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Tout le cours d'intégration

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					              e
 Cours de Math´ matiques 2
  premi` re partie :
       e                      Analyse 2
   DEUG MIAS 1e ann´ e, 2e semestre.
                   e

            Maximilian F. Hasler
        e
       D´ partement Scientifique Interfacultaire
     B.P. 7209 — F–97275 S CHOELCHER CEDEX
Fax : 0596 72 73 62 — e-mail : mhasler@univ-ag.fr


           version du 21 avril 2002




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              e
Table des mati` res
1   Fonctions a valeur dans R2 : courbes param´ tr´ es
              `                                    e e                                             3
                e                            e
    1.1 Plan d’´ tude d’une courbe parametr´ e . . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   3
    1.2 Etude des branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   4
    1.3 Etude de points particuliers . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   5
         1.3.1 Etude en un point stationnaire M (t0 ). . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   5
         1.3.2 Position de C par rapport a T en un point M (t0 )
                                           `                           .   .   .   .   .   .   .   5
         1.3.3 Points doubles (ou multiples) . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   7
    1.4 Etude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   7




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1      Fonctions a valeur dans R2 : courbes param´ tr´ es
                 `                               e e

       D´ finition 1 (et interpr´ tation g´ om´ trique) Soit D un sous-ensemble de
        e                      e         e e
       R2 .
       – Une fonction f : D → R2 est appel´ e application vectorielle a valeurs
                                                 e                         `
         dans R2 .
       – Les deux fonctions x : D → R et y : D → R telles que

                                   ∀t ∈ D : f (t) = (x(t), y(t))

         sont appel´ es les applications composantes de (ou : associ´ es a) f .
                     e                                                e `
       – Le plan etant rapport´ a un rep` re (O, ı, ), on note M (t) le point dont les
                  ´              e`       e
         coordonn´ es sont f (t) = (x(t), y(t)). Lorsque le param` tre t parcourt D,
                    e                                               e
         le point M (t) d´ crit un sous-ensemble du plan, appel´ la courbe C de (ou :
                          e                                     e
         associ´ e a) f .
               e `
                e       e
       – Le syst` me d’´ quations

                                         x = x(t)
                                                      t∈D
                                         y = y(t)

          est appel´ une repr´ sentation param´ trique de C.
                   e          e                e
          On dit alors que C est une courbe param´ tr´ e.
                                                  e e




1.1             e                           e
         Plan d’´ tude d’une courbe parametr´ e
             e         ´         e e
      On proc` de en 6 etapes, pr´ cis´ es ci-dessous :
1) Pr´ ciser le domaine de d´ finition D c’est a dire l’ensemble des points en lesquel
     e                       e                `
      les deux applications composantes x et y sont d´ finis.
                                                      e
                 e              e
2) Recherche de p´ riodes et sym´ tries
           1. Si ∃T > 0 : ∀t ∈ D, x(t) = x(t + T ) et y(t + T ) = y(t), la fonction est
              t–p´ riodique : on peut alors restreindre l’´ tude a l’intersection de D avec
                 e                                        e      `
              un intervalle de longueur T , et on obtient ainsi toute la courbe.
           2. Si D est sym´ trique et on a une des sym´ tries suivantes :
                            e                         e
              (i) ∀t ∈ D : x(−t) = x(t) et y(−t) = y(t) (x et y fcts paires de t),
              (ii) ∀t ∈ D : x(−t) = −x(t) et y(−t) = y(t) (x impaire et y paire),
              (iii) ∀t ∈ D : x(−t) = x(t) et y(−t) = −y(t) (x paire et y impaire),
              (iv) ∀t ∈ D : x(−t) = −x(t) et y(−t) = −y(t) (x et y impaires),
              alors on restreint l’´ tude a t ∈ D ∩ R+ , et on obtient toute la courbe
                                   e      `
              (i) qui est parcourue 2 fois
              (ii) en compl´ tant l’arc par une sym´ trie par rapport a l’axe y
                            e                       e                 `



                                               3
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               (iii) en compl´ tant l’arc par une sym´ trie par rapport a l’axe x
                             e                       e                  `
               (iv) en compl´ tant l’arc par une sym´ trie par rapport a l’origine O.
                             e                       e                  `
3) Rechercher les eventuelles branches infinies : voir chapitre 1.2
4) Faire un tableau de variations pour x et y, en etudiant les signes de x et y .
                                                  ´
5) Etudier les points particuliers tels que points stationnaires (= singuliers), points
      doubles : voir chapitre 1.3
                                         e          e e
6) Tracer la courbe en s’aidant des r´ sultats pr´ c´ dants, notamment en reportant
      aussi les points singuliers, tangentes et asymptotes.


1.2      Etude des branches infinies

       D´ finition 2 La courbe C pr´ sente une branche infinie (ou : un arc infini),
         e                        e
       si au moins une des coordonn´ es tend vers l’infini, pour t → t0 , avec t0 ∈
                                   e
       R ∪ {±∞}.


      Les cas suivants sont possibles :

   1. lim x(t) =          ∈ R et lim y(t) = ±∞ : C admet la droite ∆ d’´ quation x =
                                                                       e
        t→t0                        t→t0
        comme asymptote verticale
   2. lim x(t) = ±∞ et lim y(t) =                 ∈ R : C admet la droite ∆ d’´ quation y =
                                                                              e
        t→t0                       t→t0
        comme asymptote horizontale
   3. lim x(t) = ±∞ et lim y(t) = ±∞ : On etudie lim y(t)/x(t) :
                                          ´
        t→t0                      t→t0                          t→t0

          (a) Si     lim y(t)   = ±∞, alors C admet une branche parabolique dans la direc-
                    t→t0 x(t)
               tion 0y
                         y(t)
         (b) Si lim             = 0, alors C admet une branche parabolique dans la direction
                    t→t0 x(t)
               0x
                         y(t)
          (c) Si lim            = a = 0, on etudie la fonction y − a.x :
                                            ´
                    t→t0 x(t)
               – Si lim (y(t) − a.x(t)) = b ∈ R alors C admet la droite ∆ d’´ quation
                                                                            e
                      t→t0
                 y = a.x + b comme asymptote, et la position de C/∆ d´ pend du signe
                                                                          e
                 de y − a.x − b. (On peut utiliser un DL(t0 ) pour le trouver.)
               – Si lim (y(t) − a.x(t)) = ±∞ alors C admet une branche parabolique
                      t→t0
                 dans la direction de la droite d’´ quation y = a.x.
                                                  e
               – Si y − a.x n’admet pas de limite, on ne sait pas conclure.
                        y(t)
         (d) Si lim             n’admet pas de limite, on ne peut conclure sur la nature de l’arc
                   t→t0 x(t)
               infini.




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1.3      Etude de points particuliers


        D´ finition 3 On suppose que x : t → x(t) et y : t → y(t) sont d´ rivables en
          e                                                                      e
        t0 . Le vecteur V (t0 ) = (x (t0 ), y (t)) est appel´ le vecteur d´ riv´ e de f en t0 .
                                                            e             e e
                                       −
                                    d −→
        On note aussi V (t0 ) par dt OM (t0 ).
        • Si V (t0 ) = o, c’est a dire (x (t0 ), y (t0 )) = (0, 0), le point M (t0 ) est
                                  `
        dit point ordinaire. La droite (T ) de vecteur directeur V (t0 ) et passant par
        M (t0 ) est appel´ e tangente a C en M (t0 ).
                         e            `
        Une repr´ sentation param´ trique de T est donc donn´ e par
                  e                 e                         e

                                 x = x(t0 ) + x (t0 ).(t − t0 )
                          T :                                       t∈D.
                                 y = y(t0 ) + y (t0 ).(t − t0 )

        et on peut en d´ duire facilement une equation de la forme y = m x + b (ou
                        e                      ´
        x = x(t0 ) si x (t0 ) = 0) en exprimant (t − t0 ) dans la deuxi` me equation en
                                                                       e ´
        terme de x a l’aide de la premi` re equation :
                    `                   e ´

                                                y (t0 )
                                 y = y(t0 ) +           (x − x(t0 )) .
                                                x (t0 )

        • Si V (t0 ) = o, c’est a dire x (t0 ) = y (t0 ) = 0, alors le point M (t0 ) est dit
                                `
        stationnaire ou singulier.



1.3.1     Etude en un point stationnaire M (t0 ).

      On suppose que les fonctions x et y sont au plusieurs fois d´ rivables.
                                                                  e
   1. Si x (t0 ) = y (t0 ) = 0 et (x (t0 ), y (t0 )) = (0, 0) : Dans ce cas, la tangente
      (T ) a C en M (t0 ) est la droite qui passe par M (t0 ) de vecteur directeur le vecteur
           `
                  d2
      V (t0 ) = dt2 M (t0 ) de composantes (x (t0 ), y (t0 )).
   2. Si V (t0 ) = V (t0 ) = ... = o, V (p) (t0 ) = o : On g´ n´ ralise le cas pr´ c´ dent.
                                                                 e e             e e
      La tangente T a C en M (t0 ) est la droite qui passe par M (t0 ) et qui a comme
                     `
      vecteur directeur V (p) (t0 ) = (x(p) (t0 ), y (p) (t0 )).


1.3.2     Position de C par rapport a T en un point M (t0 )
                                    `

      On designe par p le premier entier ≥ 0 tel que (x(p) (t0 ), y (p) (t0 )) = (0, 0) :

                                p = min p ∈ N∗ | V (p) = o




                                                 5
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et par q le premier entier strictement sup´ rieur a p tel que les vecteurs V (p) et V (q) ne
                                          e       `
                e                 ´
soient pas colin´ aires. (On peut ecrire

                        q = min q ∈ N∗ | V (q) = λ V (p) ∀λ ∈ R

car pour q ≤ p la derni` re relation n’est pas satisfaite non plus.
                       e
    Ecrivons la formule de Taylor-Young a l’ordre q, c’est-` -dire le DLq (t0 ) :
                                        `                  a
                                   p                           q
         x(t) = x(t0 ) + (t−t0 ) x(p) (t0 ) + ... + (t−t0 ) x(q) (t0 ) + (t − t0 )q ε1 (t)
                            p!                          q!
 (S)                            p                           q
         y(t) = y(t0 ) + (t−t0 ) y (p) (t0 ) + ... + (t−t0 ) y (q) (t0 ) + (t − t0 )q ε2 (t)
                            p!                          q!

avec lim ε1 (t) = 0 et lim ε2 (t) = 0.
      t→t0                t→t0
En ecrivant (S) sous forme vectorielle, il vient :
   ´
                        (t − t0 )p (p)            (t − t0 )q (q)
    f (t) = f (t0 ) +             V (t0 ) + ... +           V (t0 ) + (t − t0 )q ε(t)
                            p!                        q!

Or, V (p+1) (t0 ), ..., V (q−1) (t0 ) sont colin´ aires a V (p) (t0 ), donc
                                                e       `

                               1          t − t0               (t − t0 )q−p−1
f (t) =f (t0 ) + (t − t0 )p       + λp+1          + ... + λq−1                        V (p) (t0 )
                               p!        (p + 1)!                 (q − 1)!
             (t − t0 )q (q)
         +             V (t0 ) + (t − t0 )q ε(t)
                 q!
                       −−−−
                      −− − −→
Etudions le vecteur M (t0 ) M (t) dans le rep` re (M (t0 ), V (p) (t0 ), V (q) (t0 )). Si x1 (t)
                                                e
et y1 (t) designent ses composantes dans cette base, on a les equivalences (au voisinage
                                                                  ´
de t0 )
                                   (t − t0 )p                 (t − t0 )q
                      x1 (t) ∼                et y1 (t) ∼
                             (t0 )     p!               (t0 )     q!
Selon la parit´ de p et de q, on a les r´ sultats suivants :
              e                         e



      D´ finition 4
       e               1. p pair et q impair : au voisinage de t0 , x1 (t) ≥ 0 et y1 (t)
            a le signe de (t − t0 ) : C traverse la tangente T en M (t0 ), qui est un
            point de rebroussement de 1e esp` ce.
                                                e
         2. p pair et q pair : au voisinage de t0 , x1 (t) ≥ 0 et y1 (t) ≥ 0,
            ind´ pendamment du signe de (t − t0 ) : C ne traverse pas la tangente
               e
            T ; M (t0 ) est un point de rebroussement de 2e esp` ce.
                                                               e
         3. p impair et q pair : au voisinage de t0 , x1 (t) change de signe et y1 (t) ≥
            0 : C touche la tangente T ; M (t0 ) est appele “m´ plat”.
                                                                 e
         4. p impair et q impair : au voisinage de t0 , x1 (t) et y1 (t) changent de
            signe : C traverse la tangente T en M (t0 ), qui est appel´ point d’in-
                                                                        e
            flexion.



                                                 6
                                                                      7
                   e e
   n’a pas de parit´ d´ finie.)
                      e                         e       ´
2. Recherche de sym´ tries : il n’y a pas de sym´ tries evidentes. (y est paire mais x
                                                   e                        e
                                    1. Domaine de d´ finition : x et y sont d´ finis sur D = R \ {0}
                                                                y = t2 + t12
                                                          .               t                            e
                                                                                 Etudions la courbe C d´ finie par
                                                                x = t2 + 2
                                                                                           Etude d’un exemple                      1.4
                                                                                e e
                                                         avec t = t. (C’est en g´ n´ ral un calcul assez lourd... !)
                                                                 y(t ) = y(t)
                                                                 x(t ) = x(t)
                                                                               e               e
                                Pour trouver les points doubles, il faut donc r´ soudre le syst` me
  point double (ou multiple).
   e
  D´ finition 5 S’il existe t = t tels que M (t ) = M (t), on dit que M (t) est un
                                                                               Points doubles (ou multiples)                      1.3.3
               f –d v f f u ™ f q –v n y rv f f rv u ™ – k f – n o r – q g n f – – ™ g f –d ™ ˜ – • “ ‘ ‰ ‡…
               4e{§vvys†z"e¥§dePevxwt"gyPst—B4vqpvg suevwopylm¥—k’jihA†¥§eb—)”’ˆS©†„
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                                                                                    W
                                                                                   )t¤
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                                                                                   ¨ ¦§¤ R   ¡
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                                                                                                  ©¦rq¦
                                                                                                                         ¦¤ Y
                                                                                                                      ¨ §¥£  ¡
                                                    www.L es-M athematiques.net
                          www.L es-M athematiques.net


3. Etude de branches infinies.
                                                                                    y     2
    (a) t → ±∞ : On a x → +∞ et y → +∞, il faut donc etudier
                                                     ´                                 ∼ t
                                                                                    x ±∞ t2   = 1,
                               1         2
        et y(t) − 1.x(t) =     − = 0 : La droite d’´ quation ∆ : y = x est
                               t2        t               e
        asymptote a la courbe pour les deux arcs infinis t → ±∞.
                   `
                          1              2
    (b) t → 0 : On a y ∼                    −→
                          t2 → +∞ et x ∼ t t→0± ±∞ (selon la signe de t). On
                     y     t    1
        ´
        etudie donc  x ∼0 2t2 = 2t → ±∞, on a donc deux branches parabolique
        de direction (Oy) en t = 0
4. etude du signe de x et y :
   ´

            x (t) = 2 t − t2 =
                            2
                                     2
                                    t2   t3 − 1 =          2
                                                          t2   (t − 1) t2 + t + 1
            y (t) = 2 t − t2 =
                           3
                                    2
                                    t3   t4 − 1 =         2
                                                          t3    t2 + 1 (t − 1) (t + 1)

   donc x a le signe de t − 1 et y a le signe de t(t2 − 1) :

               t −∞             −1                         0                1       +∞
           x (t)           −                 −                       −      0   +
           x(t) +∞              −1                   −∞        +∞           3       +∞
            y(t) +∞             2                    +∞        +∞           2       +∞
           y (t)           −    0            +                       −      0   +

5. etude en t = 1
   ´
   x (1) = y (1) = 0 =⇒ M (1) : (3, 2) est un point stationnaire.
   Calculons les deriv´ es successives de x et y en t = 1 pour connaˆtre le vecteur
                       e                                            ı
   directeur de la tangente et la nature du point :

                        x (t) = 2 + t43                         x (1) = 6
                                                      =⇒
                        y (t) = 2 + t6
                                     4                          y (1) = 8

   Donc V (1) = (6, 8) = 0 =⇒ C admet une tangente en M (1) : (3, 2) de
   vecteur directeur V (1) = (6, 8).
   (Son equation est donc T : y = 8 (x − 3) + 2 = 4 x − 2.)
        ´                         6               3
   Nature du point :

                       x (t) = − 12
                                 t4                        x (1) = −12
                                                     =⇒
                       y (t) = − 24
                                 t5                        y (1) = −24

   V (1) = (−12, −24) est non colin´ aire a V (1) = (6, 8), on est donc dans le
                                         e     `
   cas p = 2, q = 3, c’est-` -dire le point M (1) : (3, 2) est un pt de rebroussement
                           a
   de 1e esp` ce.
            e
6. recherche de points doubles :
   cherchons t = t tel que M (t ) = M (t), c’est-` -dire
                                                 a
                                                          2     2    2   2
                    x(t ) = x(t)                          t +   t =t + t
                                             ⇐⇒            2     2
                    y(t ) = y(t)                          t +   t2
                                                                   = t2 + t2
                                                                           2




                                                 8
                           www.L es-M athematiques.net

                  2         2   2      t −t
                t − t2 =    t − t = 2 tt                     t + t = t2 t
                 2                       t 2 −t2
                                                     ⇐⇒
                t − t2 =    2     2
                            t2 − t 2 = 2 t 2 t2
                                                             1 = t2 1 2
                                                                    t

   car t = t . Donc

                       t t = ±1                    t = ±1
                                                        t
                                         ⇐⇒
                       t + t = ±2                  t2 2t ± 1 = 0

   Le premier choix de signes est a exclure car il correspond a (t − 1)2 = 0, soit
                                   `                          `            √
              Donc t, t sont les solutions a t2 + 2t − 1 = 0, soit t = −1 + 2 et
   t = 1 = t .√                            `
   t = −1 − 2.
   Le point double est donc M (t) = M (t ) = (5, 6).
        e
7. Trac´ de la courbe : (cf. figure ci-dessous)
   on reporte les asymptotes, le pt. stationnaire avec sa tangente. En partant de −∞,
   au dessus de l’asymptote, on rejoint le pt. (−1, 2) avec une tangente horizontale,
   puis on repart pour t → 0− vers x = −∞, y = +∞ (brache parabolique de
   direction Oy) (pour x = −10, y ≈ 25).
   Pour t au voisinage de +∞, on vient de en-dessous de l’asymptote y = x, et on
   rejoint le pt. singulier (3, 2) avec la tangente de vecteur directeur (6, 8), puis on
                         e
   repart de l’autre cot´ de cette tangente, en passant par le pt. double (5,6), pour la
   branche parabolique de direction Oy, quand t → 0+ (pour x = 10, y ≈ 25).




                                         9
                                 www.L es-M athematiques.net




 t->0-                            y                     t->0+                 t->-oo


                                                                                 t->+oo




                                                  V’’=(6,8)




                             6




                             2
                                                                                       x
                        -1              3     5


              A: y=x



F IG . 1 – Graphe de la courbe etudi´ e, avec l’asymptote y = x et le vecteur directeur
                                ´   e
de la tangente en le point de rebroussement.




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