Elektrik Alan by tahsincom

VIEWS: 162 PAGES: 30

More Info
									             Elektrik Alan
Alan nedir????

Bazı fiziksel olağanüstü durumlar tarafından
 etkilenen uzaydaki bölge; örneğin, sıcaklık,
 yerçekimi, elektrik, manyetik davranışlar
              Elektrik Alan
• Bir yükün başka bir yük yada yük dağılımı
  tarafından etkilenebildiği uzay bölgesi
• Elektrik alanın birimi Newton/Coulomb (N/C)
• Elektrik Alan vektörel bir niceliktir.
• Elektrik alan daima pozitif yükten dışarı doğru
  negatif yükte ise içeri doğru yönelir
                            r
                r          F
                E = lim
                    q 0 →0 q 0
Elektrik alan etkisinin uzaklıkla değişimi
  Elektrik alan çizgileri
Michael Faraday 19th Century


Tüm uzayın elektrik alan
“KUVVET” çizgileriyle dolu
olduğunu ve elektrik yüklerinin
bu çizgiler boyunca
ivmelenebileceğini savundu
             Elektrik Alan
• Elektrik alan vektörleri elektrik alan
  çizgilerine teğettir.
• Birim yüzeyden dik olarak geçen
  elektrik alan çizgi sayısı, Elektrik alan
  şiddeti ile doğru orantılıdır.
• Kısaca, Elektrik alan çizgileri nerede
  daha yoğun ise orada elektrik alan daha
  şiddetlidir.
          Elektrik alan çizgileri




• Aynı zamanda kuvvet çizgisi olarak ta bilinir
• Birim yüzeyden geçen çizgi sayısı elektrik alan
  şiddeti ile doğru orantılıdır.
• Alan çizgileri + dan – ye doğru olarak kabul edilir.
Elektrik alan çizgileri ve elektrik
    alan vektörü farklıdır!!!
• Elektrik alan çizgileri daima pozitif
  yükten uzaklaşacak şekilde
  yönelirler ve negatif yükün
  bulunduğu yere doğru yönelirler.
Noktasal yükün elektrik alanı
            r
r          F
E ≡ lim
    q0 → 0 q
             0
              1       qq 0
                           ˆ
                           r
r       4 πε           r 2
E = lim           0
     q0 → 0       q0
r             1  q
E = lim             ˆ
                    r
     q0 → 0 4πε r 2
               0

r       1  q
E=             ˆ
               r
     4πε 0 r 2
Birden fazla noktasal yükün varlığında
Genel uygulama üst üste binme ilkesini uygulamaktır
          yani vektörel toplama yapmaktır

                   r N r
                   E = ∑ Ei
                         i =1


              r N 1 qi
              E=∑               ˆ
                                ri
                i =1 4πε 0 ri
                              2
                Örnek problem
• P noktasındaki elektrik alanı bulun
• Her bir yük için istenen noktadaki elektrik alan vektörlerini bul
  ve bileşke vektörü vektörel toplama ile bul: Simetri var dikkat☺ !




                                 r net     6.93Q ˆ
                                 E (p) = k     2
                                                 i
                                             d
             Örnek: Elektrik Dipol
Elektrik Dipol: aralarında 2a mesafesi olan iki eşit ve
  zıt yüklü noktasal parçacık
Elektrik alan daima ortadaki ayırıcı düzleme
  dikmidir?

                               r ve q ların aynı olması
                 P(0,y)        sebebiyle yükler aynı elektrik
                               alan şiddetine sahiptir.
        -q       θ     +q
       (-a,0)        (+a,0)    Alanların y bileşenleri eşit ve
                               ters yönlü olduklarından
                               toplam y bileşke sıfırdır.
                     Dipole devam
                                                     1
                                                     q
            θ
                    P(0,y)               E+ =
                                              4πε 0 r+2


       -q           θ     +q                         1 q
                        (+a,0)           E+ =
       (-a,0)                                 4πε 0 a + y
                                                     2    2

r =a +y
 2     2        2
                                        X bileşkesinin hesabı

Pozitif yükün x ekseni                           1      q
doğrultusundaki bileşkesinin          E+ x   =               cos θ
hesabı
                                               4πε 0 a + y
                                                      2    2



                                                                      (− iˆ )
                             r          1       q             a
                             E+ x =
                                      4πε 0 a 2 + y 2    a +y
                                                          2       2
                           Dipole devam
                                                    Aynı işlemi negatif yük
                        P(0,y)                      içinde yaparsak
                                               r             1         − q (− a )
            -q                                 E− x = −                                         ˆ
                                                                                                i
           (-a,0)
                        θ         +q
                             (+a,0)
                                                           4πε 0   ((− a )
                                                                         2
                                                                             + y2   )   3
                                                                                            2




                                                    Pozitif ve negatif yüklerin
                                                    elektrik alanlarının vektörel

                                          (− iˆ )
r          1       q              a                 toplamı
E+ x =
         4πε 0 a 2 + y 2     a2 + y2
                                                      r      1         − 2 qa
r                                                     E=                                    ˆ
                                                                                            i
                                                                   (            )
               1        qa
E+ x = −                              ˆ
                                      i                    4πε 0 a 2 + y 2      3
                                                                                    2
                    (
           4πε 0 a 2 + y 2    )
                              3
                                  2
                    Dipole devam
         r                                  Dipol [p=2qa] olarak tanımlanır
         E
                   P(0,y)                                          r
                                            r        1            −p
      -q                                    E=
                                                          (             )
                   θ     +q
               p
                                                  4πε 0 a + y 2     2
                                                                          3
                                                                              2
      (-a,0)           (+a,0)

                                            Eğer y>>a ise yaklaşım?
                                            Eğer y>>a ise a2 , y2 nin
                                            yanında ihmal edilebilir ve
r     1            − 2 qa                   işlemde ihmal edilebilir.
E=                                      ˆ
                                        i
               (              )
                                            Böylece sonuç;
     4πε 0 a 2 + y 2            3
                                    2             r   1 −p
                                                             r
                                                  E=
                                                     4πε 0 y 3
Sürekli yük dağılımı karşısında
         elektrik alan
Noktasal yüklerin çok sıkı ve çok miktarda
  paketlenmesi sonucu meydana gelen yapı
 sürekli bir yük dağılımı olduğunu gösterir.

                 r      1 dq
                 E=∫            ˆ
                                r
                      4πε 0 r 2

                  r     r
                 E = ∫ dE
            Yük Yoğunluğu
Farklı yük dağılımlarının yük yoğunlukları
• çizgisel - λ (C/m) - sembol “lambda” λ
• yüzeysel - σ (C/m2) - sembol “sigma” σ
• hacimsel - ρ (C/m3) - sembol “rho” ρ
     Örnek: Sürekli yük dağılımı
İnce, düzgün, iletken ve L boyundaki yüklü bir
  çubuğun elektrik alanını bulalım .

L boyunda Q yüklü iletken düzgün bir çubuk ise λ=Q/L

               dE       θ             NOT: Her bir dE (x < 0)
                    P                 için, bunun simetriği olan
               r
                                      bir dE (x > 0) vardır.
                θ                     Böylece dE lerin x
  (-L/2,0)                  (L/2,0)
                                      bileşenleri toplamı sıfır
             dx x                     olur.
Örnek – Sürekli yük dağılımı devamı

                dE       θ              dq ve r değerleri yerine yazılırsa
                     P
                r                                    1          λ dx
                                        dE y =                              sin θ
                θ             (L/2,0)
                                                   4πε 0 x + y  2       2
  (-L/2,0)
             dx x                             sin θ hesabı

                                                                    y
Elektrik alanın y bileşeni.                  sin θ =
             dE y = dE sin θ                                x +y2       2



                        dq
                         1                     1         λ dx               y
             dE =                  dE y =
                  4πε 0 r 2                 4πε 0 x 2 + y 2             x2 + y2
Örnek – Sürekli yük dağılımı devamı
                                                          L
                 dE       θ
                                                 λy       2
                                                                        dx
                      P                      E=           ∫
                 r                              4πε 0
                                                         −
                                                           L
                                                           2
                                                               (x   2
                                                                        +y   2
                                                                                 )
                                                                                 3
                                                                                     2


  (-L/2,0)       θ                (L/2,0)
                                              İntegral alınırsa
             dx x

             1        λ ydx                                                          L
dE y =                                          λy     ⎡ 1                ⎤          2

                 (
         4πε 0 x 2 + y 2      )                                         x
                              3
                                  2         E=         ⎢ 2                ⎥
                                               4πε 0   ⎢y         x2 + y2 ⎥−L
                                                       ⎣                  ⎦
                                                                                         2
 λ, y ve 1/4πε0 sabitler
Örnek – Sürekli yük dağılımı devamı
              dE       θ                         ⎡                 ⎤
                   P                             ⎢                 ⎥
              r                            λ     ⎢    L            ⎥
                                     E=
                                        4 πε 0 y ⎢ L2 + 4 y 2      ⎥
 (-L/2,0)      θ           (L/2,0)               ⎢                 ⎥
                                                 ⎢
                                                 ⎣     4           ⎥
                                                                   ⎦
            dx x
                                                 ⎡                ⎤
                                           λ     ⎢   2L           ⎥
                                     E=
              ⎡ L ⎛ L⎞ ⎤                4 πε 0 y ⎢ L2 + 4 y 2     ⎥
                                                 ⎣                ⎦
              ⎢ − ⎜− ⎟ ⎥
  E=
        λ     ⎢ 2 ⎝ 2⎠ ⎥
     4 πε 0 y ⎢ L2      ⎥            r            ⎛              ⎞
                                            λ ⎜        L         ⎟$
              ⎢    + y2 ⎥            E=                            j
              ⎢ 4
              ⎣         ⎥
                        ⎦                 2πε 0 y ⎜ L2 + 4 y 2
                                                  ⎝
                                                                 ⎟
                                                                 ⎠
Örnek – Sürekli yük dağılımı devamı
 İletken telimizin sonsuz uzunlukta olduğunu
   varsayarsak
 • L >> 4y
 • 4y2 , L2 nin yanında ihmal edilir, fakat y
   hala sonlu bir büyüklük
 • Silindirik simetri esasından, y yi r ile
   değiştirirsek
         r      λ ⎛L⎞           r      λ
         E=           ⎜ ⎟r
              2πε 0 r ⎝ L ⎠
                            ˆ   E=           r
                                             $
                                     2πε 0 r
Örnek: Elektrik alan çizimleri
Örnek: Elektrik alan çizimleri
 Sonlu bir test yükünün
iletken üzerindeki etkisi
    Örnek: yüklü bir parçacığın
     elektrik alandaki hareketi
 +X ekseni boyunca yönelmiş 300 N/C luk bir
 elektrik alanda serbest bırakılan bir
 elektronun 0.5 ms sonraki hızını ve kinetik
 enerjisini hesaplayın.
                                r
     E
             -e
                                         (
                                F = − 4.80 × 10 −17 N i  ˆ  )
         F                       r
r    r                        r F − (4 .80 × 10 −17 N )i   ˆ
F = qE = − eEi
             ˆ                a= =
                                m      9.11 × 10 − 31 kg
r
     (         −19
                  )⎛   N ⎞ˆ
F = − 1.60 × 10 C ⎜ 300 ⎟i        r     ⎛           +13 m ⎞ ˆ
                   ⎝   C⎠         a = − ⎜ 5 .3 × 10      2 ⎟
                                                             i
                                        ⎝               s ⎠
        Örnek: yüklü bir parçacığın
         elektrik alandaki hareketi
        E                                                   1
                                                         K = mv 2
                 -e                                         2
            F
                                                                                 2

r     ⎛
a = − ⎜ 5 .3 × 10 +13 m ⎞ ˆ
                                           1
                                               (      − 31 ⎛
                                                             )
                                        K = 9 .11 × 10 kg ⎜ − 2 .6 × 10 +7 m ⎞
                                                                             ⎟
                       2 ⎟
                           i               2               ⎝               s ⎠
      ⎝               s ⎠
                                                                     − 16
 r r        r
 v = vo + a t                                 K = 3 . 16 × 10               J
r        ⎛
v = 0 − ⎜ 5 .3 × 10 +13 m
                               i⎟ (
                               ˆ ⎞ 0 .5 × 10 − 6 s   )
         ⎝              s2       ⎠
r               +7 m ˆ
v = − 2 .6 × 10       i
                    s
Su molekülü dipolü
Elektrik alan içine koyulan bir dipol dönmek ister fakat
            dipolün merkezi hareket etmez.
Düzgün bir elektrik alanda elektrik dipol
                 Tork                 Potansiyel Enerji
            r   r r
            τ = r×F                   ΔU = − W = − ∫ τdθ
                                                          θ



                 F = qE                                   θo
                                               θ
                                     ΔU = − ∫ pE sin θdθ
                τ = d F sinθ                   θo
                                               θ

             τ = dqE sin θ          Δ U = pE    ∫ sin   θdθ
                                               θo




           τ = pE sin θ              θo = 90o da Uo = 0 ise

            r r r                          (
                                   U = pE cos θ − cos 90 0     )
           τ = p× E                             r r
                               U = pE cos θ U = p ⋅ E

								
To top