
                                              Pulsa ratón
                                            Pulsa elel ratón
                                            para seguir con
                                              para seguir con
                                               contenido de
                                            elel contenido de
                                               página.
                                            lala página.



En la realidad, la figura plana de dos dimensiones      Índice
                                                          Índice
no existe como tal sino formando parte de una
figura del espacio. Así, cuando manipulamos
papel, cartón, madera,..., lo hacemos con figuras
tridimensionales, ya que éstas tienen un cierto
grosor; sólo mentalmente separamos la figura
plana de la del espacio.
Las figuras cuyos elementos básicos están
situados en el espacio son el objetivo de la
geometría sólida o espacial.




                                                              2
           ESPACIO

1.   Rectas y planos en el espacio
2.   Figuras poliédricas

3.   Figuras de revolución

4.   Cónicas y cuádricas
                                                                Pulsa ratón
                                                              Pulsa elel ratón
  RECTAS Y PLANOS EN EL                                       para seguir con
                                                                para seguir con
                                                                 contenido de
                                                              elel contenido de
        ESPACIO                                                  página.
                                                              lala página.

Podemos imaginar una superficie plana prolongada en todas sus
direcciones y con ello tendremos la imagen del plano geométrico.       Índice
                                                                         Índice
En el espacio, existe, una infinidad de planos ¿cómo determinar
uno de ellos en concreto.
                                Con un solo punto del espacio no queda

        
                                determinado un plano, ni con dos.

                              En el espacio, tres puntos no alineados


        
                              determinan un plano.

                              Otras formas son mediante:
                              Una recta y un punto exterior a ella.
                              Dos rectas que se corten
                              Dos rectas paralelas




                                                                              4
                                                                 Pulsa ratón
                                                               Pulsa elel ratón
   Posiciones relativas de rectas y                            para seguir con
                                                                 para seguir con
                                                                  contenido de
                                                               elel contenido de
       planos en el espacio (I)                                   página.
                                                               lala página.
A. Entre recta y plano   Posición relativa        Características

                             r y p se cortan        La recta y el plano
                                                    tienen un punto común       Índice
                                                                                  Índice
                                                    La recta y el plano no
                           r y p son paralelos       tienen ningún punto
                                                          en común

                                                   La recta y el plano tienen
                          r está contenida en p       en común todos los
                                                       puntos de la recta

  B. Entre dos rectas        Posición relativa         Características
                                                  Las dos rectas están en un
                            Rectas paralelas      mismo plano y no tienen
                                                  ningún punto común

                                                   Las dos rectas tienen un
                          Rectas que se cortan
                                                       punto en común

                                                    No tienen ningún punto
                         Rectas que se cruzan
                                                           en común                   5
                                                                            Pulsa ratón
                                                                          Pulsa elel ratón
 Posiciones relativas de rectas y                                         para seguir con
                                                                            para seguir con
                                                                             contenido de
                                                                          elel contenido de
     planos en el espacio(II)                                                página.
                                                                          lala página.


C. Entre dos planos           Posición relativa                  Características
                                                                                          Índice
                                                                                            Índice
                           Planos que se cortan               Los dos planos tienen
                                                                una recta común

                             Planos paralelos                No tienen ningún punto
                                                                    en común
                                                             Tienen todo un plano en
                          Planos coincidentes
                                                                      común
                ¿Cuántas rectas pasan por un punto del espacio?
                ¿Cuántos planos pasan por una recta? ¿Y por un punto?
                Si tres rectas son concurrentes, ¿cuál es el menor número de planos que pueden
                formar? ¿Y cuál es el mayor número de planos que pueden formar? ¿Y cuál es el
                mayor número de ellos?
                Si dos rectas son paralelas a un plano, ¿son necesariamente paralelas entre sí?
                ¿Estarán siempre en un mismo plano tres rectas paralelas? ¿Cuál es el número
                máximo y mínimo de planos que pueden determinar?
                ¿Existe siempre un plano que pase por dos rectas?
                ¿Por qué las cámaras fotográficas y de TV se montan sobre trípodes?
                ¿Por qué una mesa de cuatro patas es menos estable que una de tres?               6
                ¿Existen rectas que corten a otras dos que se cruzan?
                                                                             Pulsa ratón
                                                                           Pulsa elel ratón
 Recta perpendicular a un plano.                                           para seguir con
                                                                             para seguir con
                                                                              contenido de
                                                                           elel contenido de
 Distancia de un punto a un plano                                             página.
                                                                           lala página.

 Se dice que una                          r
     recta r es                                                                    r
perpendicular a un                                                                       Índice
                                                                                           Índice
  plano si lo es a
  cualquier recta
contenida en dicho                                  p                                    p
       plano.
  En este caso,
 cualquier plano     Recta perpendicular al plano         Recta oblícua al plano
que pasa por r, es
     también
 perpendicular al
                                               A                Por un punto A del espacio
      plano
                                                              solamente se puede trazar una
                                                             sola recta AA’ perpendicular a un
                                                                plano dado; las demás son
                                                                         oblícuas.
                                              A’


                                                              La longitud del segmento AA’,
                                                             perpendicular al plano, se llama
                           El punto A’ recibe el nombre      distancia del punto A al plano p.
                           de proyección ortogonal de A        Observa que si A pertenece a
                                 sobre el plano p.           dicho plano, la distancia es nula. 7
     Figuras poliédricas

1.   Ángulos diedros, triedros, poliedros.
2.   Poliedro

3.   Prismas

4.   Pirámides

5.   Volumen de un poliedro
             ÁNGULOS DIEDROS                         Pulsa ratón
                                                   Pulsa elel ratón
                                                   para seguir con
                                                     para seguir con
                                                      contenido de
                                                   elel contenido de
                                                      página.
                                                   lala página.

Dos planos que se
cortan, dividen el
espacio en cuatro                                                Índice
                                                                   Índice
 regiones. Cada         cara
 una de ellas se
   llama ángulo
      diedro o
  simplemente                     cara
      diedro.
  Caras del diedro
son los semiplanos
 que lo determinan                                 Para medir un
  y arista la recta                                ángulo diedro,
  común a las dos                                hacemos uso del
        caras                                     llamado ángulo
                                                      rectilíneo
                       Ángulos rectilíneos de   correspondiente al
                       un diedro                 diedro. Este es el
                                                  ángulo formado
                                                por dos rectas, una
                                                    en cada cara,
                                                 perpendiculares a
                                                   la arista en un
                                                   mismo punto.
                                                                       9
                                                                            Pulsa ratón
                                                                          Pulsa elel ratón
                                                                          para seguir con
                                                                            para seguir con
                   ÁNGULOS POLIEDROS                                         contenido de
                                                                          elel contenido de
                                                                             página.
                                                                          lala página.


                                         Si fijas tu atención en tu habitación puedes
                                      observar cómo dos paredes contiguas junto con Índice
                                      el techo se encuentran en un punto. El espacio
                                                                                      Índice
                                      alrededor de ese punto y comprendido entre las
                                       paredes y el techo recibe el nombre de triedro


                                        Se llama ángulo poliedro a la región del espacio
                                       limitada por tres o más plano que se cortan dos a
                                      dos según rectas concurrentes en un mismo vértice.
                                         Al igual que lo diedros, tienen caras y aristas


                                       Según el número de diedros, el ángulo poliedro se
                                         llamará: ángulo triedro, tetraedro, pentaedro,
                                        hexaedro, etc. Pudiendo ser cada uno de ellos
                                                    convexos o cóncavos.

                                      En un ángulo poliedro, las secciones producidas por
                                       planos paralelos son semejantes y la razón de sus
                                        áreas es igual al cuadrado de la razón entre sus
                                          lados, y también de sus distancias al vértice

Poliedro convexo   Poliedro cóncavo                                           experimenta   10
                                                                           Pulsa ratón
                                                                         Pulsa elel ratón
                                                                         para seguir con
                                                                           para seguir con
      FIGURAS POLIÉDRICAS                                                   contenido de
                                                                         elel contenido de
                                                                            página.
                                                                         lala página.


 Poliedro es todo sólido limitado por caras en forma de polígonos.
                                                                                           Índice
                                                                                             Índice

                                                           Según el número de caras, los
                Diagonal de una cara                           poliedros pueden ser
                                                              tetraedros, pentaedros,
                                                                    hexaedros,...
Vértice


                               cara




                                                                                               11
               Todos los poliedros convexos cumplen la relación   Pulsa elel ratón
                                                                    Pulsa ratón
FÓRMULA                           aritmética:
                                                                  para seguir con
                                                                    para seguir con
                   Nº de caras+Nº de vértices=Nº de aristas +2
                                                                     contenido de
                                                                  elel contenido de
DE EULER       Expresión conocida con el nombre de relación de       página.
                                                                  lala página.
                    Euler, matemático suizo del siglo XVIII

            Nº de caras      Nº de vértices      Nº de aristas     C+V-A
 Poliedro        C                 V                  A
                                                                              Índice
                                                                                Índice

               6                  8                12                2

               5                  6                  9               2

               5                  5                  8               2

              11                 11                20                2

                7                 7                12                2
                                                                                  12
                           Se llaman poliedros regulares aquellos cuyas        Pulsa ratón
                                                                             Pulsa elel ratón
POLIEDROS                  caras son polígonos regulares iguales entre sí
                            y de modo que en cada vértice concurren el
                                                                             para seguir con
                                                                               para seguir con
                                                                                contenido de
                                                                             elel contenido de
REGULARES                  mismo número de caras. Sólo hay cinco, y se
                                 llaman también sólidos platónicos.             página.
                                                                             lala página.

Posibles caras   Nº de caras por      Suma de ángulos en        Poliedro regular
 del poliedro       vértice>2          cada vértice <360º
                                                                                         Índice
                                                                                           Índice
                                                                            TETRAEDRO
                       3                           180º


                       4                           240º                     OCTAEDRO

      60º
                       5                           300º                     ICOSAEDRO

                       6                           360º
                                                                   Imposible

                       3                           270º             HEXAEDRO o CUBO

      90º
                       4                            360º            Imposible

                       3                            324º              DODECAEDRO
      108º             4                                             Imposible
                                                   >360º


                       3                                             Imposible
      120º                                          360º                                     13
                                                                                    Pulsa ratón
                                                                                  Pulsa elel ratón
                                                                                  para seguir con
                                                                                    para seguir con
          SÓLIDOS PLATÓNICOS                                                         contenido de
                                                                                  elel contenido de
                                                                                     página.
                                                                                  lala página.


Platón, filósofo griego del siglo IV a.J:C:, concebía el mundo como constituido por los cuatro
principios básicos:tierra, fuego, aire y agua. Según Platón, la tierra correspondía al cubo, es
                                                                                               Índice
                                                                                                 Índice
decir a la forma “más sólida y menos móvil”, y el fuego al tetraedro, porque es el sólido que
tiene la forma “más aguda y más móvil”, el aire y el agua correspondían al octaedro y al
icosaedro. El quinto y último sólido regular, el dodecaedro, fue considerado por Platón como
símbolo del universo.
Sin duda nos hallamos entre el misticismo y la ciencia propia de la época.
En cuanto al figura de Platón no parece que haya contribuido mucho a las matemáticas por sí
mismo, pero no cabe duda de que su influencia a través de la Academia, institución por él
fundada en Atenas, les dio un gran prestigio. Es célebre la inscripción por él fundada en
Atenas, les dio un gran prestigio.
Es célebre la inscripción que figuraba a la
entrada de la Academia: “No entre aquí nadie
que ignore la geometría”



 Siglos mas tarde, los poliedros regulares inspiraron a Johannes Kepler,
 astrónomo alemán del siglo XVII, en el estudio del movimiento de los seis
 planetas conocidos hasta entonces. Kepler concebía Saturno, Júpiter,
 Marte, Venus y Mercurio como moviéndose en unas esferas separadas la una
 de la otra por el cubo, por el tetraedro, por el dodecaedro, por el octoedro y
 por el icosaedro. Todo había de ser regulado por las leyes matemáticas,
 porque “no hay armonía si no hay matemáticas”                                                     14
                                                                                           Pulsa ratón
                                                                                         Pulsa elel ratón
                                                                                         para seguir con
                                                                                           para seguir con
                           PRISMAS                                                          contenido de
                                                                                         elel contenido de
                                                                                            página.
                                                                                         lala página.


Los prismas son poliedros cuyas caras básicas, paralelas entre sí, son dos polígonos
iguales, siendo sus caras laterales paralelogramos.                                                                   Índice
                                                                                                                        Índice


 Si las aristas laterales del prisma son perpendiculares a la base se                    Cara básica
 dice que el prisma es recto; en caso contrario el prisma es oblícuo.




                                                                        Arista lateral




                                                                                                       Cara lateral
    Los prismas rectos se llaman
    regulares si sus bases son
    polígonos regulares.
                                                                   Arista básica

   Según sean los polígonos de la base,
   los prismas se llaman: triangulares,
   cuadrangulares, pentagonales,
   hexagonales,...etc.
                                                                                                                          15
                                                                               Pulsa ratón
                                                                             Pulsa elel ratón
 ÁREA LATERAL Y TOTAL                                                        para seguir con
                                                                               para seguir con
                                                                                contenido de
                                                                             elel contenido de
    DE UN PRISMA                                                                página.
                                                                             lala página.



El área lateral de un prisma es la suma de la superficie de todas sus caras laterales. El    Índice
desarrollo plano de un prisma recto, es un rectángulo de base el perímetro de la base y de     Índice
altura su arista lateral




                                                  PB



                               h           Área lateral=PB.h




                                   AB             Área total=A L+ 2 . A B




                                                                                                 16
                                                                                  Pulsa ratón
                                                                                Pulsa elel ratón
                                                                                para seguir con
                                                                                  para seguir con
             PARALELEPÍPEDOS                                                       contenido de
                                                                                elel contenido de
                                                                                   página.
                                                                                lala página.



Unos prismas muy particulares son los paralelepípedos, en los que todas sus caras son             Índice
paralelogramos.                                                                                     Índice




          Cubo                     Ortoedro                             Romboedro
a)        Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en su punto medio.
b)        En el ortoedro, todas sus diagonales son iguales.

                                Para calcular la diagonal del ortoedro es preciso hacer uso del
     M                          teorema de Pitágoras:
                                En el triángulo rectángulo MON:       d2 = m2 + c2
      c
                                Pero m es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos a
      O                         y b, y por tanto: m2 = a2 + b2
     b                          De donde    d2 = a2 + b2 + c2   o también   d  a2  b2  c 2
             a            N                                                                           17
                                                                              Pulsa ratón
                                                                            Pulsa elel ratón
                                                                            para seguir con
                                                                              para seguir con
                          PIRÁMIDES                                            contenido de
                                                                            elel contenido de
                                                                               página.
                                                                            lala página.


La pirámide es un poliedro limitado por un ángulo poliedro y un plano que corta todas
sus aristas en puntos distintos del vértice.                                              Índice
                                                                                            Índice
La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base.




    Pirámide recta y pirámide oblícua

 Según sean los polígonos de la base,
 las pirámides se llaman: triangulares,
 cuadrangulares, pentagonales,
 hexagonales,...etc.
 Si la base es un polígono regular y es                                     Cara básica
 recta, se dice que la pirámide es
 regular.
 En una pirámide regular, apotema es la
 altura de una cualquiera de sus caras                                                        18
 laterales.
     ÁREA LATERAL Y TOTAL DE                                                        Pulsa ratón
                                                                                  Pulsa elel ratón
                                                                                  para seguir con
                                                                                    para seguir con
      UNA PIRÁMIDE Y DE UN                                                           contenido de
                                                                                  elel contenido de
                                                                                     página.
                                                                                  lala página.
       TRONCO DE PIRÁMIDE
El área lateral de una pirámide es la suma de la superficie de todas sus caras laterales.
                                                                                                 Índice
                                                                                                   Índice
Si es recta y de base regular (sus caras son triángulos isósceles todos ellos iguales):



 Área lateral  A L  n
                          aB  a PB  a
                                                 Área lateral  A L  n
                                                                           aB  ab   a  PB  Pb   a
                            2      2                                              2               2
      aapotema lateral                               aapotema lateral



                                                                                      Ab
                     h                                                        h

                                                                                      AL



                         AB                                                        AB



    Área total  A T  AL  AB                          Área total  A T  A L  A B  A b             19
                                                                        Pulsa ratón
                                                                      Pulsa elel ratón
         VOLUMEN DE POLIEDROS:                                        para seguir con
                                                                        para seguir con
                                                                         contenido de
                                                                      elel contenido de
         VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO                                    página.
                                                                      lala página.


                                      El volumen de un ortoedro es igual al
                                      área de la base (rectángulo) por la altura.   Índice
                                                                                      Índice

c                                      Volumen  V  A base  altura  a  b  c
                                  b
              a
                             El volumen de un cubo es
                             igual al cubo del lado.       V  l3      l

    Si el paralelepípedo es
    oblícuo,    el     volumen
    equivale al del ortoedro
    con iguales base y altura.


      V  A base  altura
                                                         h
                                         Ab                                             20
                     Si en dos cuerpos de igual altura las         Pulsa ratón
                                                                 Pulsa elel ratón
PRINCIPIO                                                        para seguir con
                     áreas de las secciones producidas por         para seguir con
   DE                planos paralelos a la base son iguales,        contenido de
                                                                 elel contenido de
CAVALIERI            los cuerpos tienen el mismo volumen.           página.
                                                                 lala página.



                                                                                 Índice
                                                                                   Índice

                                                  Cavalieri advirtió que tres pilas de
                                                  igual número de cartulinas
                                                  iguales tienen el mismo volumen




                   V  A base  altura

Sin embargo, no es necesario que
las cartulinas tengan la misma
forma, basta con que las
secciones tengan igual área (las
bases tengan el mismo área)



                                                                                         21
                                                                                      Pulsa ratón
                                                                                    Pulsa elel ratón
                                                                                    para seguir con
                                                                                      para seguir con
   VOLUMEN DEL PRISMA Y DE LA PIRÁMIDE                                                 contenido de
                                                                                    elel contenido de
                                                                                       página.
                                                                                    lala página.

El principio de Cavalieri simplifica el
cálculo del volumen de un prisma.
Basta comparar éste con el ortoedro                                                                Índice
                                                                                                     Índice
de igual altura y base de igual área.
                                                       h                      h
    Vprisma  A b  h
                                                    Ab                                 Ab
                                          Sobre cada una de las seis caras de un cubo, podemos
                                          construir una pirámide con el vértice en el centro. Ello supone
                                          que el volumen de la pirámide será:

                                                  13 12
                                             V     l  l l            Y siendo l = 2 h,   tenemos:
                                                  6       6
                                                              1              1
                                                   Vpirámide  A b  2  h  A b  h
                                                              6              3
                                          Lo anterior está referido a una pirámide cuadrangular, no
                                          obstante, para otras pirámides sigue siendo válido al tener en
                                          cuenta el Principio de Cavalieri. Es decir:

                                                                     1
                                                        Vpirámide    Ab  h                               22
                                                                     3
                                                                Pulsa ratón
                                                              Pulsa elel ratón
                                                              para seguir con
                                                                para seguir con
                                                                 contenido de
                                                              elel contenido de
                                                                 página.
                                                              lala página.


               F             D                   D                         F
D                                                                              Índice
                                                                                 Índice

        E
                                                         E       III
                   =                     +
                                     I
                                                         II
               C        A                    C                         C
A

    B                            B
                                                     B
        Un prisma triangular se descompone en tres
         pirámides triangulares de igual volumen.

                              1
                v pirámide    Vprisma
                              3                                                    23
                                                       Pulsa ratón
                                                     Pulsa elel ratón
                                                     para seguir con
                                                       para seguir con
VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE                        contenido de
                                                     elel contenido de
                                                        página.
                                                     lala página.



    VTRONCO DE PIRÁMIDE=VPIRÁMIDE GRANDE-VPIRÁMIDE PEQUEÑA       Índice
                                                                   Índice




               h                                1         1
                        Vtronco de pirámide      AB  H  Ab  h
                   Ab                           3         3
H



                   AB
                                                                     24
       Figuras de revolución

1.   En general
2.   Cilindro

3.   Cono. Tronco de cono

4.   Esfera

5.   Figuras esféricas
                                                                    Pulsa ratón
                                                                  Pulsa elel ratón
                                                                  para seguir con
                                                                    para seguir con
               FIGURAS DE REVOLUCIÓN                                 contenido de
                                                                  elel contenido de
                                                                     página.
                                                                  lala página.


Son figuras de revolución las que se obtienen al hacer girar una figura plana
alrededor de un eje.                                                          Índice
                                                                                Índice




         eje                                                         eje     experimenta
                                      eje
    El cilindro como           El cono como rotación          La esfera como
     rotación de un                de un triángulo            rotación de una
  rectángulo alrededor          rectángulo alrededor        semicírculo alrededor
       de un lado                   de un cateto               de su diámetro
                                                                                    26
                                                       Pulsa ratón
                                                     Pulsa elel ratón
ÁREA Y VOLUMEN DEL CILINDRO                          para seguir con
                                                       para seguir con
                                                        contenido de
                                                     elel contenido de
                                                        página.
                                                     lala página.


                                                     r           Índice
                                                                   Índice


  r       

      h             h            AL=2prh

                                       2pr

                        AB=pr2
                                             AT=AL+2 AB


  Vcilindro= AB h                Vcilindro= p r2 h
                                                                     27
                                                  Pulsa ratón
                                                Pulsa elel ratón
                                                para seguir con
                                                  para seguir con
ÁREA Y VOLUMEN DEL CONO                            contenido de
                                                elel contenido de
                                                   página.
                                                lala página.

                                       2pr
                                                            Índice
                                                              Índice

 h   g
                                    AL=prg

     r
                                                   AB=pr2
                         AT=AL+AB


     h
                      1                          1
             Vcono    AB  h           Vcono     r2 h
                      3                          3
         r                                                      28
                                                                     Pulsa ratón
                                                                   Pulsa elel ratón
 ÁREA Y VOLUMEN DE UN                                              para seguir con
                                                                     para seguir con
                                                                      contenido de
                                                                   elel contenido de
TRONCO DE CONO RECTO                                                  página.
                                                                   lala página.

                           Si nos imaginamos un cono cortado por un determinado
                             plano obtenemos otra figura geométrica denominada
                              tronco de cono (recto u oblícuo según sea el plano Índice
                                                                                   Índice
                                       paralelo o no a la base del cono)
                                                         r

                                                       2pr


                                                                               R
                                                        2pR
       PB  Pb      2R  2r
AL            g             g  R  r   g    R  r   g
          2            2
AB=pR2                  Ab=pr2                        AT=AL+AB+ Ab

       VTRONCO DE CONO=VCONO GRANDE-VCONO PEQUEÑA

Vtronco de cono
                    1
                    3
                              1
                              3
                                        1
                    A B  H  A b  h   R2  H  r 2  h
                                        3
                                                                                     29
                                                                                Pulsa ratón
                                                                              Pulsa elel ratón
                                                                              para seguir con
                                                                                para seguir con
                         LA ESFERA                                               contenido de
                                                                              elel contenido de
                                                                                 página.
                                                                              lala página.

Cuerpos como una pelota, una canica o un globo aerostático, nos recuerdan el cuerpo de
  revolución obtenido por rotación de un semicírculo alrededor del diámetro: la esfera
                                                                                          Índice
                                                                                            Índice
                                 La propiedad que define la esfera es la de que todos sus
                                 puntos están a igual distancia de un punto fijo llamado
                R                centro; dicha distancia se llama radio de la esfera.


                                        Arquímedes de forma experimental llegó a
                                      observar que el volumen de la esfera equivale a


                                                     4 3
                                                  V  R
                                                     3
                                           Dando pie a que en su tumba fuera
                                         grabada la esfera inscrita en un cilindro
                                         con las expresiones de sus volúmenes




                                                                                              30
                                                           Pulsa ratón
                                                         Pulsa elel ratón
                                                         para seguir con
                                                           para seguir con
  VOLUMEN DE LA ESFERA (I)                                  contenido de
                                                         elel contenido de
                                                            página.
                                                         lala página.


            R            Imaginemos una semiesfera de radio R así
     O                     como un cilindro de altura y radio de la Índice
                                                                      Índice
                            base también R, colocados tal como
                     R               muestra la figura.



                              Vsemiesfera=Vcilindro-Vcomplemento



     Pero usando el Principio de Cavalieri, demostraremos que el
     volumen de este complemento es igual al del cono de vértice
                     en O y base la del cilindro

Vcomplemento=Vcono                       Vsemiesfera=Vcilindro-Vcono

                                                                         31
                                                                                    Pulsa ratón
                                                                                  Pulsa elel ratón
                                                                                  para seguir con
                                                                                    para seguir con
        VOLUMEN DE LA ESFERA(II)                                                     contenido de
                                                                                  elel contenido de
                                                                                     página.
                                                                                  lala página.

         R            Recordemos el Principio de Cavalieri: “Si en dos cuerpos de igual
    O
                      altura, las áreas de las secciones producidas por planos paralelos
                 R    a la base son iguales, ambos tienen el mismo volumen”                           Índice
                                                                                                        Índice

En nuestro caso se reduce a comprobar que la corona circular del complemento y el círculo del cono
                            son equivalentes en área a cualquier altura

             O                                                                    O
                                            El triángulo OHF,
                                          rectángulo en H, es
             a                            isósceles OH=R=HF                       a
                           N              Por semejanza, lo es                   E                N
             E                  M        igualmente el triángulo
                                                 OEN.
                                                                                  H                       F
                                          Por tanto EN=OE=a

                       2         2                                                            2
A corona circular    EM    EN                                  A círculosec ción    EN    a2
                R 2     R 2  OE  
                                       2
                                        
                                                    Resumiendo, ambas secciones son de
                           
                R2    R2  a2                 igual área y por el Principio de Cavalieri el
                                                      volumen del complemento y del cono son
                R2    R2    a2    a2      iguales                                             32
                                                               Pulsa ratón
                                                             Pulsa elel ratón
                                                             para seguir con
                                                               para seguir con
VOLUMEN DE LA ESFERA (III)                                      contenido de
                                                             elel contenido de
                                                                página.
                                                             lala página.


                                                             R
  O       R                                         O                        Índice
                                                                               Índice

                   R                                                   R




                   Vcomplemento=Vcono

                   Vsemiesfera=Vcilindro-Vcomplemento= Vcilindro-Vcono

                                                     1             2
                         Vsemiesf era    R 2  R    R 2  R    R3
                                                     3             3

                                           2       4
              2R
                             Vesf era  2    R    R3
                                                 3                    experimenta
                                           3       3                             33
      R
                                                         Pulsa ratón
                                                       Pulsa elel ratón
                                                       para seguir con
                                                         para seguir con
ÁREA DE LA ESFERA                                         contenido de
                                                       elel contenido de
                                                          página.
                                                       lala página.

            La superficie de la esfera se llama superficie
          esférica. No se puede desarrollar sobre el plano
                    más que aproximadamente.                          Índice
                                                                        Índice

            Imaginemos la esfera envuelta por un cilindro que se ajusta
     2R   por completo a ella. Pues bien, el área de la esfera es igual que
                           el área lateral de ese cilindro

                  A lateral del cilindro  2R  2R  4R2
 R
                          A esf era  4R2
             VOLUMEN DE LA ESFERA (Otra forma)

                   1         1            1
          Vesf era  S1  R  S 2  R  S3  R  ... 
                   3         3            3
                   S1  S 2  S3  ...   R 
                   1
                   3
                   1             4
                   4R 2  R    R 3                                       34
                   3             3
                                                                           Pulsa ratón
                                                                         Pulsa elel ratón
                                                                         para seguir con
                                                                           para seguir con
 UNA RELACIÓN INTERESANTE                                                   contenido de
                                                                         elel contenido de
                                                                            página.
                                                                         lala página.

 Es interesante observar que el volumen                        2 2      4 3
de la esfera es igual a los 2/3 del volumen        Vesf era  2 R  R  R              Índice
      del cilindro circunscrito a ella:
                                                               3        3                  Índice

                                               O




     Vsemiesfera              +                Vcono          =                Vcilindro
                                              1
     Vsemiesfera era
     Vsemiesf                                  Vcilindro                   Vcilindro
                                              3
     2                                        1
       Vcilindro                               Vcilindro                   Vcilindro
     3                                        3
                                                            El volumen de la zona del cilindro
El volumen de la          +        El volumen del            comprendido entre los mismos
 zona esférica                     tronco de cono       =
                                                            planos que determinan a aquellos 35
                                                                    Pulsa ratón
                                                                  Pulsa elel ratón
                                                                  para seguir con
                                                                    para seguir con
        FIGURAS ESFERICAS(I)                                         contenido de
                                                                  elel contenido de
                                                                     página.
                                                                  lala página.


Huso esférico                         Cuña esférica
                                                                              Índice
                                                                                Índice
                           4R 2
                                                                   4 3
                A huso          nº                                  R
                           360º                          Vcuña    3    nº
                                                                   360º




Zona esférica                         Segmento esférico de dos bases



                  A zona  2Rh                          V
                                                              h 2
                                                              6
                                                                  
                                                                h  3r 2  3r '2   

                                                                                       36
                                                                    Pulsa ratón
                                                                  Pulsa elel ratón
      FIGURAS ESFERICAS(II)                                       para seguir con
                                                                    para seguir con
                                                                     contenido de
                                                                  elel contenido de
                                                                     página.
                                                                  lala página.


Segmento esférico de una base       Casquete esférico
                                                                              Índice
                                                                                Índice


                    h2                                 A casquete  2Rh
                V      3R  h
                    3




  Sector esférico                   Sector esférico de dos bases

                         2
                    V      R 2h                V=Vsector exterior-Vsector interior
                         3



                                                                                  37
        Cónicas y cuádricas

1.   En general
2.   Elipse

3.   Parábola

4.   Hipérbola

5.   Cuádricas
                                                                                Pulsa ratón
                                                                              Pulsa elel ratón
                                                                              para seguir con
                                                                                para seguir con
                 CÓNICAS                                                         contenido de
                                                                              elel contenido de
                                                                                 página.
                                                                              lala página.

 Recuerda cómo el cono venía engendrado por su generatriz al girar ésta alrededor de un eje.
 Si consideramos tal generatriz como una recta ilimitada, la figura resultante del giro es una
 superficie cónica, la cual resulta estar compuesta por dos conos ilimitados, unidos por el Índice
                                                                                               Índice
 vértice




                                                                             Hipérbola
Circunferencia                                         Parábola
                            elipse




   Cortando una superficie cónica por diferentes planos, obtenemos unas curvas llamadas
   secciones cónicas o simplemente cónicas.

   Según la distinta posición del plano, dichas secciones pueden ser: circunferencia, elipse,
                                                                                                 39
   parábola e hipérbola.
                                                     Pulsa ratón
                                                   Pulsa elel ratón
                                                   para seguir con
                                                     para seguir con
SECCIONES CÓNICAS                                     contenido de
                                                   elel contenido de
                                                      página.
                                                   lala página.



                                                               Índice
                                                                 Índice
 Circunferencia                           Elipse



                          Según
                      la inclinación
                   del plano que corta
                  la superficie cónica,
                      tenemos las
                       diferentes             Hipérbola
                        cónicas:


       Parábola




                                                                   40
                                        Pulsa ratón
                                      Pulsa elel ratón
                                      para seguir con
                                        para seguir con
                                         contenido de
                                      elel contenido de
                                         página.
                                      lala página.



                                                  Índice
                                                    Índice




Círculo   Elipse (h)   Parábola (h)    Hipérbola (h)




                                                      41
                                                                                  Pulsa ratón
                                                                                Pulsa elel ratón
                               La elipse es una curva cuyos puntos cumplen
                               que la suma de distancias a dos puntos fijos     para seguir con
                                                                                  para seguir con
     La elipse                 llamados focos es constante (2a).                   contenido de
                                                                                elel contenido de
                                                PF+PF’=2a                          página.
                                                                                lala página.

                               La elipse es la curva obtenida al cortar todas las
                               generatrices de una superficie cónica mediante un plano.
                                                                                               Índice
                                                                                                 Índice

                                                      En un corcho fija una cartulina y clava dos
                                                         chinchetas con 12 cm de separación. Enlaza
                                                         en cada una de ellas los extremos de un
                                                         cordón de 20cm de longitud. Manteniendo el
                                                         cordón tenso con la punta de un lápiz, dibuja
                                                         la curva que éste te permita trazar.

           B                   La figura muestra los elementos notables de la elipse. Los diámetros
                               son cuerdas que pasan por el centro, teniendo éstos longitudes
                               variables. El mayor se denomina eje mayor (AA’=2a), y el menor de
                               ellos, eje menor (BB’=2b); ambos son perpendiculares y resultan ser
A’   F’    O           F   A
                               ejes de simetría. F y F’ se denominan focos. La distancia que separa
                               los focos, se llama distancia focal (FF’=2c).
           B’
                               Observando el dibujo podemos comprobar que:

            B                                         a2 = b2 + c2
                   a
               b                El grado de achatamiento de la elipse se mide por la excentricidad de
            O      c       A    la elipse, definida como
      F’               F
                                        c                                           experimenta    42
            B’                   0e     1    ya que 0  c  a
                                        a
                                                   Pulsa ratón
                                                 Pulsa elel ratón
                                                 para seguir con
                                                   para seguir con
Excentricidad de la elipse                          contenido de
                                                 elel contenido de
                                                    página.
                                                 lala página.

                                           c
                                    e       ,     0ca
                                           a                       Índice
                                                                     Índice
                                            e=0 (los focos coinciden
                                                  con el centro)


                                              0< e <1 (los focos no
                                             coinciden con el centro)


                                             0< e <1 (los focos se van
                                               separando del centro)


                                               0< e <1 (los focos se
                                              siguen separando del
                                             centro y la excentricidad
                                               sigue aumentando)

                                            e=1 (los focos coinciden
                                             con los extremos del eje
                                                      mayor)
                                                                       43
                             experimenta
                                                                            Pulsa ratón
                                                                          Pulsa elel ratón
                                                                          para seguir con
                                                                            para seguir con
                  Algo de Historia                                           contenido de
                                                                          elel contenido de
                                                                             página.
                                                                          lala página.


Kepler, en el siglo XVII, observó la gran utilidad de las cónicas en astronomía al
     constatar que las trayectorias de los planetas del sol son elípticas, llegando a   Índice
                                                                                          Índice
     enunciar sus tres conocidas leyes sobre el movimiento de los planetas:
1.   Los planetas se mueven alrededor del sol siguiendo órbitas elípticas en
     uno de cuyos focos esta el sol.
2.   El radio vector que va del sol a un planeta, barre áreas iguales en tiempos
     iguales.
3.   Los cuadrados de los tiempos empleados por cada planeta en describir la
     órbita completa son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores
     de las órbitas, lo que significa que es idéntica para todos los planetas la
     relación

              T2
                3
                  k
              a




                                                                                            44
                                                                         Pulsa ratón
                                                                       Pulsa elel ratón
   Área encerrada en una elipse                                        para seguir con
                                                                         para seguir con
                                                                          contenido de
                                                                       elel contenido de
                   A elipse  ab                                         página.
                                                                       lala página.


Si sobre una pieza elástica se dibuja un cuadrado y una circunferencia inscrita en
                                                                                     Índice
                                                                                       Índice
     él, al estirar la pieza observaremos que el cuadrado se transforma en un
 rectángulo, mientras que la circunferencia lo hará en la elipse inscrita en dicho
       rectángulo. Ello permite plantear la siguiente proporción entre áreas:



                                                               b
                    R                                              a




                        A elipse        A rectángulo
                                    
                        A círculo       A cuadrado

 A elipse     2a  2b                                     R2  4ab
                                            A elipse               ab
              2R2
                         De donde
  R   2                                                        2
                                                            4R                           45
                                                                                         Pulsa ratón
                                                                                       Pulsa elel ratón
         Propiedades de los focos                                                      para seguir con
                                                                                         para seguir con
                                                                                          contenido de
                                                                                       elel contenido de
               de la elipse                                                               página.
                                                                                       lala página.


                                                   En la elipse, los focos tienen la propiedad de que
                                                   cualquier rayo emergente de uno de ellos se reflejaÍndice
                                                   pasando por el otro. En esta propiedad se basan
                                                                                                        Índice
                                                   los los espejos y las bóvedas elípticas.


Basándose en esta propiedad de la elipse, Miguel de Guzmán, en su libro Cuentos con cuentas, nos presenta
las siguientes escenas:
El secreto del Salón Ovalado:
El gran Salón Ovalado estaba lleno hasta rebosar de espías, contraespías y contracontraespías. Y, sin
embargo, el Primer Ministro tenía absoluta necesidad de comunicar inmediatamente a Su Majestad el gran
secreto del que acababa de enterarse. Como quien no quiere la cosa, al aproximarse al Rey le dijo con voz
bien perceptible: “Majestad, parece que los focos de rebeldes reclaman nuestra atención”. Todos los espías
se fueron hacia las paredes del salón para sacar de los forros de sus capas allí colgadas las claves de los
mensajes cifrados.
Les siguieron, naturalmente con gran sigilo, los contraespías, y a éstos, los contracontraespías. El Rey, con
paso tranquilo, pero decidido, se dirigió hacia un lado del ovalado salón. El Ministro, por su parte, se dirigió
en dirección contraria al otro lado del salón ovalado. Los espías los observaban de reojo mientras
consultaban en sus libretas “parece”, “focos”, “rebeldes” y “exigen”. Los contraespías estaban atentos a los
espías, y los contracontraespías no perdían de vista ni un momento a sus contraespías correspondientes. El
Rey se paró un momento y el Ministro, respetuoso, se paró también en su camino. Estaban a más de 20
metros de distancia cuando un espía más astuto observó y apuntó en su libreta. “Este Ministro, o habla solo
o está rezando”. Pero nadie pudo oir nada. Sólo el Rey pudo percibir claramente en sus oídos el mensaje del   46
Ministro: “Majestad, con todos mis respetos, su bragueta está completamente abierta”
                                                                                    Pulsa ratón
                                                                                  Pulsa elel ratón
                                                                                  para seguir con
                   La parábola                                                      para seguir con
                                                                                     contenido de
                                                                                  elel contenido de
                                                                                     página.
                                                                                  lala página.

La parábola es la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano paralelo a una
sola generatriz.
                                                                                                    Índice
                                                                                                      Índice
directriz




                                                        La parábola es una curva cuyos puntos
                                                        equidistan de una recta (directriz) y de
                 eje                                    un punto fijo llamado foco.
            V



                                                        En Física existen diversos movimientos
                                                        con forma parabólica. Fue Galileo quien
                                                        demostró que la trayectoria seguida por
                                                        un proyectil es una parábola y calculó una
                En la parábola el foco es tal que los   tabla de distancias y elevaciones en la
                rayos que emergen de él “rebotan”       cual el artillero podía hallar la altura a que
                en ella saliendo paralelos al eje y     debía elevar la mira de su cañón para
                viceversa. Esta propiedad permite       hacer blanco en un punto situado a una
                múltiples aplicaciones, en hornos       distancia determinada.
                parabólicos, antenas parabólicas de
                TV, estufas, espejos o faros.
                                                                                       experimenta       47
                                                                                  Pulsa ratón
                                                                                Pulsa elel ratón
                               La hipérbola es una curva cuyos puntos
                               cumplen que la diferencia de distancias a dos    para seguir con
                                                                                  para seguir con
La hipérbola                   puntos fijos llamados focos es constante (2a).      contenido de
                                                                                elel contenido de
                                                PF-PF’=2a                          página.
                                                                                lala página.

                              La hipérbola es la curva obtenida al cortar una superficie
                              cónica por un plano paralelo a dos generatrices.
                                                                                              Índice
                                                                                                Índice

                                           La figura muestra los elementos notables de la hipérbola.
                                           Las longitudes de los lados del rectángulo de la figura son
                                           las medidas del eje real (AA’=2a), y del eje imaginario
                                           (BB’=2b); ambos son perpendiculares y resultan ser ejes
                b         c
                                           de simetría. F y F’ se denominan focos. La distancia que
                                           separa los focos, se llama distancia focal (FF’=2c).
                      a
                                           Observando el dibujo podemos comprobar que:

                                                             c2 = a2 + b2



  Un punto luminoso colocado en uno de
  los focos, al emitir rayos sobre ella, son
  reflejados de forma divergente como si
  procedieran de otro foco.        En esta              F’

  propiedad     se   basan    los   espejos
  hiperbólicos usados en superficies
  amplias como los estadios de fútbol.                                             experimenta     48
                                         Pulsa ratón
                                       Pulsa elel ratón
                                       para seguir con
                                         para seguir con
Excentricidad de la hipérbola             contenido de
                                       elel contenido de
                                          página.
                                       lala página.

                                 c
                            e     ,    0ac
                                 a                 Índice
                                                     Índice


                            e=2’24       e=1’25




                                              e=1’03




                                         experimenta   49
                                                                             Pulsa ratón
                                                                           Pulsa elel ratón
Superficies engendradas por cónicas:                                       para seguir con
                                                                             para seguir con
                                                                              contenido de
                                                                           elel contenido de
            las cuádricas                                                     página.
                                                                           lala página.

  El balón de rugby, las antenas parabólicas de telecomunicación o las chimeneas de una
  central térmica son figuras engendradas por cónicas, ya sea por rotación de éstas
  alrededor de uno de sus ejes o bien por simple traslación o desplazamiento. Todas ellas Índice
                                                                                            Índice
  constituyen una nueva familia de figuras, las cuádricas.




                                                                                              50
                                     Pulsa ratón
                                   Pulsa elel ratón
                                   para seguir con
Superficies engendradas por cónicas: para seguir con
                                      contenido de
                                   elel contenido de
           las cuádricas(III)         página.
                                   lala página.



                                               Índice
                                                 Índice




                                                   51
  Pulsa ratón
Pulsa elel ratón
para seguir con
  para seguir con
   contenido de
elel contenido de
   página.
lala página.



            Índice
              Índice




                52
                           Pulsa ratón
                         Pulsa elel ratón
Cónicas y cuádricas en   para seguir con
                           para seguir con
                            contenido de
                         elel contenido de
     Arquitectura           página.
                         lala página.



                                     Índice
                                       Índice




                                         53
  Pulsa ratón
Pulsa elel ratón
para seguir con
  para seguir con
   contenido de
elel contenido de
   página.
lala página.



            Índice
              Índice




                54
                                              Pulsa ratón
                                            Pulsa elel ratón
                                            para seguir con
                                              para seguir con
                                               contenido de
                                            elel contenido de
                                               página.
                                            lala página.



                                                        Índice
                                                          Índice



Todo lo anterior está basado en su mayoría en
el libro GEOMETRÍA Y EXPERIENCIAS de la
 Biblioteca de Recursos Didácticos Alhambra
 nº 20 en el que se puede encontrar ejercicios
      sobre los temas vistos en este trabajo




                                                            55

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:100
posted:2/10/2012
language:Spanish
pages:55