Docstoc

المعادلات من الدرجة الثانية

Document Sample
المعادلات من الدرجة الثانية Powered By Docstoc
					                                     ‫اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ‬        ‫اﻷﺳﺘﺎذ ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺮﻗﺒﺔ‬
                                                                               ‫اﻟﻤﻌــﺎدﻻت ﻣﻦ اﻟﺪرﺟــﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴـﺔ ﻓــﻲ‬           ‫‪-I‬‬
                                                                          ‫1- اﻟﺠـﺬران اﻟﻤﺮﺑﻌﺎن ﻟﻌﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴـﺮ ﻣﻨﻌــﺪم :‬
                                                                                                           ‫‪ -a‬ﺗﻌﺮﻳــﻒ :‬
                    ‫ﻧﻘﻮل أن اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي ‪ z‬ﺟﺬرا ﻣﺮﺑﻌﺎ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ Z‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن : ‪. z 2 = Z‬‬

                                                               ‫‪ -b‬ﺗﺤﺪﻳـﺪ اﻟﺠﺪرﻳﻦ اﻟﻤﺮﺑﻌﻴﻦ ﻟﻌﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴـﺮ ﻣﻨﻌــﺪم :‬
                                                                                   ‫∈‪Z‬‬    ‫*‬
                                                                                         ‫+‬
                                                                                               ‫ﺣﺎﻟــﺔ 1 :‬       ‫-‬

                                        ‫‪. − Z‬‬         ‫و‬          ‫اﻟﺠﺬران اﻟﻤﺮﺑﻌﺎن ﻟﻠﻌﺪد ‪ Z‬هﻤــﺎ ‪Z‬‬

                                                                                   ‫∈‪Z‬‬    ‫*‬
                                                                                         ‫−‬
                                                                                               ‫ﺣﺎﻟــﺔ 2 :‬       ‫-‬

                                                                          ‫) ‪Z = − ( −Z‬‬               ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
                                                                              ‫) ‪= i2 ( −Z‬‬

                                                                                   ‫(‬             ‫)‬
                                                                                                     ‫2‬
                                                                               ‫=‬        ‫‪−Z − i‬‬

                        ‫‪−Z i‬‬     ‫و‬       ‫−‬    ‫‪−Z i‬‬             ‫إذن : اﻟﺠﺬران اﻟﻤﺮﺑﻌﺎن ﻟﻠﻌﺪد ‪ Z‬هﻤــﺎ‬

                                                                       ‫3− = ‪Z‬‬                                  ‫ﻣﺜــﺎل :‬
                                                                         ‫2‪= 3 i‬‬
                                ‫‪.− 3 i‬‬        ‫و‬           ‫إذن اﻟﺠﺬران اﻟﻤﺮﺑﻌﺎن ﻟﻠﻌﺪد 3− هﻤــﺎ ‪3 i‬‬


                                                                                                          ‫ﺧﺎﺻﻴـــﺔ :‬
                                 ‫ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻔﻲ ﻏﻴـﺮ ﻣﻨﻌــﺪم ﺟـﺬران ﻣﺮﺑﻌـﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔـﺎن وﻣﺘﻘﺎﺑــﻼن .‬

                                                                                   ‫2- اﻟﻤﻌــﺎدﻻت ﻣﻦ اﻟﺪرﺟــﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴــﺔ ﻓــﻲ‬
                                                                                                           ‫ﺗﻌﺮﻳـــﻒ :‬     ‫-‬
                                     ‫0 = ‪a z2 + b z + c‬‬            ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜــﻞ‬
                             ‫ﺣﻴﺚ : ‪ b ، a‬و ‪ c‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ و 0 ≠ ‪ a‬و ‪ z‬ﻋﺪد ﻋﻘﺪي ﻣﺠﻬﻮل ،‬
                                                   ‫ﺗﺴﻤــﻰ ﻣﻌﺎدﻟــﺔ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟــﺔ اﻟﺜـﺎﻧﻴـﺔ ﻓــﻲ .‬

                                                                      ‫:‬     ‫ﺣــﻞ اﻟﻤﻌـﺎدﻻت ﻣـﻦ اﻟﺪرﺟــﺔ اﻟﺜـﺎﻧﻴــﺔ‬        ‫-‬
                                                               ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ b ، a‬و ‪ c‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪. a‬‬
                                                  ‫‪b‬‬     ‫‪c‬‬
‫)‪(E‬‬   ‫0 = ‪: a z2 + b z + c‬‬     ‫⇔‬       ‫+ 2‪z‬‬         ‫+ ‪z‬‬   ‫0 =‬                                                   ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
                                                  ‫‪a‬‬     ‫‪a‬‬
                                                   ‫‪b‬‬      ‫2‪b‬‬     ‫2‪b‬‬     ‫‪c‬‬
                               ‫⇔‬       ‫2 + 2‪z‬‬         ‫+ ‪z‬‬    ‫2‬
                                                               ‫−‬    ‫2‬
                                                                      ‫+‬   ‫0 =‬
                                                   ‫‪2a‬‬     ‫‪4a‬‬     ‫‪4a‬‬     ‫‪a‬‬
                                                           ‫2‬
                                        ‫⎛‬     ‫⎞ ‪b‬‬                   ‫2‪b‬‬    ‫2‪4 a b‬‬
                               ‫⇔‬        ‫+ ‪⎜z‬‬    ‫⎟‬                ‫=‬      ‫−‬
                                        ‫⎝‬    ‫⎠‪2 a‬‬                  ‫2‪4 a‬‬    ‫2‪4 a‬‬
                                                           ‫2‬
                                       ‫⎛‬     ‫⎞ ‪b‬‬                   ‫‪b2 − 4 a c‬‬
                               ‫⇔‬       ‫+ ‪⎜z‬‬    ‫⎟‬                 ‫=‬
                                       ‫⎝‬    ‫⎠‪2 a‬‬                      ‫2‪4 a‬‬

                                       ‫‪http//www.0et1.com‬‬                                                                     ‫1‬
                                         ‫اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ‬     ‫اﻷﺳﺘﺎذ ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺮﻗﺒﺔ‬
                                                                     ‫‪∆ = b2 − 4 a c‬‬                                     ‫ﻧﻀﻊ :‬
                                                                       ‫وﻟﻴﻜﻦ ‪ δ‬أﺣﺪ اﻟﺠﺬرﻳﻦ اﻟﻤﺮﺑﻌﻴﻦ ﻟﻠﻤﻤﻴﺰ ∆ .‬
                                                     ‫2‬
                                     ‫⎛‬     ‫⎞ ‪b‬‬                ‫∆‬      ‫2‪δ‬‬
           ‫)‪(E‬‬     ‫:‬      ‫⇔‬          ‫+ ‪⎜z‬‬    ‫⎟‬             ‫=‬      ‫=‬                                                       ‫إذن :‬
                                     ‫⎝‬    ‫⎠‪2 a‬‬               ‫2‪4 a‬‬   ‫2‪4 a‬‬
                                                       ‫2‬                     ‫2‬
                                     ‫⎛‬     ‫⎞ ‪b‬‬               ‫⎞ ‪⎛ δ‬‬
                          ‫⇔‬          ‫+ ‪⎜z‬‬    ‫⎟‬             ‫⎜ =‬   ‫⎟‬
                                     ‫⎝‬    ‫⎠‪2 a‬‬               ‫⎠‪⎝2 a‬‬
                                              ‫‪b‬‬    ‫‪δ‬‬                                                ‫‪b‬‬    ‫‪−δ‬‬
                          ‫⇔‬          ‫+ ‪z‬‬         ‫=‬                          ‫أو‬                ‫+ ‪z‬‬      ‫=‬
                                              ‫‪2a‬‬   ‫‪2a‬‬                                               ‫‪2a‬‬   ‫‪2a‬‬
                                               ‫‪−b + δ‬‬                                                    ‫‪−b − δ‬‬
                          ‫⇔‬          ‫= ‪z‬‬                                    ‫أو‬                     ‫= ‪z‬‬
                                                 ‫‪2a‬‬                                                        ‫‪2a‬‬
                                            ‫)‪(E‬‬   ‫0 = ‪: a z2 + b z + c‬‬                                   ‫وﻣﻨﻪ : ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

                                                      ‫‪⎧ −b + δ‬‬                               ‫⎫ ‪−b − δ‬‬
                                                  ‫⎨ = ‪S‬‬                          ‫;‬                  ‫⎬‬                   ‫هــــﻮ :‬
                                                      ‫‪⎩ 2a‬‬                                     ‫⎭ ‪2a‬‬
                                                                                                                     ‫ﺧﺎﺻﻴـــﺔ :‬
‫هﻤـــﺎ :‬   ‫) ‪( a , b, c‬‬   ‫∈‬     ‫3‬
                                     ‫ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪ a‬و‬                   ‫ﺣﻠﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟــﺔ 0 = ‪a z 2 + b z + c‬‬
                                         ‫‪−b − δ‬‬                                   ‫‪−b + δ‬‬
                              ‫= 1‪z‬‬                         ‫و‬           ‫= 2‪z‬‬
                                           ‫‪2a‬‬                                       ‫‪2a‬‬


                                                                                                                 ‫ﺗﻄﺒﻴﻘـــﺎت :‬
                                                                          ‫اﻟﻤﻌـﺎدﻻت اﻟﺘـﺎﻟﻴــﺔ :‬               ‫ﺣــﻞ ﻓــﻲ‬
                                                                        ‫0 = 1 + ‪z + z‬‬
                                                                            ‫2‬
                                                                                                                     ‫1(‬
                                                            ‫‪∆ = b2 − 4 a c‬‬                                 ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ :‬
                                                                   ‫4 − 1 =‬
                                                                   ‫3 − =‬
                                                                   ‫2‪= 3 i‬‬

                                                                        ‫(‬            ‫)‬
                                                                                         ‫2‬
                                                                   ‫=‬         ‫‪3i‬‬
                                                                                             ‫= ‪S‬‬    ‫‪3i‬‬     ‫إذن :‬
                                                                                 ‫وﻣﻨﻪ ﺣﻠﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻤــﺎ :‬
           ‫‪−1 − 3 i‬‬                                        ‫‪−1 + 3 i‬‬
‫= 1‪z‬‬                                 ‫و‬          ‫= 2‪z‬‬
               ‫2‬                                               ‫2‬
                                  ‫‪⎧ −1 − 3 i‬‬
                                  ‫⎪‬                                           ‫⎫‬
                                                                     ‫⎪ ‪−1 + 3 i‬‬
                              ‫⎨ = ‪S‬‬                            ‫;‬              ‫⎬‬                           ‫وﻣﻨﻪ :‬
                                  ‫⎪‬
                                  ‫⎩‬     ‫2‬                                ‫2‬    ‫⎪‬
                                                                              ‫⎭‬
                                                                                   ‫1‬
                                                           ‫+ ‪z2 + 2 z‬‬                    ‫0 =‬                            ‫2(‬
                                                                                 ‫‪cos 2 θ‬‬
                                                                                             ‫‪π‬‬
                                                                   ‫≺ ‪0 ≺ θ‬‬                                ‫ﺣﻴﺚ :‬
                                                                                             ‫2‬
                                           ‫‪http//www.0et1.com‬‬                                                                      ‫2‬
                                   ‫اﻷﺳﺘﺎذ ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺮﻗﺒﺔ‬
                       ‫اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ‬
                                  1
                     z2 + 2 z +           = 0
                                cos 2 θ
                                           4
                     ∆ = 4 −
                                         cos 2 θ
                            ⎛      1 ⎞
                        = 4 ⎜1 −         ⎟
                            ⎝    cos 2 θ ⎠

                            ⎛ cos 2 θ − 1 ⎞
                        = 4 ⎜             ⎟
                            ⎝ cos θ ⎠
                                    2



                            ⎛ − sin 2 θ ⎞
                        = 4 ⎜           ⎟
                            ⎝ cos θ ⎠
                                  2



                        = − 4 tan 2 θ

                              ( 2 i tan θ )
                                               2
                         =

                                                   δ = 2 i tan θ                   : ‫إذن‬
                                                                 : ‫وﻣﻨﻪ : اﻟﺤﻠﻴــﻦ هﻤـــﺎ‬
                  2 − 2 i tan θ
          z1 =                  = 1 − i tan θ
                       2
                  +2 + 2 i tan θ
          z2 =                   = + 1 + i tan θ
                       2
                   S = {1 − i tan θ ; 1 + i tan θ }                                : ‫إذن‬

                                                                                   : 2 ‫ﻃﺮﻳﻘـــﺔ‬
                                                       1
                                  z2 − 2 z +               = 0                     : ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                     cos θ
                        z 2 − 2 z + 1 + tan 2 θ = 0                                 : ‫أي‬

                         ( z − 1)
                                     2
                                          = − tan 2 θ                               : ‫إذن‬

                         ( z − 1)             (i   tan θ )
                                     2                       2
                                          =

z − 1 = i tan θ              ‫أو‬               z − 1 = − i tan θ                     : ‫إذن‬
z = 1 + i tan θ              ‫أو‬               z = 1 − i tan θ
                   S = {1 − i tan θ ; 1 + i tan θ }                                 : ‫إذن‬
                                                         .‫أآﺘﺐ اﻟﺤﻠﻴــﻦ ﻋﻠـﻰ اﻟﺸﻜــﻞ اﻟﻤﺜـﻠﺜـﻲ‬
                      z1 = 1 − i tan θ                                             : ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

                                           sin θ
                         = 1 − i
                                           cos θ
                                    1
                         =                 ( cos θ   − i sin θ )
                                  cos θ


                         http//www.0et1.com                                                       3
         ‫اﻷﺳﺘﺎذ ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺮﻗﺒﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ‬
                   1
            =
                cos θ
                       ( cos ( −θ ) + i sin ( −θ ) )
             ⎡ 1          ⎤
           = ⎢       , −θ ⎥                              0 ≺ cos θ ‫ﻷن‬
             ⎣ cos θ      ⎦

        z2 = 1 + i tan θ                                           : ‫وﻟﺪﻳﻨﺎ‬

                      1
            =                ( cos θ       + i sin θ )
                    cos θ
              ⎡ 1        ⎤
            = ⎢       , θ⎥
              ⎣ cos θ    ⎦
                                                                     : ‫ﻣﻼﺣﻈــــﺔ‬
                                   π
                                            ≺ θ ≺ π                     : ‫إذا آﺎﻧﺖ‬
                                   2
                                           cos θ ≺ 0                          : ‫ﻓﺈن‬
                       1
          z1 =                ( cos θ       + i sin θ )                       : ‫إذن‬
                     cos θ
                      −1
                =             ( −1) ( cos θ          + i sin θ )
                     cos θ
                      −1
                =          [1 , π ] [1 , θ ]
                     cos θ
                      −1
                =          [1 , π + θ ]
                     cos θ
                  ⎡ −1           ⎤
                = ⎢       , π +θ ⎥
                  ⎣ cos θ        ⎦

R ⋅ [ r , θ ] = R ( r ( cos θ + i sin θ ) )
                = R ⋅ r ( cos θ + i sin θ )
                =    [R r , θ ]

                                                      : ‫ﺻﻴﻐــﺔ ﻣـﻮاﻓــﺮ وﺻﻴﻐـﺘــﺎ أوﻟﻴـــﺮ‬      -II
                                                               Moivre             ‫1. ﺻﻴﻐـــﺔ‬
                                                           u = [r , θ ]                 ‫ﻟﻴﻜﻦ‬
                                 un = u = 1
                                                 n
                                                                                      ‫ﻧﻌﻠﻢ أن‬

                                 arg u n = n θ [ 2 π ]

                        [1 , θ ]           = [1 , m θ ]
                                  m
                                                                                : ‫ﻳﻌﻨﻲ أن‬



            ( cos θ    + i sin θ )          = cos n θ + i sin n θ
                                       n




            http//www.0et1.com                                                                   4
                                                  ‫اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ‬                 ‫اﻷﺳﺘﺎذ ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺮﻗﺒﺔ‬
                                                                                                .‫ﺗﺴﻤﻰ هـﺬﻩ اﻟﻤﺘﺴﺎوﻳـﺔ ﺑﺼﻴﻐـﺔ ﻣﻮاﻓــﺮ‬
                                                                                                              .‫ﺗﻄﺒﻴﻘــﺎت ﺻﻴﻐـﺔ ﻣﻮاﻓـﺮ‬

                                                                                          ( cos θ   + i sin θ )
                                                                                                                    2
                                                                                                                               : ‫1- أﻧﺸﺮ‬

            ( cos θ   + i sin θ )
                                    2
                                            = cos 2 θ ⋅ sin θ + 2 i cos θ sin θ                                                 : ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

           ( cos θ    + i sin θ )
                                    2
                                            = cos 2θ + i sin 2 θ                                                             : ‫وﺑﻤﺎ أن‬

                                                                                                                                : ‫ﻓﺈن‬
                                                           cos 2θ = cos 2 θ − sin 2 θ

                                                           sin 2θ = 2 cos θ sin θ


                                                                                          ( cos θ   + i sin θ )
                                                                                                                    3
                                                                                                                               : ‫2- أﻧﺸﺮ‬
( cos θ   + i sin θ )
                        3
                            = cos3 θ + 3 cos 2θ ⋅ i sin θ − 3 cosθ ⋅ sin 2θ − i sin 3 θ

                            =   ( cos θ 3
                                               − 3 cosθ sin 2 θ ) + i ( 3 cos 2θ sinθ − sin 3 θ )

                      ( cos θ    + i sin θ )
                                                      3
                                                           = cos 3θ + sin 3θ                                                 : ‫وﺑﻤﺎ أن‬

                                                                                                                                : ‫إذن‬
                                             cos 3θ = cos3 θ − 3 cosθ sin 2 θ

                                             sin 3θ = 3 cos 2 θ sin θ − sin 3 θ

                                                                                                                                 : ‫ﺗﻌﻤﻴــــﻢ‬
                                            ( cos θ       + i sin θ )            = cos n θ + i sin n θ
                                                                             n
                                                                                                                                : ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬


                                        cos n θ = ℜe                        (( cosθ     + i sin θ )
                                                                                                      n
                                                                                                          )                     : ‫إذن‬


                                        sin n θ = Im                        (( cosθ     + i sin θ )
                                                                                                      n
                                                                                                          )
                                                                                                                         : ‫2. ﺻﻴﻐـﺘــﺎ أوﻟﻴــﺮ‬
                                                                                   : ‫2-1 : اﻟﺘﺮﻣـﻴـﺰ اﻷﺳــﻲ ﻟﻌــﺪد ﻋﻘــﺪي ﻏﻴـﺮ ﻣﻨﻌــﺪم‬
                                             . θ ‫ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي اﻟﺬي ﻣﻌﻴﺎرﻩ 1 وﻋﻤﺪﺗﻪ‬θ ∈                              ‫ ﺣﻴﺚ‬ei θ ‫ﻧﺮﻣﺰ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‬
                                                                                                                                      : ‫أي‬
                                              ei θ = cos θ + i sin θ = [1 , θ ]

                                                                                                                                  : ‫أﻣﺜﻠــﺔ‬
                                                                       π
                                                                   i                π               π
                                                           e           2
                                                                           = cos         + i sin              = i                         -1
                                                                                    2                 2
                                                                       π
                                                               i                   π                π             1      3
                                                           e           3
                                                                           = cos        + i sin               =     + i                   -2
                                                                                    3               3             2     2

                                                          http//www.0et1.com                                                                     5
             ‫اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ‬         ‫اﻷﺳﺘﺎذ ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺮﻗﺒﺔ‬
                                                                                     : ‫ﻣﻼﺣﻈــﺔ‬
                                                      z =   [R , θ ]               : ‫1- إذا آﺎن‬

                                                      z = R ⋅ ei θ                   : ‫ﻓﺈن‬


          arg z2 ≡ α [ 2π ]               ;      arg z1 ≡ θ [ 2π ]                 : ‫2- إذا آﺎن‬

      z1
arg      ≡ θ − α       ;        arg z1 × z2 ≡ θ + α [ 2π ]                           : ‫ﻓﺈن‬
      z2

          ei θ
            iα
               = ei (θ −α )          ;        ei θ ⋅ ei α = ei (θ +α )
          e
                                                                ∀n ∈                         -3
                      arg z n = n arg z                [ 2π ]
                     (e )  iθ   n
                                    = ei n θ

                                e0 = 1
                            ei π = − 1
                                                                       : ‫2-2 : ﺻﻴﻐﺘــﺎ أوﻟﻴــﺮ‬
                     ei θ = cos θ + i sin θ                                              : ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                    e − i θ = cos θ − i sin θ
                                                                                          : ‫إذن‬
                                                       ei θ + e − i θ
                                         cos θ =
                                                            2

                                                 ei θ − e − i θ
                                         sin θ =
                                                      2i
                                              .‫ﻧﺴﻤﻲ هﺎﺗﻴﻦ اﻟﻤﺘﺴﺎوﻳﺘﻴﻦ ﺑﺼﻴﻐـﺘــﻲ أوﻟﻴــﺮ‬
                                                                              : ‫ﻣﻼﺣﻈــﺔ‬
                                                    ei n θ + e − i n θ
                                cos n θ =
                                                           2


                                                    ei n θ − e − i n θ
                                sin n θ =
                                                           2i
                                                                   : ‫ﺗﻄﺒﻴﻘــﺎت ﺻﻴﻐﺘــﺎ أوﻟﻴـــﺮ‬
                                                 La linéarisation                    ‫اﻻﺧﻄـــﺎط‬
                                                                                      : ‫ﻣﺜــــﺎل‬
                                                                         cos 2 θ    ‫1- أﺧﻄــﻂ‬



                http//www.0et1.com                                                                 6
         ‫اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ‬‫اﻷﺳﺘﺎذ ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺮﻗﺒﺔ‬
                              iθ
                      e + e−i θ
              cos θ =                                                      : ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                           2

                             (e         + e−i θ )
                                  iθ                2

          cos θ =
                2

                                         4
                             1
                         =
                             4
                                   (e   2iθ
                                              + e −2 i θ + 2 )              : ‫إذن‬

                             1   1
                         =     +              (2   cos 2θ )
                             2   4
                             1   1
                         =     +   cos 2θ
                             2   2
                                                                 sin 2 θ   ‫2- أﺧﻄــﻂ‬
                      ei θ − e − i θ
              sin θ =                                                      : ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                           2i
                  e 2 i θ + e −2 i θ − 2
          sin θ =
                2
                                                                            : ‫إذن‬
                           −4

                                 1 ⎛ e 2 i θ + e −2 i θ ⎞   1
                         = −       ⎜                    ⎟ +
                                 2 ⎝         2          ⎠   2

                                 1          1
                         = −       cos 2θ +
                                 2          2
                                                                 cos3 θ    ‫3- أﺧﻄــﻂ‬
               ei θ + e − i θ
  cos θ =
                    2
               1 3iθ
 cos3 θ =
               8
                 ( e + 3 e2 i θ ⋅ e−i θ + 3 ei θ ⋅ e−2 i θ + e−3 i θ )
          =
               1 3iθ
               8
                 e  (+ e −3 i θ + 3 ( ei θ + e − i θ )             )
               1
         =          (2   cos 3θ + 6 cos θ )
               8
               1          3
         =       cos 3θ +   cos θ
               4          4
                                                                           : ‫إذن‬
                         1          3
       cos3 θ =            cos 3θ +   cos θ
                         4          4
                                                                           : ‫ﺗﻌﺮﻳـــﻒ‬
. sin k x ‫و‬     cos k x ‫ ﺑﺪﻻﻟـﺔ‬sin n x ‫ و‬cos n x ‫اﻹﺧﻄﺎط هﻮ آﺘﺎﺑﺔ‬
                                              M o i v r e ‫اﻹﺧﻄــﺎط ﺑﺎﺳﺘﻌﻤـﺎل ﺻﻴﻐــﺔ‬
                          z = cos θ + i sin θ                              : ‫ﻧﻀﻊ‬
              http//www.0et1.com                                                        7
           ‫اﻷﺳﺘﺎذ ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺮﻗﺒﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ‬
                       z = cos θ − i sin θ
                           zz = 1
          2 cosθ = z + z            ‫و‬          2 i sin θ = z − z
                z n = cos nθ + i sin nθ
                z n = cos nθ − i sin nθ
                       zn ⋅ z n = 1
2 cos nθ = z n + z n       ‫و‬            2 i sin nθ = z n − z n
                                                        cos3 θ        ‫أﺧﻄﻂ‬
                  2 cosθ = z + z                                      : ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

                               (z   + z)
                                           3
                 8 cos3θ =

                           = z3 + 3 z 2 z + 3 z z 2 + z 3
                           = z3 + z 3 + 3( z + z )

                           = 2 cos 3θ + 3 × 2 cos θ
                               1          3
                           =     cos 3θ +   cos θ
                               4          4


                                                                    ‫اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻌﻘﺪي ﻟﻠﺪوران‬

                                                   ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي ﻣﻨﺴﻮب اﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ م م م‬
                                θ ‫ وزاوﻳﺘﻪ‬Ω (ω )        ‫اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ‬r             ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪوران‬
                                                       ⎧ΩM = ΩM ′
                                                       ⎪
                                        r (M ) = M ′ ⇔ ⎨                                   ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
                                                          (              )
                                                       ⎪ ΩM , ΩM ′ ≡ θ [ 2π ]
                                                       ⎩
                                                              ⎧ z′ − ω = z − ω
                                                              ⎪
                                                              ⎨      z′ − ω             ‫اذن‬
                                                              ⎪arg          ≡ θ [ 2π ]
                                                              ⎩      z −ω
                                                               z ′ − ω = eiθ ( z − ω ) ‫وﻣﻨﻪ‬


                                                                                       ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

                               θ ‫ وزاوﻳﺘﻪ‬Ω (ω )           ‫اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻌﻘﺪي ﻟﻠﺪوران اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ‬
                                                                 z ′ − ω = eiθ ( z − ω )     ‫هﻮ‬




             http//www.0et1.com                                                                 8

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:47
posted:1/27/2012
language:Persian
pages:8