Conceptos de Repaso

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					     Conceptos de Repaso

Como fenómeno físico, “Calor” o
“transferencia     de    calor”,   es
movimiento de energía ocasionado
por una diferencia de temperatura.
    Magnitudes Relacionadas
Calor (Q) es la cantidad de energía transferida en
un lapso determinado y a través de un área
especificada, debido a una diferencia de
temperatura [J].

Flujo de calor (q) es la energía, que en forma de
calor, atraviesa una superficie determinada
por unidad de tiempo [W].
Densidad de Flujo de calor (q”) es el flujo de
calor por unidad de área [W/m2].
Modos de transferencia de calor
Conducción
Sólidos y fluidos estáticos              q”

 Ley de Fourier

                              T1
          dT                            T2
  q k
   x
          dx
         dT
  qk
   x                                   T2  T1
         dx                    q k A
                                       x2  x1
Modos de transferencia de calor
    Convección
 Fluidos en movimiento
 Interfase entre un sólido y un fluido en movimiento
  Ley de Newton               h = coeficiente de convección [W/m2.K]
   qh Ts  T 
    x



     T∞

             q”   Ts
Modos de transferencia de calor
  Radiación                       Caso particular:
                                  Superficie pequeña en una gran
 En el vació, fluidos o sólidos   cavidad

               T1
                                               
                                    qrad    T  T  s
                                                       4          4
                                                                 alr   
               T2
                                                     Talr
 Ley de Stefan-Boltzmann

    Eb  Ts
                 4                                          Ts

 σ = 5,67 x 10-8 W/m.K4

   E   Ts
                 4
CONDUCCIÓN




      q      q
   Introducción a la conducción
Conducción
Sólidos y fluidos estáticos              q”

 Ley de Fourier

                              T1
          dT                            T2
  q k
   x
          dx
         dT
  qk
   x                                   T2  T1
         dx                    q k A
                                       x2  x1
Introducción a la conducción
     CONDUCTIVIDAD TÉRMICA



             Material   k W m K  a 300 K

  Cobre                        386
  Aluminio                     204
  Vidrio                       0,75
  Plástico                    0,2-0,3
  Agua                          0,6
  Aceite de motores            0,15
  Freón (líquido)              0,07
  Aire                         0,026
Introducción a la conducción
    CONDUCTIVIDAD TÉRMICA

  METALES                   GASES
Introducción a la conducción
–La distribución de temperaturas en un sólido (o un fluido
estático) es una función escalar que depende de las
coordenadas espaciales y el tiempo: T(x,y,z,).

–La obtención de la distribución de temperaturas resulta de
importancia vital para dar solución a los problemas
conducción de calor.

–Una vez encontrada la temperatura como función del
espacio y del tiempo, por medio de la ecuación de Fourier, se
esta en condiciones de hallar la densidad de flujo de calor en
cualquier punto e instante.
     Ecuación de difusión del calor
procedimiento general que se sigue para obtener la distribución de temperaturas es:

•   Se aplica el balance de energía a un determinado volumen (se procura que el flujo de
    calor sea perpendicular o colineal con la superficie para simplificar los cálculos).
    Obteniéndose una ecuación diferencial de primer orden que relaciona los flujos de calor
    entrante y saliente, la variación de energía dentro del volumen y otros flujos de energía
    que ingresan al sistema transformándose en calor

•   Mediante la Ley de Fourier se reemplazan los flujos de calor en la ecuación obtenida
    por el primer paso. El resultado es una ecuación diferencial de segundo orden que nos
    relaciona las derivadas de la distribución de temperatura.


•   Se resuelve la ecuación diferencial teniendo en cuenta las condiciones determinadas
    por el contorno. Se obtiene de esta manera el campo de temperaturas en el sólido.

•   Si se quieren obtener flujos de calor en una superficie, se aplica la ecuación de Fourier
    obteniendo la densidad de flujo de calor en cada punto del cuerpo y luego se debe
    proceder a realizar la integración de la misma sobre la superficie en cuestión.
Ecuación de difusión del Calor
Ecuación de difusión del calor

                                       Potencia            Razón de
  Flujo de                              calórica       crecimiento de la
                  Flujo de calor
 calor que                             generada           energía del
                  que sale por
ingresa por   -                    +     en el     =     volumen por
                   conducción
conducción                             elemento        unidad de tiempo
                                          de
                                       volumen
         Dirección x
  Flujo de
                  Flujo de calor
 calor que
                  que sale por
ingresa por   -    conducción
conducción




   q x  q x  dx                  q x  dx    qx 
                                                     q x
                                                          dx
                                                     x
             q x 
  qx   qx      dx 
             x     
         q x
             dx
         x
                Dirección x
               T
q x  k dy dz
               x


     q x       Tx 
         dx   k    dx dy dz
     x       x  x 
   Potencia calórica    Razón de crecimiento de
    generada en el     la energía del volumen por
     elemento de            unidad de tiempo
       volumen



Gen  q dx dy dz
                                      T
                        E Alm     Cp    dx dy dz
                                       t
   Ecuación de difusión del calor
  T        T           T                               T( x , y , z ,t )
   k         k
                         
                           z  z 
                                 k     q ( x , y , z ,t )   C p
                                        
x  x     y  y                                               t



 … considerando k constante


 2T  2T  2T q ( x , y , z ,t )  C p T( x , y , z ,t )
                     
                              
x 2
       y 2
              z 2
                       k            k      t
Capítulo 3: Análisis de conducción del
calor unidimensional de estado estable
• geometría plana, cilíndrica y esférica.

• Transferencia de calor en superficies
  extendidas (Aletas).
                  Geometría Plana
Hipótesis: geometría plana, unidimensional, sin
  generación, estado estable, conductividad constante.


  T    T    T                                    T( x, y , z ,t )
   k         y   z  k z   q( x , y , z ,t )   C p t
          k
x  x  y                      
                              

   d  dT 
      k   0
   dx  dx 

       d 2T
          2
            0                     T( x )  C1 x  C2
       dx
 Estado estable, geometría plana unidimensional, sin
        generación, conductividad constante

T( x )  C1 x  C2
                                                       Ts,1
                                                                                       Ts,2
 T( 0 )  Ts ,1              C 2  Ts ,1         T            T( x )  C1 x  C2



 T( L )  Ts , 2                 Ts ,1 Ts ,1   Ts,1
                        C1 
                                      L         Ts,2
            Ts , 2  Ts ,1
 T( x )                      x  Ts ,1
                   L
 Aplicando Fourier

                       Ts , 2  Ts ,1
   q( x )   k A
                                L
                                                                                   x
Estado estable, geometría plana unidimensional,
    sin generación, conductividad constante
Reacomodando


           
             Ts ,1  Ts , 2                      Es ,1  Es , 2
  q( x )
                   L                       I
                 kA                                   R

                                  Análogo Eléctrico

  Corriente eléctrica                   →         Flujo de calor

  Potencial eléctrico                    →        Temperatura

  Resistencia eléctrica                    →       Resistencia térmica

                              Ts ,1  Ts , 2      L
             Rt ,cond                         
                                   qx            kA
     Estado estable, geometría plana unidimensional,
         sin generación, conductividad constante
Para los laterales, donde existe convección:      Ts,1

                                                         T( x )  C1 x  C2
                                                                                     Ts,2
         q  A h Ts  T 


         q
            Ts  T    T1



                     1
                    Ah

                                               T∞,1                                    T∞,2
                       1                        h1                                      h2
         Rt ,conv   
                      Ah
                                       T∞,1              Ts,1                 Ts,2            T∞,2
Estado estable, geometría plana unidimensional,
    sin generación, conductividad constante


           Rt ,conv      Rt ,cond       Rt ,conv
            1             L              1
           A h1          Ak             A h2

                  1    L     1
          Rtot          
                 A h1 A k   A h2


                       T ,1  T , 2
                  q
                            Rtot
Estado estable, geometría plana unidimensional,
    sin generación, conductividad constante

                  x      1
Rtot     Rt                        Ts,1
                  kA    h A                                         T2
                                                                            T3
                                                                            Ts,4
                                                               A
                                                k1 k2 k3

                                                L 1 L 2 L3
                                  T∞,1
                                   h1                               T∞,2
                                                                     h2



                           T∞,1      Ts,1       T2    T3     Ts,4    T∞,2

                                  1      L1     L2     L3      1
                         Rtot                           
                                h1  A k1  A k 2  A k3  A h2  A
 Estado estable, geometría plana unidimensional,
     sin generación, conductividad constante

Coeficiente global de transferencia de calor “U”
                  1
          U
                Rtot A

de esta forma el flujo de calor se puede expresar como:

        q  U A T
 El flujo de calor queda expresado en función del coeficiente U,
 el área y el salto de temperatura, de manera análoga a la ley de
 Newton. U tiene las mismas unidades que h.
    Resistencia Térmica de Contacto
se produce por la rugosidad en T
las superficies en contacto.

Dentro de los intersticios el
calor fluye por radiación,
conducción y convección a
través del fluido que los                   x
rellena.

Este fenómeno se manifiesta a              T1  T2 T1  T2
nivel macroscópico como si en       Rt           
                                              q     qA
la    interfase   entre     los
materiales se concentraría una              T  T2
resistencia que provoca una         
                                   Rt      1
                                               q
discontinuidad      en        la
temperatura.
                                                 Rt
                                            Rt 
                                                  A
  Resistencia Térmica de Contacto

Interfaz (Presión)                                             R’t,c X 104
                                                               (m2.K/W)
Chip de silicio/aluminio recubierto en aire (27-500 kN/m2)     0.3 - 0.6
Aluminio/aluminio con relleno de hoja de indio (100 kN/m2)       0.07
Acero inoxidable/acero inoxidable con relleno de hoja de          0.04
indio (3500 kN/m2)
Aluminio/aluminio con recubrimiento metálico (Pb)              0.01 - 0.1
Aluminio/aluminio con grasa Dow Coming 340 (100                  0.07
kN/m2)
Acero inoxidable/acero inoxidable con grasa Dow Coming            0.04
340 (3500 kN/m2)
Chip de silicio/aluminio con resina epóxica de 0.02 mm         0.2 - 0.9
Bronce/bronce con soldadura de estaño de 15 m                0.025 - 0.14
Resistencia Térmica de Contacto
R”t,c depende de:
• Acabado superficial
• Presión entre superficies
• Sustancia intersticial


R”t,c x 104 (m2.K/W)
                    Presión de contacto
                    100 kN/m2      10000 kN/m2
Acero inoxidable        6 - 25       0.7 - 4.0
Cobre                   1 - 10       0.1 - 0.5
Magnesio               1.5 - 3.5     0.2 - 0.4
Aluminio               1.5 - 5.0     0.2 - 0.4
Resistencia Térmica de Contacto

 R”t,c X 104 [m2.K/W] para interfaz de aluminio
 con diferentes fluidos de interfaz (rugosidad de
 la superficie de 10 m,¨presión l05 N/m2)
 Aire                              2.75
 Helio                             1.05
 Hidrógeno                        0.720
 Aceite de silicio                0.525
 Glicerina                        0.265
Estado estable, sistemas cilíndricos, unidimensional,
      sin generación, conductividad constante
   Sistemas cilíndricos
    1         T                      T( r ,t )                                    r1
          r k     q ( r ,t )   C p
                      
    r r       r                       
                                                                                        r2
     k d  dT 
          r   0
     r dr  dr 
      dT                                        dr                      s,1   T
          C1                                                                       Ts,2
    r
      dr                             dT  C1 
                                                r
    T( r )  C1           Ln r   C      2
                                                Aplicando las condiciones de borde:
                                                   r = r1 → T = Ts,1   y   r = r2 → T = Ts,2
              Ts ,1  Ts , 2      r
   T( r )                     ln    Ts , 2
                                  r 
              ln r1 r2           2
  Calculamos el flujo de calor aplicando Fourier
                        2 L k Ts ,1  Ts , 2 
              qr 
                               ln r1 r2 
Estado estable, sistemas cilíndricos, unidimensional,
      sin generación, conductividad constante
                                                             r1
                                                      r2
                                                     r3
                    r                         r4
              1
   Rt  1        Ln i 1        
            n

           ki 2L    r           
                     i           
                                                          k3 k2 k1


        n
                1     r          p
                                         1
  Rt              Ln i 1
                       r      
                               
       i 1 k i 2L    i       j 1 h j A j
       Estado estable, sistemas cilíndricos,
  unidimensional, sin generación, conductividad
                    constante
Coeficiente global de transferencia de calor “U”
        1
 U            el flujo de calor se puede expresar como:   q  U A T
      Rtot A

 En geometría cilíndrica el área no es constante es necesario
 definir a que área estará referido el U
Aislamiento Crítico
                                                r1
         1      r2    1
 Rt        ln   
      k 2 L  r1  h 2 L r2
                                                 r2
                

       1  r2  1        1            Ts,1
 Rt   ln   
           r  hr 
                                               Ts,2     T∞
      k  1     2      2 L                          h


    d     1  r2  1            1     1
          ln                            0
              r  hr 0        k r2 h r2 2
   dr2   k  1     2



                                 1    1                         k
                                                    rcrit   
                                 k   h r2                       h
Aislamiento Crítico
Gráfica del primero y segundo término del corchete en función r1
r1=0,01 m; k=0.1 W/mK; h=4 W/m2K.
                                                         1  r2   1         1
                                                   Rt   ln         
    30                                                   k  r1  h r2 
                                                                           2 L
                            1  r2   1
                             ln   
    25
                            k  r1  h r2
                                 
    20


    15                                                                  1
              1
                                                               1  r2 
    10       h r2                                               ln  2 
                                                               k  r1 
                                                                    1+2
     5


     0
         0          0,01   0,02   0,03          0,04    0,05     0,06       0,07
                                          r
                                         r2 e
  Superficies Extendidas (Aletas)
  En muchos casos es preciso incrementar el flujo de calor entre
  determinada superficie y un medio convectivo y la resistencia térmica
  más importante es la convectiva. Recordando que la resistencia
  térmica por convección es:
                  para modificar la resistencia térmica por convección se
            1
Rt ,conv         puede:
           h A   a) aumentar el coeficiente de convección
                  b) aumentar el área de transferencia
                  c) modificar ambos factores simultáneamente
    Superficies Extendidas (Aletas)
Estado estacionario unidimensional (se desprecia el flujo de calor
en las otras direcciones).

q  0
q x  q x  x  qconv  0
                 dqx
qx  x    qx      x
                 dx
qconv  AS h T( x )  T 
                    dT
q x  k AC ( x )
                    dx

 d              dT( x ) 
     k AC ( x )
                         x  AS h T( x )  T   0
 dx              dx    
Superficies Extendidas (Aletas)
 d              dT( x ) 
     k AC ( x )
                         x  AS h T( x )  T   0
 dx              dx    

 d            dT( x )  AS h
     AC ( x )
    
 dx            dx     x k T( x )  T   0
                       


 d            dT( x )  dAS h
     AC ( x )
    
 dx            dx     dx k T( x )  T   0
                       


  d 2T( x )
              
                    1        dAC ( x ) dT( x )
                                                 
                                                       1        h dAS
                                                                      T( x)  T   0
   dx 2           AC ( x )     dx       dx           AC ( x )   k dx
    Superficies Extendidas (Aletas)
        Aletas de sección transversal constante

d 2T( x )
            
                  1        dAC ( x ) dT( x )
                                               
                                                     1        h dAS
                                                                    T( x)  T   0     dAS
                                                                                              P
 dx 2           AC ( x )     dx       dx           AC ( x )   k dx
                                                                                           dx
  d 2T( x )
                     P T( x )  T   0
                1 h                                                   hP
                                                              m2 
    dx 2        AC k                                                  k Ac

                                                                ( x )  T( x )  T 
   d  ( x)
      2

                  m2  ( x)  0
     dx 2
 Superficies Extendidas (Aletas)
   d 2 ( x )
          2
                 m  ( x)  0
                    2
                                                  ( x)  C1 e  C2 e
                                                                  mx                 mx
     dx
Para obtener C1 y C2 es necesario aplicar las condiciones de borde
- En la base de la aleta la temperatura esta determinada como Tb y entonces

         ( 0)  Tb  T
  - En el extremo de la aleta existen cuatro casos relevantes:

  1) Aleta infinita        L           ( L)  0
                                                            d
  2) Adiabática                                                         0
                                                            dx    xL

  3) Temperatura establecida         ( L)  C
                                                         d
  4) Transferencia de calor por convección            k                h  L 
                                                         dx      xL
  Superficies Extendidas (Aletas)
 Aleta infinita

 L                              
                                      e  mx
L  0                            b

                                     coshmL  x 
Aleta con extremo aislado
                                
 d                                
            0                  b     coshmL 
 dx   xL

Aleta con temperatura de extremo establecida
                                      L
                                         senhmx  senhmL  x 
  (L)   L                         b
                                  
                               b              senhmL
                                                       h 
                                    coshmL  x        senhmL  x 
 Aleta con extremo Libre
                                                      mk 
    d                            
                               b
 k
    dx
                   h  L              coshmL   h  senhmL
                                                          
            xL                                        mk 
Superficies Extendidas (Aletas)
Flujo de calor en la aleta infinita de sección recta

  
      e  mx
  b
              d x
 q f   k Ac
               dx       x 0

                               hP
 q f  k Ac m  b  k Ac             b  k Ac h P  b
                               k Ac
Superficies Extendidas (Aletas)
Flujo de calor en la aleta de sección recta con el extremo aislado


  coshmL  x 
    
 b   coshmL 

               d x
  q f   k Ac
                dx       x 0



  q f  k Ac h P  b tnghm L
   Superficies Extendidas (Aletas)
  Desempeño de la aleta

Efectividad de la aleta: Es el cociente entre el flujo de calor de la aleta y el
flujo de calor que existiría si no hubiera aleta


                                        qf
                              f 
                                     h Ac ,b  b

Eficiencia de la aleta: Es el cociente entre el flujo de calor de la aleta y el
flujo de calor máximo posible, es decir el que existiría si toda la superficie
de la aleta se encontrara a la temperatura de la base.

                                       qf            qf
                             f             
                                      qmax         h Af  b
     Superficies Extendidas (Aletas)
Efectividad de la aleta: Es el cociente entre el flujo de calor de la aleta y el
flujo de calor que existiría si no hubiera aleta
                  qf
      f 
              h Ac ,b  b
   Para aletas de sección constante y longitud (L) infinita


    q f  k Ac m  b                         m
                                                hP
                                                k Ac

              k Ac m  b                  kP
         f             
               h Ac  b                   h Ac
   Superficies Extendidas (Aletas)
Eficiencia de la aleta: Es el cociente entre el flujo de calor de la aleta y el
flujo de calor máximo posible, es decir el que existiría si toda la superficie
de la aleta se encontrara a la temperatura de la base.
         qf              qf
  f           
         qmax        h Af  b

Para aletas de sección constante y extremo aislado

              qf              k h Ac P  b tngh(mL)   q f  k Ac h P  b tnghm L
    f              
           qmax                    h Af  b


                qf             k h Ac P  b tngh(mL) tngh(mL)
      f                                          
              qmax                   h P L b           mL
 Superficies Extendidas (Aletas)
  m Lc 
         hP
              Lc 
                   2h
                      Lc                     w  t  P  2w
         k Ac      kt
Llamando Ap al área del perfil de la aleta


            2h
m Lc 
                   3/ 2
                Lc                                                Ap
           k Ap                                 Ap  Lc t  t 
                                                                  Lc
Superficies Extendidas (Aletas)
Superficies Extendidas (Aletas)

				
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posted:2/10/2012
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