Docstoc

edit mtk

Document Sample
edit mtk Powered By Docstoc
					PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS
SINGGUNG LINGKARAN


A. Persamaan Lingkaran
   1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0,0) dan Berjari-jari r




     Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’

     adalah proyeksi titik P pada sumbu x sehingga ΔOP’P adalah segitiga siku-siku di P’.

     Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada ΔOP’P, maka
     OP =√OP’)2+(PP’)2
     Substitusi OP = r, OP’= x dan PP’ = y
     r = √x2+y2
     r2 = x2 + y2
     x2 + y2 = r2

     Karena titik P(x,y) sembarang, maka persamaan x2+y2 = r2 berlaku untuk semua titik,
     sehingga :
     Persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari-jari r adalah :
     x2+y2 = r2

    2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A (a,b) dan Berjari-jari r
     Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g
     melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis g adalah P’,
     sehingga ΔAP’P adalah segitiga siku-siku di dengan AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP =
     r (jari-jari lingkaran).

     Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada ΔAP’P, diperoleh :
     AP = √(AP’)2 + (PP’)2
     r2 = √(x – a)2 + (y – b)2
     r2 = (x – a)2 + (y – b)2
     (x – a)2 + (y – b)2 = r2

     Karena titk P(x,y) sembarang, maka persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk
     semua titik, sehingga :
     Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah :
     (x – a)2 + (y – b)2 = r2.



B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

   1. Menyatakan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
    Bentuk baku persamaan lingkaran :
    ● Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r :
    L ≡ x2+y2 = r2
    ● Lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r :
    L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2

    Yang dimaksud dengan bentuk umum persamaan lingkaran contohnya :
    Lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari 4, persamaannya adalah
    L ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16

    Jika persamaan tersebut dijabarkan kemudian disusun berdasarkan aturan abjad dan
    pangkat turun, diperoleh :
    L ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16
    L ≡ (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 16
    L ≡ x2 + y2 – 2x – 4y –11 = 16

    Persamaan yang terakhir inilah yang disebut bentuk umum persamaan lingkaran
    dengan pusat (1,2) dan jari-jari r = 4.

    Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan :
    x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (A, B, C bilangan real)
    atau
    Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 (A, B, C, D bilangan bulat A ≠ 0

   2. Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran
    Cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran jika bentuk umum persamaan lingkaran
    diketahui adalah
     L ≡ x2 + y2 + Ax + By – C = 0
     L ≡ (x2 + Ax + A2) – A2 + (y2 + By + B2) – B2 + C
     4444
     L ≡ (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 - C
     4444


     Berdasarkan persamaan di atas, dapat ditetapkan :
     ● Pusat lingkaran di (-A)
     B
     ● Jari-jari lingkaran r = √A2 + B2 - C
     44



C.   Persamaan Garis Singgung Lingkaran
     1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran




      ● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari-jari r
      Garis singgung dapat ditentukan sebagai berikut :
      1. Gradien garis singgung OP adalah Mop = y1
      x1
      2. Karena garis singgung g tegak lurus OP, maka gradiennya
      mg = -1 = -1 = -x1
      Mop y1 y1
      3. Persamaan garis singgung g :
      Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 yang melalui titik P(x1, y1)
      pada lingkaran ditentukan dengan rumus :
      x1x + y1y = r2
  • Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari-jari r




  Garis singgung g dapat dinyatakan sebagai berikut:
  1. Gradien garis AP adalah Map = - y1 - b
  x1 - a
  2. Garis singgung g tegak lurus garis AP, sehingga gradien garis singgung g adalah
  mg = -1 = - x1 - a
  Map - y1 - b
  3. Persamaan garis singgung g adalah :
  Rumus persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 yang
  melalui titik singgung P(x1, y1) adalah (x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Diketahui
  ● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari-jari r
  1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n
  2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ x2+y2 = r2, diperoleh :
  x2 + (mx + n)2 = r2
  x2 + m2x2 + 2mnx + n2 = r2
  (1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0

  Nilai diskriminan persamaan kuadrat (1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0 adalah
  D = (2mn)2 – 4(1+ m2) (n2 – r2)
  D = 4 m2n2 – 4(m2n2 – m2r2 + n2 – r2)
  D = 4 m2n2 – 4 m2n2 + 4m2r2 – 4n2 + 4r2
  D = 4 (m2r2 – n2 + r2)

3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0.
  4 (m2r2 – n2 + r2) = 0
  m2r2 – n2 + r2 = 0
  n2 = r2 (1 + m2)
  n = ± r √1 + m2

  Substitusi n = ± r √1 + m2 ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh y = mx ± r √1 +
  m2

  Jadi, rumus Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 dengan gradien
  m adalah
  y = mx ± r √1 + m2
● Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari-jari r
 1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n
 2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2, diperoleh :
 (x – a)2 + (mx + n – b)2 = r2
 x2 – 2ax + a2 + m2x2 + n2 + b2 + 2mnx – 2bmx – 2bn – r2 = 0
 (1 + m2)x2 – 2(a – mn + bm)x + (a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)= 0

 Jadi, rumus Persamaan Garis Singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2
 dengan gradien m adalah
 (y – b) = m(x – a) ± r√1 + m2

 3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui sebuah Titik di Luar Lingkaran
 Cara untuk menentukan persamaan-persamaan garis singgung yang terletak di luar
 lingkaran dapat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut:


 Langkah 1.
 Persamaan garis melalui P(x1,y1), dimisalkan gradiennya m. Persamaannya adalah y
 – y1 = m(x – x1) atau y = mx – mx1 + y1

 Langkah 2.
 Substitusikan y = mx – mx1 + y1 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh
 persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat
 gabuangan itu dihitung.

 Langkah 3.
 Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0. Dari syarat D = 0
 diperoleh nilai-nilai m.
 Nilai-nilai m itu selanjutnya disubstitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1, sehingga
 diperoleh persamaan-persamaan garis singgung yang diminta.




 Contoh :
 Persamaan Lingkaran

 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)
 Penyelesaian :
 Lingkaran berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5), maka jari-jari r adalah
r = √(-3)2 + 52 = √34
r2 = 34
Persamaan lingkarannya x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 34
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5) adalah
L ≡ x2 + y2 = 34

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)
Penyelesaian :
Pusat di (2,-4) dan r = 5 jadi r2 = 25
Persamaan lingkarannya :
(x – 2)2 + (y – 4)2 = 25

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0
Penyelesaian :
L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0
L ≡ (x + 4x)2 + (y2 – 10y) = - 13
L ≡ (x2 + 4x + 4) – 4 + (y2 + 4x – 10y + 25) – 25 = - 13
L ≡ (x + 2)2 + (y – 5)2 = 16
Dari persamaan yang terakhir ini, dapat diketahui bahwa lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x –
10y + 13 = 0 mempunyai pusat (-2,5) dan jari-jari r = 4

Persamaan Garis Singgung Lingkaran
4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2 + y2 = 13 yang melalui titik (-
3,2)
Penyelesaian :
Titik (-3,2); x1 = -3 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ x2 + y2 = 13
Persamaan garis singgungnya : (-3)x + (2)y = 13
-3x + 2y = 13

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang
melalui titik (7,2)
Penyelesaian :
Titik (7,2); x1 = 7 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25
Persamaan garis singgungnya : (7 – 3)(x – 3) + (2 + 1)(y +1) = 25
4x – 12 + 3y – 34 = 25
4x + 3y – 34 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik
(7,2) adalah 4x + 3y – 34 = 0

6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, jika diketahui
mempunyai gradien 3.
Penyelesaian :
Lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, pusat di O(0,0) dan jari-jari r = 4, mempunyai gradien m =
3.
Persamaan garis singgungnya : y = 3x ± 4√1 + (3)2
y = 3x ± 4√10
y = 3x + 4√10 atau 3x – 4√10
Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16 dengan gradien m =
3 adalah
y = 3x + 4√10 dan 3x – 4√10

7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 yang
mempunyai gradien m = 5/12
Penyelesaian :
Persamaan garis singgungnya : (y + 2) =5/12(x – 1) ± 3√(1 + (5/12)2
(y + 2) = 5/12(x – 1) ± 39/12
12y + 24 = 5x – 5 ± 39
5x – 12y – 29 ± 39 = 0
5x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 yang mempunyai
gradien m = 5/12 adalah
5x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0
KOMPOSISI FUNGSI RELASI DAN
FUNGSI INVERS


Fungsi Invers

Defenisi : Jika y = f(x) dan x = g(y) maka dikatakan g invers dari f, dan sebaliknya. Invers dari
f (x) di tulis f -1(x). Jika f(x) o g(x) = 1, maka f -1(x) = g(x) dan g -1(x) = f(x)

RUMUS MASTER FUNGSI INVERS




KOMPOSISI FUNGSI

Defenisi : Suatu Fungsi f dengan daerah asal Df dan daerah hasil Rf dan fungsi g dengan
daerah asal Dg dan daerah hasil Rg untuk “f komposisi g” dilambangkan f o g = {(x,y) | x ε
Dg, y ε Rf dan y = f(g(x))} dimana Dg ∩ Rf ≠ Ø .

Contoh :

f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x2 – 1, maka

f o g (x) = 2 (x2 – 1) + 5 = 2x2 – 2 + 5 = 2x2 + 3

g o f (x) = (2x+5)2 – 1 = 4x2 + 20x + 25 – 1 = 4x2 + 20x + 24
Kata kunci :

# f o g (x) artinya untuk setiap variable fungsi f disubtitusikan dengan fungsi g(x)

# g o f (x) artinya untuk setiap variable fungsi g disubtitusikan dengan fungsi f(x)

Beberapa hal penting :

# (f o g)(x) = h(x) maka f(x) = (h-1 o g)(x) dan g(x) = (f -1 o h)(x)

# (f o g)-1 = g -1 o f -1

# (f o g o h) -1 = h-1 o g-1 o f -1

RUMUS MASTER FUNGSI KOMPOSISI




TRIK MASTER UNTUK MENENTUKAN GRAFIK YANG MEMILIKI INVERS

Ciri Grafik yang mempunyai invers

Jika dapat dibuat garis mendatar hanya memotong disatu titik (untuk satu nilai y hanya
menghasilkan nilai x ). Perhatikan gambar berikut :




Gambar (1) tidak memiliki invers karena dapat dibuat sebuah garis mendatar dan memotong
kurva pada lebih dari satu titik.

Gambar (2) memiliki invers karena garis mendatar yang dibuat hanya memotong disatu titik.



Menggambar Grafik Fungsi Invers dari Grafik Fungsi Asalnya

Contoh soal:
Penyelesaian




Contoh soal 1




Penyelesaian




Contoh soal 2




Penyelesaian

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:1
posted:12/21/2011
language:
pages:12