En �ste trabajo se desarrolla el proceso de modelado de un robot manipulador by 4C7QRN

VIEWS: 38 PAGES: 9

									     8º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERIA MECANICA
                                    Cusco, 23 al 25 de Octubre de 2007


                           MODELADO DEL ROBOT SCORBOT ER-V+

             M en C. Josué Román Martínez Mireles*, Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírezº,
                                   Dr. Luis Gerardo Vela Valdésº

  *Universidad Politécnica de Pachuca, Carr. Pachuca-CD. Sahún Km. 20, Ex-Hda. De Santa Bárbara, Zempoala,
   Hidalgo, México. ºCentro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico, interior internado Palmira S/N,
                                         Cuernavaca, Morelos, México
                                        *e-mail: jmartinez@upp.edu.mx




RESUMEN

   Uno de los principales problemas en el control de robots manipuladores es el lograr que el efector final llegue a
una posición deseada. Para la mayoría de las metodologías de control, es necesario conocer el modelo dinámico del
robot para realizar el diseño del controlador.
   En éste trabajo se desarrolla el proceso de modelado de un robot manipulador, teniendo por objeto de estudio el
robot SCORBOT ER-V+. El modelado cinemático directo se realiza por medio del algoritmo de Denavit-Hartenberg,
el modelo cinemático inverso se obtiene por métodos geométricos y el modelo dinámico se obtiene por medio de la
metodología de Euler-Lagrange.
   Los modelos cinemáticos obtenidos son validados por comparación de los resultados que se obtienen con los
resultados de una referencia externa, utilizando un conjunto de coordenadas. El modelo dinámico se valida por la
comparación con datos recabados durante el movimiento del robot, comparando los pares articulares que se
requiriere que entreguen los motores para seguir una trayectoria preseleccionada.
   Los resultados muestran que se obtiene un modelo dinámico que presenta un comportamiento muy cercano al
comportamiento del sistema real. Así como es posible observar el procedimiento de modelado de un robot de 3
grados de libertad.


PALABRAS CLAVE: Robot Manipulador, Modelo Dinámico, Modelo Cinemático.




                                                  Código 1317
INTRODUCCIÓN

   El control de robots manipuladores es un área madura dentro del control de sistemas dinámicos, sin embargo son
pocos los documentos que nos muestran como desarrollar el modelo dinámico de un robot de más de dos grados de
libertad (gdl). En el presente documento se desarrolla el modelado cinemático y dinámico de los primeros tres gdl del
robot SCORBOT ER-V+, los cuales son los encargados de posicionar al efector final.
   Al comienzo se presenta el robot SCORBOT ER-V+. Enseguida se describe el modelado cinemático directo e
inverso. Después se presenta el procedimiento de modelado dinámico del robot. A continuación se presentan los
resultados de la validación de los modelos cinemáticos y dinámicos. Para terminar se realiza un análisis del costo
computacional de la implementación de los modelos. Finalmente, se resume y presenta las conclusiones de este
trabajo.

ROBOT SCORBOT ER-V+

   En la figura 1-A se presenta al robot SCORBOT ER-V+. Este robot se encuentra en el laboratorio de Mecatrónica
del Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET).
   Los parámetros estructurales del robot SCORBOT ER-V+, de los se cuenta con su valor se enlistan a
continuación:

                 1.   Masa del i-ésimo eslabón
                       Masa del eslabón 1 (base): m1  7.1402kg
                       Masa del eslabón 2 (brazo): m2  2.2483kg
                       Masa del eslabón 3 (antebrazo): m3  1.957 kg
                 2.   Masa del efector final + carga.
                       Masa del efector final (gripper): m f  1kg
                 3.   Longitud del i-ésimo eslabón
                       Longitud del eslabón 1 (altura): l1  32 cm
                         Longitud del eslabón 2: l2  22 cm
                       Longitud del eslabón 3: l3  22 cm
                 4.   Distancia del centro de giro al centro de masas de los eslabones
                       Eslabón 1: lc1  0 cm
                         Eslabón 2: lc 2  5.2 cm
                         Eslabón 3: lc3  13.76 cm
                 5.   I i i  1, 2,3 : Momento de inercia del i-ésimo eslabón.
                         Momento de inercia del eslabón 1: I1  0.04624 kgm2
                         Momento de inercia del eslabón 2: I 2  0.02595 kgm2
                         Momento de inercia del eslabón 3: I 3  0.03616 kgm2
                 6.   i i  1, 2,3 : Angulo de giro de la i-ésima articulación.

  Los parámetros se obtuvieron en [1] por medio de modelado en el programa de diseño mecánico PRO-
ENGINEERING®, los parámetros obtenidos por este procedimiento son las masas y longitudes de los elementos.
Los valores de la ubicación del centro de masa y los momentos de inercia de los eslabones se obtienen de [2].

MODELO CINEMÁTICO

Modelado Cinemático Directo

  Para desarrollar el modelo cinemático directo, se sigue el algoritmo de Denavit-Hartenberg (DH). Como se
observa en [3]. La figura 1-B muestra el diagrama de bloques cinemáticos.
  De la figura 1-B y el algoritmo de DH se obtiene la tabla 1 que muestra los parámetros DH del robot.
                       a) Robot SCORBOT ER-V+                  b) Diagrama de bloques cinemáticos

                                          Figura 1. Robot SCORBOT ER-V+


                               Tabla 1. Parámetros DH del robot SCORBOT ER-V +

                               Eslabón       i               di                   ai         i
                                   1         1           l1 (0.364 m)             0          90°
                                   2         2                0             l2 (0.22 m)      0
                                   3         3                0             l3 (0.22 m)      0

   Con los parámetros de la tabla anterior se obtiene la matriz de transformación de cada uno de los elementos de la
cadena cinemática. Por simplicidad Ci  Cosi y Si  Seni .

                                                    C1 0 S1 0 
                                                     S 0 C 0 
                                            0
                                              A1   1      1                                                     (1)
                                                     0 1 0 l1 
                                                                
                                                     0 0 0 1
                                                 C2  S2 0 l2C2 
                                                 S     C2 0 l2 S2 
                                         1
                                           A2   2                                                               (2)
                                                 0     0 1    0 
                                                                  
                                                 0     0 0 1 
                                                  C3  S3 0 l3C3 
                                                  S    C3 0 l3 S3 
                                          2
                                            A3   3                                                              (3)
                                                  0    0 1 0 
                                                                  
                                                  0    0 0 1 

  Con las matrices anteriores, se puede obtener la matriz de transformación homogénea de la cadena cinemática
completa.

                                 C1C2  3   C1 S2  3       S1   l3C1C2 3  l2C1C2 
                                 S C          S1 S2  3    C1   l3 S1C2 3  l2 S1C2 
                             T   1 23                                                                          (4)
                                  S2  3         C2 3       0     l3 S2 3  l2 S2  l1 
                                                                                         
                                  0               0          0               1           

  La última columna de la matriz T de la Ec. (4), corresponde a las ecuaciones de la posición del efector final.

                                       px  l3C1C2C3  l3C1S2 S3  l2C1C2                                          (5)
                                       py  l3 S1C2C3  l3 S1S2 S3  l2 S1C2                                       (6)
                                                    pz  l3 S2C3  l3C2 S3  l2 S2  l1                                   (7)

    Las Ec. (5), (6) y (7) forman el modelo cinemático directo del robot SCORBOT ER-V+.

Modelo Cinemático Inverso
   Las ecuaciones que conforman el modelo cinemático inverso, se obtienen de las relaciones geométricas existentes
en la figura 2.


                                  0                             Py                       Z
                                                                          y            Pz

                                                                                                          l3
                                                          r                                              3
                                              1
                                                                                                   
                                                                                                   l2
                                 Px                                                            b    2
                                                                                       0                       r   x-y
                                      x
                                   a) Esquema superior                                     b) Esquema lateral

                  Figura 2. Esquemas de relación entre las coordenadas articulares y la posición final

    El modelo cinemático inverso esta formado por las siguientes ecuaciones:

                                                                               Py 
                                                              1  arctg                                                (8)
                                                                               Px 
                                                   Pz         P2  P2  P2  l 2  l 2                           
                          2  arctg                 arccos  x                                                  
                                                                       y    z    3     2
                                                                                                                          (9)
                                           P2  P2             2l3 Px  Py  Pz
                                                                         2    2     2                               
                                           x     y                                                               
                                                     1  cos 2                 r 2  Pz2  l22  l32
                            3  arctg                           3
                                                                        , cos3                                        (10)
                                                       cos3                            2l2 l3
                                                                      

MODELO DINÁMICO

   El modelo dinámico del robot manipulador se obtiene por medio de las ecuaciones de Euler-Lagrange [4], como
primer paso se deben obtener las energías cinéticas de los eslabones del robot manipulador. En un robot manipulador
la energía cinética se encuentra conformada por suma de la energía cinética traslacional y la energía cinética
rotacional.

                                                                       1         1
                                                      K i  q, q       mi v 2  I i 2                                 (11)
                                                                       2         2

    Enseguida, se obtienen las energías potenciales de los eslabones del robot manipulador.

                                                               U i  q   mi gh                                         (12)

   Como tercer paso se obtiene el Lagrangiano del sistema. El cual se encuentra determinado por la diferencia entre
la energía cinética total1 y la energía potencial total2.

                                                      L  q, q   K  q , q   U  q                                  (13)

1
  La energía cinética total de un robot manipulador esta determinada por la suma de las energías cinéticas de cada uno
de sus eslabones.
2
  La energía potencial total de un robot manipulador esta determinada por la suma de las energías potenciales de cada
uno de sus eslabones.
      Enseguida, se desarrolla la siguiente ecuación para cada una de las coordenadas articulares.

                                                               d  L          L
                                                                                                                                             (14)
                                                               dt  i        i

   A continuación se detalla el desarrollo del modelo dinámico del robot SCORBOT ER-V+ por medio de las
ecuaciones de Euler-Lagrange. Como primer paso se obtienen las energías cinéticas de cada uno de los eslabones.
Como el primer eslabón, solamente rota alrededor del eje z, únicamente cuenta con energía cinética rotacional.


                                                                  
                                                               K1  ,          1
                                                                                  2
                                                                                    I112                                                         (15)


      Para los siguientes eslabones las ecuaciones de sus energías cinéticas son las siguientes:


                                       
                                   K 2  ,      1
                                                   2                                        2
                                                                                              1
                                                                                                    
                                                     m2 lc 2 2 2 2  lc 2 2 cos 2  212   I 2 12   2 2
                                                                                                                                                (16)

       
K3  , 
           1
           2
                              1                       1                                                     1
              m3lc 32 2 2  m3lc3232  m3lc32 23  m3l2 2 2 2  m3l2lc3 cos  2  cos  2  3 12  m3lc3 2 cos 2  2  3 12
                              2                       2                                                     2                                     (17)
     1
                                                          1  2
                                                                  
    m3l2 cos  2 1  m3l2lc 3 cos 3  2  2  3  I 3 1   2  3                   
                                                                                    2
          2     2           2

     2                                                      2                       
                                                                                      

          1
            2
                    2 2       1
K 4  ,  m f l3  2  m f l3 3  m f l3  23  m f l2  2  m f l2l3 cos  2  cos  2  3 12  m f l32 cos 2  2  3 12
                              2
                                  2 2         2       1
                                                      2
                                                             2 2                                             1
                                                                                                             2                                    (18)
     1
    m f l2 cos  2 1  m f l2l3 cos 3  2  2  3
     2
           2     2            2
                                                                     
      Siguiendo con el proceso de modelado, se deben obtener las expresiones de las energías potenciales.

                                                                 U1    m1 gh                                                                  (19)
                                                       U 2    m2 g  h  lc 2 sen 2                                                         (20)
                                            U 3    m3 g  h  l2 sen 2  lc 3 sen  2   3                                               (21)
                                             U 4    m f g  h  l2 sen 2  l3 sen  2  3                                                (22)

      El Lagrangiano del sistema es el siguiente:


  
L  ,        1
                2
                            1
                            2                                    2
                                                                    1
                                                                                        1
                                                                                          2
                                                                                                       1
                                                                                                       2
                                                                                                                                    1
                   I112  m2 lc 2 2 2 2  lc 2 2 cos 2  212   I 2 12   2 2  m3lc 32 2 2  m3lc 32 32  m3lc 32 2 3  m3l2 2 2 2
                                                                                                                                    2
                                                    1                                 1
                                                                                      2
                                                                                                                                
       m3l2 lc 3 cos  2  cos  2  3 12  m3lc 32 cos 2  2  3 12  m3l2 2 cos 2  2 12  m3l2 lc 3 cos 3  2  2  3
                                                    2
                                                                                                                                          
        1  2
                                    1 m l 2 2  1 m l 2 2  m l 2   m l l cos   cos     2  1 m l 2 2
                                  2
       I 3 1   2  3                                                                                                                         (23)
        2                          2 f 3 2 2 f 3 3
                                                                         f 3 2 3         f 2 3      2     2     3   1          f 2  2
                                                                                                                          2
        1                                  1
                                                                                                   
       m f l32 cos 2  2  3 12  m f l2 2 cos 2  2 12  m f l2 l3 cos  3  2  2   3  m1 gh  m2 g  h  lc 2 sen 2 
        2                                  2
       m3 g  h  l2 sen 2  lc 3 sen  2  3    m f g  h  l2 sen 2  l3 sen  2  3  

   Desarrollando la Ec. (14) para cada una de las articulaciones del robot manipulador se obtienen las Ec. (24), (25) y
(26).
I11  I 21  I 31  m2 lc 2 2 cos 2  21  2m2 lc 2 2 cos  2 sen  21 2  2  m3l2 lc3  m f l2 l3  sen  2 cos  2  3 1 2
2  m3l2 lc 3  m f l2 l3  cos  2 sen  2  3 1  2  3  2  m3l2 lc3  m f l2 l3  cos  2 cos  2  3 1                     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             (24)
2  m3lc 3  m f l3  sen  2  3  cos  2  3 1  2  3   m3lc 32  m f l32  cos 2  2  3 1
                      2                   2
                                                                                                                                                            
2  m3  m f  l2 2 sen  2 cos  21 2   m3  m f  l2 2 cos 2  2 1   1

 m l  m l  m l  m l  m l    m l  m l   2  m l l  m l l  sen   
   2 c2
            2
                          3 c3
                                  2
                                                      3 2
                                                            2
                                                                                f 3
                                                                                        2
                                                                                                    f 2
                                                                                                             2
                                                                                                                       2            3 c3
                                                                                                                                                2
                                                                                                                                                                 f 3
                                                                                                                                                                         2
                                                                                                                                                                                 3                   3 2 c3                         f 2 3                                    3       2 3

  m l l  m l l  sen      m l l  m l l  sen   cos       m  m  l cos   sen  
        3 2 c3                    f 2 3                             3               3
                                                                                        2
                                                                                                        3 2 c3                  f 2 3                            2                       2           3           1
                                                                                                                                                                                                                     2
                                                                                                                                                                                                                                        3                   f        2
                                                                                                                                                                                                                                                                         2
                                                                                                                                                                                                                                                                                             2                           2       1
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     2



  m l l  m l l  cos      m l l  m l l  cos   sen        m  m  gl cos 
        3 2 c3                    f 2 3                             3               3               3 2 c3                     f 2 3                         2                       2           3           1
                                                                                                                                                                                                                 2
                                                                                                                                                                                                                                    3                   f             2                  2                                                   (25)
 m l cos  sen     m l  m l  cos     sen      2  m l l  m l l  cos  
       2 c2
              2
                              2                       2 1
                                                            2
                                                                                    3 c3
                                                                                            2
                                                                                                         f 3
                                                                                                                 2
                                                                                                                                    2               3                        2           3       1
                                                                                                                                                                                                     2
                                                                                                                                                                                                                                  3 2 c3                        f 2 3                            3           2

 I       m l  m l  g cos      m gl cos   I   
   3        2             3                   3 c3                      f 3                                  2             3            2           c2                   2           2 2                 2

m3lc 3 3  m3lc 3  2  m3l2 lc 3 sen 3  23  m f l3 3  m f l3  2  m f l2l3 sen 3  23  m f l2l3 cos 3  2
        2                             2                                                                                             2                             2


 m3l2 lc 3 cos  2  sen  2  3 12  m3l2 lc3 cos 3  2  m3lc32 cos  2  3  sen  2  3 12  m f gl3 cos  2  3 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             (26)
                                                               
 m3l2 lc 3 sen 3  2  2  3  m f l2l3 cos  2  sen  2  3 12  m f l32 cos  2  3  sen  2  3 12
 m l l sen   
       f 2 3                      3           2         2       m gl3                   3       c3   cos  2  3   I 3  2  3   3                                   
   Las Ec. (24), (25) y (26) forman el modelo dinámico del robot manipulador SCORBOT ER-V+. El modelo
formado por las ecuaciones anteriores puede descomponerse en la siguiente forma:

                                                                                                                 M     C  ,   g                                                                                                                                                                                              (27)

   A continuación se enlistan los elementos que componen a las matrices de la Ec. (27).

M11    m2lc 2 2 cos2 2  2m3l2lc3 cos 2 cos 2  3    m3lc32  m f l32  cos2 2  3    m3  m f  l2 2 cos2  2 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             (28)
2m f l2l3 cos 2 cos  2  3   I1  I 2  I 3
                                                                                                                                         M12    0                                                                                                                                                                                        (29)
                                                                                                                                         M13    0                                                                                                                                                                                        (30)
                                                                                                                                         M 21    0                                                                                                                                                                                       (31)
                      M 22    m2lc 2  I 2  m3lc 3  m3l2  2m3l2lc3 cos 3  I3  m f l3  m f l2  2m f l2 l3 cos 3 
                                                                    2                                        2                  2                                                                                     2                         2
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             (32)
                                                                        M 23    m3lc 3  m3l2lc3 cos 3  I 3  m f l3  m f l2l3 cos 3
                                                                                                                       2                                                                         2
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             (33)
                                                                                                                                         M 31    0                                                                                                                                                                                       (34)
                                                                        M 32    m3lc3  m3l2 lc3 cos 3  m f l3  m f l2 l3 cos 3  I3
                                                                                                                       2                                                              2
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             (35)
                                                                                                                       M 33    m3lc 3  m f l3  I 3         2                   2
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             (36)
             
  C11  ,    m3l2lc 3  m f l2l3  sen  2 cos  2  3  2   m3l2lc3  m f l2l3  cos  2 sen  2  3   2  3                                                                                                                                                                                     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             (37)
                                                         
    m3lc 32  m f l32  sen  2  3  cos  2  3   2  3   m3  m f  l2 2 sen  2 cos  2 2  m2 lc 2 2 cos  2 sen  2 2
   C  ,     m  m  l sen  cos     m l l  m l l  sen  cos      m l cos  sen  
       12                                         3             f               2
                                                                                    2
                                                                                                    2                  2 1               3 2 c3                          f 2 3                   2                            2             3           1                2 c2
                                                                                                                                                                                                                                                                                 2
                                                                                                                                                                                                                                                                                                     2                   2 1
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             (38)
     m l l  m l l  cos  sen       m l  m l  sen     cos    
              3 2 c3                      f 2 3                             2                   2                3      1               3 c3
                                                                                                                                                2
                                                                                                                                                                 f 3
                                                                                                                                                                         2
                                                                                                                                                                                             2               3                          2               3         1

       C  ,      m l l  m l l  cos  sen        m l  m l  sen     cos    
                13                                          3 2 c3                          f 2 3                          2                2            3           1               3 c3
                                                                                                                                                                                             2
                                                                                                                                                                                                                 f 3
                                                                                                                                                                                                                         2
                                                                                                                                                                                                                                                    2            3                       2               3           1                       (39)
C  ,   m l cos  sen     m l l  m l l  cos   sen       m  m  l cos   sen  
  21                                  2 c2
                                                  2
                                                                    2                       2 1                      3 2 c3             f 2 3                                2                   2                3           1                 3                f           2
                                                                                                                                                                                                                                                                                 2
                                                                                                                                                                                                                                                                                                     2                       2           1
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             (40)
  m l  m l  cos     sen       m l l  m l l  sen   cos    
        3 c3
                  2
                              f 3
                                      2
                                                                2                   3                    2             3       1                3 2 c3                       f 2 3                           2                       2                  3        1

                                    C  ,      m l l  m l l  sen                            22                                      3 2 c3                       f 2 3                           3            3                                                                                                                  (41)
                                                    
                      C23  ,     m3l2 lc 3  m f l2 l3  sen 3  2   m3l2lc 3  m f l2l3  sen 3 3                                                            (42)

               
      C31  ,    m3l2lc 3  m f l2l3  cos  2  sen  2   3 1   m3lc 3  m f l3  cos  2  3  sen  2  3 1
                                                                                                                            2           2
                                                                                                                                                                            (43)

                                                                            
                                                         C32  ,    m3l2 lc 3  m f l2l3  sen  3   2   3                                                        (44)

                                                                                
                                                              C33  ,     m3l2 lc 3  m f l2 l3  sen 3  2                                                          (45)
                                                                                             g1    0                                                                    (46)
                    g 2    m2 glc 2 cos  2   m3  m f  gl2 cos  2   m3lc 3  m f l3  g cos  2  3                                                           (47)
                                                                   g3     m3lc 3  m f l3  g cos  2  3                                                           (48)

VALIDACIÓN DE LOS MODELOS

   La validación de los modelos cinemáticos se llevo a cabo con una comparación de los modelos obtenidos contra
los modelos que se encuentran en [1]. Se obtuvo un resultado satisfactorio al no existir diferencias en la ubicación
del efector final.
   La validación del modelo dinámico se realizó por medio de la comparación (en simulación) del modelo obtenido
con el programa del Apéndice C de [5].
   La simulación para la validación del modelo dinámico se compone del seguimiento de la trayectoria:

                                                                               2                                     
                                                                                                                                    T
                                                                                                                              
                                                                    q t        t                         t2            t2                                               (49)
                                                                              400                   400                400  

   La figura 3 muestra la gráfica de la diferencia entre los pares requeridos de cada uno de los modelos para seguir la
trayectoria seleccionada.
   Como se ve, no existe diferencia entre la respuesta de los dos modelos.



                                                  -15
                                           x 10                              Diferencia entre las respuestas de los modelos para el robot SCORBOT ER-V+
                                      2

                                      1
                           Tao1,Nm




                                      0

                                      -1

                                      -2
                                           0             20             40             60           80            100           120         140           160   180   200

                                                  -15
                                           x 10
                                      5


                                      0
                       Tao2,Nm




                                      -5


                                     -10
                                           0             20             40             60           80            100           120         140           160   180   200

                                               -15
                                           x 10
                                      4


                                      2
                           Tao3,Nm




                                      0


                                      -2
                                        0                20             40             60           80           100            120         140           160   180   200
                                                                                                             Tiempo (seg)



                                                  Figura 3. Grafica de la diferencia de la respuesta de los modelos.

COSTO COMPUTACIONAL

  Los modelos dinámicos de robots de más de 2 gdl presentan una gran complejidad, por lo cual es importante
considerar los costos computacionales.
   En [6] se encuentran las formulas para calcular el número de operaciones requeridas para obtener el modelo
dinámico de un robot manipulador por la formulación de Newton-Euler.

                                                126n  99                                                       (50)
                                                106n  92                                                       (51)

   La Ec. (50) nos muestra el número de multiplicaciones y la Ec. (51) nos muestra el número de sumas que son
requeridas por la formulación Newton-Euler.
   Para la formulación de Euler-Lagrange (iterativa) las fórmulas son las siguientes:

                                     32n4  86n3  171n2  53n 128                                             (52)
                                     25n4  66n3  129n2  42n  96                                             (53)

   Las Ec. (52) y (53) nos dan el número de multiplicaciones y sumas para obtener el modelo dinámico por medio
de la formulación iterativa de Newton-Euler.
   Como se ve por simple inspección de las Ec. (50) a (53), la formulación de Newton-Euler es mucho más eficiente.
Para nuestro modelo dinámico que utiliza la formulación de Euler-Lagrange (cerrada) no se cuenta con una fórmula
para determinar la cantidad de cálculo. La tabla 2 nos muestra los cálculos necesarios para obtener el modelo
dinámico del robot SCORBOT ER-V+.


            Tabla 2. Operaciones para la evaluación del modelo dinámico del robot SCORBOT ER-V +

                                 Formulación          Multiplicaciones    Sumas     Total
                                Newton-Euler                279             226      505
                           Euler-Lagrange iterativa        6484            6498     12982
                           Euler-Lagrange cerrada           303             101      404

   Como se ve, a través de los números presentados en la tabla 2 el modelo dinámico obtenido por la formulación
cerrada requiere un número menor de cálculos.

SUMARIO Y CONCLUSIONES

   En el presente documento se presenta el desarrollo del modelado cinemático y modelado dinámico de los tres
primeros gdl del robot SCORBOT ER-V+. El modelo dinámico se obtuvo por la formulación de Euler-Lagrange.
Los modelos obtenidos en el documento fueron validados por comparación con trabajos de referencia.
   El proceso de modelado cinemático de la posición es sencillo, lo más complicado que se tiene que realizar es la
multiplicación de las matrices de transformación para cada eslabón. El modelado dinámico de un robot manipulador
por medio de la formulación de Euler-Lagrange cerrada es un proceso sistemático, sencillo de realizar y se obtiene
los mismos elementos que formulaciones iterativas.
   Dependiendo de la estructura del robot manipulador la formulación cerrada del modelo dinámico presenta un
menor costo computacional en comparación con las formulaciones iterativas. Si se requiere saber con exactitud el
numero de cálculos que se tienen que realizar para evaluar el modelo dinámico de un robot manipulador la
formulación iterativa de Newton-Euler representa la opción elegir, esto es, porque tiene un numero fijo de cálculos a
realizar sin importar la estructura del robot manipulador, y porque el número de cálculos es menor a la formulación
de Euler-Lagrange iterativa.

AGRADECIMIENTOS

   Al CENIDET por contar con sus instalaciones para este proyecto. A COSNET por el apoyo brindado a este
proyecto.

REFERENCIAS

1.   S. Abdala y R. Ñeco. Caracterización de un robot manipulador articulado, Tesis de Maestría, Centro Nacional
     de Investigación y Desarrollo Tecnológico, Cuernavaca, Morelos, México, 2003.
2.           J. R. Martínez, Controladores de Robots Rígidos: Un Análisis Comparativo de las Metodologías de Control
             Clásico, Adaptable y Robusto Basadas en el Método de Lyapunov, Tesis de Maestría, Centro Nacional de
             Investigación y Desarrollo Tecnológico, Cuernavaca, Morelos, México, 2006.
3.           A. Barrientos, et al., Fundamentos de Robótica, Mc Graw-Hill, España, 1999.
4.           R. Kelly y V. Santibáñez, Control de Movimiento de Robots Manipuladores, Pearson Educación, España, 2003
5.           R. I. Madrigal y E. Vidal, Robots Industriales Manipuladores, Alfaomega, México, 2004.
6.           J. J. Craig. Introduction to Robotics: Mechanics and Control. Pearson, Estados Unidos, 2006

UNIDADES Y NOMENCLATURA

mi                       masa del i-ésimo eslabón (Kg)
li                       longitud del i-ésimo eslabón (m)
lci                      distancia del centro de masas al eje de giro (m)
Ii                       momento de inercia del i-ésimo eslabón (Kg m2)
i                       ángulo de giro de la i-ésima articulación (rad)
di                       parámetro de DH para el desplazamiento sobre el eje Z (m)
ai                       parámetro de DH para el desplazamiento sobre el eje X (m)
i                       parámetro de DH para el giro alrededor del eje X (m)
Ci                       coseno del ángulo de desplazamiento de la i-ésima articulación (adimensional)
Si                       seno del ángulo de desplazamiento de la i-ésima articulación (adimensional)
i 1
       Ai                matriz de transformación del i-ésimo eslabón (adimensional)
T                        matriz de transformación de la cadena cinemática completa (adimensional)
px                       coordenada sobre el eje X de la ubicación del efector final (m)
py                       coordenada sobre el eje Y de la ubicación del efector final (m)
pz                       coordenada sobre el eje Z de la ubicación del efector final (m)
r                        proyección del segundo y tercer eslabón sobre el plano XY (m)
i                       i-ésima velocidad articular (rad/s)
K i  ,               energía cinética del i-ésimo eslabón (J)
U i                   energía potencial del i-ésimo eslabón (J)
     
L  ,                  Lagrangiano del robot manipulador (J)
                        vector de pares de entrada (N m)
i                       i-ésima aceleración articular (rad/s2)
                        vector de coordenadas articulares (adimensional)
                        vector de velocidades articulares (adimensional)
                        vector de aceleraciones articulares (adimensional)
M                     matriz de elementos de inercia del robot manipulador (adimensional)
     
C  ,                  matriz de elementos de fuerzas centrífugas y de coriolis del robot manipulador (adimensional)
g                     vector de pares gravitacionales del robot manipulador (adimensional)
q t                    vector de trayectorias deseadas (rad)
n                        número de grados de libertad (adimensional)
M ij                  elemento del i-ésimo renglón e i-ésima columna de la matriz de inercias (adimensional)
Cij  ,               elemento del i-ésimo renglón e i-ésima columna de la matriz de fuerzas centrifugas y de coriolis
                         (adimensional)
gi                    i-ésimo elemento del vector de pares gravitacionales (adimensional)

								
To top