log

1









y=log x

1 2 3 4 5 6 7









-1









-2









-3









1

發明對數的動機：天文科學

西元1594年，納皮爾根據等比數列與等差數列的運算

關係，發展出對數，目的是用來處理天文學上的問題。









2

引例說明

等比數列與等差數列的關係

例如 有一組等比數列如下：

10 103 105 107 109 1011 1013 1015 ……



將這一組等比數列分別取以10為底的

對數，可以得到下列的等差數列：

1 3 5 7 9 11 13 15……



你是否發現極大的數字是可以用簡單的數字表示呢？

就是因為如此簡便，天文科學家才喜愛引用對數來表

達極大的天文數字哦！！！

3

科學家伽利略曾說過：

『給我空間、時間和對數，

我就可以創造一個宇宙』









4

常用對數與生活：

‧噪音分貝



•化學酸鹼度

•芮氏地震規模

•益智類題：求ax之整數位數或在小數點

後第幾位出現非0數字……(本單元重點)

•其它：天文、科學、財經、生物等領域，

對數一直被廣泛應用。

5

聲音響亮程度以分貝計算





你知道嗎？

n隻蚊子在距離耳朵一米以內範圍，

其所發出來的聲音響亮程度是多少分貝？



答案是： 10 log n 分貝







6

嬌生PH 5.5

沐浴乳





PH值= -log H+

•純水之氫離子濃度為110-7mol/cm3

•純水之PH值= -log110-7 = 7

•愈高的PH值會有愈強的鹼度，

愈低的PH值會有愈強的酸度。

‧市面上賣的洗潔精、洗髮精、

沐浴乳、化妝品等等產品上都

有標明其PH值。

7

◎芮氏地震規模



台灣921芮氏

地震規模7.3





r = log10 I

r 代表芮氏地震規模

I代表地震時釋放出來的

相對能量程度



、

8

100

◎ 2 是幾位數？

嘿！嘿！嘿！挑戰：2連乘100次嗎?

25=32

210=1024

215=32768

220=1048576

‧‧‧‧‧‧‧‧

好大的數字啊！

有沒有更簡單的算法？







益智題

9

100

1 乘開之後，在小數點後面

 

2

第幾位出現非0數字？



哈~ 哈~ 哈~

把 0.5 連乘100次

就知道了！



有沒有更簡

便的方法？









益智題

10

(一)常用對數



1.定義：以10為底的對數，稱常用對數。

底數10可被省略不寫。

即log10 x =log x

2.求常用對數的方法：

查表計算法

使用計算機



11

(二)另一種表達型態



任一正數x，皆能表示如下：

log x = n +  = 整數 + 0或正純小數

n稱為首數(nZ)，

稱為尾數(0    1)。







12

1.科學記號：物理、化學、生物常使用



任一正數x都可以表示成



x = a  10n ，其中1  a  10,且n為整數。

例如：

23000=2.3  104

◎ a 的整數位是

2564 =2.564  103 1位數字！

0.012=1.2  10-2

0.00005=5  10-5

13

2.整數位數 與 10的次方 關係



實數 科學記號 整數位數

x a  10n m

321045000 3.21045  108 9位數

123000 1.23  105 6位數



2000 2 103 4位數

2468135 2.468135  106 7位數



n與整數位數m有何關係？



14

3. 小數點後第幾位出現非0數字

與 10的次方 關係

實數 科學記號 小數點後第m位

x a 10n 出現非0數字

0.00002 2  10-5 5

0.00456 4.56  10-3 3

0.00089 8.9  10-4 4

0.000000653 6.53  10 -7

7



n與小數點後第m位出現非0數字之關係？



15

4. 規則 小結



x = a 10n ，n為整數，且1  a  10

x科學記號中10的次方n代表的意義：

(1)當x  1時，可以知道x的整數位數共

有 n + 1 位。

(2)當0  x  1時，可以知道 x 在小數點

後面第  n  位出現非 0 的數字。



16

(三)常用對數特性的歸納

(1)任一正數x之常用對數可以表示為

一個整數 加上0或正純小數，即



log x = n +  其中n, 0<1.









17

說明一：



任一正數x ，其科學記號為x = 10n  a

其中 n 為整數，且 1  a  10

 log x = log (10n  a )

= log 10n + log a

= n + log a

= n +  ( 設 =log a )

所以，n為科學記號中10的整數次方。





18

說明二：

因為 =log a

1  a 10  log1  loga  log10

 0  loga  1

即 0  1

所以

log x = n +  ,

其中n為整數,為0或正純小數.





19

(2)小結



任意正數x，log x可以表示如下：



log x = n + , 其中n, 0<1.



n稱為真數x的首數，為尾數。

◎尾數為0或正純小數 、首數x為一整數。





20

(3)實例說明



…………

log2000=log103 2=log103+log2=3+0.3010

log200=log102 2=log102+log2=2+0.3010

log20=log101 2=log101+log2=1+0.3010

log2= 0.3010=0+0.310

log0.2=log10-1 2=log10-1+log2=-1+0.3010

log0.02=log10-2 2=log10-2+log2=-2+0.3010

log0.002=log10-3 2=log10-3+log2=-3+0.3010

…………

21

(四)首數與尾數 之練習題

log x = n +  其中n, 0<1.



練習、求下列的首數與尾數

(1) log x =4.8751 (2) log x =-2.6945

= 4 + 0.8751 = -3 + 0.3055

故 首數 = 4 ， 故 首數 = -3 ，

尾數 = 0.8751 尾數 = 0.3055





◎附註：首數為負數之另一種記法

如log x = -3 + 0.3055 = 3 .3055





22

(五)真數x的位數與首數n的關係



1.若真數 x1 時

真數x有m(=n+1)位整數



 log x的首數n=m-1 例如：

23000=2.3104



◎log x的首數n就是真數x科學記號中10的次方n。



返回

23

例題一：求下面對數值之首數



(1)log 1234 (2)log987.654





解： 解：

1234 987.654

= 1.234×103 = 9.87654102

log1234之首數為3 log987.654之首數為2







隨堂練習1.

24

隨堂練習1.：求下面對數值之首數



(1)log 7 (2)log452

解答提示：

(1) 7=7100

(2) 452=2025=2.025 103









25

例題二、求真數 x 之整數位有幾位？



(1) log x = 1.51 (2) log x =4.221





解： 解：

log x = 1.51 log x = 4.221

=1 + 0.51 =4 + 0.221

n=1 n=4

整數位=1+1=2 整數位=4+1=5







26

隨堂練習2：

求真數 x 之整數位有幾位？



(1)log x = 3.21 (2) log x =5.001



解答提示：

(1)n=3，3+1=4

(2)n=5，5+1=6





27

2.若真數 x 在0、1之間





在小數點後面第m位出現非0數字



 log x的首數n = - m



例如：

0.0023=2.310-3

返回

◎ 註： m=| n |



28

例題三：求下面對數值之首數



(1)log 0.0345 (2)log0.00007



解： 解：

0.0345 0.00007

= 3.4510-2 = 710-5

log0.0345之首數為-2 log0.00007之首數為-5









29

隨堂練習3：求下面對數值之首數



(1)log 0.9009 (2)log0.002



解答提示：

(1)0.9009=9.009 10-1

(2)0.002=2 10-3







30

例題四：求下列真數X在小數點後

第幾位出現非0數字？





(1)logx=-5+0.321 (2)logx=-3.245



解： 解：

logx= - 3.245

首數 n= -5 = -4 + 0.755

真數x在小數點後 首數 n= -4

第5位出現非0數字。 真數x在小數點後

第4位出現非0數字。



31

隨堂練習4：求下列真數X在小數

點後第幾位出現非0數字？



(1)logx=-4+0.214 (2)logx=-2.01



解答提示：

(1)n=-4

(2)-2.01=-3+0.99,n=-3









32

(五) 首數的應用



• 230乘開後是幾位數？



• (1/2)20乘開後，在小數點後第幾位

出現非0的數？









33

例題五： 230乘開後是幾位數？(log2=0.3010)



解： (求log 230之首數) 重點提示





令x = 230

 log x = log 230 = 30 log 2

= 300.3010 = 9.030 = 9 + 0.030



 log x 首數為9  x 為10位數

故 230乘開後是10位數



隨堂練習5： 2100乘開後是幾位數？

34

例題六：(1/2)20乘開後，在小數點後第幾

位出現非0的數字？ (log2=0.3010)



解： (求log(1/2)20之首數) 重點提示



令x = (1/2)20

 log x = log (1/2)20 = 20 log(1/2)

= -20 log 2 = -200.3010

= -6.020 = -7 + 0.980



 log x 首數為 -7

 x 在小數點後第7位出現非0的數

故(1/2)20乘開後在小數點後第7位出現非0的數字

隨堂練習6：(1/2)100乘開後，在小數點後第

幾位出現非0的數字？

35

◎重點總結



今天上了哪些？我們再重新回想一次！

• 常用對數定義

• 常用對數應用

• 任意正數之科學記號表示

• 任意正數之對數可表示為(首數 + 尾數)

(整數 + 0或正純小數)

• 首數之應用(與位數關係)



36