Himpunan

					                TEORI HIMPUNAN
                   SMTS 1101 / 3SKS




            LOGIKA MATEMATIKA




                          Disusun Oleh :

                     Dra. Noeryanti, M.Si



_______________________________________________ 87
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                                                            Dra. Noeryanti, M.Si




                                                 DAFTAR ISI


    Cover pokok bahasan                     ..................................................................      87
    Daftar isi            .....................................................................................     88
    Judul Pokok Bahasan .........................................................................                   89
    4.1. Pengantar ....................................................................................             89
    4.2. Kompetensi ..................................................................................              89
    4.3. Uraian Materi                      .................................................................       89
           4.3.1 Cara Menulis Himpunan                         ...............................................      90
           4.3.2 Macam-macam Himpunan                             ............................................      91
           4.3.3. Operasi-operasi Himpunan .............................................                            95
                     a. Gabungan                ..............................................................      95
                     b. Irisan                 ...............................................................      96
                     c. Komplemen                   .........................................................       97
                     d. Selisih                     ........................................................        98
                     e. Selisih simetris                 ....................................................       98
           4.3.4 Hukum-hukum Aljabar Himpunan..................................                                     98
           4.3.5. Pergandaan Himpunan                        ................................................       100
           4.3.6 Keluarga Himpunan ........................................................                         102
           4.3.7. Partisi (penggolongan) .....................................................                      103
    Rangkuman             ....................................................................................      104
    Soal-penyelesaian                       .................................................................       107
    Soal-soal latihan             .............................................................................     113




______________________________________________ 88
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                        TEORI HIMPUNAN




                                  TEORI HIMPUNAN


4.1   Pengantar
               Setelah mahasiswa mempelajari tentang materi pokok proposisi di bab
      sebelumnya, diharapkan mampu menggunakanya dalam pembahasan di modul ini.
      Disisni akan membahas tentang konsep-konsep dasar teori himpunan yang sering
      digunakan di bidang lain.


4.2   Kompetensi
               Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan:
      a. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori himpunan secara benar.
      b. Mampu melakukan hitungan-hitungan dalam operasi-operasi himpunan antara
          lain gabungan, irisan, komplemen, selisih, pergandaan himpunan, dan partisi.
      c. Terampil dalam mengerjakan soal-soal kuis / latihan.


4.3   Uraian Materi

               Dalam upaya untuk melakukan pengamatan, pengumpulan, penghimpunan,
      atau pemisahan (mengklasifikasikan) dari suatu obyek-obyek menurut sifatnya, perlu
      adanya pengertian tentang himpunan. Menghimpun adalah suatu kegiatan yang
      berhubungan dengan berbagai obyek dan mempunyai suatu sifat yang dimiliki
      bersama. Jadi himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat
      tertentu dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan ini dapat berupa daftar, koleksi atau
      kelas. Sedangkan obyek-obyek dalam kumpulan dapat berupa benda, orang,
      bilangan-bilangan atau huruf. Obyek-obyek ini disebut anggota, unsur atau elemen
      dari himpunan tersebut. Karena obyek-obyek dalam himpunan telah didefisnisikan
      secara jelas, sehingga dapat dibedakan obyek mana yang menjadi anggota dan
      obyek mana yang bukan menjadi anggota.

      Contoh (4.1):

           1. Himpuanan semua huruf hidup dari abjad, yaitu a, i, u, e, o

                                                                    2
           2. Himpuanan semua bilangan riel x yang memenuhi x − 3 x − 4 = 0

  ______________________________________________ 89
 MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                      Dra. Noeryanti, M.Si




        3. Himpunan semua bilangan genap, yaitu 0, ± 2, ± 6, ± 8, . . . . .

                                                              2
        4. Himpunan semua bilangan riel x yang memenuhi x + 3 = 0

             Himpunan-himpunan yang akan dibahas disini kita beri simbol dengan huruf
  besar dari abjad : A, B, C, ..….,K, L, M,……. ,X ,Y, Z. Sedangkan anggota-anggota
  dari himpunanya ditulis dengan huruf kecil a, b, …….. x, y, ….. dan seterusnya.

         Jika x anggota dari himpunan A, maka dinyatakan x ∈ A. Dan jika x bukan
  anggota dari himpunan A, maka ditulis x ∉ A.


  4.3.1. Cara Penulisan Himpunan
             Untuk menuliskan atau menyatakan himpunan seperti pada contoh-contoh
  di atas diraskan sangat bertele-tele tidak singkat. Oleh karena itu diperlukan cara
  menuliskan secara matematis, singkat dan jelas. Di dalam konsep teori himpunan,
  ada tiga cara dalam penulisan himpunan antara lain:
   1.   Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung
        kurawal.
        Contoh (4.2):
        a.     A = { a, b, c, x, k } artinya
                   A merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah
                   a, b, c, x, dan k.
        b.    B = {Niken, Aisya, Aji} artinya
                   B merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah
                   Niken, Aisya dan Aji.
        c. C adalah himpunan semua bilangan x yang memenuhi x2 – 3x – 4 = 0
                 Jadi C = {-1, 4}

   2.    Dengan cara menyebut sifat-sifat yang dimiliki setiap anggotanya.

        Contoh (4.3):
             D = himpunan bilangan riil.
             E = himpunan orang-orang asing.

   3.    Dengan menyatakan syarat keanggotaannya.

______________________________________________ 90
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                               TEORI HIMPUNAN




             Contoh (4.4):
               F = {x / x adalah bilangan riil}
               G = {x / x adalah orang asing}


   4.3.2.    Macam-macam Himpunan.

               Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya,
   himpunan terbagi menjadi beberapa macam :

   1.       Himpunan kosong (himpunan hampa)

               Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.
   Sering dinyatakan sebagai ∅ atau { }.

   Contoh (4.5) :

        Himpunan semua bilangan riil x yang memenuhi x 2 + 3 = 0
               Atau

                H = {x / x = bilanganriil, x 2 + 3 = 0}
               ditulis H = ∅

   2.       Himpunan Semesta


              Himpunan semesta adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas
   semua obyek yang sedang dibicarakan. Biasanya ditulis S atau U (singkatan dari
   Universal).

   Contoh (4.6):
        S = { 5, 7, -4, 9}, A = {7, 9}
        Dikatakan

        S merupakan semesta dari himpunan A.


   3.       Himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga (infinit).

              Himpunan dikatakan berhingga jika ia mempunyai anggota-anggota yang
   banyaknya berhingga. Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan
   tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga.


______________________________________________ 91
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                      Dra. Noeryanti, M.Si




  Contoh (4.7):
           a. H = {x / x = himpunan bilangan-bilangan bulat positif } = {1, 2, 3, ……}
                 H disebut himpunan tak berhingga.
           b. K = { Ani, Joko, Tuti}
                 K disebut himpunan berhingga.

  4.    Himpunan Bagian (Subset).
           Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis “
  A ⊆ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
  Dinyatakan dengan simbol : A ⊆ B jika dan hanya jika (∀x) x∈A → x ∈ B.

    Contoh (4.8) :

       Misal A = {x /x = bilangan bulat positif } dan B = {x /x = bilangan riil}

       maka       A⊆B
       Sebab setiap elemen dalam A merupakan elemen dalam B, tetapi tidak
       sebaliknya.


  Teorema (4.1):
               “Himpunan kosong ∅ merupakan himpunan bagian setiap himpunan” atau
  ditulis sebagai ∅ ⊆ H. ( dimana H adalah sembarang himpunan)
   Artinya :

                ∀x x ∈ φ → x ∈ H . Implikasi ini bernilai benar. Dimana anteseden salah
                dan konsekuennya benar.

  Bukti : [Teorema 4.1]
        Akan ditunjukkan : ∅ ⊆ H. menggunakan Reductio Ad Absurdum
        Andaikan himpunan ∅ bukan himpunan bagian dari H,

        ditulis ∅ ⊄ H atau ∅ ⊆ H

        Diturunkan menjadi:

                      ∅⊆H      ↔    ∀x x ∈ ∅ → x ∈ H

                               ↔ ∃x x ∈ ∅ ⇒ x ∈ H


______________________________________________ 92
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                     TEORI HIMPUNAN




                                  ↔ ∃x x ∈ ∅ . ∧ . x ∈ H

                                  ↔ ∃x x ∈ ∅ .∧ . x ∉ H          ( mustahil )

        Karena himpunan kosong ∅ tidak mempunyai anggota, maka kalimat terakhir
        ini bernilai salah.
        Pengandaian harus diingkar Yaitu himpunan kosong merupakan himpunan
        bagian dari setiap himpunan dinyatakan ∅ ⊆ H.
        Jadi terbukti bahwa himpunan kosong ∅ merupakan himpunan bagian setiap
        himpunan.

   Contoh (4.9):

            Misal : A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3, 4, 7, 9}
           Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himunan B


   5. Kesamaan Himpunan.

           Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis “ A = B ”, jika dan hanya jika
   A ⊆ B dan B ⊆ A. Dinyatakan dengan simbol

                    A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A

                    A=B ↔         (∀x, x ∈ A → x ∈ B) .∧. (∀x, x ∈ B → x ∈ A)

   Akibat adanya definisi kesamaan dua himpunan ini, maka

   a). A ⊂ B apabila A merupakan himpunan bagian murni dari B.

       artiya A himpunan bagian dari b tetapi A ≠ B

   b). A ⊆ B apabila A merupakan himpunan bagian dari B.


                                     U                                          U


                A             B                                A=B




               A⊂B ,A≠B                                        A=B

______________________________________________ 93
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                           Dra. Noeryanti, M.Si




  Contoh (4.10) :

         Misalkan A = {a, b, c, d}, B = { c, b, a, d}, dan C={ a,b, b, a, c, d}

         A, B dan C adalah himpunan – himpunan yang sama

         Yaitu A = B = C


  6.   Himpunan Berpotongan.

           Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis “A ∝ B” jika dan
  hanya jika ada anggota A yang menjadi anggota B.


  Contoh (4.11):

          Misalkan himpunan A = {3, 4, 5, 6} dan B = {2, 5, 8}

          A dan B adalah dua himpunan yang saling berpotongan.



  7.   Himpunan Lepas

           Dua himpunan A dan B dikatakan lepas ditulis “A // B” jika dan hanya jika
  kedua himpunan tersebut tidak kosong dan tidak mempunyai anggota yang sama.

  Contoh (4.12):

       Misalnya A = {x /x = bilangan bulat positif}

       B = {x /x = bilangan bulat negatif}

       Maka A dan B merupakan dua himpunan yang saling lepas.



           Telah dikemukakan diatas bahwa anggota dari suatu himpunan itu dapat
  berupa obyek apa saja. Jadi dapat terjadi bahwa anggota suatu himpunan adalah
  himpunan. Agar istilah yang digunakan tidak membingungkan, maka himpunan yang
  mempunyai anggota himpunan ini kita namakan Famili himpunan. Diberi notasi
  huruf besar latin:   A, B,C,D, .....


______________________________________________ 94
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                       TEORI HIMPUNAN




   Contoh (4.13):

         a. Misalkan    A     = {{2,5}, {3},{4,6}}, maka   A   adalah suatu famili himpunan

            dengan anggota-anggotanya adalah {2,5}, {3}, dan {4,6}

         b. Pandang himpunan B = {1,3}, 2 ,{4,6,8},{5}, 7}. Himpunan B ini bukan suatu

            famili himpunan karena 2 dan 7 bukan himpunan.

   Contoh (4.13):

              Misalkan A suatu himpunan. Famili semua himpunan bagian dari A ditulis
   P(A). Jika A = {a, b, c, d} tentukan P(A)

   Jawab:

   Himpunan-himpunan bagian dari A adalah:

         ∅, {a}, {b}, {c}, {d},

         {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d},

         {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d},

         {a,b,c,d}      ada 16 anggota

   Jadi P(A)= {∅, {a}, {b}, {c}, {d},{a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d},{a,b,c}, {a,b,d},
         {a,c,d}, {b,c,d}, {a,b,c,d}}

   Catatan:

   Jika A suatu himpunan dengan n-anggota, maka famili dari A ditulis P(A) dengan
                                  n
   jumlah anggotanya ada 2 .

                                                     n     4
   Untuk contoh (4.13), n = 4 sehingga P(A) = 2 = 2 = 16



  4.3.3. Operasi-Operasi Dalam Himpunan.


    1.    Gabungan ( Union ).

             Gabungan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ∪ B”, adalah
   himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A, atau anggota B, atau
   sekaligus kedua-keduanya. Atau A ∪ B didefinisikan sebagai :

______________________________________________ 95
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                       Dra. Noeryanti, M.Si




           (A ∪ B) = {x / x ∈ A .∨. x ∈ B}
           atau                                                    A
                                                                               B
           x∈( A ∪ B ) ↔ ∀x x ∈ A .∨. x ∈ B


                                                   A∪B
   Diagram venn untuk A ∪ B adalah suatu daerah yang diberi tanda

  Contoh (4.14):
          Misalkan A = { a, b, c } dan B = { b, c, d, e }
           A ∪ B = { a, b, c, d, e }
          B ∪ A = { a, b, c, d, e }
       Kesimpulan A ∪ B = B ∪ A = { a, b, c, d, e }
         A ∪ A = A dan B ∪ B = B



  2.   Irisan ( Intersection )

          Irisan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ∩ B”, adalah himpunan
   yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A dan sekaligus anggota B.
   didefinikan sebagai:

          (A ∩ B) = {x / x ∈ A.∧. x ∈ B}.
                                                            A
           atau                                                          B

          x∈( A ∩ B ) ↔ ∀x x ∈ A .∧. x ∈ B

                                                    A ∩B
   Diagram venn A ∩ B digambarkan sebagai daerah yan diarsir (ditengah)




            A               B                       A              B




           A ∩B= ∅                                      A ∩ B ≠∅

______________________________________________ 96
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                          TEORI HIMPUNAN




   Contoh (4.15):

              Misalkan A ={ a, b, c } , B = { b, c, d, e } dan C = {a,b,c,e,f}
               A ∩ B = { b, c }
               B ∩ A = { b, c }
               B ∩ C = {b, c, e}
              (A ∩ B) ∩ C = { b, c }
              A ∩ (B ∩ C) = { b, c }
              Kesimpulan
                        1.    A ∩ A = A dan B ∩ B = B
                        2.   A∩ B = B∩ A
                        3. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)



  3.     Komplemen.

                Komplemen dari himpunan A ditulis Ac atau Al adalah himpunan yang

       anggota-anggotanya dalam semesta (S) yang bukan anggota A. Atau                 Ac
       didefinisikan sebagai :



               A c = {x /x ∉ A ∧ x ∈ S }                                               S
               atau                                                              A

               x ∈ A c ↔ (∀x) x ∉ A

                                                                  Ac


   Contoh (4.16):

               Misalkan S = { a, b, c, d, e, f, g, h } dan A = { b, d, e, h }

                A c = { a, c, f, g }




______________________________________________ 97
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                           Dra. Noeryanti, M.Si




    4.   Selisih Dua Himpunan

            Selisih dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A – B” atau “A ∩ Bc ” adalah
   himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A dan bukan anggota.
   Atau A – B didefinikan sebagai:

                 A – B = { x /x ∈ A ∧ x ∉ B}
                                                                               B
                                                                   A
                     = {x /x ∈ A ∧ x ∈ Bc }

                               c
                     = A∩ B
                                                            A −B

    Contoh (4.17):

             Misalkan A = { a, b, c, d, e } dan B = { b, d, e, g, h }
                  A – B = { a, c }

                 B – A = { b, c }

             Kesimpulan: umumnya: A – B ≠ B – A



    5.   Jumlah Dua Himpunan (Selisih Simetri)

            Jumlah dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ⊕ B” adalah himpunan
   yang anggota-anggotanya terdiri atas           anggota A yang bukan anggota B dan
   anggota B yang bukan anggota A. Atau A ⊕ B didefinikan sebagai :

          A ⊕ B = {x / x ∈ (A – B) .∨. x ∈ (B – A)}

         atau

          A ⊕ B = {x/x ∈ (A ∪ B) .∧. x ∉ (B ∩ A)}

          A ⊕ B = (A ∪ B) − (A ∩ B)

                                                                 A ⊕B

         Contoh (4.18):

             Misalkan A = { a, b, c, d, e } dan B = { b, d, e, f, g, h }
             A ∪ B = { a, b, c, d, e, f, g, h }

______________________________________________ 98
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                  TEORI HIMPUNAN




           A ∩ B = { b, d, e }

           A ⊕ B = { a, c, f, g, h }

           B ⊕ A = { a, c, f, g, h }

           Kesimpulan A ⊕ B = B ⊕ A



  4.3.4. Hukum-hukum Aljabar Hipunan

     1. Hukum Idempoten: a. A ∪ A = A            b. A ∩ A = A
     2. Hukum Assosiatif :       a. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

                                 b. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

     3. Hukum Komulatif: a. A ∪ B = B ∪ A
                              b. A ∩ B = B ∩ A

     4. Hukum Distributif :    a. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

                                 b. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

                                 c. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

                                 d. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

     5. Hukum identitas: a. A ∪ ∅ = A          b. A ∩ S = A

     6. Hukum identitas:               a. A ∪ S = S       b. A ∩ ∅ = ∅

                                                                  c
     7. Hukum Komplemen:         a. A ∪ A c = S           b. A ∩ A = ∅
                                                                     c
     8. Hukum Komplemen:         a. (Ac )c = A        b. Sc = ∅ dan ∅ = S

                                           c   c   c
     9. Hukum De Morgan:         a. (A ∪ B) = A ∩ B

                                           c     c    c
                              b. (A ∩ B) = A ∪ B




______________________________________________ 99
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                            Dra. Noeryanti, M.Si




4.3.5. Pergandaan Himpunan

              Secara intuitif, pasangan (x,y) dikatakan pasangan terurut, atau berurutan
    dengan x dikatakan urutan pertama dan y urutan kedua.

              Dua pasangan terurut (a, b) dan (c, d) dikatakan sama jika hanya jika a = c
    dan b = d. Dapat ditulis sebagai :

                                   (a, b) = (c, d) ↔   a = c . ∧ . b = d.

              Dapat diperluas menjadi n–pasangan terurut yaitu :

              (a1, a2, ….., an) = (b1, b2, ... bn) ↔   ai = bi, untuk i = 1, 2, …..n.

    Contoh (4.17):

         1)      (2, 5) dan (5, 2) merupakan dua pasangan yang berbeda.
         2)      Setiap titik-titik pada koordinat kartesius menyetakan pasangan terurut
                 dari bilangan-bilangan riil.
         3)      Himpunan {3, 2, 7} bukan pasangan terurut, sebab 3, 2 dan 7 tidak
                 mempunyai urutan.



    Definisi: [Pergandaan Kartesius]

              Jika A dan B sembarang himpunan, maka perkalian dua himpuan A dan B
    ditulis A x B adalah himpunan dari semua pasangan terurut berbentuk (x,y) dengan
    x ∈ A     dan y ∈ B . Perkalian ini juga disebut “pergandaan Kartesius (Cartesian
    product)”

              Secara matematis dinyatakan sebagai:


                       {
                A x B = (x,y) / x ∈ A ∧ y ∈ B   }
              Atau
                  (x, y) ∈ A x B ↔ ∀(x, y) x ∈ A .∧. y ∈ B




 ______________________________________________ 100
 MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                          TEORI HIMPUNAN




    •   Jika himpunan A mempunyai n-anggota dan himpunan B mempunyai m-
        anggota maka perkalian himpunan A x B mempunyai (nxm) anggota

    •   Jika A dan B adalah dua himpunan kosong, maka A x B adalah himpunan
        kosong, yaitu A = ∅ atau B = ∅,          maka A x B = ∅.

    •   Jika H adalah suatu himpunan yang tidak kosong, maka hasil ganda terhadap
                                                       2
        dirinya sendiri dinyatakan sebagai A x A atau A .



   Contoh (4.18):

         Misalkan H = {1, 3, 7},

         maka

        H x H = {(1,1), (1,3), (1,7), (3,1), (3,3), (3,7), (7,1), (7,3), (7,7)}

        Diagram koordinatnya sbb: :

                              y

                          7




                          3


                          1
                                                             x
                          0       1    3              7


                              Diagram Koordinat H x H


    •   Pada umumnya pergandaan himpunan tidak mempunyai sifat kumutatif yaitu
        A x B ≠ B x A.


   Contoh (4.19):


         Ambil H = {a, b} dan K = {c, d}

        maka


______________________________________________ 101
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                              Dra. Noeryanti, M.Si




        H x K = {(a, c), (a, d), (b, c), (b ,d)} dan
        K x H = {(c, a), (c, b), (d, a), (d, b)}
        Karena (a, c) ≠ (c, a), (a, d) ≠ (d, a), (b, c) ≠ (c, b) dan (b, d) ≠ (d, b)
        maka (H x K) ≠ (K x H)


 4.3.5. Keluarga Himpunan , Hipunan Kuasa dan Himpunan Indeks



   1.   Keluarga himpunan

        Yang dimaksud keluarga himpunan adalah himpunan dimana obyek-obyeknya
        terdiri atas himpunan-himpunan. Biasanya dinyatakan dengan huruf skrip
        (Script Letter) seperti A, B, ….. dan seterusnya, atau dapat juga dengan huruf
        besar biasa.

        Contoh(4.20) :

                    A = { {2}, {a}, {1,3} }

                    B = {{1,3},{2},{2,3,5},{6,79}}



   2.   Himpunan kuasa ,

                                                                            A
        Yang dimaksud himpunan kuasa dari himpunan A ditulis 2                  adalah keluarga

        himpunan yang obyek-obyeknya terdiri atas himpunan bagian (subset) dari A.

        Contoh(4.21) :

              Misalkan A = {a, b}, maka
                                       A
              Himpunan kuasa dari A = 2 = { ∅, {a}, {b}, {a, b} }

              Dengan banyakanggota nya = n(A) = n(2A) = 22 = 4 anggota.



   3.   Himpunan indeks


        Yang dimaksud himpunan indeks ditulis I adalah himpunan yang terdiri atas
        indeks-indeks.

______________________________________________ 102
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                           TEORI HIMPUNAN




        Contoh (4.22) :

            1. Misalkan I = {1, 2, 3,…..}

               Maka

               IHi     = H1 ∩ H2 ∩ ........ adalah keluarga himpunan
               i∈I

               UHi     = H1 ∪ H2 ∪ ......        adalah keluarga himpunan
               i∈I
           2. Misalkan I = { α, β, χ, …..}
               Maka

              I Hi    = Hα ∩ Hβ ∩ ......... adalah keluarga himpunan
              i∈I

              U Hi    = Hα ∪ Hβ ∪ ........ adalah keluarga himpunan
              i∈I



  4.3.6. Partisi ( penggolongan )

            Suatu partisi pada himpunan X                adalah suatu cara untuk membagi
   himpunan X menjadi beberapa himpunan bagian yang saling lepas, dan gabungan
   dari himpunan-himpunan bagian tersebut sama dengan X. Himpunan bagian pada
   suatu partisi     disebut “sel” ( katakan A i = sel; i = 1, 2,....m ).      Jadi koleksi dari

   himpunan-himpunan bagian X            yaitu    X = {A1 , A 2 ,....., A m } disebut suatu partisi
   atau penggolongan jika memenuhi syarat :


                                                                UA
                                                                m

               (1)     X = A1 ∪ A 2 ∪ ....... ∪ A m =                  i
                                                                i =1

               (2)    Ai ∩ Aj = ∅; untuk setiap A i ≠ A j

   Contoh (4.23):

            Misalkan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

            Perhatikan kelas-kelas pada himpunan bagian X.

            (i) {{1, 3, 5}, {2, 5}, {4, 8, 9}}
            (ii) {{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {5, 7, 9}}

______________________________________________ 103
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                           Dra. Noeryanti, M.Si




             (iii) {{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7, 9}}
             maka

             (i) . Bukan partisi dari X, sebab 7∈ X , tetapi 7 tidak termasuk pada
                   suatu sel.

             (ii). Bukan partisi dari X, sebab 5∈X dan 5∈{1, 3, 5}sekaligus 5∈{5, 7, 9}
             (iii). Prtisi dari X, sebab X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}



 Rangkuman
  1.   Himpunan-himpunan diberi simbol dengan huruf besar dari abjad : A, B, C,
       ..….,K, L, M,……. ,X ,Y, Z. Sedangkan anggota-anggotanya ditulis dengan huruf
       kecil a, b, …….. x, y, ….. dan seterusnya.

  2.   Ada tiga cara dalam penulisan himpunan antara lain:
        a.    Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda
              kurung kurawal.

        b. Dengan cara menyebut sifat-sifat yang dimiliki setiap anggotanya.

        c.    Dengan menyatakan syarat keanggotaannya.

  3.   Macam-macam Himpunan.
        a. Himpunan adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Sering
              dinyatakan sebagai ∅ atau { }.


       b.     Himpunan semesta adalah himpunan dari semua obyek yang sedang
              dibicarakan. Biasanya ditulis S atau U.


       c.     Himpunan dikatakan berhingga jika ia mempunyai anggota-anggota yang
              banyaknya berhingga. Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika
              himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak
              berhingga.




______________________________________________ 104
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                        TEORI HIMPUNAN




         d.     Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis “
                A ⊆ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B. Dinyatakan
                dengan simbol     A ⊆ B jika dan hanya jika (∀x) x∈A → x ∈ B.


   4.   Teorema (4.1):
         “Himpunan kosong ∅ merupakan himpunan bagian setiap himpunan” atau
         ditulis sebagai ∅ ⊆ H. ( dimana H adalah sembarang himpunan)
   5.    Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis “ A = B ”, jika dan hanya jika
         A ⊆ B dan B ⊆ A. Dinyatakan dengan simbol

                      A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A

                     A=B ↔         (∀x x ∈ A → x ∈ B) .∧. (∀x x ∈ B → x ∈ A)

   6.        Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis “A ∝ B” jika dan hanya
         jika ada anggota A yang menjadi anggota B.


   7.   Dua himpunan A dan B dikatakan lepas ditulis “A // B” jika dan hanya jika kedua
        himpunan tersebut tidak kosong dan tidak mempunyai anggota yang sama.

   8.   Operasi-Operasi Dalam Himpunan.


        a. Gabungan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ∪ B” didefinisikan
              sebagai : (A ∪ B) = {x / x ∈ A .∨. x ∈ B}
        b. Irisan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ∩ B”, didefinikan sebagai:

               (A ∩ B) = {x / x ∈ A.∧. x ∈ B}.

                                                      c
        c.     Komplemen dari himpunan A ditulis A        didefinisikan sebagai :

                A c = {x /x ∉ A ∧ x ∈ S }
        d.     Selisih dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A – B” didefinikan sebagai:

                                                                          c
                A – B = {x /x ∈ A ∧ x ∉ B} = {x /x ∈ A ∧ x ∈ Bc } = A ∩ B


        e.     Jumlah dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ⊕ B” didefinikan sebagai


______________________________________________ 105
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                                  Dra. Noeryanti, M.Si




           A ⊕ B = {x/x ∈ (A – B) .∨. x ∈ (B – A)}

          A ⊕ B = (A ∪ B) − (A ∩ B)



  9.     Hasil ganda kartesius (Cartesian product) dari dua himpunan H dan K ditulis “H
        x K” didefinikan sebagai :

                           H x K ={ (x, y) / x ∈ H .∧. y ∈ K }
  10. Yang dimaksud keluarga himpunan adalah himpunan dimana obyek-obyeknya
        terdiri atas himpunan-himpunan. Biasanya dinyatakan dengan huruf skrip (Script
        Letter) seperti A, B, ….. dan seterusnya, atau dapat juga dengan huruf besar
        biasa.

                                                                              A
  11. Yang dimaksud himpunan kuasa dari himpunan A ditulis 2                      adalah keluarga

        himpunan yang obyek-obyeknya terdiri atas himpunan bagian (subset) dari A.

  12. Himpunan indeks (ditulis I) adalah himpunan yang terdiri atas indeks-indeks.

         a.     IHi         = H1 ∩ H2 ∩ ........
                i∈I

         b.   UHi      = H1 ∪ H2 ∪ ......
              i∈I

         c.    I Hi        = Hα ∩ Hβ ∩ .........
               i∈I

         d.    U Hi        = Hα ∪ Hβ ∪ ........
               i∈I



  13.    Himpunan X = {A1 , A 2 ,....., A m } disebut suatu partisi ( penggolongan) jika

         memenuhi syarat :


                                                                   UA
                                                                   m

                     (1)      X = A1 ∪ A 2 ∪ ....... ∪ A m =              i
                                                                   i =1

                     (2)     Ai ∩ Aj = ∅; untuk setiap A i ≠ A j



______________________________________________ 106
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                           TEORI HIMPUNAN




   SOAL-SOAL LATIHAN


   1. Diketahui himpunan-himpunan P = {a, b, c, d}, Q = {c, d, e, f} dan R = {b, c, d, e}
         Tentukan :
      (a) P ∩ Q ; P ∪ Q ; P ∩ R ; P ∪ R ; Q ∩ R ;                    Q∪R

      (b) Apakan sifat assosiatif (P ∩ R) ∩ R = P ∩ ( Q ∩ R)
      (c) Apakah sifat distributif P ∩ ( Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) dan
      (d) P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ ( P ∪ R) dipenuhi ? Jelaskan !
      (e) Gambarkan diagram venn untuk soal 1a s/d 1f
   Jawab :
      (a) P ∩ Q = {c, d} ; P ∪ Q = {a, b, c, d, e, f};       P ∩ R = {b, c, d}; P ∪ R = {a, b,
          c, d, e};       Q ∩ R = {c, d, e}; dan Q ∪ R = {b, c, d, e, f}
      (b) Dipenuhi, sebab : (P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R) = {c, d} dan
          (P ∪ Q) ∪ R = P ∪ (Q ∪ R) = {a, b, c, d, e, f}.
      (c) Dipenuhi, sebab : P ∩ (Q ∩ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) = {b, c, d} dan
          P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ R) ∩ (P ∪ R) = {a, b, c, d, e}
      (d) Diagram-diagram Venn.


                                 S                               S                              S
     P                       Q          P                    R         Q                    S
                                                  b                               c
           a   c      e
                                             a    c    e                     b    d   f
           b   d      f
                                                  d                               e




    P ∩ Q = {c, d}                       P ∩ R = {b, c, d}             Q ∩ R = {c, d, e}
    P ∪ Q = {a, b, c, d, e, f}           P ∪ R = {a, b, c, d, e}       Q ∪ R = {b, c, d, e, f}



   2. Untuk P, Q, dan R pada soal nomor 1, tunjukan apakah sifat-sifat berikut ini
      dipenuhi
         (a)   P ⊕ (Q ∪ R) = (P ⊕ Q) ∪ (P ⊕ R)
         (b)   P ∪ (Q ⊕ R) = (P ∪ Q) ⊕ (P ∪ R)

______________________________________________ 107
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                     Dra. Noeryanti, M.Si




  Jawab :
      (a) Q ∪ R = {b, c, d, e, f}
             P ⊕ (Q ∪ R) = {a, e, f}
             P ⊕ Q = {a, b, e, f}
             P ⊕ R = {a, e}
             Jadi P ⊕ (Q ∪ R) ≠ (P ⊕ R) ∪ (P ⊕ R)

      (b) Q ⊕ R = {b, f}
             P ∪ (Q ⊕ R) = {a, b, c, d, e, f}
             P ∪ Q = {a, b, c, d, e, f}
             P ∪ R = {a, b, c, d, e}
             (P ∪ Q) ⊕ (P ∪ R) = {f}
             Jadi P ∪ (Q ⊕ R) ≠ (P ∪ Q) ⊕ (P ∪ R)



  3. Buktikan : Jika A ⊆ B maka Bc ⊆ Ac
       Bukti : Untuk membuktikan ada 2 cara.
       (a)     Secara langsung. (menggunakan kontraposisinya)
       (b)     Secara tidak langsung. (menggunakan bukti kemustahilan)
       Yang harus dibuktikan : A ⊆ C →           Bc ⊆ Ac


     (a) Secara langsung
       Dari ketentuan A ⊆ B berarti ∀x          x∈A → a∈B
       Dengan kontraposisinya :           ∀x    x∉B → x∉A
       Ambil sembarang x ∈ Bc, berarti x ∉ B. Sehingga x ∉ A, yaitu x ∈ Ac.
       Terbukti ∀x x ∈ Bc → x ∈ Ac. Jadi Bc ⊆ Ac

     (b) Secara tidak langsung (bukti kemustahilan)
         Dari ketentuan A ⊆ B, akan ditunjukkan Bc ⊆ Ac
         atau
         Diketahui : A ⊆ B berarti ∀x x ∈ A → x ∈ B
         Akan ditunjukkan : Bc ⊆ Ac.
         Bukti :
______________________________________________ 108
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                       TEORI HIMPUNAN




          Andaikan Bc ⊄ Ac berarti B c ⊆ A c menurut definisi


               ∀x x ∈ B c → x ∈ Ac
               ↔ ∃ x x ∈ Bc → x ∈ A c
               ↔ ∃ x x ∈ Bc . ∧ . x ∉ A c
               ↔      ∃x x ∈ Bc . ∧ . x ∈ A
               ↔ ∃ x x ∈ Bc . ∧ . x ∉ B                  diketahui

               ↔ ∃ x x ∈ ( Bc ∩ B )
               ↔ ∃x x ∈∅              (= mustahil)

          Karena himpunan ∅ tidak mempunyai anggota, maka kalimat “x ∈ ∅” pasti
          bernilai salah.

          Pengandaian harus diingkar, yaitu Bc ⊆ Ac

          Jadi terbukti A ⊆ B → Bc ⊆ Ac .



   4. Buktikan : A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) bernilai benar.
    Jawab :
    A – (B ∪ C) = {x / x ∈ A .∧. x ∉ (B ∪ C)}
                 = {x / x ∈ A .∧. x ∈ (B ∪ C)c}
                 = {x / x ∈ A .∧. x ∈ (Bc ∩ Cc)}
                 = {x / x ∈ A .∧. (x ∈ Bc .∧. x ∈ Cc)}
                 = {x / (x ∈ A .∧. x ∈ Bc) .∧. (x ∈ A .∧. x ∈ Cc)}
                 = {x / x ∈ A .∧. x ∉ B} .∩. {x / x ∈ A .∧. x ∉ C}
                 = (A – B) .∩. (A – C)
                 Jadi terbukti A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)



   5. Diketahui : A = {a, b}, B = {2, 3}, dan C = {3, 4}. Tentukan :
         (1) A x (B ( C)

______________________________________________ 109
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                               Dra. Noeryanti, M.Si




        (2) (A x B) ∪ (A x C)
        (3) A x (B ( C)
        (4) (A x B) ∩ (A x C)

       Jawab :
       (1)    B ∪ C = {2, 3, 4}
              A x (B ∪ C) = {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}

       (2)    A x B = {(a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3)}
              A x C = {(a, 3), (a, 4),(b, 3), (b, 4)}
              (A x B) ∪ (A x C) = {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}

       (3)    B ∩ C = {3}
               A x (A ∩ C) = {(a, 3), (b, 3)}

       (4)    A x B dan A x C lihat jawaban (2)
               (A x B) ∩ (A x C) = {(a, 3), (b, 3)}



        Perhatikan, dari jawaban (1) s/d (4) diperoleh :

        A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C) dan A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)



  6. Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {2, 4}, dan C = {3, 4, 5}.
   Tentukan A x B x C.
   Jawab :
   Salah satu cara untuk menentukan A x B x C adalah dengan membuat “diagram
   pohon” seperti di bawah ini.




______________________________________________ 110
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                       TEORI HIMPUNAN




                                                              3     (1, 2, 3)
                                          2                   4     (1, 2, 4)
                                                              5     (1, 2, 5)
                            1                                 3     (1, 4, 3)
                                          4                   4     (1, 4, 4)
                                                              5     (1, 4, 5)

                                                              3     (2, 2, 3)
                                          2                   4     (2, 2, 4)
                            2                                 5     (2, 2, 5)
                                                              3     (2, 4, 3)
                                          4                   4     (2, 4, 4)
                                                              5     (2, 4, 5)

                                                              3     (3, 2, 3)
                                          2                   4     (3, 2, 4)
                            3                                 5     (3, 2, 5)
                                                              3     (3, 4, 3)
                                          4                   4     (3, 4, 4)
                                                              5     (3, 4, 5)



  7. Buktikan :       a) A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
                  b) (A x B) ∪ C = (A ∪ C) x (B ∪ C)
    Jawab :
    Ambil sembarang himpunan-himpunan A, B, dan C.
    (a) A x (B ∪ C)      = {(x, y) / x ∈ A .∧. y ∈ (B ∪ C)}
                         = {(x, y) / x ∈ A .∧. (y ∈ B .∨. y ∈ C)}
                         = {(x, y) / (x ∈ A .∧. y ∈ B) .∨. (x ∈ A .∧. y ∈ C)}
                         = {(x, y) / x ∈ A .∧. y ∈ B} ∪ {(x, y) / x ∈ A .∧. y ∈ C)}
                         = (A x B) . ∪. (A x C)
        Terbukti A x (B ∪ C) = (A x B) .∪. (A x C)
    (b) (A x B) ∪ C      = {k / k ∈ (A x B) ∨ k ∈ C}
                         = {(x, y) / (x ∈ A .∧. y ∈ B) ∨ (x, y) ∈ C} ……………..(*)

______________________________________________ 111
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                         Dra. Noeryanti, M.Si




       (A ∪ C) x (B ∪ C) = {(x, y) / x ∈ (A ∪ C) .∧. y ∈ (B ∪ C)}
                          = {(x, y) / (x ∈ A .∨. x ∈ C) .∧. (y ∈ B .∨. y ∈ C)}
                          = {(x, y) / (x ∈ A .∧. y ∈ B) ∨ (x ∈ C .∧. y ∈ C)}
                          = (x ∈ C .∧. y ∈ B) ∨ (x ∈ C .∧. y ∈ C)} ………. (**)
       dari (*) dan (**) diperoleh (A x B) ∪ C ≠ (A ∪ C) x (B ∪ C).



  8. Misalkan A = B ∩ C. Tentukan manakah dari pernyataan berikut ini yang
     mempunyai nilai benar ?
    (a) A x A = (B x B) ∩ (C x C)
    (b) A x A = (B x C) ∩ (C x B).

   Jawab :
   (a) Benar, sebab A x A = (B ∩ C) x (B ∩ C)
                            = {(x,y) /x ∈ (B ∩ C) .∧. y ∈ (B ∩ C)}
                            = {(x,y) / x ∈ B .∧. x ∈ C .∧. y ∈ B .∧. y ∈ C}
                            = {(x,y) / (x∈ B .∧. y ∈ B) .∧. (x ∈ C .∧. y ∈ C)}
                            = {(x,y) / x ∈ b .∧. y ∈ B} ∩ {(x,y) /x ∈ C .∧. y ∈ C}
                            = (B x B) .∩. (C x C)
       Jadi A x A = (B x B) ∩ (C x C)

   (b) Benar, sebab A x A = (B ∩ C) x (B ∩ C)

                            = {(x,y)/x ∈ (B ∩ C) .∧. y ∈ (B ∩ C)}

                            = {(x,y)/x ∈ B .∧. x ∈ C .∧. y ∈ B .∧. y ∈ C}

                            = {(x,y)/(x ∈ B .∧. y ∈ C) ∧ (x ∈ C .∧. y ∈ B)}

                            = {(x,y)/x ∈ B .∧. y ∈ C} ∩ {(x,y)/x ∈ C .∧. y ∈ C}

                            = (B x C) ∩ (C x B)

       Jadi A x A = (B x C) ∩ (C x B)



  9. Diketahui X = {a, b, c, d, e, f, g} dan himpunan bagian himpunan bagian
     dari adalah,


______________________________________________ 112
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                        TEORI HIMPUNAN




        (a) A1 = {a, c, e}, A2 = {b}, dan A3 = {d, g}
        (b) B1 = {a, e, g}, B2 = {c, d}, dan B3 = {b, e, f}
        (c)     C1 = {a, b, e, g}, C2 = {c}, dan C3 = {d, f}
        (d)     D1 = {a, b, c, d, e, f, g}
      Maka tentukan yang mana diantara (a) sampai dengan (d) yang
      merupakan partisi dari X ?

          Jawab:

         (a) {A1,A2,A3} bukan partisi dari X, sebab f ∈ X , f ∉ A1, f ∉ A2 dan f∉ A3.

          (b) {B1,B2,B3} bukan partisi dari X, sebab e∈X , tetapi e ∈ B1 dan e ∈ B3.
          (c) {C1, C2, C3} partisi dari X, sebab X = {C1, C2, C3}
          (d) {D1} merupakan partisi dari X.



   10. Tentukan semua partisi dari X = {a, b, c, d}.

        Jawab :
        Partisi dari X adalah : [{a, b, c, d}] ; [{a}, {b, c, d}], [{b}, {a, c, d}], [{c}, {a,
        b, d}], [{d}, {a, b, c}] ;

        [{a,b}, {c,d}] ; [{a,c}, {b,d}] ; [{a,d}, {b,c}] ; [{a}, {b}, {c,d}] ; [{a}, {c}, {b,d}];
        [{a}, {d}, {b,c}] ; [{b}, {c}, {a, d}] ; [{b}, {d}, {a,c}] ; [{c}, {d}, {a,b}] ;
        [{a}, {b}, {c}, {d}]
        Ada 15 partisi yang berbeda dari X.




  SOAL-SOAL LATIHAN
  1. Apakah dari himpunan berikut ada yang sama ? Jelaskan
    a. {r, t, s}, {s, t, r, s}, {t, s, t, r}, {s, r, s, t}
    b. ∅, {0}, {∅}

  2. Tentukan apakah himpunan berikut merupakan himpunan kosong.
    (a) X = {x / x2 = 9 .∧. 2x = 4}
______________________________________________ 113
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                          Dra. Noeryanti, M.Si




    (b) Y = {x / x ≠ x}
    (c) Z = {x / x + 8 = 8}

 3. Misalkan himpunan semesta S = {a, b, c, d, e, f, g}. A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e,g}
    dan C = {b, e, f, g}
    Tentukan :
    (a) A ∪ C             (d) Bc ∪ C    (g) C ⊕ Ac
    (b) B ∩ A             (e) A ⊕ B     (h) (A – C)c
    (c) C – B             (f) Cc ∩ A    (i) (A – Bc)c
   (j)   (A ∩ Ac)c

 4. Tentukan diagram Venn untuk soal no. 3

 5. Diketahui himpunan-himpunan P = {a, b, c}, Q = {b, c, d} dan R = {a, d}.
    Tentukan P x Q x R, kemudian tunjukkan bahwa (P x Q) x R = P x (Q x R)

 6. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ini benar untuk A, B dan C
    himpunan-himpunan sembarang.
    (a) A – (A – B) = A ∩ B
    (b) (A – B)c = B ∪ Ac
    (c) A – (B ∩ A) = A – B
    (d) (A – B) ∩ B = ∅
    (e) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
    (f) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ C)
    (g) A– (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
    (h) (A−B) ∪ (B −A) = (A ∪ B) − (A ∩ B)

 7. Buktikan (menggunakan bukti kemustahilan) pernyataan-pernyataan berikut ini :
    (a) Bc ⊆ Ac ⇒ A ⊆ B.
    (b) A ⊆ Bc jika dan hanya jika A ∩ B = ∅
    (c) A ∪ B = S jika dan hanya jika Ac ⊆ B (disini S = himpunan semesta)
    (d) A ⊆ B jika dan hanya jika A ∩ B = A
    (e) Jika A ∩ B = ∅, maka B ∩ Ac = B
    (f) Jika A ∩ B = ∅, maka A ∪ Bc = Bc


______________________________________________ 114
MODUL LOGIKA MATEMATIKA
                                                                       TEORI HIMPUNAN




  8. Tentukan himpunan kuasa dari :
    (a) himpunan H = {1, 2, 3}
    (b) himpunan N = {a, b, c, d}

  9. Jika himpunan indeks I = {α, β, γ, ….} maka tunjukkan bahwa :
                          c
              
    (a) U H i  =                    IH
                                                     c
                                                 i
         i∈I                        i∈I

                          c
              
    (b) I H i  =                    UH             i
                                                      c

         i∈I                            i∈I



  10. Untuk setiap himpunan K dan untuk setiap himpunan indeks I, berlakulah :
                                     
        (a) K ∪ 
                
                  IH 
                     
                    i∈I
                                  i        =     I( K ∪ H )
                                                 i∈I
                                                              i



                                     
        (b) K ∩ 
                
                  U H  = U( K ∩ H )
                      
                    i∈I
                                  i
                                                i∈I
                                                          i



                                 
        (c) K − 
               
                 IH 
                    
                    i∈I
                              i            =    I(K − H )
                                                i∈I
                                                          i



                                 
        (d) K − 
               
                 UH 
                    
                    i∈I
                              i            =    U(K − H )
                                                i∈I
                                                          i




  11. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini bernilai benar.
        (a) (H x K) ∩ M = (H x M) .∩. (K x M)
        (b) H x (K ∩ M) = (H x K) ∩ (H x M)
        (c) H x (K ∪ M) = (H x K) ∪ (H x M)
        (d) (H – K) x M = (H x M) – ( K x M)
        (e) H – (K x M) = (H – K) x (H – M)
        (f) (H1 ∩ H2) x (K1 ∪ K2) = (H1 x K1) ∪ (H1 x K2) .∩. (H2 x K1) ∪ (H2 x K2)
        (g) (H1 ∪ H2) x (K1 ∩ K2) = (H1 x K1) ∩ (H1 x K2) .∪. (H2 x K1) ∩ (H2 x K2)

  12.    Apabila M ⊆ H dan N ⊆ K, maka tunjukkan bahwa (M x K) ∩ (H x N) = M x N.

  13.    Tentukan partisi dari himpunan = {a, b, b, b, c, d}



______________________________________________ 115
MODUL LOGIKA MATEMATIKA

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:264
posted:2/2/2012
language:
pages:29