materi integral by ahmad6129

VIEWS: 404 PAGES: 2

									Integral Tak tentu
Integral adalah bentuk invers dari turunan. Secara umum jika sebuah fungsi diintegralkan terhadap variable

tertentu dapat disajikan dalam bentuk :             f ( x)dx  F ( x)  C
Untuk menentukan integral dari suatu fungsi, secara umum dapat ditentukan dengan aturan :

 ax dx               x n1  C; n  1
     n           a
                n 1


Contoh :

                2x dx !
                       5
Tentukan



                                     2 51
                  2x                  x C
                           5
Jawab :
                                   5 1
                       1 6
                        x C
                       3
Sifat – sifat integral tak tentu

-     kf ( x)dx  k  f ( x)dx
-     [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx
-     [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Integral tak tentu trigonometri
Untuk memahami integral tak tentu trigonometri , maka siswa harus dapat mengingat kembali turunan dari
beberapa fungsi trigonometri
Jika f(x) = sin x maka f’(x) = cos x
Jika f(x) = cos x maka f’(x) = –sin x
Dari definisi turunan fungsi trigonometri tersebut dapat kita tentukan integral setiap fungsi trigonometri.

 sin xdx   cos x  C
 cos xdx  sin x  C
Untuk fungsi trigonometri yang lain mengikuti aturan sebagai berikut :

 sec x tan xdx  sec x  C                                              cosecx cot anxdx   cosecx  C
 sec       xdx  tan x  C                                              cosec       xdx   cot anx  C
        2                                                                         2



Integral Tentu
Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi inetgral. Pada beberapa aplikasi
integral dikenal istilah batas bawah dan batas atas sebuah integral, batas inilah yang kemudian menjadi ciri khas
sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu. Sebab berbeda dengan integral tak tentu yang tidak
memiliki batas, maka pada integral tertentu ada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak
adanya lagi nilai C (konstanta ) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu.
Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu dapat dirumuskan sebagai berikut :
                                           b
                                                               b
Jika f kontinu pada [a,b], maka             f ( x)dx  [ F ( x)] a  F (b)  F (a) dengan F antiturunan sebarang dari f, yakni
                                           a

suatu fungsi sedemikian sehingga F’=f.
Contoh :
                 2
Tentukan          (4 x  3)dx
                 1

                     2

                      (4 x  3)dx  2x
                                                              2
Jawab :                                            2
                                                        3x
                                                              1
                     1


                      {2(2) 2  3(2)}  {2(1) 2  3(1)}
                     = 14 – 5 = 9
Sifat – sifat inegral tentu
     a                                                                                  b                       b             b
-   a
         f ( x)dx  0                                                               –    [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx
                                                                                        a                       a             a

     b                          a                                                       c              b            c
-   a
         f ( x)dx    f ( x)dx
                                b
                                                                                    –   
                                                                                        a
                                                                                            f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx, a  b  c
                                                                                                       a            b

     b                                                                                  b          b
-    kdx  k (b  a)
     a
                                                                                    –    f ( x)   g ( x), jikaf ( x)  g ( x)
                                                                                        a          a

     b                          b                                                       b
-    kf ( x)dx  k  f ( x)dx
     a                          a
                                                                                    –    f ( x)  0, jikaf ( x)  0
                                                                                        a

-   Contoh 1
    Tentukan integral berikut !

              ( x  3)                                   b. Tentukan f(x) apabila diketahui f’(x) = 6x2 – 6x + 7 dan f(1) = 2
                            2
    a.                          dx

    Jawaban :
                              1
    a.        ( x  3) 2 dx = ( x  3) 3  C
                              3

                          (6x           6 x  7)dx = 2x3 – 3x2 + 7x + C
                                    2
    b. f(x) =

             f(x) = 2x3 – 3x2 + 7x + C
             f(1) = 2(1)3 – 3(1)2 + 7(1) + C = 2
             f(1) = 2 – 3 + 7 + C = 2
             C=2–6=–4
             f(x) = 2x3 – 3x2 + 7x – 4
-   Contoh 2
                                                                  
             3                                                    3

              (2 x  6)dx                                         sec
                                                                          2
    b.                                                    b.                  xdx
             1                                                    0

    Jawaban :
         3
                                                   3
          (2 x  6)dx = (x + 6x)
                           2
    a.                                                 = { (3)2 + 6(3) } – { (1)2 + 6(1) } = 27 – 7 = 20
         1
                                                   1
         
                                             
         3
                                                         
          sec
                     2                       3
    b.                   xdx = tan x             = tan     – tan 0 = 3 – 0 = 3
         0                                   0           3

								
To top