TEMA 3.6. OSCILACIONES ARMONICAS

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					   TEMA 3.6.
 OSCILACIONES
  ARMONICAS
     SUBTEMA 3.6.1.
 CARACTERISTICAS DE LAS
OSCILACIONES ARMONICAS.
   El movimiento armónico simple es un
    movimiento periódico, es decir se
    repite a intervalos iguales de tiempo.
    Puede ser descrito en función del
    movimiento        circular   uniforme,
    considerándolo como la proyección sobre
    cualquier diámetro de un punto que se
    mueve en una trayectoria circular con
    velocidad constante como se ve en la
    figura siguiente.
    VL



                     a



             r




P                        Q
         O       A
   Al observar el movimiento armónico que
    describe el punto A de la figura anterior al
    moverse de un lado a otro de la línea recta
    formada por P y Q, podemos apreciar que su
    velocidad cambia en forma constante: cuando
    está en el punto central O su velocidad es la
    máxima, mientras en P y Q la velocidad es
    momentáneamente nula; después aumenta poco
    a poco hasta llegar a O donde es máxima para
    de nuevo disminuir hasta llegar a cero en el otro
    extremo de la trayectoria.

   Es evidente que si la velocidad va cambiando, existe una
    aceleración. Dicha aceleración siempre se dirige a la
    posición central de equilibrio y su valor varía de la
    siguiente forma: cuando se inicia el movimiento en
    cualquiera de los extremos P o Q hacia el centro o punto
    O, en los extremos se tiene la mayor aceleración, la cual
    disminuye a medida que se acerca al centro donde se
    hace nula; después de pasar el punto central,
    nuevamente aumenta la aceleración hasta llegar a su
    valor máximo, cuando llega al otro extremo, en el que la
    velocidad de hace nula. Por lo tanto en la posición de
    equilibrio la aceleración es nula y la velocidad tendrá su
    valor máximo, y en los extremos la aceleración tendrá su
    valor máximo y la velocidad nula.

   En el movimiento armónico simple resultan útiles los
    siguientes conceptos:
   Elongación.- Es la distancia de una partícula a su
    punto de equilibrio. Puede ser positiva o negativa,
    según esté hacia la derecha o a la izquierda de la
    posición de equilibrio.
   Amplitud. Es la máxima elongación cuyo valor
    será igual al radio de la circunferencia.
        Para calcular la elongación de una partícula
    oscilatoria en cualquier instante de tiempo t se usa la
    expresión: Y = r cos 2 π F t. obtenida mediante la
    siguiente deducción:

   Al representar a la elongación con la letra Y y al
    considerar que la elongación de una partícula
    oscilatoria es igual a la proyección sobre el
    diámetro horizontal del radio r descrita por el
    móvil de la figura siguiente se tiene que el valor
    de Y equivale al cateto adyacente, por lo cual su
    valor es:
   Y = r cos θ. (1), como θ = ω t (2), ω = 2 π F
    (3), sustituyendo 2 y 3 en 1:
   Y = r cos 2 π F t.
VL




     r
             θ


         Y
   Donde: Y = elongación de la partícula en
    metros.
        r = radio de la circunferencia en
    metros.
        F = frecuencia en ciclos/seg
        t = tiempo en segundos (seg)
   Velocidad de oscilación.- Es el resultado de
    proyectar la velocidad lineal del movimiento
    circular de un cuerpo sobre el diámetro de la
    circunferencia como se ve en la figura siguiente, de
    modo que la expresión matemática de la velocidad de
    oscilación será:
   v = - vL sen θ (1), como θ = ω t (2), ω = 2 π F (3), vL
    = ω r (4), sustituyendo 2, 3 y 4 en 1 queda:
   v = - 2 π F r sen 2 π F t.
   donde v = velocidad de oscilación en m/seg.
        F = frecuencia en ciclos/seg.
        r = radio de la circunferencia en metros (m)
        t = tiempo en segundos (seg).
          C               VL
VL
                  θ




              θ
D                              B
                      v




                               VL

     VL   A
   Como se observa en la figura anterior, cuando la
    velocidad lineal es paralela al diámetro (puntos
    A y C), la velocidad de oscilación del cuerpo será
    mayor y tendrá un valor igual a la velocidad
    lineal.   Cuando     la   velocidad     lineal  es
    perpendicular al diámetro (puntos B y D) su
    proyección sobre el diámetro es nula, por lo
    tanto su valor es cero.



   Aceleración        de     una partícula
    oscilante.- En el MAS, la aceleración
    de una partícula oscilante tiene un
    valor igual a la proyección sobre el
    diámetro de la aceleración radial ar,
    del movimiento circular uniforme de
    un cuerpo como se ve en la figura
    siguiente, por lo que la expresión
    matemática de la aceleración de una
    partícula oscilante será:
VL




         θ
         ar


     θ

              a
   a = - ar cos θ.
   como ar = ω2 r.
   ω=2πF
   θ=ωt
   θ = 2 π F t.
   tendremos que :
   a = - 4 π2 F2 r cos 2 π F t.
   puesto Y = r cos 2 π F t., la ecuación de la aceleración de una
    partícula oscilante también se puede expresar como:
   a = - 4 π2 F2 Y.
   donde a = aceleración en m/seg2.
         F = frecuencia en ciclos/seg.
         Y = elongación en metros (m).
   El signo de la aceleración de una partícula oscilante es
    negativa, por que su sentido es siempre contrario al
    sentido del movimiento.
        Si observamos la ecuación de la aceleración de una
    partícula oscilante, tenemos que ésta es directamente
    proporcional a la elongación, pero de sentido contrario.
    De la ecuación de la aceleración de una partícula
    oscilante puede despejarse la frecuencia quedando de la
    siguiente manera:


           ___________                  ____
   F=     √ - a/4 π 2Y       = 1 / 2 π √ - a/Y
     GRAFICAS SINUSOIDALES DEL
    MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
   En el movimiento armónico simple (MAS) la
    elongación, la velocidad y la aceleración se
    expresan en funciones trigonométricas
    sencillas de un ángulo. Se le denomina simple
    para distinguirlo de un movimiento amortiguado.
    Una curva senoide es la gráfica del seno de un
    ángulo trazada en función del ángulo. Toda
    onda de esta forma recibe el nombre de senoide
    o sinusoide. Para trazar las gráficas sinusoidales
    del MAS, recordemos lo siguiente :

   1.- La Elongación Y es la distancia que separa al móvil del centro o
    posición de equilibrio. Es positiva si está a la derecha de su posición
    de equilibrio y negativa si está a la izquierda. Su valor a un tiempo t
    se calcula con la expresión:

   Y = r cos ω t .
   Nota: La amplitud es la máxima elongación, cuyo valor es igual al
    radio r de la circunferencia.
   2.- La velocidad de oscilación v, es el resultado de proyectar la
    velocidad lineal vL del movimiento circular de un cuerpo, sobre el
    diámetro de la circunferencia. Su valor a un tiempo t se calcula con
    la expresión:
        v = - vL sen θ. como VL = ω r y θ = ω t por lo tanto:
        v = - ω r sen ω t.

   La velocidad de oscilación será positiva si el
    móvil va a la derecha y negativa si va a la
    izquierda.
       3.- La aceleración de una partícula oscilante
    a, tiene un valor igual a la proyección sobre el
    diámetro de la aceleración radial ar del
    movimiento circular uniforme de un móvil. Su
    valor a un tiempo t se calcula con la expresión:
    a = - ar cos θ.
       como ar = ω2 r y θ = ω t, por lo tanto:
       a = - ω2 r cos ω t.
         Oscilador Armónico.
   Otro ejemplo de movimiento armónico
    simple es el que presenta el resorte de la
    figura siguiente, el cual tiene suspendido
    un cuerpo en su extremo inferior:
                     (c) Fuerza de
(a) posición de      restitución.
equilibrio


                  (b) Fuerza
                  debida al
                  tirón.
   Al darle un tirón hacia abajo al cuerpo que tiene
    suspendido el resorte, éste se estira (inciso b de la
    figura) y al soltar el cuerpo la fuerza de restitución
    del resorte tratará de que recupere su posición de
    equilibrio, pero al pasar por ella y debido a la velocidad
    que lleva, por inercia sigue su movimiento comprimiendo
    el resorte (inciso c de la figura), por ello vuelve a actuar
    la fuerza de restitución ahora hacia abajo y nuevamente
    el cuerpo pasa por su posición de equilibrio. Sin
    embargo, por la inercia no se detiene y se estira
    nuevamente, así actúa otra vez la fuerza de restitución
    jalándolo hacia arriba. Se repiten en forma sucesiva
    estos movimientos de abajo hacia arriba y el cuerpo se
    comporta como un oscilador armónico.
   Si no existieran fuerzas de fricción, el movimiento del
    cuerpo, a uno y otro lado de su posición de equilibrio,
    continuaría indefinidamente.
              Conforme aumenta la fuerza del tirón
    aplicado al cuerpo, la fuerza de restitución encargada de
    que el cuerpo recupere su posición de equilibrio,
    también aumenta en la misma proporción. Según la
    Ley de Hooke la fuerza de restitución que actúa
    para que un cuerpo recupere su posición de
    equilibrio es directamente proporcional al
    desplazamiento del cuerpo. Como la fuerza de
    restitución es opuesta al desplazamiento su signo es
    negativo y la expresión matemática siguiente resume lo
    expuesto:

   F = - kd.
      donde F = fuerza de restitución en
    Newtons (N)
            k = constante del resorte cuyo
    valor depende del tipo de     material
    elástico de que se trate y cuyas unidades
    son N/m.
            d = desplazamiento
    experimentado por el cuerpo elástico de
       que se trate en metros (m).

   El periodo de un vibrador armónico simple,
    como es el caso del resorte de la figura anterior
    depende de su rigidez. Por lo tanto, a mayor
    rigidez del resorte, menor es su periodo. Si un
    resorte es más rígido que otro realizará una
    fuerza de restitución mayor para un
    desplazamiento dado y su aceleración también
    será mayor. La rigidez del resorte se expresa
    mediante la constante del resorte k equivalente
    a la fuerza de restitución por unidad de
    desplazamiento.
       donde: k = F/d (1).

   Por ejemplo, si para un resorte que se desplaza 0.1 metros actúa
    una fuerza de restitución de 0.98 Newtons, y cuando se desplaza
    0.2 metros actúa una fuerza de 1.9 Newtons, su constante del
    resorte será igual a:
         k = 0.98 N/0.1 m = 9.8 N/m ó bien k = 1.96 N/0.2 m = 9.8
    N/m
                 De acuerdo con la Ley de Hooke: F = - kd, el signo (-)
    significa que el sentido de la fuerza de restitución es opuesto al del
    desplazamiento o elongación del resorte; y de la Segunda Ley de
    Newton tenemos: F = ma, siendo a, la aceleración del resorte en
    cualquier instante, de donde:
         F = ma = -kd (2). por consiguiente : a = - (k/m) d (3).

   La ecuación 3 nos indica que la aceleración de un cuerpo vibrador con
    un movimiento armónico simple, es directamente proporcional a
    su desplazamiento o elongación en cualquier instante.
                  En forma experimental se ha encontrado que el periodo de
    un vibrador armónico simple es directamente proporcional a la raíz
    cuadrada de su masa, e inversamente proporcional a la raíz
    cuadrada de la constante del resorte (k). Estos resultados
    experimentales se expresan matemáticamente con la siguiente ecuación, la
    cual nos permite calcular el periodo de vibración de un cuerpo con un MAS,
    y en el que se observa que su valor es independiente de la amplitud.
                   ___________
         T = 2 π √ m/k                  (4)
         donde T = periodo en segundos (seg)
                  m = masa del cuerpo vibrador en kilogramos (kg).
                  k = constante del resorte en N/m.
          PENDULO SIMPLE.

   Un péndulo simple está constituido por un
    cuerpo pesado suspendido en un punto
    sobre un eje horizontal por medio de un
    hilo de masa despreciable. Cuando se separa
    un péndulo de su posición de equilibrio y
    después se suelta, oscila a uno y otro lado del
    mismo efecto de su peso, como se ve en la
    figura siguiente:
        a




            θ
    l



                d                c
b
                         F           F’

                    e

                        P = mg
   El movimiento de un péndulo es otro ejemplo de movimiento
    armónico simple (MAS) y su periodo puede ser calculado con la
    siguiente ecuación:
                   _______
        T = 2 π √ l/g

       Donde: T = periodo del péndulo en segundos (seg).
                 l = longitud del péndulo en metros (m) se
    mide desde el              punto donde está suspendido
    hasta el centro de gravedad del cuerpo pesado que
    constituye al péndulo).
       g = aceleración de la gravedad igual a 9.8 m/seg2.


   De la ecuación anterior se desprenden las dos leyes del péndulo:
        1ª.- El periodo de las oscilaciones, por muy pequeñas que
    sean, no depende de la masa del péndulo ni de la amplitud del
    movimiento, sino de su longitud.
        2ª.- El periodo es directamente proporcional a la raíz cuadrada
    de la longitud del péndulo, e inversamente proporcional a la raíz
    cuadrada de la aceleración debido a la acción de la gravedad.
        La ecuación empleada para calcular el periodo de un péndulo,
    se puede deducir a partir de la figura anterior. En ella
    representamos la longitud del péndulo con l, al peso con P, a la
    masa m, y al desplazamiento con d. Como P = mg y sus dos
    componentes rectangulares son F y F’, y si además consideramos
    pequeño al ángulo θ, por lo cual los triángulos abc, y cde, son
    prácticamente iguales, tenemos lo siguiente:
   F/mg = d/l (1)
       reordenando términos: F/d = mg/l = k (2).
       De acuerdo con la ecuación 4 de la sección anterior
    sabemos que:
       T = 2 π √ m/k     (3).
       Sustituyendo 2 en 3 tenemos:

                  ______
       T=    2 π √ m/mg/l           (4)
                             ___
       Por lo tanto T = 2 π √ l/g


				
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