G A B Piramides2011 by Q4xQa1Qf

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									                  COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
                  3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

                                                                             www.professorwaltertadeu.mat.br

                                       LISTA DE PIRÂMIDES – 2011 - GABARITO

1. Determine a área total e o volume de um tetraedro regular cuja aresta mede 2m.
Solução. O tetraedro regular é uma pirâmide cujas faces são todos triângulos eqüiláteros. A altura será
calculada pela relação g 2 = h2 + m2, onde “g” é o apótema da pirâmide (no caso altura no triângulo
equilátero da face), “m” é o apótema da base (também triângulo equilátero).

                 l2 3  2
i) A Total    4      
                 4   l 3  (2) 3  4 3 m .
                                 2         2

                      

      g
           l 3 2 3
            2
              
                2
                           1 l 3  1
                    3; m  .
                           3
                                  
                              2   3. 3  3
                                             3
                                                  
                                  
                                        2
ii)
      h  g m 
              2   2
                           3
                             2     3
                                         3
                                   3   39 
                                                       24 2 6
                                                       9
                                                         
                                                           3
                                                                                  .
                                     

                        l 2 3  (2) 2 3. 2 6 
                                              
                             .h         3 
         A base .h   4                     8 18  8.3 2  2 2 m 3
      V           
         3            3            12           36      36     3
                                
                                

2. Uma pirâmide regular triangular tem 5cm de altura e o apótema da base mede 4cm. Calcule o volume da
pirâmide.
Solução. A pirâmide triangular regular possui como base um triângulo equilátero.
                         1 l 3  l 3
Apótema da base (m)  .                l 3        24 24 3
                         3 2 
                                   6        4l         .    8 3 cm
                                           6           3    3 3
Apótema da base (m)  4                                                                .
                 l 3 
                   2
                 
    A base .h   4
V 
                     .h 
                         8 3    
                                  2
                                    3.5 (64)(3)(5) 3 (64)(5) 3
    3  3                                                  (16)(5) 3  80 3 m 3
                               12            12           4
                       
                       

3. Uma pirâmide hexagonal regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 3m. Calcule a área da base, a área
lateral e o volume da pirâmide.
Solução. A pirâmide hexagonal regular possui como base um hexágono regular que é
formado por seis triângulos eqüiláteros cujos lados possuem a mesma medida do lado
do hexágono. O apótema da base (m) é a altura de um dos triângulos eqüiláteros de
lado 3m.
              l2 3      2     
i) A base  6        3 (3) 3   27 3 m 2 .
              4         2          2
                              

                      2
          3 3        27                   91   91
    g 4     
           2   16  4 
             2
                                                                            27 3      
                                            4    2 .                              .(4) 
ii)                                                   iii)      A .h                  18 3 m 3 .
                                                             V   base    2
                                                                  3  
                                 91  9 91 2                                3      
                    b.g                                                              
      A lateral  6       3 (3).
                                    
                                       
                                            m                                         
                    2          2 
                                         2
4. Determine a área lateral e o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujo apótema mede 10cm, sabendo
que a aresta da base mede 12cm.
Solução. O apótema da base vale a metade da medida da aresta. Logo, m = 6cm.
                 b.g 
i) A lateral  4       212 10   240 cm .
                                                2
                                .
                 2 

     g  10; m  6
ii) h  (10) 2  (6) 2  100  36  64  8 cm                                 .

          A .h   l 2 .h   (12) 2 .(8)  (144).(8)
     V   base                                 ( 48)(8)  384 m 3
           3   3  
                                3       
                                               3

5. Calcule o volume da pirâmide quadrangular na qual todas as arestas valem 2cm.
Solução. Se todas as arestas medem 2cm, então a base é um quadrado e as faces são triângulos eqüiláteros.
Logo, o apótema da base (m) mede a metade da aresta e o apótema da pirâmide (g) é a altura de um
triângulo equilátero de lado 2cm.
     l 3 2 3
g           3; m  1
      2   2
h       3 2
                  (1) 2  3  16  2                .

     A .h   l 2 .h   (2) 2 .( 2 )  4 2
                                      
                3 
V   base                              cm 3
     3                     3        3


6. Calcule o volume da pirâmide triangular regular de aresta lateral 13cm e cuja base está inscrita num círculo de
área 25cm .
Solução. A base é um triângulo equilátero. A altura da pirâmide pode ser calculada pela
relação 132 = r2 + h2. O raio será calculado de acordo com a área indicada.
.r 2  25  r  25  5 cm; l  r 3  l  5 3 cm
h      132  (5) 2    169  25  144  12 cm
                  l2 3   
                      .h    5 3 
                                    2
                                      3 .(12) 
                                              
   A base .h   4
V                                      5 3   2
                                                              3  75 3 cm 3
   3   3                       12         
                           
                                               
                                               
                         


7. (UFG) A figura abaixo representa uma torre, na forma de uma pirâmide regular de base quadrada, na qual foi
construída uma plataforma, a 60 metros de altura, paralela a base. Se os lados da base e da plataforma medem,
respectivamente, 18 e 10 metros, a altura da torre, em metros, é:
a) 75                   b) 90           c) 120            d) 135                  e) 145

Solução. A base da plataforma determina duas pirâmides semelhantes. Os lados
das bases e as alturas são proporcionais entre si.

l h    10     x
               18x  600  10x  18x  10x  600 
L H    18 60  x                                       .
    600
x       75m
     8

A altura da torre será a soma (x + 60) = 75 + 60 = 135m.
8. (UFPE) Uma pirâmide regular com base quadrada ABCD e vértice V têm o angulo AVB medindo 45º,
segundo a ilustração abaixo. Qual o cosseno do angulo formado pelas arestas opostas VA e VC?
                                                            2                                3        1
a)   2 1             b)         3 1                 c)                           d)            e)
                                                           2                                2         2
Solução. As arestas laterais medem todas “l” e as arestas da base, “a”. O ângulo
pedido AVC está oposto ao lado AC que é a diagonal da base ABCD. A face AVB
possui lado “a” oposto ao ângulo de 45º. Aplicando a lei dos cossenos nesta face,
          a 2  l 2  l 2  2(l).(l). cos 45º
temos:                        2
          a 2  2l 2  2l 2 .   
                              2   a  2l  2.l  l 2  2
                                      2    2     2   2      .
                                                                                       
                                
                            
          a  l 2 2  2  l. 2  2           
A diagonal da face será: d  a 2  l. 2 2  2 .                               
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo AVC em relação ao lado “d”, temos:

                                                                                                               
                                                                       2
d 2  l 2  l 2  2(l).(l). cosAVC   l. 2 2  2   2l 2  2l 2 . cosAVC   2l 2 2  2  2l 2  2l 2 . cosAVC 
                                                   
                                                   

                                                          
 2l 2  2l 2 2  2l 2 . cosAVC   2l 2 1  2  2l 2 . cosAVC  cosAVC  
                                                                                                              
                                                                                                          2l 2 1  2   
                                                                                                                       1 2      .
                                                                                                               2l 2
Logo, cosAVC   2  1

9. (UNIVASF) Uma pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base medindo o dobro da altura e área
lateral medindo 144 2 cm 2 . O volume dessa pirâmide, em cm3, é:
a) 72 2                      b) 288                c) 576 2           d) 864            e) 2304
Solução. Se o lado da base é o dobro da altura, o apótema da base medirá m = h. Utilizando as informações
e calculando “g”, temos:
g 2  h 2  h 2  g  2h 2  h 2
              b.g 
A lateral  4          
                      2 (2h).(h 2 )     
                                       4 2.h 2  144 2  h 2 
                                                                144
                                                                     h  36  6
                                                                                 .
              2 
                                                                4
A lateral  144 2
     A .h   l 2 .h   (12) 2 .(6) 
     3   3 
V   base                         (144)(2)  288
                                      
                         3       

10. (UFPE) Qual o volume de um tronco de pirâmide sabendo que suas bases são quadrados de lados 4cm e 6cm
situados em planos paralelos cuja distância e 3cm?
Solução1. Utilizando a fórmula:
B : área da base maior; b : área da base menor

V
                  
                                 
     h. B  B.b  b 3. 36  (36).(16)  16
                                            36  (6)(4)  16  76cm 3
                                                                       
                                                                       .
            3                 3

Solução2. Calculando a altura da pirâmide retirada:
4     x                                            12
         6 x  12  4 x  6 x  4 x  12  x         6 cm
6 3x                                               2
             ( 4) 2 .(6)
 V(menor)                32cm 3
                  3
                2
                                    VTronco  108  32  76cm 3
V(maior )  (6) .(9)  108cm 3

                3
11. (ITA) Seja uma pirâmide de base hexagonal e altura 10m. A que distancia do vértice devemos cortá-la
por um plano paralelo a base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide original?
a) 2 m                  b) 4 m                            c) 5 m            d) 6 m                   e) 8 m
Solução. Considere “v” o volume da pirâmide menor (acima do plano de corte) e “V” o volume da
pirâmide inteira. Pela relação de proporcionalidade, temos:
 v  h 3
                         3
 V  10           v   h     h                 1    h  1
                                       3           2h  10  h  5m
    V             8v  10    10                 8   10 2
v  8  V  8 v



12. (FUVEST) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo de lados AB = 4cm e BC = 3cm. As áreas dos
triângulos ABE e CDE são, respectivamente, 4 10 cm e 2 37 cm . Calcule o volume da pirâmide.

Solução. As áreas laterais de ABE e CDE são diferentes. Logo os
respectivos apótemas também o são. Considerando g1 e g2 os
respectivos apótemas de CDE e ABE. Temos:

         ( 4).g1
A(CDE) 
            2  2g1  2 37  g1  37
A(CDE)  2 37                                        .

          ( 4).g2
A( ABE) 
             2  2g2  4 10  g2  2 10
A( ABE)  4 10


A altura da pirâmide não intercepta a base em seu centro. Considerando “x” e “3-x” as distâncias
respectivas da interseção da altura com a base até os lados AB e CD, temos:

g12  h2  (3  x )2


                          
                        
                           37 2  h2  9  6 x  x 2
                                                      37  h2  9  6 x  x 2
                                                      
                                                                                 28  h2  6 x  x 2  ( 1)
                                                                                                             
g22  h2  ( x )2
                         
                           2 10  h2  ( x )2
                          
                                  2
                                                       40  h  x
                                                              2    2
                                                                                 40  h  x
                                                                                        2     2


                         12                                                                                      .
 40  28  6 x  x          2.
                          6
Logo, 40  h2  (2)2  h2  40  4  h  36  6.


O volume será então: V   Abase .h    (4)(3).(6)   24cm3 .
                                                  
                                3              3        

								
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