Funciones y Graficas
Relaciones de correspondencia
a 1 a 1
b 2 b 2
c 3 c 3
X F(x) X F(x)
Figura 1 Figura 2
En las Figuras 1 y 2 se muestran relaciones de correspondencia entre los
conjuntos X y F(x), en donde a los elementos a, b y c de X le corresponden
elementos del conjunto F(x). Puede observarse que no es necesario que a cada
elemento de X le corresponda un único elemento de F(x) (Figura 1), como tampoco
a todos los elementos de X le tiene que corresponder algún elemento de F(x)
(Figura 2)
Relaciones de correspondencia …
x F(x) x F(x) x F(x)
-2 -4 1 1 1 3
0 0 2 4 2 7
1 2 3 9 3 17
Después de observar las tablas anteriores trata de encontrar
la regla de correspondencia que relaciona las columnas en cada
Tabla.
Relaciones de correspondencia …
x F(x) x F(x) x F(x)
-2 -4 1 1 1 3
0 0 2 4 2 7
1 2 3 9 3 17
y 2x 2
y x y ?
Relaciones de correspondencia…
y y
4
1
3
0.5 y x
x 2
0.5 1 1.5 2
-0.5
x2
1
-1
y
x
-2 -1 1 2
Figura 1 Figura 2
La Figura 1 muestra la expresión que resulta de extraerle la raíz cuadrada a un
número real positivo o cero. La Figura 2 representa el resultado de elevar al cuadrado
Cualquier número real.
¿Te fijaste en cuantos la recta vertical anaranjada corta a la grafica de la Figura 1?
¿En cuantos corta a la grafica de la Figura 2?
¿Podrías concluir algo?
Función
A continuación se te presentan ejemplos de
relaciones de correspondencia que son
funciones y otros que no lo son, observa bien
las características de los ejemplos, semejanzas
y diferencias y trata de expresar con tus
propias palabras qué es lo que hace que una
correspondencia sea una función:
Función …
si es función si es función
a 1 a 1
b 2 b 2
c 3 c 3
X F(x) X F(x)
no es función no es función
a 1 a 1
b 2 b 2
c 3 c 3
X F(x) X F(x)
Función …
si es función
1
a
b 2
c
3
X F(x)
Una vez analizados los ejemplos anteriores ¿podrías identificar cuáles de las tablas
siguientes representan funciones?
X F(x) X F(x) X F(x)
-2 -4 1 1 1 3
0 0 2 4 2 7
1 2 3 9 3 17
Función …
¿ Y de estas gráficas habrá alguna que no sea función?
y y
4
1
3
0.5 y x
x 2
0.5 1 1.5 2
-0.5
x2
1
-1
y
x
-2 -1 1 2
No es función Sí es función
Para finalizar te presentamos ejemplos de conjuntos de pares
ordenados, uno de los cuales es función y el otro no.
{(-2, 4), (0, -1), (1, 3), (2, 5) } { (-1, 0), (2, 6), (4, 9), (-1, -1) }
Sí es función No es función
Función …
Ahora el momento importante
ha llegado, te toca a ti
decirnos qué es una función.
Definición de función
Una función f es una regla de
correspondencia que asigna a cada elemento x
de un conjunto X, exactamente un único
elemento, f(x), de otro conjunto F(x).
x f
f (x)
Ejemplos de funciones
Función lineal ( y = m x+b )
x F (x)
0 2 4
y
1 3 3.5
2 4 3
2.5
3 5 2 y=x+2
4 6 1.5
5 7 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
x
Otros ejemplos y = 2x – 2
y = -3x +2
Ejemplos de funciones …
Función cuadrática (y = a x2+b x+c)
x F (x) y
0 0 4
1 1 3 y = x2
2 4 2
3 9
4 16 1
5 25 -2 -1 1 2
x
Otros ejemplos:
y = x2 – 2 x + 1
y = - 3 x2 +2 x + 3
Ejemplos de funciones …
Función polinomiales
y
y
2
2
1.5
1 1
0.5
x
-4 -2 2 4
x
-4 -2 2 4
-1
-0.5
-2
-1
-1.5
y = x3 y = x3 +x2
Otros ejemplos: y 3x 3 2 x 2 10 x 1
y x 4 7 x3 x
Ejemplos de funciones …
Función definidas por partes
y
4
y= x2 x Si 4 x 2
2 y = Cos[x]
f ( x) x 2 Si 2 x 0
cos(x) Si x 0
x
-4 -2 2 4 6 8 10
-2
y=x
-4
Otros ejemplos
x Si 2 x 0
3
x Si x 0
f ( x) x Si 0 x 2
f ( x) x
x Si x 0
x 2 Si x 2
Ejemplos de funciones …
Tipos de funciones
Trigonométricas
y y Sin x y y Cos x y y Tan x
1 1
40
0.5 0.5
20
x x x
2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6
-0.5 -0.5 -20
-40
-1 -1
y y Csc x y y Sec x y y Cot x
20 15
40
10
10 20
5
x x
x
2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6
2 4 6 8 10
-5
-20
-10
-10
-40
-15
-20
Tipos de funciones …
Trigonométricas recíprocas
y
y
1.5
3
y
1
2.5 0.75
0.5
0.5
2
0.25
x
-1 -0.5 0.5 1 1.5 x
-1 -0.5 0.5 1
-0.25
-0.5 1
-0.5
-1 0.5
-0.75
-1.5
x
-1 -0.5 0.5 1
1 1 1
Sin x Cos x Tan x
Tipos de funciones …
Trigonométricas recíprocas
1 1
Cot x Csc x
y y
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
x
x -3 -2 -1 1 2 3
-3 -2 -1 1 2 3
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
1
Sec x
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x
-3 -2 -1 1 2 3
Tipos de funciones …
Funciones hiperbólicas
y y y
1
10
10
0.5
5 8
6
x x
-3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3
4
-5 -0.5
2
-10 x
-3 -2 -1 1 2 3 -1
Sinh[x] Cosh[x] Tanh[x]
y y y
30 1 4
20 0.8 2
10
0.6 x
x -3 -2 -1 1 2 3
-3 -2 -1 1 2 3 0.4
-2
-10
0.2
-20 -4
x
-30 -3 -2 -1 1 2 3 -6
Csch[x] Sech[x] Coth[x]
Tipos de funciones …
Funciones hiperbólicas reciprocas
y y y
1.75 7.5
1.5
1.5
1 5
1.25
0.5 2.5
1
x x
-3 -2 -1 1 2 3 0.75 -1 -0.5 0.5 1
-0.5 -2.5
0.5
-1 -5
0.25
-1.5
x -7.5
1.5 2 2.5 3
Sinh-1[x] Cosh-1[x] Tanh-1[x]
y y y
12 4
8
6 10
2
4 8
x
2
6 -3 -2 -1 1 2 3
x
-1 -0.5 0.5 1 -2
4
-2
2 -4
-4
-6 x
0.2 0.4 0.6 0.8 1 -6
Csch-1[x] Sech-1[x] Coth-1[x]
Tipos de funciones …
Funciones exponenciales
y
7
ye
6 x x F(x)
5 3 0.0497871
4 2 0.135335
1 0.367879
3
0 1.
2 1 2.71828
1 2 7.38906
x
3 20.0855
-2 -1 1 2
Otros ejemplos f ( x) e 2 x 1
f ( x) e x2
Tipos de funciones …
Funciones logarítmicas
y
x
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x F(x)
-2
0
-4
y ln(x) 1 0.
2 0.693147
-6
3 1.09861
-8
4 1.38629
5 1.60944
-10 6 1.79176
7 1.94591
8 2.07944
Otros ejemplos f ( x) ln( 2 x 1) 9 2.19722
10 2.30259
f ( x ) log( x 1)
SECCIONES CÓNICAS
SECCIONES CÓNICAS
SECCIONES CÓNICAS …
RECTA.
y 5
2.5
0
-5 -2.5 0 2.5 5
x
-2.5
-5
y mx
SECCIONES CÓNICAS …
CIRCUNFERENCIA.
y
1
0.5
x
-1 -0.5 0.5 1
-0.5
-1
x y r
2 2 2
SECCIONES CÓNICAS …
PARÁBOLA.
y 25
20
y
2
1.5
15
1
0.5
10
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.5
x 5
-1
-1.5 0
-2 -5 -2.5 0 2.5 5
x
y 4 px
2
x 4 py
2
SECCIONES CÓNICAS …
ELIPSE.
y
1
y
0.5
0.6
0.4
0.2 x
-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6
x
-1 -0.5 0.5 1
-0.2
-0.5
-0.4
-0.6
-1
x2 y2
2 1 x2 y2
a 2
b 2
2 1
b a
SECCIONES CÓNICAS …
HIPÉRBOLA.
y
y
2
1.5
1
1
0.5
x x
-2 -1 1 2 -2 -1 1 2
-0.5
-1 -1
-1.5
-2
x2 y2
2
2 1
a b y2 x2
2
2 1
a b
Funciones de uso práctico
Las funciones se utilizan en todas las ramas
de la ingeniería para describir el
comportamiento de una variable con respecto a
otra. Entre algunas de las aplicaciones
podemos mencionar los circuitos eléctricos,
mecánica de fluidos, transferencia de calor y
electrónica.
Funciones de uso práctico
Área de un circulo en función del radio
x A
0 0.
1 3.14159
2 12.5664
3 28.2743
A f (r ) r
r 2 4 50.2655
5 78.5398
Área 6 113.097
7 153.938
8 201.062
9 254.469
10 314.159
Otros ejemplos:
Volumen de una esfera V f (r ) 4 r 3
3
Funciones de uso práctico …
Otros ejemplos
Velocidad (Graficar V vs d y V vs t )
d
V f (d )
t
d
V f (t )
t
Ley de la gravitación Universal
q1q2
F f (r ) k 2
r
Transformaciones de funciones
Desplazamiento vertical de gráficas
Ecuación Como obtener gráfica Gráfica
y
6
5
f(x)+c
y = f(x) + c Desplace la gráfica de 4
y=f(x) hacia arriba c 3
(c > 0) unidades
2
1
f(x) x
-2 -1 1 2
y
4
3
y = f(x) - c Desplace la gráfica de 2
f(x)
y=f(x) hacia abajo c 1
(c 0) unidades 2
x
-2 2 4
y
8
y = f(x+c) Desplace la gráfica de 6
y=f(x) hacia la izquierda 4
(c 1) por un factor igual a 1/a -1 f(x)
-2
y
1
y = a f(x)
y = a f(x) Alargue la gráfica de 0.5
y=f(x) horizontalmente -3 -2 -1 1 2 3
x
(0 1) un factor igual a a -0.5
f(x)
-1
y
1
y = a f(x)
y = f( a x) Reduce la gráfica de 0.5
y=f(x) verticalmente por -6 -4 -2 2 4 6
x
(0 0 o hacia abajo si a0, entonces el valor Si a>0, entonces el valor
mínimo de f ocurre en x=h y máximo de f ocurre en x=h
su valor es de f(h)=k y su valor es de f(h)=k
Valores extremos de funciones cuadráticas …
Ejemplos
1. Considere la siguiente función cuadrática:
f ( x) 5 x 2 30 x 49
a) Exprese la función en su forma estándar
b) Trace la gráfica de f.
c) Determine el valor mínimo de f.
2. Dada la función f ( x) x 2 x 2
a) Exprese la función en su forma estándar
b) Trace la gráfica de f.
c) Determine el valor máximo de f.
Valor máximo y mínimo de una
función cuadrática
El valor máximo o mínimo de una función
cuadrática f(x)=ax2+bx+c ocurre en
b
x
2a
b
Si a > 0, entonces el valor mínimo es f
2a
b
Si a < 0, entonces el valor máximo es f
2a
Valores extremos de funciones cuadráticas …
Ejemplos
Determine el valor máximo o mínimo de cada
una de las siguientes funciones:
a ) f ( x) x 4 x
2
b) g ( x) 2 x 4 x 5
2
Valores extremos de funciones cuadráticas …
Ejemplos
1. Entre todos los pares de números cuya suma es 100,
determinar el par cuyo producto es el más grande posible.
2. Un granjero desea proteger un campo rectangular con una
cerca y dividirlo en dos campos rectangulares mas pequeños
mediante una cerca paralela a uno de los costados del
campo. Tiene disponibles 3,000 yardas de cerca. _Determine
las dimensiones del campo, de tal manera que el área
protegida sea máxima.
x x x
y
Combinación de funciones
Algebra de funciones
Supongamos que f y g son funciones con dominios A y B.
Entonces las funciones f + g, f - g, f g y f / g se definen
como sigue:
(f+g)(x)= f(x) + g(x) Dominio A ∩ B
(f - g)(x)= f(x) - g(x) Dominio A ∩ B
(fg)(x)= f(x)g(x) Dominio A ∩ B
(f / g)(x)= f(x) / g(x) Dominio {x ε A∩B | g(x)≠ 0}
Combinación de funciones …
Ejemplo
Si
f ( x) x 4 x y g ( x) x
2
Determine:
a) f+g
b) f – g
c) f g
d) f / g
Composición de Funciones
Dadas dos funciones f y g, la función
compuesta fog (también conocida como
composición de f y g) está definido por:
f g x f g x
g f
x g (x) f (g (x))
Entrada Salida
Composición de Funciones …
Ejemplo
Sea f ( x) x y g ( x) x 3
2
Determine:
a) f o g, g o f y sus dominios.
b) Calcule (f o g)(5) y (g o f)(7)
70
8
60
6
f 50
4 fog
40
2
30
-3 -2 -1 1 2 3
20
-2 gof
-4
g 10
-6 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10
Funciones uno a uno y sus inversas
Una función con dominio A se conoce
como uno a uno si no hay dos elementos de A
que tengan la misma imagen, esto es:
f x1 f x2 siempre que x1 x2
A B A B
a 1 a 1
b 2 b 2
c 3 c 3
f es uno a uno f es no es uno a uno
Definición de función inversa
Sea f una función uno a uno con dominio A y
rango B. Entonces, su función inversa f-1 tiene
dominio B y rango A y está definida por:
f 1 y x f ( x) y
para cualquier y en B.
A B
f
x f (x)
f -1
Propiedades de las funciones inversas
Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B.
La función inversa f -1 satisface las siguientes
propiedades de cancelación.
f -1( f( x ) )= x Para cualquier x en A
f (f -1( x ) )= x Para cualquier x en B
Recíprocamente, cualquier función f -1 que satisfaga
estas ecuaciones es la inversa de f.
Funciones inversas…
Ejemplo
Determina si f ( x) x 3 y g ( x) 3 x son
inversas
2
f ( x) x 3
1
f 1 ( x) 3 x
-3 -2 -1 1 2 3
-1
Cómo determinar la función inversa
de una función de uno a uno
1. Escriba y = f(x)
2. Resuelva esta ecuación para x en términos de
y (si es posible)
3. Intercambie x y y. La ecuación resultante es
y= f -1(x).