教育部 96 學年度「國民中小學九年一貫課程推動工作–課程與教學輔導組」數學學習領域輔導群
96 學年度分區「國中小數學領域教學觀摩研討會」
「不規則圖形」與「圓」的面積
指導單位：苗栗縣國小數學領域輔導團
協助者：蔡明峰教師(苗栗縣信德國小/苗栗縣國小數學領域輔導團員)
教學者：張煥泉教師(苗栗縣信德國小/中央課程與教學輔導諮詢教師）
壹、教學活動設計
一、教學年級：五年級
二、教學節數：共 1 節
三、類別：資訊融入教學/量
1
四、學生能力分析
(一)先備知識：
1、整數四則混合計算。
2、長方形面積公式。
(二)學生背景：
台北縣 文聖國小 五年一班 學生。
(三)學生尚未學習之概念：
1、平行四邊形、梯形、三角形面積公式。
2、圓周長公式。
五、教學目標
《6-s-03》能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。
1、
《6-s-04》能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。
2、
六、活動目標
1、能計算不規則圖形的面積
2、瞭解求圓面積的方法和公式
七、教學概要說明
首先，提出本教學設計背後的想法和理念：
(一)、面積公式的教學可不可先從「較為複雜的切割」切入？
檢視現行各版本數學教材中，有關平面圖形面積概念的教學路徑：大致
不外乎是：長方形→正方形→平行四邊形→三角形→梯形→圓形→扇形。本
教學設計嘗試先讓學生跳過三角形、平行四邊形和梯形面積教學的概念，企
圖先進行「圓形之切割重組轉換為長方形的模式」，並且，應用電腦動畫之
便利性作為概念引導之前置，其後，再讓學生學習其他圖形的面積公式，以
便概念牽移之平順。筆者認為學生先經歷較複雜之切割，再回歸較為簡單之
切割，應也是一種學習的路徑，做這種嘗試，是一種試驗性質，也請參與觀
察之教師不吝給予意見。
(二)、「圓周率」在「圓周長」的教學中好像需求感不足？
在圓概念的教學中，學會了圓的基本構成要素，進而學習圓的性質時，
有經驗的老師也許都會有個疑惑：為什麼要藉由求「圓周長」的過程、引出
「圓周率」、再進而教學「圓面積」？是不是可以把「求圓周長」的需求先
引出，再進行教學會比較順暢些？本教學設計，基於此種想法，於是先行透
過圓面積的教學，引導學生看出圓周長的必要性，再回歸到一般的教學流
程，因此，又是一種嘗試性的作法，請一併給予指教。
其次，就本教學活動的教學概念流程，作概要描述：
(三)活動一：求葉子的面積。
1、先以葉子為測量對象，讓學生透過點數的方式，將完全占滿的方格數以
及不完全占滿的方格數填入答案欄之中。
2、討論或告知學生不完全占滿的方格我們都一律當作半格來計算，並請學
生將計算出來的面積答案填入答案欄之中。
3、以同樣方法再練習一題。
(四)活動二：求圓面積。
2
1、以圓為測量對象，讓學生透過點數的方式，將完全在圓內的方格數和不
完全在圓內的方格數填入答案欄之中。
2、以同樣方法再練習一題。
3、藉由電腦程式的顯示，讓學生討論：為何同樣大小的圓，點數測量出來
的結果會不一樣？
4、教師歸納：運用此方法測量圓的面積，因為準確性不高，點數亦不方便，
所以我們要採用其他方法來解決圓面積的問題。
(五)活動三：圓面積公式。
1、展示圓面積公式的電腦動畫(重複不同等份之切割、排列及重組)。
2、依照電腦程式的提問，引導學生回答。
3、根據電腦程式動畫的展示，推導出圓面積公式。
(六)綜合活動：
1、引導學生反思電腦動畫中所呈現的動作(平分、切割、展開、重組)歷程。
2、提問：「圓」和「切割重組後圖形」有哪些不同？哪些相同？
3、透過長方形面積公式，引導學生連結圓的構成要素，推導圓面積公式。
八、教學活動設計
教學內容摘
主要問題與活動 說明 評量重點
要
◎引起動機 1.「長度」可以用「尺」量；
複習「面積」 「重量」可以用「秤」量；
的度量單位 「時間」可以用「鐘」量；
2.那「面積」可以用什麼東西量呢？
活動一：求 1.量量看，圖中葉子的面積是多少？ ‧首先說明每一方
葉 子 的 面 格的面積是 1 平
積。 方公分。
◎布題一： ‧配合動畫 leaf1。
利用平方公
分板算出不
規則圖形的
面積。
2.葉子完全占滿的方格有幾格？ ‧練習利用平方公 ‧能點算出給定的
葉子不完全占滿的方格有多少格？ 分板算出不規則 葉子圖中；
3.學生討論或教師告知：不完全占滿的 圖形的面積。 完全占滿的方格的
部份有大有小，我們都把它當作半格 有 21 格；
來算。 不完全占滿的方格
4.算算看，一格方格是一平方公分，那 有 24 格。
麼，葉子面積大約是多少平方公分 ‧能計算葉子的面
呢？ 積大約是 21+(24÷
2)=21+12=23( 平 方
公分)。
☆練習一： 1.量一量，下圖葉子的面積大約是多少 ‧此題與上題類似
利用平方公 平方公分？ 作為練習題之
分板算出不 用，教師可發問
規則圖形的 後，引導學生自由
面積。 發表。
‧配合動畫 leaf2。
3
教學內容摘
主要問題與活動 說明 評量重點
要
2.葉子完全占滿的方格有幾格？ ‧葉子完全占滿的
3.葉子不完全占滿的方格有多少格？ 方格有 13 格
4.葉子的面積大約等於多少平方公分？ ‧葉子不完全占滿
的方格有 27 格
‧葉子的面積大約
等 於 13+(27 ÷
2)=26.5(平方公分)
【活動一結束】
活動二：求 1.利用平方公分板測量下圖，圓的面積 ‧利用平方公分板
圓面積。 大約是多少平方公分？ 點數圓的面積，並
布 題 二 -1 ： 回答問題。
利用平方公 ‧ 配 合 動 畫
分板算出圓 circle1。
的面積。
2.圓完全占滿的方格有幾格？ ‧圓完全占滿的方
3.圓不完全占滿的方格有多少格？ 格有 12 格
4.圓的面積大約等於多少平方公分？ ‧圓不完全占滿的
方格有 20 格
‧圓的面積大約等
於 12+(20 ÷
2)=22(平方公分)
布 題 二 -2 ： 1.利用平方公分板測量下圖，圓的面積 ‧利用平方公分板
利用平方公 大約是多少平方公分？ 點數圓的面積，並
分板算出圓 回答問題。
的面積。 ‧ 配 合 動 畫
circle2。
2.圓完全占滿的方格有幾格？ ‧圓完全占滿的方
3.圓不完全占滿的方格有多少格？ 格有 10 格
4.圓的面積大約等於多少平方公分？ ‧圓不完全占滿的
方格有 18 格
‧圓的面積大約等
於 10+(18 ÷
2)=19(平方公分)
布 題 二 -3 ： 1.教師提問：前面兩題練習的題目，圓 ‧引發學生的好奇 ‧一樣大的圓可能
想想看，為 的半徑都是 2.5 公分 (如下圖)， 心，讓學生嘗試回 因為擺放的位置不
什麼一樣大 答。 同時，就會產生不
4
教學內容摘
主要問題與活動 說明 評量重點
要
的圓？測量 ‧ 配 合 動 畫 同的點數結果。
出來的面積 circle3。
卻不一樣大
呢？
2.也就是說這兩個圓是一樣大的，再看
看你所作的答案：
3.想想看，為什麼大小相同的圓，測量 ‧引導學生想一 ‧估算時使用「大
出來的面積卻不一樣大呢？ 想，若學生無法講 概」的策略，點數
4.教師說明：使用平方公分板估算圓面 出理由，可由老師 出來的答案有可能
積時，估算就是找一個大概的數，有 告知。 有多種狀況。
可能因為擺放位置不同，估計出不同
的答案，因此，此種作法是有所爭議
的。
5.教師提問：還有沒有其他可能的困難 ‧學生可能回答：
會產生？ 如果圓的面積很
大，估算起來會耗
費很多時間，而且
還不是很準確。
6.你們有沒有解決的想法？ ‧學生可能回答：
如果能像長方形
或正方形一樣有
面積公式的話，問
題就解決不少了。
【活動二結束】
活動三：圓 ☆教師展示：「圓面積公式」的電腦動畫 ‧此處教學重點在 ‧動畫過程中，提
面積公式。 程式網頁。 利用電腦動畫，引 示學生注意：電腦
☆依照電腦程式的提問，引導學生回答。 導學生觀察：將圓 程式的提問並回答
做切割、排列、組 問題。
合之各種情形。
‧ 配 合 動 畫
cir_guide。
‧依序展示將一個
圓作 8、16、50、
100、360 等分之
切割、排列、和重
組的各組動畫。
5
教學內容摘
主要問題與活動 說明 評量重點
要
布題三：將 1.將一個圓作 8(、16、50、100、360)等 ‧透過電腦動畫可 ‧把圓的面積、圓
圓做切割、 分的切割後，再分成一半，提出問題： 以 解 決 因 手 工 分 的周長分成一半。
排 列 和 組 「我們把圓的什麼分成一半？」 割、排列和重組的
合，並推導 技術困難，此處若
圓 面 積 公 時間允許，亦可讓
式。 學生動手操作，嘗
試不同的方法。
‧使用電腦動畫的
目的，在於可以作
各種不同等分的
作法。
2.利用電腦動畫，將圓展開成扇形再合 ‧切割重組的方式 ‧把圓的面積合併
併，提出問題：「我們把圓的什麼合併 有很多種，亦可讓 了。
、
了？」「合併後的圖形像什麼形狀？」 學 生 動 手 嘗 試 不 ‧合併後圖形的形
同的方式。 狀，學生可以自由
‧電腦動畫展示： 命名。
扇形上下鑲嵌的 ‧合併後的圖形在
方式，排成一個像 ， 「平
16 等分後 會像
平行四邊形的形 行四邊形」或「長
狀。 方形」 。
‧圓切割成 8、16
等再合併的圖形
類似「平行四邊
形」。
3.如果把圓再 分得更 細， 會像什麼 形 ‧32 等分以上時， ‧讓學生猜測「如
狀？(依序再將圓作 16、50、100、360 在 視 覺 上 會 類 似 果把再分得更細，
等分的切割、排列、組合) 「長方形」 。 會像什麼形狀？」
(學生可自由臆測)
◎ 綜 合 活 1.看完上面的動畫後，請想一想，原來 ‧此處為綜合活 ‧電腦將圓作：平
動：引導學 的『圓』在電腦動畫中經過了哪些處 動，引導學生反思 分、切割、展開、
生作綜合、 理動作？ 電腦動畫的各動 重組等動作。
歸納、比較 2.「圓」和「切割重組後圖形」有哪些 作，期讓學生看完 ‧切割重組後的圖
和反思。 不同？哪些相同？ 動畫能進一步整 形與原來的圓形，
理和反思。 形狀不同，但面積
相同。
3.切割、重組後的圖形，如果像個長方 ‧透過切割重組後 ‧長方形面積=長×
形，長方形的面積公式是如何計算？ 的 圖 形 面 積 公 寬。
式，連結圓面積公
式的算法。在本教
案是連結長方形
面積公式(亦可連
結平行四邊形面
積公式)。
6
教學內容摘
主要問題與活動 說明 評量重點
要
3.若以長方形面積公式來計算面積，那 ‧因為學生還未學 ‧長等於圓周長的
麼，長方形的長和寬分別是電腦動畫 習：圓周率和圓周 一半。
圖示中的哪裡？分別又是圓的什麼？ 長的關係。這裡只 ‧寬等於圓的半
是引導學生看到 徑。
公式的由來，若要 ‧圓面積會公式可
學生進一步計算 以等於「圓周長的
圓周長的一半，還 一半」×「圓半徑」
4.教師提問：圓面積的公式可以等於( ) 需 要 進 行 相 關 的
×( )。 學習。
5.最後留下一個問題：半徑我們學過，
「圓周長」又
而「圓周長的一半」中，
要如何求呢？是不是請大家再進一步
想想或是找一找相關的資料。
【活動結束】
附錄一：將圓作 16 等分切割、排列、及重組的示意圖組。
附錄二：將圓作 50 等分切割、排列、及重組的示意圖組。
附錄三：將圓作 100 等分切割、排列、及重組的示意圖組。
九、參考資料
圓面積學習網 (苗栗縣數學輔導團蔡明峰老師設計)
網址：http://teaching.moe.gov.tw/96works/A020057AULP/index.htm
縮址：http://0rz.tw/d53q8
7
十、學習單
活動一：求葉子的面積。
◆填一填◆量量看，下圖中的葉子面積是多少呢？先依照題目填答問題：
(1)葉子完全佔滿的方格有( )格，
(2)葉子不完全佔滿的方格有( )格。
★重點提示★不完全佔滿的部份有大有小，我們都把它當作( )格來算。
◆ 算算看 ◆一格方格是一平方公分，那葉子面積是多少平方公分呢？
我的做法：
練習一：
◆填一填◆量量看，下圖中的葉子面積是多少呢？先依照題目 填答問題：
(1)葉子完全佔滿的方格有( )格，
(2)葉子不完全佔滿的方格有( )格，
(3)葉子的面積大約等於( )平方公
分。
我的做法：
8
活動二：求圓面積。
布題二-1◆填一填◆
利用平方公分板測量下圖，圓的面積大約是多少平方公分？
(1) 完全在圓內的方格有( )格，
(2) 剛好在圓周上的方格有( )
格，
(3) 圓的面積大約等於( )平方
公分。
(圓 1)
我的做法：
布題二-2◆填一填◆
利用平方公分板測量下圖，圓的面積大約是多少平方公分？
(1) 完全在圓內的方格有( )格，
(2) 剛好在圓周上的方格 有( )
格，
(3) 圓的面積大約等於( )平方公
分。
(圓 2)
我的做法：
9
◎前面兩題練習的題目，圓的半徑都
是 2.5 公分 (如左圖)，也就是說這兩
個圓是一樣大的，再看看你的答案：
圓的方格 圓1 圓2
完全在圓內 12 格 10 格
剛好在圓周上 10 格 18 格
圓的面積 22cm2 19cm2
◎為什麼一樣大的圓，測量出來的面積卻不一樣大呢？
我的想法：
◎利用平方公分板求圓的面積時，可能會有哪些困難之處？可以如何解決？
我的想法：
活動三：圓面積公式。
◎想一想，右邊「圖一」
至「圖二」的過程中，
「我們把圓的什麼分
成一半？」
圖一 圖二
我的想法：
◎想一想，右邊「圖一」
至「圖二」 ，
的過程中 「我
們把圓的什麼合併？」
圖三 圖四
我的想法：
10
◎如果像下圖那樣，把圓再分得更細後再排列組合，會像什麼形狀？
我的想法：
◎想一想，原來的『圓』在電腦動畫中經過了哪些處理動作？
我的想法：
◎原來的「圓」和「切割重組後圖形」有哪些不同？哪些相同？
我的想法：
◎長方形的面積公式是如何計算？
長方形面積= ( )
)×(
◎想一想，左圖中，
長=圓的( )
寬=圓的( )
長方形的面積( )原來圓形的面積(請填入=或≠)
由前面二個問題中，可以推導出：
圓形面積=
11
貳、數學教學活動設計自評檢核表
【請於辦理日前三週填寫『○○○』 ，辦理日後三週內勾選『自評』
部分並勾選『預定達成目標』 】
下表為反思或觀察教學之行為指標，請在（）中填入記號作為檢核達成程度之註記。
單 教
元 「不規則圖形」與「圓」的 學 1、能計算不規則圖形的面積
名 目 設計者 張煥泉 老師
稱 面積 標 2、瞭解求圓面積的方法和公式
預定達成目標 自評
項目 分項內涵 部分 部分
達成 達成
達成 達成
發展了哪些
不規則圖形的面積概念 （ ） （ˇ） （ ） （ ）
數學概念？
培養了什麼 1. 數學思維 ……………………………………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
數學能力？ 2. 擬題與解題 …………………………………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
3. 數學建模 ……………………………………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
4. 數學推理 ……………………………………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
5. 數學表徵 ……………………………………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
6. 符號化與形式化 ……………………………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
7. 數學溝通 ……………………………………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
8. 工具使用 ……………………………………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
培養了什麼 【數學學習態度】
數學態度？ ＊ 1~3 年級應培養的學習態度
1. 喜歡問問題 ………………………………… （ ） （ ） （ ） （ ）
2. 敢大膽的猜測 ……………………………… （ ） （ ） （ ） （ ）
3. 喜歡將自己的想法動手操作 ……………… （ ） （ ） （ ） （ ）
＊ 4~5 年級應培養的學習態度
，
1. 樂於分享自己的數學觀點 並尊重別人的數學觀
（ ） （ˇ） （ ） （ ）
點 …………………………………………
2. 喜歡進行具體的實驗探究來嘗試解決問題或發
（ ） （ˇ） （ ） （ ）
現數學性質 ……………………………………
3. 實驗探究數學問題或性質時，細心、耐心、準確 （ ） （ˇ） （ ） （ ）
是重要的 …………………………………
＊ 6~7 年級應培養的學習態度
，
1. 願意在實驗探究數學問題或性質時 使用較深的 （ ） （ ） （ ） （ ）
思考與應用較抽象的數學 ……………
2. 願意嘗試用學過的方法或合理的方法進行解題 （ ） （ ） （ ） （ ）
活動 ………………………………………
＊ 8~9 年級應培養的學習態度
、
1. 願意用具體與抽象 歸納與演繹交互作用的方式
（ ） （ ） （ ） （ ）
進行數學探究或學習活動 ……………
（ ） （ ） （ ） （ ）
2. 願意利用數學方法解決問題 ………………
【對數學的態度】
（ ） （ˇ ） （ ） （ ）
1. 相信數學是描述生活中共通現象或規律的利器
（ ） （ˇ ） （ ） （ ）
2. 相信數學規律有其道理 ……………………
12
3. 相信學習數學有助於立足社會 …………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
4. 相信解決數學問題的意義在於自我解題的過
程 …………………………………………… （ ） （ˇ ） （ ） （ ）
5. 相信數學是推進人類文明的要素 ………… （ ） （ˇ ） （ ） （ ）
利用了什麼 【個人化動機】
動機理論？ ＊ 挑戰性
1. 具有目標導向 ……………………………… （ ） （ˇ）
2. 具有不確定性 ……………………………… （ ） （ˇ）
3. 具有即時回饋設計 ………………………… （ ） （ˇ）
＊ 好奇度
1. 感官好奇 …………………………………… （ ） （ˇ）
2. 認知好奇 …………………………………… （ ） （ˇ）
＊ 控制度
（ ） （ˇ）
1. 伴隨性 ………………………………………
（ ） （ˇ）
2. 選擇性 ………………………………………
（ ） （ˇ）
3. 功能性 ………………………………………
＊ 幻想度
（ ） （ˇ）
1. 情感上的幻想 ………………………………
（ ） （ˇ）
2. 認知上的幻想 ………………………………
【團體化動機】 （ ） （ˇ）
1. 合作動機 …………………………………… （ ） （ˇ）
2. 競爭動機 …………………………………… （ ） （ˇ）
3. 認同動機 ……………………………………
教學活動設 1. 教學開始時能作適當之導引 ……………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
計 2. 內容結構有系統 …………………………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
3. 能引起學生興趣 …………………………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
4. 能啟發學生數學思考 ……………………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
5. 採 用 適 當 的 教 學 法 … … … … … … … … … （ ） （ˇ） （ ） （ ）
6. 數學佈題的設計，切合教學目標的需求 …… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
7. 能適當運用形成性評量以供教學參考 …… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
8. 教材組織顧慮到學生的認知發展 ………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
9. 教材或佈題之順序安排恰當 ……………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
10. 各教學重點間作有效而自然之連結 ……… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
教學活動過 1. 能帶動氣氛，創造師生互動環境 …………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
程 2. 善用學生的先備知識與舊經驗 …………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
3. 教材份量與教學時間配合適當 …………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
4. 能適當提供學生心智活動時間 …………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
5. 善用形成性評量提供回饋與指導 ………… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
6. 掌握適當的時機或題材，引導學生深究學習… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
7. 給予不同程度的學生都有成功的機會 …… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
8. 對學生的各類解題活動，能適當地給予鼓勵 （ ） （ˇ） （ ） （ ）
9. 建立與維護師生在數學課室中的規約 …… （ ） （ˇ） （ ） （ ）
資訊媒體與 本教案設計運用資訊融入教學，使用既有電腦動畫之功能，能夠突破傳統教學之
輔具之運用 困境，學生藉由動畫之呈現，充分瞭解圓面積公式之由來和推導方式。
13
14