Estad�stica Bayesiana y Riesgos

Estadística Bayesiana y Riesgos



Manuel Mendoza Ramírez

Instituto Tecnológico Autónomo de México









Seminario Aleatorio. Contribuciones Recientes de la Estadística a la Actuaría en México.

ITAM. México, D.F. Noviembre 23, 2007.

Estadística Bayesiana y Solvencia



Manuel Mendoza Ramírez

Instituto Tecnológico Autónomo de México









Seminario Aleatorio. Contribuciones Recientes de la Estadística a la Actuaría en México.

ITAM. México, D.F. Noviembre 23, 2007.

Contenido









Introducción

Condición de solvencia

Formulación estadística

Alternativa Bayesiana

Ejemplos

Consideraciones finales

Introducción







Actuaría y Riesgos Financieros







 La incertidumbre está implícita y es inevitable en el origen de las Ciencias

Actuariales



 Una parte de la Actuaría se ocupa del estudio de los fenómenos (aleatorios)

que pueden producir las llamadas pérdidas contingentes



 La información disponible se utiliza para pronosticar el comportamiento futuro

de las pérdidas

Introducción







Modelos







 Una componente fundamental es la distribución de pérdidas









Pérdida Esperada









0

-4 -2 0 2 4

Introducción







Modelos







 Una componente fundamental es la distribución de pérdidas









Pérdida Esperada









0

-4 -2 0 2 4

Introducción







Supuestos







 En forma natural se incorporan supuestos en el proceso de modelado. Por

ejemplo, la hipótesis de independencia entre frecuencia y severidad de las

pérdidas









0.0 0.0

-3 -3









Frecuencia Severidad

Introducción







Supuestos







 En forma natural se incorporan supuestos en el proceso de modelado. Por

ejemplo, la hipótesis de independencia entre frecuencia y severidad de las

pérdidas







L=SF  E(L ) = E(S)  E(F)

Solvencia







Pérdidas Extremas







 Un análisis estadístico debe incluir una descripción completa de la distribución

de interés. En Actuaría, en particular, es conveniente describir las pérdidas

extremas









Siniestralidad

Extrema





0

-4 -2 0 2 4

Solvencia







Pérdidas Extremas







 Para las agencias reguladoras es importante establecer un margen de

solvencia.









Margen

de

Solvencia



0

-4 -2 0 2 4

Solvencia







Pérdidas Extremas







 Para las agencias reguladoras es importante establecer un margen de

solvencia.









E(L)









Cuantil (1-a)

0

-4 -2 0 2 4

Solvencia







Condición de Solvencia







 Un sistema de seguros es solvente si cuenta con recursos suficientes para

hacer frente a sus obligaciones.



 Un sistema es (1 – a )-solvente si cuenta con recursos para hacer frente a sus

obligaciones con probabilidad 1 - a.





E(L)









a

0

-4 -2 0 2 4

Formulación Estadística







 Dos series históricas:



• X1, X2, ... , XT (primas)



• Y1, Y2, ... , YT (reclamaciones)





 Objetivo:





• Determinar el valor q1,T 1 tal que P( YT 1  q1,a 1 )  a

Y

a

YT

Formulación Estadística







 La serie de siniestralidad relativa



Yi

• W1, W2, ... , WT donde Wi  ( i = 1,...,T )

Xi



• W1, W2, ... , WT se suelen considerar i.i.d. (estabilidad)





• El interés se concentra en el valor q1a tal que

W







P( W  q1a )  a

W

Formulación Estadística







 Entonces, para la siguiente observación,



YT 1

• P( WT 1  q1a )  a

W  P(  q1a )  a

W

X T 1



 De manera que





• P( YT 1  (q1a )( XT 1 ))  a

W  q1,a 1  (q1a )( XT 1 )

YT W

Formulación Estadística







Datos históricos



180% 180%



Accidentes y enfermedades Agrícola y animales

150% 150%







120% 120%







90% 90%







60% 60%







30% 30%







0% 0%

1980 1985 1990 1995 2000 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

Formulación Estadística







Datos históricos



180% 180%



Automóviles Responsabilidad Civil

150% 150%







120% 120%







90% 90%







60% 60%







30% 30%







0% 0%

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

Formulación Estadística







Datos históricos



180% 180%



Marítimo y transportes Incendio

150% 150%







120% 120%







90% 90%







60% 60%







30% 30%







0% 0%

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

Formulación Estadística







Distribución para W







 Problema estadístico

• Estimar los cuantiles de la distribución de W





 Normalidad como primera aproximación

• El cálculo es extremadamente simple ( q1a   W  z(1a )  W )

W ˆ ˆ





• Los datos históricos no son compatibles con el supuesto

Formulación Estadística







Distribución para W





 Aproximar la densidad de W con mezclas de normales





T

f (w )  1

T  N( w | w , 

i1

i

2

)







 w1,...,wT valores observados; 2 se determina con un criterio de ajuste.

Formulación Estadística







0.08 Distribución para W









Accidentes y

enfermedades

0.06

0.04

0.02

0.00









40 60 80 100

Formulación Estadística







0.05 Distribución para W









Automóviles

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00









40 60 80 100 120 140 160

Formulación Estadística







Distribución para W









 La mezcla captura el patrón de asimetría



 No incorpora el efecto de estimación de los parámetros

Formulación Estadística







Modelo Condicional







 En cada periodo de tiempo: ( i = 1,.... )





 Xi = primas emitidas



 Wi = tasa de siniestralidad relativa



 Yi = siniestralidad

Formulación Estadística







Distribución para W







 { X1, X2, .... } una serie de observaciones correlacionadas





 { W1, W2, .... } realizaciones i.i.d. de un modelo P(W | f)





 { Y1, Y2, .... } debe su aleatoriedad a { Xi }, { Wi } y son

correlacionadas como resultado de la correlación en { Xi }

Formulación Estadística







Distribución para W







 La distribución de YT+1, dado XT+1 = x, está totalmente

determinada por la de WT+1.







 Basta entonces

• Asignar una distribución P( WT+1 | f )

• Estimar el cuantil de interés para W

• Estimar del cuantil condicional de YT+1

Alternativa Bayesiana







Características Generales







 Fundado sobre una base axiomática



Inferencia  problema de decisión







 Proceso de aprendizaje basado en la fórmula de Bayes



Final  Verosimilitud  Inicial

Alternativa Bayesiana







Características Generales







 Fórmula de Bayes



p(  | datos )  p( datos |  )  p(  )





 Mecanismo general para la producción de pronósticos



Distribución Predictiva



p( X | datos ) =  p( X |  ) p(  | datos ) d

Alternativa Bayesiana







Análisis Predictivo







 Dado XT+1 = x, el comportamiento de YT+1, está determinado

por WT+1 :







 Algoritmo, si se adopta un modelo P( WT+1 | f )

• Asignar una inicial para f y combinarla con la información

histórica para obtener la final para f,

• Determinar la distribución predictiva para WT+1

• Calcular el cuantil predictivo condicional para YT+1, dado XT+1

Alternativa Bayesiana







Distribución para W







 La selección del modelo P( W | f ) constituye un reto

interesante.



 La Normal no es, en general, una buena elección.

(Asimetría, valores positivos)



 Una mezcla de Normales también presenta inconvenientes.

Alternativa Bayesiana







Distribución para W







 Una posibilidad es suponer que una transformación de W

es Normal.



(Transformación de Box-Cox)







 La introducción de  da lugar a otro problema de decisión

(la selección de un valor concreto para ).

Alternativa Bayesiana







Distribución para W







 Con propósitos de ilustración







Yi  Wi  Xi  ln(Yi )  ln(Wi )  ln( Xi )



Vi  Ui  c i



Vi  ln(Yi ) , Ui  ln(Wi ) , c i  ln( Xi )

Alternativa Bayesiana







Distribución para W







 En particular, VT 1  UT1  c T1





 Dado un valor fijo de XT+1 (cT+1 constante),





predictiva para UT+1  predictiva para VT+1



 predictiva para YT+1

Alternativa Bayesiana









 El problema en estos términos es muy simple



• Datos: D = { U1, U2, ..., UT } i.i.d. N(,) (-1 = 2 )



• f = (, ); Distribución inicial de referencia: P(, )  -1







Distribución Final: P( ,  | D ) = Normal - Gamma



Distribución Predictiva Final: P( UT+1 | D ) = Student

Alternativa Bayesiana







Análisis Predictivo







• Predictiva Final: P( UT+1 | D ) = Student , UT+1 = ln(WT+1)



VT+1 = UT+1 + cT+1, cT+1 = ln(XT+1)





 (dado XT+1)



• Predictiva Final: P( VT+1 | D ) = Student , VT+1 = ln(YT+1)



• Predictiva Final: P( YT+1 | D ) = log - Student

Alternativa Bayesiana







Análisis Predictivo





 El cuantil de orden (1-a) de la distribución predictiva de YT+1, dado XT+1,

resulta:



 T 1/ T 

  w i  exp( t (1--1α ) [(1  1 / T) SU ] 1 / 2 )

~2

Y(1 - α )

T 1  XT 1   T

 i 1 

donde





~2

t (1--1a ) es el cuantil de una Student con T-1 g. de l. y SU 

T

1

T 1  (ui  u)

2

Alternativa Bayesiana







El supuesto de independencia





 Una alternativa al supuesto de independencia es un modelo auto regresivo

estacionario de primer orden:





Para i = 1:

U1 ~ N (  ,  )



mientras que para i = 2,..., T+1:





U i | U i - 1 ~ N (    ( U i - 1  ),  / ( 1  2 ) )

Alternativa Bayesiana







El supuesto de independencia





 El modelo es estacionario





Ui ~ N(  ,  ) para i = 1, 2,..., T+1



 La distribución conjunta de U1, U2, ..., UT+1 está determinada por los

parámetros ,  y . El modelo de independencia se recupera con  = 0.





U i | U i - 1 ~ N (    ( U i - 1  ),  / ( 1  2 ) )

Alternativa Bayesiana







Modelo correlación común





 El modelo requiere la especificación de una distribución inicial para los tres

parámetros ,  y .





 A partir del algoritmo propuesto por Berger & Bernardo (1992) se

determinó la distribución inicial de referencia para la parametrización

ordenada {  }, {  }, { } (invariante ante permutaciones).





( 1  2 ) 1 / 2

P( , ,  )   -1



( 1  2 )

Alternativa Bayesiana







Modelo correlación común





 La distribución final de ,  y  no tiene una expresión analítica completa.







 El efecto se reproduce para la distribución predictiva de UT+1.







Simulación (Gibbs Sampler y Metropolis -Hastings)

Alternativa Bayesiana







Modelo correlaciones diferentes





 El modelo se puede generalizar





Para i = 1:

U1 ~ N (  ,  )



mientras que para i = 2,..., T+1:





U i | U i - 1 ~ N (    i  1 ( U i - 1  ),  / ( 1   i2 1) )

Alternativa Bayesiana







Modelo correlaciones diferentes





 El modelo, para las T+1 observaciones, involucra a los parámetros , ,

1, 2, ..., T. Para eliminar problemas de estimabilidad se introduce una

estructura parcialmente jerárquica

T

P( μ , τ, ρ 1,..., ρ T | θ)  τ -1

 P( ρ

i 1

i |θ )



en donde

θ

P( ρ i | θ )  θ

( 1 ρ i ) θ  1 ; -1 < i < 1

2





y, por simplicidad, P( θ |  )   exp(-  θ) ; θ0

Alternativa Bayesiana







Modelo correlaciones diferentes





 De nuevo, la distribución final para , , 1, ..., T no tiene una expresión

analítica completa.





 Asimismo, el efecto se reproduce para la distribución predictiva de UT+1.







Simulación (Gibbs Sampler y Metropolis -Hastings)







Mendoza, M. y Nieto-Barajas, L. E. (2006). Bayesian Solvency analysis with auto correlated observations.

Applied Stochastic Models in Business and Industry, 22, 169-180.

Alternativa Bayesiana







Propósito del modelado





 Una distribución más flexible y general que la Normal



 Posibilidad de incorporar patrones de dependencia



 Empleo de una herramienta de pronóstico general





Procedimientos más robustos

para el cálculo de los factores

Ejemplos



Severidad

relativa

180%



Automóviles



150%









120%









90%









60%









30%









0%

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000



Año

Ejemplos

Ejemplos

Severidad

relativa

180%



Automóviles



150%







Cuantiles 95%

120%



Independencia



90%









60%









30%









0%

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000



Año

Ejemplos

Ejemplos

Severidad

relativa

180%



Automóviles



150%









120% Cuantiles 95%



Independencia

90%  común





60%









30%









0%

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000



Año

Ejemplos

Ejemplos

Severidad

relativa

180%



Automóviles



150%









Cuantiles 95%

120%





Independencia

90%

 común

 distintas



60%









30%









0%

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000



Año

Ejemplos

Ejemplos



Siniestralidad 180%

Relativa

Accidentes y enfermedades

150%









120%









90%







60%









30%









0%

1980 1985 1990 1995 2000

Año

Ejemplos

Ejemplos



Siniestralidad 180%

Relativa

Accidentes y enfermedades

150%









120% Cuantiles 95%



Independencia

90%







60%









30%









0%

1980 1985 1990 1995 2000

Año

Ejemplos

Ejemplos



Siniestralidad 180%

Relativa

Accidentes y enfermedades

150%









120% Cuantiles 95%



Independencia

90%  común





60%









30%









0%

1980 1985 1990 1995 2000

Año

Ejemplos

Ejemplos



Siniestralidad 180%

Relativa

Accidentes y enfermedades

150%









120% Cuantiles 95%



Independencia

90%  común

 distintas



60%









30%









0%

1980 1985 1990 1995 2000

Año

Ejemplos

Consideraciones finales









 El valor del factor modifica si se cambia el modelo

 El modelo se debe seleccionar por su capacidad predictiva

 El análisis hace patente el riesgo de modelo

 Los modelos se deben evaluar periódicamente

 Es conveniente considerar modelos alternativos