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									      ARMÓNICOS

ASPECTOS BÁSICOS DE TEORÍA
             ARMÓNICOS: TEORÍA
ARMÓNICOS: “Distorsiones periódicas de formas de
ondas de corriente o tensión en sistemas eléctricos”
FUNCIÓN PERIÓDICA:
                  x(t  T )  x(t )
T es el período de la función periódica x(t)
Ejemplo:                      x/(t
                              )




                    -                 T/2
                    T/2
                                               t
             ARMÓNICOS: TEORÍA

             x(t  kT )  x(t )
       donde k es un entero

Si dos funciones x1(t) y x2(t) tienen el mismo periodo T, luego la
función:
             x3 (t )  ax1 (t )  bx2 (t )
donde a y b son constantes, también tiene el periodo T.
También es cierto que la función:
               x(t)=constante
también es periódica
             ARMÓNICOS: TEORÍA
COEFICIENTES Y SERIES DE FOURIER:
La serie de Fourier de una función periódica x(t) tiene la
siguiente expresión:
                       
                                2nt           2nt  
         x(t )  a0    an cos        bn sen      
                      n 1      T              T 
En esta expresión a0 constituye el valor medio de la función x(t),
mientras que an y bn, los coeficientes de la serie, son las
componentes rectangulares del nth armónico.
       El correspondiente nth vector armónico es:
          An  n  an  jbn
       Con una magnitud:        An  an  bn
                                         2    2



                                          bn 
       y un ángulo de fase:     n  tan  
                                       1
                                         a 
                                          n
             ARMÓNICOS: TEORÍA
COEFICIENTES Y SERIES DE FOURIER:
Puede demostrarse que para una función dada x(t) el coeficiente
constante a0 es:
                     1 T2
                 a0  T x(t )dt
                     T 2
También puede verificarse que:
                    2 T2         2nt 
              an  T x(t ) cos      dt
                    T 2          T 
                     2 T2           2nt 
                 bn  T x(t ) sen      dt
                     T 2            T 

para los n=1
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FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER:
Un vector rotando uniformemente (A/2)e+j tiene una magnitud
constante A/2 y un ángulo de fase  el cual esta variando en el
tiempo de acuerdo a:
                       2ft  
donde  es el ángulo de fase inicial cuando t=0. Un segundo
vector (A/2)e-j rotará en la dirección opuesta al anterior. Este
aumento negativo de cambio en el ángulo de fase puede ser
considerado como una frecuencia negativa.
La suma de estos dos vectores estará siempre a lo largo del eje
real, con la magnitud oscilando entre A y –A a:
                    A  j A  j
                      e  e  A cos
                    2      2
                      ARMÓNICOS: TEORÍA
FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER:
Reescribiendo la serie de Fourier como:
                                                               Im      Máxima
                                                                       amplitud (A)
x(t )  a 0  A1 sen(t  1 )  A2 sen(2t   2 )  .....         Amplitud
                                                              A/2   instantánea

Donde x(t) es periódica con período T y
=2/T=2f, la componente nth de esta
serie, correspondiente a la armónica a una                                        
frecuencia de fn=nf, es dado por:
                                                                       
                                                                                           Re
                                                                       -
            1 T /2
 X ( f n )   x(t )e  j 2f nt dt                                                   -
            T T / 2
Donde e  j 2f nt es el vector unitario y X(fn) da la
amplitud y fase para el vector armónico.
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TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER:
En el caso donde la función en el dominio del tiempo es una
función muestreada la expresión toma la forma:
                          N 1
                      1
           X ( fk ) 
                      N
                           x(t
                          n 0
                                  n )e  j 2kn / N


Se asume que la función es periódica con un total de N muestras
por período. Esta forma discreta de la Transformada de Fourier es
la apropiada para evaluación numérica por cálculo digital.
La ecuación anterior puede también escribirse como:
                           N 1
                      1
           X ( fk ) 
                      N
                           x(t n )W kn
                           n 0


donde W=e-j2/N
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TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER:
Sobre todas las componentes de frecuencia la ecuación anterior adquiere la siguiente
forma matricial:
                   X ( f0 )        1        1     .    1       .    1   x(t0 ) 
                   X(f )           1 W            .   Wk       . W N 1   x(t1 ) 
                          1                                                            
                       .        1 .         .     .     .      .     .  . 
                                             k          k2        k ( N 1)  
                                                                                 .          
                    X ( f k )  N 1 W              . W          . W             x(t n ) 
                       .           .        .     .     .      .     .  . 
                                                                           2           
                  
                   X ( f N 1 )
                                    
                                     1 W N 1 . W ( N 1) k . W ( N 1)   x(t N 1 )
                                                                                          

                                               
                                   X ( f k )  1 W kn .x(tn )
                                                   N
En esta ecuación, [X(fk)] es un vector representando los N componentes de la función en
el dominio de la frecuencia, mientras que [x(t)] es un vector representando las N
muestras de la función en el dominio del tiempo.

El cálculo de las N componentes de frecuencia a partir de las N muestras requiere un
total de N2 multiplicaciones complejas para implementar la forma anterior.
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Fase de la Matriz W para n=8
               0      0          0      0      0      0      0      0

               0     -45        -90   -135   -180   135     90     45

               0     -90       -180    90      0     -90   -180    90

               0    -135        90     -45   -180    45     -90   135

               0    -180         0    -180     0    -180     0    -180

               0    135         -90    45    -180    -45    90    -135

               0     90        180     -90     0     90    180     -90

               0     45         90    135    -180   -135    -90    -45
                     ARMÓNICOS: TEORÍA
FRECUENCIA DE NYQUIST Y ALIASING:
                   1



                 0.5



                   0



                 -0.5



                   -1
                     0       0.002   0.004    0.006   0.008   0.01    0.012     0.014       0.016
                  Intervalo de muestreo



        1




      0.5




        0




      -0.5




       -1
             0           0.002      0.004    0.006    0.008    0.01     0.012       0.014           0.016
                 Intervalo de muestreo
           ARMÓNICOS: TEORÍA
                           X(f)




                    1




            -f                             f

                                     fc




                        Filtro pasa-bajo

INTERARMÓNICOS: Frecuencias armónicas que no
son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental

SUBARMÓNICOS: valores de frecuencia que están
por debajo de la frecuencia fundamental
DEFINICIONES Y ASPECTOS
        BÁSICOS
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
VALOR RMS
Señal continua:
                      1 T 2
           V    2
               rms     v (t )dt
                      T 0
Señal discreta:
                       1 N 2
           Vrms         Vk t
                       N k 1
O, en término de los valores rms de los armónicos:

           Vrms          2
                         Vhrms
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL (THD)
                                  k
                         1
     TDTV  THDV 
                       V1rms
                                    2
                                   Vhrms
                                 h2

                                      k
                          1
     TDTI  THDI 
                        I 1rms
                                    2
                                   I hrms
                                 h2

A partir de lo cual:

      Vrms  V1rms 1  THDV / 100
                                          2




       I rms  I1rms 1  THDI / 100
                                           2
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE
POTENCIA ACTIVA:
                          1 T
                       P   v(t ).i(t ).dt
                          T 0
                       P   Vh .I h .Cos h
                            h

En el caso senoidal:
                       P  V .I .Cos

                       Q  V .I .Sen  S 2  P 2

                       S  V .I  Q 2  P 2
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE:
En el caso NO-senoidal:

            S  V .I

            S      Vh2 . I h
                      h     h
                              2




Budeanu:

            Q   Vh .I h .sen h
                  h


En estas condiciones se define la Distorsión de Potencia:


            D 2  S 2  (P 2  Q 2 )
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE
Alguna características de la definición de Potencia Reactiva en condiciones senoidales:
1.- La potencia reactiva es proporcional a la diferencia entre la energía eléctrica
    almacenada en los inductores y la energía almacenada en los condensadores
2.- Si la potencia reactiva es reducida a cero, el factor de potencia se hace uno
3.- La potencia reactiva completa el triángulo de potencia:
                              S 2  P2  Q2

4.- La suma de todas las potencias reactivas en un nodo de un sistema de potencia es
    cero.
5.- La potencia reactiva puede ser expresada por los términos V, I y sen.
6.- La potencia reactiva puede ser positiva o negativa (el signo especifica si la carga es
    inductiva o capacitiva)
7.- La potencia reactiva puede ser reducida a cero insertando componentes inductivos
    o capacitivos
8.- La caída de tensión de una línea de un sistema de potencia es aproximadamente
    proporcional a la potencia reactiva.
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE
Dos corrientes son ortogonales si:
              1
              TT ia .ib dt  0
El cuadrado del valor rms de la suma de ambas:
                 1
              I   (ia  ib ) 2 dt 
                2

                 TT
              1 2       1               1 2
                ia dt   2.ia .ib dt   ib dt  I a  I b2
                                                     2

              TT        TT              TT

Una corriente dividida en componentes ortogonales, multiplicada por el rms de tensión:

               S 2  V 2 ( I a  I b2 )  S a  S b2
                             2              2
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE
POTENCIA REACTIVA:
Budeanu
        Q   Qh   Vh I h Sen h
              h          h
                                             2                     2
                                                            
        S 2  Vh2 . I h   Vh I h Cosh   Vh I h Senh 
                        2

              h     h        h               h              
        D2  S 2  P2  Q2
Fryze
             P               ir  i  ia
        ia  2 .v
            V

        I  I a  I r2
              2



        S 2  V 2 .I 2  V 2 ( I a  I r2 )  P 2  Q 2
                                 2
  DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE
GRUPO DE TRABAJO IEEE (1996):
Orientación clara a la medición. Se separan las cantidades de la fundamental de la de las
armónicas:

  V  V  V  V  V
     2
              1
               2        2
                        H        1
                                  2
                                                h
                                                 2    I 2  I12  I H  I12   I h
                                                                    2             2

                                         h 1                                           h 1
Con lo cual la potencia aparente es:
      S 2  (VI ) 2  (V1 I1 ) 2  (V1 I H ) 2  (VH I1 ) 2  (VH I H ) 2
Donde:

    (V1 I1 ) 2  S12  P 2  Q12  (V1 I1 cos 1 ) 2  (V1 I1sen1 ) 2
                        1

Se define una potencia no activa N:
                                                     N  S 2  P2
El resto se denomina potencia aparente no fundamental y es:

    S N  (V1 I H ) 2  (VH I1 ) 2  (VH I H ) 2  S 2  S12
      2


V1IH : Potencia de distorsión de corriente                VHI1 : Potencia de distorsión de tensión
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE
GRUPO DE TRABAJO IEEE (1996):
Al tercer término se lo denomina potencia aparente armónica y se puede
expresar como:
              S H  (VH I H ) 2  PH  N H
                2                  2     2

Donde:
              PH   VH I H cos  H
                    h 1
Puede de aquí sacarse un elemento que indica la operación de la red:
       2        2          2          2
 SN     I H   VH   VH I H      

S           
         I  V   VI                ITHD2  VTHD2  ITHD.VTHD2
                                      
 1      1  1  11               
S H VH I H
            THD I .THD V
S1   V1 I 1
Factor de Potencia Total           Desplazamiento de Factor de Potencia
      P ( P  PH )                           dPF 
                                                     P1
                                                         cos 1
  PF   1                                           S1
      S     S
     DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES
                 ARMÓNICAS
POTENCIAS TRIFÁSICAS
                                      S e  3Ve I e
Donde, para 4 conductores:

                Va2  Vb2  Vc2                        I a  I b2  I c2
                                                         2
           Ve                               Ie 
                       3                                      3
Si son 3 conductores:

               Vab  Vbc  Vca
                 2     2     2
          Ve 
                      9
Al igual que en el caso monofásico:

          Ve2  Ve2  VeH
                  1
                        2
                                       I e2  I e21  I eH
                                                        2

Donde:


             V V V
                   2       2      2                I a1  I b21  I c21
                                                     2

         V 
           2
          e1
                  a1      b1     c1        I e21 
                 3                                         3
     DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES
                 ARMÓNICAS
POTENCIAS TRIFÁSICAS
y:
                     V V V                                         I ah  I bh  I ch 
                                                                          2      2      2
                                                                
                          2         2    2
       V  2
                      ah        bh   ch
                                             
                                                         2
                                                       I eH                               
                                                                                           
         eH                                                    h 1          3          
                h 1     3                  

Aquí también:
                  S e2  S e21  S eN
                                   2


y redefiniendo:
                                VeH                           I eH
                  THD V e                       THD I e 
                                Ve1                           I e1
                          2
                 S eN   
                
                S         THDI e 2  THDV e 2  THDI e .THDV e 2
                         
                 e1     

El grado de desequilibrio de potencia aparente fundamental puede dividirse en:
                               2
                S e21  S1  S u21
   DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES
               ARMÓNICAS
POTENCIAS TRIFÁSICAS




                       Se                                  SeN

                                                 N

                                  Se1


                                  P
                                                           S10

                                          Sd 1
                P1+         S1+
                                                     S1-

                                        N1+
   DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES
               ARMÓNICAS
FACTORES DE CRESTA

            I     h
                               I pico   I h  I 1 (1  CCF )
    CCF    h2

              I1                           h 1

            V     h           V pico  Vh  V1 (1  VCF )
    VCF    h2

             V1                             h 1



                        I pico       I pico  I 1       I pico
      I pico( pu )                                             1  CCF
                          I1              I1              I1
                        V pico       V pico  V1         V pico
      V pico( pu )                                              1  VCF
                          V1               V1               V1
                        DEFINICIONES BÁSICAS
RESONANCIA:
En un circuito RLC se producirá resonancia cuando:

                                   1
         X Lr   r L  X Cr    
                                  r C

La frecuencia de resonancia será:

                1                          1              f0           Xc
       r                      fr                             f0
                LC                     2 LC            0 LC          XL

Y el orden armónico al cual se produce la resonancia:


             fr    1                           XC
        hr           
             f 0 0 LC                         XL
                          DEFINICIONES BÁSICAS
RESONANCIA SERIE:


La impedancia equivalente será:
                                  Z  R  j X L  X C 
Para cualquier armónico h:
                                                      X 
                                  Z (h)  R  j hX L  C 
El módulo de la impedancia:                            h 
                                                                 2
                                                         X 
                                   Z h   R 2   hX L  C 
                                                          h 
Para la frecuencia resonante:
                                  XC                       L                         L
         X
 hr X L  C  X r         hr                  X  XL XC 
                                                 2                   Xr    XLXC 
          hr                      XL             r
                                                           C                         C

El Factor de Calidad Q:
                                       Xr
                                 Q
                                       R
                         DEFINICIONES BÁSICAS
RESONANCIA SERIE:




                         1

                        0.9
            IZI [Ohm]




                        0.8


                        0.7


                        0.6


                        0.5
                           0   500   1000     1500     2000   2500
                                     Frecuencia [Hz]
                       DEFINICIONES BÁSICAS
RESONANCIA PARALELO:




La impedancia equivalente será:
                                      RX L X C
                                        j
                                      XL XC             jRX L X C
                              Z               
                                       XL XC     R X L  X C   jX L X C
                                 R j
                                      XL  XC

La impedancia para cualquier armónico será:
                                                     jRX L X C
                              Z h  
                                                      X 
                                             R hX L  C   jX L X C
                                                       h 
                                                         RX L X C
                                  Z h  
                                                                2
                                                        X 
                                                 R hX L  C   X L X C 
                                                                            2
                                               
                                                         h 
                          DEFINICIONES BÁSICAS
RESONANCIA PARALELO:




En resonancia:
                                                              L
                                           X r2  X L X C 
                 XC                   XC                      C
     hr X L         Xr       hr                                L
                 hr                   XL   Xr     XLXC 
                                                                  C

Y el Factor de Calidad:
                              R
                           Q
                              Xr
                               DEFINICIONES BÁSICAS
RESONANCIA PARALELO:




             20                                                     100
                                              Q=0,5                                                    Q=0,5
                                                                     75
                                              Q=1                                                      Q=1
             15                               Q=3                    50                                Q=3
                                                                     25
 IZI [Ohm]




                                                         Fase [º]
             10                                                       0
                                                                     -25
              5                                                      -50
                                                                     -75
              0                                                     -100
               0   500   1000     1500     2000   2500                  0   500   1000     1500     2000   2500
                         Frecuencia [Hz]                                          Frecuencia [Hz]
                DEFINICIONES BÁSICAS
COMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:
   “Las tensiones o corrientes de un sistema trifásico pueden
 descomponerse como la suma de dos sistemas trifasicos, una de
    secuencia positiva y otro de secuencia negativa, mas una
                    componente homopolar”
         Lógicamente esto es aplicable a los armónicos:

                I a  1 1     1 I 0 
                I   1 a 2   a   I1 
                b                
                I c  1 a
                             a  I 2 
                                 2
                                    
    Donde:a =-0,5+j0,866=1120, y a2=-0,5-j0,866=1240

          I abc  A * I 012          I 012  inv( A) * I abc
                              DEFINICIONES BÁSICAS
COMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:
Tercer armónico


                  1


             R    0


                  -1
                       0   0.002 0.004 0.006 0.008   0.01   0.012 0.014 0.016 0.018   0.02
                  1


             S    0


                  -1
                       0   0.002 0.004 0.006 0.008   0.01   0.012 0.014 0.016 0.018   0.02
                  1


             T    0


                  -1
                       0   0.002 0.004 0.006 0.008   0.01   0.012 0.014 0.016 0.018   0.02
                              DEFINICIONES BÁSICAS
COMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:
Quito armónico


                 1

           R     0

                 -1
                      0   0.002 0.004 0.006 0.008   0.01   0.012 0.014 0.016 0.018   0.02
                 1

           S     0

                 -1
                      0   0.002 0.004 0.006 0.008   0.01   0.012 0.014 0.016 0.018   0.02
                 1

           T     0

                 -1
                      0   0.002 0.004 0.006 0.008   0.01   0.012 0.014 0.016 0.018   0.02
               0.5

                 0

               -0.5
                      0   0.002 0.004 0.006 0.008   0.01   0.012 0.014 0.016 0.018   0.02
                            DEFINICIONES BÁSICAS
COMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:
Séptimo armónico


                 1

           R     0

                -1
                     0   0.002 0.004 0.006 0.008   0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
                 1

           S     0

                -1
                     0   0.002 0.004 0.006 0.008   0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
                 1

           T     0

                -1
                     0   0.002 0.004 0.006 0.008   0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
               0.5

                 0

               -0.5
                   0     0.002 0.004 0.006 0.008   0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
                          DEFINICIONES BÁSICAS
COMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:
Secuencias de los componentes armónicos:



       h           1          2            3     4    5    6    7
      Sec         +           -            0    +     -    0   +
       h           8          9            10   11   12   13   14
      Sec          -          0            +     -    0   +     -
       h          15         16            17   18   19   20   21
      Sec          0         +              -    0   +     -    0

								
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