Apostila MatematicaFinanceiraII

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					   Matemática Financeira




PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                         Matemática Financeira




      O que é melhor juros simples ou juros compostos?
      Pagar a vista ou comprar a prazo?
      Receber hoje R$ 1,00 é melhor que receber o mesmo valor daqui a um ano?


      Podemos ver que, durante o prazo da operação, o valor do dinheiro envolvido
numa transação financeira varia com o tempo. Em geral, todo empreendimento
envolvendo dinheiro necessita de avaliações periódicas, antes de ser aceito e no
decorrer do prazo até a data final do empreendimento. Portanto, necessitamos de
procedimentos de avaliação do resultado de uma operação em qualquer data. A
Matemática   Comercial   e   Financeira   é   a   disciplina   dedicada   ao   estudo   do
comportamento do dinheiro em função do tempo.


      O livro Matemática Financeira para Cursos de Graduação, tem como objetivo
capacitar e atender as necessidades de conhecimentos e atualizações dos profissionais
e de graduando de todas as áreas do conhecimento, proporcionando maior agilidade
na tomada de decisão. Além de permitir ao profissional maior capacitação para o
competitivo mercado de trabalho.


      Uma advertência deve ser feita àqueles que pretendem estudar Matemática
Financeira ou se dedicar a algum trabalho nessa área. São exigidos desses estudantes
e profissionais análise atenta dos problemas que querem resolver, compreensão clara
das operações financeiras ali envolvidas e familiaridade não só com a linguagem dos
negócios, como também com fórmulas e calculadoras que utilizará. E tudo isso só se
consegue com muito exercício, principalmente para aqueles que se lançam na área
pela primeira vez.


      Neste livro, antes do estudo dos tópicos da Matemática Financeira, serão
relembradas algumas operações básicas da Matemática que facilitarão o uso das
ferramentas em Operações Elementares da Matemática. Em seguida, abordaremos as
Regras de Sociedade e Regra de Três Simples e Compostas. No terceiro tópico serão

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                          Matemática Financeira
tratados os tópicos da Matemática Comercial. O tópico seguinte apresenta o conceito
de porcentagem, dos juros simples e descontos simples. Logo após, são tratados os
juros compostos e descontos compostos. No sexto tópico, será apresentado o valor do
dinheiro no tempo, através das anuidades e suas diversas classificações. Por fim,
serão apresentadas as diversas modalidades de sistemas de amortização e Análise de
Investimentos.


      Os exemplos estão de forma de facilitar a compreensão dos conceitos e dos
exercícios propostos, para que o estudante possa fixar e aplicar, os conceitos
apresentados em novas situações.


      A matemática financeira por muitas vezes é considerada matéria difícil porque
as pessoas tentam usá-la sem método. Antes de se lançar de cabeça na resolução dos
problemas lembre-se que existem passos a serem seguidos. Primeiro é necessária
uma correta interpretação dos problemas, ver realmente o que ele quer que seja
calculado; segundo organize os dados do problema, veja o que se tem e o que se quer
calcular e quais são as ferramentas (fórmulas) que se tem disponível e, por fim, faça
o desenvolvimento do raciocínio aplicando o método correto, sempre testando para
ver se o resultado encontrado e condizente com os dados do problema.


      Neste trabalho quase todos os exercícios estão resolvidos apenas com a
utilização das fórmulas, somente os de Analise de Investimentos no calculo da Taxa
Interna de Retorno é que serão resolvidos pela calculadora HP 12 C e pela planilha do
Excel devido a sua complexidade na resolução pelas fórmulas.


      Recomendamos o livro Matemática Financeira com a calculadora HP 12 C para
que você possa ir se identificando com a utilização dessa calculadora que é uma das
ferramentas de gestão financeira, moderna, eficiente e com condições de resolver a
maioria dos problemas gerados no dia a dia do gestor de negócios financeiros.


      Portanto prepare-se, já estamos no século XXI, e o mundo não acabou, pelo
contrário, estamos mais vivos do que nunca. Entramos na era do “saber” fazer a
diferença, aprender a fazer coisas novas, desaprender as velhas e reaprender
novamente.




                      PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                                 Matemática Financeira
                                                 ÍNDICE
INTRODUÇÃO ............................................................................................ 06
CAPITALIZAÇÃO FINANCEIRA COMPOSTA ................................................. 07
JUROS COMPOSTOS ......................................................................................... 66
MONTANTE COMPOSTO...................................................................................... 66
TAXAS EQUIVALENTES ...................................................................................... 72
TAXA EFETIVA COMPOSTA .................................................................................. 74
DESCONTO COMPOSTO ..................................................................................... 75
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO ........................................................................ 75
DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO ....................................................................... 76
SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTO ............................................................ 80
ANUIDADES OU RENDAS CERTAS .......................................................................... 81
VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA ................................................... 83
VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA ..................................................... 87
ANUIDADES DIFERIDAS OU COM CARÊNCIA ............................................................. 90
VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA ...................................................... 92
VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA ....................................................... 95
COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO ......................................................................... 97
ANUIDADES PERPÉTUAS .................................................................................... 99
VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL ........................................................ 100
VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL ........................................................... 101
ANUIDADE EM QUE O PERÍODO DE TEMPO NÃO COINCIDE COM AQUELE QUE SE REFERE À TAXA. 103
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO .................................................................... 105
SISTEMA DO MONTANTE .................................................................................... 107
SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS ........................................................................ 108
SISTEMA AMERICANO ....................................................................................... 111
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS OU PRICE – SPC ................................................ 112
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC ......................................................... 113
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO – SAM ............................................................... 115
SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS ................................................................. 116
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ................................................................... 120
VALOR PRESENTE LIQUIDO – NPV ......................................................................... 121
TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR ........................................................................ 125
QUESTÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA CONCURSOS PÚBLICOS ............................. 131
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................... 158



                            PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                             Matemática Financeira




        Matemática Financeira: Dentre várias definições, “é a ciência que estuda o
dinheiro no tempo” (Lawrence Jeffrey Gitman). O conhecimento de matemática
financeira é indispensável para compreender e operar nos mercados financeiro e de
capitais, e atuar em administração financeira com baixo tempo e custo de decisão.
        Ao longo da história, o homem notou uma possível relação entre o tempo e o
dinheiro, ele percebeu que o dinheiro perdia valor de acordo com o tempo, dessa
forma, a correção monetária deveria ser feita, aumentando o poder de compra do
capital. A ideia de juros pode ser atribuída aos primeiros indícios de civilizações
existentes, fatos históricos relatam que, na Babilônia, comerciantes emprestavam
sementes aos agricultores que, ao colherem a plantação, pagavam as sementes
emprestadas mais uma determinada parte da colheita.
        As práticas financeiras eram utilizadas no intuito da acumulação de capital, as
formas econômicas de movimentação dos capitais foram adaptadas de acordo com a
evolução das sociedades. O escambo era utilizado porque não existia uma moeda de
troca, o surgimento do dinheiro originou a criação de mecanismos controlados
inicialmente por pessoas denominadas cambistas. Eles exerciam a profissão que hoje
é atribuída aos banqueiros, sentados num banco, nos mercados, eles realizavam
operações de empréstimo, que eram quitados acrescidos os juros e na organização de
ordens de pagamentos para particulares. Dessa forma, os cambistas tinham seus
lucros e comissões pelos serviços prestados.
        A necessidade de organização desse tipo de comércio fez surgir os bancos, que
dinamizaram a economia, eles tiveram papel importante nas negociações entre os
povos que realizavam operações comerciais no Mar Mediterrâneo. Fenícios, Gregos,
Egípcios e Romanos possuíam importante participação nos métodos bancários.
        Foram os bancos que contribuíram para o aprimoramento das técnicas
financeiras e surgimento dos juros compostos. Atualmente, a Matemática Financeira
possui inúmeras aplicabilidades no cotidiano, englobando situações relacionadas ao
ganho     de   capital,   pagamentos   antecipados    e   postecipados,   porcentagem,
financiamentos, descontos comerciais entre outros produtos do meio financeiro.
        Qual o objetivo principal da matemática financeira?




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                         Matemática Financeira
      A matemática financeira busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro
ao longo do tempo, determinando o valor das remunerações relativas ao seu tempo.
      A Matemática Financeira é a parte da Matemática que tem por objetivo resolver
problemas relacionados às Finanças. Possui técnicas e fórmulas próprias que
permitem estudar o comportamento do dinheiro em função do tempo, considerando
algumas das características do mercado.
      O conhecimento da Matemática Financeira permite o melhor uso dos conceitos
da Administração Financeira, pois, através de suas técnicas, o indivíduo é capaz de
tomar decisões mais seguras em relação aos investimentos. Não deve ser usada
somente pelos chamados ‘financistas’ nas questões organizacionais, mas sim por
todos os indivíduos em quaisquer situações em que uma decisão financeira deva ser
tomada.




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      Quando uma determinada soma de dinheiro está aplicada a juros simples, os
juros são sempre calculados sempre sobre o montante inicial. Quando uma soma está
aplicada a juros compostos, os juros são calculados não apenas sobre o capital inicial,
mas sobre este capital acrescido dos juros já vencidos.
      Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal
acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização
a taxa varia exponencialmente em função do tempo.
      São objetos de estudo da capitalização financeira composta:
      >   OS JUROS COMPOSTOS
      >   O MONTANTE COMPOSTO
      >   TAXAS EQUIVALENTES
      >   TAXA EFETIVA COMPOSTA
      >   O DESCONTO COMPOSTO
      >   DESCONTO RACIONAL COMPOSTO
      >   DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO




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 OS JUROS COMPOSTOS


      A dedução da fórmula dos juros compostos é feita a partir da fórmula do
montante composto que veremos a seguir, pois o juro do período nada mais é que o
valor do montante FV menos o valor do principal PV.
      Sendo PV o valor do principal, n o período de aplicação, i a taxa unitária e J o
juro do período, temos:



J = PV [(1 + i)n – 1]            ►   Fórmula para calcular o Juro Composto


Exemplo 46: Calcular o juro composto de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa

de 4% ao mês, durante 5 meses.
Dados:                                              Resolução
C = 1.000,00                                        J = PV [(1 + i)n – 1]
n = 5 meses                                         j = 1.000 [(1 + 0,04)5 – 1]
i = 4% ao mês                                       J = 1.000 [1,045 – 1]
J=?                                                 J = 1.000 [1,216653 – 1]
                                                    J = 1.000 . 0,216653
                                                    J = 216,65
      Logo o juro composto do período foi de R$ 216,65.
      A fórmula de juros compostos não é muito utilizada, pois a maioria dos
problemas quase sempre esta “pedindo” o montante composto. Tendo calculado o
valor do montante basta fazer J = FV – PV



 O MONTANTE COMPOSTO


      O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja,
é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao
prazo da aplicação ou da divida.
      A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, FV, o montante, PV, o capital
inicial, n, o período e i, a taxa.
       Da capitalização simples, sabemos que o rendimento se dá de forma linear ou
proporcional. A base de cálculo é sempre o capital inicial. No regime composto de
capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma exponencial.          Os juros do
período são calculados com base num capital, formando um montante, que será a
nova base de cálculo para o período seguinte.


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                            Matemática Financeira
         Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende
juros.
         Sendo o tempo de aplicação igual a 2 anos, por exemplo, e os juros
capitalizados    mensalmente, teremos         24 períodos   de   capitalização;   para uma
capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a capitalização
for semestral, será 4 , e assim sucessivamente.
         A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais
complexa que aquela já vista para a capitalização simples e para facilitar o
entendimento, vamos admitir que defrontamos com o seguinte problema:


Exemplo 47: Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m.,

temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a
aplicação inicial vai render 5 vezes.


Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos:


                          Período        CAPITAL        MONTANTE

                         1º período: R$ 1.000,00 . 1,02 = R$ 1.020,00

                         2º período: R$ 1.020,00  1,02 = R$ 1.040,40

                         3º período: R$ 1.040,40  1,02 = R$ 1.061,21

                         4º período: R$ 1.061,21  1,02 = R$ 1.082,43

                         5º período: R$ 1.082,43  1,02 = R$ 1.104,08


Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08.


No cálculo, tivemos
R$ 1.000  1,02  1,02  1,02  1,02  1,02
= R$ 1.000  (1,02)5
= R$ 1.000  1,10408
= R$ 1.104,08


         Observamos o fator (1,02)5. Essa potência pode ser calculada com calculadoras
científicas ou com auxílio das tabelas financeiras.



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                            Matemática Financeira
       Generalizando, o cálculo do montante a juros compostos será dado pela
expressão abaixo, na qual FV é o montante, PV o capital, i é a taxa de juros e n é a
quantidade de capitalizações.


FV = PV  (1 + i)n      ►       Fórmula para o cálculo do Montante Composto




        FV
     log
n      PV              ►       Fórmula para o cálculo do valor do tempo de aplicação
   log (1  i )


   Existem outras fórmulas especificas para se calcular o valor do Capital (PV) e o
valor da taxa (i) mas, para evitar um acumulo desnecessário de fórmulas e macetes,
foi de propósito suprimido as mesmas, visto que elas são derivadas da fórmula
principal.
       Comparando o cálculo composto (exponencial) com o cálculo simples (linear),
vemos no cálculo simples:


                      CAPITAL            JUROS           MONTANTE
                  R$ 1.000,00  0,02 = R$ 20,00  M = R$ 1.020,00
                  R$ 1.000,00  0,02 = R$ 20,00  M = R$ 1.040,00
                  R$ 1.000,00  0,02 = R$ 20,00  M = R$ 1.060,00
                  R$ 1.000,00  0,02 = R$ 20,00  M = R$ 1.080,00
                  R$ 1.000,00  0,02 = R$ 20,00  M = R$ 1.100,00


       Portanto, o montante simples, ao final dos 5 meses será R$ 1.100,00.


       Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros
compostos e os juros simples, apresentam valores iguais. A partir daí, o rendimento
composto passa a superar o simples.


Exemplo 48: Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$

600,00, à taxa composta de 4% ao mês.
Resolução: A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado
teremos 12 capitalizações.




                      PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                          Matemática Financeira
Dados:                                       Solução:
PV = 600,00                                  FV = PV  (1 + i)n
n = 12                                       FV = 600  (1 + 0,04)12
i    = 4% a m.                               FV = 600  (1,04)12
FV    =?                                     FV = 600  1,60103
                                             FV = R$ 960,62


Exemplo 49: Determine o capital inicial que empregado a 75 dias para a taxa de 2,7%

a.m. rendeu R$ 117,58.
Dados:                                       Solução:
PV = ?                                       FV = PV  (1 + i)n
n = 75 dias = 2,5 meses                      117,58 = PV ( 1 + 0,027)2,5
i    = 2,7% a m.                             117,58 = PV ( 1,027)2,5
FV    = 117,58                               117,58 = PV 1,0689
                                             117 ,58
                                                      PV
                                             1,0689
                                             PV = 110,00


Exemplo 50: Uma aplicação de R$ 240,00 à taxa de 2,8% a.m. rendeu R$ 248,77.

Calcular o período para esse investimento.
Dados:                                       Solução:
PV = 240,00                                  FV = PV  (1 + i)n
n =?                                         248,77 = 240( 1 + 0,028)n
i    = 2,8% a m.                             248,77 = 240 (1,028)n
FV    = 248,77                               248,77
                                                     (1,028) n
                                              240
                                             1,0365 = ( 1,028)n
                                             log(1,0365) = log(1,028)n
                                             log (1,0365)= n . log (1,028)
                                             0,0359 = n. 0,0276
                                                  0,0359
                                             n=           1,3meses
                                                  0,0276
                                             1,3 = 13/10 = 39/30 = 39 dias


Exemplo 51: Antônio foi a uma instituição financeira e aplicou R$ 280,00 por 45 dias

obtendo ao final R$ 290,57. Calcular a taxa mensal de rendimento.



                      PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                           Matemática Financeira
Dados:                                       Solução:
PV = 280,00                                  FV = PV  (1 + i)n
n = 45 dias ou 1,5 mês                       290,57 = 280(1 + i)1,5
i    =?                                      290,57
                                                      (1  i )1,5
FV    = 290,57                                 280
                                             1,0378  (1  i )1,5
                                                      1

                                             1,0378  1, 5
                                                             1 i


                                             1,02501 – 1 = i
                                             0,02501 = i
                                             i = 0,02501 (x 100)
                                             i = 2,504% a.m.



                                EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO


1. Uma empresa aplicou o valor de R$ 780,00 numa conta que paga juros a uma taxa
     efetiva de 23% a.a., ano comercial, capitalizada diariamente, durante 35 dias.
     Calcule o montante. Resposta: R$ 795,85


2. O valor de R$ 440,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de 1,8% a.m.,
     formando um montante de R$ 488,55. Quanto tempo ficou aplicado? Resposta: 6
     meses


3. O valor de R$ 890,00 foi aplicado em RDB, à taxa efetiva de 19% a.a., ano
     comercial, durante 36 dias, capitalizado diariamente. Calcule o montante.
     Resposta: R$ 905,61


4. O valor de R$ 670,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 1,7% a.m.,
     capitalizado mensalmente, rendendo de juros R$ 75,07. Quanto tempo ficou
     aplicado? Resposta: 5 meses


5. Uma empresa aplicou um valor numa conta que paga juros composto a uma taxa
     efetiva de 23% a.a., ano comercial, capitalizada diariamente, durante 35 dias, que
     formou um montante de $ 780,00. Calcule o valor aplicado. Resposta: R$ 764,45




                       PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                           Matemática Financeira
6. O valor de R$ 2.400,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 12% a.s.,
   capitalizado mensalmente, durante 2 anos. Calcule o valor dos juros. Resposta: R$
   1.376,44


7. O valor de R$ 1.280,00 foi aplicado a juros compostos, durante 3 anos e 2 meses,
   rendendo de juros $ 1.420,00. Calcule a taxa de juros. Resposta: 0,273% ao mês


8. O valor de R$ 3.620,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 2,3%
   a.m. formando um montante de R$ 4.130,35. Quanto tempo ficou aplicado?
   Resposta: 6 meses


9. O valor de R$ 1.940,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 12% ao
   semestre, capitalizado mensalmente, durante 3 anos e 4 meses. Calcule o
   montante. Resposta: R$ 4.129,73


10.Qual o tempo necessário para que um capital aplicado a taxa de 2,6% ao mês
   duplique de valor? Resposta: 27 meses


11.O valor de R$ 1.940,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 12%
   a.s., capitalizado mensalmente, durante 1 ano e 8 meses. Calcule o montante.
   Resposta: R$ 2.830,49


12.Um valor aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 18% a.a., capitalizada
   mensalmente, rendeu de juros R$ 1.460,00, após a aplicação durante 2 anos.
   Calcule o valor aplicado. Resposta: R$ 1.048,54


13.Qual a taxa necessária para que um capital aplicado durante um ano triplique de
   valor. Resposta: 9,58%


14.Que valor, aplicado a juros compostos à taxa efetiva de 4% a.m., rendeu de juros
   o valor de R$ 1.180,00, sabendo que ficou aplicado durante 9 meses? Resposta:
   R$ 829,05


15.Um capital de R$ 200.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule
   o juro acumulado após 4 anos. Resposta: R$ 92.820,00.


16.Um certo capital é aplicado em regime de juros compostos à uma taxa anual de
   12%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado? Resposta: 9,7 anos ou
   9 anos e 9 meses



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                           Matemática Financeira
17.O valor de R$ 2.400,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 12% a.s.,
   capitalizado mensalmente, durante 2 anos. Calcule o valor dos juros. Resposta: R$
   1.376,45


18.O valor de R$ 1.280,00 foi aplicado a juros compostos, durante 3 anos e 2 meses,
   rendendo de juros R$ 1.420,00. Calcule a taxa de juros. Resposta: 1,98% ao mês


19.O valor de R$ 2.400,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 12%
   a.s., capitalizado mensalmente, durante 2 anos. Calcule o valor dos juros.
   Resposta: R$ 1.460,25


20.Um valor aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 18% a.a., capitalizada
   mensalmente, rendeu de juros R$ 1.460,00, após a aplicação durante 2 anos.
   Calcule o valor aplicado. Resposta: R$ 3.399,28


21.O valor de R$ 440,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de 1,8% a.m.,
   rendendo de juros R$ 488,59. Quanto tempo ficou aplicado? Resposta: 3 anos, 5
   meses e 26 dias


22.O valor de R$ 670,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 1,7% a.m.,
   capitalizado mensalmente, rendendo de juros R$ 75,07. Quanto tempo ficou
   aplicado? Resposta: 6 meses e 9 dias




 TAXAS EQUIVALENTES COMPOSTAS


   Certa taxa a um dado período será equivalente a outra taxa e seu respectivo
período se ambas apresentarem o mesmo montante ou valor futuro.


Matematicamente:


FV = PV (1 + i1 )n1 e FV = PV (1 + i2)n2
Igualando os temos: PV (1 + i1)n1 = PV (1 + i2)n2 → (1 + i1)n1 = (1 + i2)n2
   Simplificando ainda mais a fórmula podemos escrever que a taxa equivalente
composta será dada por:



Ti  1  i 
                Q
                T    1       ► Fórmula para calcular a Taxa Equivalente Composta


                      PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                            Matemática Financeira
onde:
Ti: Taxa Equivalente Composta
i: taxa unitária
Q: Tempo que eu quero
T: Tempo que eu tenho
Obs: Multiplicar o valor final por 100 para transforma a taxa unitária em porcentual.


Exemplo 52: Determinar as taxas equivalentes mensais para:

   a) 20% a.a.                                          c) 12% a.s.
   b) 5% a.b.                                           d) 0,4% a.d.



                                                Resolução
a) 20% ao ano           b) 5% ao Bimestre            c)12% ao Semestre      d) 0,04% ao Dia

Ti  1  i T  1      Ti  1  i  T  1          Ti  1  i  T  1
              Q                       Q                            Q
                                                                            Ti  1  i  T  1
                                                                                        Q



Ti  1  0,2 12  1   Ti  1  0,05 2 1         Ti  1  0,12 6 1
                   1                        1                           1
                                                                            Ti  1  0,004 1 1
                                                                                              30



Ti  1,2 
          121
                  1    Ti  1,05
                                    2 1
                                           1        Ti  1,12
                                                                6 1
                                                                       1   Ti  1,004 1
                                                                                         30


Ti  1,01530  1        Ti  1,0246951              Ti  1,01906 1        Ti  1,12722 1
Ti  0,01530  x100    Ti  0,024695 x100         Ti  0,01906  x100   Ti  0,12722  x100
Ti  1,53% ao mês       Ti  2,4695% ao mês          Ti  1,906% ao mês     Ti  12,722 % ao mês

                                  EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO


23.Certo capital é aplicado por um ano à taxa de 30% a.a.. Obter as seguintes taxas
   equivalentes:
   a) mensal
   b) trimestral
   c) semestral
   d) diária
Respostas: a) 2,21% a. m.; b) 6,77% a. t.; c) 14,01% a. s.; d) 0,072% a. d.


24.Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m., no regime de juros compostos?
   Resposta: 26,82% ao mês


25.Qual a taxa mensal equivalente a 0,033173% a.d., no regime de juros compostos?
   Resposta: 1% ao mês

                        PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                                Matemática Financeira
26.Determine a taxa anual equivalente a 0,2% a.d., no regime de juros composto.
    Resposta: 7,464% ao ano


27.Calcule a taxa semestral equivalente a 45% a.a., no regime de juros compostos.
    Resposta: 20,41% a. s.


 TAXA EFETIVA COMPOSTA


         É a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente.
Isto acontece em razão de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões que
comprometem os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros. Critérios
diferentes para o cálculo de juros também fazem a taxa nominal diferir da taxa
efetiva, como por exemplo, juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um
total que na realidade é pago em parcelas.
         Esses e outros artifícios às vezes são utilizados conscientemente para mascarar
a taxa efetiva ou fazer os juros parecerem maiores ou menores conforme a
conveniência.
         Para calcular a taxa efetiva composta usamos a fórmula derivada do Montante
Composto.

         FV
ie  n      1           ►    Fórmula para calcular a Taxa Efetiva Composta
         PV


Exemplo 53: Uma instituição financeira faz empréstimos e cobra 2% ao mês de juros

composto que devem ser pagos antecipadamente pelo tomador. Qual a taxa efetiva
que o tomador pagou por um empréstimo de R$ 5.000,00 por três meses?

         FV
ie  n      1
         PV
          5.000
ie  3            1
         4.693,96
ie  3 1,065199  1
ie  1,021277  1
ie  0,021277  x 100
ie  2,127%
Logo a taxa efetiva foi de 2,127% ao mês.
 DESCONTO COMPOSTO




                             PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                          Matemática Financeira
      É o abatimento concedido sobre um título por seu resgate antecipado, ou a
venda de um título antes do seu vencimento, observando os critérios da capitalização
composta. Como no desconto simples temos duas formas de desconto composto:
a) Desconto racional ou por dentro.
b) Desconto comercial, bancário composto ou por fora.
      O desconto composto pode ser definido como a soma dos descontos simples,
considerando cada período na operação e calculando sempre as taxas sobre o valor
nominal da operação.


 Exemplo de definição
   Se um título qualquer é pago com 5 meses de antecedência, o desconto composto
seria calculado da seguinte forma:
   Leva-se em consideração o valor nominal do título na operação e calcula-se o valor
   P (valor atual) 1 mês antes do vencimento;
   Se pega o valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os
   cálculos com 2 meses antes do vencimento;
   Deste valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos
   com 3 meses antes do vencimento;
   Deste valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos
   com 4 meses antes do vencimento;
   Terminando então o período, se pega o valor total encontrando e o torna como
   nominal e efetuam-se os cálculos com 5 meses antes do vencimento;
   Desta forma, quando os descontos são as somas de vários períodos na operação
ele é chamado de desconto real. O desconto bancário é a soma dos descontos
comerciais.


 DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO


      Como o desconto comercial ou bancário simples, o desconto comercial ou
bancário composto é calculado sobre o valor nominal do título.
      As fórmulas para o cálculo do desconto comercial composto, relativo a um dado
título de crédito, são obtidas pelas fórmulas do desconto comercial simples, aplicadas
período a período. Chamamos de VA o valor atual comercial do título, n períodos
antes de sua data de vencimento, temos:


VA = VN (1 – i)n              ►       Fórmula para o cálculo do Valor Atual


                       PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                               Matemática Financeira

Dc = VN [1 – (1 – i)n]               ►    Fórmula para o cálculo do Desconto Comercial


         VA
VN                                  ►    Fórmula para o cálculo do Valor Nominal
       (1  i ) n


Exemplo 54: Calcular o valor atual de um título de $ 20.000 descontados um ano

antes do vencimento a taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre
capitalizável trimestralmente.
Dados:                                            Solução:
VN = 20.000,00                                    VA = VN  (1 – i)n
n =4                                              VA = 20.000  (1 – 0,05)4
i   = 5% a t.                                     VA = 20.000  (0,95)4
VA    =?                                          VA = 20.000 0,814506
                                                  VA = R$ 16.290,12


Exemplo 55: No exercício anterior qual foi o valor do desconto comercial composto?

Fazendo D = VN – VA, temos:
D = VN – VA
D = 20.000 – 16.290,12
D = R$ 3.709,88




 DESCONTO RACIONAL COMPOSTO



       Os Descontos Racionais Composto, relativos a um dado título de crédito, é a
diferença entre o valor nominal e o valor atual deste, os quais são determinados com
base no sistema de capitalização composta.
       O valor do desconto é calculado sobre o valor atual, como também o é em
desconto       racional   simples,   divergindo   apenas     por   agora   considerarmos   uma
capitalização, ou seja, usarmos potenciação com em capitalização composta.
       Como se trata de um Desconto Racional Composto, a fórmula para o valor atual
pode ser obtida pela relação do montante composto.


VN = VA (1 + i)n                     ►    Fórmula para o cálculo do Valor Nominal



                           PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                          Matemática Financeira
Dc = VN [1 – (1 + i)-n]        ►    Fórmula para o cálculo do Desconto Racional


VA = VN (1 + i)-n              ►    Fórmula para o cálculo do Valor Atual




Exemplo 56: Encontrar o desconto Racional Composto, concedido no resgate de um

título de R$ 50.000,00, recebido 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 2% ao
mês.
Dados:                                     Solução:
VN = 50.000,00                             Dr = VN  [1 - (1 + i)-n]
n =2                                       Dr = 50.000  [1 - (1 + 0,02)-2]
i   = 2% a t.                              Dr = 50.000  [1 - (1,02)-2]
VA    =?                                   Dr = 50.000  [1 – 0,961169]
                                           Dr = 50.000 . 0,038831
                                           Dr = 1.941,56


                               EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO


28.Qual o Valor Atual de um título de R$ 100.000,00, 3 meses antes de seu
     vencimento, considerando-se a taxa composta de 4% ao mês, sob o critério do
     desconto comercial composto. Resposta: R$ 88.473,60


29.Qual o Valor Atual de um título de R$ 100.000,00 resgatado racionalmente a taxa
     composta de 4% ao mês, 3 meses antes do vencimento? Resposta: R$ 88.899,60


30.O valor de um título, descontado 6 meses antes de seu vencimento, reduziu-se de
     R$ 465,85 para R$ 350,00. Qual a taxa bimestral racional composta adotada nessa
     operação? Resposta: 10%


31.Por um título de R$ 10.000,00 paguei R$ 8.879,71. Qual o prazo de antecipação
     desse título, se o desconto racional composto deu-se a 2% ao mês? Resposta: 6
     meses


32.Determine o Desconto Racional e Composto e o valor atual das hipóteses
     seguintes:
    Valor Nominal – em reais       Taxa     Prazo até o vencimento
A 15 000,00                     25% a ano 8 meses

                       PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                         Matemática Financeira
B 3 000,00                     20% a ano 150 dias
C 5 000,00                     32% a ano 25 dias
d 6 000,00                     28% a ano 9 meses e 15 dias


33.Determine o Desconto Comercial Composto e o valor atual das hipóteses
   seguintes:


  Valor Nominal – em reais       Taxa     Prazo até o vencimento
A 12 500,00                    37% a ano 25 dias
B 18 000,00                    35% a ano 45 dias
C 20 000,00                    28% a ano 3 meses
d 22 000,00                    27% a ano 4 meses e 12 dias


34.Se o Desconto Comercial Composto for de R$ 1.125,00, qual será o valor nominal,
   se a taxa considerada for de 27% ao ano e o prazo de antecedência 100 dias.
   Resposta: R$ 13.439,65


35.Por ter pago uma dívida de R$ 30.000,00, 4 meses antes de seu vencimento, uma
   pessoa obteve um desconto de R$ 2.284,65. Qual a taxa de desconto racional
   envolvida nessa operação? Resposta: 2% ao mês


36.Uma nota promissória foi descontada 4 meses antes de seu vencimento à taxa
   composta de 2,16% ao mês. Sabendo-se que o Valor Atual Comercial foi de R$
   18.266,67, qual seria seu valor nominal? Resposta: R$ 19.933,96


37.Uma empresa tomou emprestado de um banco a quantia de R$ 2.000,000,00 à
   taxa de juros composto de 1,2% ao mês, por 7 meses. No entanto, 15 dias antes
   da data prevista para o vencimento, a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o
   valor a ser pago, se nessa data o banco estava operando a 1,5% ao mês?
   Resposta: R$ 2.158.045,32


38.Uma empresa, possuidora de um título de R$ 40.000,00, com vencimento para 7
   meses, deseja substituí-lo por outro, com vencimento para 5 meses. Qual será o
   valor do novo título, uma vez que a taxa adotada na operação é de 4% ao mês e o
   critério adotado, o do desconto racional composto? Resposta: R$ 36.982,24


39.Um título de R$ 35.000,00, com vencimento em 21/10/2009, foi descontado em
   21/09/2009 em um banco que cobra 14% ao ano pelo critério do Desconto


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                        Matemática Financeira
  Racional Composto. Qual o valor recebido pelo título em 21/09/2009. Resposta: R$
  34.619,91


40.Calcular o desconto comercial de um compromisso no valor nominal de R$
  7.500,00, considerando-se a taxa de juros simples de 8,8 % ao ano e o
  prazo de antecipação do resgate como sendo de 50 dias. Que taxa de juros
  efetiva composta está sendo adotada? Resposta: 9,25% ao mês


41.O valor atual bancário de uma nota promissória descontada 3 meses antes
  de seu vencimento é de R$ 11.040,00. Qual será a taxa de juros efetiva, se
  a taxa de desconto simples for de 36% ao ano e a taxa administrativa for
  de 1,25%? Resposta: 3,67% ao mês


42.Um título a vencer em 90 dias, no valor de R$ 10.000,00, foi descontado
  por R$ 9.375,00. Qual a taxa de desconto composto racional e qual a taxa
  efetiva composta? Resposta: 2,17% ao mês; 2,17% ao mês


43.Uma duplicata no valor de nominal de R$ 8.000,00 foi descontada 60 dias
  ante de seu vencimento a 24% ao ano. Qual é o desconto comercial
  composto? Qual a taxa efetiva? Resposta: R$ 316,80; 2,04% ao mês




                    PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                         Matemática Financeira




     Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez
ou através de uma sucessão de pagamento ou de recebimentos. Quando o objetivo é
constituir um capital em uma data futura, tem-se um processo de Capitalização,
quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de Amortização.
     São exemplos de Série Uniformes de Pagamentos:


     >   VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA
     >   VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADES ANTECIPADAS
     >   ANUIDADES DIFERIDAS OU COM CARÊNCIA
     >   VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA
     >   VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA
     >   COEFICIENTE DE FINANCIAMENTOS
     >   ANUIDADES PERPÉTUAS
     >   VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL
     >   VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL
     >   ANUIDADE EM QUE O PERÍODO DO TEMPO NÃO COINCIDE COM AQUELE QUE SE REFERE A
         TAXA




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                              Matemática Financeira
    ANUIDADES OU RENDAS CERTAS


        Anuidades ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos
tanto    em   nível   de     financiamentos   (Amortização)   quanto   de   investimentos
(Capitalização).
Algumas definições importantes:
       ANUIDADES: é cada pagamento feito em determinados intervalos de tempo
        (Ex: mensal, bimestral, anual, etc.).
       INTERVALOS DE PAGAMENTO: intervalo de tempo decorrido entre dois
        pagamentos.
       VALOR PRESENTE OU VALOR ATUAL: é a soma dos valores presentes de
        cada um dos pagamentos, calculados numa data focal dada, anterior às datas
        de disponibilidade desses pagamentos, com uma taxa também dada.
       VALOR FUTURO OU MONTANTE: é a soma dos valores futuros de cada um
        dos pagamentos, calculados numa data focal dada, posterior às datas de
        disponibilidade desses pagamentos, com uma taxa também dada.
       SEQUENCIA UNIFORME DE PAGAMENTOS: quando todos os pagamentos ou
        anuidades são iguais, os períodos e as taxas de juros também são iguais.


As Séries de Pagamento uniformes divide-se em:
       POSTECIPADAS: são aquelas cujo pagamento ocorre no fim do período. É a
        sistemática normalmente adotada pelo mercado. Ex: Pagamento da fatura do
        cartão de crédito.
       ANTECIPADAS: são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no início do
        período. Exemplo: Compra em uma loja para pagamento em 4 prestações
        mensais, iguais, sendo uma de entrada.
       DIFERIDAS: são aquelas séries de pagamento que se iniciam após decorrido
        um certo número de períodos sem pagamentos. Geralmente conhecido por
        “período de carência”. Exemplo: Financiamento pelo prazo de 6 meses, com
        carência de 2 meses, para pagamento em 4 parcelas mensais, iguais e
        consecutivas, a partir do terceiro mês?
       ANUIDADES TEMPORÁIS: quando o número de intervalo de tempo é finito.
       ANUIDADES VARIÁVEIS: quando os intervalos de tempo não são iguais ou os
        prestações diferem de valor.
       ANUIDADES PERPÉTUAS: quando o número de intervalos de tempo é infinito.



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 Classificação das Anuidades:


Quanto ao número de prestações:
       Finitas: quando ocorrem em um período determinado de tempo;

       Infinitas: quando os pagamentos ou recebimentos duram infinitamente;

Quanto a periodicidade dos temos:
       Periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem em intervalo de

        tempo constante.
       Não periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem em intervalos

        de tempo irregulares.
Quanto ao valor das prestações:
       Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos são de valores iguais.

       Não Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores

        distintos.
        As Série Uniformes que apresentam prestações iguais são bastante comuns em
operações comerciais como financiamentos de eletrodomésticos, financiamentos
imobiliários etc..
        Para facilitar a compreensão, as rendas costumam ser representado em
diagramas, chamado de Fluxo de Caixa.
        O Fluxo de Caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras
em um período de tempo. O tempo é representado por uma linha horizontal dividida
pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são
representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos
são representados por setas verticais apontadas para baixo.


             100     300          200                                 700


        PV                                                                             FV
              0      1      2     3      4    5     6   7    8    9   10    11   12


                            300         200   300           480                  700



                                                    PMT
        Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data
focal 0; VF, valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após
juros, entradas e saídas. PMT é a prestação, ou as entradas e saídas durante o fluxo.




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                             Matemática Financeira
 VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA


      Seja um principal PV a ser pago em n termos iguais a PMT, imediatos,
postecipados e periódicos, submetidos a uma taxa i de juros composto, referida ao
mesmo período de tempo.
Representação gráfica do modelo:




 PV


          0       1     2       3       4      5     6    n–1    ...   ...   ...   n



               PMT     PMT    PMT     PMT     PMT   PMT   ...   ...    ...   ...   ...



      O Objetivo é trazer todos os pagamentos ou prestações para o momento inicial.


Exemplo 57: João comprou um DVD, que irá pagar em 4 prestações mensais de R$

50,24 sem entrada. A taxa de juros composto cobrada é de 2% ao mês. Qual o preço
do DVD a vista?
Resolução: Calcular o preço do DVD à vista corresponde à soma dos valores atuais
das prestações na data focal zero, ou seja, é trazer o valor das prestações para o dia
de hoje, o seu valor atual. Veja o Fluxo de Caixa.




 PV
          0       1     2       3      4



              50,24   50,24   50,24   50,24



      Para calcular o valor presente devemos pensar no valor do dinheiro no tempo.
Qual será o valor de uma prestação de R$ 50,24, quatro meses antes do seu
vencimento? Qual será o seu valor hoje?


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                              Matemática Financeira
  Para determinar o valor na data focal zero, utilizamos a fórmula do Juro Composto
FV = PV (1 + i)n, onde o FV é o valor da prestação a ser paga e o PV é o valor dessa
prestação hoje.


     1ª Prestação             2ª Prestação                 3ª Prestação                4ª Prestação
              FV                      FV                            FV                          FV
     PV                     PV                           PV                         PV 
            1  i    n
                                    1  i    n
                                                                  1  i    n
                                                                                              1  i n
               50,24                   50,24                         50,24                       50,24
     PV                     PV                           PV                         PV 
            (1  0,02)1             (1  0,02) 2                  (1  0,02) 3                (1  0,02) 4
          50,24                   50,24                         50,24                       50,24
     PV                     PV                           PV                         PV 
           1,02                   1,02 2                        1,023                       1,02 4
     PV  49,25              PV  48,28                    PV  47,35                  PV  46,42

        O preço a vista do DVD será a soma dos valores atuais de cada prestação, ou
seja: R$ 49,25 + R$ 48,28 + R$ 47,35 + R$ 46,42 = R$ 191,30.
        Mas e se fossem 36 prestações? Teríamos que calcular uma por uma?


 FÓRMULA DO MODELO BÁSICO DE ANUIDADE POSTECIPADAS

        A soma dos valores presentes é obtida pela soma dos termos de uma
                                                                                    1               1
progressão geométrica com as seguintes característica: a1                                ; an            e
                                                                                 1  i         1  i n
        1
q            . Substituindo-se os valores respectivos na fórmula da soma da P. G.
     1  i 
       a1  a n . q
Sn                 temos:
          1 q


           1  (1  i )  n
PV  PMT .                       ►                 Fórmula para calcular o valor presente de uma
                 i                                 Anuidade Postecipada


                 PV
PMT                             ►                 Fórmula para o cálculo da prestação de uma
            1  1  i 
                        n

                                                   Anuidade Postecipada
                  i

onde:
  PV = Preço a vista PMT = Prestação n = número de período i = taxa unitária




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                                 Matemática Financeira
Exemplo 58: Nas Casas Enairam uma televisão de plasma custa R$ 6.999,00 a vista,

mas pode ser financiada em até 12 vezes sem entrada á taxa de 1% ao mês. Qual o
valor das prestações?
                                                   6.999
           PV                           PMT 
PMT                                          1  0,887449
      1  1  i 
                  n
                                                    0,01
            i
                                                 6.999
            6.999                       PMT 
PMT                                           0,112551
      1  1  0,01
                     12
                                                  0,01
              0,01                               6.999
          6.999                         PMT 
PMT                                          11,255077
      1  1,01
                 12
                                        PMT  621,85
           0,01


Exemplo 59: Um computador AMD Semprom, 128 MB + CDRW + HD 60 GB + monitor

de 15” é vendido nas Casas Enairam em 10 prestações mensais sem entrada de
R$ 189,90. Se a taxa de juros cobrada pela loja é de 1,5% ao mês, qual o valor á
vista do computador?

          1  (1  i )  n                                  1  0,861667
PV  PMT.                                     PV  189,90 .
                   i                                            0,015
              1  1  0,015
                             10                            0,1383333
PV  189,90 .                                 PV  189,90 .
                     0,015                                     0,015
              1  1,015
                                 10          PV  189,90 . 9,222185
PV  189,90 .
                   0,015                      PV  1.751,29
3. Qual é a taxa mensal de um financiamento de R$ 13.500,00 a ser pago em 12 prestações de
  R$ 1.800,00?
                                                  Solução


VP = 13.500,00          R = 1.800,00      n =12


VP = R ani          13.500 = 1.800 a12i a12i = 13.500 = 7,5
                                                   .
                                                  1800
Consultando as Tabelas de ani = 12, encontraremos a128 = 7,536078 e       a129 = 7,160725.
O valor que procuramos está entre estes dois valores. Vamos, então, montar a interpolação linear


   8% ..........7,536078
   i ..........7,5     i 8
                            
                                 7,5  7,536078      i -8 =    0,036078
                       98    7,160725  7,536078               0,375353


                             PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                             Matemática Financeira
  9% ..........7,160725
                                               ou i = 8,096%




                                 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
44.Calcular o valor atual de uma anuidade periódica postecipada de R$ 1.000,00, nas
   hipóteses seguintes:
   a) Prazo de 24 meses a 2% ao mês - Resposta: R$ 52,87
   b) Prazo de 12 meses a taxa de 3% ao mês - Resposta: R$ 100,46
   c) Prazo de 36 meses a taxa de 2,5% ao mês - Resposta: R$ 42,45
   d) Prazo de 8 trimestre a taxa de 10% ao trimestre - Resposta: R$ 187,44
   e) Prazo de 5 semestre a taxa de 4% ao semestre. - Resposta: R$ 224,62
   f) Prazo de 9 bimestre a taxa de 3,8% ao bimestres. - Resposta: R$ 133,27
45.Uma pessoa contrai um empréstimo a ser pago em 25 prestações mensais
   postecipadas de R$ 200,00 no fim de cada mês. Se a taxa cobrada pela financeira
   é de 2,5% ao mês, qual é o valor do empréstimo? Resposta: R$ 3.684,88


46.Uma loja vende um televisor por R$ 780,00 à vista ou em 5 pagamentos
   postecipados, à taxa de 1,8% ao mês. Qual o valor de cada prestação? Resposta:
   R$ 164,52
47.Um empréstimo de R$ 20.000,00 é pago em 23 prestações mensais postecipadas
   de R$ 900,00. Qual o valor da taxa cobrada? Resposta: 0,29% am


48.Um automóvel, cujo preço à vista é R$ 25.000,00, é vendido com 35% de entrada
   mais 24 prestações postecipadas à taxa de 0,5% am. Qual o valor de cada
   prestação? Resposta: R$ 720,21


49.Um Banco emprestou para uma Empresa o valor de R$ 200,00, pelo prazo de 120
   dias, para ser liquidado em 4 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$
   60,00. Calcule a taxa mensal dessa operação? Resposta: 7,71%


50.Um telefone celular Ericson é vendido a vista por R$ 1,749,00 ou em suaves
   prestações de R$ 87,31. Sabe-se que a taxa cobrada pelas Casas Enairam é de
   1,5% ao mês. Qual o número de prestações? Resposta: 24 meses


51.Uma calculadora financeira Aurora é vendida nas Lojas Enairam à vista por
   R$ 149,90 ou em 6 prestações mensais, sem entrada de R$ 26,76. Determine a
   taxa de juros cobrada pela loja. Resposta: 2%

                          PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                           Matemática Financeira
52.O Sr. Pedro efetuou um empréstimo no valor de R$ 3.545,95, para pagamento em
   4 vezes sem entrada, a uma taxa de juros de 5% a. m. Qual o valor das
   prestações? Resposta: R$ 1.000,00


53.Quantas prestações mensais de R$ 500,00 serão necessárias para se pagar uma
   dívida de R$ 2.800,72 à taxa de 2% a.m.. Resposta: 6 prestações


54.Um automóvel, cujo preço à vista é R$ 25.000,00, é vendido com 35% de entrada
   mais 24 prestações postecipadas à taxa de 0,5% am. Qual o valor de cada
   prestação? Resposta: R$ 720,21


55.Quantas prestações mensais de R$ 400,00 serão necessárias para se pagar uma
   dívida de R$ 6.664,73 à taxa de 3,4% a.m.. Resposta: 25 prestações
 VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA


      Ocorrem quando o primeiro pagamento é efetuado na entrada. Sendo o valor
da entrada igual ao valor da prestação.




 PV



         0     1      2       3        4   5     6         n–1    ...         ...     n



       PMT     PMT   PMT     PMT     PMT   PMT       ...    ...         ...     ...
       ...


      Comparando-se os diagramas de renda imediata com o de renda antecipada, a
única diferença é que o primeiro termo, na renda postecipada, ocorre no fim do 1º
período, enquanto na antecipada, o 1º pagamento ocorre no instante zero.
      Caso o 1º pagamento da série antecipada ocorresse no final do 1º período,
automaticamente a série antecipada seria transformada em imediata (postecipada).
      Para “empurrar” o 1º termo para o final do instante 1 (e os demais para o final
dos respectivos períodos), basta que multipliquemos a série de pagamentos por (1 +
i)n , “deslocando” o gráfico para a direita por um período. Como resultado desta
“transformação”, a série de pagamentos antecipados passa a ser uma renda
postecipada.

                     PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                                      Matemática Financeira
       Portanto,       para      encontrarmos          o    valor    das    rendas     antecipadas,   basta
multiplicarmos o valor encontrado para as rendas postecipads por (1 + i).


 FÓRMULA DO MODELO BÁSICO DE ANUIDADES ANTECIPADAS

       No caso da renda antecipada, como a primeira prestação é paga na assinatura
do contrato (data zero), seu valor atual (valor presente) é obtido capitalizando um
período de juros no valor presente da renda imediata, isso é:


         1  1  i  n 
PV  PMT                  1  i  ►             Fórmula para calcular o valor presente de uma
               i                                 Anuidade Antecipada




          PV (1  i ) 1
PMT                                   ►           Fórmula para o cálculo da prestação de uma
          1  (1  i )  n
                                                   Anuidade Antecipada
                i

Exemplo 60: Comprei uma geladeira de última geração nas Lojas Enairam em 18

pagamentos de R$ 130,72, sendo o primeiro pagamento no ato da compra. Se a taxa
cobrada pela loja é de 2% ao mês, qual o preço à vista da geladeira.

         1  1  i  n 
PV  PMT                  1  i 
               i                                                     1  0,700159
                                                           PV  130,72                .1,02
           1  1  0,02     18
                                                                            0,02     
PV  130,72                       . 1  0,02
                   0,02                                               0,299841
                                                          PV  130,72            1,02
            1  1,02 
                         18
                                                                        0,02 
PV  130,72                  .1,02                       PV  130,72 .14,992031.1,02
             0,02 
                                                           PV  1.998,95
            1  0,700159
PV  130,72                    .1,02
                  0,02        


Exemplo 61: As Lojas Brasileiras esta vendendo um aparelho de ar condicionado à

vista por R$ 1.799,00 ou em 15 prestações fixas, sendo a primeira no ato da compra.
Qual o valor das prestações se a taxa cobrada pela loja é de 1,3% ao mês.




                              PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                              Matemática Financeira
      PV (1  i ) 1                     1.799. 0,987167
PMT                               PMT 
                                           1  0,823869
      1  (1  i )  n
                                               0,013
            i
                                          1.775,91
      1.799 1 0,013
                         1
                                   PMT 
PMT                                      0,176131
       1 1 0,013           
                       15
                                            0,013
              0,013
                                          1.775,91
      1.799 1,013
                     1            PMT 
PMT                                     13,548515
        11,01315                 PMT  131,07
          0,013


                                 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO


56.Calcular o valor atual de uma anuidade periódica postecipada de R$ 1.000,00, nas
   hipóteses seguintes:
   a) Prazo de 24 meses a 2% ao mês - Resposta: R$ 51,83
   b) Prazo de 12 meses a taxa de 3% ao mês - Resposta: R$ 97,53
   c) Prazo de 36 meses a taxa de 2,5% ao mês - Resposta: R$ 41,41
   d) Prazo de 8 trimestre a taxa de 10% ao trimestre - Resposta: R$ 170,40
   e) Prazo de 5 semestre a taxa de 4% ao semestre. - Resposta: R$ 215,98


57.Uma câmera digital está custando à vista R$ 799,00 nas Lojas Brasileiras ou em
   suaves prestações de R$ 85,36 à taxa de 1,5% ao mês, sendo a primeira no ato da
   compra. Em quantas prestações a loja está vendendo a câmera digital? Resposta:
   10 prestações


58.Dona Maria fez um financiamento de R$ 5.000,00 por 12 meses, à taxa de 1,5%
   ao mês no Banco Falidos S.A.. Calcule o valor das prestações, considerando-se que
   ela pagou uma de entrada. Resposta: R$ 451,62


59.Comprei um produto nas Lojas Enairam em 12 pagamentos de R$ 45,78, sendo o
   primeiro pagamento no ato da compra. Se a taxa cobrada pela loja é de 2,5% ao
   mês, qual o preço à vista desse produto. Resposta: R$ 481,34


60.Quantas prestações bimestrais antecipadas de R$ 600,00 são necessárias para
   pagar uma dívida de R$ 2.884,64, à taxa de 2%a.b.? Resposta: 5 prestações


61.Quantas prestações mensais antecipadas de R$ 400,00 serão necessárias para se
   pagar uma dívida de R$ 6.664,73 à taxa de 3,4% a.m.. Resposta: 24 prestações

                       PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                              Matemática Financeira
62.Um apartamento é vendido à vista por R$ 100.000, mas pode ser vendido a prazo
   em 19 prestações mensais, iguais, vencendo a 1ª no ato da compra. Sabendo que
   a taxa de juros é de 2% a.m., qual o valor da Prestação? Resposta: R$ 6.253,11

63.Uma geladeira da marca Groenlândia custa à vista R$ 2.500,00, mas pode ser
   paga em 10 suaves prestações de R$ 278,68, sendo a primeira no ato da compra.
   Qual a taxa de juros cobrada pela loja. Resposta: 2,5%


64.Uma loja de decorações anuncia a venda de um objeto de arte por R$ 600,00 a
   vista ou em 1 + 8 vezes de R$ 80,00. Qual a taxa de juros cobrada pela loja?
   Resposta: 4,85%


65.Calcular a prestação de uma mercadoria vendida a vista por R$ 1.260,00 nas
   hipóteses seguintes:
   a) 1 + 7 vezes a taxa de 5% ao mês – Resposta: R$ 185,66
   b) 1 + 10 vezes a taxa de 4,5% ao mês – Resposta: R$ 141,37
   c) 1 + 5 vezes a taxa de 3,2% ao mês – Resposta: 226,87
 ANUIDADES DIFERIDAS OU COM CARÊNCIA


   Quando houver um prazo maior que um período entre a data do recebimento do
financiamento e a data de pagamento da primeira prestação.




 PV

                Carência
                                      PMT   PMT   PMT   PMT   PMT    PMT    ...


          0     1         2      3     4     5     6    n–1    ...    ...    ...   n




 FÓRMULA DO MODELO BÁSICO DE ANUIDADES DIFERIDAS


      Para apurar o valor das prestações postecipadas de um financiamento com
carência, pode-se utilizar o seguinte critério: Capitaliza-se o saldo devedor (valor do




                      PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                                    Matemática Financeira
empréstimo), usando-se a taxa contratada, até o período imediatamente anterior ao
primeiro pagamento, ou seja: FV = PV (1 + i)n.
        A importância encontrada será a base para o cálculo do valor das prestações
conforme o modelo básico de anuidades postecipadas. Ficando assim:
               FV
PMT                     .             As duas fórmulas podem ser compostas em apenas uma,
          1  1  i 
                      n


                i
fazendo FV = PV (1 + i)n e substituindo esse valor na fórmula do PMT fica:


          PV (1  i ) c
PMT 
          1  (1  i )  n         ►         Fórmula para o cálculo da Prestação de uma Anuidade
                i                            Diferida



Para calcular o valor presente de uma Anuidade Diferida usamos a mesma fórmula.
onde:
PMT = Prestação                                         PV     = Preço a vista ou valor financiado
c = Tempo de carência                                   i    = Taxa unitária
n = Tempo ou quantidade de prestações
Exemplo 62: Uma financeira emprestou a quantia de R$ 720,00, pelo prazo de um

ano, para recebimento em 8 prestações mensais, iguais e consecutivas, sendo que a
primeira deverá vencer no final do quinto mês e que a taxa cobrada é de 6,5% ao
mês, determine o valor das prestações?

       PV (1  i ) c                          PMT 
                                                    720 .1,286466
PMT                                                 1  0,604231
      1  (1  i ) n
            i                                            0,065
      720 1  0,065                                 926,25
                       4
                                              PMT 
PMT                                                0,395769
      1  1  0,065
                      8
                                                       0,065
             0,065
                                                      926,25
      720 1,065
                             4                PMT 
PMT                                                6,088754
      1  1,065 8                            PMT  152,12
         0,065


                                            EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO


66.Uma empresa anuncia que está vendendo suas mercadorias em 10 prestações
   mensais, com a primeira paga 60 dias após a compra, a uma taxa de juros de 6%
   a.m. Se cada prestação é de $ 670,00, qual o valor da mercadoria a vista?
   Resposta: R$ 4.652,13

                                 PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                              Matemática Financeira
67.Um terreno é vendido a prazo em 6 prestações mensais de R$ 12.000,00 cada
   uma, vencendo a primeira 3 meses após a compra. Se a taxa de juros é de 3% ao
   mês, qual é o preço a vista do terreno? Resposta: R$ 61.274,67


68.O preço a vista de um carro é de R$ 76.000,00. No entanto, há um plano de venda
   a prazo, no qual a financeira associada à revendedora exige 30% de entrada,
   financiando o saldo em 24 prestações mensais e iguais, com 3 meses de carência.
   Qual é o valor de cada prestação sabendo que a taxa de juros é de 3,87% ao mês?
   Resposta: R$ 3.858,33


69.Um conjunto de dormitórios é anunciado por 10 prestações mensais de R$ 200,00
   cada uma, vencendo a primeira daqui a 4 meses. Se a taxa de juros é de 3,5% ao
   mês, qual o preço a vista deste conjunto? Resposta: R$ 1.500,22


70.Um aparelho de som é vendido por R$ 239,00 à vista. A prazo, ele é vendido em 6
   prestações mensais e iguais, sendo dado ao cliente 3 meses de carência.
   Determine o valor das prestações sabendo que a taxa é de 3,8% ao mês.
   Resposta: R$ 50,66
 VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA


      Seja uma capitalização em que são aplicadas n parcelas iguais, periódicas e
postecipadas, a uma taxa de juros i. O problema é determinar o montante FV na data
focal n que resulta deste processo de capitalização.
      Como o valor futuro de uma renda é a soma dos valores futuros de cada um
dos seus termos, temos a seguinte representação.




                                                                             FV


               PMT      PMT    PMT    PMT   PMT



          0     1       2        3     4     5     6   n–1   ...   ...   n




      Para encontrarmos o valor futuro de uma série de pagamentos ou recebimentos
iguais de forma composta, observemos o seguinte processo:

                      PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                                     Matemática Financeira
       Sobre o primeiro depósito são calculados os juros do primeiro mês, soma-se o
segundo depósito e calcula-se mais um mês de juros, e assim sucessivamente até o
último depósito, que simplesmente será somado, pois sobre esse último não há
rendimentos. O montante FV é calculado exatamente nesta data logo após o último
deposito fazendo a soma de todos os montantes obtidos.


Exemplo 63: Uma pessoa fez 4 depósitos de R$ 500,00 mensalmente em um banco.

Sabendo que ela está ganhando 2% ao mês, qual o montante que ele possui após o
ultimo depósito?

         500                500       500            500



 0        1                 2           3                4

       Para determinar o valor futuro, utilizamos a fórmula do Juro Composto FV = PV
(1 + i)n, onde o PV é o valor da aplicação e o FV é o valor futuro dessa aplicação.




     1ª Prestação                   2ª Prestação               3ª Prestação               4ª Prestação

 FV  PV 1  i                  FV  PV 1  i            FV  PV 1  i            FV  PV 1  i 
                    n                                n                          n                          n


 FV  500 1  0,02              FV  500 1  0,02        FV  500 1  0,02        FV  500 1  0,02
                        3                                2                          1                          0


 FV  500 .1,02 3                 FV  500 .1,02 2           FV  500 .1,021            FV  500 .1,02 0
 PV  500 .1,061208               PV  500 .1,0404           PV  500 .1,02             PV  500 .1
 FV  530,60                      FV  520,20                FV  510                   FV  500


       O montante será a soma dos valores do FV de cada depósito, ou seja:
R$ 530,60 + R$ 520,20 + R$ 510 + R$ 500 = R$ 2.060,80.
       Mas e se fossem 30 depósitos? Teríamos que calcular um por um?


 FÓRMULA DO VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA


       A soma dos valores futuros é obtida pela soma dos termos de uma progressão
                                                                       1                 1              1
geométrica com as seguintes característica: a1                                ; an            e q          .
                                                                    1  i  n
                                                                                      1  i 0
                                                                                                     1  i 
                                                                                                   a1  a n . q
Substituindo-se os valores respectivos na fórmula da soma da P. G. Sn 
                                                                                                      1 q
temos:

                                PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                             Matemática Financeira
              (1  i )  1
                    n
FV  PMT                     ►       Fórmula para o cálculo do Valor Futuro de uma Anuidade
                    i
                                     Postecipada


Resolução do mesmo problema pela Fórmula.

           (1  i ) n  1
FV  PMT
                 i

FV  500
         1  0,024  1
              0,02
         1,024  1
FV  500
           0,02
         1,0824322  1
FV  500
              0,02
Fv  500 x 4,121608
FV  2.060,80


      Para o cálculo da prestação ou mensalidade utilizamos a mesma fórmula.
Exemplo 63: Uma pessoa deseja comprar um carro por R$ 40.000,00 a vista, daqui a

12 meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma certa quantia mensal que será
aplicada em poupança a 0,9% ao mês de juros composto, determine qual o valor que
deve ser poupado e depositado mensalmente.

          (1  i ) n  1                                0,113510
FV  PMT                                40.000  PMT x
                i                                         0,009

40.000  PMT
              1  0,00912  1         40.000  PMT .12,612186
                      0,009                      40.000
                                       PMT 
             1,00912  1                       12,612186
40.000  PMT
                0,009                   PMT  3.171,53
             1,113510  1                FV  2.060,80
40.000  PMT
                 0,009


                                  EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO


71.Uma pessoa deposita mensalmente o valor de $ 250,00 numa conta que paga
  juros de 1% a.m. Quanto terá 5 meses após o décimo primeiro depósito?
  Resposta: R$ 3.039,21


72.Você deseja comprar um equipamento de som daqui um ano. Qual deverá ser o
  valor de cada depósito que você deverá fazer no final de cada mês, em uma


                        PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                           Matemática Financeira
   poupança que paga 0,65% am, sabendo-se que o valor estimado desse
   equipamento será de R$ 1.500,00? Resposta: R$ 120,59


73.Se uma pessoa quiser formar uma poupança de R$ 7.000,00 em 30 meses e
   dispõe de R$ 200,00 para depositar no final de cada mês, ela deverá procurar um
   investimento que paga qual taxa mensal? Resposta: 1,04% am


74.Quanto tempo depois do décimo depósito mensal de $ 230,00 uma pessoa terá o
   saldo de $ 2.479,22, recebendo juros de 1% a.m.? Resposta: 11 meses


75.Tacia Shano pretende comprar uma moto CBX 900. Sabe-se que a moto custa hoje
   R$ 34.000,00 e ela pretende comprar essa moto nos próximos 24 meses. Qual o
   valor que ela deverá depositar mensalmente no Banco Paçocred que remunera a
   taxa de 2% ao mês sabendo que neste período a moto sofre um aumento de 1,5%
   ao mês? Resposta: R$ 1.597,63



 VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA


      A renda é dita antecipada quando o vencimento do primeiro termo se dá na
data zero. Como neste caso, o depósito é feito no inicio do período, ao final deste
período ela já estará dando origem a um montante. Assim, o valor futuro de uma
renda antecipada é obtido capitalizando um período de juros no valor inicialmente
obtido. Como o valor futuro de uma renda antecipada é a soma dos valores futuros de
cada um dos seus termos, temos a seguinte representação.




                                                                           FV


        PMT     PMT   PMT     PMT   PMT



         0     1       2      3      4    5     6   n–1    ...   ...   n

Exemplo 64: Uma pessoa fez 4 depósitos de R$ 500,00 mensalmente em um banco,

sendo o primeiro na abertura da conta. Sabendo que ela está ganhando 2% ao mês,
qual o montante que ele possui após 4 meses?



                      PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                                     Matemática Financeira
 500     500                500           500




 0        1                  2            3              4


       Para determinar o valor futuro, utilizamos a fórmula do Juro Composto FV = PV
(1 + i)n, onde o PV é o valor da aplicação e o FV é o valor futuro dessa aplicação.


     1ª Prestação                   2ª Prestação                    3ª Prestação               4ª Prestação

 FV  PV 1  i                  FV  PV 1  i                 FV  PV 1  i            FV  PV 1  i 
                    n                                n                               n                          n


 FV  500 1  0,02              FV  500 1  0,02             FV  500 1  0,02        FV  500 1  0,02
                        4                                    3                           2                          1


 FV  500 .1,02 4                 FV  500 .1,02 3                FV  500 .1,02 2           FV  500 .1,021
 PV  500 .1,082432               PV  500 .1,061208              PV  500 .1,0404           PV  500 .1,02
 FV  541,21                      FV  530,60                     FV  520,20                FV  510


       O montante será a soma dos valores do FV de cada depósito, ou seja: R$
541,21 + R$ 530,60 + R$ 520,20 + R$ 510 = R$ 2.102,02.
       Mas e se fossem 30 depósitos? Teríamos que calcular um por um?


 FÓRMULA DO VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA


       A soma dos valores futuros é obtida pela soma dos termos de uma progressão
                                                                            1                 1              1
geométrica com as seguintes característica: a1                                     ; an            e q          .
                                                                         1  i  n
                                                                                           1  i 1
                                                                                                          1  i 
                                                                                                        a1  a n . q
Substituindo-se os valores respectivos na fórmula da soma da P. G. Sn 
                                                                                                           1 q
Deste modo, a fórmula que nos permite calcular o valor futuro de uma renda
antecipada é dada por:

               (1  i ) n  1
FV  PMT                     1  i 
                               .
                     i                          ►            Fórmula para o cálculo do Valor Futuro de uma
                                                             Anuidade Antecipada


Resolução do mesmo problema pela Fórmula.




                                  PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                              Matemática Financeira
           (1  i )  1
                   n
FV  PMT                .(1 i )
                 i

FV  500
         1  0,024  1 1 0,02
              0,02
         1,02 4  1
FV  500            1,02
           0,02
         1,0824322  1
FV  500                 .1,02
              0,02
Fv  500 x 4,121608 x1,02
FV  2.102,02
      Para o cálculo da prestação ou mensalidade utilizamos a mesma fórmula.


                                      EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO


76.Qual é o montante de uma renda de 12 termos mensais de R$ 600,00,à taxa de
   4%a.m.? Resposta: R$ 9.376,10


77.Uma pessoa depositou mensalmente o valor de R$35,00 e, um mês após o décimo
   quinto depósito, teve o saldo de $ 569,00. Calcule a taxa de juros. Resposta: 1%


78.Quanto deverá depositar mensalmente uma pessoa que pretende ter o valor de R$
   875,46, um mês após o oitavo depósito, sabendo que recebe juros de 2% a.m.?
   Resposta: R$ 100,00


 COEFICIENTE DE FINANCIAMENTOS


         É muito comum quando compramos à prestação, ou fazemos qualquer tipo
de financiamento, surgir um fator financeiro constante que, ao multiplicar-se pelo
valor presente do financiamento, apura as prestações. É comum também nas lojas de
eletrodomésticos os vendedores já terem prontos os coeficiente de financiamentos
repassados pela gerencia ou pela financeira e utilizam esses coeficientes para calcular
o valor das prestações de cada produto na loja. Então: Financiamento x Coeficiente
Financeiro = Valor de cada prestação
   Ele é muito utilizado no CDC – Crédito Direto ao Consumidor, no Arrendamento
Mercantil (Leasing), financiamento de veículos e de eletrodomésticos.
      Como    os       gerentes   e    as   financeiras   chegam   a   esses   coeficientes   de
financiamentos?



                          PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                                Matemática Financeira
           O coeficiente financeiro nada mais é do que o inverso do fator do valor
   presente. Para se calcular devemos atribuir valor 1 ao PV nas fórmulas do cálculo do
   valor presente tanto para anuidades postecipada, antecipada e diferida.


   Exemplo 65: Construir o coeficiente de financiamento de um contrato envolvendo 15

   prestações mensais, iguais e sucessivas, sem entrada, a uma taxa de juros de 3,5%
   a.m.
                                                 1
              PV                      PMT 
   PMT                                   1  0,596891
         1  1  i 
                     n
                                              0,035
                i
                                               1
                  1                 PMT 
   PMT                                  0,403109
         1  1  0,035
                        15
                                             0,035
                0,035                          1
               1                    PMT 
   PMT                                   11,517411
         1  1,03515               PMT 0,086825
            0,035
           Esse fator de juros deverá ser utilizado em qualquer mercadoria a ser vendida
na condição acima, ou seja, em 15 vezes com parcelas postecipadas com um juro de
3,5% ao mês. Portanto para calcular o valor da prestação de um fogão cujo preço a vista
é de R$ 800,00 em 15 parcelas uniformes postecipadas basta multiplicar o valor do fogão
pelo coeficiente financeiro, assim: 800,00 X 0,086825 = R$ 69,46. Esse é o valor de cada
parcela.
      O exemplo anterior trata-se de parcelas postecipadas, porém podemos utilizar a
   mesma situação para parcelas antecipadas e diferidas:
   Exemplo 66: As lojas Enairam estão vendendo todos os seus produtos em 10
   parcelas fixas, sendo uma no ato da compra. Qual será o coeficiente multiplicador
   para uma taxa de 3,4% ao mês?
                                             0,967118
         PV (1  i ) 1              PMT 
   PMT                                    1 0,715805
         1  (1  i ) n
                                               0,034
                i
                                           0,967118
          1 . 1 0,034
                         1
                                     PMT 
   PMT                                   0,284195
         1 1 0,034
                          10
                                              0,034
                0,034                      0,967118
             1.1,0341               PMT 
   PMt                                    8,358682
            1 1,034
                       10
                                     PMT  0,115702
                0,034




                             PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                          Matemática Financeira
Portanto todos os produtos da loja devem ser multiplicados por 0,115702.


                               EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
79.Qual o coeficiente financeiro para uma mercadoria que será vendido em 24
   parcelas uniformes postecipadas com uma taxa de juros mensal 5 %? E se
   considerarmos parcelas antecipadas? Resposta: 0,06902 e 0,072471


80.Qual o coeficiente financeiro para produtos que serão vendidos em parcelas
   antecipadas uniformes com uma taxa de juros de 4% ao mês nas seguintes
   condições?
   a) 10 parcelas – Resposta: 0,118549
   b) 12 parcelas – Resposta: 0,102454
   c) 15 parcelas – Resposta: 0,086482
   d) 24 parcelas – Resposta: 0,063064


81.Calcule a taxa de juros cobrada por uma financeira que está oferecendo recursos
   para pagamento em 36 parcelas mensais, iguais e postecipadas, sendo que o
   coeficiente (multiplicador fixo) de cada uma das prestações é de 0,076715?
   Resposta: 7%


82.Qual o coeficiente financeiro para produtos que serão vendidos em parcelas
   uniformes diferidas com uma taxa de juros de 2,8% ao mês nas seguintes
   condições?
   a) 10 parcelas com 6 meses de carência – Resposta: 0,136948
   b) 12 parcelas com 4 meses de carência – Resposta: 0,110860


 ANUIDADES PERPÉTUAS


       São aquelas de duração ilimitada onde o número de termos é infinito. È muito
importante para fazer uma rápida avaliação de imóvel e determinar o valor do aluguel
do mesmo, bem como para cálculos de aposentadorias.
       Sendo PV um principal a ser pago em infinitos termos iguais a PMT,
postecipados, a uma taxa de juros i, temos que:
       PMT
PV        ► Fórmula para calcular o valor atual de uma Anuidade Perpétua
        i




                      PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                            Matemática Financeira
Exemplo 67: Se uma imóvel está rendendo um aluguel de R$ 550,00 por mês e se a

taxa da melhor aplicação no mercado é de 2,7% ao mês, qual séria o valor do imóvel
alugado?
     PMT
PV 
       i
      500
PV 
     0,027
PV  20.370,37


                               EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
83.A imobiliária PT Saudações está colocando um apartamento para alugá-lo. Qual
   será o valor do aluguel se o preço do apartamento é R$ 85.000,00 e a melhor taxa
   do mercado é de 1,9% ao mês? Resposta: R$ 1.615,00

84.Durante 10 anos um investidor pretende depositar mensalmente uma certa
   quantia para, após o término dos depósitos, ter uma renda perpétua de R$
   2,000,00 por mês. Considere a convenção de fim de período e juros de 1 % ao
   mês. Calcule:
   a) Qual o valor que proporcionará essa renda mensal? Resposta: R$ 200.000,00

   b) Qual o valor que deve ser depositado mensalmente? Resposta: R$ 869,42


85.Uma pessoa pretende se aposentar e “viver de juros”. Quanto deve ter depositado
   para receber R$ 1.800,00 mensalmente, sabendo que o investimento feito paga
   juros de 1,6% a. m.. Resposta: R$ 112.500,00


86.Se o valor venal de um ponto de comercio for de R$ 100.000,00 e seu proprietário
   deseja alugá-lo por R$ 3.000,00, qual será a taxa corrente do mercado: Resposta:
   3%


 VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL


       São anuidades cujos termos não são iguais entre si podendo os períodos ser
periódicos ou não periódicos. Graficamente temos a seguinte situação:



       PV                                                                          FV
             0     1    2     3    4     5     6   7      8    9   10   11   12


                        300       200    300             480                 700



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                                        Matemática Financeira
                                                                           PMT

 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL
        Sua resolução é feita calculando-se o valor atual como sendo a soma dos
valores atuais de cada um dos seus termos. Para isso basta utilizar a fórmula do
                                             FV
montante composto PV 
                                        1  i n

Exemplo 68: Um imóvel foi comprado para ser pago em 5 prestações conforme os

seguintes valores e períodos expressos no fluxo de caixa. Sendo a taxa de juros para
aplicações financeira corrente no mercado de 1,5% ao mês, determine preço do
imóvel a vista.


                  3000           2000        4300                6700                9000




       0              1   2       3              4   5      6        7      8    9     10




 1ª Prestação                 2ª Prestação            3ª Prestação               4ª Prestação           5ª Prestação
           FV                         FV                        FV                       FV                     FV
PV                       PV                        PV                        PV                    PV 
       1  i    n
                                  1  i    n
                                                            1  i    n
                                                                                       1  i    n
                                                                                                              1  i n
           3.000                     2.000                      4.300                      6.700                  9.000
PV                       PV                        PV                        PV                    PV 
       (1  0,015)1              (1  0,015) 3              (1  0,015) 4              (1  0,015) 7          (1  0,015)10
     3.000                     2.000                       4.300                      6.700                  9.000
PV                       PV                        PV                        PV                    PV 
     1,015                    1,0153                      1,0154                     1,0157                 1,01510
PV  2.955,66             PV 1.912,63               PV  4.051,39              PV  6.036,87          PV  7.775,00


        O preço do imóvel será a soma dos valores atuais de cada um dos termos, ou
seja: 2.955,66 + 1.912,63 + 4.051,39 + 6.036,87 + 7.775,00 = R$ 22.731,55.


 VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL


        Sua resolução é feita calculando-se o valor futuro como sendo a soma dos
valores futuros de cada um dos seus termos. Para isso basta utilizar a fórmula do
montante composto FV = PV (1 +i)n



                                 PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                                    Matemática Financeira
1. Exemplo 69: Calcule o valor Futuro apresentado nos seguintes fluxo de caixa sendo a taxa
     de 3,1% ao mês.
      100              300                  200                                        700




       0       1        2      3       4            5       6      7    8     9         10




     1º Depósito                   2º Depósito                     3º Depósito                  4º Depósito

FV  PV 1  i              FV  PV 1  i                    FV  PV 1  i              FV  PV 1  i 
                   n                            n                                  n                            n


FV  100 1  0,031         FV  300 1  0,031               FV  200 1  0,031         FV  700 1  0,031
                        10                              8                                5                          0


FV  100 .1,03110            FV  300.1,0318                    FV  200 .1,0315             FV  700 .1,0310
PV  100 .1,357021           PV  300.1,276643                  PV  200 .1,164913           PV  700 .1
FV  135,70                  FV  383,00                        FV  232,98                  FV  700,00


        O preço do imóvel será a soma dos valores atuais de cada um dos termos, ou
seja: R$ 135,70 + R$ 383,00 + R$ 232,98 + R$ 700,00 + = R$ 1.451,68
        Importante: Também é possível calcular o valor futuro pela capitalização do
valor atual.




                                                EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO


87.Em uma instituição que paga 2,5% ao mês foram feitos 6 depósitos mensais, que
     pela ordem cronológica foram: R$ 300,00; R$ 100,00; R$ 50,00; R$ 500,00; R$
     200,00; R$ 400,00. Qual é o montante após o último depósito sendo o primeiro no
     ato da abertura da conta? Resposta: R$ 1.674,80

88.Um terreno foi comprado para ser pago em 5 prestações trimestrais, com os
     seguintes valores: 1º trimestre: R$ 20.000,00; 2º trimestre: R$ 5.000,00; 3º
     trimestre: R$ 10.000,00; 4º trimestre: R$ 3.000,00 e 5º trimestre R$ 30.000,00.
     Sendo a taxa de juros para aplicação financeira vigente no mercado de 2,5% ao
     mês, qual o valor do terreno a vista? Resposta: R$ 53.835,49
89.Calcule o valor atual apresentado nos seguintes fluxo de caixa sendo a taxa de 1,9% ao
     mês.
      300                     200     600                        480   700             900



a)
       0       1        2      3       4            5       6      7    8     9         10


Resposta: R$ 2.814,00

                              PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                                            Matemática Financeira
              1.300                         1.200                    1.400                       1.480    1.700           1.900



b)
       0          1        2           3         4        5    6      7          8    9     10     11       12     13          14


Resposta: R$ 6.523,42


90.Calcule o valor Futuro apresentado nos seguintes fluxo de caixa sendo a taxa de 4% ao
     mês.
     100                  300                            200   300                    480                700



a)
       0          1        2           3         4        5    6      7          8    9     10    11      12

Resposta:R$ 2.486,89

      500                 1.300       1.200 800 1.400                        1.480                       1.700         1.900



b)
       0     1        2    3      4     5    6       7    8    9     10          11   12    13     14      15     16      17


Resposta: R$ 13.089,66




 ANUIDADES EM QUE O PERÍODO DOS TERMOS NÃO COINCIDE COM AQUELE QUE SE
     REFERE À TAXA


           Quando o período dos termos não coincidirem com o período a que se refere a
taxa, desde que os termos sejam constantes e periódicos, calcula-se a taxa
equivalente ao período dos termos, ou transforma o período na mesma unidade da
taxa, e calcula-se segundo o modelo básico.


Exemplo 70: Um aparelho de som é vendido em 5 prestações de R$ 200,00 a serem

pagas a cada 2 meses. Sendo a taxa de juros de 3% ao mês, qual o valor do aparelho
a vista?
     Primeiramente temos que calcular a taxa equivalente bimestral.




Ti  1  i  T  1 Ti  1  0,03  1 1 Ti  1,03  1  Ti  1,04040 1  Ti  0,04040 x100 
              Q                                      2
                                                                             2


Ti  4,04 % ao mês

     Em seguida calcularmos o valor atual segundo o modelo básico.


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                           Matemática Financeira
            1  (1  i )  n                        1  0,820348
PV  PMT.                                PV  200 .
                   i                                   0,0404
           1  1  0,0404
                             5                     0,179652
PV  200 .                               PV  200 .
                 0,0404                              0,0404
           1  1,0404
                         5              PV  200 . 4,446824
PV  200 .
               0,0404                    PV  889,36


                                  EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO


91.Uma financeira publica em um jornal que existem várias opções de financiamentos,
   entre elas a que, um valor de R$ 50.000,00, à taxa mensal de 2% pode ser
   financiado em 18 prestações mensais ou 6 prestações trimestrais. Determine o
   valor das prestações mensais e trimestrais. Resposta: R$ 3.335,10 e R$ 10.206,75

92.Uma loja anuncia a venda de um televisor por R$ 1.560,00 a vista. Um cliente está
   disposto a comprá-lo por R$ 560,00 de entrada, mais 12 prestações mensais. De
   quanto serão as prestações, se a taxa de juros cobrada pela loja for de 50% ao
   ano? Resposta: R$ 103,10

93.Um caminhão é vendido por R$ 300.000,00 a vista ou por R$ 100.000,00 de
   entrada sendo o saldo financiado. Sabendo que a taxa de juros da concessionária é
   de 45%% ao ano, de quanto serão as prestações caso o cliente opte por alguns
   dos planos abaixo:
   a) 24 prestações mensais – Resposta: R$ 11.994,45

   b) 8 prestações trimestrais – Resposta: R$ 37.126,82
   c) 4 prestações semestrais – Resposta: R$ 77.867,55


94.Uma bicicleta foi vendida em 4 prestações bimestrais de R$ 100,00 sendo a
   primeira na compra. Se a taxa de mercado é de 3% ao mês, qual o preço a vista?
   Resposta: R$ 351,90




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                          Matemática Financeira




      A necessidade de recursos obriga àqueles que querem fazer investimentos a
tomarem empréstimos e assumirem dívidas que são pagas com juros de formas que
variam de acordo com contratos estabelecidos entre as partes interessadas.
      Existem muitas maneiras de se pagar esses dívidas, e são conhecidas com
Sistema de Amortizações de Financiamentos e Empréstimos entre as mais conhecidas
se destacam:
  >   SISTEMA DO MONTANTE
  >   SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS
  >   SISTEMA AMERICANO
  >   SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS OU PRICE
  >   SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
  >   SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO
  >   SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS




                     PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                           Matemática Financeira
       As formas de pagamento dos empréstimos são chamadas sistemas de
amortização.
       Sistemas desenvolvidos, basicamente, para o estabelecimento de formas de
amortizações de operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo,
envolvendo desembolsos e reembolsos periódicos de principal e juros.
       Principais   sistemas   utilizados   no    mercado    e   respectiva   característica
preponderante:
   SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO DO MONTANTE: Os juros e o capital são quitados no final
    da operação. Podem ser, de acordo com o contrato, no sistema de juros simples ou
    no sistema de juros composto.
   SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO DE JUROS ANTECIPADOS: Por esse sistema, o tomador do
    empréstimo paga os juros decorrentes da operação, na hora do empréstimo,
    devendo quitar somente o capital no final da operação.
   SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO - SAA: Os juros são pagos periodicamente e
    o principal é quitado no final da operação.
Ex.: Títulos da dívida pública, debêntures, etc.
   SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE) - SPC: A dívida é quitada
    através de prestações iguais, periódicas e sucessivas.
Ex.: Amplamente utilizado no Brasil: CDC (crédito direto ao consumidor), vendas a
prazo divulgadas pelas grandes redes de varejo.
   SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC: Amortizações periódicas, sucessivas
    e decrescentes em P.A. de uma dívida, onde a prestação incorpora principal mais
    encargos.
Ex.: Sistema Financeiro de Habitação.
   SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO – SAM: Por esse sistema, os pagamentos são
    média aritmética dos pagamentos dos sistemas Price e SAC.
Em nosso estudo vamos nos concentrar nestas formas de amortização, as mais
difundidas pelo mercado.


 Definição Básica
       Os Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos tratam,
primordialmente, da forma pela qual o principal e os encargos financeiros são
restituídos (pagos) pelo devedor (mutuário) ao credor do capital (mutuante).
Características:




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                                Matemática Financeira
       Basicamente desenvolvidos para operações de empréstimos e financiamentos de
        longo   prazo,    envolvendo    amortizações   periódicas     do   principal     e   encargos
        financeiros (juros da operação);
       Utiliza exclusivamente o critério de juros compostos, incidindo os juros sobre o
        saldo devedor apurado em período imediatamente anterior;
       Cada sistema de amortização obedece a uma certa padronização, tanto nos
        desembolsos, quanto nos reembolsos;
       Podem ter ou não carência, sendo que, no período de carência, normalmente são
        pagos os juros;
Terminologia adotada:
Encargos Financeiros – juros da operação que podem ser pré-fixados ou pós-
fixados, constituindo-se custo para o devedor e retorno para o credor;
Amortização – pagamento do capital emprestado, realizado através das prestações
periódicas, mensais, bimestrais, trimestrais, etc.;
Saldo Devedor – Representa o valor do principal da dívida, em um determinado
momento, após a dedução das amortizações já efetuadas pelo mutuário;
Prestação – Amortização mais encargos financeiros devidos em determinado período
de tempo.
Carência - é o período que vai da data da concessão do empréstimo até a data em
que será paga a primeira prestação.
Em todos os demonstrativos devem constar:
Nº          Prestações                 Juros           Amortizações         Saldo Devedor        i%

                                                                                   PV
    1           PMT               J = PV . i.          A1 = PMT - J          Sd1 = PV – A1         i

    2           PMT               J = Sd1 . i.         A2 = PMT - J          Sd2 = Sd1 – A2        i
    3           PMT               J = Sd2 . i.         A3 = PMT - J          Sd3 = Sd2 – A3        i
...              ...                    ...                 ...                    ...            ...
OBS: A tabela acima se refere aos valores do sistema Francês de amortização.


 SISTEMA DO MONTANTE


        Por esse sistema, o devedor paga no final do prazo, o montante da divida, ou seja,
o valor emprestado mais os juros decorrentes do período.
        Conforme o contrato pode ser calculado no regime de juros simples ou de juros
compostos.



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                             Matemática Financeira
   Para se calcular o valor desse pagamento final, basta calcular o montante
correspondente conforme o caso. O valor da dívida será o valor presente PV e o
pagamento final será o valor futuro FV, calculado sobre a taxa i contratada por n
períodos.
   Se o contrato prevê juros simples, tem-se: FV = PV (1 + i.n).
   Se o contrato prevê juros compostos, tem-se: FV = PV (1 + i)n.


Exemplo 71: Um empréstimo de R$ 20.000,00 deve ser pago após 8 meses com juros

de 4,2% ao mês. Calcule o pagamento final:
   a) Se o empréstimo foi feito no regime de juros simples.
   FV = PV (1 + i.n)
   FV = 20.000 (1 + 0,042. 8)
   FV = 20.000 (1 + 0,336)
   FV = 20.000 . 1,336
   FV = 26.720,00


   b) Se o empréstimo foi feito no regime de juros compostos.
   FV = PV (1 + i)n
   FV = 20.000 (1 + 0,042)8
   FV = 20.000 (1,042)8
   FV = 20.000 . 1,389766
   FV = 27.795,32


 SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS


      Por esse sistema, o devedor paga no ato da liberação do empréstimo o total dos
juros decorrentes da operação, pagando no final do período apenas o valor solicitado
do empréstimo.
      Conforme o contrato pode ser calculado no regime de juros simples ou de juros
compostos.
      Para se calcular o valor dos juros pagos antecipadamente, utilizamos:
      Se o contrato prevê juros simples, tem-se: J = PV . i . n.
   Se o contrato prevê juros compostos, tem-se: J = FV – PV
   Se os juros são pagos antecipadamente, o valor liberado não coincide com o valor
solicitado pelo devedor, portanto cabe ao tomador do empréstimo solicitar um valor
maior, o que faz com que a taxa efetiva seja diferente da taxa nominal contratada.




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                                 Matemática Financeira
         É interessante neste caso calcular o valor efetivamente liberado VL. Chamando
de VL o valor efetivamente liberado e de PV o pagamento final e supondo que o
empréstimo foi feito à taxa i pelo prazo de n períodos, o valor liberado será:


VL = PV (1 – i . n)       ► Fórmula para calcular o valor liberado a juros simples.


VL = PV [2 – (1 + i)n]       ► Fórmula para calcular o valor liberado a juros composto.


    Para calcular a taxa efetiva paga pelo devedor, basta usar as fórmulas do monte de
juros simples e de juros compostos. Considere o PV como sendo o valor liberado e o
Fv como o valor do empréstimo contratado, temos:


     PV
         1
                             ►        Fórmula para calcular a Taxa Efetiva Simples
ie  VL
       n
         PV
ie  n      1
         VL                  ►        Fórmula para calcular a Taxa Efetiva Composta



         Na prática, essas fórmulas não são necessárias, pois podemos calcular os juros
do período e calcular o valor liberado fazendo VL = PV – J


Exemplo 72: Um empréstimo de R$ 20.000,00 deve ser pago após 8 meses com juros

de 4,2% ao mês. Calcule:
    a) Os juros simples pago antecipadamente;
    J = PV . i . n
    J = 20.000 . 0,042 . 8
    J = 6.720,00


    b) O valor liberado no sistema de juros simples;
    VL = PV (1 – i . n)                VL = PV - J
    VL = 20.000 (1 – 0,042 . 8)              VL = 20.000 – 6.720
    VL = 20.000 (1 – 0,336)               VL = 13.280,00
    VL = 20.000 . 0,664
    VL = 13.280,00
    c) A taxa efetiva simples;




                           PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                           Matemática Financeira
     PV                      1,457726 1
          1            ie 
                                  8
ie  VL
        n                    0,045726
                       ie 
     20.000                      8
             1
     13.720             ie  0,057218  x 100
ie 
          8             ie  5,72 %
d) Os juros compostos pagos antecipadamente;
FV = PV (1 + i)n
FV = 20.000 (1 + 0,042)8
FV = 20.000 (1,042)8
FV = 20.000 . 1,389766
FV = 27.795,32


Fazendo J = FV – PV fica:
J = Fv – PV
J = 27.795,32 – 20.000
J = 7.795,32


e) O valor liberado no sistema de juros composto;
VL = PV [2 – (1 + i)n]                      VL = PV - J
                               8
VL = 20.000[2 – (1 + 0,042) ]                    VL = 20.000 – 1.795,32
                           8
VL = 20.000[2 – (1,042) ]               VL = 12.204,68
VL = 20.000[2- 1,389766]
VL = 20.000 . 0,610234
VL = 12.204,68


f) A taxa efetiva composta

         PV
ie  n      1
         VL
          20.000
ie  8             1
         12.204,68
ie  8 1,638716  1
ie  1,063685  1
ie  0,063685  x100
ie  6,36%




                        PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                              Matemática Financeira
 SISTEMA AMERICANO


   Por esse sistema, o devedor paga os juros periodicamente, podendo ser mensal,
bimestral, anual, ou qualquer outro período combinado em contrato.
   No final do prazo é pago, além dos juros do período, o valor emprestado.
   Por esse sistema não há diferença entre os regimes de juros simples ou juros
compostos, pois como os juros são pagos periodicamente o saldo devedor é sempre o
mesmo.
   Para calcular o valor dos juros do período utilizamos a fórmula dos juros simples J
= PV . i . n, sendo que o período é sempre igual a um.


Exemplo 73: Um empréstimo de R$ 12.350,00 deve ser pago após 10 meses com

juros de 2,87% ao mês. Qual será o desembolso mensal se o devedor optou em pagar
pelo sistema Americano.
   J = PV . i . n
   J = 12.350 . 0,0287 . 1
   J = 354,45


                                  EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

95.Um empréstimo de R$ 50.000,00, deve ser pago em 4 meses, com juros de 1% ao
   mês. Determine:
      a) O Capital e juros simples pagos no final; Resposta: R$ 52.000,00
      b) O Capital e juros compostos pagos no final; Resposta: R$ 52.030,20
      c) Os Juros pagos mensalmente; Resposta: R$ 500,00
      d) Os Juros simples pagos antecipadamente; Resposta: R$ 2.000,00
      e) Os Juros compostos pagos antecipadamente; Resposta: R$ 2.030,20

96.Uma financiadora cobra juros compostos antecipados de 1,5% ao mês nos
   empréstimos que concede. Se uma empresa precisa de R$ 30.000,00 por três
   meses, quanto deve solicitar para que, pagando os juros, receba a quantia de que
   necessita? Resposta: R$ 31.435,95


97.O Banco Falidus S.A. está operando com uma taxa composta de 2,6% ao mês para
   empréstimos      cujo    pagamento   dos   juros   é   antecipado.   Determine   a   taxa
   efetivamente paga pelo devedor quando faz um empréstimo de R$ 45.000,00 pelo
   prazo de 6 meses? Resposta: 3,08%




                           PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                            Matemática Financeira
98.Precisando de dinheiro, fui penhorar minhas jóias, numa casa de penhor que as
      avaliou em R$ 19.000,00. Os juros de praxe são calculados no sistema de juros
      simples, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 6 meses e retidos antecipadamente.
      a) Quanto recebi em dinheiro na data da penhora? Resposta: R$ 15.580,00
      b) Quanto devo pagar no final, ao retirar as jóias? Resposta: R$ 19.000,00
      c) Qual a taxa efetiva de juros simples cobrados na penhora? Resposta: 3,65%


99.Um cliente fez um empréstimo de R$ 16.800,00 no Banco Falidus S.A. que opera a
      taxa de juros simples de 5,4% ao mês. Qual será o montante a ser pago se o
      prazo estipulado no contrato for de um ano? Resposta: R$ 10.886,40

100. Uma financiadora cobra juros simples antecipados de 0,05% ao dia nos
      empréstimos que concede. Se uma empresa precisa de R$ 30.000,00 por sete
      meses, quanto deve solicitar para que, pagando os juros, receba a quantia de que
      necessita? Resposta: R$ 33.519,55



 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS OU PRICE - SPC


         Nos sistema Francês, o valor da prestação é constante, sendo que cada
prestação é composta de uma parcela de juros e uma parcela de amortização. O valor
dos juros decresce com o tempo e o valor da amortização aumenta, logo juros e
amortização nesses sistemas são inversamente proporcionais. As prestações podem
ser mensais, bimestrais, semestrais, anuais, etc. A planilha de amortização é uma
tabela na qual são apresentados os juros, amortizações e saldos a cada período.
         Para elaboração da planilha devemos seguir o seguinte roteiro.
Nº        Prestações             Juros          Amortizações       Saldo Devedor     i%

 0                                                                        PV
 1           PMT               J = PV . i.       A1 = PMT - J       Sd1 = PV – A1     i

 2           PMT              J = Sd1 . i.       A2 = PMT - J      Sd2 = Sd1 – A2     i
 3           PMT              J = Sd2 . i.       A3 = PMT - J      Sd3 = Sd2 – A3     i
...           ...                  ...               ...                  ...        ...


         Suponha que o empréstimo PV, feita à taxa i para ser pago em n prestações
pelo sistema Francês, a prestação PMT serão calculadas como se fossem os termos de
uma anuidade postecipada.



                        PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                              Matemática Financeira
                PV
PMT 
           1  1  i 
                       n
                                ►      Fórmula para calcular o pagamento de uma amortização
                 i                     no sistema Francês



Exemplo 74: Elaborar a planilha pelo sistema francês de amortização, de um

empréstimo de R$ 120.000,00 a ser amortizado em 6 pagamentos a uma taxa de 2%
a.m. .


    Calculo do valor da prestação.
                                                  120.000
           PV                            PMT 
PMT                                           1  0,887971
      1  1  i 
                  n
                                                    0,02
            i
                                                120.000
           120.000                       PMT 
PMT                                            0,112029
      1  1  0,02                 
                     6
                                                   0,02
             0,02                               120.000
        120.000                          PMT 
PMT                                           5,601431
      1  1,02
                  6
                                         PMT  21.423,10
          0,02
    Preenchimento da Tabela Price.
Nº        Prestação              Juros              Amortização      Saldo Devedor    Taxa

0                                                                  120.000,00          2%
1 21.423,10                 2.400,00             19.023,10         100,976,90          2%
2 21.423,10                 2.019,54             19.403,56         81.573,34           2%
3 21.423,10                 1.631,47             19.791,63         61.781,71           2%
4 21.423,10                 1.235,63             20.187,47         41.594,24           2%
5 21.423,10                 831,88               20.591,22         21.003,02           2%
6 21.423,10                 420,06               21.003,04         - 0,02


         No final do período o saldo devedor deve ser zero ou muito próximo de zero.


 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC


         Neste sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações que incluem em
cada uma delas, uma amortização constante mais juros sobre o saldo devedor.
Enquanto no sistema Francês as prestações são constantes, por esse sistema as
amortizações é que são iguais.


                        PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                                 Matemática Financeira
             Neste sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações que incluem em
cada uma delas, uma amortização constante mais juros sobre o saldo devedor.
             Para elaboração da planilha devemos seguir o seguinte roteiro.
Nº           Pagamentos              Juros           Amortizações       Saldo Devedor      taxa

    0                                                                          PV
    1        Pg1 = A + J1         J1 = PV . i.             A1            Sd1 = PV – A1         i%

    2        Pg2 = A + J2         J2 = Sd1 . i.            A2            Sd2 = Sd1 – A2        i%
    3        Pg3 = A + J3         J3 = Sd2 . i.            A3            Sd3 = Sd2 – A3        i%
...               ...                   ...                ...                    ...          ...


             Como o número n de amortizações iguais devem saldar a dívida PV, para
calcular cada uma, basta dividir o total do empréstimo pelo numero de prestações.


         PV
A                ► Fórmula para calcular o valor da Amortização no sistema SAC
          n


Exemplo 75: Elaborar a planilha pelo sistema SAC de amortização, de um empréstimo

de R$ 120.000,00 a ser amortizado em 6 pagamentos a uma taxa de 2% a.m. .


       Calculo do valor da Amortização.
         PV      120.000
A           A          A  20.000,00
          n         6


       Preenchimento da Tabela SAC.
        Nº       Prestação           Juros         Amortização       Saldo Devedor       Taxa
        0               ---             ---             ---         120.000               2%
        1     22.400            2.400             20.000            100.000               2%
        2     22.000            2.000             20.000             80.000               2%
        3     21.600            1.600             20.000             60.000               2%
        4     21.200            1.200             20.000             40.000               2%
        5     20.800              800             20.000             20.000               2%
        6     20.400              400             20.000                   0




                              PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                                    Matemática Financeira
 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO – SAM


Neste sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações, tais que cada uma delas
é média aritmética entre os valores encontrados para as prestações do Sistema
Francês e do Sistema de Amortização Constante.
          Este      sistema   foi    desenvolvido   originalmente    para    as   operações    de
financiamento do Sistema Financeiro de Habitação (SFH), em razão de apresentar
uma queda mais acentuada no saldo devedor, o que reduz as chances de haver
resíduos no final do contrato. Considerando que as prestações no Sistema SAC são
decrescentes e no Sistema Price são constantes, a prestação do Sistema SAM também
apresenta tendência decrescente, com parcelas de amortização crescentes, de onde
sua denominação Sistema de Amortização Crescente - Sacre.
          Para elaboração da planilha devemos seguir o seguinte roteiro.
Nº         Pagamentos                  Juros          Amortizações          Saldo Devedor     taxa

    0                                                                             PV
    1            PMT  P1            J1 = PV . i.      A1= Pg1 - J          Sd1 = PV – A1     i%
           Pg1 
                   2
    2            PMT  P2           J2 = Sd1 . i.      A2= Pg2 – J          Sd2 = Sd1 – A2    i%
          Pg 2 
                   2
    3            PMT  P3           J3 = Sd2 . i.      A3= Pg3 - J          Sd3 = Sd2 – A3    i%
          Pg3 
                   2
...                ...                   ...               ...                    ...         ...


Exemplo 75: Elaborar a planilha pelo sistema SAM de amortização, de um empréstimo

de R$ 120.000,00 a ser amortizado em 6 pagamentos a uma taxa de 2% a.m. .
       Calculo do valor dos pagamentos.

          PMT  P1         21.423,10  22.400         43.823,10
Pg1                Pg1                      Pg1             Pg1  21.911,55
            2                      2                      2
          PMT  P2         21.423,10  22.000         43.423,10
Pg2                Pg2                      Pg2             Pg2  21.711,55
            2                      2                      2
          PMT  P3         21.423,10  21.600         43.223,10
Pg3                Pg3                      Pg3             Pg3  21.511,55
            2                      2                      2
          PMT  P4         21.423,10  21.200         42.623,10
Pg4                Pg4                      Pg4             Pg4  21.311,55
            2                      2                      2
          PMT  P5         21.423,10  20.800         42.423,10
Pg5                Pg5                      Pg5             Pg5  21.111,55
            2                      2                      2
          PMT  P6         21.423,10  20.400         42.023,10
Pg6                Pg6                      Pg6             Pg6  20.911,55
            2                      2                      2

                              PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                           Matemática Financeira
   Preenchimento da Tabela SAC.
    Nº      Prestação          Juros          Amortização      Saldo Devedor     Taxa

    0          ---                ---              ---        120.000,00         2%
    1    21.911,55        2.400,00          19.511,55         100.488,45         2%
    2    21.711,55        2.009,76          19.701,78         80.786,66          2%
    3    21.511,55        1.615,73          19.895,81         60.890,85          2%
    4    21.311,55        1.212,81          20.093,73         40.797,11          2%
    5    21.111,55          815,94          20.295,60         20.501,50          2%
    6    20.911,55          410,03          20.501,50                 0


 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS - SAV


         Neste sistema, a devolução do principal é feita em parcelas desiguais,
podendo    eventualmente    envolver    parcelas   intermediárias.   São   sistemas   não
convencionais adotados pelos bancos e adequados a determinadas situações ou
características do mercado e/ou clientes, em que as parcelas de amortização são
previamente fixadas sem nenhum critério em particular, mas de comum acordo entre
as partes. Nestes casos, a parcela de juros é calculada sempre sobre os saldos
devedores do financiamento. Na montagem da planilha, cada prestação deve englobar
as amortizações previstas e os juros incorridos no período.

EXEMPLO 76.    Suponha um empréstimo de R$ 30.000,00 em que se acordou
previamente o seguinte esquema de amortização: O devedor poderia pagar 1,8% ao
mês sobre o saldo devedor sem se preocupar com a quantidade de período.
    Primeiramente, calcula-se todas as amortizações para todos os períodos e depois
os juros incorridos em cada período, incidentes sobre o saldo devedor. O valor das
prestações é obtido pela soma das parcelas de amortização e de juros.
    Nº      Prestação          Juros          Amortização      Saldo Devedor     Taxa

    0          ---                ---              ---        30.000,00         1,8%
    1    4.540,00         540,00            4.000,00          26.000,00         1,8%
    2    2.968,00         468,00            2.500,00          23.500,00         1,8%
    3    5.423,00         423,00            5.000,00          18.500,00         1,8%
    4    3.833,00         333,00            3.500,00          15.000,00         1,8%
    5    5.270,00         270,00            5.000,00          10.000,00         1,8%
    6    7.180,00         180,00            7.000,00          3.000,00          1,8%
    7    3.054,00         54,00             3.000,00                  0


                        PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                           Matemática Financeira
                                 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO


101. Elabore as planilhas de amortização de um financiamento de R$ 75.000,00
     emprestado à taxa de 6,75% a.m. para pagamento em 6 prestações postecipadas
     mensais, nos sistemas Price, S.A.C e S.A.M
Tabela Price (sistema Francês)
Nº        Prestação              Juros            Amortização.     Saldo Devedor
0                                                                75.000
1    15.613,45           5.062,5             10.550,95           64.449,05
2    15.613,45           4.350.31            11.263,14           53.185,91
3    15.613,45           3.590,05            12.023,40           41.162,51
4    15.613,45           2.778,47            12.834,98           28.327,53
5    15.613,45           1.912,11            1.3701.34           14.626,19
6    15.613,45             987,27            14.626,18           00


Tabela SAC (Sistema de Amortização Constante)
Nº Prestação             Juros               Amortização.        Saldo Devedor
0
1
2
3
4
5
6


Tabela SAM (Sistema Amortização Misto)
Nº Prestação             Juros               Amortização.        Saldo Devedor
0
1
2
3
4
5
6



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102. Um empréstimo de R$ 100.000,00, deve ser pago em 5 meses, com juros de
  2% ao mês. Descreva os pagamentos nos seguintes casos.
  a) O Capital e juros simples pagos no final;
  b) Capital e juros compostos pagos no final;
  c) Pelo sistema americano, qual o juro pago mensalmente?
  d) Pelo sistema de juros simples pagos antecipadamente determine os juros pagos
     no ato do empréstimo e o valor liberado;
  e) Pelo sistema de juros composto pagos antecipadamente determine os juros
     pagos no ato do empréstimo e o valor liberado;
   f) Cinco prestações pelo sistema Price ( SPC)
Nº.    PAGAMENTOS               JUROS          AMORTIZAÇÃO     SALDO DEVEDOR
 0
 1
 2
 3
 4
 5

   g) Cinco prestações pelo sistema SAC
Nº.    PAGAMENTOS               JUROS            AMORTIZAÇÃO   SALDO DEVEDOR
 0
 1
 2
 3
 4
 5

   h) Cinco prestações pelo sistema SAM
Nº.    PAGAMENTOS               JUROS            AMORTIZAÇÃO   SALDO DEVEDOR
 0
 1
 2
 3
 4
 5

   i) Cinco prestações pelo Sistema Amortizações Variáveis
Nº.    PAGAMENTOS               JUROS         AMORTIZAÇÃO      SALDO DEVEDOR
 0
 1
 2
 3
 4
 5




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                          Matemática Financeira
103. Um empréstimo de R$ 25.000,00 deve ser pago, com juros de 8% ao mês, em
   20 parcelas mensais pelo SAC. Calcule os dois primeiros e os dois últimos
   pagamentos e faça um demonstrativo com apenas esses períodos.

104. Um empréstimo de R$ 10.000,00, deve ser pago em 8 meses, com juros de 2%
   ao mês. Elabore uma planilha de pagamentos pelo sistema de amortizações
   variáveis.


105. Elabore uma planilha de pagamentos de um empréstimo de R$ 20.000,00 a
   taxa de 3,3% ao mês por 12 meses pelo sistema Americano.


106. Quando contrairmos uma dívida, devemos saldá-la por meio do pagamento do
   principal e juros contratados. Atualmente, existem diversos critérios para
   amortização   de   dividas.    Contudo,   devido   a   sua   maior   utilização   prática,
   destacamos o Sistema Francês de Amortização. Com relação a esse sistema
   podemos destacar:
   a) Por esse sistema, o devedor paga os juros periodicamente e o valor emprestado
      é pago no final do prazo;
   b) Por esse sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações iguais
      imediatas, incluindo, em cada uma, uma amortização parcial do empréstimo e
      os juros sobre o saldo devedor;
   c) Por esse sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações que incluem,
      cada uma, uma parcela constante de amortização e os juros sobre o saldo
      devedor;
   d) Por esse sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações, tais que cada
      uma delas é a média aritmética entre os valores encontrados para as
      prestações do sistema price e do sac;
   e) Por esse sistema, o devedor paga o empréstimo em parcelas iguais e
      periódicas que incluem juros antecipados e amortizações imediatas.

Resposta: b




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      Quando uma empresa ou uma pessoa deseja investir em um projeto, ela tem
paralelamente outras opções, como por exemplo, a própria atividade produtiva, ou o
mercado financeiro. Chamamos de custo de oportunidade de uma empresa ou
pessoa, o retorno certo que ela teria sem investir em novos projetos. Um
investimento será viável se seu retorno for maior que o de qualquer outro tipo de
aplicação, quando empregada a mesma quantia. Para sabermos isto basta montar um
fluxo com o investimento efetuado e as receitas e economias esperadas, além da taxa
mínima de retorno desejada (deverá ser maior que seu custo de oportunidade).
      Existem vários métodos de análise de investimento. Contudo, em função de
  serem os mais utilizados pelo mercado, iremos enfocar dois:
  >   O Valor Presente Líquido – VPL (Net Present Value);
  >   A Taxa Interna de Retorno – TIR (Internal Rate Return).




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 Fluxo de Caixa
   É o principal objetivo do Matemática Financeira.
   O fluxo de caixa de um investimento, empréstimo ou financiamento, ou mesmo de
    uma empresa, é o nome dado ao conjunto das entradas e saídas do dinheiro ao
    longo do tempo.
   A matemática financeira, portanto, nos permite comparar fluxos de caixas distintos
    para   identificarmos   a melhor alternativa   de   empréstimo,   investimento    ou
    financiamento.
   Ao fazermos uma pesquisa de preços, por exemplo, para aquisição de uma
    televisão, encontramos diversas alternativas de pagamento nas várias lojas
    pesquisadas:
   Somente a vista
   Sem entrada + 2, + 3, + 4 prestações... E assim por diante.
   Onde deverei comprar?
   Somente poderemos dizer qual é a melhor opção de compra, se analisarmos cada
    fluxo de caixa e transformarmos cada proposta em seu valor equivalente à vista.
   A matemática financeira dá as “ferramentas” básicas que nos permitem comparar
    diferentes alternativas de investimento de um mesmo período.
   Existem vários métodos de análise de investimento. Contudo, em função de serem
    os mais utilizados pelo mercado, iremos enfocar dois:
   O Valor Presente Líquido – VPL (Net Present Value);
   A Taxa Interna de Retorno – TIR (Internal Rate Return).




 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (NPV)


    O método do valor presente líquido consiste na comparação de todas as entradas
e saídas de dinheiro de um fluxo de caixa na data focal 0 (zero). O valor atual de
determinado projeto será calculado descontando-se todos os valores futuros do fluxo
de caixa, empregando-se determinada taxa de juros (taxa de atratividade).
»    Se o valor encontrado do VPL for zero, significa que a taxa i de renda do
investidor é igual à taxa de atratividade (ia).
»    E o valor encontrado do VPL for maior que zero, significa que os fluxos de caixa
futuros trazidos e somados a valor presente superam o investimento inicial. A taxa do
investimento é maior que a taxa de atratividade.




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                                 Matemática Financeira
»   E o valor encontrado do VPL for menor que zero, significa que os fluxos de caixa
futuros trazidos e somados a valor presente não superam o investimento inicial. A
taxa do investimento é menor que a taxa de atratividade.
 Resumo
   Se o VPL for maior que zero, o projeto deve ser aceito.
 VPL > 0         i > ia
   Se o VPL for igual a zero, torna-se indiferente aceitar ou não o projeto.
 VPL = 0         i = ia
   Se o VPL for menor que zero, o projeto não deve ser aceito.
 VPL < 0          i < ia


    Para calcular o Valor Presente Liquido devemos proceder como no cálculo do valor
presente para anuidades variáveis. Sua resolução é feita calculando-se o valor atual
como sendo a soma dos valores atuais de cada um dos seus termos, descontando-se
o valor principal PV. Para isso basta utilizar.


          FV        FV       FV               FV
VPL                               ...             PV ► Fórmula para o Valor Presente Líquido.
        1  i  1  i  1  i 
                1        2        3
                                            1  i n

EXEMPLO 76. Um investimento de R$ 6.000,00 gerou entradas de caixa da seguinte

forma: R$ 1.200,00 após 30 dias, R$ 2.000,00 após 60 dias e R$ 3.700,00 após 150
dias. Calcular o NPV do projeto considerando um custo de oportunidade de 6% ao
mês.




Fluxo de Caixa




 PV
                 1.200    2.000                     3.700




            0       1        2        3        4     5




       1ª Entrada                 2ª Entrada             3ª Entrada


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             FV                      FV                      FV
    PV                     PV                     PV 
           1  i    n
                                   1  i    n
                                                           1  i n
              1.200                   2.000                   3.700
    PV                     PV                     PV 
           (1  0,06)1             (1  0,06) 2            (1  0,06) 5
        1.200                   12.000                   3.700
    PV                     PV                     PV 
         1,06                    1,06 2                  1,065
    PV 1.132,07            PV 1.778,00            PV  2.764,85

NPV = 1.132,07 + 1.778,00 + 2.764,85 – 6.000,00
NPV = 5.674,92 – 6.000
NPV = - 325,07
Conclusão: O projeto não foi aceito.


                                     EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

107. Um investimento de R$ 1.200,00 gerou entradas de caixa da seguinte forma:
   R$ 630,00 após 30 dias,
   R$ 270,00 após 60 dias
   R$ 510,00 após 90 dias.
Calcular o NPV do projeto considerando um custo de oportunidade de 5% ao mês.
Resposta: R$ 85,46 → Projeto aceito


108. Numa época em que a taxa de mercado é de 6,2% ao mês, qual é o melhor
    retorno para uma aplicação de R$ 50.000,00:
    a) Receber R$ 70.000,00 no final de seis meses; - Resposta: - 1.207,73

    b) Receber duas parcelas trimestrais de R$ 33.000,00; - Resposta: + 553,25

    c) Receber três parcelas bimestrais de R$ 21.000,00; - Resposta: - 223,70

    d) Receber seis parcelas mensais de R$ 10.000,00; - Resposta: - 113,42



109. A Comercial Tiro Liro gostaria de analisar a possibilidade de investimento em
    um novo caminhão de entrega. Sabe-se que o veículo custará R$ 40.000,00 e
    deverá gerar fluxos de caixa anuais de R$ 8.000,00 durante 10 anos. Após o
    horizonte analisado, estima-se que o bem representa um valor residual igual a R$
    4.000,00. O custo de capital da empresa é de 12% ao ano. Construa um diagrama
    do fluxo de caixa e determine o Valor Presente Líquido. É viável a compra do
    caminhão? Resposta: - 38.804,89


110. Uma empresa esta estudando a compra de um equipamento e para isso está
    analisando dois tipos de proposta. A proposta A tem vida útil de dois anos, custa


                          PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                          Matemática Financeira
    R$ 150.000,00 e dá um lucro mensal de R$ 12.000,00. A proposta B tem vida útil
    de 3 anos, um custo de R$ 180.000,00 e dá um lucro de R$ 14.000,00 por mês.
    Ambas tem valor residual nulo. Qual equipamento deve ser comprado se a taxa de
    atratividade é de 5% ao mês? Resposta: A = R$ 21.913,96 e B = R$ 60.574,71


111. Determine a viabilidade ou não do seguinte fluxo a uma taxa de 10% a.a.
Período Investimentos     Receitas
0         -1000           0
1         -500            800
2                         800
3                         1000
4                         1500
5         -200            1800
       Resposta: + 2.703,19

112. A uma taxa de desconto de 8% a.a, qual é o melhor projeto, do ponto de vista
    financeiro, utilizando o critério do valor atual, se os fluxos de caixa são os
    seguintes:
Ano       Projeto A   Projeto B
0         -80         -200
1         +120        +100
2         +200        +120
3                     +150
4                     +200
5                     +150
6                     +120
Resposta: Projeto A= + R$ 534,59 e Projeto B = + R$ 439,26
113. Um investidor pretende comprar um apartamento na cidade de Siqueira Campos
    por R$ 80.000,00 e gostaria de obter um retorno de 13% ao ano. No primeiro ano
    ele terá um prejuízo de R$ 5.000,00, no segundo e quarto ano terá lucro de R$
    4.500,00 e no terceiro ano terá lucro de R$ 5.500,00. Ele espera conservar o
    apartamento por 5 anos e vendê-lo por R$ 130.000,00. Determine o Valor
    Presente Líquido para determinar se o investimento renderá os 13% desejados.


114. Considere um projeto hipotético de 2 anos de duração, cujo investimento inicial
    seja de US$ 100,000, no ano 0, e as previsões de resultados líquidos nos anos de
    1 e 2 são, respectivamente, de US$ 120,000 e US$ 150,000. Estude a viabilidade


                      PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                                                    Matemática Financeira
    do projeto pelo VPL, utilizando, para isso, uma taxa de retorno exigida (TMA) de
    10% ao ano. Resposta: + 133.057,85


115. Á taxa de juros de 2,3% ao mês, qual o melhor modo de uma gráfica atualizar
    suas copiadoras:
   Comprar novas máquinas a vista no valor de R$ 9.458,00, arcar com um contrato
    de manutenção de R$ 50,00 por mês e após 5 anos de uso revendê-las como
    sucata ao fabricante por R$ 950,00.
   Alugá-las por R$ 320,00 com pagamento no final de cada mês e despesas de
    manutenção por conta do locador.


116. Uma fábrica custa R$ 800.000,00. Espera-se um lucro de R$ 170.000,00 após
    custos industriais, ao longo de 10 anos. Se a o custo de oportunidade de capital for
    14% ao ano, qual é o valor atual líquido da fábrica? Resposta: + 86.739,65


 TAXA INTERNA DE RETORNO ( TIR ) - TRADICIONAL

     A taxa interna de retorno (TIR) ou Internal Rate of Return (IRR) é uma das formas
mais sofisticadas de se avaliar propostas de investimentos de capital. Ela representa a
taxa de desconto que se iguala, num único momento, os fluxos de entrada com os de
saída de caixa. Em outras palavras, é a taxa que produz um VPL igual a zero.
     Será atrativo o investimento cuja taxa interna de retorno é maior que ou igual à
taxa de atratividade do investidor.
     Se vários investimentos são comparados, o melhor é o que tem a maior taxa de
retorno.
Se forem analisados empréstimos, o melhor é que tem a menor taxa interna de
retorno.
 TIR  ia: projeto atrativo
 TIR < ia: projeto duvidoso
     O método da taxa interna de retorno consiste em calcular a taxa que anula o valor
presente líquido do fluxo de caixa do investimento analisado.


    FV             FV                 FV                   FV
                                              ...                 VP  0 ► Fórmula para se determinar a TIR:
1  i  1
                 1  i    2
                                    1  i 
                                           3
                                                         1  i n

Vamos utilizar um exemplo para descrever como a TIR é calculada.




                                               PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                                                   Matemática Financeira
EXEMPLO 77. Suponha que a empresa WYS necessita investir R$ 30.000.000,00 para

obter fluxos futuros de R$ 11.000.000,00, R$ 12.100.000,00 e R$ 13.310.000 ao
longo de três anos. Vejamos agora como seria calculada a TIR.
            Visualizando as operações da empresa teríamos a seguinte equação.
11 .000          12 .100            13 .310
                                                30 .000  0
 1  i 
        1
                 1  i    2
                                    1  i 3
       Para que seja calculada a TIR devemos considerar que VP seja igual a zero. Se
VP for igual a zero a única resposta seria 0,1. Concluímos a taxa interna de retorno do
projeto é de 10% ao ano.
            Se Substituirmos i por 0,1. Teremos que VP = -30.000.000 + 10.000.000 +
10.000.000 + 10.000.000. O VP portanto será igual a zero.
Utilização da TIR
        Fizemos o cálculo da TIR e encontrarmos 10%. Mas o que isso quer dizer? Quer
dizer que a taxa de 10% esse projeto é economicamente indiferente pois não trará
lucro nem prejuízo. O uso da TIR deve servir para comparações com a taxa de juros
do mercado.
        O que aconteceria se a taxa de juros do mercado fosse de 6% ? Substituindo 6%
na equação acima acharíamos um VP de 2.321.648 (-30.000.000 + 10.377.358 +
10.768.957 + 11.175.333).
        Agora vamos supor que a taxa de juros do mercado seja de 15%. Substituindo
15% na equação acima acharíamos um VP de -2.533.903 (-30.000.000 + 9.565.217
+ 9.149.338 + 8.751.541).
        Através de nossos cálculos chegamos a seguinte conclusão:
        Quanto maior for a taxa de retorno maior, maior será o nº de possibilidades de
um investimento ser lucrativo. No exemplo a taxa de juros é de 10%. Isso quer dizer
que o projeto será lucrativo a qualquer taxa menor que 10%. Se a taxa de juros fosse
de 20% as possibilidades de lucros seriam duas vezes maior pois o projeto seria
lucrativo a qualquer taxa de juros desde que esta não ultrapassasse 20%.
            É bastante difícil calcular manualmente por meio de fórmulas matemáticas o
valor da TIR, quase sempre é por meio de tentativa e erro. Existem dois meios
eletrônicos para se conseguir isso: Pela Calculadora Financeira HP 12 C ou por meio
da Planilha Eletrônica Excel.
            Por isso vamos fazer uso desses meios para facilitar e diminuir o trabalho.
Passos para calcular a TIR na calculadora HP 12 C

 CHS G              CF0              Armazena o fluxo de caixa na data zero



                                                PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                           Matemática Financeira
    G        CFj    Armazena o fluxo de caixa na data j (valores entre 1 e 20)

    G        Nj     Armazena o número de fluxo de caixa repetido

    i               Informa o custo do capital (taxa)

    F        NPV    Calcula o valor presente líquido de um fluxo de caixa

    F        IRR    Calcula a Taxa Interna de Retorno


EXEMPLO 78. Com base no fluxo abaixo e considerando uma taxa mínima de

atratividade de 6,5% ao mês, determine, através do método da taxa interna de
retorno, se o investimento é vantajoso.


     300.000              550.000                                F        REG
  __________________________                                700.000 CHS G           CF0
      25                   131
                                                                0             G       CFj
700.000
OBS: Os ingressos ocorrem no 25º e 131º dias,                   24            G       CFj

portanto, fluxo com intervalos diários.                       300.000         G       CFj
                                                                0             G       CFj
                                                                99            G       CFj
                                                                0             G       CFj
                                                                6             G       CFj
                                                              550.000
                                                                 F        IRR

   TIR: 0,2141 ao dia ou calculando a taxa equivalente composta = 6,63% ao mês.
Resposta: Como a taxa interna de retorno (IRR) calculada, 6,63% ao mês, é superior
à taxa mínima de atratividade (6,5% ao mês), conclui-se que o investimento é
vantajoso.




Passos para calcular a TIR na Planilha Eletrônica do Excel.
   Digitar os valores na planilha do Excel
   Selecionar a função fx → Financeira → Tir
   Selecione no Box dos valores os fluxos que se deseja calcular a TIR
   No Box estimativa coloque a taxa de atratividade esperada para o projeto.
   Ok. O Resultado aparece.
EXEMPLO 79. Calcule a TIR do fluxo de caixa a seguir. Se a empresa apresentasse um

custo de capital igual a 15% ao ano, o projeto deveria ser aceito. Qual seria seu VPL?
         Ano           0        1         2     3        4      5         6       7

                       PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                            Matemática Financeira
     Fluxo Caixa - 30.000 8.000 12.000 7.000 5.000 3.000 7.000 4.000


Resolução no Excel




Figura 01: Aplicação da Função TIR no Excel     Figura 02: Aplicação da Função TIR no Excel




Figura 03: Aplicação da Função TIR no Excel


    A TIR encontrada foi igual a 14,36%, inferior a taxa de atratividade, sendo neste
caso o projeto rejeitado.
    Seu VPL séria negativo igual a – R$ 486,80, confirmando o resultado de recusa
obtido na TIR.


                                 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO


117. Um investidor aplicou um capital de R$ 65.000,00 e recebeu rendimentos
   parcelados sendo: R$ 16.000,00 no terceiro mês, R$ 16.000,00 no quarto, R$


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                           Matemática Financeira
   20.000,00 no sexto mês e R$ 49.000,00 no nono. Faça um diagrama de fluxo de
   caixa e calcule a taxa interna de retorno desse investimento. Resposta: 12,08%


118. Calcule a TIR do fluxo de caixa a seguir. Se a empresa apresentasse um custo
   de capital igual a 20% ao ano, o projeto deveria ser aceito. Qual seria seu VPL?
  Ano           0          1           2    3       4       5       6        7
  Fluxo Caixa - 50.000 10.000 11.000 6.000 9.000 5.000 10.000 12.000
Resposta: 6,09%


119. Um associado da ACEQ negociou um veículo no valor de R$ 41.000,00, para
   recebimento no prazo de 7 meses, nas seguintes condições.
    1º pagamento: R$ 30.000,00, a 90 dias
      2º pagamento: R$ 8.000,00, a 120 dias
      3º pagamento: R$ 8.000,00, a 150 dias
      4º pagamento: R$ 10.000,00, a 180 dias
      5º pagamento: R$ 5.000,00, a 210 dias
   Com base nesses elementos e considerando uma taxa mínima de atratividade de
9,5% ao mês, determine se a venda foi vantajosa? Resposta: Como a TIR = 12,3%,
significa que a venda foi vantajosa.


120. O Sr. José tenciona se aposentar nos próximos anos;
   -   Pretende comprar um táxi = R$ 15.000,00
   -   Pretende colocar uma Placa Comercial = R$ 10.000,00
   -   Pretende contratar um motorista para trabalhar nos próximos 5 anos = R$
       6.000,00 por ano
   -   Estima-se Despesas = R$ 6.000,00 para o 1º ano e acréscimo de R$ 1.000,00
       nos próximos anos
   -   Estima-se que o Faturamento anual será de R$ 24.000,00
       Ao final o Sr. José pretende vender a Placa pelo mesmo valor de aquisição e o
veículo por um valor residual de 40%
       O Sr. José mantinha o seu dinheiro na Caderneta de Poupança e lhe rendia 8%
ao ano livre da inflação e de qualquer outro tipo de risco, e que aceitaria esse novo
projeto se o mesmo lhe rendesse pelo menos 15% ao ano. Faça um diagrama de fluxo
de caixa e encontre a Taxa Interna de Retorno do investimento.




                      PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                                 Matemática Financeira
FLUXO DE CAIXA DO INVESTIMENTO
Ano Investimento Receitas                  Despesas c/        Salários         Fluxo de Caixa
                                            Veículos          Motorista             Líquido
 0       - 25.000                                                                  -25.000
 1                      24.000               -6.000            -6.000               12.000
 2                      24.000               -7.000            -6.000               11.000
 3                      24.000               -8.000            -6.000               10.000
 4                      24.000               -9.000            -6.000                9.000
 5        16.000        24.000              -10.000            -6.000               24.000
Resposta: 41,98%


121. Um empresário está avaliando um investimento em uma nova unidade de
     negócios. O valor a ser investido no momento zero atinge $1.000.000,00,
     prevendo-se os seguintes fluxos de caixa ao final dos próximos 4 anos:
     $150.000,00, $200.000,00, $900.000,00 e $1.100.000,00. Admitindo que o
     empresário tenha definido em 20% ao ano a taxa de desconto dos fluxos
     esperados de caixa, determinar o VPL. Resposta: 31,05% ou R$ 262.667,18
Fluxo de Caixa

                             $150.000,00        $200.000,00   $900.000,00    $1.100.000,00

                                      1                  2               3              4 (anos)
       $1.000.000,00


122. Determine os VPL dos projetos de investimento representado pelos fluxos de
     caixas abaixo, para uma taxa de atratividade de 15% a.a., e escolha o melhor
     projeto. Resposta: VPL de A = R$ 171,59. VPL de B = R$ 114,10
     Projeto A              Projeto B
ANO    Fluxo Caixa     ANO     Fluxo Caixa
 0         100          0          -50
 1          -50         1          -50
 2         150          2          100
 3          -50         3          150
 4         150          4          150




                             PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                              Matemática Financeira
QUESTÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA CONCURSOS PÚBLICOS

1.   Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de $ 4.000, durante 3 anos,
     sabendo-se que se um capital de R$ 10.000 fosse aplicado durante o mesmo
     tempo, a juros simples de 5% a.a., renderia mais $ 600 que o primeiro. A taxa é
     de:
     a) 8,0% a.a.
     b) 7,5% a.a.
     c) 7,1% a.a.
     d) 6,9% a.a.
     e) 6,2% a.a.


2.   Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em período de tempo
     igual, seja obtido o mesmo rendimento com juros simples, a taxa de aplicação do
     menor capital deve superar a do maior em:
     a) 20%
     b) 60%
     c) 40%
     d) 50%
     e) 70%


3.   Calcular o juro em $ e o montante em $ de uma aplicação de R$ 1.000.000
     durante 3 meses, à taxa de juros simples de 10% a.m.
     a) 300.000 e 1.330.000
     b) 300.000 e 1.300.000
     c) 900,000 e 1.900.000
     d) 1.300.000 e 330.000
     e) NDA


4.   Calcular os juros simples que um capital de R$ 10.000 rende em um ano e meio,
     se aplicado à taxa de 6% a.a. Os juros em $ serão de:
     a) 700
     b) 1.000
     c) 1.600
     d) 600
     e) 900


5.   Duas pessoas fizeram aplicações em dinheiro na mesma data. Uma aplicou R$
     192.000 à taxa de juros simples de 25% ao ano e a outra aplicou R$ 240.000 à



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                            Matemática Financeira
     taxa de juros simples de 15% ao ano. Após quanto tempo os montantes das
     aplicações serão iguais?
     a) 48 meses
     b) 44 meses
     c) 38 meses
     d) 24 meses
     e) 18 meses


6.   Um produto é vendido por R$ 600.000 à vista ou com uma entrada de 22% e
     mais um pagamento de R$ 542.880 após 30 dias. Qual a taxa de juros simples
     mensal envolvida na operação?
     a) 5%
     b) 12%
     c) 15%
     d) 16%
     e) 20%


7.   Em quanto tempo triplicará um capital aplicado à taxa de juros simples de 5%
     a.a.?
     a) 10 anos
     b) 20 anos
     c) 40 anos
     d) 60 anos
     e) 80 anos


8.   Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25 % a.a. durante 4
     anos; o segundo a 24% a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20% a.a.
     durante 2 anos e 4 meses. Juntos, renderam juros de R$ 27.591,80. Sabendo-se
     que o segundo capital é o dobro do primeiro, e que o terceiro é o triplo do
     segundo, o valor do terceiro capital será de:
     a) 30.210
     b) 10.070
     c) 20.140
     d) 15.105
     e) 05.035


9.   Um capital no valor de R$ 50 aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% a.a.,
     atinge, em 20 dias, um montante de:
     a) 51,00


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                          Matemática Financeira
   b) 51,20
   c) 52,00
   d) 53,60
   e) 68,00
10. Se em 5 meses o capital de $ 250.000 rende R$ 200 .000 de juros simples à taxa
   de 16% a.m., qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa
   fosse de 160% a.a.?
   a) 6 meses
   b) 7 meses
   c) 8 meses
   d) 9 meses
   e) 10 meses


11. Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas e, na expectativa de alta de
   preço do produto, recusa a oferta de vender este estoque por R$ 3.000 a saca.
   Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por $ 2.400
   a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 5% a.m., calcule
   o prejuízo real do fazendeiro em $, na data da venda da mercadoria, utilizando o
   regime de capitalização simples.
   a) 1.050.000
   b) 1.240.000
   c) 1.300.000
   d) 2.400,000
   e) 3.000.000


12. Quanto se deve pagar por um título de valor nominal de R$ 700.000, que vence
   daqui a 4 meses, considerando o desconto racional simples a uma taxa de 36%
   a.a.?
   a) 700.000
   b) 625.000
   c) 600.000
   d) 525.000
   e) 500.000


13. O Sr. Haddad obteve um empréstimo de R$ 1.090.000.000 à taxa de juros
   simples de 12% a.a. Algum tempo depois encontrou um amigo que poderia lhe
   emprestar R$ 150.000.000 à taxa de juro simples de 11% a.a. Sendo assim,
   liquidou o empréstimo anterior e contraiu a nova dívida. Dezoito meses após ter
   contraído o primeiro empréstimo, saldou o segundo e observou que pagou, em

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                            Matemática Financeira
   juros, um total de R$ 22.500.000. Sendo assim, qual foi o prazo do primeiro
   empréstimo ?
   a) 3 meses
   b) 6 meses
   c) 9 meses
   d) 12 meses
   e) 18 meses


14. A aplicação de um capital é feita à taxa anual simples de 60%, segundo dois
   processos para o cálculo de taxa de juros diários e o volume de juros. Pode-se
   afirmar que, nesses dois processos utilizados (o 1º usando juros comerciais e o 2º
   usando juros exatos):
   a) taxa de juros exata diária é de 11,1%
   b) a relação entre os juros totais obtidos pelos dois processos para um mesmo prazo de
      aplicação é: juros exatos / juros ordinários = 73 / 72
   c) a taxa de juros diária exata é de 0,11%
   d) para um mesmo prazo total de aplicação, os juros ordinários são aproximadamente
      1,4% superiores aos juros exatos.
   e) Todas as alternativas anteriores estão certas


15. Qual o capital que acrescido dos seus juros simples durante 3 meses resulta em
   R$ 1.300, e que acrescido aos seus juros simples durante 5 meses resulta em
   1.500 ?
   a) 300
   b) 500
   c) 800
   d) 1.000
   e) 1.200


16. Um determinado capital produz um montante em 3 meses de $ 1.360 e um
   montante em 5 meses de R$ 1.600. Qual a taxa simples aplicada sobre este
   capital?
   a) 10% a.m.
   b) 12% a.m.
   c) 14% a.m.
   d) 20% a.m.
   e) 30% a.m.




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                             Matemática Financeira
17. Uma pessoa conseguiu um empréstimo de R$ 20.000 para ser devolvido em 2
   anos. Sabendo-se que a financiadora cobra taxa nominal composta de 24% a.a.
   com capitalização trimestral, o montante a ser pago no vencimento será de:
   a) 30.572
   b) 31.876
   c) 37.018
   d) 32.125
   e) 32.572


18. José aplicou R$ 500.000 a juros compostos durante um ano, à taxa de 10% a.a.
   Paulo aplicou R$ 450.000 a juros compostos durante um ano, à taxa de 18% a.a.
   Pode-se afirmar que:
   a) José obteve 19.000 de rendimento a mais do que Paulo;
   b) Paulo obteve 19.000 de rendimento a mais do que José;
   c) José obteve 31.000 de rendimento a mais do que Paulo;
   d) Paulo obteve 31.000 de rendimento a mais do que José;
   e) Ambos obtiveram os mesmos rendimentos.


19. Com referência à taxa de juros compostos de 10% a.a., pode-se dizer que o
   pagamento de R$ 100.000 feito daqui a um ano é equivalente financeiramente ao
   pagamento de:
   a) 89.000 na data atual
   b) 150.000 daqui a dois anos
   c) 146.410 daqui a cinco anos
   d) 82.640 na data atual
   e) NDA


20. Um investidor aplicou R$ 2.000.000 no dia 06-jan-xx, a uma taxa composta de
   22,5% a.m. Esse capital terá um montante de $ 2.195.000:
   a) 5 dias após sua aplicação
   b) após 130 dias de aplicação
   c) em 15-mai-xx
   d) em 19-jan-xx
   e) 52 dias após a aplicação


21. Um investidor depositou um quarto do seu capital à taxa de juros compostos de
   24% a.a., capitalizados trimestralmente, e o restante a 30% a.a., capitalizados
   semestralmente. Ao final de três anos retirou um montante de R$ 331.192,29.
   Nessas condições, o capital empregado foi de aproximadamente:

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                          Matemática Financeira
   a) 146.798
   b) 202.612
   c) 146.925
   d) 146.985
   e) 147.895


22. Uma nota promissória com valor de R$ 1.000.000 e vencimento daqui a três anos
   deve ser resgatada hoje. A uma taxa de Juros compostos de 10% a.a. o valor do
   resgate é $:
   a) 748.563
   b) 729.000
   c) 750.000
   d) 751.314,80
   e) 700.000


23. Quanto se deve pagar por um título de valor nominal R$ 600.000, que vence
   daqui a 2 meses, considerando o desconto comercial simples a uma taxa de 24%
   a.a.?
   a) 600.000
   b) 576.000
   c) 524.000
   d) 500.000
   e) NDA


24. Utilizando-se desconto racional, o valor que deverei pagar por um título com
   vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$ 29.500, e eu deseje
   ganhar 36% a.a., será de:
   a) 24.000
   b) 25.000
   c) 27.500
   d) 18.880
   e) 24.190


25. O valor atual racional de um título é igual à metade de seu valor nominal. Calcular
   a taxa de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado em 5
   meses.
   a) 200% a.a.
   b) 20% a.m.
   c) 25% a.m.
   d) 28% a.m.

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  e) 220% a.a.


26. O valor do desconto real ou racional composto de uma nota promissória, que
  vence em três anos, é de R$ 11.388,19. Admitindo-se que a taxa nominal de
  desconto utilizada na operação seja 24% a.a., com capitalização trimestral, o valor
  nominal do titulo será de:
  a) 22.420
  b) 22.500
  c) 22.630
  d) 22.907
  e) NDA


27. O desconto racional composto de um título de R$ 50.000 foi de $ 12.698,22.
  Sendo 5% a taxa de juros mensal cobrada, o prazo de antecipação foi de:
  a) 4 meses
  b) 5 meses
  c) 6 meses
  d) 7 meses
  e) 8 meses


28. Um título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa composta de
  26% a.a. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de R$ 18.266,67, qual seria
  seu valor nominal ?
  a) 18.000
  b) 20.000
  c) 22.000
  d) 24.000
  e) NDA


29. Uma financeira deseja obter, uma taxa de juros efetiva de 40% a.a. em uma
  operação de 3 meses. Nessas condições, a empresa deve cobrar a taxa de juros
  anual de desconto comercial simples de:
  a) 38,06% a.a.
  b) 37,05% a,a.
  c) 38,50% a.a.
  d) 36,36% a.a.
  e) NDA


30. Qual o valor pago pelo resgate de um título no valor de R$ 13.600 dois meses
  antes do vencimento, sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 3% a.m.?

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   a) 903,76
   b) 12.796,24
   c) 6.938,88
   d) 12.546,36
   e) NDA


31. Qual o valor nominal de um título, sabendo-se que o desconto racional composto
   é de R$ 126.982,20, e que a taxa de desconto cobrada é 5% a.m., com uma
   antecipação de 6 meses?
   a) 428.000
   b) 500.000
   c) 550.000
   d) 600.000
   e) NDA


32. O preço de um produto à vista é R$ 106.617,33. Sabendo-se que foi vendido em
   prestações mensais e iguais de R$ 15.000, com a primeira        prestação vencendo
   um mês após a compra, qual o número de prestações, se a taxa de juros
   compostas utilizada foi de 5% a.m.?
   a) 5
   b) 6
   c) 7
   d) 8
   e) 9


33. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa de 1%
   ao dia, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias
   úteis, no fim do mês o montante será igual ao capital inicial aplicado mais R$:
   a) 20,32
   b) 19,61
   c) 19,20
   d) 18,17
   e) 18,00


34. Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de
   R$ 20.000 no inicio do primeiro ano, um desembolso de R$ 20.000 no fim do
   primeiro ano e dez entradas líquidas anuais e consecutivas de 10.000 a partir do
   fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18% a.a., obtenha o valor atual
   desse fluxo de caixa, no fim do primeiro ano.


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  a) 24.940,86
  b) 11.363,22
  c) 05.830,21
  d) 04.940,84
  e) 01.340,86


35. Um equipamento é vendido em 6 prestações mensais iguais de R$ 6.000.000,
  vencendo a primeira um mês após a compra. Se o vendedor opera com uma taxa
  de juros de 3% a.m., qual o preço à vista do equipamento?
  a) 32.503.146
  b) 35.203.146
  c) 35.503.146
  d) 36.000.000
  e) 36.503.146


36. Um equipamento é vendido por R$ 1.000.000 a vista ou em 8 prestações mensais
  e iguais a R$ 161.036 cada, vencendo a primeira prestação um mês após a
  compra. Qual a taxa efetiva de juros compostos nesse financiamento?
  a) 3%
  b) 4%
  c) 5%
  d) 6%
  e) 7%


37. Qual o montante final de uma série de 10 pagamentos mensais iguais a R$
  100.000 cada um, à taxa de juros compostos de 8% a.m.?
  a) 1.331.000
  b) 1.448.656
  c) 1.645.683
  d) 1.753.607
  e) 1.800.000


38. Qual será o montante final de uma aplicação de 5 pagamentos mensais de R$
  1.000.000, sendo a taxa composta de 3% a.m., após o último pagamento?
  a) 5.309.140
  b) 5.340.410
  c) 5.468.410
  d) 5.680.410
  e) 6.000.000


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39. Uma peça é vendida em quatro prestações iguais de R$ 150.000 sendo que a
  primeira prestação é dada como entrada. Sabendo-se que a taxa de juros
  composto é de 3% a.m., qual o preço à vista dessa peça?
  a) 424.291,65
  b) 574.291,65
  c) 600.000,00
  d) 598.671,65
  e) 599.761,65


40. Um imóvel é vendido em quatro parcelas iguais a R$ 150.000.000, sendo que a
  primeira parcela vence um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros
  compostos é de 7% a.m., qual o valor à vista do imóvel ?
  a) 508.081.500
  b) 615.029.550
  c) 714.980.850
  d) 800.000.000
  e) 900.000.000


41. O preço à vista de um equipamento é R$ 250.000. Uma pessoa o comprou com
  uma entrada de R$ 50.000 e o saldo financiado em 5 prestações mensais, iguais e
  consecutivas de R$ 48.779,14. Nessas condições, a taxa anual efetiva cobrada
  nesse financiamento foi de:
  a) 125,2% a.a.
  b) 151,8% a.a.
  c) 084,3% a.a.
  d) 101,2% a.a.
  e) 096,1% a.a.


42. Um capital de R$ 900.000, disponível em 40 dias, é equivalente a um outro
  capital, disponível em 100 dias, à taxa de 60% ao ano de desconto simples
  comercial. Qual o valor do outro capital?
  a) 1.008.000
  b) 1.010.000
  c) 1.240.000
  d) 1.320.000
  e) NDA


43. Qual o valor do capital, disponível em 80 dias, equivalente a R$ 800.000,
  disponível em 60 dias à taxa de 50% a.a. de desconto simples comercial?

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   a) 780.000
   b) 845.200
   c) 825.000
   d) 860.500
   e) NDA


44. Qual o valor do capital disponível em 120 dias, equivalente a R$ 600.000,
   disponível em 75 dias, à taxa de 80% a.a. de desconto simples racional?
   a) 680.200
   b) 651.428
   c) 705.800
   d) 701.000
   e) NDA


45. Qual o valor do capital, vencível em 45 dias, equivalente a R$ 840.000, vencível
   em 30 dias, à taxa de 80% a.a. de desconto simples racional?
   a) 866.250
   b) 905.400
   c) 868.400
   d) 890.500
   e) NDA


46. Um título de $ 1.000.000 com vencimento para 120 dias, deve ser substituído por
   outro título, com vencimento para 90 dias. Se a taxa de desconto simples
   comercial vigente é 85% ao ano, qual será o valor do novo titulo?
   a) 890.700
   b) 945.200
   c) 780.204
   d) 910.503
   e) NDA


47. Um comerciante deve pagar, ao final de 60 dias, uma conta de R$ 900.000.
   Porém, ele somente poderá efetuar o pagamento ao final de 120 dias. Se a taxa de
   desconto simples comercial vigente é 100% ao ano, qual será o valor do novo
   pagamento?
   a) 1.025.000
   b) 1.125.000
   c) 1.240.000
   d) 1.105.000
   e) NDA

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48. Qual o valor do pagamento, ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes
   pagamentos: R$ 1.820.000,00 ao final de 60 dias, e R$ 230.000,00 ao final de 120
   dias, se a taxa de desconto simples comercial de mercado é 180% ao ano?
   a) 403.836,00
   b) 520.546,00
   c) 390.500,00
   d) 391.720,00
   e) NDA


49. Qual o valor do título, vencível em 30 dias, capaz de substituir os seguintes
   pagamentos: R$ 400.000,00 em 60 dias, R$ 600.000,00 em 75 dias, e R$
   500.000,00 em 80 dias, se a taxa de desconto simples bancária é de 50% ao ano?
   a) 1.520.400
   b) 1.407.246
   c) 1.380.560
   d) 1.480.200
   e) NDA


50. Um comerciante deveria efetuar os seguintes pagamentos: R$ 400.000,00 em 60
   dias, R$ 670.000,00 em 90 dias e R$ 300.000,00 em 120 dias. O comerciante
   pretende saldar seus débitos por meio de dois pagamentos iguais, o primeiro à
   vista e o segundo em 150 dias. Qual o valor de cada pagamento, se a taxa de
   desconto simples racional vigente é 60% ao ano?
   a) 764.580
   b) 802.580
   c) 746.234
   d) 664.580
   e) NDA


51. A série de pagamentos: R$ 300.000,00 em 30 dias, R$ 600.000,00 em 90 dias e
   R$ 200.000,00 em 150 dias deverá ser substituída por uma outra com dois
   pagamentos iguais: o primeiro à vista e o segundo em 120 dias. Qual o valor de
   cada pagamento, se a taxa de desconto simples comercial vigente é 90% ao ano?
   a) 510.294,00
   b) 580.325,00
   c) 560.115,00
   d) 602.400,00
   e) NDA



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52. O capital de R$ 700.000, vencível em 40 dias, é equivalente ao capital de $
   800.000 à taxa de 75% ao ano, com desconto simples comercial. Quando o capital
   de R$ 800.000 estará disponível?
   a) em 64 dias
   b) em 95 dias
   c) em 82 dias
   d) em 78 dias
   e) em 90 dias


53. Os capitais de R$ 500.000 e de R$ 700.000, com vencimentos respectivos em 90
   e 360 dias, são equivalentes. Qual a taxa de desconto simples racional vigente?
   a) 70,50% a.a.
   b) 72,45% a.a.
   c) 80,72% a.a.
   d) 61,54% a.a.
   e) 85,75% a.a.


54. O valor comercial de um título de R$ 800.000 é hoje de R$ 720.000. Daqui a 30
   dias o valor atual comercial do mesmo título será de R$ 760.000. Qual a taxa de
   desconto simples comercial?
   a) 40% a.a.
   b) 52% a.a.
   c) 35% a.a.
   d) 60% a.a.
   e) 80% a.a.


55. Um título de R$ 900.000 foi descontado 45 dias antes de seu vencimento. Se o
   título tivesse sido descontado 9 dias antes, o valor do desconto teria sido R$ 250
   maior. Calcular a taxa de desconto comercial simples aplicada.
   a) 75,0% a.a.
   b) 84,6% a.a.
   c) 89,5% a.a.
   d) 90,0% a.a.
   e) 100% a.a.


56. Um título descontado por dentro à taxa simples de 90% a.a. sofreu R$ 90.000 de
   desconto. Se o desconto tivesse sido comercial seu valor seria R$ 103.500. Qual o
   valor nominal do titulo?
   a) 820.000,00
   b) 710.000,00

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   c) 690.000,00
   d) 580.400,00
   e) 900.000,00


57. Calcular a taxa de desconto comercial simples abatida de um titulo cujo valor
   atual é igual a quatro quintos do seu valor nominal. A antecipação do seu
   vencimento foi de 5 meses.
   a) 8,0% a.m.
   b) 4,0% a.m.
   c) 7,5% a.m.
   d) 3,5% a.m.
   e) 5,6% a.m.


58. Uma empresa devedora de dois títulos de R$ 30.000, vencíveis em 3 e 4 meses,
   deseja resgatar a divida com um único pagamento no fim de 5 meses. Calcular o
   valor desse pagamento, empregando a taxa simples comercial de 1,5% ao mês.
   a) 72.328,50
   b) 65.482.73
   c) 61.459,50
   d) 94.600,00
   e) 77.000,00


59. Quanto sofrerá de desconto um título de R$ 700.000, 3 meses antes de seu
   vencimento, se for descontado a 5% ao mês de desconto racional composto?
   a) 95.311,00
   b) 101.400,00
   c) 88.542,00
   d) 90.243,00
   e) 120.350,00


60. Uma nota promissória foi quitada 6 meses antes de seu vencimento à taxa de
   4,5% ao mês de desconto composto. Sendo o valor nominal da promissória R$
   670.000, qual o valor $ do desconto concedido?
   a) 180.21,00
   b) 172.326,00
   c) 155.510,00
   d) 150.520,00
   e) 160.450,00




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61. Em um título de valor nominal R$ 6.500, o desconto racional composto sofrido foi
   de R$ 835,63. Se a taxa de juros de mercado for de 3,5% ao mês, qual deverá ser
   o prazo da antecipação?
   a) 8 meses
   b) 4 meses
   c) 5 meses
   d) 6 meses
   e) 9 meses


62. Determinar o valor de um título, vencível em trinta dias, capaz de substituir R$
   400.000,00 vencível em 60 dias, R$ 300.000,00 vencível em 90 dias e R$
   1.000.000,00 vencível em 180 dias, à taxa de juros compostos de 6% ao mês.
   a) 1.391.756
   b) 1.245.500
   c) 1.400.050
   d) 1.300,000
   e) 1.560,230,00


63. Um capital no valor de R$ 50, aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% ao
   mês, atinge, em 20 dias, um montante de:
   a) 51
   b) 51,2
   c) 52
   d) 53,6
   e) 68


64. A uma taxa de 25% por período, uma quantia de $ 100 no fim do período (t),
   mais uma quantia de R$ 200 no fim do período (t+2), são equivalentes, no fim do
   período (t+1), a uma quantia de:
   a) 406,2
   b) 352,5
   c) 325,0
   d) 300,0
   e) 285,0


65. Um "comercial paper" com valor de face de US$ 1.000.000 e vencimento daqui a
   três anos, deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros composto de 10 % ao ano
   e considerando o desconto racional, obtenha o valor de resgate, em US$:
   a) 751.314,80


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                             Matemática Financeira
   b) 750.000,00
   c) 748.573,00
   d) 729.000,00
   e) 700.000,00


66. Uma aplicação é realizada no primeiro dia de um mês, rendendo uma taxa de 1%
   ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18
   dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais:
   a) 20,324%
   b) 19,615%
   c) 19,196%
   d) 18,174%
   e) 18,000%


67. O pagamento de um empréstimo no valor de R$ 1.000 será efetuado por
   Intermédio de uma anuidade composta por seis prestações semestrais, a uma taxa
   de 15% ao semestre, sendo que a primeira prestação vencerá seis meses após o
   recebimento do empréstimo. O valor da referida prestação será:
   a) 1.000 / 6
   b) 1.000 / 2,31306
   c) 1.000 / 3,784482
   d) 1.000 / 8,753738
   e) 1.000 / 2,31306


68. Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de R$ 12.000 ao
   fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de 4%
   e que o primeiro depósito é feito no fim do primeiro mês?
   a) 12,000 / 15,025805
   b) 12.000 / (12 x 1,48)
   c) 12.000 / 9.385074
   d) 12.000 / (12 x 1,601032)
   e) 12.000 / 12


69. Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de
   R$ 20.000 no início do primeiro ano, um desembolso de R$ 20.000 no fim do
   primeiro ano, e dez entradas liquidas anuais e consecutivas de R$ 10.000 a partir
   do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18% a.a., obtenha o valor atual
   desse fluxo de caixa, no fim do primeiro ano.
   a) 24.940,86


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                            Matemática Financeira
   b) 11.363,22
   c) 05.830,21
   d) 04.940,86
   e) 01.340,86


70. O prazo de aplicação para que um capital, aplicado à taxa simples de 18% a.m.,
   quadruplique o seu valor, é:
   a) 2 anos e 7 meses
   b) 1 ano, 7 meses e 25 dias
   c) 1 ano, 4 meses e 25 dias
   d) 1 ano e 6 meses
   e) NDA


71. Um capital foi aplicado a 75% a.a., juros simples, e, após 5 meses, acrescido de
   seus rendimentos, foi reaplicado a 81% a.a., juros simples. Ao final do nono mês
   de aplicação, o valor do capital acumulado era de R$ 1.000.125. Qual o valor do
   capital aplicado?
   a) 540.142,50
   b) 385.200,00
   c) 610.194,30
   d) 600.000,00
   e) NDA


72. Dois capitais, um de R$ 400.000 e outro de R$ 250.000, estiveram aplicados
   durante 3 anos. Calcular a taxa mensal a que esteve aplicado o segundo capital,
   sabendo-se que o primeiro o foi à taxa de 45,6% a.a., e rendeu R$ 259.200 a mais
   que o segundo.
   a) 38,4% a.m.
   b) 18,5% a.m.
   c) 03,2% a.m.
   d) 28,8% a.m.
   e) NDA


73. Dois capitais estão entre si assim como 5 está para 7. Se o menor for aplicado a
   uma taxa 40% superior à do maior, esses capitais produzirão juros simples iguais,
   quando o prazo de aplicação do maior for:
   a) 15% superior ao do menor
   b) 25% superior ao do menor
   c) 30% superior ao do menor
   d) 05% superior ao do menor

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                          Matemática Financeira
   e) igual ao do menor


74. Qual é o capital que, acrescido dos seus juros simples produzidos em 270 dias, à
   taxa de 4,5% a.a., se eleva para R$ 450.715 ?
   a) 436.000
   b) 410.000
   c) 458.400
   d) 340.280
   e) NDA
75. A que taxa simples mensal deveria estar aplicada a quantia de R$ 250.000 para
   que acumulasse em um ano, 4 meses e 18 dias, um montante de R$ 474.100 ?
   a) 25,2%
   b) 18,5%
   c) 15,6%
   d) 05,4%
   e) NDA


76. A uma taxa simples de 30% ao período, uma quantia de $ 50 no fim do período
   (t), e uma quantia de R$ 160,55 no fim do período (t+3), são equivalentes, no fim
   do período (t+2), a uma quantia de:
   a) 190,5
   b) 196,6
   c) 240,6
   d) 250,4
   e) NDA


77. Um investidor aplicou três oitavos do seu dinheiro a 2% a.m., juros simples, e o
   restante a 9% ao trimestre, nas mesmas condições. Calcular o seu capital,
   sabendo-se que após um ano recebeu R$ 151.200 de juros.
   a) 480.000
   b) 360.000
   c) 410.600
   d) 520.800
   e) NDA


78. Utilizando-se desconto simples racional, o valor que deverei pagar por um titulo
   com vencimento daqui a 84 dias, se o seu valor nominal for de R$ 124.500, e eu
   desejar ganhar 54% ao ano, será de $:
   a) 132.184,50
   b) 110.568,38

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                           Matemática Financeira
   c) 142.615,70
   d) 122.415,80
   e) NDA


79. Um título, cujo resgate foi efetuado 145 dias antes do vencimento, foi negociado à
   taxa de 23% a.a. Qual era o valor nominal do título, uma vez que o valor atual
   racional simples recebido foi de R$ 192.195?
   a) 185.000
   b) 202.400
   c) 210.000
   d) 252.500
   e) NDA


80. Determinar o valor nominal de uma letra de câmbio que, descontada "por fora" 3
   meses e 10 dias antes de seu vencimento, à taxa simples de 10% a.m. produziu o
   desconto de R$ 4.000.
   a) 24.600
   b) 18.500
   c) 20.080
   d) 12.000
   e) NDA


81. Um título de R$ 600.000 foi resgatado antes do seu vencimento por R$ 500.000.
   Calcular o tempo de antecipação do resgate, sabendo que a taxa de desconto
   comercial simples foi de 42% ao ano.
   a) 8 meses e 10 dias
   b) 4 meses e 26 dias
   c) 5 meses e 15 dias
   d) 7 meses e 05 dias
   e) NDA


82. O desconto comercial de um título, com vencimento em 06-set-xx, excede o
   desconto racional em R$ 9.000, caso esse título seja resgatado em 18-jul-xx.
   Sabendo-se que a taxa de desconto é de 30% a.m., pode-se afirmar que o valor
   de face desse título é de:
   a) 45.000
   b) 48.600
   c) 54.000
   d) 65.000
   e) NDA

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                          Matemática Financeira
83. Calcular a taxa de desconto comercial simples de um título cujo valor atual é igual
   a sete oitavos de seu valor nominal, sabendo-se que a antecipação foi de 2 meses
   e meio.
   a) 5,0% a.m.
   b) 7,5% a.m.
   c) 4,5% a.m.
   d) 6,5% a.m.
   e) NDA


84. O valor atual de uma nota promissória é de R$ 180,000 tendo sido adotada a taxa
   de 20% a.a.. Se o desconto racional for de R$ 7.500 então o prazo de antecipação
   será de:
   a) 40 dias
   b) 50 dias
   c) 75 dias
   d) 80 dias
   e) NDA


85. O montante produzido por um capital de R$ 420.000 à taxa de juros compostos
   de 8% ao trimestre, durante 2 anos e meio, é de $:
   a) 850.400,00
   b) 906.748,00
   c) 945.020,00
   d) 810.168,50
   e) 895.420,00


86. Calcular o montante de uma aplicação de R$ 540.000 a juros compostos,
   aplicados à taxa de 4,5% ao mês, durante 3 anos e 8 meses.
   a) 2.850.200,00
   b) 3.055.128,50
   c) 3.542.748,82
   d) 3.745.506,34
   e) 2.956.432,50


87. O montante gerado por um capital de R$ 160.400, ao fim de 5 anos, com juros
   compostos de 40% a.a. capitalizados trimestralmente, é de:
   a) 1.079.090,84
   b) 1.250.352,40
   c) 1.512.028,32

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                            Matemática Financeira
   d) 1.321.652,50
   e) 1.411.715,78


88. Durante quanto tempo R$ 250.000 produzem R$ 148.462,10 de juros compostos
   a 24% a.a. capitalizados trimestralmente?
   a) 18 meses
   b) 20 meses
   c) 24 meses
   d) 26 meses
   e) 30 meses


89. O capital de R$ 340.000 foi aplicado a 5% a.m., juros compostos. Após 7 meses
   de aplicação a taxa de juros foi elevada para 8% a.m., juros compostos. Nestas
   condições, o valor do montante final, após 17 meses de aplicação, será de $:
   a) 1.320.460,08
   b) 1.032.860,25
   c) 1.125.600,18
   d) 0.998.945,70
   e) 1.245.712,70


90. O prazo para que uma aplicação de R$ 140.000 à taxa composta de 32% a.a.,
   produza um montante de R$ 561.044,99 é de:
   a) 3 anos
   b) 4 anos e meio
   c) 3 anos e 5 meses
   d) 5 anos
   e) 50 meses


91. Coloquei R$ 780.000 aplicados a juros compostos de 8% a.m. e recebi R$
   1.559.223,12. Logo o meu dinheiro ficou aplicado durante:
   a) 3 anos
   b) 4 anos e meio
   c) 3 anos e 5 meses
   d) 5 anos
   e) 7 anos


92. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa
   composta de 3% ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido
   mês possui 19 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado
   mais $:

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                         Matemática Financeira
   a) 64,19
   b) 72,19
   c) 75,35
   d) 76,35
   e) 68,58


93. Considerando-se a convenção linear, o montante gerado por um capital de R$
   90.000 a 20% a.a. capitalizado semestralmente em 2 anos e 2 meses,
   desprezando-se os centavos, será de R$:
   a) 136.177
   b) 148.500
   c) 162.340
   d) 175.100
   e) 158.345


94. A diferença entre os montantes calculados pela convenção linear e exponencial, a
   partir da aplicação de R$ 600.000 por 126 dias à taxa de 4% a.m. é,
   aproximadamente, de $: (Dado: 1,04 x 45 = 19,007875
   a) 42,35
   b) 55,82
   c) 70,19
   d) 69,25
   e) 81,40


95. Uma letra de câmbio no valor nominal de $ 131.769 foi resgatada 3 meses antes
   de seu vencimento. Qual foi o valor do resgate, se a taxa de juros compostos de
   mercado foi de 10% a.m.? (Considerar desconto racional)
   a) 99.000
   b) 78.600
   c) 98.150
   d) 92.730
   e) 95.300


96. Para um título no valor nominal de R$ 65.000, o desconto racional sofrido foi de
   R$ 8.356,30. Se a taxa de juros compostos de mercado for de 3,5% ao mês, qual
   deverá ser o prazo da antecipação?
   a) 60 dias
   b) 45 dias
   c) 120 dias
   d) 70 dias

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                             Matemática Financeira
   e) 80 dias


97. Um equipamento está a venda por R$ 2.000.000 de entrada e R$ 3.000.000 após
   7 meses. Um comprador propõe pagar R$ 5.000.000 como segunda parcela, o que
   somente será feito após 10 meses. Nestas condições, quanto deverá dar de
   entrada, se a taxa de juros compostos de mercado for de 4,5% a.m.?
   a) 850.425,80
   b) 984.830,39
   c) 902.100,00
   d) 1.125.020,00
   e) 915.632,70


98. Cláudio contraiu uma divida, comprometendo-se a saldá-la em dois pagamentos:
   o 1º de R$ 25.000 e o 2º, 6 meses após o 1º, de R$ 85.000. Não dispondo de
   dinheiro no vencimento da primeira parcela, Cláudio propôs o adiamento de sua
   divida, nas seguintes condições: faria um pagamento de R$ 60.000 daí a 2 meses
   e o saldo em 10 meses. Considerando-se uma taxa de juros compostos de 4 %
   a.a., qual o valor do saldo em $ ?
   a) 53.078
   b) 62.420
   c) 58.030
   d) 49.340
   e) 50.385


99. O preço à vista de equipamento é de R$ 500.000. O vendedor facilita a transação,
   propondo o seguinte esquema: R$ 100.000 como entrada, mais duas parcelas
   semestrais de R$ 200.000 a 3% a.m. Quando será o último pagamento?
   a) 5 meses após a parcela 1
   b) 6 meses após a parcela 2
   c) 1 ano após a entrada
   d) 8 meses após a parcela 2
   e) 18 meses após a parcela 1


100. Qual é o preço à vista de um equipamento cujas 1+11 prestações mensais,
   iguais e sucessivas, à taxa de juros compostos de 10% ao mês, são de R$
   110.000,00?
   a) 785.540,15
   b) 824.456,71
   c) 800.100,20


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                          Matemática Financeira
   d) 810.415,35
   e) 850.513,80


101. Uma loja vende uma mercadoria por R$ 640.000 à vista ou financia em 8 meses,
   a juros compostos de 6% a.m. Se não for dada entrada alguma e a primeira
   prestação vencer após um mês, o valor da prestação mensal será de:
   a) 105.600,00
   b) 098.546,35
   c) 120.238,20
   d) 103.063,00
   e) 110.418,30


102. Em quantas prestações trimestrais de R$ 185.500 poderei quitar uma dívida de
   R$ 1.641.928,95, se o financiamento foi feito à base de 8 % ao trimestre ?
   a) 16
   b) 20
   c) 15
   d) 18
   e) 22


103. Uma empresa comprou um equipamento cujo preço à vista era de R$
   1.389.970,05, pagando-o em 12 prestações mensais de R$ 175.000. Qual foi a
   taxa mensal de juros cobrada no financiamento?
   a) 3,5%
   b) 5,5%
   c) 7,0%
   d) 8,0%
   e) 9,0%


104. Uma amortização constante de 15 parcelas mensais de R$ 110.000 tem
   carência de 4 meses e taxa mensal de 4,5%. Qual é o valor do financiamento, na
   ocasião do contrato?
   a) 1.105.000,02
   b) 1.350.315,75
   c) 920.618,35
   d) 890.500,00
   e) 990.634,48


105. A propaganda de uma loja de roupas anuncia: Compre tudo e pague em 12
   meses. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 3 meses. Se a taxa de

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                         Matemática Financeira
   financiamento é de 5% a.m., qual é o valor da prestação de um blusão de couro
   cujo preço à vista é de R$ 1.148?
   a) 150,77
   b) 130,25
   c) 142,80
   d) 125,47
   e) 148,33


106. Um terreno foi vendido por R$ 2.500.000 de entrada mais 24 prestações mensais
   de R$ 285.000. Qual é o preço à vista aproximado do terreno, se nestas operações
   for usual utilizar-se a Tabela Price com 26,6% a.a.? (26,6% / 12)% a.m.
   a) 8.550.000
   b) 6.920.400
   c) 7.760.471
   d) 7.500.000
   e) 7.345.680


107. Qual será o capital acumulado de 8 parcelas mensais de R$ 250.000,00 aplicados
   à taxa de juros compostos de 10% a.m.? (aproximadamente)
   a) 2.280.850
   b) 2.858.972
   c) 2.480.750
   d) 2.900.000
   e) 2.790.500


108. Um Banco oferece a seus clientes uma poupança programada com prazo de 2
   anos, à taxa de 10% a.m. Quanto deverá ser a quota mensal de um depositante
   para que ele acumule, ao final do período, um montante de R$ 2.141.655,10 ?
   a) 45.500
   b) 40.500
   c) 48.000
   d) 35.500
   e) 50.300


109. Quantos depósitos mensais de $ 360,00 uma pessoa deverá fazer para ter, 4
   meses após o último depósito, o valor de $ 3.344,57, recebendo juros de 2%
   a.m.?
   a) 10
   b) 15
   c) 48

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                         Matemática Financeira
   d) 35
   e) 8


110. Calcule o valor pago de juros pela dívida assumida por uma pessoa que pagou 10
   prestações mensais e iguais de R$ 500,00. Sabe-se que a taxa de juros é de 3%
   ao mês e, a carência é de seis meses.
   a) 1.428,04
   b) 2.178,04
   c) 142,50
   d) 3.875,25
   e) 7.984,56


111. Vinicius gostaria de comprar uma motocicleta. Após pesquisar, encontrou uma
   loja onde poderia comprá-la pr R$ 4.600,00 vista, ou em 1 + 7 vezes iguais.
   Sabendo-se que o custo de oportunidade do dinheiro é estimado em 3% ao mês,
   qual deveria ser o desconto percentual concedido pela loja para que ele não
   perdesse dinheiro, caso efetuasse o pagamento a vista.
   a) 428,04
   b) 442,59
   c) 142,50
   d) 875,25
   e) 984,56


112. Um empréstimo de R$ 400,00 deve ser pago em três parcelas mensais iguais a
   R$ 198,00, com a primeira vencendo 30 dias após a liberação dos recursos. Qual a
   taxa de juros compostos mensal, cobrada na operação.
  a) 14,04%
  b) 8,04%
  c) 21,04%
  d) 2,04%
  e) 20,04%




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             Matemática Financeira
                      GABARITO

01.   B   29.   C             57.   B           85. B
02.   C   30.   B             58.   C           86. D
03.   A   31.   E             59.   A           87. A
04.   E   32.   E             60.   C           88. C
05.   A   33.   B             61.   B           89. B
06.   D   34.   D             62.   A           90. D
07.   C   35.   A             63.   B           91. A
08.   A   36.   C             64.   E           92. C
09.   B   37.   B             65.   D           93. A
10.   A   38.   C             66.   B           94. B
11.   A   39.   B             67.   C           95. A
12.   B   40.   A             68.   A           96. C
13.   B   41.   D             69.   A           97. B
14.   B   42.   A             70.   C           98. A
15.   D   43.   C             71.   D           99. B
16.   B   44.   B             72.   C           100. B
17.   C   45.   A             73.   E           101. D
18.   A   46.   D             74.   A           102. A
19.   E   47.   B             75.   D           103. C
20.   D   48.   A             76.   E           104. D
21.   B   49.   B             77.   A           105. C
22.   D   50.   D             78.   B           106. C
23.   E   51.   A             79.   C           107. B
24.   B   52.   B             80.   D           108. D
25.   B   53.   D             81.   E           109. E
26.   E   54.   D             82.   C           110. A
27.   E   55.   D             83.   A           111. B
28.   E   56.   C             84.   C           112. E




          PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
                          Matemática Financeira
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRUNI, Adriano Leal. Matemática Financeira: com HP 12 C e Excel. 2. ed. São
Paulo: Atlas, 2003.

MARQUES, Paulo. Matemática Financeira: juros composto.
http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/juros-compostos.html   acessado   em
18/07/2009

MATHIAS, Washinton Franco. GOMES, José Maria. Matemática Financeira. São
Paulo: Atlas, 1982.

PARENTE, Eduardo Afonso de Medeiros. Matemática Comercial e Financeira. São
Paulo: FTD, 1996.

SOUZA, Edison Andrade. Matemática Financeira, Capitalização Composta.
http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/capitalizacao-composta.html. Acessado
no dia 20/07/2009

TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização do Excel 2000. 2.
ed. São Paulo: Atlas, 2002.

VERAS, Lília Ladeira. Matemática Financeira: uso de calculadora financeira. 2.
ed. São Paulo: Atlas, 1991.




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posted:1/25/2012
language:Portuguese
pages:100