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Compléments sur les groupes

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Compléments sur les groupes Powered By Docstoc
					I. El Hage                                                                                                                                        www.les-mathematiques.net                                                                                                                                                                                                                                                  1



   Compléments sur les groupes
1 Quelques théorèmes
                                                          ¡                                          ¢
    Soit f : G
     £
                 G un homomorphisme de groupes surjectif. Nous allons désigner
                 ¥¢
                 ¤
                                                 
                                                                                                                                                                                                                                 ¢                                                                                              £                                       ¤
par S G l’ensemble des sous-groupes de G et par S f G celui des sous-groupes de
                                                                  £                     ¤
G contenant Ker f .
                                                                                                                                                                                                     £                                       ¤
                                                                                                                                                                                                                                             ¥¢                                                                     £                               ¤
   Théorème Il existe une bijection de S G sur S f G .

   Démonstration Soit ϕ l’application de S G dans S f G qui associe à H le sous-
                                                                                                                                                                                                                                     £                    ¤
                                                                                                                                                                                                                                                          ¥¢                                                                                                £                     ¤                                      ¢


groupe f 1 H de G. ϕ est injective, car nous avons
                                   £                ¤ ¢
                      ¦

                                                              §                                          ¢
                                                                                                          ©                                             ©
                                                                                                                                                      ¥¢             §                                                                              ©
                                                                                                                                                                                                                                                      ¢                                                                                                                        ©
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ¥¢
                                                                  ϕ H               ¨                                     ϕ K     ¨                                                     f   ¦
                                                                                                                                                                                                     1
                                                                                                                                                                                                                     ¨                       H                                          f       ¦
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            1
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ¨           K
                                                                                                                                                             
                                                                                                                                                                          §                                                                                               ©
                                                                                                                                                                                                                                                                            © ¢                                                                                                                                 ©
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 © ¢
                                                                                                                                                                                                                                             1                                                                                                                                             1
                                                                                                                                                                                        f f       ¨          ¦                                        ¨         H                                                                       f f                         ¨                 ¦                 ¨   K
                                                                                                                                                             
                                                                                                                                                                       §                        ¢                                                        ¢
                                                                                                                                                                                        H                                                    K
                                                                                                                                                                                                                                                                                                        £                               ¤
   vu que f est surjective. D’un autre côté, si H                                                                                                                                                                                                                                 S f G , alors
                                                                                                                                                                  © ¢                                                                                     © ¢                                                                                                                   © ¢
                                                                                                                                                                                        et ϕ H
                                                                                                         
                                                                                                         !¢               £                   ¤                                                                                                                                                                                                                                            
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                1
                                                                                        H                         f H                                     S G¨                                                           ¨                                                                  f               ¦                                           ¨       H                                           H

car nous avons
                                                                                                 §                                        £           £      $   
                                                                                                                                                               %# "¤
                                                                                                                                                                    ¤                                                                    £        ¤                                     £                                       '¤
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                &
                                                                                                                              1
                                                                                                     x            f   ¦                           f H                                                    f x f H
                                                                                                                                                                   
                                                                                                                                                                   #                                )£
                                                                                                                                                                                                     (                                                                        ¤     $                                   £                   ¤                                                  £           '¤
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            &
                                                                                                                                                                                                          y H f x                                                                                                                                                                         f y
                                                                                                                                                                   $ 
                                                                                                                                                                   %#                                                                                                                                                      £                               0
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            1¤                                      &
                                                                                                                                                                                                         x                    
                                                                                                                                                                                                                                                  y                           Ker f                                                                                                       H
                                                                                                                                                                   $ 
                                                                                                                                                                   %#                                                                                              &
                                                                                                                                                                                                         x                                        H

                                                                                                     H. L’autre inclusion est évidente. Ainsi ϕ est surjective.
                          £             £                 0 ¤
                                                          1"¤
D’où f   ¦
                 1                f H

   Théorème La bijection ϕ est croissante.
                                                                                                                  0
                                                                                                                  2¢                              ¢
   Démonstration Si H                                                                                                                     K , alors
                                                                                                          §                                           3© ¢
                                                                                                                                                                               §                                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                                                  3© ¢
                                                                                                                          ϕ H
                                                                                                                                                             
                                                                                                                                                             #
                                                                                                                                                                                                                                                      1
                                                                                                              x                       ¨                                                 x                                f                    ¦                 ¨       H
                                                                                                                                                             #
                                                                                                                                                                               §                £               ¤                                                       ¢
                                                                                                                                                                                        f x                                                                 H
                                                                                                                                                             #
                                                                                                                                                                                   §            £               ¤                                                      
                                                                                                                                                                                                                                                                        4¢
                                                                                                                                                                                        f x                                                                 K
                                                                                                                                                             
                                                                                                                                                             #                 §                                                                                                 © ¢                                                                                                    
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          © ¢
                                                                                                                                                                                        x                                f                    ¦
                                                                                                                                                                                                                                                      1
                                                                                                                                                                                                                                                                ¨       K                                                               ϕ K                                 ¨


D’où ϕ H                                             ϕ K .
             £                    0 ¤
                                  15¢                                 £                     ¤
                                                                                            5¢



                                                                                ¢                                                                                                                                                                                                                                                   ¢
   Théorème H est un sous-groupe distingué de G si, et seulement si, le sous-
                              
groupe H ϕ H de G est distingué.
                                            £                             ¤ ¢
I. El Hage                                                                                                                                 www.les-mathematiques.net                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     2

                                                                                                               ¢                                                                                                                                                                                                                                                                                                            ¢
       Démonstration Si H est un sous-groupe distingué de G , alors nous avons
                                                $                                                                         # &
                                                                                                                                                                           §                               £                   ¤                                                   ¢                         £                   ¤                                                        ¢
                                                        x                     G, y                                 H                                                            f x                                                                                 G, f y                                                                                                H
                                                                                                                               6 
                                                                                                                               7#                                                                                                                                          
                                                                                                                                                                                                                                                                            ©                                                                        ¤                                                                                                                            8 ¢
                                                                                                                                                                                                                                                1                                                                         £
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  1                     £           ¤            £           ¤
                                                                                                                                                                                f x                             ¨                   ¦                   yx                                                        f x                                             ¦                       f y f x                                                                          H
                                                                                                                               #
                                                                                                                                                                       §                                                                                                                                                                   © ¢                                                                
                                                                                                                                                                                x 1 yx  ¦                                                                                   f           ¦
                                                                                                                                                                                                                                                                                                        1
                                                                                                                                                                                                                                                                                                              ¨       H                                                                   H
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       ¢
Réciproquement, si le sous-groupe H de G est distingué, alors H est un sous-groupe
                                                    ¢                                                                              ¢                                            ¢                                                               ¢                                                   ¢
distingué de G . En effet, si x G et y H , alors il existe x G et y H tels que
  ¢                   £        ¤          ¢                                 £               ¤                     ¢                                                                                  £                                © ¥¢
                                                                                                                                                                                                                                             ¤                                                          £                     ¤
x     f x et y    f y (H       f f 1 H    f H car f est surjective). Nous avons                                                                    ¨            ¦

                                                                ¢
                                                                ©                     1               ¢   
                                                                                                          9¢                   £                       ¤
                                                                                                                                                                    1                                               £               ¤                       £                   ¤               
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          1
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    ©                                £            ¤                                     ¢
                                            ¨               x             ¦                   yx                          f x                              ¦                            f y f x                                                                                                                   f x                 ¨                   ¦                       yx                                            f H                                        H

car x              1 yx              H.
           ¦

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            ϕ H , alors G H est isomorphe à
                                                                                          ¢                                                                                                                                                                     ¢                                                                                             £                           ¤
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          ¢                                                          @
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      ¢                   ¢
  Théorème Si H est distingué dans G et H
  @
G H.

       Démonstration L’application

                                                                                                                                                                                                                        ¡   f                                       ¢                       p
                                                                                                                                                                                                                                                                                            A ¡                                           @ ¢                                 ¢
                                                                                                                                                           g; G                                  
                                                                                                                                                                                                                                                    G                        
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  G H
       ¢
où p est la surjection canonique qui est un homomorphisme de groupes. Il est surjectif
et son noyau est H car
                   $                                    £            C &
                                                                     DB¤                                  §             £ ¢                   £               ¤
                                                                                                                                                               "¤                                                                      £               ¤                                               ¢           C                                                              §                     £           ¤                         ¢               C           $
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               E                    &
                           x        Ker g                                                                          p f x                                                                                                    g x                                                             e                                                                                              f x                                           H                                                   x   H
                           ¢
                           @         ¢                               £               F
                                                                                      G¤                            @
D’où G H                                                Im g                                              G H.



2 Chaînes normales
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                0
       Soient G1 et G2 deux sous-groupes de G tels que G1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           G2 .

   Définition On appelle chaîne normale de G entre G2 et G1 toute chaîne de sous-
groupes de G                                                                                                                                                                                       0                                                               P33I0
                                                                                                                                                                                                                                                                    0 H H H                                                                                               
                       G1 H0 H1             Hn G2
telle que chaque Hi soit un sous-groupe distingué de son successeur Hi 1 . Les groupes
                                                                                 @                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Q
quotients Fi Hi 1 Hi pour i 0 1 n 1 sont appelés les facteurs de la chaîne.
                                                                 Q                                                                                                  R                       R S S S
                                                                                                                                                                                            ¥¥R
                                                                                                                                                                                                                                                     



    Définition On appelle chaîne normale du groupe G toute chaîne normale de G
entre e et G.  T            U



    Exemple Soit S3 le groupe des permutations de l’ensemble 1 2 3 et A3 le groupe                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       T                 R           R       U

alterné d’ordre 3. La chaîne                                                                                                                                                                                                                0                                               0
                                    i   A3 S 3                                                                                                                                              T                               U
I. El Hage                                                                                                                                                               www.les-mathematiques.net                                                                                                                                                                                                                                                 3


est une chaîne normale du groupe S3 .
                                                                                                                                          ¡                              ¢
    Théorème Si f ; G                                                                                                  
                                                                                                                                                                G est un homomorphisme surjectif, alors f transforme
toute chaîne normale                                                                                                                                                                                                                0                                                   P33I0
                                                                                                                                                                                                                                                                                         0 H H H                                                             
                                                                                                                                                  T    e         U                                               H0                                                H1                                                                   Hn                                   G
de G en une chaîne normale                                                                                                                    V

                                                                                                                                                               W
                                                                                                                                                               )¢                                                           ¢           0                                   ¢           0 H H H
                                                                                                                                                                                                                                                                                         P33I0                                                       ¢                              ¢
                                                                                                                                                      e                                                          H0                                                H1                                                                       Hn                               G
           ¢                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         @
de G et il existe un homomorphisme surjectif ui du facteur Fi
  ¢                     ¢                    @           ¢                                   
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     Hi   Q       1       Hi sur le facteur
Fi Hi 1 Hi pour i 0 1 n 1.       Q
                                                                                                                          R                       R S S S
                                                                                                                                                  ¥R
                                                                                                                                                                                          



       Démonstration L’homomorphisme f transforme la chaîne
                                                                                                                                                                                                                                    0                                                   P33I0
                                                                                                                                                                                                                                                                                         0 H H H                                                             
                                                                                                                                                  T    e         U                                               H0                                                H1                                                                   Hn                                   G
                                                                                                                                              V
en la chaîne                                                                                                                                                   W ¢                                                          ¢           0                                   ¢           P33I0
                                                                                                                                                                                                                                                                                         0 H H H                                                     ¢                              ¢
                                                                                                                                                      e                                                          H0                                                H1                                                                       Hn                               G
                    ¢                            £           ¤                                       
où Hi     f Hi pour i 0 1 n 1. Cette chaîne est normale, car l’image d’un sous-                                                       R               ¥¥R
                                                                                                                                                      R S S S
                                                                                                                                                                                                      

groupe distingué par un homomorphisme surjectif est un sous-groupe distingué. D’un
autre côté, L’application ui définie par
                                                                                                                                                                                                                 £                               £                 ¤
                                                                                                                                                                                                                                                                   "¤                                   £ ¢                £               X¤
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            ¤
                                                                                                                                                                                             ui pi x                                                                                                 pi f x

est bien définie, car nous avons
                                                      $                   £   ¤                              £                            # '¤
                                                                                                                                               &                                                             §                                                                               
                                                                                                                                                                                                                                         1
                                                          pi x                                    pi y                                                                                                           xy              ¦                                          Hi
                                                                                                                                                       6 
                                                                                                                                                       7#                                                                                   ¤                                       ¤                                                                                  ©                            ¤                   8 ¢
                                                                                                                                                                                                                         £                                              £
                                                                                                                                                                                                                                                                                                     1                                                               1                           £
                                                                                                                                                                                                                 f x f y                                                                         ¦                          f xy        ¨                ¦                                   f Hi                         Hi
                                                                                                                                                       #
                                                                                                                                                                                                        §           £ ¢                                   £                Y¤
                                                                                                                                                                                                                                                                            ¤                                    £ ¢               £             "¤
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   ¤
                                                                                                                                                                                                                 pi f x                                                                              pi f y
                                      ¢
où pi et pi sont les surjections canoniques. Il est facile de vérifier que ui est un homo-
morphisme de groupes surjectif.
                                                                                                                              ¡                                      ¢
   Théorème Si f ; G                                                                                       
                                                                                                                                              V
                                                                                                                                                      G est un homomorphisme injectif, alors toute chaîne nor-
male                                                                                                                                                           W ¢                                                          ¢           0                                   ¢           P33I0
                                                                                                                                                                                                                                                                                         0 H H H                                                     ¢                              ¢
                                                                                                                                                      e                                                          H0                                                H1                                                                       Hn                               G
               ¢
de G est transformée par f                                                                                                                                 1             en une chaîne normale
                                                                                                                                                  ¦

                                                                                                                                                                                    0                                                       0 H H H
                                                                                                                                                                                                                                             !33I0                                                                                                                  £           ¤       
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         1
                                                                                                  T       e       U                                   H0                                                         H1                                                                                  Hn                                     f    ¦                       G                       G
                             £            ¤                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           @
de f 1 G et il existe un homomorphisme injectif vi du facteur Fi
       ¦
                                      ¢                          ¢               @       ¢                                                                
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Hi   Q   1       Hi dans le
facteur Fi Hi 1 Hi pour i 0 1 n 1.                                    Q
                                                                                                                                                                                                 R               R S S S
                                                                                                                                                                                                                 ¥R
                                                                                                                                                                                                                                                                


                                                                                                                                                                                                                    £                               ¤ ¢                                                      
   Démonstration Soit Hi                                                                                                                                                     f                                   1               Hi pour i                                                                                  01  R               ¥R
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                R S S S                  n    
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         1. Les sous-groupes Hi de
                                                                                                                                                                                             ¦

G forment une chaîne
                                                                                                                                                                                    0                                                       0 H H H
                                                                                                                                                                                                                                             !33I0                                                                                                                  £           ¤       
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         1
                                                                                                  T       e       U                                   H0                                                         H1                                                                                  Hn                                     f    ¦                       G                       G
I. El Hage                                                                                                                                                                              www.les-mathematiques.net                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           4

                                           £               ¤ ¢                                                           £                   ¥¢
                                                                                                                                               ¤                                                                               £                                     ¤                   
où H0                   f           1               H0                                        f                1                       e                                                    Ker f                                                                                                         T       e . Cette chaîne est normale car nous avons
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              U
                            ¦                                                                      ¦

                                        $                                                                                                                                   # &
                                                                                                                                                                                                                                       §                                 £                   ¤                                         ¢                                                                       £                           ¤                                                    ¢
                                                    x                 Hi 1 , y    Q                                                            Hi                                                                                                       f x                                                               Hi 1 , f y        Q                                                                                                                              Hi
                                                                                                                                                                                        #
                                                                                                                                                                                                                                           6                                                                                       ©                                                                                                                                                                                                      8 ¢
                                                                                                                                                                                                                                                                                                              1                                                                                             £                   ¤
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    1                   £             ¤         £    ¤
                                                                                                                                                                                                                                                         f x                  ¨                   ¦               yx                                                                        f x                                                         ¦                 f y f x                                                     Hi
                                                                                                                                                                                        
                                                                                                                                                                                        #                                          §                                                                                                                       
                                                                                                                                                                                                                                                                                          1
                                                                                                                                                                                                                                                x                 ¦                           yx                                   Hi

L’application vi est définie comme l’application ui du théorème précédent. C’est un
homomorphisme de groupes. Il est injectif car nous avons
                                                                                                           §                   £                                    £                   ¤
                                                                                                                                                                                        "¤                                                              ¢                               
                                                                                                                                                                                                                                                                                          #                      §                     £ ¢                                             £                       "¤
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ¤                                                             ¢
                                                                                                               vi p i x                                                                                                         e                                                                                                 pi f x                                                                                                                                  e
                                                                                                                                                                                                                                                                                          #
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 §                             £                       ¤                                                                            ¢
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   f x                                                                              Hi
                                                                                                                                                                                                                                                                                          #
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     §                                                                                                                                             © ¢                                   
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        1
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  x f                                                       ¦                           ¨                   Hi                                                        Hi
                                                                                                                                                                                                                                                                                          $ 
                                                                                                                                                                                                                                                                                          `#                                                       £                       ¤                                                          &
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  pi x                                                                                  e



    Théorème Si chaque facteur d’une chaîne normale de G possède une chaîne nor-
male, alors nous obtenons une chaîne normale de G en concaténant les différentes
chaînes des facteurs. Les facteurs de la nouvelle chaîne sont isomorphes aux facteurs
des chaînes des différents facteurs.

        Démonstration Soit
                                                                                                                                                                                                                                                             0                                                   P33I0
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  0 H H H                                                                                                                                   
                                                                                                                                                T                   e           U                                   H0                                                                        H1                                                                                                            Hn                                                            G

une chaîne normale de G et soit
                                                                                                                                                                                                                                                   0                                                             P33b0
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  0 H H H                                                                                                                                             
                                                                                                                                   T           e        U                                               Ki 0        a                                                                 Ki 1            a                                                                                                         Ki ni               a                                                   Fi
                                                                                                                                                                                                                                                                                  
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    ¡
une chaîne normale du facteur Fi pour i 1 2 n 1. La surjection canonique pi ; Hi                                                                                                                                                                                                                              R                   R S S S
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  ¥¥R
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Q   1
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

Fi transforme cette chaîne en une chaîne normale de G entre Hi et Hi 1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Q

                                                                                                                                                                                                                       0                                                                                 P33b0
                                                                                                                                                                                                                                                                                                          0 H H H                                                                                                                               
                                                                                                                               Hi                                                       Li 0            a                                                Li 1                         a                                                                                             Li ni               a                                                                 Hi        Q             1
                                               £                     ¤                                @
                                    1
où Li j                 pi      ¦                   Ki j Li                               a    j               Hi                          c                            Ki j . Il en résulte que la chaîne
                                                                                                                                                                                        a

                                                                                                                                                                                              0                                                                                 !33I0
                                                                                                                                                                                                                                                                                  0 H H H                                                                                                                                                                                      0 H H H
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                P33b0
                                                        T   e     U                            H0                                              L0 0                         a                                       L0 1                        a                                                                                                       L0 n0                   a                                                                           H1                                                           Hn            1
                                                                                                                                                               0                                                                                                 P33b0
                                                                                                                                                                                                                                                                  0 H H H                                                                                                                                                                                                                                                       ¦
                                                                                               Ln                              10      a                                                Ln                          11      a                                                                                                           Ln                                              1 ni        a                                                               Hn                                    G
                                                                                                               ¦                                                                                            ¦                                                                                                                                                       ¦
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  @
est une chaîne normale de G. Il nous reste à prouver que le facteur Li j 1 Li j est iso-                           @                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Q a                       a
morphe au facteur Ki j 1 Ki j et ceci pour j 0 1 ni 1 et pour i 0 1 n 1. La                   Q a                                                           a                                                                                                                                                                                                   R                       R S S S
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        ¥¥R
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              R       R S S S
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      ¥¥R
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

restriction de pi à Li j 1 est un homomorphisme surjectif de Li j 1 sur Ki j 1 . Le der-
                                                                                      Q a                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      Q a                                    Q a
nier théorème de la section précédente nous donne l’isomorphisme recherché (prendre
   ¢                                                    ¢                                                                                         
G Ki j 1 , H        Ki j et H Li j ).
                  Q a                                                                 a                                                                                                             a
I. El Hage                                                                                                   www.les-mathematiques.net                                                                   5


3 Groupes résolubles
   Définition On dit qu’un groupe G est résoluble si, et seulement si, il possède une
chaîne normale dont les facteurs sont abéliens.

   Exemple Le groupe symétrique S3 est résoluble.

   Théorème Tout groupe abélien est résoluble.
                                                                                                                                                                            0
   Démonstration Il suffit de prendre la chaîne e                                                                                                                T   U                   G.

   Théorème Tout groupe cyclique est résoluble.

   Démonstration Car un groupe cyclique est abélien.

   Théorème Toute image par un homomorphisme d’un groupe résoluble est un
groupe résoluble.
                                                                       ¢
    Démonstration Si G est une image homomorphe du groupe résoluble G, alors il                                                                           ¢
                                                                                                                                                  ¡
existe un homomorphisme surjectif f ; G G . Si                                                                                             

                                                                                                                                 0                   P33I0
                                                                                                                                                      0 H H H                   
                                                                                               T   e     U               H0               H1                        Hn                  G
est une chaîne normale de G à facteurs abéliens, alors la chaîne                       V

                                                                                                       W ¢                   ¢       0       ¢       0 H H H
                                                                                                                                                      P33I0             ¢                   ¢
                                                                                                   e                         H0           H1                        Hn                   G
     ¢                  £       ¤                     
où Hi   f Hi pour i 0 1 n 1 est normale et ses facteurs sont des images ho-                R        ¥¥R
                                                                                                    R S S S
                                                                                                                          

momorphes de ceux de la chaîne de G (par l’homomorphisme ui ). Il en résulte que la
                 ¢                                                                                                                                                                               ¢
chaîne G est une chaîne normale à facteurs abélien. Ceci prouve que G est résoluble.

   Corollaire Tout groupe quotient d’un groupe résoluble est un groupe résoluble.

   Démonstration En effet, un groupe quotient de G est une image homomorphe de
G par la surjection canonique.
                                                                           ¡                                 ¢                                                                                       ¢
    Théorème Si f ; G                                           
                                                                                                       G est un homomorphisme injectif et si G est résoluble,
alors G est résoluble.
                                                                   ¢
   Démonstration Si G est résoluble, alors il possède une chaîne normale               V

                                                                                                       W
                                                                                                       )¢                    ¢       0       ¢       0 H H H
                                                                                                                                                      P33I0             ¢                   ¢
                                                                                                   e                         H0           H1                        Hn                   G
à facteurs abéliens. La chaîne
                                                                                                                                 0                   P33I0
                                                                                                                                                      0 H H H                   
                                                                                               T   e     U               H0               H1                        Hn                  G
                            £           ¤ ¢               
où Hi f 1 Hi pour i 0 1 n est une chaîne normale et il existe homomorphisme
                     ¦
                                     @                                         ¢
                                                                                                   R S S S
                                                                                                   ¥R R
                                                                                                     ¢     @
                                                   ¡
injectif vi ; Hi 1 Hi Hi 1 Hi . Il en résulte que les facteurs de la chaîne de G sont
                             Q
                                                
                                                                                   Q
I. El Hage                              www.les-mathematiques.net                                                                                              6


tous abéliens, ce qui prouve que G est résoluble.

   Corollaire Tout sous-groupe K d’un groupe résoluble est un groupe résoluble.

   Démonstration Il suffit d’appliquer le théorème précédent à l’injection canonique.

    Théorème Si G possède une chaîne normale dont les facteurs sont des groupes
résolubles, alors G est résoluble.

   Démonstration Soit
                                                    0                P33I0
                                                                      0 H H H                    
                            T   e   U       H0                   H1                 Hn                   G
                                                                                                                            @
une chaîne normale de G telle que tous les facteurs Fi Hi 1 Hi sont résolubles. Nous                             Q
avons démontré que l’on peut utiliser ces chaînes normales des facteurs pour construire
une chaîne normale de G dont les facteurs sont isomorphes aux facteurs des différentes
chaînes normales des facteurs. Mais les chaînes des Fi peuvent être choisies à facteurs
abéliens, il en résulte que les facteurs de la chaîne concaténée sont tous abéliens et G
est résoluble.

    Théorème Soit H un sous-groupe distingué de G. G est résoluble si, et seulement
           @
si, H et G H sont résolubles.
                                                                                     @
    Démonstration Si G est résoluble, alors H et G H sont résolubles comme nous
                                                         @
l’avons vu. Réciproquement, si H et G H sont résolubles, alors
                                                                 0        0
                                                 T       e   U        H       G
                                                                                            @                                                       @
est une chaîne normale de G dont les facteurs F1                                    H                T   e   U       c           H et F2             G H sont ré-
solubles. Il en résulte que G est résoluble.

    Dans la suite, nous allons prouver que G est résoluble si, et seulement si, G possède
une chaîne normale dont les facteurs sont des groupes cycliques d’ordres premiers. Il
est clair que si G satisfait cette condition, alors G est résoluble. Pour démontrer la ré-
ciproque, nous démontrons les théorèmes préliminaires suivants :

   Théorème Si p est un facteur premier de l’ordre d’un groupe cyclique fini G, alors
G possède un élément d’ordre p.
                                                                                                                                                n
    Démonstration Si a est un générateur de G, alors l’élément b
       
                                                                                                                                            a p est d’ordre p,
car b p e et p est premier.

   Théorème Si p est un facteur premier de l’ordre d’un groupe abélien fini G, alors
G possède un élément d’ordre p.
                                                                                                                         
    Démonstration Par récurrence sur l’ordre n de G. Si n 1, le théorème est vrai.
Supposons le théorème vrai pour tous les groupes finis d’ordre n et démontrons-                                                      d

le pour les groupes finis d’ordre n. Soit G un tel groupe. Si G est cyclique, alors on
I. El Hage                                                                                                                                www.les-mathematiques.net                                                                                                                                                                                         7


est ramené au théorème précédent. Sinon, G possède un élément h d’ordre m tel que
                                                                                                 £       ¤
1 m n. Soit H gr h le sous groupe de G engendré par h. Le groupe quotient
        @
            d                    d

G H est d’un ordre n. Deux cas sont possibles :                           d


                        1. p divise m : dans ce cas, p divise l’ordre du groupe H qui est d’ordre m n.                                                                                                                                                                                                                                        d

                           Ainsi H contient un élément d’ordre p.
                                                                                                                                                                                                                                   @                                                                       £       @         ¤
                        2. p ne divise pas m : p divise l’ordre de G H car n m ord G H et p est                       @                                                                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                                                    e
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
                           premier. Il existe y G H d’ordre p. L’élément x ym vérife x e (sinon ym e
                                                                                                                 ¤                                                                                                                           
                                                                                                                                                                                                                                                                                                    f
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        
                                                            ym p
                                                                                                                                                                                                      ¤
                                                                      y p m e car y p H (y p e) et m est
                                                                                                      £                                                                       £                                            £           ¤
                           et p divise m Ord y ) et x p
                           l’ordre de H. On en déduit que p est l’ordre de x car p est premier.



    Corollaire Si G est un groupe abélien fini d’ordre non premier, alors G possède
un sous-groupe propre( c.a.d distint de e et G.                                                                                                                                   T       U



    Démonstration Si p est un facteur premier de l’ordre de G, alors G possède un                                                                                                                £            ¤
élément d’ordre p. Le sous-groupe H gr a qui est le sous groupe de G engendré par
a est un sous-groupe propre de G.

    Théorème Si G est un groupe résoluble, alors G possède une chaîne normale dont
les facteurs sont des groupes cycliques d’ordres premiers.

                        Démonstration Soit
                                                                                                                                                             0                                           P33I0
                                                                                                                                                                                                          0 H H H                                   
                                                                                                              T   e       U                       H0                                  H1                                                   Hn                   G

une chaîne normale à facteurs abéliens. Nous supposons que cette chaîne est la plus
longue des chaînes normales de G à facteurs abéliens. Si un facteur Fi n’était pas un
groupe cyclique d’ordre premier, alors Fi possède un sous-groupe propre et G possède                                          0                   0
un sous-groupe H tel que Hi H Hi 1 . H est distingué dans Hi 1 , car si x Hi 1                                                                                                       Q                                                                                                     Q
                                                                                                                                                                                                                                                                                                        0                                              Q
et y H, alors x 1 yx y (Fi est abélien). Il en résulte x 1 yxy 1 Hi H et x 1 yx
                                             ©
                                                          ¦
                                                                                                                                                                      @
                                                                                                                                                                                                                                                            ¦               ¦                                                         ¦
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          @
¨x 1 yxy 1 y H. D’un autre côté, H Hi est abélien (sous-groupe de Fi ) et Hi 1 H est
                ¦                    ¦                                                                                                                                                                                                                                                                                            Q
abélien car nous avons                                                                                                                        @       F                   £                                @                   @
                                                                                                                                                                                                                               g¤      £    @                   ¤
                           Hi 1 H       Hi 1 Hi    H Hi                                                                               Q                                                       Q
                    £                    @       @
                                                 g¤   £       @                   ¤
et Hi 1 Hi     H Hi est abélien car c’est un quotient du groupe abélien Fi . Ainsi, si
                             Q
nous insérons H entre Hi et Hi 1 nous obtenons une chaîne normale à facteurs abéliens                                             Q
plus longue que la plus longue des telles chaînes.



4 Groupe dérivé
                                                                                                                                                                                                                                                                        £               ¤
    Définition Soit G un groupe distinct de e . Pour tout a b                  $               &
                                                                                                                                                                                                                       T       U                                                R                   G           e           G, l’élément
a 1 b 1 ab sera noté a b et appelé le commutateur de a et b.
    ¦                    ¦                                                                R
I. El Hage                                                                                                             www.les-mathematiques.net                                                                                                                                                                                               8


            Théorème Les propriétés suivantes sont vraies :
                 $                                                  C
                                                                    2&           $ $
                                                                                 E                                        &                                                                       £                               ¤                                           &
            1. G est abélien       a b e pour tout a b G G .                                                       R                                                                                                 R                                       e

            2. L’inverse d’un commutateur est un commutateur.
            3. Si c est un commutateur, alors x 1 cx est un commutateur pour tout x                                                                                       ¦                                                                                                                                                   G.



            Démonstration Ces propriétés sont faciles à vérifier.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  $       &    £           ¤
            Définition Le sous-groupe de G engendré par tous les commutateurs a b , a b                                                                                                                                                                                                   ¢
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      R            R

G       e   G, sera appelé groupe dérivé du groupe G. Il sera noté G .
                                                                                                                                                      ¢
    Théorème Le groupe dérivé G de G est l’ensemble des produits finis de commu-
tateurs.

    Démonstration Soit H l’ensemble des produits finis de commutateurs. H est un
sous-groupe de G et il contient tous les commutateurs. Il est le plus petit sous-groupe
de G qui contient tous les commutateurs car si un sous-groupe K de G contient tous les                                                                                                                                                                                                                                                 0
commutateurs, alors K contient tous les produits finie de commutateurs. Ainsi H K
                          ¢
et H G .
                                                                                                                                                          ¢
            Théorème Le groupe dérivé G de G est un sous-groupe distingué de G.
                                                                                                                                              ¢

    
            Démonstration Car, si y
                     33H
                     H H
                                                                                                                                     G , alors y est un produit fini de commutateurs, soit
y           c1 ct . Il en résulte
                                                                                                         H H
                                                                                                          33H                                                                               ©                                                   ©           H H
                                                                                                                                                                                                                                                             33H                                      ©       ¢
                                                   1                                     1                                                                                        1                                              1
                                       x       ¦       yx                x   ¦               c1                            ct x                                       ¨   x   ¦       c1 x                   ¨   x       ¦               c2 x                            ¨       x 1 ct x
                                                                                                                                                                                                                                                                                     ¦                    G

car le conjugué d’un commutateur est un commutateur.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                  @
    Théorème Si H est un sous-groupe distingué de G, alors G H est abélien si, et
                                                   0
                                                   2¢
seulement si, G H.
                                                                                         
                                                                                                                       1
            Démonstration Si c                                                                    a            ¦           b 1 ab est un commutateur, alors
                                                                                                                                     ¦

                                                                                                                                                                                                                                       1           
                                                                                                 c                         a     ¦
                                                                                                                                             1 b 1 ab
                                                                                                                                                              ¦                           a 1 b ab
                                                                                                                                                                                                 ¦                           ¦                                   e   S

                                                                                                                                         0
                                                                                                                                         h¢                                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                                                                                                                                                             i¢
Il en résulte c                            ©
                                                       H qui prouve G
                                                                @                                 @
                                                                                                                                                                  H. Réciproquement, si G                                                                                                             H, alors nous avons
pour tout a b                  ¨   R                    G H G H                  e


                                                                                             1                         1                                                                                                                                                   
                                                                             a       ¦           b ab ¦                                                       a 1 b 1 ab
                                                                                                                                                                  ¦               ¦                                          a 1 b 1 ab
                                                                                                                                                                                                                                 ¦           ¦                                               e
                                       @
et par suite G H est abélien.
                                                                         ¢                                                                                                                                                                               @           ¢
            Corollaire Soit G le groupe dérivé du goupe G. G G est abélien.
I. El Hage                                                                                                             www.les-mathematiques.net                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      9


                Définition On définit, par récurrence, le groupe dérivé d’ordre i comme étant                                                                                                                                                                                                                                  ¢
                                                                                                                                                                                                             r
                                                                                                                                                                                                             s
le groupe dérivé du groupe G i                                                                                     ¦ p
                                                                                                                                               1       q
                                                                                                                                                                   : Gi                      p
                                                                                                                                                                                                 q
                                                                                                                                                                                                                                                       Gi  ¦ p
                                                                                                                                                                                                                                                                                     1       t
                                                                                                                                                                                                                                                                                             )q
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             . On définit G 0 comme étant le                                                                                                      p
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         q


groupe G.

                Nous avons :

                Théorème Si G est un groupe résoluble, et si
                                                                                                                                                                                                                                      33H
                                                                                                                                                                                                                                       H H                                                                                           
                                                                                           G                                               G0                              u             G1                      u                                         u                     Gn                                                                              T                   e           U

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         0                                                                                                               
est une chaîne normale à facteurs abéliens, alors G i                                                                                                                                                                                                                                        p
                                                                                                                                                                                                                                                                                                         q
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Gi pour i                                                                                                       01  R            ¥R
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  R S S S   n.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
                Démonstration Par récurrence . Si i                                                                                                                                                                                        0, nous avons G0
                                                                                                                                                                                                                                           ¢
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     G                                       G 0 . Supposons
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   p
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       q

                                               0                                                                                                                                        r                                                             0                                                                                                                                                                                 @
avoir G i                  p
                                   q
                                                       Gi . Nous avons G i                                                     p
                                                                                                                                       Q           1       q
                                                                                                                                                                                                 Gi              p
                                                                                                                                                                                                                             t q
                                                                                                                                                                                                                                                                     Gi . Comme Gi Gi    A
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     Q               1       est abélien, on a
        0
Gi  A
                      Gi       Q       1           et par suite                                                                                                                                                                    ¢
                                                                                                                                                                                    r                                                             0                                         0
                                                                                               Gi              p
                                                                                                                                   Q           1   q
                                                                                                                                                                                             Gi          p
                                                                                                                                                                                                                     t q
                                                                                                                                                                                                                                                               Gi        A
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     Gi                      Q                           1       S




                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
                Théorème G est résoluble si, et seulement si, G n                                                                                                                                                                                                                                                        p
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 q
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     T   e pour certains n.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         U



                Démonstration Si G est résoluble et si
                                                                                                                                                                                                                                      33H
                                                                                                                                                                                                                                       H H                                                                                           
                                                                                           G                                               G0                              u             G1                      u                                         u                     Gn                                                                              T                   e           U

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         0                                                                                                                                                                  
est une chaîne normale à facteurs abéliens, alors G n    Gn      e , d’où G n          
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 p
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             q
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 T           U                                                   p
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     q
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     T       e .  U

Réciproquement, si G n     e pour un entier naturel n, alors la chaîne   p
                                                                               q
                                                                                           T                       U

                                                                                                                                                                                   ¢                                                                         33H
                                                                                                                                                                                                                                                               H H                                                                                                                               
                                                                             G             G0      p
                                                                                                                           q
                                                                                                                                           u                       G                                     G1              p
                                                                                                                                                                                                                               q
                                                                                                                                                                                                                                               u                                                 u                                   Gn              p
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 q
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 T               e   U

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 @                                                                                                                                                                                                            
est une chaîne normale à facteurs abéliens car G i G i
                       ¢
                                                                                                                                                                                                                                                                                                     p
                                                                                                                                                                                                                                                                                                             q
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             p
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         Q               1   q
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             est abélien car G i                                                                         p
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Q   1   q

r
    Gi      p
                t
                vq
                           . Ainsi G est résoluble.

                Théorème Le groupe alterné An n’est pas résoluble pour n                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     w               5.

    Démonstration Nous allons démontrer que An contient tous les cycles de longueur
                  £                        ¤
                                                                                                                                                                                                                                                                             A

3. Si abc est un tel cycle, alors
                                                                                                                                                                                                            
                                       £                   ¤       £         £ ¤               ¤       £                                                       ¤       £                             ¤                                 £                             ¤
                                                                                                                                                                                                                                                                                                     1               £                                                               ¤
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         1           £                               ¤           £                            ¤
                                               abc                     adc bec acd bce                                                                                                                                                     acd                                   ¦                                                       bce                                                 ¦                               acd bce                                                                        An
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             A



où d et e des éléments distincts et distinct de a b c (n 5). Il en résulte que An , en-                                                                                                                                                                          R                   R                                                                               w

gendré par les cycles de longueur 3, est égal à son groupe dérivé An . Ceci prouve que                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       A

An n’est pas résoluble pour n 5, car son groupe dérivé de n’importe quel ordre est                                     w

distinct de i .                                    T   U
I. El Hage                          www.les-mathematiques.net                                                                                                             10


   Corollaire Le groupe symétrique Sn n’est pas résoluble pour n                                                                                         w       5.

   Démonstration Sinon, An serait résoluble.

   Théorème Le groupe symétrique Sn est résoluble pour n                                                                                         x
                                                                                                                                                 T   1234 .
                                                                                                                                                     R       R   R    U

                                                                                                                                    
   Démonstration Ceci est claire pour n                                                      1 2 3. Pour n
                                                                                               R   R                                         4, nous avons la chaîne
                                                        0               0                0                  0
                                        T       i   U           W                   V              A4                   S4

où V est le groupe                         £           ¤   £       ¤           £            £ ¤        ¤           £        ¤   £       ¤
                        V       T   i 12 34
                                    R                                       R           13 24                   R       14 23                U


et W est un sous-groupe d’ordre 2 de V . Cette chaîne est normale. La seule vérification
à faire est que V est un sous-groupe distingué de A4 . Mais V est distingué dans S4 .
Ainsi la chaîne est normale. Les facteurs sont tous d’ordre 2 ou 3, ils sont abéliens. Il
en résulte que S4 est résoluble.

				
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Description: Compléments sur les groupes