set

เซต(Set)

เซต คือลักษณะนามที่เราใช้เรียกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ เช่นกลุ่มของคน สัตว์

กลุ่มของสิ่งของเป็นต้น และสิ่งต่าง ๆ ที่อยู่ในกลุ่มว่า สมาชิก

ใช้อักษรในภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่แทนชื่อเซต

อักษรในภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก ตัวเลข เขียนสมาชิกของเซต เมื่อเรากล่าวถึงเซต

จะต้องกล่าวถึงสมาชิกในเซตซึ่งอาจจะมีหรือไม่มีก็ได้ ถ้ามีก็ต้องทราบว่ามีอะไรบ้าง

ดังนั้นการเขียนเซตจึงจาแนกได้ 2 แบบ ตามวิธีการเขียนสมาชิก

1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก

วิธีการเขียนแบบนี้จะเขียนสมาชิกของเซตในวงเล็บปีกกา

และคั่นเครื่องหมายจุลภาค “ , ” และ A = เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์

A = { จันทร์,อังคาร,พุธ,พฤหัสบดี,ศุกร์,เสาร์,อาทิตย์}

2. การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก

วิธีเขียนแบบนี้เรานิยมใช้ตัวแปร x , y ,z แทนสมาชิก

หลังจากนั้นใช้เส้นคั่นและต่อจากเส้นคั่นจะเป็นส่วนอธิบายเกี่ยวกับเงื่อนไขของสมาชิก

A = {x x เป็นวันในหนึ่งสัปดาห์}

A = { จันทร์,อังคาร,พุธ,พฤหัสบดี,ศุกร์,เสาร์,อาทิตย์}

ใช้สัญลักษณ์ “  ” แทนคาว่า “ เป็นสมาชิกของ” เช่น

B = { x x เป็นสระในภาษาอังกฤษ}

B={a,e,i,o,u}

a A , e  A , iA , oA , uA



ชนิดของเซต

1. เซตว่าง (Empty Set ) คือเซตที่ไม่มีสมาชิกเลย ใช้สัญลักษณ์ { } หรือ 

2. เซตจากัด( Finite Set) คือเซตที่สามารถบอกได้ว่ามีสมาชิกเป็นจานวนเท่าใด

3. เซตอนันต์ (Infinity Set) คือเซตที่ไม่ใช่เซตจากัด

การเท่ากันของเซต

เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเท่ากันและเหมือนกันตัวต่อตัว

A = {x เป็นจานวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 5}

B={1,2,3,4}

A=B

สับเซต

1. A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A ต้องอยู่ใน B ใช้สัญลักษณ์

AB = {x x  A  x  B}

= x[x  A  x  B]

2. A ไม่ เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกบางตัวของ A แต่ไม่อยู่ใน B

ใช้สัญลักษณ์

AB = {x x  A  x B}

= x[x  A  x  B]

3. ถ้า n(A) = k แล้ว

จานวนสับเซตของ A มี = 2k สับเซต

จานวนสับเซตแท้ของ A มี = 2k -1 สับเซต

สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A B

เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A B



A = {1, 2} B = {2, 3} A B, A C, A D

C = {1, 2, 3} D = {1, 2, 3, 4} B A, B C, B D

C A, C B, C D

D A, D B, D C

1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง (A A)

2. เซตว่าง เป็นสับเซตของทุก ๆ เซต ( A)

3. ถ้า A แล้ว A =

4. ถ้า A B และ B C แล้ว A C

5. A = B ก็ต่อเมื่อ A B และ B A



เพาเวอร์เซต (Power Set)

1. เพาเวอร์เซต ของเเซต A คือสมาชิกทั้งหมดเป็นสับเซตของ A ใช้สัญลักษณ์

P(A) = {x x  A }

2. ถ้า A เป็นเซตจากัด

ถ้า n(A) = k แล้ว

1. n[P(A)] = 2k

2. n[P(P(A))] = 22

k









3. จานวนสมาชิกของ P(A) จะอยู่ในลาดับเรขาคณิตดังนี้

n(A) 0 1 2 3 4 5 6 ----------

n[P(A)] 1 2 4 8 16 32 64 ----------

ทฤษฎีเกี่ยวกับเพาเวอร์เซต

ถ้า A และ B เป็นเซตจากัดใด ๆ

1. สมาชิกทุกตัวของเพาเวอร์เซต ต้องเป็นเซต

2.  P(A) และ  P(A) เสมอ

3. AP(A) เสมอ แต่ A ไม่จาเป็นต้องเป็นสับเซตของP(A)

4. เมื่อ AP(A) ดังนั้น P(A) P(P(A))

5. เพาเวอร์เซต จะไม่มีทางเป็นเซตว่างได้เลยนั่นคือ P(A) 

6. P() = {}

7. {A}P(A) เสมอ ดังนั้น {P(A)} P(P(A))

8. P(AB)=P(A) P(B)

9. ถ้า AB แล้ว P(A) P(B)



การกระทาของเซต(Operation of Set)

คือการนาเซตหลาย ๆ เซตมากระทากันเพื่อให้เกิดเซตใหม่ขึ้นมา ซึ่งมีอยู่ 3 วิธีคือ

1. อินเตอร์เซคชัน(Intersection)

ถ้า A และ B เป็นเซตสองเซต อินเตอร์เซคชันของ A และ B

หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นทั้งของ A และ B ใช้สัญลักษณ์ AB

AB = {xx  A และ x  B}

ตัวอย่าง A={1,2,3}, B={2,3,4}

วิธีทา AB = {2 , 3 }

สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ - ออยเลอร์ ได้ดังนี้



A B U



1 23 4







AB = {2 , 3 }

2. ยูเนียน (Union)

ถ้า A และ B เป็นเซตสองเซต ของยูเนียน A และ B

หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นทั้งของ A และ B ใช้สัญลักษณ์ AB

AB = {xx  A หรือ x  B}

ตัวอย่าง A={1,2,3}, B={2,3,4}

วิธีทา AB = {1 , 2 , 3 ,4 }

สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ - ออยเลอร์ ได้ดังนี้



A B U



1 23 4







AB = {1 , 2 , 3 , 4 }

3. ผลต่างและคอมพลีเม้นต์(Difference and Complement)

ถ้า A และ B เป็นเซตสองเซต เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นทั้งของ A

แต่ไม่เป็นสมาชิกของ B ใช้สัญลักษณ์ A - B

A - B = {xx  A แต่ x  B}

ตัวอย่าง A={1,2,3}, B={2,3,4}

วิธีทา A - B = {1 , 2 , 3 }

B–A={4}

สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ - ออยเลอร์ ได้ดังนี้



A B U



1 23 4







A- B = {1 , 2 , 3 } และ B – A ={ 4 }

ในทานองเดียวกัน ถ้าเราจะหา U – A จะได้

U={1,2 , 3,4,5,6}

A = {2,4,6}

U–A={1,3,5}

U - A = {xx  U แต่ x  A}

A’ หรือ Ac แทน U – A

ดังนั้น A’ = Ac {xx  A}



U

A



2,4, 6

1, 3,5



A’ = Ac {xx  A} และ A’ = { 1 , 3 , 5 }



การพิจารณาเกี่ยวกับเซตจะง่ายขึ้น ถ้าเราใช้แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์

เข้ามาช่วย หลักการเขียนแผนภาพมีดังนี้

1. ใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์

2. ใช้วงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใด ๆ แทนเซตต่าง ๆ ที่เป็นสมาชิกของ

และเขียนภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า









เป็นเอกภพสัมพัทธ์ A เป็นสับเซตของ









เซต A และ B เป็นสับเซตของ โดยที่ A เซต A และ B เป็นสับเซตของ โดยที่ A และ

และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน B มีสมาชิกบางตัวร่วมกัน









เซต A เป็นสับเซตของ B เซต A = B

จานวนสมาชิกของเซต หาได้จาก

1. n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)

2. n(ABC)= (A)+n(B)+n(C) - n(AB)- n(BC)- n(AC)+n(A B C)

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า n(AB) มีสมาชิก 3 ตัว (AB) มีสมาชิก 5 ตัว A และ B มีสมาชิกเท่ากัน A-B

มีสมาชิก 1 ตัว

วิธ๊ทา จาก n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)

แทนค่า 5 = n(A)+n(B)-3

8 = 2n(A) ; เนื่องจาก n(A) = n(B)

8

= n(A)

2

4 = n(A)



สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ - ออยเลอร์ ได้ดังนี้



A B U

1 2

3 5

4



A = {1,2,3,4}

B = {2,3,4,5}

AB = {1,2,3,4,5}

AB = {2,3,4}

A - B = {1}

B - A = {5}

ตัวอย่างที่ 2 ครอบครัวหนึ่งระหว่างที่ไปพักตากอากาศชายทะเลบางแสนมีฝนตก 13 วัน ถ้าฝนตก

ตอนเช้าตอนบ่าย อากาศแจ่มใส แต่ถ้าฝนตกตอนบ่าย ตอนเช้าอากาศแจ่มใส ถ้า

ระหว่างที่พักตากอากาศ อยู่ นั้นมีอากาศแจ่มใสตอนเช้า 11 วัน และตอนบ่ายแจ่มใส

12 วัน อยากทราบว่าครอบครัวนี้ไปพักตากอากาศกี่วัน

วิธีทา กาหนด A แทนตอนเช้าอากาศแจ่มใส

B แทนตอนบ่ายอากาศแจ่มใส

x แทนอากาศแจ่มใสตลอดทั้งวัน

จาก n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)

13 = (11-x)+ (12-x)

13 = 23 –2x

2x = 23-13

10

x = = 5

2

ดังนั้นจานวนวันที่ไปพักตากอากาศ 13+5 = 18 วัน



U

A

B

11-x x 12-x







ตัวอย่างที่ 3 นักเรียนโรงเรียนมัธยมแห่งหนึ่งมีจานวน 300 คน เลือกเข้าชุมนุมดังนี้

150 คน เลือกคอมพิวเตอร์

206 คน เลือกคณิตศาสตร์

80 คน เลือกภาษาอังกฤษ

74 คนเลือก คอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์

32 คนเลือก คอมพิวเตอร์และภาษาอังกฤษ

20 คนเลือกทั้ง 3 วิชา

จงหา จานวนนักเรียนที่เลือกเรียนวิชาเดียว

นักเรียนที่เลือกคณิตศาสตร์และภาษาอังกฤษแต่ไม่เลือกคอมพิวเตอร์

วิธีทา กาหนด C แทน เลือกคอมพิวเตอร์ 150 คน

M แทนเลือก เลือกคณิตศาสตร์ 206 คน

E แทนเลือกภาษาอังกฤษ 80 คน

n(CM) แทน เลือก คอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์ 74 คน

n(CE) เลือก คอมพิวเตอร์และภาษาอังกฤษ 32 คน

n(CME) เลือกทั้ง 3 วิชา 20 คน

n(ME) = ?

จาก n(CME)= n(C)+n(M)+n(E) - n(CM)- n(CE)- n(ME)+n(C M E)

แทนค่า 300 = 150+206+80-74-32- n(ME)+20

n(ME) = 456-300-74-32

n(ME) = 50

สามารถเขียนแผนภาพของ เวนน์ - ออยเลอร์ ได้ดังนี้





C U

64

M 54 12

20

82

x 18 E





***นักเรียนที่เลือกเรียน คณิตศาสตร์และภาษาอังกฤษแต่ไม่เลือกคอมพิวเตอร์

20+x = 50

x = 30

***นักเรียนที่เลือกเรียน เพียง1วิชา

82+18+64 =164 คน

แบบฝึกหัด

1. จากการสอบถามนักเรียนคอมพิวเตอร์สอวน. จานวน 20 คน พบว่า

ชอบดื่มชาเชียวน้อยกว่าสองเท่าของจานวนผู้ที่ชอบดื่มน้าอัดลม 7 คน

จานวนที่ชอบทั้งชาเขียวและน้าอัดลม เท่ากับจานวนผู้ที่ไม่ชอบชาเขียวและน้าอัดลม

จงหาจานวนผู้ที่ชอบชาเขียว

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………