y ax bx c
2
משוואה ריבועית
מאת: אבי משולם
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
1
מאת: אבי משולם
מתודולוגיה
• מהי פונקציה ריבועית?
• תיאור גראפי ואלגברי • פרמטרים ומשתנים • נקודות חיתוך עם הצירים • פתרון משוואה ריבועית • הדיסקרימיננטה () • נוסחאות וייטה
• השיפוע
• קודקוד הפרבולה • דוגמה מבגרות
42 פברואר 70 פונקציה לינארית 2
מאת: אבי משולם
מהי פונקציה ריבועית?
• פונקציה ריבועית – פונקציה ממעלה שנייה, כלומר, פונקציה שבה המעלה הגבוהה ביותר של המשתנה (בדר"כ )Xהיא 2.
– נקראת גם פרבולה.
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
3
מאת: אבי משולם
הבעה גראפית
• הבעה של הפונקציה הריבועית באמצעות שרטוט על גבי גרף בשני צירים (.)X,Y
– לדוגמה: תיאור גראפי של הפונקציה: 5 y 2 x 3 x
2
Y 6
4
2
X 0
2-
4-
6-
5-y=2x^2+3x
6-
4-
2-
0
2
4
6
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
4
מאת: אבי משולם
הבעה אלגברית
• תיאור של הפונקציה הריבועית ע"י שימוש במשוואה אלגברית.
משוואת הפונקציה הריבועית: Y=ax2+bx+c
– דוגמה: הפונקציה 5+.y=2x2+3x
•
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
5
מאת: אבי משולם
פרמטרים ומשתנים
• נסתכל על משוואת הפונקציה האלגברית:
משתנים: Y=ax2+bx+c .x,y
• • פרמטרים: .a,b,c
• על משמעותם של הפרמטרים והמשתנים בשקפים הבאים...
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
6
מאת: אבי משולם
פרמטרים ומשתנים (המשך...)
• המשתנים ( )x,yמהווים את ערכי ה- Xוה- Yשל כלל הנקודות המקיימות את המשוואה. • ניקח לדוגמה את המשוואה 7+ y=x2+2xואת הנקודה (51,2). האם הנקודה הזאת נמצאת על גרף הפונקציה? • על מנת לענות על השאלה, נציב את ערך ה- Xשל הנקודה (2) במשוואת הפונקציה. אם התשובה תצא ערך ה- yשל הנקודה (51), אזי הנקודה נמצאת על גרף הפונקציה.
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
7
מאת: אבי משולם
פרמטרים ומשתנים (המשך...)
• נציב: 51=7+4+4=7+2*2+22=Y • גילינו שהנקודה (51,2) מקיימת את משוואת הפונקציה ולכן היא חלק ממנה.
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
8
מאת: אבי משולם
פרמטרים ומשתנים (המשך...)
• פרמטרים:
– – aהמקדם של 2/xמחווה אם הפונקציה "ישרה" או "הפוכה". – – bהמקדם של .x – – cנקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-.y
• הרחבה על פרמטרים אלה תינתן בהמשך...
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
9
מאת: אבי משולם
פרמטרים ומשתנים (המשך...)
• - aהמקדם של 2 xמחווה כאמור אם הפונקציה "ישרה" או "הפוכה":
פונקציה "ישרה" – 0>a
פונקציה "הפוכה"
– a
פתרון אחד
– 0=
אין פתרונות
– 0m
פונקציה לינארית 72
מאת: אבי משולם
נוסחאות וייטה (המשך)
– כעת נשלב את שני התנאים כדי להגיע לפתרון:
57.0-≤m
3-m
3-<m
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
82
מאת: אבי משולם
השיפוע
• שיפוע הפונקציה הריבועית אינו קבוע – הוא תלוי ב- .x
• השיפוע בקודקוד הפרבולה (שהוא גם נקודת המינימום או המקסימום של הפרבולה) הוא 0 (על כך בהמשך...)
• כדי למצוא את שיפוע הפרבולה, יש לגזור אותה:
y x x bc a
2
y ' 2 ax b
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
92
מאת: אבי משולם
• דוגמה: שיפוע הפונקציה 01+ y=2x2-3xבנקודה מסוימת הוא 1-.
מצא את ערכי הנקודה ).(x,y
שיפוע הוא למעשה נגזרת, לכן נגזור את הפונקציה ונשווה ל-1-:
1 y ' x x 22 4 3 3 4x 1 3 2 4x 0.5x
השיפוע (המשך)
–
– כעת נציב את ערך ה- xשמצאנו במשוואת הפרבולה ונמצא את :y
y 20 5. 55.10 5. 300 20 1 .2 1
2
y 55.10 1 0. 9y
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
03
מאת: אבי משולם
קודקוד הפרבולה
• השיפוע בקודקוד הפרבולה הוא כאמור 0. • מכאן, ניתן להגדיר את ערכי ) (x,yשל קודקוד הפרבולה בצורה כללית:
0 y ' 2ax b 2ax b x b 2a
y a ( y b
2
b 2a
) b(
2 2
b 2a
)c
ab 4a
2
2
b
2
c
2a
2b
c
4a y b
2
4a c
4a
2
(
42 פברואר 70
b 2a
,
b
) c
13
4a
פונקציה לינארית
מאת: אבי משולם
קודקוד הפרבולה (המשך)
• דוגמה: נתונה משוואה של פרבולה 3+ .y=x2-4xמצא את שיעורי
קודקוד הפרבולה.
– ראשית, נרשום את הפרמטרים:3=.a=1, b=-4, c – כעת נציב:
x
b 2a
b
2
4 4 2 21
)4 ( 14
2
2
)1-,2(
y
c
3
61 4
1 3 4 3
4a
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
23
מאת: אבי משולם
דוגמה מבגרות
• נתונה הפונקציה 1+.y=(9-m)x2+(m-4)x-m
– מצא עבור אילו ערכים של mגרף הפונקציה חותך את ציר ה- xבנקודה אחת. – מצא עבור אילו ערכים של mהפונקציה מייצגת פרבולה שקודקודה נמצא מעל
ציר ה-:x
• כאשר לפרבולה יש מינימום. • כאשר לפרבולה יש מקסימום.
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
33
מאת: אבי משולם
דוגמה מבגרות (פתרון)
• 2 אפשרויות:
– הפונקציה היא ליניארית (0=:)a
9m 0 m9
0 1 9 y 9 ) 4( x 5 x 0 8 8 5x 6.1 x
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
43
מאת: אבי משולם
)דוגמה מבגרות (פתרון
:• 2 אפשרויות
:– הפונקציה היא ריבועית
b 4 ac 0
2
m 9
וגם
( m 4) 4 (9 m )( m 1) 0
2
m 8 m 16 36 m 36 4 m 4 m 0
2 2
3 m 32 m 2 0 0
2
m=9 m=2/3 m=10
m 1, 2 m 1, 2 m1 m2
32
32 4 ( 3) ( 20)
2
2 ( 3) 32 6 6 3 2 28 6 2 3 10 784 32 28 6
32 1024 240 6
32 28
07 42 פברואר
פונקציה לינארית
35
מאת: אבי משולם
דוגמאות מבגרויות (פתרון)
• 2 אפשרויות:
– לפרבולה יש מינימום:
0a 09m 9m
0 b 4 ac
2
וגם
m
2 3
או
01 m
3/2<m
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
63
מאת: אבי משולם
דוגמאות מבגרויות (פתרון)
• 2 אפשרויות:
– לפרבולה יש מקסימום:
0 a 0 9m 9 m
0 b 4 ac
2
וגם
2 3
01 m
01<9
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
73
מאת: אבי משולם
42 פברואר 70
פונקציה לינארית
83