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									LA INGENIERÍA DE CALIDAD DE TAGUCHI                     P. Reyes / Sept. 2007




              LA INGENIERÍA DE
             CALIDAD DE TAGUCHI




                          Dr. Primitivo Reyes Aguilar
                              Septiembre de 2006



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Diseño de Experimentos de Taguchi                            P. Reyes / Dic. 2006




Objetivos del curso

- Que el alumno comprenda que es la ingeniería de calidad de Taguchi, su ámbito
  de aplicación y beneficios que acarrea en su área de trabajo.

- Que el alumno comprenda a nivel de aplicación, las principales herramientas de la
  Ing. de calidad, como son:

  - La función de pérdida;

  - arreglos ortogonales;

  - análisis señal ruido;

  - características dinámicas;

  - datos por atributos;

  - diseño de tolerancias;

  - y análisis B vs C.




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  CONTENIDO
1. Introducción                                                 3


2. La función de pérdida                                        10


3. Arreglos ortogonales                                         16


4. Diseño de parámetros con análisis Señal/Ruido                71


5. Diseño de parámetros de características dinámicas 109


6. Datos por atributos                                          140


7. Diseño de tolerancias                                        148


8. Análisis B vs. C                                             168


9. Conclusiones


Bibliografía




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1. INTRODUCCIÓN
  Ante las crecientes presiones económicas y comerciales que enfrenta nuestro
país, resulta imprescindible para nuestra planta industrial incrementar su
competitividad.

Esto se acentúa por dos aspectos:
1. Ante la contracción de nuestro mercado interno, resulta necesario para algunos sectores
   incursionar en mercados internacionales.
2. Debido a las políticas de apertura comercial en nuestro país, algunos sectores empiezan a librar
   una batalla con insumos y productos internacionales en nuestro propio país. Cada vez aumenta
   la posibilidad para un consumidor nacional, de adquirir productos fabricados en U.S.A, Japón,
   China, Taiwan, Corea, Brasil, etc. en mercados y submercados locales.

   Nuestros sectores de transformación y de servicios tiene, por lo tanto, la imperiosa necesidad de
incrementar la competitividad de sus productos. Sin embargo, una serie de interrogantes que surge
de inmediato son: ¿qué es un producto competitivo?, ¿cómo saber si nuestros productos son más
competitivos?, ¿cómo se incrementa la competitividad?, ¿Qué técnicas se pueden utilizar en
nuestros medios?.
  Con el objetivo de mejorar rápidamente su situación, ya que además no
disponemos de mucho tiempo, algunos centros de producción se enfocan a
contestar las últimas dos preguntas. Esto trae como consecuencia una búsqueda
de técnicas provenientes de otros países.

  Algunas de estas técnicas son sumamente útiles en potencia y algunas otras son comercializadas
rápidamente y ofrecidas como “fórmulas mágicas“ que resolverán todos los problemas. Es por lo
tanto necesario, entender y evaluar cada una de estas metodologías, a fin de poder decidir
objetivamente la posibilidad de éxito y maneras de aplicación en nuestro medio, así como, conocer
sus requerimientos y alcances antes de poder implantarlas.


  Pero, ¿cómo sabemos que un producto es competitivo?, de acuerdo con varios autores, la
competitividad de un producto se puede medir de acuerdo con tres dimensiones que son:
     Calidad
  El producto en                Ingeniería

Precio


     Seriedad en tiempos de entrega
  Servicio
     Longitud de tiempo de entrega o prontitud de respuesta

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  Quiere esto decir, que un producto competitivo será aquel que posee un alto
nivel de calidad al cliente, los últimos avances de ingeniería, tenga un bajo precio
al consumidor que sin embargo; deje utilidades y que se pueda entregar
rápidamente al cliente en plazos preestablecidos.


  De todas estas dimensiones, la que parece haber sido explorada con más
intensidad por países altamente productivos es el renglón de la calidad. De hecho,
Japón considerado actualmente como el país con mayor potencial económico, ha
usado como bandera la calidad de sus productos para incursionar en mercados
mundiales. Bajo la idea de que “La calidad es primero y las utilidades
consecuencia” han desarrollado una serie de metodologías que parecen ser
aplicables en otros países.


  Una de estas metodologías se conoce como ingeniería de calidad, metodología
de diseño experimental o metodologías Taguchi. Varias de las técnicas que
incluye fueron desarrolladas por Genichi Taguchi y se han extendido a varias
partes del mundo probando su aplicación y efectividad.


  En este material, se muestra un panorama general de esta metodología,
tratando de mostrar su potencial de uso, así como, sus principales herramientas.


  Dicho de otra manera, la tecnología no es adaptada a nuestro medio.


  Cabe mencionar también que en ocasiones se conoce la causa que está
originando un cierto problema, sin embargo, resulta demasiado costosa eliminarla
directamente. Ante estas situaciones, la ingeniería de calidad pretende no remover
la causa directamente, sino anular su efecto, mediante otros factores que sea más
económico manejar.


  Pero para hacer esto, es necesario analizar el efecto de una gran cantidad de
factores, algunos controlables y otros no, sobre el proceso de producción. Estos
efectos además se deben de estudiar sobre el proceso real en un tiempo limitado,
y ello es factible únicamente a través de una búsqueda sistemática, que a partir de
pocas lecturas, nos permita obtener conclusiones consistentes y válidas. Esto es
posible únicamente a través de técnicas de diseño experimental o diseño de
experimentos.


  El diseño de experimentos se convierte por lo tanto, en una técnica
imprescindible para obtener altos niveles de calidad y bajos costos en los
productos.



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Diseño de tolerancias

  En esta última fase, lo que se pretende es fijar tolerancias a los insumos a fin de
poder mejorar la calidad de los productos. Esta fase es la última a recurrir y se
hace después de un diseño de parámetros. El imponer tolerancias más estrechas
sobre los insumos, necesariamente incrementa los costos de los productos, por lo
tanto, antes de tratar de controlar esa variabilidad en los insumos se debe de tratar
de nulificar su efecto mediante diseño de parámetros.
  Pero si es necesario imponer tolerancias, esto no se debe hacer
indiscriminadamente sobre los insumos, sino sobre aquellos que de veras afecten
el proceso y que convenga desde el punto de vista económico de hacerlo. Para
esto último, es útil también el diseño de experimentos.

Podrá observar, que en muchas de las situaciones en nuestro medio, se efectúan
las etapas uno y tres, esto es, el diseño del sistema y el diseño de tolerancias,
pero no el diseño de parámetros. Después de adquirir la tecnología, se imponen
una serie de tolerancias estrechas para lograr los resultados que se obtienen en el
país donde se adquirió (no usar aditivos de Pemex, por ejemplo). Esto
posiblemente se debe al desconocimiento de la importancia del diseño de
parámetros y de las técnicas del diseño de experimentos.

1.1 ¿qué hace el diseño de experimentos, durante un diseño de parámetros u
optimización del proceso?
  Considere un proceso cualquiera. En este proceso se combinan una serie de
insumos para cumplir con ciertas características
  Factores                              Respuestas
                                             Y1
        Xi           Proceso                   Y2
                                               Y3


  Suponga que la situación de alguna de las características, digamos Y1 se muestra
en la figura siguiente:




  LIE                LSE



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  Evidentemente, el proceso está generando producto con características no
satisfactorias. A fin de corregir la situación es necesario:
1. Centrar el proceso, modificando la media o promedio del mismo.
2. Reducir la variabilidad del proceso eliminando causas comunes de variación,
   dicho de otra manera, el proceso está en control estadístico.
3. De ser posible reducir el costo del proceso.

Todos los factores x, que afectan este proceso, se pueden clasificar en cuatro
grandes grupos:

       Factores que afectan la media y/o la variabilidad.
       Factores de ruido
       Factores que afectan                                         Factores que no
       la media sin afectar                                 afectan, ni la media
       la variabilidad                                      ni la variabilidad


  Los factores de ruido son aquellos que no podemos o deseamos controlar, en
general, se consideran tres tipos:

   -     Ruido externo. Son los factores que están fuera del ámbito del producto,
         pero que afectan el proceso en el ámbito del cliente durante su uso.
   -     Ruido interno. Son los factores que originan deterioro, o que las
         características de calidad se degraden con el tiempo.
   -     Ruido de producto a producto. Son los factores que en el centro de
         producción ocasionan variación de un producto a otro.

  Los factores que afectan la media y/o variabilidad, se utilizan para reducir la
variabilidad. Los que afectan solamente a la media, se utilizan para reducir la
variabilidad. Los que afectan solamente a la media, se utilizan para centrar el
proceso, o bien para maximizar o minimizar la respuesta. Por último, los factores
que no afectan ni la media ni variación se utilizarán para reducir el costo del
proceso, esto es, se ubicarán a su nivel más económico.

  Recuerde , que el objetivo es fijar los factores que están en nuestro control, a
un nivel tal que el producto sea robusto a los factores de ruido.


  El problema es, que de antemano no sabemos dónde se ubica cada factor: el
diseño de experimentos es un grupo de herramientas que nos ayuda de una
manera sistemática y eficiente, a ubicar cada factor y en un caso dado, como
exactamente afecta a la variable de respuesta.




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1.2 Procedimiento general para un estudio de ingeniería de calidad
Uno de los procedimientos que se pueden utilizar es el siguiente:


1. Identificar el problema y formar grupo de trabajo.

  Este es quizá el paso más importante, existe la posibilidad de que en este pase
se termine el experimento. En primer lugar, se debe de identificar un problema que
sea importante resolver para la empresa (no únicamente para el experimentador).
Esto quiere decir, que si el problema se resuelve, pondría en una mejor posición al
producto y permitiría a la empresa generar más utilidades. Si esta condición no se
cumple, es recomendable olvidarse por lo pronto del problema y buscar otro.
  Una vez aprobado el problema, se debe definir por escrito cuál es el problema a
resolver, qué tipo de solución se busca, cuál es la situación actual y sobre todo,
quién sabe acerca del mismo o está directamente afectado, a fin de integrarlo
dentro del grupo de trabajo.


2. Lluvia de ideas
  En esta fase, se pretende identificar como evaluar y/o cuantificar la
característica que se desea mejorar. Asegurarse que realmente representa el
problema que se quiere resolver. Una vez definida,     se debe cuestionar si la
puede medir de una manera confiable sino es posible, busque alternativas.
   Es posible que en un mismo problema existan dos o más características de
interés, conviene sin embargo que usted, asigne prioridades y tome una como
titular. La o las características seleccionadas son las variables de respuesta para
todo el estudio (Y).
  En esta fase se deben identificar, el grupo de factores que potencialmente afecta
la variable de respuesta (las X’s). Se puede ayudar con un diagrama causa-efecto
en el que intervengan las personas que conocen el proceso; operadores, técnicos,
ingenieros, etc. Una cosa importante es que busque en la literatura, en ocasiones
el problema que      pretende resolver ha sido tratado en otras partes y esto le
puede orientes sobre que factores considerar.
   En un segundo paso, se debe seleccionar aquellos factores que se consideran
con mayores posibilidades y que entrarán al primer experimento, se debe hacer un
juicio y a falta de información, un pareto logístico puede ser de gran ayuda.

  Considere también, que existen factores que no se pueden controlar y no tiene
caso que entren al experimento. Si aún así, quedan muchos factores candidatos,
inicie con lo s que sea más sencillo y menos costoso manipular.
  Una vez seleccionados los factores, se deberán proponer los niveles a estudiar
para cada factor. No sea demasiado conservador, considere dentro de que rangos
varían generalmente los factores y trate de cubrir estos rangos. Es probable que


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los resultados que obtenga se puedan interpolar sin embargo, será muy riesgoso
extrapolar resultados.
1. Seleccionar el arreglo a usar.
     Arreglo interno
     Arreglo externo
     Tamaño de la muestra
2. Organizar el experimento
   Hojas de datos
   Quién hace qué
3. Correr el experimento
   Recolectar datos
   Analizar resultados.
4. Selecciona índice señal a ruido
  Hacer análisis Anova
  Encontrar para nominal es mejor
   Factores que reducen variabilidad
Factores que ajustan la media
Factores que reducen costo
Encontrar para mayor es mejor o menor es mejor
Factores que mejoran la media y/o la variabilidad
Encontrar las mejores condiciones de operación


Predecir resultados esperados bajo las condiciones propuestas.
1. Hacer una corrida de comprobación
  Si los resultados no coinciden con lo esperado, identificar causas posibles
  Evaluar la ganancia que se obtiene con las nuevas condiciones.
2. Implementar las condiciones propuestas.
Varios de los términos mencionados serán estudiados a lo largo del material.
  Aunque se ha hablado del concepto de la calidad, no se ha definido
explícitamente en términos de ingeniería de calidad. Por otra parte necesitamos de
alguna manera evaluar económicamente las posibles desviaciones del valor ideal
de la variable de respuesta. Esto se analiza en el siguiente capítulo bajo el tema
de la función de pérdida.




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2. LA FUNCIÓN DE PÉRDIDA
2.1 Introducción

  Como se mencionó anteriormente, las herramientas de ingeniería de calidad son
una ayuda, para producir un producto a bajo costo y de alta calidad.
  Pero si bien, el costo lo podemos medir claramente, ¿qué acerca de la calidad?.
Existen diferentes definiciones de lo que es la calidad; por ejemplo, adecuación al
uso, cumplir con requisitos, etc.. estas definiciones sin embargo, poco ayudan
para evaluar la calidad y orientar acciones.
  Ciertamente, existen algunos indicadores como los índices de habilidad del
proceso, por ejemplo el Cp y Cpk. Se indica que es deseable que estos índices
sean mayores a 1.00, pero, desde el punto de vista económico, ¿cuál es su valor
óptimo?, ¿cuánto debería estar dispuesto a invertir para que el Cpk, varie de 1.00
a 1.20?.
  G. Taguchi ha propuesto una herramienta llamada función de pérdida, que
pretende hacer algo a primera vista tan blasfemo como, evaluar monetariamente
la calidad de un producto. De esta manera, es posible compara económicamente
las mejoras en calidad, sobre todo para el cliente y el costo necesario para
efectuarlas.


Para lograr lo anterior, G. Taguchi propone el siguiente enunciado:
“LA CALIDAD DE UN PRODUCTO SE PUEDE MEDIR, MEDIANTE LA (MINIMA)
PÉRDIDA QUE LE OCASIONA A LA SOCIEDAD, UN PRODUCTO DESDE EL
MOMENTO DE SER EMBARCADO”


   En esta definición, se involucra a la sociedad entendida como el conjunto de
clientes incluyendo al productor. Esto es, que los problemas de calidad deben ser
vistos de una manera global para evitar que una parte se beneficie a costa de la
otra.


  Por otra parte, ¿por qué le molesta a un cliente recibir un producto fuera de
especificaciones?, supongamos que porque no lo puede utilizar, o bien, tiene que
hacer algo antes de utilizarlo. Esto le implica un gasto en dinero, que no haría si el
producto fuera aceptable. Si el producto no se puede utilizar, el consumidor
deberá reprocesarlo, regresarlo y reclamar al productor, molestarse y buscar otro
proveedor, detener su línea de producción, etc. y todo esto lleva implícito un gasto.
De manera que. la adecuación al uso se puede medir de alguna manera, mediante
el dinero gastado debido a que el producto no cumple con lo esperado.
  Si el producto cumple exactamente con lo esperado, entonces no se ocasiona
costo de calidad alguno. Dicho de otra manera, no se ocasiona un costo adicional



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para el consumidor aparte de su precio. Por eso en la definición se aclara que es
un costo después de embarcarlo.
  Este desembolso adicional que el consumidor tiene que gastar sin tener porque
hacerlo es una pérdida para él y para la sociedad en general, de la cual forma
parte, si el producto hubiese sido producido bien, nadie tendría porque hacer un
costo adicional. De ahí el nombre de pérdida.
  Pero cómo es esta relación pérdida-desviación. Suponga que desea adquirir un
cierto producto con un diámetro de 10 pulg. Dado que es imposible obtener
siempre este diámetro, se asigna una cierta tolerancia de digamos  0.02 pulg.
Tradicionalmente esto quiere decir que si usted recibe un producto con un
diámetro entre 9.98 y 10.02 pulg. todo esta bien mientras el diámetro se encuentre
en este intervalo, esta igualmente contento. Fuera de este rango el producto es
completamente inaceptable.
  Taguchi considera esta visión incorrecta. Para el cliente un producto que mide
9.9799 pulg. no es muy diferente a uno que mida 9.9801 pulg. De hecho, un
producto aceptable que mida 9.9801 es más parecido a uno defectuoso que al
deseado de 10.0000 pulg.
   Lo anterior implica cosas como: no porque un producto está dentro de
especificaciones, necesariamente es un buen producto para el cliente.     puede
incluso hacer una inspección 100% para que todo producto quede dentro de
especificaciones, y no por eso su producto es considerado un buen producto por el
cliente.
  Por lo tanto, más que una pérdida súbita que se tenga cuando el producto sales de
especificaciones, se tiene un continuo de pérdida tan pronto como el producto se
desvía del valor idealmente deseado por el cliente.

   En seguida se discutirá este punto, con ejemplos más específicos para         como
cliente.
   El único valor aceptable de una característica de calidad, es el valor deseado
por el cliente, llámelo en este caso “m”. El cliente realmente recibe un producto
con una característica de calidad que llamaremos aquí ”y” . Esta característica “y”,
no necesariamente coincide con “m” de manera que, se puede tener una
desviación de (y-m), la cual puede ser positiva o negativa. Ya sea que y>m ó y<m.
Siempre que “y” es diferente de “m”, se le ocasiona al cliente una pérdida,
llamémosla L(y) con (y-m)?, si bien existen un sin número de maneras, una para
cada cliente Taguchi sugiere que en la gran mayoría de las veces esta relación es
descrita de manera cuadrática. Esto es:

  L(y)=k (y-m)2
  Donde k es una constante específica para cada consumidor, que gráficamente
queda representado por:



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    L(y)



                                           m                          y
Vale la pena observar lo siguiente:
-    Desviaciones pequeñas del valor ideal, ocasionan una pérdida pequeña.
-    La pérdida aumenta más que linealmente conforme “y” se aleja del valor ideal
     m.
-    Cuando el valor de “y” coincide con el valor de m, la pérdida es cero. Esto es,
     L(y=m)= 0.
-    La curva se ve afectada por el valor de la constante k.
-    Existe una función de pérdida L(y) asociada con cada característica de calidad
     del producto. La pérdida total que ocasiona el producto, es la suma de las
     pérdidas de cada una de sus características.

Un problema que surge de inmediato es ¿cómo evaluar la constante k?
   Considere una característica de calidad, digamos un diámetro con un valor ideal
de 10.0000 pulg. Si el diámetro de desvía un poco el producto aún se puede
utilizar. Conforme el diámetro se aleja aun más del ideal, llegará un punto en el
cual no se puede utilizar el producto tal y como este. A este valor se le puede
llamar “yc” y a la desviación(yc-m)= Tc. se le llama tolerancia del consumidor.
   En este momento, se debe hacer algo para que el producto se pueda utilizar
originando un costo, llame a este costo Ac. Al sustituir en la fórmula de L(y), se
tiene que
    Ac= k Tc2; k= Ac/ Tc2
    La función de pérdida se puede expresar también de la manera siguiente
    L(y)= (Ac/ Tc2)(y-m) 2
  Algunos autores, sugieren utilizar como Tc, lo que se considere como tolerancia
actual o de operación, y entonces un buen valor de Ac es un 10% del precio del
producto.
  Como corolario podemos observar lo siguiente: corregir, arreglar o aun desechar
un producto es más económico siempre para el productor. Esto es, se le ocasiona
un costo menor. Si a este costo le llamamos Ap, donde siempre sucede que Ap <
Ac, ¿cuál debe ser entonces la tolerancia que debe manejar el productor en sus
dibujos?.
  Al sustituir en la función de pérdida anterior esta pérdida Ap y manejando la
tolerancia (yp-m)= Tp, se tiene:



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                                                     Ap
  Ap= (Ac/ Tc2)Tp 2, y por lo tanto Tp=                       Tc
                                                     Ac
  Esto quiere decir, que la tolerancia del productor, debe siempre ser menor que la
del consumidor. La relación viene representada por la raíz cuadrada de la relación
entre la pérdida del producto y del consumidor para el mismo producto.



2.2 Función de pérdida promedio
  Si bien, la forma de la función de pérdida anterior describe la situación para una
unidad de producto en particular, el productor, probablemente este más interesado
en la pérdida promedio que su producción induce al cliente. Para esto es suficiente
obtener el promedio para todos sus productos, esto es:
  Lmedia=    k ( yi  m) / n  (k ( y   1    m)  k ( y 2  m)  ...  k ( y n  m)) / n

   Si el número de productos es pequeño, el promedio se puede obtener
directamente.

  Si el valor no crece, se puede demostrar mediante un poco de manipuleo
algebraico, que el valor de Lmedia es
  Lmedia= k  2  d 2  ; donde d= (-m)
    y  2 representan la media y varianza del proceso respectivamente.
  Si el productor desea disminuir la pérdida que su producto ocasiona a sus
consumidores, deberá por lo tanto, reducir su variabilidad (minimizar  2 ) y centrar
su proceso de manera que la media del mismo coincida con el ideal m, (disminuir
d 2 
  2.3 Función de pérdida para otro tipo de características
 Una característica de calidad, por lo general es de uno de los siguientes tipos:
Cualitativa. No se puede medir directamente sobre una escala continua
Cuantitativa. Se divide en tres:

1. Menor es mejor. Son aquellas características que el cliente desea sea mínima,
m es igual a cero y la característica “y” no puede ser menor que esta ideal.
Ejemplo: desgaste, fricción, etc.

2. Mayor es mejor. Son aquellas características en que el valor ideal parra el
cliente tiende a infinito. Por ejemplo: duración, rendimiento, etc.
3. Nominal es mejor. Son aquellas características en que existe un valor nominal
deseado por el consumidor “m” y la característica real “y” puede ser mayor o
menor que este ideal. Ejemplo: diámetro, longitud, etc.



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  Para cada una de las características cuantitativas, existe una función de pérdida
tanto individual como promedio. Para el caso cualitativo dependiendo del caso, se
puede adaptar a una de ellas. Las expresiones son:

  Tipo                       Individual              Promedio
  Nominal es mejor           L(y)= k(y-m)2           L(y)= k  2  d 2 
  Menor es mejor             L(y)=K y2               L(y)= K  2   2 

                                                     L(y)= K  1 2 1  3      
                                                                            2
                             L(y)= K/ y2                                  2 
  Mayor es mejor
                                                                              

  Cada una de estas expresiones, indica la dirección de mejora para un proceso
cualquiera.
Mediante la función de pérdida podemos:
- Cuantificar en dinero, los efectos de una calidad no adecuada
- Interpretar los resultados de un experimento en base económica
- Evaluar el impacto económico que sobre el cliente tiene alguna acción de
   mejora.

Realizar ejemplos numéricos indicados por el instructor.

  Comente lo siguiente: “yo no tengo problemas de pérdida, ya que, si algunos
de los insumos me salen mal, se los regreso a mis proveedores y ellos me lo
recuperan sin costo adicional”.

1. Una fuente de poder debe entregar un voltaje de 115 volts. El consumidor
puede tolerar una desviación de  20 volts.S i la fuente se sale de este intervalo,
se debe ajustar a un costo de $300,000. Defina explícitamente la función de
pérdida. Al productor le cuesta corregir la fuente de poder antes de embarcarla
$150,000. ¿Qué tolerancia debe manejar el productor?,¿Qué pérdida se le
ocasiona al consumidor si se le entrega una fuente que genera 125 volts?. ¿Debe
salir al mercado una fuente que entregue 132 volts?.

2. El costo de reparar un equipo de video, si está desajustado después del
embarque, es de $2 para el cliente. La tolerancia del consumidor es de 5. El
proceso está centrado, muestra una distribución uniforme y tiene una variancia de
102/12, el proveedor decide que para mejorar la calidad, las tolerancias se deben
reducir a 2/3 del original. ¿Cuál es el impacto económico de esta decisión?.

3. Un block requiere que la planicidad sea mínima y que la distancia entre dos
puntas sea de 1.00000 pulg. Corregir un problema de planicidad cuesta $50, y uno
de longitud $20. La tolerancia de longitud es de 0.00010 y para la planicidad un
máximo de 0.00020.

Se muestrean 10 piezas y se obtiene lo siguiente:
     1.000010     1.000020      0.999990     0.999995       1.000010


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       1.000005      1.000020       1.000000   0.999998     0.999990

       0.00010       0.00020        0.00015    0.00005      0.00003
       0.00010       0.00006        0.00018    0.00010      0.00020

¿Cuál es la pérdida promedio esperada?

4. Una dimensión crítica para una parte automotríz, tiene como especificaciones
8.50.05 pulg. El proceso está en control estadístico con una media de 8.492 y
desviación estándar de 0.016. Esta parte tiene un precio de venta de $20 y se
estima que un 10% es un buen estimado de la pérdida por estar justamente en
uno de los límites de especificación. Se producen 250,000 unidades al año. ¿Cuál
es la pérdida a la sociedad en un año?. ¿Qué pasa con un valor de 0.01?.
¿Cuánto es lo máximo que se debería invertir por hacer ambas mejoras?

5. La resistencia a la tracciónd e una soldadura, se desea maximizar. Cuando la
tensión de la soldadura es de 0.2 psi, algunas soldaduras se quebraría y tendrían
un costo promedio de reemplazo de $200 para el consumidor. Encuentre la
función de pérdida. Si se lleva a cabo una mejora se obtienen los siguientes
resultados antes y después de la mejora.

Antes         2.3 2.0 1.9 1.7 2.1 2.2 1.4 2.2 2.0 1.6
Después       2.1 2.9 2.4 2.5 2.4 2.8 2.1 2.6 2.7 2.3

Evalúe la reducción en la pérdida con la mejora, si es que la hubo.




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3. ARREGLOS ORTOGONALES
  3.1 Introducción

  Como se mencionó en el capítulo 1, la experimentación juega un papel vital
cuando se desea mejorar un proceso de producción.

   Recuerde. que el problema es: identificar de los cientos de posibles factores que
afectan una característica de calidad, cuáles de ellos afectan el promedio, cuál es
la variación y cuáles no la afectas.

  En las fases iniciales de la experimentación, se tienen una gran cantidad de
factores potenciales, de los cuales se selecciona un grupo inicial a probar, Ahora
bien, si desea saber si un factor afecta una característica de calidad, es necesario
que varíe el factor y evalúe si esto tuvo algún impacto sobre la característica de
calidad.

  El problema no es sencillo, sin embargo, ya que si tiene digamos 10 factores a
probar, se tienen 1024 posibles condiciones diferentes que se pueden presentar.
Este número de pruebas es demasiado grande para casi cualquier situación
práctica.

Se necesita por lo tanto alguna alternativa que:
- No permita hacer sólo una pequeña cantidad de las pruebas posibles en lugar
   de 1024, digamos unas 12 pruebas
- Sin embargo, nos permita evaluar con cierta confianza el efecto de todos los
   factores analizados.
- Los resultados de estas pruebas se reproduzcan, esto es, que sean válidas al
   momento de implantar la decisión en condiciones reales de operación y a plena
   escala.
- Sea algo sencillo y relativamente rápido como para concentrarse más en
   entender el proceso de producción en sí, que en los análisis estadísticos.

EL OBJETIVO DE LOS ARREGLOR ORTOGONALES ES FACILITAR EL
PROCESO DE EXPERIMENTACIÓN. NUESTRO INTERÉS ES ENCONTRAR
QUÉ FACTORES AFECTAN FUERTEMENTE LAS CARACTERÍSTICAS DE
CALIDAD Y HACER PREDICCIONES SOBRE LAS CONDICIONES
PROPUESTAS DE OPERACIÓN.

  De una manera gráfica, el objetivo de los arreglos ortogonales es: (suponga por
ejemplo 10 factores a dos niveles) 1, 024 pruebas posibles:




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  Efectuar unas cuantas (digamos 12)
                                                 Nos permita analizar el efecto de
                                               los 10 factores




       Nos permite identificar la mejor
       condición, (aun cuando ésta
  no se haya probado) y estimar
  el resultado a esperar y estimar

3.2 Arreglos ortogonales para experimentos a dos niveles
  El método de Taguchi es una estrategia completa de calidad que construye
robustez en los productos y procesos durante su fase de diseño. El sistema de
diseño de experimentos de Taguchi de deriva de alrededor de 18 arreglos
ortogonales estándar.

  Un arreglo ortogonal es un matriz experimental factorial fraccional que es
ortogonal y balanceada. El arreglo más sencillo es el arreglo L4 de la tabla
siguiente.

  En esta sección, se analiza qué son, cómo se usan y cuáles son los arreglos
ortogonales más importantes para experimentos en los que cada factor toma dos
niveles.

  Un arreglo ortogonal es una tabla de números. Ejemplo de un arreglo ortogonal
es:
  Factor
  Nº         1     2      3        Resultado

  1           1      1       1            Y1
  2           1      2       2            Y2
  3           2      1       2            Y3
  4           2      2       1            Y4




       Columna 1         Columna 3       Columna 2
       Gráfica lineal del arreglo ortogonal L4



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  Se tienen en este caso en particular cuatro renglones y 3 columnas. Bajo el
encabezado Nº se tiene el número de pruebas.

  Se tienen tres columnas que consisten de números “1” y “2”. A cada columna se
asigna un factor o variable cuyo efecto en la variable de respuesta se desea
investigar. Con este arreglo se pueden investigar hasta tres factores.

  Cada columna de un factor consiste de números “1” y “2” donde el número “1”
indica que el factor se encuentra a su nivel inferior y el “2 “a su nivel superior.

  Se puede observar que cada columna tiene la misma cantidad de números “1”
que de números “2”. Si tomamos cualquier pareja de columnas, existen cuatro
posibles combinaciones de sus valores,”11”, “12”, “21” y “22”. Como en cada
pareja de columnas se presenta el mismo número de veces cada combinación, se
dice que el arreglo es ortogonal o balanceado.

  El resultado de cada condición experimental se muestra con el encabezado
resultado.

  De acuerdo con la notación empleada por Taguchi al arreglo mostrado como
ejemplo. se le llama un arreglo L4, por tener cuatro renglones.

  Si en el arreglo anterior se cambia el 1 por el -1 y el 2 por el 1, el arreglo se
transforma claramente en un arreglo factorial fraccional   2 31   con la relación que
lo genera C = - AB en la columna 3.


                   Factor
  Nº          1      2       3       Resultado

  1           -1     -1      -1          Y1
  2           -1     +1      +1          Y2
  3           +1     -1      +1          Y3
  4           +1     +1      -1          Y4


   Para cada arreglo ortogonal de Taguchi se tienen gráficas lineales, usadas para
ilustrar las relaciones de interacción en el arreglo ortogonal, en este caso la
interacción de las columnas 1 y 2 están confundidas con las columna 3.

  Para arreglos ortogonales más grandes no solo se cuenta con gráficas lineales
sino además con tabla de interacciones para explicar las interacciones entre
columnas, por ejemplo para el arreglo L8 se tiene:




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                          COLUMNAS
Exp. No.          1       2           3        4         5         6          7
1                 1       1           1        1         1         1          1
2                 1       1           1        2         2         2          2
3                 1       2           2        1         1         2          2
4                 1       2           2        2         2         1          1
5                 2       1           2        1         2         1          2
6                 2       1           2        2         1         2          1
7                 2       2           1        1         2         2          1
8                 2       2           1        2         1         1          2

                          Matriz o tabla
                          de
                          interacciones
Columnas          1       2              3         4         5         6          7
1                 (1)     3              2         5         4         7          6
2                         (2)            1         6         7         4          5
3                                        (3)       7         6         5          4
4                                                  (4)       1         2          3
5                                                            (5)       1          2
6                                                                      ¡(1)       6
7                                                                                 (7)




    1                                                                   3                    2
     3 5
    1
                              .7                                                  5                  4
                                                                                  6
2          6          4
            (a)
                                                                                             (b)     7

¿Qué representa cada tabla?. En primer lugar, el arreglo ortogonal L8 es
exactamente el mismo que se utilizó en el caso experimental y cada columna un
factor o interacción cuyo impacto sobre la variable de respuesta se desea conocer.

La matriz triangular nos representa las interacciones entre columnas. En el primer
renglón, con el titulo de columna, cada número corresponde a la columna con ese
mismo número del arreglo, al igual que los números entre paréntesis que se
encuentran en la diagonal inferior. Por ejemplo, si nosotros asignamos el factor A
a la columna 3 y el factor B a la columna 5, la interacción de AxB aparecerá en



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otra columna ya definida. En el cruce de la columna número 5 y el renglón número
3 de la matriz, aparece el número 6 (marcado con * en la tabla), de manera que la
interacción de AxB se deberá asignar a la columna 6 del arreglo ortogonal.

Con ayuda de matriz de interacciones es factible, mediante prueba y error, asignar
los factores a las columnas. Sin embargo, para simplificar aun más esta
asignación nos podemos auxiliar de las gráficas lineales (1) y (2) que se muestran.

En una gráfica lineal:
  a) un efecto principal se representa mediante un punto.
  b) una interacción se representa mediante una línea.
  c) los números representan las columnas correspondientes del arreglo ortogonal a
     donde se asignan los efectos principales y las interacciones.

En particular, el arreglo ortogonal L8 tiene dos alternativas de arreglo mostrados
por las gráficas (1) y (2) respectivamente.

Por ejemplo, la gráfica (1) indica que con este arreglo se pueden analizar, tres
factores principales, (puntos 1, 2 y 4) y las interacciones entre ellos, (líneas 3, 5 y
6), además de un cuarto factor, (punto 7), que no interactúa con los otros tres.

Los números indican que si deseamos lo anterior, los tres factores deberán
asignarse a las columnas 1, 4 y 2. Las interacciones aparecen en las columnas 3,
5 y 6.

La gráfica (2) indica cuatro factores, (puntos 1, 2, 4 y 7) con interacciones de uno
de ellos con los otros tres (líneas 3, 5 y 6).

Por lo tanto, el factor que interactúa con los otros tres se debe asignar a la
columna 1 del arreglo, los otros tres factores a las columnas 2, 4 y 7. Las
interacciones quedarán en las columnas 3, 5 y 6.

Si se desea analizar un número menor de interacciones y un número mayor de
factores en el mismo arreglo ortogonal, la columna de cualquier línea
representando una interacción que no es relevante, se puede utilizar para
representar un factor adicional.

  Si se cambian el 1 y 2 por -1 y +1 en el arreglo L8, es claro que representa un
arreglo factorial fraccional 2 74 donde la columna 4 del arreglo L8 corresponde a la
columna A del arreglo 2 74 , la columna 2 del arreglo L8 corresponde a la columna
B del arreglo 2 74 , y la columna 1 del arreglo L8 corresponde a la columna C del
arreglo 2 74 . También se puede ver que la columna 3 es equivalente a –BC, la
columna 5 es equivalente a –AC, la columna 6 es equivalente a –BC, etc.




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      COLUMNAS        C      B      -BC      A      -AC     -BC
      Exp. No.        1      2      3        4      5       6       7
      1               -1     -1     -1       -1     -1      -1      -1
      2               -1     -1     -1       +1     +1      +1      +1
      3               -1     +1     +1       -1     -1      +1       +1
      4               -1     +1     +1       +1     +1      -1      -1
      5               +1     -1     +1       -1     +1      -1      +1
      6               +1     -1     +1       +1     -1      +1      -1
      7               +1     +1     -1       -1     +1      +1      -1
      8               +1     +1     -1       +1     -1      -1      +1


   Las gráficas lineales muestran donde se confunden las interacciones, por
ejemplo: la interacción entre columnas 1 y 2 se confunden con la columna 3, la
interacción entre columnas 1 y 4 se confunde con la columna 5, la interacción
entre las columnas 2 y 4 se confunde con la columna 6.

   Sin embargo se sabe que el diseño 2 74 tiene 4 generadores, de manera que
cada efecto principal será confundido con muchas interacciones de dos factores
por tanto las gráficas lineales solo muestran un subconjunto de relaciones de
interacciones. La tabla lineal muestra otras alternativas adicionales, por ejemplo:
muestra que la columna 3 se confunde con la interacción de las columnas 1 y 2,
pero también se confunde con la interacción entre las columnas 5 y 6 y las
columnas 4 y 7, tomando la primera como renglón y la segunda como columna
identificando la intersección (en este caso 3).

  En la notación de los arreglos ortogonales L8 (2 7 ) , el 2 significa dos niveles, el 8
indica 8 corridas experimentales y el 7 significa que se pueden acomodar hasta 7
factores o una combinación con sus interacciones.

  Los arreglos ortogonales de Taguchi también incluyen arreglos de 3 niveles
arreglos mezclados. El más simple es el L9. Su gráfica lineal indica que las
columnas 3 y 4 están confundidas con los efectos de la interacción de las
columnas 1 y 2.
      COLUMNAS
      Exp. No.        1      2      3        4
      1               1      1      1        1
      2               1      2      2        2
      3               1      3      3        3
      4               2      1      2        3
      5               2      2      3        1
      6               2      3      1        2
      7               3      1      3        2
      8               3      2      1        3


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      9               3      3      2        1




  Columna 1         Columnas 3,4          Columna 2

  Gráfica lineal del arreglo ortogonal L9

  En general, para un arreglo a dos niveles, el número de columnas, los efectos
que se pueden analizar, es igual al número de renglones menos 1.

  Taguchi ha desarrollado una serie de arreglos para experimentos con factores a
dos niveles, los más utilizados y difundidos se anexan en el apéndice y según el
número de factores a analizar son:

  Si el número de factores que      Arreglo a utilizar        Nº de condiciones
  se desean analizar es                                       a probar

  Entre 1 y 3                       L4                        4
  Entre 4 y 7                       L8                        8
  Entre 8 y 11                      L12                       12
  Entre 12 y 15                     L16                       16
  Entre 16 y 31                     L32                       32
  Entre 32 y 63                     L64                       64

Para aclarar lo anterior y mostrar los análisis considere el siguiente ejemplo:

  Ejemplo 3.1:
 En un proceso de formación de paneles una característica no deseada es la
emisión de formaldehido en el producto final. Se desea que esta emisión sea lo
mínima posible. Actualmente se estima en 0.45 ppm.

  Después de análisis previo, (lluvia de ideas, cartas multi-vari, etc.) se cree que
cinto factores pueden estar afectando la emisión, estos son: tipo de resina,
concentración de la solución, tiempo de ciclo de prensado, humedad y presión.

   Si se desea analizar el efecto de estos factores, es necesario variarlos, esto es
probarlos bajo diferentes valores cada uno. A cada uno de estos valores se les
llama nivel. Se requieren de al menos dos niveles o valores distintos para cada
factor. A uno de ellos arbitrariamente le llamamos nivel bajo o nivel “1”, al otro
nivel alto o nivel “2”. Se acostumbra llamar nivel “1” a la situación actual si esta
existe.

Para nuestro ejemplo en particular estos niveles son:


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Factor         Descripción                             Nivel 1             Nivel 2
  A            Tipo de resina                          Tipo I              Tipo II
  B            Concentración                            5%                  10%
  C            Tiempo de ciclo de prensado             10 seg              15 seg
  D            Humedad                                  3%                  5%
  E            Presión                                 800 Psi             900 Psi



  En este caso estamos interesados en analizar el efecto de 5 efectos o factores a
dos niveles cada uno, por lo tanto, se usará un arreglo ortogonal L8.

  Esto implica que se ejecutarán 8 pruebas o condiciones experimentales. Por
otra parte se disponen de 7 columnas, a cada columna se le puede asignar o
asociar un factor. ¿A qué columna específicamente se asignará cada factor?, en
estos casos se pueden asignar a cualquier columna.

  De hecho, diferentes personas pueden asignar de diferente manera los factores,
esto trae como consecuencia un conjunto de pruebas diferentes. Sin embargo, las
conclusiones a que se llegue deben ser iguales o similares.

 Si en particular, asignamos los factores en orden a las primeras cinco
Columnas, dejando libres las últimas dos columnas, el arreglo queda:

  COLUMNAS

Exp.   A B     C   D     E     e e
No.                                     Resina    Conc.    Tiempo   Humedad Presión         Yi
1      1   1   1   1     1     1    1   Tipo I    5%       10 seg   3%          800 psi     0.49
2      1   1   1   2     2     2    2   Tipo I    5%       10 seg   5%          900 psi     0.42
3      1   2   2   1     1     2    2   Tipo I    10%      15 seg   3%          800 psi     0.38
4      1   2   2   2     2     1    1   Tipo I    10%      15 seg   5%          900 psi     0.3
5      2   1   2   1     2     1    2   Tipo II   5%       15 seg   3%          900 psi     0.21
6      2   1   2   2     1     2    1   Tipo II   5%       15 seg   5%          800 psi     0.24
7      2   2   1   1     2     2    1   Tipo II   10%      10 seg   3%          900 psi     0.32
8      2   2   1   2     1     1    2   Tipo II   10%      10 seg   5%          800 psi     0.28
                                                                    T = total             2.64

  Observe que en las columnas vacías, 6 y 7, se ha escrito la letra e, esto para
indicar que en ellas se evaluará la variación natural o error aleatorio. Si no se
asigna ningún factor, es de esperar que ahí se manifieste la variación natural.
Los resultados de Yi se muestran en ppm.

   El análisis de resultados, se puede efectuar de dos maneras diferentes. Una de
ellas mediante una serie de gráficas, la otra mediante una herramienta sofisticada



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(para algunos). llamada análisis de varianza, se muestra en este ejemplo primero
el uso del análisis de varianza, posteriormente se muestra el uso de gráficas.


3.3 Análisis de varianza

Como primer paso, se obtienen los totales de la variable de respuesta o lecturas,
para cada uno de los niveles de los factores.
  Por ejemplo, para calcular los totales para cada nivel del factor A, observamos
que las primeras cuatro pruebas del arreglo se efectuaron con el factor a su nivel 1
(Resina tipo I) y las siguientes cuatro a su nivel 2 (resina tipo II)
1). Los totales son por lo tanto:
A1= total de las lecturas que se tomaron con el factor A a su nivel 1
  = 0.49+0.42+0.38+0.30=1.59
A2= total de las lecturas que se tomaron con el factor A a su nivel 2
  = 0.21+0.24+0.32+0.28= 1.05

  Para el factor D se tiene que las pruebas 1,3,5 y 7 se efectuaron a su nivel 1
(humedad del 5%), por lo tanto los totales son:
D1= Total de las lecturas que se tomaron con el factor D a su nivel 1
  = 0.49+0.38+0.21+0.32= 1.40
D2= Total de las lecturas que se tomaron con el factor D a su nivel 2
= 0.42+0.30+0.24+0.28= 1.24


En resumen se tiene:


  Factor             A       B      C    D     E      e      e
  Nivel 1     1.59 1.36 1.51 1.40 1.39 1.28 1.35
  Nivel 2     1.05 1.28 1.13 1.24 1.25 1.36 1.29
              2.64 2.64 2.64 2.64 2.64 2.64 2.64


  Observe que la suma de los dos niveles debe dar siempre el total de las ocho
lecturas, 2.64 para este caso
  2) En seguida se obtiene una cantidad que llamaremos suma de cuadrados
     esta se calcula como sigue:

     Suma de los cuadrados del factor x= SS X= (Total nivel 2 – Total nivel 1)2/ n


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        Donde “n” representa el número total de lecturas que se tomaron.
        Así por ejemplo, para el factor A, tendremos que dado que n=8 
        SSA= (A2 –A1) 2/ 8= (1.59-1.05) 2/ 8=0.03645 con 1 g .1
        Para el factor B se tiene
        SSB= (B2 –B1) 2/ 8= (1.28-1.36) 2/ 8= 0.00080 con 1 g.1



        Similarmente
        SSC= (C2 –C1) 2/ 8= (1.13-1.51) 2/ 8= 0.01805 con 1 g.1
        SSD= (D2 –D1) 2/ 8= (1.24-1.40) 2/ 8= 0.00320 con 1 g.1
        SSE= (E2 –E1) 2/ 8= (1.25-1.39) 2/ 8= 0.00245 con 1 g.1
        SSe= 0.00080 con 1 g.1
        SSe= 0.00045 con 1 g.1

  La suma de cuadrados de las columnas donde no se asignó factor (SSe) se
toman como estimaciones del error y se suman.
SSe= 0.00080+0.00045= 0.00125 con 2 g.1

    3) Se construye una tabla ANOVA, ésta es:
    Efecto           SS          G.1          V                  Fexp
A            0.03645 1       0.03645             58.32
    B           0.00080      1     0.00080               1.28
    C          0.01805       1      0.01805              28.88
    D          0.00320       1      0.00320              5.12
    E          0.00245       1      0.00245              3.92
    Error      0.00125       2      0.000625
    Total      0.0622        7

  Bajo la columna SS se tienen las sumas de cuadrados. Bajo la columna G.L.
(grados de libertad), tendremos el número de columnas que se usaron para
evaluar el factor, en este caso, sólo puede ser de uno para cada factor y más de
uno únicamente para el cado del error.
  La columna V, se obtiene de dividir el número bajo la columna SS, entre el
número de la columna G.L.
Así por ejemplo, para el factor A se tiene
SSA= 0.03645, G.L. de A=1
V= SSA/G.L.= 0.03645/1= 0.03645



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  Por último, el valor de Fexp, se obtiene de dividir el valor de V de cada factor,
entre el valor de V para la estimación del error.
Fexp de A= V(A) / V(error)= 0.03645/0.000625=58.32


    4) Se obtienen conclusiones:

  Todos aquellos factores, que tienen un valor de Fexp mayor que 2 se considera
que afectan la variable de respuesta, emisión de formaldehido en este caso. Aquí
les llamaremos elegantemente factores significantes.
   En este ejemplo resultan significantes los factores A, C, D y E, tipo de resina,
tiempo de ciclo, humedad y presión respectivamente.
  Se acostumbra que aquellos efectos que no resultaron significantes, se
consideren como error aleatorio, a fin de obtener una mejor estimación (con mayor
número de grados de libertad).
En este caso por ejemplo, una mejor estimación de SSe es
SSe= SSB + SSe= 0.00080+0.00125= 0.00205
Con 1 + 2 = 3 grados de libertad y (Ve)= (SSe)/3= 0.00205/3= 0.00068
  Las estimaciones que se obtienen de esta manera suelen escribirse entre
paréntesis.
La tabla ANOVA queda ahora
    Efecto      SS           G.1          V           Fexp
A            0.03645 1              0.03645     53.60
    C           0.01805      1            0.01805     26.54
    D          0.00320       1           0.00320     4.71
    E          0.00245       1           0.00245     3.60
    Error      0.00205       3           0.00068
    Total            0.0622         7

  Nos resta decidir a que nivel habrá de fijar cada factor significante, y qué
podremos esperar. Para tomar esta decisión, es de mucha ayuda obtener los
promedios de las lecturas que se tomaron a cada nivel para cada uno de los
factores significantes.


  Los promedios de la emisión de formaldehido para cada nivel se obtienen
dividiendo c/u de los totales entre 4, (c/total es la suma de cuatro lecturas).
    A1= A1/4= 1.59/4= 0.3975
    A2= A2/4= 1.05/4= 0.2625

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El resto de los promedio son:
    Factor            Nivel 1             Nivel 2
A            A1= A1/4= 0.3975      A2= A2/4= 0.2625
    B          B1= 0.3400          B2= 0.3200
    C          C1= 0.3775          C2= 0.2825
    D          D1= 0.3500          D2= 0.3100
    E          E1= 0.3475          E2= 0.3125


    El promedio general denotado como Y es:
    Y= (0.49+0.42+0.38+0.30+0.21+0.24+0.32+0.28)/8=T/n= 2.64/8= 0.33

  Los factores A, C, D y E que afectan emisión de formaldehido deberán fijarse al
nivel que minimicen la emisión, esto es, al nivel que se obtenga el promedio
menor, en este ejemplo; A2, C2, D2 y E2; resina tipo II, 15 segundos como tiempo
de prensado, 5% de humedad y 900 psi. Observe que la condición propuesta, no
coincide con ninguna de las que se probaron en el arreglo ortogonal.
  El factor B juega aquí un papel sumamente importante. Dado que no afecta la
emisión de formaldehido, dentro del intervalo analizado, se utiliza para reducir los
costos de producción. Esto se hace fijándolo a su nivel más económico. ¿Cuál
será el nivel esperado de emisión bajo las nuevas emisiones propuestas Y est.?
  Para contestar esta pregunta, para cada efecto significante se calcula una resta,
que llamaremos el efecto de cada factor respecto al promedio general, para este
caso el efecto es
EF A = (promedio bajo la condición propuesta del factor promedio general)
        = A2 – Y= 0.2625-0.3300= -0.0675 (A se fijó a su nivel 2)
EF C = C2 – Y= 0.2825-0.3300= -0.0475
EF D = D2 – Y= 0.3100-0.3300=-0.0200
EF E = E2 – Y= 0.3125-0.3300= -0.0175

   Finalmente, el resultado esperado bajo las condiciones A2, C2, D2, E2, que
llamaremos Yest. se calcula sumando al promedio general Y todos los efectos de
los factores significantes.

  Yest= Y + EF A + EF C +EF D +EF E= 0.3300-0.0675-0.0475-0.0200-
0.0175=0.1775



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3.4 Análisis utilizando gráficas

 Existe una alternativa al análisis ANOVA, esta es una serie de gráficas que se
muestran enseguida.
   1) Primero se obtienen los promedios en cada nivel, para cada uno de los
      factores, incluyendo las columnas vacias.
  Para hacer esto, encontramos los totales para cada nivel y dividimos entre el
número de lecturas con el que se obtuvo cada total. Para nuestro ejemplo, los
totales a cada nivel los tenemos ya en la sección anterior. Los promedios son:
    Factor               A            B            C             D            E            e      e
    Nivel 1    0.3975        0.3400       0.3775       0.3500        0.3475       0.3200       0.3325
    Nivel 2    0.2625        0.3200       0.2825       0.3100        0.3125       0.3400       0.3225
    Promedio global Y= T/n= 2.64/8= 0.33
  Observe que para cada factor, uno de los promedios es mayor y el otro menor
que el promedio global. Esto siempre debe de ocurrir.
     2) Calcule la diferencia entre los promedios de niveles para cada factor, y
        ordénelos de mayor a menor valor absoluto.

       Esto es por ejemplo para el factor A
       A1 – A2 = 0.3975 – 0.2625= 0.1350; para el resto tenemos:
Factor      A       B                    C            D              E            e           e
Diferencia 0.1350 0.0200              0.0950       0.0400        0.0350       -0.0200      0.0100


Nº      A         B             C            D             E              e          e         Yi
1       1         1             1            1              1           1            1         0.49
2       1         1             1            2              2           2            2         0.42
3       1         2             2            1              1           2            2         0.38
4       1         2             2            2              2           1            1         0.30
5       2         1             2            1              2           1            2         0.21
6       2         1             2            2              1           2            1         0.24
7       2         2             1            1              2           2            1         0.32
8       2         2             1            2              1           1            2         0.28
T1      1.59      1.36          1.51         1.40           1.39        1.28         1.35      Tot
T2      1.05      1.28          1.13         1.24           1.25        1.36         1.29      2.64
SS 0.03645      0.00080 0.01805 0.00320                0.00245         0.00080 0.00045         Ve



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gl       1                1           1           1              1                            2
V     0.03645        0.00080 0.01805             0.00320     0.00245                      .00062      F
58.32         1.28        28.88         5.12       3.92
Sg       si            no            si           si             si
P1 0.3975            0.3400       0.3775         0.3500      0.3475                           Y
P2 0.2625             0.3200       0.2825      0.3100      0.3125                           0.33
Ni       2             -              2           2              2
Ef -0.0675                        -0.0475 -0.0200         -0.0175


        Yest.= Y + Ef A2 + Ef C2 + Ef D2 + Ef E2
T1       = Total de lecturas al nivel 1
T2       = Total de lecturas al nivel 2
n        = Número total de lecturas
SS       = (T2 - T1 )2 /n
gl       = Grados de libertad (columnas)
V        = SS/gl
F        = V/Ve
Sg       = ¿Efecto significante?
P1       = Promedio nivel 1
P2       = Promedio nivel 2
Ni       = Nivel seleccionado
Ef       = Efecto de la variable
Y        = Promedio de todos los datos
Yest     = Valor estimado de la variable a las condiciones propuestas



Ordenando de mayor a menor valor absoluto (ignorando el signo),tenemos:
Factor                A             C            D           E          B           e             e

Diferencia 0.1350                 0.0950       0.0400      0.0350     0.0200   -0.0200      0.0100

  Por cierto, podrá observar que el orden en que quedaron, es también el orden
de mayor a menor Fexp que se obtiene con la ANOVA.

     Siguiendo el orden anterior, se obtiene una gráfica como se muestra en seguida:




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.40
.35
.33
.30
.25
         A1   A2   C1 C2 D1 D2 E1 E2 B1 B2 e1 e2 e1 e2



  Mediante esta gráfica, se puede evaluar el efecto de cada factor. Entre mayor
sea la línea de cada factor, o bien, entre más vertical se encuentre, mayor será el
efecto de este factor.
  La práctica indica que observará un grupo de líneas inclinadas, seguida de un
grupo de líneas que súbitamente se “acuestan” o se hacen horizontales. Es de
esperar que las líneas que presentan columnas vacías o error aleatorio, quedan
prácticamente horizontales. El decidir hasta que factor es significante, sin
embargo, requiere un poco de práctica.
  Observe que las conclusiones a que se llega en este ejemplo son similares a las
de la ANOVA, esto es, factores significantes A, C, D y e, igualmente los niveles
recomendados se pueden identificar rápidamente, si deseamos reducir la variable
de respuesta, se toma el nivel más bajo, en este caso A 2, C2, D2 y E2, es decir, los
puntos por debajo de la línea promedio global.
  En conclusión,    puede utilizar el método gráfico para fines de exposición o
presentación y el ANOVA para fines de tomar una decisión más objetiva.
 Sin embargo, tome en cuenta que: ANTES HABRA QUE HACER UNA
CORRIDA DE COMPROBACION, BAJO LAS CONDICIONES PROPUESTAS,
PARA VERIFICAR QUE SE OBTIENEN LOS RESULTADOS ESPERADOS.
Ejemplo 3.2 ¿Qué arreglo ortogonal seleccionaría para investigar el efecto de los
factores A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, a dos niveles?

Ejemplo 3.3 Se considera que el acabado de una pieza metálica medida en
picos/pulgadas, se ve afectada con siete factores:

Factor        Descripción                      Nivel 1              Nivel 2
A             tipo de herramienta              tipo I               tipo               II
B             velocidad de corte               150 rpm              200              rpm
C             avance de la herramienta         0.01m/min            0.03
D             ángulo de corte                  10 grados            15 grados
E             porta herramientas               tipo I               tipo II
F             materia prima                    marca 1              marca 2
G             tipo de refrigerante             tipo I               tipo II



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  Se desea medir el efecto de los siete factores sobre la variable de respuesta en
picos por pulg. y se desea determinar las condiciones que maximizan la variable
de respuesta.
Por lo tanto se requiere de un L8 y se correrán 8 pruebas experimentales.
El arreglo que se tiene es:

                 tipo  vel.              porta
Nº A B C D E F G hmta corte avance ángulo hta m.p. lubri                            res

1    1    1   1   1   1   1   1   I     150     0.01    10       I      1      I     7
2    1    1   1   2   2   2   2   I     150     0.01    15       II     2      II    10
3    1    2   2   1   1   2   2   I     200     0.03    10       I      2      II    30
4    1    2   2   2   2   1   1   I     200     0.03    15       II     1      I     34
5    2    1   2   1   2   1   2   II    150     0.03    10       II     1      II    10
6    2    1   2   2   1   2   1   II    150     0.03    15       I      2      I     11
7    2    2   1   1   2   2   1   II    200     0.01    10       II     2      I     55
8    2    2   1   2   1   1   2   II    200     0.01    15       I      1      II    61


 Observe que en este caso, no quedan columnas vacías para evaluar el error
aleatorio. Se procede al análisis utilizando gráficas en primer lugar cada uno de los
factores.

    El número de datos es n= 8. El total de los datos T= Yi= 218
    El promedio global de los datos es Y= T7n= 218/8= 27.25

El total para cada uno de los niveles de cada factor es:

                   A      B        C       D      E      F       G
Nivel 1           81      38      133     102    109    112     107
Nivel 2           137     180     85      116    109    106     111
                  218     218     218     218    218    218     218

El promedio para cada nivel se obtiene dividiendo los totales entre cuatro (cada
total es la suma de cuatro lecturas)


                   A    B               C       D        E       F           G
Nivel 1           20.25   9.50         33.25    25.50   27.25   28.00       26.75
Nivel 2           34.25 45.00          21.25    29.00   27.25   26.50       27.75
Diferencia        14.00 35.50          12.00     3.50   00.00    1.50       1.00


    3) Construcción de las gráficas de respuesta.


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     Graficando en orden de mayor a menor diferencia se obtiene




B1   B2    A1    A2    C1    C2     D1   D2   F1   F2   G1   G2     E1   E2


Se puede observar en la gráfica, que aparentemente los factores B, A, C y D son
significantes, esto es, afectan a la variable de respuesta.

    4) Se determinan las mejores condiciones de operación
   Las condiciones de operación que maximizan la variable de respuesta
(rigurosidad en picos/pulg) son A2, B1, C1 y D2, ya que a esos niveles la respuesta
promedio es mayor.
Una estimación de la rugosidad, bajo las condiciones propuestas, se obtiene
evaluando el efecto de cada factor significante:

EF A2 = A2 - Y= 34.25-27.25= 7.00

EF B2 = B2 - Y= 45.00 – 27.25= 17.75

EF C1 = C1 - Y= 33.25 – 27.25= 6.00

EF D2 = D2 - Y= 29.00 – 27.25= 1.75

Yest = Y     + EF A2        + EF B2                     +    EF     C1     +    EF       D2
     =27.25+7.00+17.75+6.00+1.75=59.75

Observe que si se tuviera duda de considerar o no significante al factor D, la
diferencia en la respuesta es de solo 1.75, esto es, que si considera no significante
al factor D, entonces Yest= 58.00, lo cual no es muy diferente de 59.75.
Análisis utilizando ANOVA.

Si se utiliza ANOVA depués de calcular los totales, que ya se tienen para este
caso, se evalúa la suma de cuadrados. Por ejemplo, para el factor A se tiene
SSA= (A2 – A1 )2/8= (137 – 81) 2 /8= 392.0 con 1 g.l.

La tabla ANOVA completa es:



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Factor         SS            g.l.        V           Fexp.
A          392.00 1                 392.00
B            2520.50         1            2520.50
C            288.00          1            288.00
D            24.50           1            24.50
E            00.00           1            00.00
F            4.50            1            4.50
G            2.00            1            2.00

Total                        7

El hecho de no tener columnas libres para evaluar el error, no tuvo mucho impacto
cuando se utilizan gráficas. En este caso de la ANOVA, sin embargo, es
indispensable tener una estimación de la suma de cuadrados del error para
evaluar la Fexp.

Cuando no se tienen columnas libres, se utiliza la siguiente aproximación:
Considere el número total de grados de libertad, (número de columnas del arreglo
para casos a dos niveles) divídalo entre dos y redondeando hacia el número
menor:

7/2= 3.5  3

Según el número resultante, tome las sumas de cuadrados más pequeñas como
una estimación del error.


 En este ejemplo, se toman las 3 sumas de cuadrados más pequeñas, SSE, SSF y
SSG, de manera que:
(SSe)= SSe + SSF + SSG= 0.0+4.5+2= 6.5; con g.l. 1 + 1 + 1= 3 
Ve= SSe/3= 6.5/3= 2.166

Este tipo de estimaciones se escriben entre paréntesis en la tabla ANOVA
Factor         SS            g.l.        V           Fexp
A          392.0             1           392.0       180.9
B            2520.5          1           2520.5      1163.3
C            288.0           1           288.0       132.9
D            24.5            1           24.5        11.3
E            0.0             1           0.0           -
F            4.5             1           4.5           -
G            2.0             1           2.0           -
(e)          6.5             1           2.166




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Observe que ya no se evalúa el valor de la Fexp, para los factores considerados
como error.

En este ejemplo, los factores significantes coinciden con los que se encontraron al
utilizar gráficas. Así que los resultados son los mismos.

Ejemplo 3.4 En seguida, considere u ejemplo para el caso de nominal es mejor.

Se desea que el diámetro de una pieza que se ensambla en otra, sea
exactamente de 100 décimas de milímetro. Se considera que los siguientes
factores afectan el diámetro final:



Factor           Descripción                        Nivel 1             Nivel 2
A            Materia prima             marca 1                    marca 2
B              Velocidad de corte            600 rpm                    700 rpm
D              Prelavado                     si                         no
C              Contenido de carbono          1.40%                      1.45%
E              Temperatura de recocido       800 ºC                     900 ºC
F              Contenido de azufre           0.05%                      0.06%
G              Tipo de refrigerante          I                          II
H              Marca de herramienta          I                          II
I              Porta herramienta             1                          2
J              Tipo de horno                 I                          II
K              Angulo de corte               20º                        25º

Dado que requiere analizar 11 factores, se necesita utilizar un arreglo ortogonal
L12 sin dejar columnas vacías, los resultados son:
Nº     A B C D E F G H I J K                              Resultado

1        1   1      1   1      1   1   1    1   1     1   1       109.9900
2        1   1      1   1      1   2   2    2   2     2   2       116.0000
3        1   1      2   2      2   1   1    1   2     2   2       111.7297
4        1   2      1   2      2   1   2    2   1     1   2       114.9826
5        1   2      2   1      2   2   1    2   1     2   1       110.9567
6        1   2      2   2      1   2   2    1   2     1   1       102.7219
7        2   1      2   2      1   1   2    2   1     2   1       117.9736
8        2   1      2   1      2   2   2    1   1     1   2       123.6494
9        2   1      1   2      2   2   1    2   2     1   1       109.3784
10       2   2      2   1      1   1   1    2   2     1   2        96.1259
11       2   2      1   2      1   2   1    1   1     2   2       103.9904
12       2   2      1   2      2   1   2    1   2     2   1       108.6862

                                                    Total = T =   1326.1848


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Los totales para cada uno de los niveles de los factores son:
                 A B          C         D                   E              F
Nivel 1   666.3810 688.7211          665.4084                           659.4882
Nivel 2   659.8038 637.4637 663.1572 660.7764                           666.6966

              G              H             I          J                 K
Nivel 1       642.1710                     681.5430                     659.7066
Nivel 2       684.0138                     644.6424   669.3360          666.4782

Así por ejemplo. la suma de cuadrados para el factor I es:
SSI= (I2 – I1) 2/2= (644.6424 – 681.5430) 2//12= 113.4712

La tabla ANOVA completa es:

Efecto        SS                    g.l.         V              Fexp.

A             3.6047                1            3.6047         -
B                                                               99.4
C             0.0014                1            0.0014         -
D             1.7876                1            1.7876         -
    E
    F
G             145.9003              1            145.9003       66.2
H             1.8016                1            1.8016         -
I             113.4712              1
J             12.9967               1            12.9967        5.9
K             3.8207                1            3.8207         -
(e)

Dado que no se tiene una evaluación del error, se procede a la estimación. Se
tienen 11 grados de libertad entre dos y redondeando hacia abajo se obtiene 5.
Considerando las 5 sumas de cuadrados más pequeñas como se error se obtiene
que:

(SSe)= SSA + SSC +SSH + SSK=
Con 5 g.l.

Resultan significantes los factores B, E, G, I y J.

Con el objetivo de entender a que nivel fijar cada uno de los factores, esto se
realiza en etapas.




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  a) caso 1. Suponga, aunque no haya sido cierto en este ejemplo, que
     únicamente el factor B, velocidad de corte es significante.
     Dado que se trata de un factor cuantitativo, es factible realizar una
     interpolación como sigue:
      B1 (600 rpm)= B1/6= 688.7211/6= 114.7868
      B2 (700 rpm)= B2/6= 637.4637/6= 106.2439

Si B se fija a su nivel 1, entonces:
Yest= 110.5154 + (114.7868 – 110.5154)=114.7868

Si B se fija a su nivel 2, entonces:
Yest= 110.5154 + (106.2439 – 110.5154) = 106.2439

Dado que lo que se desea es una Y est de 110.0000 se puede hacer una
interopolación, (se recomienda que sea en forma gráfica).

120
      Yest
      110

105
100

              B1                    B2
              600 rpm               700 rpm

Por lo que se obtiene una Yest. de 110.0000 para una velocidad de corte
aproximadamente 656 rpm.

  b) Solamente el factor G resulta significante.

      Si se procede igual que en el caso anterior se tiene que:

  Yest= 107.0285 si G se fija a su nivel 1, refrigerante tipo I
      Yest= 117.0023 si G se fija a su nivel 2, refrigerante tipo II
      Sin embargo, el factor G tipo refrigerante, es cualitativo la cual implica que no
      se puede interpolar. En este caso, lo único que se puede decidir es fijar el
      factor al nivel al cual se acerca más al valor deseado, en nuestro caso, fijar G
      al nivel 1, para obtener una Yest de 107.0285.
      Si o el instructor en turno lo consideran pertinente, el siguiente caso se
      puede brincar, ya que como dicen en los libros, se puede continuar sin
      pérdida de generalidad).



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  c) Varios factores cualitativos y cuantitativos significantes.

     En este caso, la decisión es un tanto más elaborada. Se tiene que decidir en
     secuencia para cada uno de los factores procurando acercarse al valor
     nominal.
     Siempre se recomienda decidir primero para los factores cualitativos en
     orden de mayor a menor importancia. En seguida los cuantitativos también
     de mayor a menor importancia.
     En nuestro ejemplo original, resultaron significantes dos factores cuantitativos
     (B y E) y tres cualitativos (G, I y J). Los promedios para cada nivel son:
                     Cuantitativos                        Cualitativos
              G          I                J             B             E
Nivel 1       107.0285   113.5905         109.4747      114.7868      107.8005
Nivel 2       114.0025   107.4404         111.5561      106.2439      113.2305

Y= 110.5154
Se inicia con el factor cualitativo G, de acuerdo con el cado b) anterior se fija G a
su nivel 1 y se estima una Yest= 107.0285.

Para decidir sobre el factor I, la Yest hasta el momento es inferior al valor
deseado, por lo tanto, se desea aumentar la variable de respuesta. Esto se logra
fijando el factor I a su nivel 1. Con esto se obtiene:

Yest = 107.0285 + EF I1= 107.0285 + (113.5905 – 110.5154)
     = 110.1036

El factor J se fija a su nivel 1, ya que se desea bajar el valor actual del Yest.
Yest = 110.1036 + EF J1= 110.1036 + (109.4747 – 110.5154)
     = 109.0629

Partiendo del valor actual de Yest, si el factor B se fija a su nivel 1 (600 rpm), se
obtiene
Yest = 109.0629 + (B1 – Y)= 109.0629 + (114.7868 – 110.5154)
     = 113.3343

Si B se fija a su nivel 2 (700 rpm) se obtiene:
Yest = 109.0629 + (B2 – Y)= 109.0629 + (106.2439 – 110.5154)
     = 104.7914

Interpolando se obtiene que para B a 639 rpm se obtiene el valor deseado de Yest
= 110.0000




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Falta aún por decidir acerca del factor E. A fin de que su efecto sea nulo, (ya se
tiene el valor deseado de Yest), se debe fijar justo a la mitad del intervalo que se
probó, esto es, a 850 C ya que a ese nivel se obtendrá una respuesta igual a Y. El
resto de los factores por supuesto, se fijan a su nivel más económico.
Como se podrá dar cuenta, existen muchas otras combinaciones que dan el
resultado deseado, al considerar el aspecto económico se puede decidir por
alguna.

3.5 Resultados esperados en una corrida de comprobación o
confirmación

  El objetivo de la corrida de confirmación es checar la reproducibilidad de los
  resultados bajo las condiciones propuestas, ¿Qué puede suceder al efectuar la
  corrida?
  Considere el ejemplo 3 de la sección anterior. Si se realiza la corrida bajo las
  condiciones propuestas A2, B2, C1 y D2, se esperaría un resultado de 59.75.
  En la práctica será difícil que se presente exactamente el resultado de 59.75.
  Más bien habrá de esperar que el resultado quede en un intervalo que se puede
  definir como sigue:
  Yest  Fgl (Ve) / ne
  Donde Fgl= valor que depende de los grados de libertad del error aleatorio,
  según la siguiente tabla:
gl    1      2     3     4   5    6    7     8   9    10 11
Fgl 161.40 18.51 10.13 7.71 6.61 5.99 5.59 5.32 5.12 4.96 4.84

Ve=     valor de v para el error
en=     número total de lecturas/suma de los grados de libertad de los efectos que
        resultaron significantes, más uno.

      Se recomienda que este cálculo se efectúe después de que los efectos no
      significantes se sumen al error. Así, para el ejemplo se tiene lo siguiente; Yest=
  59.75; Ve= 2.166 de la tabla ANOVA; en= 8/(4 + 1)=1.6 (se tomaron 8 lecturas
  en total y son cuatro efectos significantes A, B, C y D).
Dado que el error tiene 3 grados de libertad entonces Fgl= 10.13

El intervalo por lo tanto es:


59.75  10.13(2.116) / 1.6 : 59.75  3.703; osea entre 56.047 y 63.453




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¿Qué hacer cuando se obtiene un valor fuera de este intervalo? Si el resultado es
mejor de lo esperado, se recomienda no hacer nada, pero si es peor, checar lo
siguiente:

     1. Checar si los niveles de los factores fueron demasiado estrechos.
     2. Analizar los factores potenciales de nuevo, ya que pudo haberse olvidado
        considerar un factor controlable que influye fuertemente.
     3. Checar por posibles interacciones.

Como ejemplo propuesto, analizar los resultados del siguiente arreglo L8

Nº       D        E   F        C    B      G     A      Yi
                                                        11
                                                        13
        3
        1 13 9
        8
        8



3.6 Diseños experimentales para factores con interacciones

     Los diseños de experimentos de Taguchi son similares a los diseños de
     experimentos clásicos, sin embargo en los de Taguchi solo se consideran los
     factores principales y las interacciones de dos factores, se asume que las
     interacciones de mayor orden no tienen efecto significativo. Adicionalmente los
     experimentadores deben utilizar su experiencia para anticipar cuales interacciones
     pudieran ser significativas antes de realizar los experimentos.
     Posteriormente se deben determinar los grados de libertad, que son la cantidad
     relativa de datos requeridos para estimar los efectos a ser analizados. Para los
     grados de libertad se siguen las reglas siguientes:
     1. La media general tiene un grado de libertad.
     2. Para cada factor A, B, …, sus grados de libertad son el número de niveles – 1
        (n-1).
     3. Para las interacciones, por ejemplo A y B, los grados de libertad son los (nA-
        1)*(nB-1) .

Por ejemplo en un experimento hay un factor A con dos niveles, 6 factores (B, C,
D, E, F, G) con 3 niveles y una interacción entre los factores A y B, los grados de
libertad son los siguientes:


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Factores                Grados de libertad
Media                        1
A                            2-1 = 1
B, C, D, E, F, G             6 x (3-1) = 12
AB                           (2-1)(3-1) = 2
Total                        16

Existe un fenómeno que se presenta en algunas situaciones en los procesos de
producción. Este fenómeno se llama interacción entre dos factores y se describen
en esta sección.

En los casos anteriores se asumió que el efecto de un factor sobre la variable de
respuesta, no dependía del nivel de otros factores. Cuando el efecto de un factor
depende del nivel de otro factor, se dice que existe una interacción entre los
factores.
  O sea, suponga que en un experimento se ha encontrado que la temperatura y el
tipo de refrigerante, afectan la variable de respuesta llamada planicidad. Existen
dos marcas de refrigerante, la marca I y la marca II. Resulta que si se usa el
refrigerante I, al aumentar la temperatura la planicidad aumenta. Pero si usa la
marca de refrigerante II, al aumentar la temperatura, la planicidad disminuye.

 Si se le pregunta cual es el efecto de la temperatura sobre la planicidad, lo único
que puede contestar es Depende. Depende de qué? del tipo de refrigerante que
use. En este caso se dice que existe una interacción entre la temperatura y el
refrigerante.

Otro ejemplo es el caso de 2 medicamentos que al suministrarse en forma
independiente, provocan mejoría en las condiciones del paciente. Por otro lado,
cuando los dos medicamentos son suministrados al mismo tiempo y la condición
del paciente empeora, se dice que los dos medicamentos interactúan.
Gráficamente se puede observar si existe o no interacción entre los factores:




  B1
  B1
  B2
  B2
            A1     A2                                    A1     A2

 Las dos líneas son paralelas, no          El efecto de A depende del nivel de B
existe interacción entre los factores.    y viceversa. El efecto de A no es
                                          consistente. Existe interacción.




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¿Cómo se puede dar cuenta antes del experimento que existe una interacción?,
no lo puede saber con certeza, pero una buena guía es la experiencia de
experimentos previos, por conocimiento del proceso y por la literatura.
 Las interacciones existen en los procesos en mayor o menor grado. Sin embargo,
no se preocupe demasiado si no puede identificar ninguna, al final de esta
elección se le indica que hacer.

 En las secciones anteriores se analizaron aplicaciones de arreglos ortogonales,
en los cuales no existían interacciones entre los factores principales. En otros
casos, podemos estar interesados en analizar el efecto que algunas interacciones
en particular tienen sobre la variable de respuesta.

 ¿Pero qué sucede cuando se desea incluir interacciones en un arreglo
ortogonal?, se puede decir lo siguiente:

a) los arreglos ortogonales a utilizar para los casos con interacciones, son
   exactamente los mismos que se usan para el caso sin interacciones.
b) al asignar dos factores, A y B por ejemplo, a ciertas columnas, automáticamente la
   interacción de esos dos factores AxB se reflejará en otra columna del arreglo. Por
   lo tanto, esta tercera columna ya no podrá ser utilizada por algún otro factor o
   interacción a menos que se pueda suponer la interacción AxB como inexistente.
c) una interacción significante que se desee probar, tomará una columna y en
   consecuencia un grado de libertad. Por lo tanto, isi deseamos analizar el efecto de
   6 factores y 4 de las interacciones entre ellos, requerimos por lo menos de 10
   grados de libertad, esto es de 10 columnas, o sea un arreglo L 16 y no un arreglo
   L8, que sería suficiente sin interacciones.
d) se deberá tener cuidado especial, en la manera como se asignan los factores a las
   columnas, para que sus interacciones no se confundan con otros factores
   principales u otras interacciones que también deseamos probar.

Una condición que existe para el manejo de las interacciones mediante
procedimientos de arreglos ortogonales Taguchi, es que se tenga una definición “a
priori “ de cuáles interacciones específicamente sospechamos que existen. Esto
es, debemos definir de antemano qué interacciones creemos son relevantes, a fin
de incluirlas en nuestro análisis.
Diseños experimentales
El diseño experimental de Taguchi sigue un proceso de tres pasos:
1. Determinar los grados de libertad totales (Df)
2. Seleccionar un arreglo ortogonal estándar por medio de las dos reglas siguientes:


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  Regla 1. El número de experimentos o corridas en el arreglo ortogonal >= Total Df.
  Regla 2. El arreglo ortogonal seleccionado deberá poder acomodar las
  combinaciones de niveles de factores en el experimento.
3. Asignar factores a las columnas apropiadas usando las reglas siguientes:

  Regla 1. Asignar interacciones de acuerdo a la gráfica lineal y tabla de
  interacciones.
  Regla 2. Usar técnicas especiales, tales como niveles artificiales y construcción de
  columnas, cuando el arreglo ortogonal original no puede acomodar los niveles de
  los factores en el experimento.
  Regla 3. Mantener algunas columnas vacías is no pueden ser asignadas todas las
  columnas.
  Se puede usar la tabla siguiente como referencia:
Arreglo      Número         Factores   Máximo         Número      De cols.      En niveles
ortogonal    De exper.      Máximos    2              3           4             5
L4           4              3          3
L8           8              7          7
L9           9              4                         4
L12          12             11         11
L16          16             15         15
L16’         16             5                                     5
L18          18             8          1              7
L25          25             6                                                   6
L27          27             13                        13
L32          32             31         31
L32’         32             10         1                          9
L36          36             23         11             12
L36’         36             16         3              13
L50          50             12         1                                        11
L54          54             26         1
L64          64             63         63
L64’         64             21                                    21
L81          81             40                        40


Para ayudar en la asignación de factores a un arreglo, se han desarrollado
gráficas lineales. Su aplicación se muestra mediante un ejemplo:
NOTA: En los ejemplos que siguen, para denotar una interacción entre dos
factores, A y B por ejemplo, se utiliza indistintamente la notación AB o AxB.




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Gráficas lineales
En el apéndice se muestra un arreglo L8 junto con una matriz triangular y dos
gráficas lineales. Estas se reproducen aquí para explicación.

L8             Col.1            Col.          Col.         Col.
                       Col. 2 3        Col. 4 5      Col. 6 7
Exp. No.
1              1       1        1      1      1      1     1
2              1       1        1      2      2      2     2
3              1       2        2      1      1      2     2
4              1       2        2      2      2      1     1
5              2       1        2      1      2      1     2
6              2       1        2      2      1      2     1
7              2       2        1      1      2      2     1
8              2       2        1      2      1      1     2

                       Matriz o tabla
                       de
                       interacciones
Columnas       1       2              3       4      5      6       7
1              (1)     3              2       5      4      7       6
2                      (2)            1       6      7      4       5
3                                     (3)     7      6      5       4
4                                             (4)    1      2       3
5                                                    (5)    1       2
6                                                           ¡(1)    6
7                                                                   (7)




    1                                                           3              2
3 5
  1
                           .7                                       5                  4
                                                                    6
2       6          4
         (a)
                                                                               (b)     7

La aplicación de gráficas lineales se muestra mediante una serie de ejemplos.
Ejemplo 3.6:
Supongamos que queremos analizar el efecto de cuatro factores A, B, C y D,
además de las interacciones AxB, AxC y AxD.



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1) Como primer paso, seleccionamos un arreglo ortogonal tentativo. Esto depende del
   número de efectos totales a analizar.

    4 factores + 3 interacciones= 7 efectos o columnas
2) Después de seleccionar un arreglo ortogonal tentativo, un L8 en este caso, el
   siguiente paso es desarrollar la gráfica lineal que deseamos, de acuerdo con las
   reglas mencionadas anteriormente:

    a) un efecto individual se representa con un punto.
    b) una interacción se representa mediante una línea que une los dos                    efectos
       individuales.

En nuestro caso esto procede como sigue:
Primero dibujamos cuatro puntos, uno para cada efecto.
                   A.   B.

      C.                D.
En seguida mostramos las interacciones que nos interesan, mediante líneas. Para
nuestro caso tenemos (gráfica de la izquierda):
    AxB                                              3
A              B                 1                          2

AxC                     AxD                                                  5
                                                            6
          C             D                                         7                    4

3) Identificamos la gráfica mostrada en el apéndice que más se parece a la gráfica
   deseada, y vemos que esta es la gráfica (2), (dibujada a la derecha de la anterior).
   Por lo tanto, podremos asignar el factor A a la columna 1, el factor B a la columna
   2, la interacción AxB a la columna 3, el factor D a la columna 4, la interacción AxD a
   la columna 5, el factor C a la columna 7 y la interacción AxC a la columna 6.

    Esto es:
               Columna 1     Columna 2   Columna 3   Columna 4   Columna 5       Columna 6    Columna 7
Exp. No.       A             B           AxB         D           AxD             AxC          C
1              1             1           1           1           1               1            1
2              1             1           1           2           2               2            2
3              1             2           2           1           1               2            2
4              1             2           2           2           2               1            1



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5            2            1           2           1           2            1               2
6            2            1           2           2           1            2               1
7            2            2           1           1           2            2               1
8            2            2           1           2           1            1               2



Supongamos que ahora queremos analizar un factor más, el factor E y creemos
que la interacción AxC realmente no es relevante. La gráfica lineal que requerimos
es:

                     B
          AxB
A            C       .E

    AxD
                     D
Esta gráfica es parecida a la gráfica lineal (2) excepto por la interacción de AxC,
por lo tanto, una asignación lógica es:
Factor A a la columna 1, factor B a la columna 2, interacción AxB a la columna 3,
el factor C a la columna 4, el factor D a la columna 7, la interacción AxD a la
columna 6. Por último, a la columna 5 que de otra manera sería la interacción
AxC, se le asigna el factor E.
Observe que en este último caso, también se pudo utilizar la gráfica lineal (1).
Si por alguna razón, la gráfica que deseamos, no puede quedar incluida en las
gráficas lineales (1) ó (2) es necesario usar otro arreglo ortogonal de mayor
tamaño.
Ejemplo 3.5:
Si deseamos analizar los factores A, B, C, D, E y F, además de la interacción AxB,
una posible asignación es:
             Columna 1    Columna 2   Columna 3   Columna 4   Columna 5    Columna 6       Columna 7
Efecto       A            D           C           B           AxB          E               F


Ejemplos adicionales 3.6:




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a) En un experimento hay 7 factores, se consideran sólo los efectos principales. Los
   grados de libertad son Df = 1 + 7(“-1) = 8. El arreglo ortogonal seleccionado debe
   tener al menos 8 corridas experimentales, en este caso puede ser un L8.
b) En un experimento hay un factor A de dos niveles y 6 factores de 3 niveles, B, C, D,
   E, F, G. Los grados de libertad son: Df = 1 + (2-1) +6(3-1) = 14. Por tanto se debe
   usar un arreglo ortogonal que la menos tenga 14 corridas experimentales. El L16
   tiene experimentos pero no puede acomodar 6 columnas de tres niveles. El arreglo
   ortogonal L18 tiene una columna para un factor de dos niveles y 7 columnas de 3
   niveles, por tanto es el arreglo a usar. La columna 8 se deja vacía.

L18         Col.1          Col.            Col.         Col.   Col. 8
                    Col. 2 3        Col. 4 5      Col. 6 7
Exp. No.    A       B      C        D      E      F     G      e
1           1       1      1        1      1      1     1      1
2           1       1      2        2      2      2     2      2
3           1       1      3        3      3      3     3      3
4           1       2      1        1      2      2     3      3
5           1       2      2        2      3      3     1      1
6           1       2      3        3      1      1     2      2
7           1       3      1        2      1      3     2      3
8           1       3      2        3      2      1     3      1
9           1       3      3        1      3      2     1      2
10          2       1      1        3      3      2     2      1
11          2       1      2        1      1      3     3      2
12          2       1      3        2      2      1     1      3
13          2       2      1        2      3      1     3      2
14          2       2      2        3      1      2     1      3
15          2       2      3        1      2      3     2      1
16          2       3      1        3      2      3     1      2
17          2       3      2        1      3      1     2      3
18          2       3      3        2      1      2     3      1



c) En un experimento hay 9 factores de dos niveles, A, B, C, D, E, F, G, H, I y las
   interacciones AB, AC, AD y AF se piensa que pueden presentarse.

  Los experimentos necesarios son al menos Df = 1 + 9(2-1) + 4(2-1)(2-1) = 14
  El diseño L16 tiene 16 corridas experimentales y puede acomodar hasta 15
  factores o sus interacciones en dos niveles. Usando la gráfica lineal para identificar
  las columnas de las cuatro interacciones se tiene:
  A(1)


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         C(6)              7                13             D(12)              G(11)

                           3                9                                 15         I(14)

                B(2)                 10          F(8)              E(4)                          H(5)

Las columnas 3, 7, 9 y 13 se dejan vacías para evitar confundir los efectos
principales con las interacciones de dos factores.
El arreglo queda como sigue:


L16       1     2      3   4    5           7     8    9     10 11 12 13 14 15
                                      6
Exp.      A     B      AB E     H     C     AC F
No.                                                    AF e        G   D   AD I      E
1         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2         1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
….        …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….



d) En un experimento hay 6 factores con 3 niveles A, B, C, D, E, F y las interacciones
   probables AB, AC, y BC.

  Los experimentos necesarios son: Df = 1 + 6(3-1) + 3(3-1)(3-1) = 25. El arreglo L27
  tiene 27 corridas experimentales y puede acomodar 13 factores de 3 niveles. En
  base a su gráfica lineal se tiene:

  A(1)
                                                      D(9)     E(10)       F(12)      e(13)
                 3,4           6,7

         B(2)                             C(5)


Las columnas 3, 4, 6, 7, 8, y 11 se dejan vacías para evitar confusión de efectos
principales con las interacciones AB, AC, y BC.




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Técnicas especiales
Algunas veces se requiere tener algunos factores con diferentes niveles en el
mismo experimento, por ejemplo cuatro o más niveles, para esto se utilizan
algunas técnicas especiales.
Combinación de columnas
Se pueden combinar varias columnas de bajo nivel en una columna de mayor
nivel.
a) Creación de una columna de cuatro niveles usando columnas de dos niveles:

Se requieren tres columnas de dos niveles para crear una columna de 8 niveles,
como cada columna tiene un grado de libertad, y una de cuatro niveles tiene tres
grados de libertad, se requieren tres columnas, que se forman con dos columnas y
la columna de su interacción.
Por ejemplo si se hay dos factores en un experimento A y B, con A un factor de
cuatro niveles y B un factor de dos niveles. La interacción AB puede ser
significativa. Calculando los grados de libertad se tiene:
Df = 1 + (4-1) + (2-1) + (4-1)(2-1) = 8
Por lo que se puede utilizar el arreglo L8 como sigue:
L8          Col.1          Col.            Col.         Col.
                    Col. 2 3        Col. 4 5      Col. 6 7
Exp. No.
1           1       1      1        1      1      1     1
2           1       1      1        2      2      2     2
3           1       2      2        1      1      2     2
4           1       2      2        2      2      1     1
5           2       1      2        1      2      1     2
6           2       1      2        2      1      2     1
7           2       2      1        1      2      2     1
8           2       2      1        2      1      1     2

Combinando las columnas 1, 2 y 3 se tiene:




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A        1

     3             AB(5)
    2 B(4)
      AB(6)                                     7

L8             Col.1         Col.   Nueva
                       Col. 2 B
Exp. No.
1              1       1     1
2              1       1     1
3              1       2     2
4              1       2     2
5              2       1     3
6              2       1     3
7              2       2     4
8              2       2     4



L8            Col.         Col.             Col.
              nueva Col. 4 5        Col. 6 7
Exp. No.
1             1        1    1       1       1
2             1        2    2       2       2
3             2        1    1       2       2
4             2        2    2       1       1
5             3        1    2       1       2
6             3        2    1       2       1
7             4        1    2       2       1
8             4        2    1       1       2

Calculando los grados de libertad de AB se tiene Df = (4-1)(2-1) = 3, por tanto se
deben utilizar tres columnas; las columnas 5 y 6 están relacionadas con la
interacción de AB; también su columna 3 al interaccionar con la columna 4 (AB) la
interacción se presenta en la columna 7 de la gráfica lineal L8 siguiente:




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                     Matriz o tabla
                     de
                     interacciones
Columnas       1     2              3       4     5      6      7
1              (1)   3              2       5     4      7      6
2                    (2)            1       6     7      4      5
3                                   (3)     7     6      5      4
4                                           (4)   1      2      3
5                                                 (5)    1      2
6                                                        ¡(1)   6
7                                                               (7)



Y la gráfica lineal queda como sigue:



A      1

    3 AB(5)
           2                      B(4)
                     AB(6)                                AB(7)


El arreglo ortogonal resultante es el siguiente:
L8             A             AB             AB
                     B              AB
Exp. No.
1              1     1       1      1       1
2              1     2       2      2       2
3              2     1       1      2       2
4              2     2       2      1       1
5              3     1       2      1       2
6              3     2       1      2       1
7              4     1       2      2       1
8              4     2       1      1       2



Técnica de nivel artificial
Se utiliza para asignar un factor con m niveles a una columna con n niveles, donde
n > m. Se puede aplicar la técnica de nivel artificial para asignar un factor de 3
niveles a un arreglo ortogonal de 2 niveles.




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Por ejemplo, si en un experimento hay 1 factor de 2 niveles A, y 3 factores de 3
niveles B, C, D. Los grados de libertad son los siguientes:
Df = 1 + (2-1) + 3(3-1) = 8
El arreglo L8 no puede acomodar este diseño porque solo tiene columnas de 2
niveles, se requiere un arreglo mayor como el L9 que puede acomodar hasta 4
factores de tres niveles, de esta forma se puede utilizar una columna para el factor
A en 2 niveles y los factores B, C, y D a otras 3 columnas como sigue:
El arreglo L9 original es:
L9          Col.1          Col.
                    Col. 2 3        Col. 4
Exp. No.    A       B      C        D
1           1       1      1        1
2           1       2      2        2
3           1       3      3        3
4           2       1      2        3
5           2       2      3        1
6           2       3      1        2
7           3       1      3        2
8           3       2      1        3
9           3       3      2        1

En este caso los 1’ indican que se asignó el nivel 1 en lugar del nivel 3 en la
columna 1, también se pudo haber asignado el nivel 2. El nivel seleccionado a
duplicarse debe ser el nivel del cual nos gustaría obtener más información.
Y el arreglo modificado queda como:
L9          Col.1            Col.
                    Col. 2 3        Col. 4
Exp. No.    A       B        C      D
1           1       1        1      1
2           1       2        2      2
3           1       3        3      3
4           2       1        2      3
5           2       2        3      1
6           2       3        1      2
7           1’      1        3      2
8           1’      2        1      3
9           1’      3        2      1




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Por ejemplo en otro experimento se tiene un factor A en 3 niveles, 7 factores en 2
niveles B, C, D, E, F, G, H así como sus interacciones BC, DE y FG.
Determinado los grados de libertad se tiene:
Df = 1 + (3-1) + 7(2-1) + 3(2-1)(2-1) = 13
El arreglo L16 tiene 16 corridas experimentales y puede acomodar hasta 15
factores de 2 niveles. La columna A se formará tomando 3 columnas que se
pueden ser seleccionar de sus correspondientes gráficas lineales.
El arreglo original es:
L16         1     2       3   4     5           7   8     9      10   11     12   13    14   15
                                         6
Exp. No.
1           1     1       1   1     1    1      1   1     1      1    1      1    1     1    1
2           1     1       1   1     1    1      1   2     2      2    2      2    2     2    2
3           1     1       1   2     2    2      2   1     1      1    1      2    2     2    2
4           1     1       1   2     2    2      2   2     2      2    2      1    1     1    1
5           1     2       2   1     1    2      2   1     2      2    2      1    1     2    2
6           1     2       2   1     1    2      2   2     1      1    1      2    2     1    1
7           1     2       2   2     2    1      1   1     2      2    2      2    2     1    1
8           1     2       2   2     2    1      1   2     1      1    1      1    1     2    2
9           2     1       2   1     2    1      2   1     2      1    2      1    2     1    2
10          2     1       2   1     2    1      2   2     1      2    1      2    1     2    1
11          2     1       2   2     1    2      1   1     2      1    2      2    1     2    1
12          2     1       2   2     1    2      1   2     1      2    1      1    2     1    2
13          2     2       1   1     2    2      1   1     2      2    1      1    2     2    1
14          2     2       1   1     2    2      1   2     1      1    2      2    1     1    2
15          2     2       1   2     1    1      2   1     2      2    1      2    1     1    2
16          2     2       1   2     1    1      2   2     1      1    2      1    2     2    1

Sus gráficas lineales son las siguientes:
       1              B(4)              D(5)            F(7)          H(6)


      3               BC(12)            DE(15)          FG(14)        13



       2              C(8)              E(10)           G(9)          11

A




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Las columnas 1, 2 y 3 se pueden combinar para formar la columna A y todos los
demás factores e interacciones.
Después se pude utilizar la técnica de la variable artificial para acomodar al factor
A.
L16         1, 2, 3     4    5      6
                                         7   8   9      10   11   12     13   14    15
Exp. No.     A          B    D      H    F   C   G      E    e    BC     e    FG    DE
1           1           1    1      1    1   1   1      1    1    1      1    1     1
2           1           1    1      1    1   2   2      2    2    2      2    2     2
3           1           2    2      2    2   1   1      1    1    2      2    2     2
4           1           2    2      2    2   2   2      2    2    1      1    1     1
5           2           1    1      2    2   1   2      2    2    1      1    2     2
6           2           1    1      2    2   2   1      1    1    2      2    1     1
7           2           2    2      1    1   1   2      2    2    2      2    1     1
8           2           2    2      1    1   2   1      1    1    1      1    2     2
9           3           1    2      1    2   1   2      1    2    1      2    1     2
10          3           1    2      1    2   2   1      2    1    2      1    2     1
11          3           2    1      2    1   1   2      1    2    2      1    2     1
12          3           2    1      2    1   2   1      2    1    1      2    1     2
13          1’          1    2      2    1   1   2      2    1    1      2    2     1
14          1’          1    2      2    1   2   1      1    2    2      1    1     2
15          1’          2    1      1    2   1   2      2    1    2      1    1     2
16          1’          2    1      1    2   2   1      1    2    1      2    2     1



Método del factor compuesto
Este método se usa cuando el número de factores excede al número de columnas
en el arreglo ortogonal.
Por ejemplo si se quieren 2 factores de 2 niveles A y B y 3 factores C, D y E en 3
niveles, y la dirección sólo permite 9 experimentos. Suponiendo que se ha
seleccionado el arreglo L9, sólo 4 factores pueden asignados en el arreglo l9, de
modo que estamos tratando de asignar estos factores de 2 niveles A y B en 1
columna de 3 niveles.
Hay cuatro combinaciones para A y B: A1B1, A1B2, A2B1 y A2B2, dado que la
columna tiene sólo 3 niveles, sólo se pueden seleccionar 3 combianciones tales
como (AB)1 = A1B1, (AB)2 = A1B2 y (AB)3 = A2B1. El factor compuesto AB puede
ser asignado a la columna de 3 niveles.



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El arreglo original es:
L9         Col.1 Col. Col. Col.
                 2    3    4
Exp.       A     B    C    D
No.
1          1       1     1    1
2          1       2     2    2
3          1       3     3    3
4          2       1     2    3
5          2       2     3    1
6          2       3     1    2
7          3       1     3    2
8          3       2     1    3
9          3       3     2    1

El arreglo modificado queda como:
L9         Col.1          Col. Col. Col.
                          2    3    4
Exp.       AB             C    D       E
No.
1          (AB)1          1    1       1
2          (AB)1          2    2       2
3          (AB)1          3    3       3
4          (AB)2          1    2       3
5          (AB)2          2    3       1
6          (AB)2          3    1       2
7          (AB)3          1    3       2
8          (AB)3          2    1       3
9          (AB)3          3    2       1

Se pierde cierta ortogonalidad, los factores compuestos no son ortogonales entre
sí, pero si lo son con los otros factores.
Un ejemplo completo con una réplica se muestra a continuación:
Ejemplo 3.7: Diseño experimental L8 completo:
Se desea analizar un nuevo tipo de carburador. La variable de respuesta de
interés es el porcentaje de hidrocarburos no quemados que arroja el motor. Cuatro
diferentes factores y tres interacciones parecen afectar esta variable:

Efecto         Descripción                 Nivel bajo 1   Nivel alto 2
A              Tensión del diafragma       Baja           Alta



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B           Entrada para aire                Estrecha       Abierta
            Apertura                  para
C           combustible                      Pequeña        Grande
D           Flujo de gasolina                Lento          Rápido
AxC         Interacción
AxB         Interacción
BxC         Interacción

Gráfica lineal que se desea es:
  A
AxC             AxB


C                B               .D
    CxB
Esta gráfica se ajusta a la gráfica lineal (1) del arreglo ortogonal L8, por lo que una
asignación apropiada de efectos es:


L8          Col.1            Col.             Col.             Col.
                      Col. 2 3         Col. 4 5         Col. 6 7
Exp. No.    A         C      AxC       B      AxB       BxC D         Tensión Apertura Entrada Flujo       Yi
1           1         1      1         1        1       1      1      Tipo I      5%        10 seg    3%   0.49
2           1         1      1         2        2       2      2      Tipo I      5%        10 seg    5%   0.42
3           1         2      2         1        1       2      2      Tipo I      10%       15 seg    3%   0.38
4           1         2      2         2        2       1      1      Tipo I      10%       15 seg    5%   0.3
5           2         1      2         1        2       1      2      Tipo II     5%        15 seg    3%   0.21
6           2         1      2         2        1       2      1      Tipo II     5%        15 seg    5%   0.24
7           2         2      1         1        2       2      1      Tipo II     10%       10 seg    3%   0.32
8           2         2      1         2        1       1      2      Tipo II     10%       10 seg    5%   0.28

  Total = 71.6
El resultado se expresa en porcentaje de hidrocarburos sin quemar.
Observe que al tomar las lecturas, (efectuar las pruebas), se ignoran las columnas
donde se asignaron interacciones.
El análisis utilizado ANOVA es:
                  A         C   AxC   B   AxB BxC    D
Nivel 1         36.2      36.9 42.5 36.8 35.4 36.3 35.5
Nivel 2         35.4      34.7 29.1 34.8 36.2 35.3 36.1

La tabla ANOVA que resulta es:



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Efecto           SS          G.l.      V         Fexp
A             0.0800*        1      0.0800         -
C             0.6050         1      0.6050       8.85
AxC           22.4450        1      22.4450      328.46
B             0.5000         1      0.5000       7.32
AxB           0.0800*        1      0.0800         -
BxC           0.1250         1      0.1250       1.83
D             0.0450*        1      0.0450         -
(e)           0.2050         3      0.0638
Total         23.8800        7

El error aleatorio (e) se estima usando los efectos más pequeños marcados con *.
Resulta significante la interacción AxC, el factor C y el factor B.
Dado que el factor B resulta significante, pero no son significantes alguna de sus
interacciones, su mejor nivel se puede decidir de manera independiente al igual
que se realizó en secciones anteriores. Esto es, se obtienen los promedios:
B1= B1 /4= 36.8/4= 9.20; B2 = B2/4=8.70


Como es un caso de menor es mejor, se selecciona el nivel 2.

El factor C también resulta significante. Sin embargo, también lo es su interacción
con el factor A. Cuando resulta significante la interacción de algún factor, no se
puede analizar por separado, sino en conjunto con el factor con el que se
interactua. En este caso, el factor C se debe analizar en conjunto con el factor A,
aun cuando el factor C resultó además significante individualmente y el factor A
no.
Para analizar estos factores, se reproducen aquí las columnas de A y C:
Nº       A    C      Yi
1        1    1      11.20                Siempre existirán entre dos columnas
2        1    1      10.80                cuatro posibles combinaciones de
3        1    2      7.2                  números: 1 1; 1 2; 2 1; 2 2
4        1    2      7.0
5        2    1      8.0
6        2    1      6.9
7        2    2      10.4
8        2    2      10.1




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Así la combinación 1 1 se presenta en los renglones Nº 1 y 2, lo que da un total
de lecturas de 11.2 + 10.8= 22.00 con un promedio de 22.0/2= 11.00
La combinación 1 2, se presenta en los renglones Nº 3 y 4, con un total de 7.2 +
7.0= 14.2, con un promedio de 14.2/2= 7.10
La combinación 2 1 se presenta en los renglones Nº 5 y 6, con un total de 8.0 +
6.9= 14.9, con un promedio de 7.45
Por último la combinación 2 2, se presenta en los renglones Nº 7 y 8 con un total
de 10.4 + 10.1= 20.5 y un promedio de 10.25
En resumen
Combinación          Total           Promedio
A1 C1       22.0             11.00              Como es un caso mejor,
A1 C2       14.2             7.10               se selecciona el promedio
A2 C1       14.9             7.45               menor, A1 C2 en este
A2 C2       20.5             10.25              caso.

Graficando estos promedios se tiene que:
11.0
10.0
9.00
8.00
7.00
  A1       A2
En resumen, las condiciones propuestas son: factor A a su nivel 1, factor C a su
nivel 2, factor B a su nivel 2. El resto a su nivel más económico.
El efecto respecto al promedio de cada factor o interacción es:
EF     A1C2 = (A1C2 - Y) – (A1 – Y) - (C2 - Y)
            = (7.10 – 8.95) – (9.05 – 8.95) – (8.675 – 8.95)= -1.675

Observe que al efecto de la interacción, se le resta el efecto de los factores
individuales que intervienen (hayan resultado significantes de manera individual o
no).
EF B2= B2 – Y= 8.70 – 8.95= -0.25




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Una estimación del porcentaje de hidrocarburos sin quemar es igual a la suma de
los efectos significantes, incluyendo los factores que intervienen en una
interacción significante, hayan resultado significantes de manera individual o no.
Yest = Y + EF A1 C2 + EF A1 + EF C2 + EF B2
     = 8.95 + (-1.675) + (9.05 – 8.95) + (8.675 – 8.95) + (-0.25)= 6.85


Análisis de datos experimentales de Taguchi
Hay muchas similaridades entre el análisis de experimentos de Taguchi y el
método “clásico”-
En el método Taguchi lo siguiente es muy importante:
1. Análisis de varianza
2. Gráfica de efectos principales y gráfica de interacciones.
3. Optimización y predicción de la respuesta esperada.
Análisis de varianza - ANOVA
No hay diferencia real entre el ANOVA clásico y el de Taguchi. Primero se
determinan las sumas de cuadrados (SS), después los cuadrados medios (MS)
dividiendo los SS entre los grados de libertad correspondientes.. En Taguchi la
prueba F no es tan importante como en el método clásico, algunas veces la
importancia relativa de cada factor se determina por su porcentaje de contribución
a la suma de cuadrados total.
Para cada columna, la suma de cuadrados es:


      k         T2
         Tt  Nxn
         k
SS           2

     Nxn t 1

Donde:
K = número de niveles
Tt = Suma de respuestas en el nivel t
N = Número total de corridas experimentales
n = Número de réplicas
Ejemplo 3.8: Uso de Minitab



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Se estudia el efecto de varios factores en la porosidad:
Factores                      Bajo          Alto
A Temperatura del Molde       A1            A2
B Temperatura del químico     B1            B2
C Rendimiento                 C1            C2
E Índice                      D1            D2
G Tiempo de curado            G1            G2



Se deben considerar las interacciones AB y BD.
L8         Col.1            Col.           Col.            Col.
                   Col. 2 3          Col. 4 5        Col. 6 7     Porosidad
Exp. No.   A       B        AxB      D     E         BD    G      Y1          Y2
1          1       1        1        1     1         1     1      26          38
2          1       1        1        2     2         2     2      16          6
3          1       2        2        1     1         2     2      3           17
4          1       2        2        2     2         1     1      18          16
5          2       1        2        1     2         1     2      0           5
6          2       1        2        2     1         2     1      0           1
7          2       2        1        1     2         2     1      4           5
8          2       2        1        2     1         1     2      5           3

Entonces se determina SSA:


        2                 T2
SS A      (TA1  TA2 ) 
              2    2

       8x2                8x2

TA1 = 26 + 38 + 16 + 6 + 3 + 17 = 140              TA2 = 0 + 5 + 0 + 1 + 4 + 5 + 5 + 3 = 23
T = suma total = 163
SSA = 2/16 ( 140^2 + 23^2 ) – 163^2 / 16 = 27.56
De manera similar:
SSB = 27.56
SSAB = 115.56
SSE = 33.06
SSBD = 217.56
SSG = 175.56



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          N
                T2
                 n
SST   y             2
                        ij
      i 1 j 1 Nxn
SST = (26^2+38^2+….+5^2+3^2)-163^2/16 = 1730.44
De Minitab se tiene:
General Linear Model: Y1 versus A, B, D, E, G
Factor   Type        Levels   Values
A        fixed            2   1, 2
B        fixed            2   1, 2
D        fixed            2   1, 2
E        fixed            2   1, 2
G        fixed            2   1, 2


Analysis of Variance for Y1, using Adjusted SS for Tests
  Model
Source      DF       Reduced DF     Seq SS   % de contribución
A            1                1     855.56   49.44%
B            1                1      27.56    1.59%
D            1                1      68.06    3.93%
E            1                1      33.06    1.91%
G            1                1     175.56   10.15%
A*B          1                1     115.56    6.68%
B*D          1                0+      0.00   10.15%
Error        8                9     455.06   13.72%
Total       15               15    1730.44

 Rank deficiency due to empty cells, unbalanced nesting, collinearity, or an
  undeclared covariate. No storage of results or further analysis will be done.

S = 7.11073 R-Sq = 73.70% R-Sq(adj) = 56.17%

En Taguchi normalmente se utilizan los porcentajes de las contribuciones de las
sumas de cuadrados para evaluar la importancia relativa de cada efecto, como
sigue:

SST  SSA  SSB  SSAB  SSD  SSE  SSBD  SSG  SSerror

SSA SSB           SSerror
        ......          100%
SST SST            SST

Los efectos que tienen el porcentaje de contribución más alto se consideran que
tienen más influencia en la respuesta, en este caso:


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A             con 49%
BD        con 12.57%
G         con 10.15%
AB        con 6.68%.

Gráficas factoriales de efectos principales y de interacciones.
Se calculan los promedios de las respuestas correspondientes a cada nivel o
combinación de factores, se ilustra con el ejemplo:
Para las gráficas de efectos principales e interacciones se calculan los promedios
en cada nivel de cada factor:

        26  38  16  6  3  17  18  16
Y A1                                        17.5
                         8
        0  5  0 1 4  5  5  3
YA2                                  2.875
                     8

Y así se calculan los promedios para los otros factores.
Least Squares Means for Y1
     Mean SE Mean
A
 1       17.500    1.926
 2        2.875    1.926
B
 1       11.500    1.926
 2        8.875    1.926
AxB
 1       12.875    1.926
 2        7.500    1.926
D
 1       12.250    1.926
 2        8.125    1.926
E
 1       11.625    1.926
 2        8.750    1.926
BD
 1       13.875    1.926
 2        6.500    1.926
G
 1       13.500    1.926
 2        6.875    1.926




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                           Main Effects Plot (data means) for Means
                           A                       B                  D


                  15


                  10
  Mean of Means




                  5


                       1        2          1           2        1             2
                           E                       G


                  15


                  10


                  5


                       1        2          1           2




Para el caso de la interacción significativa BD se analiza la respuesta promedio en
cada una de sus diferentes combinaciones:

           26  38  0  5
YB1D1                      17.25
                  4
           16  6  0  1
YB1D 2                    5.75
                 4
           3  17  4  5
YB 2 D1                   7.25
                 4
           18  16  5  3
YB 2 D 2                   10.5
                  4

Obteniendo la siguiente gráfica de interacción:




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                      Interaction Plot (data means) for Means
                                   1         2

   20                                                                          A
                                                                               1
                                                                               2
   10            A



    0
                                                                    20         B
                                                                               1
                                                                               2
                                       B                            10



                                                                    0
   20                                                                          E
                                                                               1
                                                                               2
   10                                                      E



    0
           1           2                             1          2




Optimización y predicción de la respuesta esperada
La Optimización implica encontrar la combinación de los niveles de los factores
significativos que proporcione la respuesta óptima, la cual depende del objetivo
buscado:
     Menor es mejor (como en el ejemplo)
     Mayor es mejor
     Nominal es mejor

De la gráfica anterior, se observa que A y G deben estar en nivel 2, B debe estar
en 1 y D en nivel 2.
La predicción de la respuesta de este problema es:

y  y A 2  y G 2  y B1D 2  2T
ˆ
T  T /( Nn)

Yest = 2.875 + 6.875 + 5.75 – 3x10.188 + 10.188 = -4.873

Ejemplo 3.9: Experimentos con 3 niveles




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Tres fertilizantes se aplican a la soya (N, P2O5) y K2O), la respuesta de interés es
el rendimiento promedio en Kg. Por área, los factores son asignados como sigue:
                             Niveles
Factores            1        2            3
A Nitrógeno         0.5      1            1.5
B Ácido fosfórico   0.03     0.6          0.9
C Potasa            0.04     0.7          1



Se usa el arreglo L9 con un arreglo como el siguiente:
L9                  Col.1    Col. 2
                                          Col. 3       Col. 4   Respuesta
Exp. No.            A        B            e            C        Rendim.
1                   1        1            1            1        8
2                   1        2            2            2        12
3                   1        3            3            3        9
4                   2        1            2            3        11
5                   2        2            3            1        12
6                   2        3            1            2        15
7                   3        1            3            2        21
8                   3        2            1            3        18
9                   3        3            2            1        20

Otra vez utilizando las fórmulas:


      k         T2
         Tt  Nxn
         k
SS           2

     Nxn t 1
           N
                T2
                n
SST   y             2
                        ij
      i 1 j 1 Nxn

Se obtienen los resultados siguientes:
SSA = 158
SSB = 2.667
SSC = 18.667
SST = 180
Los porcentajes de contribución de cada factor son:



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A             con 87.78%

C         con 10.37%

B         con 1.48%

Para la obtención de las gráficas factoriales se estiman los promedios en los
diferentes niveles de los factores como sigue:

         8  12  9
Y A1                9.67
              3
         11  12  15
YA2                   12.67
                3
         21  18  20
Y A3                   19.67
                3

Se sigue el mismo procedimiento para el caso de B y C.
Response Table for Means
Level        A      B        C
1 9.667 13.333 13.333
2 12.667 14.000 16.000
3 19.667 14.667 12.667
Delta     10.000     1.333       3.333
Rank           1         3           2




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                             Main Effects Plot (data means) for Means
                                   A                               B
                  20.0

                  17.5

                  15.0

                  12.5
  Mean of Means




                  10.0
                         1         2          3         1          2    3
                                   C
                  20.0

                  17.5

                  15.0

                  12.5

                  10.0
                         1         2          3




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Problemas propuestos
    1. ¿Puede acomodar en un arreglo L8 los efectos A, B, C, D, AxB y CxD?


    2. Acomodar los siguientes efectos en un arreglo ortogonal: A, B, C, D, E, F, G, H,
       I, AxB, AxC, AxG, AxE, ExF
    .
    3. Analizar el problema siguiente:

Variable de respuesta, viscosidad, el mayor valor es deseado.
  Factores                     Nivel I       Nivel II
A         Mezcla de hule crudo         si            no
B     Curado                           no            24 hrs.
C     Velocidad de prensado            50m/min       55                               m/min
D     Enfriamiento del tambor          con agua      sin agua
E     Secado con vapor envolvente      si            no
      Interacción ExD
      Interacción DxC


Arreglo ortogonal y resultados
L8          Col.1          Col.            Col.         Col.
                    Col. 2 3        Col. 4 5      Col. 6 7
Exp. No.    E       D      ExD      C      B      DxC   A      Yi
1           1       1      1        1      1      1     1      0.49
2           1       1      1        2      2      2     2      0.42
3           1       2      2        1      1      2     2      0.38
4           1       2      2        2      2      1     1      0.3
5           2       1      2        1      2      1     2      0.21
6           2       1      2        2      1      2     1      0.24
7           2       2      1        1      2      2     1      0.32
8           2       2      1        2      1      1     2      0.28



3.7 Algunos comentarios adicionales

    Hasta aquí se han considerado ejemplos para arreglos ortogonales L8, por su
    comodidad en cuanto al tamaño. A continuación se hacen algunos comentarios
    sobre otros arreglos.
 El arreglo L12 es un caso especial. Se observa en el apéndice, que no se
  muestran gráficas lineales ni matriz de interacciones, esto es porque está diseñado

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   para analizar únicamente hasta once factores individuales sin interacciones. Con
   este arreglo no se pueden analizar interacciones.

Las interacciones en un arreglo L12 se distribuyen de una manera uniforme en
todas las columnas. La ventaja de esto es que le permite investigar 11 factores sin
preocuparse por sus interacciones. El arreglo L12 en general tiene buena
reproducibilidad de conclusiones.
Algo similar se puede decir del arreglo L18
 Para un arreglo L16 existen una gran variedad de posibles gráficas lineales, en el
  apéndice se muestran las seis más utilizadas con tres variantes cada una.
 Para un arreglo L32 se muestran en el apéndice 13 diferentes gráficas dentro de
  las varias posibles que existen.
 En cualquier caso, se puede tratar de construir más gráficas de acuerdo con las
  necesidades que se tengan, respetando siempre la matriz de interacciones.
 En los gráficos lineales que se anexan en el apéndice, se observa que los vértices
  se representan con diferentes símbolos, específicamente con o,  y . La razón y
  su significado es el siguiente:

Taguchi sugiere que las pruebas o corridas se lleven a cabo en el orden indicado
por los renglones del arreglo ortogonal, esto es, primero las condiciones indicadas
por el renglón 1, seguidas de las del renglón 2 y así sucesivamente.
Por otra parte, al ejecutar el experimento, no todos los factores tienen la misma
flexibilidad de estar variando de nivel de una prueba a otra.
Por otro lado, se sugiere que los factores con menor flexibilidad se asignen al
grupo 1 del arreglo representados por el símbolo o, de la gráfica lineal. Estos
factores tendrán menos cambios de nivel a lo largo de todo el experimento. De
hecho, observe que el factor asignado a la columna 1 de cualquier arreglo, solo
tiene un cambio de nivel, mientras que por ejemplo, un factor asignado a la
columna Nº 15 de un arreglo L16 cambia 10 veces de nivel.
Los factores que le siguen en inflexibilidad se deberán asignar sucesivamente a

los símbolos ,    y  en una gráfica lineal.
Habrá observado ya la complicación que agregan a los análisis la presencia de
interacciones. Para lidiar con estas, la gente que sabe mucho de esto le hace las
observaciones siguientes:


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 Por lo general, existen pocas interacciones dentro de las múltiples posibles entre
  factores.
 El efecto de las interacciones sobre la variable de respuesta, es por lo general
  menor que el efecto de los factores individuales solos.
 Recuerde que algunos arreglos ortogonales, le permiten analizar un problema sin
  preocuparse por las interacciones. El L12 es un ejemplo de ellos.
 Se sugiere que, en caso de dudas sobre las interacciones, siempre sea preferible
  incluir más factores, en lugar de interacciones. Si estas últimas no son muy
  fuertes, se pueden considerar como ruido.




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4. DISEÑO DE PARÁMETROS CON ANÁLISIS DE SEÑAL
A RUIDO
4.1 Introducción
Como recordará, en el capítulo I se comentó que el objetivo fundamental de la
ingeniería de calidad, es diseñar productos y procesos robustos, esto es, que
consistentemente realicen la función que deben hacer con poca variabilidad, a
pesar del impacto de factores de ruido o no controlables.
Se mencionó también, que de todos los factores que afectan un proceso, se
pueden extraer dos grupos:

    Factores de ruido. Son aquellos que no podemos, queremos o deseamos controlar, y más bien
     deseamos que nuestros procesos y productos sean insensibles a su impacto.
    Factores de diseño. Son aquellos que si podemos controlar en nuestro proceso de producción, y
     deseamos encontrar a qué nivel operarlos, a fin de optimizar el producto o proceso, esto es, que
     los productos sean de alta calidad y bajo costo.


                       Factores controlables
                       x1 x2 x3 x4 ... xp




    Entradas                                           Salida
                               Proceso
                                                                y




                       z1 z2 z3 z4 ... zq
                       Factores incontrolables
           Fig. 1.
        Figura1.1 Modelo general de un proceso o sistema

Esto quiere decir que en lugar de tratar de eliminar un factor de ruido (variabilidad
en la materia prima del proveedor, por ejemplo) deseamos identificar factores que
controlamos (velocidad de alimentación, por ejemplo) y fijarlos a un nivel tal, que el
impacto de los factores de ruido sean mínimos.

Dentro de los factores de diseño a su vez, recuerde que estamos interesados en
identificar diferentes tipos de factores.

Un estudio en el cual se desarrolla un análisis de este tipo, se llama análisis señal
ruido o diseño directo de productos.


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El estudio procede como sigue:

1. Dentro de los factores a estudiar, separe los de ruido y los de diseño o control.
2. Dentro de los factores de diseño, identifique aquellos que afectan la variabilidad del proceso.
   Utilícelos para minimizar la variabilidad.
3. Dentro de los factores de diseño, identifique aquellos que afectan la media, sin afectar la
   variabilidad. Utilícelos para optimizar la media.
4. Identifique aquellos factores de diseño que no afectan ni media ni variabilidad. Utilícelos para
   reducir costos.

Para ilustrar lo anterior, suponga que la temperatura afecta la variabilidad del
proceso, y la presión afecta la media del proceso, pero sin afectar la variabilidad.
Si inicialmente estamos en el nivel 1 de cada factor, la situación es:

   Temperatura a su nivel I
   Presión a su nivel I



  LIE          m               LSE

Si la temperatura se fija a su nivel 2 afectando la variabilidad, obtenemos:




  LIE          m               LSE


Si la presión, que afecta la media sin afectar la variabilida, la variamos a su nivel
de dos, obtenemos:




  LIE          m               LSE

Por lo tanto, podemos utilizar la presión, manteniendo la temperatura a su nivel II,
para ajustar o sincronizar la media.



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4. 2 Índices señal ruido
Una vez que podemos medir la característica de calidad que nos interesa,
podemos evaluar su media y su variabilidad. La media la podemos evaluar
directamente, usando una lectura o el promedio si son varias lecturas.
Para medir la variabilidad de una característica de calidad, se requiere de varias
lecturas, y se tienen diferentes opciones, el rango y la varianza son las medidas
más populares.

Sin embargo, es deseable tener una cantidad o expresión que de alguna manera,
involucre media y variación, o que por lo menos, ayude a que nuestras
conclusiones sean más confiables.

Esta cantidad ya existe y se llama índice señal ruido, denotado como SN o SR de
aquí en adelante.

La forma de calcular el índice SN depende del tiempo de característica de que se
trate. SIN EMBARGO, EL ÍNDICE SE DISEÑÓ DE TAL MANERA, QUE
PRODUCTOS MÁS ROBUSTOS SIEMPRE TENGA UN MAYOR VALOR DEL
ÍNDICE SN.

En seguida se muestran los tres casos:

4.2.1 Caso nominal es mejor

  Suponga que se tienen “r” lecturas, y1,y2,y3,…yr, el índice SN a utilizar es:
  SN= 10 log Sm  Vm /r Vm donde Sm= (y1 + y2 + y3 +,…yr,)2/r
  Vm= y12  y2 2  y32 ...  yr 2   Sm/ r  1
reconocerá a Vm como la varianza de los “r” datos. Sn estima el logaritmo de base 10
de la relación (media/desviación estándar)2.

La función de pérdida para nominal es mejor es:

L(Y )k (   T ) 2  k 2

     1 n

      yi
     n i 1

             1 n
  s2 
 ˆ               ( yi y ) 2
           n  1 i 1



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Para un grupo de características dadas, y1, y2, …., yn, la relación señal a ruido
S/N es:


               2
                ˆ                 y2              y
S / N 10 log  2
                       10 log  2
                                 s       20 log  
                                         
               ˆ                                s

4.2.2 Caso menor es mejor

  La función de pérdida está dada por:

             
L(Y )  kE Y 2
Para un grupo de características dadas, y1, y2, …., yn, el estimador estadístico de
E(Y2) es:

          1 n 2
MSD         yi
          n i 1

MSD = Mean squared deviation = Desviación cuadrática promedio con relación a
la media.

La relación señal a ruido correspondiente es:

                1 n     
S / N  10 log   y i2 
                 n i 1 

Esta cantidad estima el logaritmo de base 10 de (media2 + varianza).
Maximizar la relación S/N equivale a minimizar la función de pérdida.
4.2.3 Caso mayor es mejor

  La función de pérdida está dada por:

            1 
L(Y )  kE  2 
           Y 
Para un grupo de características dadas, y1, y2, …., yn, el estimador estadístico de
E(1/Y2) es:

          1 n 1
MSD        
          n i 1 yi2

La relación señal a ruido S/N correspondiente es:


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                1 n 1 
S / N  10 log   2 
                n         
                 i 1 y i 

Esta cantidad funciona de una manera similar al caso anterior, pero con el inverso.
Maximizar una cantidad es equivalente a minimizar la función de pérdida.
El uso de logaritmos pretende hacer la respuesta más “lineal” y el signo negativo
es para que siempre se maximize el índice SN. Se multiplica por 10 para obtener
decibeles.
Taguchi propone un procedimiento de optimización en dos pasos:
1. Ajustar los parámetros de diseño para maximizar la relación S/N.
2. Identificar otros parámetros de diseño que no afecten la relación S/N pero que si
   tengan efecto en la media de Y, E(Y), el cual es el parámetro de ajuste al a media,
   y utilizarlo para ajustar la media del proceso a su media meta de acuerdo a
   especificaciones.


4. 3 Diseño de parámetros con análisis señal a ruido

En un experimento señal ruido, generalmente se incluye un grupo de factores de
ruido, contra los que específicamente se desea hacer robusto el producto, y que
se pueden controlar durante un experimento.

Un diseño de experimentos para un análisis señal a ruido consiste de dos partes,
un arreglo ortogonal o matriz de diseño o interno y un arreglo ortogonal o matriz de
ruido o externo. Las columnas de una matriz de diseño representan parámetros de
diseño. Las columnas de la matriz de ruido representan factores de ruido.

4.3.1 Caso nominal es mejor:

  Los pasos del diseño de parámetros es como sigue:
   1. Seleccionar una característica de calidad de salida a ser optimizada.
   2. Seleccionar factores de control y sus niveles, identificando sus posibles
      interacciones.
   3. Seleccionar los factores de ruido y sus niveles; si son demasiados combinarlos
      en dos o tres factores combinados.
   4. Seleccionar los arreglos interno y externo adecuados; asignar los factores de
      control al arreglo interno y los factores de ruido al arreglo externo.
   5. Realizar los experimentos.


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   6. Realizar análisis estadístico con base en S/N para identificar los niveles de los
      factores de control óptimos Algunas veces ayuda realizar un estudio de la
      interacción entre factores de control y de ruido.
   7. Realizar análisis estadístico con base en las medias para identificar los niveles
      de los factores de control óptimos que ajustan a la respuesta promedio en el
      nivel deseado. Si hay conflicto entre los niveles de los factores para maximizar
      la relación S/N y ajustar la media, dar prioridad a los que sirven para maximizar
      la relación S/N.
   8. Predecir el desempeño de salida óptimo con base en una combinación óptima
      de niveles de factores de control y realiza un experimento confirmatorio.

La metodología en detalle se muestra mediante el ejemplo siguiente:

Ejemplo 4.1: Caso nominal es mejor

Una característica de calidad importante para un cierto producto metálico es el
terminado, que se mide según su planicidad en milésimas de pulgada (mmplg).

Esta característica se piensa es afectada por los siguientes factores:

        Factor   Descripción                      Nivel 1      Nivel 2
        A        Temperatura del horno            1500 ºF      1600 ºF
        B        Presión de prensado              200 psi      220 psi
        C        Velocidad de recocido            8 seg        12 seg
        D        Velocidad de alimentación ref.   80 gal/min   100gal/min
        G        Tipo de modelo                   chico        grande
        H        Templabilidad del material       25 Rc        30 Rc
        AxC      Interacción
        AxD      Interacción



Los factores G y H son factores que no se pueden controlar durante el proceso, ya
que el tipo de modelo depende del requerimiento específico del cliente y la
templabilidad es una característica de la materia prima. Estos dos factores se
consideran al menos inicialmente como factores de ruido.

Por lo tanto, se consideran como factores de diseño a los factores A, B, C y D.
De acuerdo con esto, lo que se desea saber es cuáles deben ser las condiciones
de operación o niveles de los factores de diseño A, B, C y D, que lleven el
producto a la característica objetivo y además con la mínima variabilidad, a pesar
de las variaciones en los factores G y H.

Arreglo interno
Considere únicamente los factores de diseño, se desea detectar 6 efectos en total,
y para ello, se requiere de un arreglo ortogonal L8. La gráfica lineal requerida es:


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  3
       1 A                                 .2    B

                             5 A xC

     4 C
              AxD    6
                                    7      D


La columna correspondiente a la línea punteada se utilizará para cuantificar el
error. Una posible asignación es:

           A B       e       C      AxC    AxD   D    Este será el arreglo
Nº     1     2       3       4      5      6     7    interno y consiste de 8
                                                      condiciones
                                                      experimentales/renglones
Arreglo externo
Considere ahora únicamente los factores de ruido G y H. Se requieren de dos
columnas, de manera que un arreglo ortogonal L4 es suficiente. El arreglo, al que
llamaremos arreglo externo es:
      G     H
Nº    1     2      3
1     1     1      1
2     1     2      2
3     2     1      1
4     2     2      1

Observe que no se asigna efecto alguno a la columna 3, la cual queda libre.




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Arreglo total
Los dos arreglos anteriores se “mezclan” o “combinan” en   un solo arreglo total, tal
y como se muestra:
                                                   1       2        2       1
                                                H 1        2        1       2
                                                G 1        1        2       2
          A B      e      C      AxC AxD D
Nº    1      2     3      4      5    6       7    1       2        3       4
1     1      1     1      1      1    1       1    Y11     Y12      Y13     Y14
2     1      1     1      2      2    2       2    Y21     Y22      Y23     Y24
3     1      2     2      1      1    2       2    Y31     Y32      Y33     Y34
4     1      2     2      2      2    1       1    Y41     Y42      Y43     Y44
5     2      1     2      1      2    1       2    Y51     Y52      Y53     Y54
6     2      1     2      2      1    2       1    Y61     Y62      Y63     Y64
7     2      2     1      1      2    2       1    Y71     Y72      Y73     Y74
8     2      2     1      2      1    1       2    Y81     Y82      Y83     Y84


 Observe que la matriz de ruido o arreglo externo se ha traspuesto o acostado,
esto es, escrito sus renglones como columnas. Observe también que existen 8x4=
32 posibles lecturas, tomadas bajo diferentes condiciones todas ellas (valores de
Yij ). En general, si el arreglo interno tiene M renglones y el externo tiene N
renglones, entonces existen un total de MxN lecturas, que pueden ser tomadas
bajo condiciones diferentes.

 Por eso se recomienda que el número de factores de ruido (valor de N) no sea
mayor que 3.

  Pero, ¿cómo se toman exactamente cada una de las 32 lecturas? suponga que
inicialmente, deseamos tomar las lecturas Y11, Y12, Y13, Y14 . Para esto, se fijan
todos los factores de diseño de acuerdo con los niveles indicados por el renglón Nº
1 del arreglo interno, esto es, todos los factores de diseño a su nivel 1.

  Sin embargo, si bien las cuatro lecturas Y11, Y12, Y13, Y14 se toman a los mismos
niveles de los factores de diseño, cada una se toma a diferentes niveles de los
factores de ruido.

En resumen se tiene:

Todos los factores de
diseño a su nivel 1                 Lectura   Factores de ruido
Temperatura 1500 ºF                 Y11       Modelo chico y 25 Rc
Presión de 200 Psi, 8 seg           Y12       Modelo chico y 30 Rc
de tiempo de recorrido y            Y13       Modelo grande y 25 Rc
velocidad de alimentación           Y14       Modelo grande y 30 Rc
refrigerante 80 gal/min


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De acuerdo con esto, se toman las primeras cuatro lecturas.

En seguida deseamos obtener las lecturas Y21 , Y22 , Y23 , Y24. Todas estas
lectura se tomarán al mismo nivel de los factores de diseño y estos niveles serán
indicados por el renglón Nº 2 del arreglo interno. Manteniendo estas condiciones,
los factores de ruido se varían a sus cuatro combinaciones indicadas por el arreglo
externo.

De esta manera se van obteniendo todas las 32 lecturas. Se fijan los factores de
diseño según un renglón del arreglo interno y se mantienen fijos mientras se
varían los factores de ruido de acuerdo con el arreglo interno.

Como ejemplo, la lectura Y73 , se obtendrá bajo las condiciones siguientes: factor
A, 1600 ºF, 220 psi, factor C. 8 seg, factor D, 80 gal/min; factor G, tipo grande; y
factor H, 25 Rc.

Las 32 lecturas son las siguientes:
                                                         1      2        2      1
                                                         1      2        1      2      H
L8     Col.1          Col.          Col.          Col.
               Col. 2 3      Col. 4 5      Col. 6 7      1      1        2      2      G
Exp.   A       B      e      C      AxC    AxD D         y1     y2       y3     y4     Total
1      1       1      1      1      1      1      1      1.1    1.2      1.3    1.1    4.7
2      1       1      1      2      2      2      2      1.2    1.3      1.2    1.3    5.0
3      1       2      2      1      1      2      2      2.0    2.1      2.2    2.1    8.4
4      1       2      2      2      2      1      1      2.1    2.2      2.1    2.0    8.4
5      2       1      2      1      2      1      2      1.0    1.4      1.2    1.3    4.9
6      2       1      2      2      1      2      1      1.2    1.3      1.5    1.0    5.0
7      2       2      1      1      2      2      1      1.6    2.1      2.4    2.0    8.1
8      2       2      1      2      1      1      2      1.5    2.0      2.3    2.5    8.3
                                                         11.7   13.6     14.2   13.3   52.8

Suponga que por alguna razón para este ejemplo en particular, se tiene un valor
deseado de m= 2 mmplg.

Para obtener conclusiones a partir de un experimento señal a ruido se puede usar
la tabla ANOVA, o bien, a través de gráficas.

Inicialmente se muestra el análisis usando ANOVA.




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Análisis con el Índice S/N

Para responder a la pregunta de a qué niveles fijar los factores de diseño, a fin de
minimizar la variabilidad en la característica de respuesta, ignoramos el arreglo
externo conservando las 32 lecturas, específicamente, el arreglo para análisis es:

L8     Col.1         Col.           Col.         Col.
               Col. 2 3     Col. 4 5       Col. 6 7
Exp.   A       B     e      C       AxC    AxD   D       y1     y2       y3     y4     Total
1      1       1     1      1       1      1     1       1.1    1.2      1.3    1.1    4.7
2      1       1     1      2       2      2     2       1.2    1.3      1.2    1.3    5.0
3      1       2     2      1       1      2     2       2.0    2.1      2.2    2.1    8.4
4      1       2     2      2       2      1     1       2.1    2.2      2.1    2.0    8.4
5      2       1     2      1       2      1     2       1.0    1.4      1.2    1.3    4.9
6      2       1     2      2       1      2     1       1.2    1.3      1.5    1.0    5.0
7      2       2     1      1       2      2     1       1.6    2.1      2.4    2.0    8.1
8      2       2     1      2       1      1     2       1.5    2.0      2.3    2.5    8.3
                                                 Total   11.7   13.6     14.2   13.3   52.8

En Minitab se genera el arreglo:
Stat > DOE > Taguchi
Create Taguchi Design > 2 leveles > 4 factors
Factors A col. 1; B col. 2; C col. 4; D col. 7
To allow estimation of interactions AxC AxD
OK
--- modificar las columnas para C y D a que correspondan a las anteriores:

L8
Exp.   A       B      C     D       y1     y2     y3      y4
1      1       1      1     1       1.1    1.2    1.3     1.1
2      1       2      2     2       1.2    1.3    1.2     1.3
3      1       2      1     2       2      2.1    2.2     2.1
4      1       1      2     1       2.1    2.2    2.1     2
5      2       1      1     2       1      1.4    1.2     1.3
6      2       2      2     1       1.2    1.3    1.5     1
7      2       2      1     1       1.6    2.1    2.4     2
8      2       1      2     2       1.5    2      2.3     2.5

Lo que observamos en esta última tabla es un arreglo L8 con 4 lecturas para cada
condición o renglón.

Estamos interesados en analizar la variabilidad de las 4 lecturas tomadas bajo
cada condición. Para esto, nos ayudamos del índice S/N, o sea, la variabilidad de
las cuatro lecturas que se tomaron bajo cada condición, la resumiremos en un


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índice señal a ruido. Al hacerlo, en lugar de 32 lecturas individuales tendremos 8
valores del índice SN, uno para cada renglón o condición experimental.

Como estamos en un caso de nominal es mejor, el índice apropiado es:

SN= 10 log Sm  Vm /r *Vm ;
                                           
donde Sm=  Yi  / r y Vm=  Yi  Sm / r  1
                   2                 2




En este caso en particular, r= 4, cada índice se calcula a partir de 4 lecturas
individuales.

Para la primera condición experimental o renglón Nº 1, se tienen las lecturas
siguientes: 1.1, 1.2, 1.3, 1.1, con un total de 4.7

El cálculo del índice es:

Sm= (1.1+1.2+1.3+1.1)2/4= 5.5225
Vm= [ (1.12+1.22+1.32+1.12) – 5.5225 ]/ (4-1) =[ 5.55 – 5.5225] / 3 = 0.00916
SN= 10 log 5.5225  0.00916 /4 * 0.00916 = 21.7714

Para el renglón o condición experimental Nº 2 se tienen las lectural: 1.2, 1.3, 1.2,
1.3, con un total de 5.0

El cálculo del índice SN es:
Sm= (1.2 +1.3+1.2+1.3) 2/4= 6.2500
Vm= (1.22 + 1.32 + 1.22 + 1.32 – 6.2500)/3= 0.0033
SN= 10 log 6.2500  0.0033 /4 * 0.0033 = 26.7071

Los ocho índices son:
Nº     Sm              Vm            Sn (dB)
1      5.5225          0.00916       21.771
2      6.2500          0.00333       26.707
3      17.6400         0.00666       28.203
4      17.6400         0.00666       28.203
5      6.0025          0.02916       17.092
6      6.2500          0.04333       15.539
7      16.4025         0.10916       15.718
8      17.2225         0.18916       13.524




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Nuestro arreglo es ahora:
             A B      e      C      AxC    AxD    D      SN
Nº       1     2      3      4      5      6      7      dB
1        1     1      1      1      1      1      1      21.771
2        1     1      1      2      2      2      2      26.707
3        1     2      2      1      1      2      2      28.203
4        1     2      2      2      2      1      1      28.203
5        2     1      2      1      2      1      2      17.092
6        2     1      2      2      1      2      1      15.539
7        2     2      1      1      2      2      1      15.718
8        2     2      1      2      1      1      2      13.524


Para el factor A se tiene:
A1       = Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 1 del factor A
         = 21.7714+26.7071+28.2036+28.2036= 104.8857

A2       = Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 2 del factor A
         =17.0927+15.5397+15.7186+13.5420= 61.8750

SSA = (A2 – A1)^2 /Número total de lecturas SN
    =(61.8750 – 107.8857)2/8= 231.2413, con 1 g.l.


La tabla ANOVA total es:
Factor         SS            Gl           V              Fexp
A              231.2413      1      231.2413             14.44
B              2.5751        1      2.5751               00.16
C              0.1764        1      0.1764               00.01
AxC            9.4284        1      9.4284               00.59
AxD            3.8880        1      3.8880               00.24
D              2.3047        1      2.3047               00.14
e              16.0135       1      16.0135



El factor A, temperatura del horno, es el factor que estadísticamente afecta el
índice señal a ruido, y que por consiguiente “afecta la variabilidad. De acuerdo con
los niveles del factor A, se tiene:

A1      = SN promedio= 104.8857/4= 26.22
A2      = SN promedio= 61.8750/4= 15.47

Dado que siempre deseamos maximizar el índice señal a ruido, el factor A se fija
en su nivel 1, esto es, la temperatura del horno se fija en 1500 ºF.


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¿Qué hacer con el resto de los factores? antes de contestar esta pregunta, se
deben identificar de entre los factores que NO AFECTARON el índice SN, cuáles
afectan la media. Esto se muestra en lo que sigue.

Análisis usando los promedios

Después de identificar los factores que “afectan” la variabilidad, el siguiente paso
es identificar qué factores, dentro de los que no afecta la variabilidad, afectan la
media del proceso. Estos factores llamados factores de señal, nos permitirán
“ajustar” la media del proceso hacia su valor nominal, sin incrementar la
variabilidad del proceso.

Para el análisis, se utilizan las 32 lecturas iniciales. Para ello se obtiene el
promedio de cada renglón.
     A B e C AxC AxD D
Nº   1 2 3 4 5 6                  7 1 2 3 4               Total Promedio
1    1 1 1 1 1              1    1 1.1 1.2 1.3 1.1        4.7    1.175
2    1 1 1 2 2              2     2 1.2 1.3 1.2 1.3       5.0    1.250
3    1 2 2 1 1              2     2 2.0 2.1 2.2 2.1       8.4    2.100
4    1 2 2 2 2              1     1 2.1 2.2 2.1 2.0       8.4    2.100
5    2 1 2 1 2              1     2 1.0 1.4 1.2 1.3       4.9    1.225
6    2 1 2 2 1              2     1 1.2 1.3 1.5 1.0       5.0    1.250
7    2 2 1 1 2              2     1 1.6 2.1 2.4 2.0       8.1    2.025
8    2 2 1 2 1              1     2 1.5 2.0 2.3 2.5       8.3    2.075
                           Totales                               13.200

Considerando únicamente los promedios, tendremos un arreglo L8 con una
lectura. El análisis en base a los promedios es:
A1     = Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 1 del factor A
       =1.175+1.250+2.100+2.100= 6.625

A2     = Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 2 del factor A
       = 1.225+1.250+2.075+2.025= 6.575

SSA = (A2 – A1) 2 /Número total de lecturas SN
    = (6.625 – 6.575)2/8= 0.0003

Similarmente para el factor B se tiene
B1  = 1.175+1.250+1.225+1.250= 4.900
B2  = 2.100+2.100+2.025+2.075= 8.300
SSB = (B2 - B1 )2/8= (4.900-8.300) 2/8= 1.4450

Y así sucesivamente
SSC = 0.0028 , SSAxC= 0.0000, SSAxD= 0.0003
SSD = 0.0013 , SSe= 0.0028


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La tabla ANOVA es:
Efecto             SS          G.l.           V             Fexp
A               0.0003         1              0.0003        0.11
B               1.4450         1              1.4450        513.75
C               0.0028         1              0.0028        1.00
AxC             0.0000         1              0.0000        0.00
AxD             0.0003         1              0.0003        0.11
D               0.0013         1              0.0013        0.44
e               0.0028         1              0.0028
Totales         1.4525         8

Analysis of Variance for Means
Source              DF    Seq SS    Adj SS    Adj MS         F       P
A                    1   0.00031   0.00031   0.00031      0.25   0.705
B                    1   0.00031   0.00031   0.00031      0.25   0.705
C                    1   0.00281   0.00281   0.00281      2.25   0.374
D                    1   0.00281   0.00281   0.00281      2.25   0.374
A*C                  1   1.44500   1.44500   1.44500   1156.00   0.019
A*D                  1   0.00000   0.00000   0.00000      0.00   1.000
Residual Error       1   0.00125   0.00125   0.00125
Total                7   1.45250

El factor B, presión de prensado, es el único factor significante. Mediante este
factor se puede ajustar la media del proceso, y llevarla lo más cerca posible a su
valor ideal de 2.

También se debe hacer la observación, de que si el factor A hubiera resultado
significante en este segundo análisis, no podríamos utilizarlo, ya que resultó
significante en el análisis con el índice SN.

En particular, la respuesta promedio para cada nivel del factor B es:

B1 = 4.9/4= 1.225; B2= 8.3/4= 2.075

Si se desea aumentar la planicidad, se deberá incrementar la presión de
prensado. Si se desea disminuir la planicidad, se deberá reducir la presión.
Se puede interpolar para conocer el valor al que se debe fijar la presión. La
respuesta promedio a 200 psi es de 1.225 y a 220 psi es 2.075


Y         2.0

    1.5

      1.0       B
     200                 220



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Análisis utilizando gráficas
Como se mencionó anteriormente, una alternativa a la ANOVA son las gráficas de
promedios, ya sea del índice SN o de las lecturas individuales.

Por ejemplo, para el factor A encontramos el promedio a cada uno de sus niveles,
tanto del índice señal a ruido como de las lecturas individuales.

Para el índice señal a ruido se tiene:

A1     = (21.7714+26.7071+28.2036+28.2036)/4= 26.2214
A2     = (17.0927+15.5397+15.7186+13.5240)/4= 15.4687

Para promedio de lecturas individuales se tiene:
A1     = 6.625/4= 1.6562; A2= 6.575/4= 1.6437
En resumen, los promedios para todos los factores son:
Nivel      SN promedio         Y promedio
A1            26.22                1.6
A2            15.47                1.6
B1            20.38                1.2
B2            21.41                2.0
C1            20.71                1.6
C2            20.99                1.6
D1            20.31                1.6
D2            21.38                1.6
(AxC)         19.76                1.6
(AxC)         21.93                1.6
(AxD)         20.15                1.6
(AxD)         21.54                1.6

Response Table for Signal to Noise Ratios
Nominal is best (10*Log(Ybar**2/s**2))
Level      A      B      C      D
  1 26.22 20.17 19.45 20.71
  2 15.50 21.56 22.27 21.01
Delta   10.72   1.39    2.82    0.30
Rank        1      3       2       4


Response Table for Means
Level      A      B      C    D
  1 1.656 1.644 1.631 1.631
  2 1.644 1.656 1.669 1.669
Delta 0.013 0.012 0.038 0.038
Rank       3      4    1.5  1.5


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Las gráficas de estos promedios se muestran más adelante, en estas gráficas, la
importancia de cada efecto se observar según la inclinación de cada línea, de
hecho, los efectos se encuentran graficados de acuerdo con su importancia.

Las conclusiones que se obtienen son las mismas, esto es, el factor A es el que
más afecta el índice señal a ruido, y lo hace mayor a su nivel A 1. El factor B es el
que más afecta la respuesta promedio sin afectar el índice SN, la respuesta
promedio aumenta al aumentar el factor B de su nivel 1 al 2.

                             Main Effects Plot (data means) for SN ratios
                                     A                               B

                      25.0

                      22.5

                      20.0
  Mean of SN ratios




                      17.5

                      15.0
                             1               2               1              2
                                     C                               D

                      25.0
                      22.5

                      20.0

                      17.5

                      15.0
                             1               2               1              2
 Signal-to-noise: Nominal is best (10*Log(Ybar**2/s**2))




                              Main Effects Plot (data means) for Means
                                     A                               B
                      1.67

                      1.66

                      1.65

                      1.64
  Mean of Means




                      1.63
                             1               2               1              2
                                     C                               D
                      1.67

                      1.66

                      1.65

                      1.64

                      1.63
                             1               2               1              2




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                          Interaction Plot (data means) for SN ratios
                                      1               2

                                                                                                  A
  25                                                                                              1
                                                                                                  2
  20              A


  15
                                                                                                  C
                                                                                      25          1
                                                                                                  2
                                              C                                       20


                                                                                      15

                                                                                                  D
  25                                                                                              1
                                                                                                  2
  20                                                                  D


  15
          1                 2                                 1               2

 Signal-to-noise: Nominal is best (10*Log(Ybar**2/s**2))




                            Interaction Plot (data means) for Means
                                          1               2

   2.0
                                                                                                      A
                                                                                                      1
                                                                                                      2
   1.6                A



   1.2

                                                                                           2.0
                                                                                                      C
                                                                                                      1
                                                                                                      2
                                                  C                                        1.6



                                                                                           1.2

   2.0                                                                                                D
                                                                                                      1
                                                                                                      2
   1.6                                                                    D



   1.2
              1                 2                                 1               2




Conclusiones generales del experimento

De acuerdo con los resultados que se han obtenido de los análisis, las
conclusiones generales son:



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Diseño de Experimentos de Taguchi                               P. Reyes / Dic. 2006


a) El factor A afecta la variabilidad y se debe de fijar a su nivel 1.
b) El factor B afecta la media del proceso, aumenta la media del proceso.
c) El resto de los factores de diseño, (factores C y D), se fijarán al nivel en que sea
   más económico para el proceso, ya que no afectan sustancialmente ni la media, ni
   la variabilidad del proceso.

En cuanto a la función de pérdida se tiene lo siguiente:

Suponga que se incurre en un costo de $8,000. Cuando la desviación del valor
objetivo es de 0.5 mmpl. Además suponga que el nivel 1 de todos los factores
representa la situación actual. De acuerdo con estos datos la función de pérdida
indica un valor de:

L(y)= k  2  d 2  ; donde K= 8000/.52= 32000

SI el proceso se encuentra actualmente con todos los factores a su nivel 1, esta
situación está representada por las cuatro lecturas del renglón 1. Por lo tanto, Vm
para el renglón 1 estima la varianza y es:

Vm= 2 = 0.00916

La media estimada es (1.1+1.2+1.3+1.1)/4= 1.175 y;

d2= (2.0-1.175)2= 0.680625

L(y)= 32000(0.00916+0.680625)= 22073.124/unidad

Si se fijan el factor A a su nivel 1 y B a su nivel 2, se tienen dos renglones en el
experimento bajo esta condición, (ignorando el resto de los factores que no
afectan) que son el Nº3 y el Nº4. Los datos son: 2.0, 2.1, 2.2, 2.1, 2.1, 2.2, 2.1 y
2.0, por lo tanto se tendrá que para esta nueva condición:

Y= 2.1 ; 2 = 0.005714

L(y)= 32000 ( 0.005714 + (2-2.1)2) = 502.85 $/unidad

Por lo tanto, se tendrá un ahorro de 22073.12 – 502.85= $21,570.3 por cada
unidad de producto.

En caso de que no se tenga ningún renglón bajo las condiciones propuestas,
recuerde que se puede estimar el valor tanto del promedio como del índice S/N tal
y como se mostró en capítulos anteriores.

Sin embargo, en cualquier caso, es recomendable el ejecutar una corrida de
confirmación antes de aceptar la propuesta de una forma definitiva.


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Diseño de Experimentos de Taguchi                               P. Reyes / Dic. 2006


4.3.2 Caso de menor es mejor

  En esta sección se presentan ejemplos para el caso de una característica de menor
  es mejor. Al mismo tiempo, se considera el caso cuando en un experimento, no se
  pueden identificar explícitamente factores de ruido.
  Los pasos del diseño de parámetros es como sigue:
   1. Seleccionar una característica de calidad de salida a ser optimizada.
   2. Seleccionar factores de control y sus niveles, identificando sus posibles
      interacciones.
   3. Seleccionar los factores de ruido y sus niveles; si son demasiados combinarlos
      en dos o tres factores combinados.
   4. Seleccionar los arreglos interno y externo adecuados; asignar los factores de
      control al arreglo interno y los factores de ruido al arreglo externo.
   5. Realizar los experimentos.
   6. Realizar análisis estadístico con base en S/N para identificar los niveles de los
      factores de control óptimos Algunas veces ayuda realizar un estudio de la
      interacción entre factores de control y de ruido.
   7. Realizar análisis estadístico con base en las medias para identificar los niveles
      de los factores de control óptimos que ajustan a la respuesta promedio en el
      nivel deseado. Si hay conflicto entre los niveles de los factores para maximizar
      la relación S/N y ajustar la media, dar prioridad a los que sirven para maximizar
      la relación S/N.
   8. Predecir el desempeño de salida óptimo con base en una combinación óptima
      de niveles de factores de control y realiza un experimento confirmatorio.

Ejemplo 4.2: Caso menor es mejor
Se desea minimizar la presencia de un contaminante no deseado en un proceso
de elaboración de alimento. Se considera que los factores siguientes afectan el
proceso.

  Factores                          Nivel 1       Nivel 2
A         Temperatura                             120 ºC        140 ºC
B     Catalizador                          0.5%          0.6%
C     Tipo de recipiente                   actual        propuesto
D     Temperatura de precalentamiento      50 ºC         60 ºC
E     Agitación                            no            si
F     Velocidad de alimentación            200 lt/min    210 lt/min
G     Presencia de elemento 1              4%            5%
H     Presencia de elemento 2              12%           15%
I     Presencia de elemento 3              1%            2%
J     Tiempo de reposo                     10 min        15 min


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Se puede utilizar un arreglo L12 para el arreglo interno, dejando una columna varia
para evaluar el error. Si bien, no se identifican explícitamente factores de ruido,
para realizar variabilidad se deben tomar lecturas repetidas para cada condición
del arreglo interno. Se espera que los factores de ruido actúen al momento de
tomar las lecturas.

El número de lecturas a tomar bajo cada condición, depende del costo y dificultad
de tomar lecturas. Se recomienda entre dos y cuatro lecturas. En este ejemplo se
toman cuatro lecturas bajo cada condición.

La variable de respuesta se da en gramos/litro y los resultados son:

       A   B   CDEFG       H   I J K
       1   2   3 4 5 6 7   8   9 10 11   lecturas                     SN        Prom.
1      1   1   1 1 1 1 1   1   1 1 1     0.38 0.30     0.37 0.25     9.648     0.3250
2      1   1   1 1 1 2 2   2   2 2 2     0.28 0.27     0.33 0.30     10.577    0.2950
3      1   1   2 2 2 1 1   1   2 2 2     0.03 0.00     0.02 0.06     29.119    0.0275
4      1   2   1 2 2 1 2   2   1 1 2     0.10 0.02     0.20 0.19     16.650    0.1275
5      1   2   2 1 2 2 1   2   1 2 1     0.37 0.23     0.18 0.14     12.186    0.2300
6      1   2   2 2 1 2 2   1   2 1 1     0.26 0.15     0.15 0.12     14.983    0.1700
7      2   1   2 2 1 1 2   2   1 2 1     0.19 0.26     0.23 0.31     11.995    0.2475
8      2   1   2 1 2 2 2   1   1 1 2     0.36 0.24     0.15 0.22     11.903    0.2425
9      2   1   1 2 2 2 1   2   2 1 1     0.07 0.16     0.17 0.13     17.195    0.1325
10     2   2   2 1 1 1 1   2   2 1 2     0.30 0.13     0.30 0.25     11.881    0.2450
11     2   2   1 2 1 2 1   1   1 2 2     0.08 0.09     0.20 0.10     17.925    0.1175
12     2   2   1 1 2 1 2   1   2 2 1     0.12 0.24     0.16 0.10     15.703    0.1550
                                                         Totales    179.765    2.3150

El índice SN se calculó según la fórmula para menor es mejor, por ejemplo, para
los renglones 1 y 9 se tiene:

SN     = - 10 log (0.382 + 0.302 + 0.372 + 0.252)/4)
       = - 10 log (0.10845) = 9.648

SN     = - 10 log (0.072 + 0.162 + 0.172 + 0.132)/4
       = - 10 log (0.01908) = 17.195


a) se procede a identificar los factores que afectan el índice señal ruido, utilizando
   ANOVA en este caso (por supuesto, se pueden utilizar gráficas).

                   A B          C      D        E     F      G      H
Nivel 1         93.163 90.437 87.698 71.898 77.009 94.996 97.954 99.281
Nivel 2         86.602 89.328 92.067 107.867 102.756 84.769 81.811 80.484



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                     I       J     e
Nivel 1        80.307        82.260        81.710
Nivel 2        99.458        97.505        98.055

La suma de cuadrados por ejemplo para el factor A es
SSA = (A2 – A1) 2 /12= (86.602 – 93.163) 2/12= 3.5882
La tabla ANOVA es:
Factor         SS            g.l.      V         Fexp

A              3.5872        1      3.5872       0.16
B              0.1025        1      0.1025       0.00
C              1.5907        1      1.5907       0.07
D              107.8141      1      107.8141     4.84
E              55.2423       1      55.2423      2.48
F              8.7160        1      8.7160       0.39
G              21.7164       1      21.7164      0.97
H              29.4439       1      29.4439      1.32
I              30.5634       1      30.5634      1.37
J              19.3675       1      19.3675      0.87
e              22.2633       1      22.2633

Unicamente, los factores D y E son significantes. Al nivel al cual maximizan el
índice SN (recuerde que el índice SN siempre se maximiza, aunque la variable sea
menor es mejor), es:

D1      = 71.898/6= 11.9830               D2   = 107.867/6= 17.9778
E1      = 77.009/6= 12.8348               E2   = 102.756/6= 17.1260

Los factores D y E se fijan a su nivel 2, temperatura de 60 ºC y con agitación
respectivamente.

b) S procede al análisis de señal utilizando como respuesta el promedio de las cuatro
   lecturas para cada renglón.

Se tienen los siguientes totales
                 A B                   C              D             E
Nivel 1      1.1750        1.2700          1.1525         1.4925        1.4000
Nivel 2      1.1400        1.0450          1.1625         0.8225        0.9150

                  F             G             H              I             J
Nivel 1        1.1275        1.0775        1.0375         1.2900        1.2425
Nivel 2        1.1875        1.2375        1.2775         1.0250        1.0725




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                 e
Nivel 1       1.2600
Nivel 2       1.0550

La tabla ANOVA es
Efecto           SS          g.l.     V         Fexp
A          0.0001 1          0.0001      0.03
B             0.0042         1     0.0042       1.20
C             0.0000         1     0.0000       0.00
D             0.0374         1     0.0374       10.68
E             0.0196         1     0.0196       5.59
F             0.0003         1     0.0003       0.09
G             0.0021         1     0.0021       0.61
H             0.0048         1     0.0048       1.37
I             0.0059         1     0.0059       1.67
J             0.0024         1     0.0024       0.68
e             0.0035         1     0.0035

Los factores significantes son otra vez D y E, que son los mismos que afectaron el
índice señal ruido. Así que, no existen factores de señal que afecten la media sin
afectar el índice SN y el resto de los factores se fijan a su nivel más económico.

No es raro para el caso menor es mejor (y para mayor es mejor), que los factores
que afectan el índice SN sean los mismos que afectan la media. Esto sucede
porque el índice SN evalúa el logaritmo de (media 2 + varianza). Por esta razón,
varios analistas efectúan el análisis señal ruido y omiten el análisis de señal, ya
que esperan los mismos resultados.

Ejemplo 4.3: Minimizar fuga de líquido

Se desea minimizar la fuga de líquido que existe en una bomba centrifuga. Se
considera que los factores que pueden afectar la fuga son:


  Factores                                      Nivel 1      Nivel 2
A         Diseño de pieza frontal                            actual
            propuesto
B     Torque de tornillos frontales                     actual         mayor
C     Acabado cáscara                                   liso           rugoso
D     Tipo de empaque                                   marca 1        marca 2
E     Torque tornillo traseros                          actual         mayor
F     Método de apriete inicial                         frente         atrás
G     Diseño impulsor                                   actual         nuevo
H     Densidad del líquido                              baja           media alta


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El factor H se puede considerar como de ruido, ya que se desea que la fuga se
elimine a pesar del líquido bombeado. Por lo tanto, se puede utilizar un arreglo L8
para el arreglo interno.

Cuando se tiene un solo factor de ruido, no se requiere un arreglo ortogonal como
arreglo externo, todo lo que hay que hacer es variar el factor a los niveles
analizados.

La variable de respuesta se da en mililitros, después de un cierto número de horas
de funcionamiento.

           Arreglo interno                           H
Nº        A B C D E           F     G        Baja    Media Alta         SN        Prom
1         1 1 1 1 1           1     1        12.2    12.1 12.3      -21.7274      12.20
2         1 1 1 2 2           2     2        10.3    12.5 12.7      -21.4987      11.83
3         1 2 2 1 1           2     2        10.5    13.1 10.4      -21.1397      11.33
4         1 2 2 2 2           1     1        12.0    11.9 11.8
5         2 1 2 1 2           1     2        13.0    13.1 13.0
6         2 1 2 2 1           2     1        12.1    14.2 11.0      -21.9410      13.03
7         2 2 1 1 2           2     1        14.0    11.9 14.6
8         2 2 1 2 1           1     2        12.0    11.9 11.9      -21.5353      11.93
                                                     Totales        -174.2929     98.15

El índice SN se calcula según la fórmula para el caso menor es mejor. Por
ejemplo, para los renglones 1 y 2 se tiene
SN        = -10 log (Yi2/r) = -10 log (12.22 + 12.12 + 12.32)/3= -21.7274
SN        = -10 log (Yi2/r) = -10 log (10.32 + 12.52 + 12.72)/3= -21.4987

Se procede al análisis ANOVA; para el índice señal ruido. La tabla de totales es:
                    AB              C            D              E
Nivel 1         -85.8769      -874683                -87.8068       -86.3434
Nivel 2         -88.4160      -86.8246               -86.4861       -87.9495

                F             G
Nivel 1
Nivel 2




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La tabla ANOVA es:


Factor          SS             g.l.       v             Fexp
A
B                              1
C               0.0321         1        0.0321
D
E               0.3224         1        0.3224          11.19
F               0.0025         1        0.0025
G
(e)             .0864 3        0.0288

Las tres sumas de cuadrados más pequeñas son utilizadas para evaluar el error.
Los factores significantes y los niveles propuestos son:

Para efectuar el análisis de señal se sugiere utilizar gráficas, la tabla de promedios
para cada factor es:


                   A B        C               D      E         F               G
Nivel 1         11.8150       12.3650             12.5150          12.2650         12.5075
Nivel 2         12.7225       12.1725             12.0225          12.2725         12.0300


Ejemplo 4.4: Disminución de la contaminación
Optimización de un método de purificación para drenajes contaminados con
metales.

Las aguas residuales que contienen iones metálicos es muy riesgoso por su
toxicidad y no biodegradable. Se propone utilizar óxidos de hierro hidratados con
un pH adecuado para remover los metales dañinos. La característica de salida es
la concentración remanente de metales en mg/L, con una respuesta menor es
mejor.

Los factores de control son los siguientes:

          Factores de control         Nivel 1        Nivel 2       Nivel 3
A         Contaminación de FeII       2              7             15
B         Temperatura ºC              25             50            75
C         Tiempo de añejamiento h     1              2             3
D         pH                          8              10            12

El factor de ruido introducido artificialmente es permanganato de potasio.


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        Factores de ruido           Nivel 1     Nivel 2      Nivel 3
N       Conc. De KMnO4              0.00375     0.0375       0.075

Se asume que no hay interacciones por lo que se puede utilizar un arreglo L9,
realizando los experimentos se obtienen los datos siguientes con dos réplicas en
cada nivel del factor de ruido:

L9      Col.1         Col.
                Col. 2 3     Col. 4 N1      N1      N2      N2      N3        N3
Exp.    A       B     C      D      Rep.    Rep.    Rep.    Rep.
No.                                 1       2       1       2       Rep. 1    Rep. 2   Y promedio   S/N
1       1       1     1      1      2.24    0.59    5.29    1.75    155.04    166.27   55.20        -39.36
2       1       2     2      2      1.75    5.07    1.05    0.41    0.38      0.48     1.52         -7.05
3       1       3     3      3      5.32    0.65    0.4     1.07    0.51      0.36     1.39         -7.05
4       2       1     2      3      0.37    0.32    0.34    0.68    4.31      0.65     1.11         -5.19
5       2       2     3      1      7.2     0.49    0.48    0.44    0.8       0.88     1.72         -9.54
6       2       3     1      2      39.17   27.05   46.54   25.77   138.08    165.61   73.70        -39.34
7       3       1     3      2      0.57    1.26    0.61    0.7     0.91      1.42     0.91         0.28
8       3       2     1      3      3.88    7.85    22.74   36.33   92.8      120.33   47.32        -36.20
9       3       3     2      1      15.42   25.52   35.27   48.61   67.56     72.73    44.19        -33.79


                1 n     
S / N  10 log   yi2 
                 n i 1 

Las sumas de cuadrados son las siguientes:
Para el arreglo L9 con nueve respuestas Y1 a Y9 se tiene:
La suma de cuadrados del factor A es:

A1 = Y1 + Y2 + Y3
A2 = Y4 + Y5 + Y6
A3 = Y7 + Y8 + Y9

      A12  A2  A3
             2     3
SSA                  CF
            3
     (Y  Y  ....  Y9 ) 2
CF  1 2
               9
La suma de cuadrados del factor B es:
B1 = Y1 + Y4 + Y7
B2 = Y4 + Y5 + Y8
B3 = Y3 + Y6 + Y9




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     B12  B2  B3
            2     3
SSB                 CF
           3
    (Y  Y  ....  Y9 ) 2
CF  1 2
              9

De la misma forma se calculan las sumas de cuadrados para los factores C y D:
La suma de cuadrados total es:

SST = SSA + SSB + SSC + SSD

Haciendo los cálculos en Minitab se obtiene:

Taguchi Analysis: Rep. 1, Rep. 2, Rep. 1_1, Rep. 2_1, ... versus A, B, C, D
Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D

Estimated Model Coefficients for SN ratios
Term      Coef
Constant -19.6915
A   1        1.8735
A   2        1.6687
B   1        4.9386
B   2        2.0970
C   1      -18.6078
C   2        4.3499
D   1       -7.8678
D   2        4.3221

S=*

Analysis of Variance for SN ratios
Source           DF    Seq SS    Adj SS    Adj MS   F   P   Porcentaje de contribución
A                 2     56.52     56.52    28.261   *   *         2.49%
B                 2    234.86    234.86   117.428   *   *         10.32%
C                 2   1705.37   1705.37   852.685   *   *         74.91%
D                 2    279.46    279.46   139.732   *   *         12.28%
Residual Error    0         *         *         *
Total             8   2276.21


Linear Model Analysis: Means versus A, B, C, D
Estimated Model Coefficients for Means
Term      Coef
Constant 25.2281
A   1      -5.8598
A   2       0.2819
B   1      -6.1548
B   2      -8.3748
C   1      33.5124
C   2      -9.6215
D   1       8.4707



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D 2         0.1513

S=*

Analysis of Variance for Means
Source             DF    Seq SS    Adj SS     Adj MS   F   P
A                   2    196.59    196.59      98.30   *   *
B                   2    957.39    957.39     478.69   *   *
C                   2   5359.29   5359.29    2679.65   *   *
D                   2    438.35    438.35     219.17   *   *
Residual Error      0         *         *          *
Total               8   6951.62




Response Table for Signal to Noise Ratios
Smaller is better
Level         A         B          C         D
1       -17.818   -14.753    -38.299   -27.559
2       -18.023   -17.595    -15.342   -15.369
3       -23.234   -26.727     -5.434   -16.146
Delta     5.416    11.974     32.866    12.190
Rank          4         3          1         2


Response Table for Means
Level        A         B        C        D
1       19.368    19.073   58.741   33.699
2       25.510    16.853   15.607   25.379
3       30.806    39.758    1.337   16.606
Delta 11.438 22.904 57.403 17.093
Rank      4   2    1    3




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Las gráficas factorials son las siguientes:


                                Main Effects Plot (data means) for SN ratios
                                       A                                B

                      -10

                      -20
  Mean of SN ratios




                      -30

                      -40
                            1           2         3          1          2       3
                                        C                               D

                      -10

                      -20

                      -30

                      -40
                            1           2         3          1          2       3
 Signal-to-noise: Smaller is better



Los niveles seleccionados son A en 1, B en 1, C en 3 y D en 2


                                 Main Effects Plot (data means) for Means
                                        A                                   B
                      60

                      45

                      30

                      15
  Mean of Means




                       0
                            1           2          3             1          2       3
                                        C                                   D
                      60

                      45

                      30

                      15

                       0
                            1           2          3             1          2       3




La respuesta estimada es:
Predicted values
S/N Ratio                       Mean
    5.70044 -10.5261
Factor levels for predictions


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A B C D
  1 1 3 2
    4.3.3 Caso mayor es mejor

        Los pasos del diseño de parámetros es como sigue:
     1. Seleccionar una característica de calidad de salida a ser optimizada.
     2. Seleccionar factores de control y sus niveles, identificando sus posibles
        interacciones.
     3. Seleccionar los factores de ruido y sus niveles; si son demasiados
        combinarlos en dos o tres factores combinados.
     4. Seleccionar los arreglos interno y externo adecuados; asignar los factores de
        control al arreglo interno y los factores de ruido al arreglo externo.
     5. Realizar los experimentos.
     6. Realizar análisis estadístico con base en S/N para identificar los niveles de los
        factores de control óptimos Algunas veces ayuda realizar un estudio de la
        interacción entre factores de control y de ruido.
     7. Realizar análisis estadístico con base en las medias para identificar los
        niveles de los factores de control óptimos que ajustan a la respuesta promedio
        en el nivel deseado. Si hay conflicto entre los niveles de los factores para
        maximizar la relación S/N y ajustar la media, dar prioridad a los que sirven
        para maximizar la relación S/N.
Predecir el desempeño de salida óptimo con base en una combinación óptima de
niveles de factores de control y realiza un experimento confirmatorio.

A fin de ilustrar un caso señal ruido, para cuando la variable de respuesta del tipo
mayor es mejor, considere el siguiente ejemplo:

Ejemplo 4.5: Incremento en la resistencia a la tracción

Se desea incrementar la resistencia a la tracción (en libras) de un cierto tipo de
soldadura. Los factores que se creen afectan la variable de respuesta son:
Factores                               Nivel 1       Nivel 2
A         Tipo de electrodo                      I             II
B     Marca de material                    I             II
C     Voltaje                          120 volts     130 volts
D     Rugosidad de superficie             liso        rugoso
E     Prelavado                           sin            no
AxB Interacción




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No se identifican factores de ruido, de manera que los cinco factores y la
interacción se pueden acomodar en un arreglo externo L8. Se toman tres lecturas
bajo cada condición y los resultados son:

Nº       A    B    AxB        C       D   E    e          Resultados      Indice SN     Prom
1        1    1     1         1       1   1    1          120 125 122     41.7472      122.33
2        1    1     1         2       2   2    2          118 120 122     41.5812      120.00
3        1    2     2         1       1   2    2          140 148 150     43.2754      146.00
4        1    2     2         2       2   1    1          152 145 140     43.2524      145.67
5        2    1     2         1       2   1    2          130 125 115     41.7574      123.33
6        2    1     2         2       1   2    1          160 150 155     43.7976      155.00
7        2    2     1         1       2   2    1          119 122 130     41.8271      123.67
8        2    2     1         2       1   1    2          112 120 130     41.5836      120.67
                                                                Totales   338.8519    1056.67

Para calcular el índice señal ruido, se utiliza la fórmula apropiada, por ejemplo
para los renglones 1 y 5 se tiene:

SN                                                
         = -10 log (1/ y1   1/ y2   1/ y3  ) / 3
                              2           2           2


         = -10 log (1/ 120  1/ 125  1/ 122 ) / 3= 41.7472
                                  2           2             2




SN                                                              
         =-10 log (1/ 1301   1/ 125  1/ 115 ) / 3 = 41.7874
                                  2           2             2




Se procede al análisis del índice SN utilizando ANOVA
            A    B             C     AxB       C         D
Nivel 1 169.8562 168.9134 166.7391 168.6371 170.4038 168.3706
Nivel 2 168.9957 169.9385 172.1128 170.2148 168.4481 170.4813

            E         e
Nivel 1 168.3706 170.6243
Nivel 2 170.4813 168.2276

La tabla ANOVA es:
Factor            SS      gl.         V                   Fexp

A            0.0926       1           0.0926              0.12
B            0.1314       1           0.1314              0.18
AxB          3.6096       1           3.6096              5.02
C            0.3111       1           0.3111              0.43
D            0.4781       1           0.4781              0.66
E            0.5569       1           0.5569              0.77
e            0.7180       1           0.7180




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Unicamente la interacción AxB resulta significante. A fin de encontrar las mejores
condiciones, máximo señal de ruido, se tiene:

A1 B1       = 83.3284/2= 41.6642
A1 B2       = 86.5278/2= 43.2639
A2 B1       = 85.5850/2= 42.7925
A2 B2       = 83.4107/2= 41.7054

Las condiciones sugeridas son A a su nivel 1 y B a su nivel 2.

Para efectuar el análisis de señal, se utilizan gráficas. La tabla de promedios es:
           A         B      AxB       C        D         E       e
Nivel 1 133.50 130.16 121.67 128.83 136.00 128.00 136.67
Nivel 2 130.67 134.00 142.50 135.34 128.17 136.17 127.50
Dif.       2.83     3.84 20.83       6.51      7.83     8.17 9.17


140
130
120
    AxB     AxB    e1   e2    E1    E2   D1       D2 C1 C2 B1       B2    A1    A2

Como se puede observar, la interacción AxB es nuevamente el único factor
significante.

Considere otro ejemplo;

   Se desea maximizar el peso promedio que se obtiene en la crianza de un cierto
tipo de ave. Se considera que los siguientes factores afectan el precio final:

Factor                                   Nivel 1       Nivel 2

A           Densidad en crianza          20            18 aves/m2
B        Dosificación de agua            Si            No
C        Edad de inicio                  5             8 días
D        Forma de alimento               actual        propuesta
E        Componente 1 de alimento        3%            5%
F        Componente 2 de alimento        0.5%          0.7%
G        Componente 3 de alimento        10%           15%
H        Componente 4 de alimento        4%            2%
I        Raza del ave                    I             II
M        Temperatura ambiente            baja          alta




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Dado que no se desea invertir en aire acondicionado, se considera a la
temperatura ambiente como factor de ruido. Esta se varía a sus dos niveles,
analizando resultados en granjas con ubicación diferente.

Se puede utilizar un L12 como arreglo interno lo que deja dos columnas para
evaluar el error.

Los resultados en Kilogramos son los siguientes:

       A   B   CDE     FG    H I    e    e      1     2      SN     Prom.
1      1   1   1 1 1   1 1   1 1    1    1     1.2   1.3   1.9173   1.25
2      1   1   1 1 1   2 2   2 2    2    2     1.5   1.7   4.0315
3      1   1   2 2 2   1 1   1 2    2    2     2.1   2.3   6.8215   2.20
4      1   2   1 2 2   1 2   2 1    1    2     2.4   2.0   6.7406   2.20
5      1   2   2 1 2   2 1   2 1    2    1     1.9   1.5            1.70
6      1   2   2 2 1   2 2   1 2     1   1     2.5   2.9   8.5557
7      2   1   2 2 1   1 2   2 1     2   1     3.1   1.5           2.30
8      2   1   2 1 2   2 2   1 1     1   2     3.2   3.5   10.4748 2.35
9      2   1   1 2 2   2 1   2 2     1   1     3.0   2.8   9.2325 2.90
10     2   2   2 1 1   1 1   2 2     1   2     2.5   2.4
11     2   2   1 2 1   2 1   1 1     2   2     2.4   1.9   5.9880   2.00
12     2   2   1 1 2   1 2   1 2     2    1    2.1   2.8   7.5165   2.45

                                         Totales           79.1030 27.10


Se procede al análisis de señal ruido, la tabla de totales y ANOVA es:


                     AB        C     D       E     F            G
Nivel 1    32.4948            35.4264 36.1462 33.8889               36.1654
Nivel 2    46.6082            43.6766 42.9568 45.2141               42.9376



                 H       I               e        e
Nivel 1    41.2738 35.1674                     37.2687
Nivel 2    46.6082 43.9356                     41.8343



Fact     SS            gl.    Fexp
A      16.5990         1      3.14
B      0.7061          1      0.13
C
D      3.8654          1      0.73
E      10.6883         1      2.02


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F
G 3.8219           1       0.72
H
I         6.4068           1         1.21
e         10.5687          1

Resultan significantes los factores A y E, los cuales maximizan el índice de señal
ruido a los niveles A2 y E2.

A continuación se muestra la tabla de promedios para la señal a fin de elaborar las
gráficas.

            A              B       C      D      E       F      G
Nivel 1 1.9417           2.2667 2.0667 2.1333 2.0500 2.1417 2.0833
Nivel 2 2.5750           2.2500 2.4500 2.3833 2.4667 2.3750 2.4333

            H                  I               e          e
Nivel 1 2.3250             2.1333           2.4750     2.2167
Nivel 2 2.1917             2.3833           2.0417     2.3000




A1        A2 e 1       e 2 E1   E2     C1   C2   G1   G2   I1   I2   D1   D2




     F1    F2   H1       H2     e1     e2   B1   B2

podrá corroborar que las conclusiones son similares a las que se obtuvieron con el
índice SN.

Ejemplo 4.6: Maximizar fuerza de retención

Maximizar la fuerza de desacoplamiento entre un conector de elastómero a un
tubo de nylon. Hay cuatro factores de control en el experimento.


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         Factores de control         Nivel 1       Nivel 2      Nivel 3
A        Interferencia               Bajo          Media        Alta
B        Espesor conector de pared   Delgado       Media        Gruesa
C        Profundidad de inserción    Baja          Media        Profunda
D        % de adhesivo en conector   Bajo          Medio        Alto

Hay tres factores de ruido
         Factores de ruido           Nivel 1       Nivel 2
U        Cond. Tiempo h              24            120
V        Cond. Temp. ºF              72            150
W        Cond. Humedad rel. %        25            75

Se usan dos factores de ruido combinados:
N1 = U1, V1 y W2 ésta combinación debilita la conexión
N2 = U2, V2 y W1 ésta combinación refuerza la conexión
E usa el arreglo L9 siguiente:
L9          Col.1                Col. 3             Lecturas
                        Col. 2            Col. 4    en N1, N2
Exp. No.    A           B        C        D         N1          N2            Y promedio   S/N
1           1           1        1        1         9.5         20            14.75        21.68
2           1           2        2        2         16.2        24.2          20.2         25.59
3           1           3        3        3         6.7         23.3          20           19.19
4           2           1        2        3         17.4        23.2          20.3         25.88
5           2           2        3        1         18.6        27.5          23.05        26.76
6           2           3        1        2         16.3        22.5          19.4         25.42
7           3           1        3        2         19.1        24.3          21070        26.54
8           3           2        1        3         15.6        23.2          19.4         25.25
9           3           3        2        1         19.9        22.6          21.25        26.49

La fórmula para la relación S/N es:


                1 n 1 
S / N  10 log   2 
                n        
                 i 1 yi 

La tabla de ANOVA para las relaciones S/ N es
Fuente                   Df                        Seq. SS             % de contribución
A                        2                         6.1128              32.7
B                        2                         2.7057              14.9
C                        2                         8.4751              45.5
D                        2                         1.2080              6.9
Error                    0                         0
Total                    8                         18.5016


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                              Pareto Chart of C1

            100                                                   100


             80                                                   80


                                                                  60




                                                                        Percent
             60
 Count




             40                                                   40


             20                                                   20


               0                                                  0
             C1         C        A              B         D
          Count          46       33             15          7
         Percent       45.5     32.7           14.9        6.9
         Cum %         45.5     78.2           93.1      100.0



                                                   Factor
Para las relaciones S!N                            corrección         5841.87
Nivel          Promedio                Suma                                       SS
A1             24.31                   72.94       17543.95           5847.98     6.11         33.0%
A2             26.02                   78.07                                      SSA
A3             26.10                   78.29

B1                   24.70             74.11       17533.73           5844.58     2.71         14.6%
B2                   25.87             77.61                                      SSB
B3                   25.86             77.58

C1                   24.12             72.36       17551.04           5850.35     8.48         45.8%
C2                   25.99             77.97                                      SSC
C3                   26.32             78.97

D1                   24.98             74.94       17529.24           5843.08     1.21         6.5%
D2                   25.85             77.56                                      SSD
D3                   25.60             76.80                                      18.50
Promedio             25.48                                                        SST

La salida de Minitab es la siguiente:

Taguchi Analysis: N1, N2 versus A, B, C, D

Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D
Estimated Model Coefficients for SN ratios
Term      Coef
Constant 25.4774
A 1                -1.1647
A 2                 0.5458
B 1                -0.7754



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B   2       0.3926
C   1      -1.3588
C   2       0.5127
D   1      -0.4973
D   2       0.3747

S=*

Analysis of Variance for SN ratios
Source            DF      Seq SS     Adj SS     Adj MS   F   P
A                  2      6.1128    6.11277    3.05639   *   *
B                  2      2.7057    2.70565    1.35283   *   *
C                  2      8.4751    8.47514    4.23757   *   *
D                  2      1.2080    1.20804    0.60402   *   *
Residual Error     0           *          *          *
Total              8     18.5016




Linear Model Analysis: Means versus A, B, C, D
Estimated Model Coefficients for Means
Term      Coef
Constant 20.0056
A   1      -1.6889
A   2       0.9111
B   1      -1.0889
B   2       0.8778
C   1      -2.1556
C   2       0.5778
D   1      -0.3222
D   2       0.4278

S=*

Analysis of Variance for Means
Source             DF     Seq SS     Adj SS     Adj MS   F   P
A                   2    12.8622    12.8622     6.4311   *   *
B                   2     6.0022     6.0022     3.0011   *   *
C                   2    22.4089    22.4089    11.2044   *   *
D                   2     0.8939     0.8939     0.4469   *   *
Residual Error      0          *          *          *
Total               8    42.1672




Response Table for Signal to Noise Ratios
Larger is better
Level       A        B        C        D
1       24.31    24.70    24.12    24.98
2       26.02    25.87    25.99    25.85
3       26.10    25.86    26.32    25.60
Delta    1.78     1.17     2.20     0.87



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Rank                         2         3         1       4


Response Table for Means
Level                       A        B         C         D
1                       18.32    18.92     17.85     19.68
2                       20.92    20.88     20.58     20.43
3                       20.78    20.22     21.58     19.90
Delta                    2.60     1.97      3.73      0.75
Rank                        2        3         1         4


Las gráficas factoriales son las siguientes:


                                     Main Effects Plot (data means) for SN ratios
                                             A                                B

                      26.0
                      25.5
                      25.0
  Mean of SN ratios




                      24.5
                      24.0
                                 1           2               3       1        2       3
                                             C                                D

                      26.0

                      25.5
                      25.0
                      24.5

                      24.0
                                 1           2               3       1        2       3
 Signal-to-noise: Larger is better




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                           Main Effects Plot (data means) for Means
                                A                               B
                  21

                  20

                  19

                  18
  Mean of Means




                  17

                       1        2          3          1         2         3
                                C                               D
                  21

                  20

                  19

                  18

                  17

                       1        2          3          1         2         3



La relación S/N estimada con la combinación de factores A3, B2, C3 es:
S/N = A3 + C3 +B2 – 2T = 26.10 + 26.32 + 25.87 – 2x25.48 = 27.33
La fuerza estimada de desacoplamiento es:
A3 + C3 + B2 – 2T = 20.78 + 21.58 + 20.88 – 2x20.0 = 23.24
Predicted values
Predicted values
S/N Ratio              Mean
  27.7096 23.6667




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5. DISEÑO DE PARÁMETROS PARA CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS

Los diseños anteriores se denominan estático ya que identifican una meta fija
(mayor es mejor, menor es mejor o nominal es mejor), reduciendo la variabilidad
causada por los factores de ruido.

1. Relación S/N dinámica: Si se desea obtener calidad a lo largo del rango de
operación del producto o proceso, es necesario optimizar el diseño de parámetros
con la relación S/N dinámica referida a la relación entre entrada y salida o “función
ideal” o transferencia de energía relacionada a un diseño.

2. Interacción: En un sistema de relación S/N dinámica, las interacciones entre
factores de control (parámetros de diseño) es un indicador de inconsistencia y falta
de reproducibilidad del diseño. Sin embargo la interacción entre los factores de
ruido se puede utilizar para mejorar la robustez ante los factores de ruido.

3. Arreglos ortogonales: Taguchi sugiere utilizar los arreglos L12, L18 y L36 donde
las interacciones de sus efectos principales están confundidos uniformemente en
todas las columnas y los efectos de las interacciones pueden considerarse efectos
de ruido.

4. Desarrollo de tecnologías robustas: Taguchi sugiere que el diseño de
parámetros se realice en la fase cero del diseño del producto, reduciendo el
despliegue de variabilidad en el ciclo de desarrollo y acortando el tiempo de ciclo.
En lo referente a transformación de energía se tienen los siguientes aspectos:
      Cambio de energía (vg. Eléctrica a mecánica).
      Variación de componentes de energía (vg. Amplificación de torque).
      Conectando energía con señales (conmutación de energía eléctrica).
      Canalización de energía (vg. Transferencia de potencia).
      Almacenamiento de energía (vg. Almacenamiento de energía cinética).
Para transformación de materiales se tiene:
    Cambiando la materia (vg. Líquidos a gases).
    Variando dimensiones de materiales (vg. Rolado de lámina).
    Conectando materia con energía (vg. Movimiento de materiales).
    Conectando materiales con señales (vg. Cortando corriente o flujo).
    Conectando o separando materiales de diferente tipo (vg. Mezcla o separación
     de materiales).
    Canalización de materiales ( vg. Extracción de carbón).
    Almacenamiento de materiales (vg. Almacenar granos en un silo).
Transformaciones de señales:
    Cambio de señales (vg. Analógicas a digitales).
    Variar la magnitud de las señales (vg. Incremento de su amplitud).


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      Conectando señales con energía (vg. Amplificando una medición).
      Conectando señales con materia (vg. Marcado de materiales).
      Transformando señales (vg. Filtraje).
      Canalizando señales (vg. Transferencia de datos).
      Almacenando señales ( vg. Bases de datos).

Taguchi sugiere una función ideal como la relación ideal de entrada salida de un
diseño (vg. Se asume que no hay influencia de factores de ruido y los parámetros
de diseño son fijos), en realción a la transformación de energía que a su vez se
refiere a la función del producto. Taguchi lo ilustra con el ejemplo siguiente:

En el caso de los frenos del automóvil la función ideal es que la fuerza ejercida por
el pie como entrada sea proporcional al torque de frenado.

Y = torque
de frenado

  Función ideal




  M = fuerza del pie aplicada
  Función ideal de un freno.

Sin embargo en el mundo real se tienen efectos de factores de ruido como
temperatura y ambiente:

Y = torque
de frenado

  Función ideal




 M = fuerza del pie aplicada
 Función no robusta de un freno.
Haciendo robusto el diseño es decir:




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    Asegurando que el proceso de transformación de energía se realice en
     diferentes magnitudes de transformación.
    Asegurando que el sistema de freno tiene excelente controlabilidad para este
     proceso de transformación, se tiene:

Y = torque
de frenado

  Función ideal




  M = fuerza del pie aplicada
  Función robusta de un freno.

Ejemplos de función ideal:
1. Proceso de oxidación de semiconductores
a. Función principal: Oxidar una capa delgada de material.
b. Transformación principal: Transformación del material (cambiando el material
con una reacción química).
c. Función ideal.
Y = Espesor
De oxidación

  Función ideal




  M = tiempo
  Función ideal de oxidación.

d. Análisis: entre más tiempo opere el proceso, mayor transformación del material
ocurrirá. La robustez de la función ideal es:
(1) Diferentes niveles de transformación. Con diferentes ajustes de tiempo.
(2) Controlabilidad: Se muestra como la repetibilidad similar a una línea recta.

2. Proceso de moldeo por inyección a. Función principal: Moldear partes de
acuerdo a la forma del molde.


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b. Transformación principal: Transformación del material.
c. Función ideal.

Y = Dimensión
De las partes

  Función ideal




  M = Dimensión del molde
  Función ideal de moldeo.

d. Análisis: el proceso de moldeo transforma los gránulos de polímero en partes
formadas, el molde es un “control” para la forma. Si cambia el molde en
dimensiones, así cambia la magnitud de la transformación de materiales. La
robustez de la función ideal es:

(1) Diferentes niveles de transformación.
(2) Controlabilidad.
De los ejemplos anteriores se desprenden algunas características comunes del as
funciones ideales:

1. Una función ideal está relacionada directamente al proceso de transformación
principal de la función principal del sistema técnico bajo estudio. A veces es
imposible medir la transformación en forma directa, más bien se miden las cosas
relacionadas directamente con esta transformación.

2. Si un proceso es robusto en el desarrollo de la función ideal:

a. El proceso de transformación es repetible y robusto en diferentes niveles de
transformación, aun con la presencia de factores de ruido. Por ejemplo para un
proceso de transformación de energía, el proceso es robusto en diferentes niveles
de enrgía, bajo, medio y alto.

b. La controlabilidad del procese de transformación es robusto. Si se cambia la
señal, el proceso de transformación responderá con alta precisión y alta
repetibilidad, aun en la presencia de factores de ruido.

Los pasos para identificar y definir la función ideal son los siguientes:



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1. Identificar la función principal del sistema.
2. Identificar el tipo principal de transformación detrás de la función principal.
3. Identificar la “señal” de control para la transformación principal.
4. Identificar la entrada y salida medible, donde la entrada debe ser la señal de
control misma o un aspecto relacionado, y la salida debe estar directamente
relacionada a la magnitud de la transformación.
5. Identificar la relación lineal ideal entre salida y entrada.

Taguchi sugiere para lograr robustez utilizar el método de diseño de parámetros
para características dinámicas, que se discute a continuación.


Diseño de parámetros para características dinámicas

El sistema de características dinámicas se denomina también diseño de señal
respuesta como sigue:


                Señal               Sistema          Respuesta
                                                     de salida

                                    Ruido

                     Diagrama P con señal de entrada

Ates de iniciar se debe contar con un sistema de medición adecuado que cumpla
los siguientes requisitos:

1. Para la misma muestra, las mediciones deben ser repetibles, no importa quien
esté haciendo las mediciones y cuantas veces se tome la muestra.

2. A partir de dos muestras diferentes, se deben detectar pequeñas diferencias en
las características verdaderas por el sistema de medición, es decir es deseable
que tenga una alta sensibilidad.

3. Un sistema de medición debe ser fácil de calibrar; idealmente debe existir una
relación lineal entre el valor verdadero de la característica y el valor medido.
La función ideal entre la señal y la respuesta de salida (vg. Un requerimiento
funcional FR) se muestra a continuación:




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Y = respuesta
     Función ideal

                                          Pendiente ,
                                          sensibilidad




  M = Señal
                     Relación ideal señal – respuesta
Para el diseño de parámetros con características dinámicas, se utiliza el arreglo
interno para factores de control y externo para factores de ruido, el factor de señal
M es tratado como un factor experimental.

M puede tener k niveles, M1, M2, …, Mk. En cada uno de los niveles del factor de
señal, se asignan varias combinaciones de factores ruido N12, N2, ….
Por tanto por cada combinación del arreglo interno, el factor de señal se varía k
veces, en cada factor de señal M se varían las diferentes combinaciones de los
factores de ruido N1, N2,… y bajo cada combinación de factor de ruido se mide un
requerimiento funcional (FR) como Yij.

Se espera que conforme el factor de señal se incremente, la respuesta también se
incremente. El arreglo queda como sigue:
                                Arreglo externo
 Arreglo interno                1        2       ….           N2       Experimento No.
       Factores de control
                                              M1         ….      Mk N3         Factor de señal
Exp.   A       B      …      F                                                 Factores      de
                                    N1        N2         …. N2   N3 …          ruido            S/N 
1      1       1             1      y11       y12        ….         y1,N2                       
2      1       2             2      y21       y22        ….         y2,N2      Respuesta de     
….     ….      ….     ….     ….     ….        ….         …. ….      ….         salida Y         
                                                         ….                                     
                                                         ….                                     
                                                         ….                                     
                                                         ….                                     
                                                         ….                                     
N1     2       2             1      YN1,1     YN2,2      ….         YN1,N2                      




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Y = respuesta
       Función ideal

                                                     Pendiente ,
                                                     sensibilidad




                                  M1       M2           Mk     M = Factor de Señal

                                  Dispersión típica para una corrida completa de
                                  Arreglo interno
La tabla completa para cada una de las corridas experimentales del arreglo interno
queda como:
Arreglo interno
                                Factores de señal
Factores de ruido               M1       M2         …               Mk
N1                              y11      y12                        y1k
N2                              y21      y22                        y2k
….                              ….       ….         ….              ….




Nm                              ym1      ym2                        ymk

La ecuación de regresión es:

y   0  1M  
Var ( )   2

Donde:
        k     m

        M
       i 1 j 1
                     j   ( yij  y...)
1 
ˆ              k
            m ( M j  M ) 2
              j 1




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0  y  1M
         ˆ

                           k m
                     1
 2  MSE 
 ˆ                        ( yij  ˆ0  ˆ1M j ) 2
                   mk  2 j 1 i1

En el caso de que y =0 cuando la señal M = 0 se tiene:

y  1 M  
Var ( )   2

        k   m

        M
       i 1 j 1
                   j   yij
1 
ˆ             k
        m M j
                       2

            j 1


                           k m
                     1
 2  MSE 
 ˆ                        ( yij 0  ˆ1M j ) 2
                   mk  2 j 1 i1

Los cálculos anteriores se pueden realizar con un paquete estadístico como
Minitab.

Taguchi sugiere utilizar la siguiente relación S/N:

               2             2 
S / N  10 log  12   10 log  1 
                             MSE 
                ˆ                 

Donde 1 es el coeficiente de la regresión lineal para la pendiente y MSE es el
error cuadrático medio para la regresión lineal.
La relación S/N varía como sigue:

Y = respuesta
       Función ideal




                             M1        M2          Mk   M = Factor de Señal

                             a) Alta variación, baja relación S/N


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Y = respuesta
     Función ideal




                     M1       M2           Mk    M = Factor de Señal
                     b) Baja variación y linealidad, Alta relación S/N



Y = respuesta
     Función ideal




                     M1        M2         Mk     M = Factor de Señal
                     c) No linealidad, Baja relación S/N


Y = respuesta
     Función ideal




                     M1       M2          Mk     M = Factor de Señal
                     d) Baja sensibilidad, baja relación S/N




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Y = respuesta
     Función ideal




                     M1        M2          Mk     M = Factor de Señal
                     e) Alta sensibilidad, Alta relación S/N

El diseño de parámetros roibusto de Taguchi sigue los pasos siguientes de
preparación y optimización:

1. Preparación. Usar un arreglo como el anterior, realizar los experimentos y
colectar los datos. Para cada corrida del arreglo interno, determinar la relación
señal a ruido S/N y la sensibilidad  como respuestas.

2. Analizar los resultados de los experimentos y utilizando la relación dinámica S/N
como respuesta, encontrar la combinación de los factores de control para
maximizar S/N.

3. Analizar ahora los resultados de los experimentos utilizando la sensibilidad 
como respuesta, encontrar los factores que afecten a la sensibilidad, y que no
afecten a la relación S/N, y usarlos para ajustar  al valor objetivo.

A continuación se muestra un ejemplo aplicando lo anterior.

Ejemplo 5.1 Mejora de Strain gage

El “strain” o esfuerzo es la cantidad de deformación de un cuerpo debido a la
aplicación de una fuerza. La unidad de medida es en Microstrain (e). La
deformación se mide con un strain gauge, dispositivo que varía su resistencia en
función de la fuerza aplicada, el cambio en resistencia es muy pequeño, del orden
de micro ohms (), por tanto se requiere una alta reproducibilidad y repetibilidad
en la medición. La salida está en milivolts y debe ser proporcional al cambio en
resistencia.

En el experimento M es el cambio en resistencia y el requerimiento funcional y es
el voltaje de salida. Se seleccionan tres niveles del factor de señal M1 = 10 ,
M2 = 100  y M3 = 1000 . Ciertos factores de ruido pueden afectar la
medición tales como la temperatura. Se utilizan dos niveles de factor de ruido



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     combinado N1 y N. Nueve factores corresponden al diseño de parámetros del
     gauge y sus niveles se listan a continuación:

      Factores control          Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3
      A Aleación hoja           Tipo I    Tipo 2
      B Espesor hoja            5         10            15
                                          6/6           6/6 nylon
      C Tipo material           6 nylon   nylon         v
                                Método    Método        Método
      D Método ens.             I         II            III
      E     Ancho       línea
      Externa                   45/60     40/55         35/40
      F Ancho línea interna     35        25
      G Espesor acabado         9         3
      H Dimensión Loop          50        70            80
      I Espesor de muestra      10        25            40

     Se utiliza el arreglo L18 para acomodar los factores de control, la asignación se
     muestra a continuación:

     Para asignar los factores F y G se usa el método de factores compuestos, el factor
     compuesto FG se define como:

     (FG)1 = F1G1 (FG)2 = F2G1 (FG)3 = F2G2

     Como el Strain gauge es un sistema de medición, se requiere cero señal – cero
     salida, utilizando las ecuaciones con intersección en el origen.

     Con Minitab se pueden hacer regresiones simples de Y vs M para cada renglón
     con lo que se obtiene el valor de i y posteriormente el valor de cada S/N.
                                                                        Arreglo externo - factores control
L18          Arreglo interno - Factores control                         M1 = 10     M2 = 100     M3 = 1000
Exp. No. A         B       C         D    E        FG                   N1    N2    N1     N2    N1       N2     Beta S/N
                                                             H      I
1            1     1       1         1    1        1         1      1   10    10    249    258   2602     2608   2.6  -12.97
2            1     1       2         2    2        2         2      2   9     9     249    256   2490     2501   2.5    -12.93
3            1     1       3         3    3        3         3      3   8     9     241    243   2420     2450   2.43   -15.10
4            1     2       1         1    2        2         3      3   10    11    260                          2.73   -16.77
                                                                                           259   2710     2751
                                                                        11    12    280    291
5            1     2       2         2    3        3         1      1                            2996 3011 3            -14.59
                                                                        9     10    260    265
6            1     2       3         3    1        1         2      2                            2793 2800 2.79         -15.23
7            1     3       1         2    1        3         2      3   9     9            231                   2.43   -19.04
                                                                                    229          2400     2456
8            1     3       2         3    2        1         3      1   8     9                                  2.72   -15.67
                                                                                    272    276   2702     2738
9            1     3       3         1    3        2         1      2         9            275                   2.78   -15.90
                                                                        9           270          2761     2799
10           2     1       1         3    3        2         2      1         11           279                   2.85   -21.27
                                                                        10          267          2809     2903
11           2     1       2         1    1        3         3      2         16           251                   2.66   -21.10
                                                                        16          240          2616     2699




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12            2         1    3      2       2       1      1    3              9                                  2.45   -22.07
                                                                       8             241    248   2406     2499
13            2         2    1      2       3       1      3    2              17           301                   3.05   -20.66
                                                                       16            291          3002     3100
14            2         2    2      3       1       2      1    3              13           272                   2.66   -19.89
                                                                       12            259          2622     2699
15            2         2    3      1       2       3      2    1              11           261                   2.7    -14.51
                                                                       10            250          2699     2702
16            2         3    1      3       2       3      1    2              10                                 3.03   -15.91
                                                                       9             298    299   3010     3052
17            2         3    2      1       3       1      2    3              12           198                   2.1    -15.14
                                                                       11            190          2094     2100
18            2         3    3      2       1       2      3    1              14                                 2.61   -17.61
                                                                       13            241    258   2582     2632


     Cálculo de los coeficientes Beta:

            10 *10  10 *10  100 * 249  100 * 258  1000 * 2602  1000 * 2608
     1 
     ˆ                                                                           2.60
                                   2(102  1002  1000 2 )

     Esto mismo se puede obtener con Minitab:
     Stat > Regresión > Regresión
     Response Y = datos de primer renglón
     Predictors M = 10, 100, 100 correspondientes a los datos del primer renglón
     M            Y
     10           10

     10           10

     100          249

     100          258

     1000         2602

     1000         2608


     Los resultados de la regresión son los siguientes:
     Regression Analysis: Y versus M
     The regression equation is
     Y = 2.60 M
     Predictor Coef SE Coef        T P
     Noconstant
     M        2.60415 0.00815 319.69 0.000
     S = 11.5779
     Analysis of Variance
     Source                 DF         SS             MS           F       P
     Regression              1   13700163       13700163   102203.58   0.000
     Residual Error          5        670            134
     Total                   6   13700833


     Donde Beta = 2.60 y MSE = 134
     Sustituyendo en la fórmula de S/N se tiene:


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                2 
                  ˆ
S / N  10 log  1 
                MSE 
                    


                2.60 2 
S / N  10 log           12.97
                134 
                       

Similarmente se pueden calcular para todos los demás renglones, dando los
valores indicados en la tabla.

Para la corrida en Minitab:
Stat > DOE > Taguchi > Create Taguchi design
Seleccionar Mixed level design Factors 8
Display available designs L18 Mixed 2 - 3 levels
Designs L18 1 factor 2 levels, 7 factors 3 levels
  seleccionar Add a signal factor for dynamic characteristics
Factors Signal factor name Resistance 10 100 1000
    renombrar los factores F por FG, G por H y H por I

El arreglo que se genera es el siguiente ya con datos acomodados:


Exp. No.   A      B      C      D    E   F    G       H   Resis N1     N2
1          1      1      1      1    1   1    1       1   10    10     10
1          1      1      1      1    1   1    1       1   100    249   258
1          1      1      1      1    1   1    1       1   1000   2602 2608
2          1      1      2      2    2   2    2       2   10     9     9
2          1      1      2      2    2   2    2       2   100    249   256
2          1      1      2      2    2   2    2       2   1000   2490 2501
3          1      1      3      3    3   3    3       3   10     8     9
3          1      1      3      3    3   3    3       3   100    241   243
3          1      1      3      3    3   3    3       3   1000   2420 2450
4          1      2      1      1    2   2    3       3   10     10    11
4          1      2      1      1    2   2    3       3   100    260   259
4          1      2      1      1    2   2    3       3   1000   2710 2751
5          1      2      2      2    3   3    1       1   10     11   12
5          1      2      2      2    3   3    1       1   100    280   291
5          1      2      2      2    3   3    1       1   1000   2996 3011
6          1      2      3      3    1   1    2       2   10     9    10
6          1      2      3      3    1   1    2       2   100    260   265




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6          1     2     3     3      1   1    2       2   1000   2793 2800
7          1     3     1     2      1   3    2       3   10     9    9
7          1     3     1     2      1   3    2       3   100    229   231
7          1     3     1     2      1   3    2       3   1000   2400 2456
8          1     3     2     3      2   1    3       1   10     8    9
8          1     3     2     3      2   1    3       1   100    272   276
8          1     3     2     3      2   1    3       1   1000   2702 2738
9          1     3     3     1      3   2    1       2   10     9    9
9          1     3     3     1      3   2    1       2   100    270   275
9          1     3     3     1      3   2    1       2   1000   2761 2799
10         2     1     1     3      3   2    2       1   10     10   11
10         2     1     1     3      3   2    2       1   100    267   279
10         2     1     1     3      3   2    2       1   1000   2809 2903
11         2     1     2     1      1   3    3       2   10     16   16
11         2     1     2     1      1   3    3       2   100    240   251
11         2     1     2     1      1   3    3       2   1000   2616 2699
12         2     1     3     2      2   1    1       3   10     8    9
12         2     1     3     2      2   1    1       3   100    241   248
12         2     1     3     2      2   1    1       3   1000   2406 2499
13         2     2     1     2      3   1    3       2   10     16   17
13         2     2     1     2      3   1    3       2   100    291   301
13         2     2     1     2      3   1    3       2   1000   3002 3100
14         2     2     2     3      1   2    1       3   10     12   13
14         2     2     2     3      1   2    1       3   100    259   272
14         2     2     2     3      1   2    1       3   1000   2622 2699
15         2     2     3     1      2   3    2       1   10     10   11
15         2     2     3     1      2   3    2       1   100    250   261
15         2     2     3     1      2   3    2       1   1000   2699 2702
16         2     3     1     3      2   3    1       2   10     9    10
16         2     3     1     3      2   3    1       2   100    298   299
16         2     3     1     3      2   3    1       2   1000   3010 3052
17         2     3     2     1      3   1    2       3   10     11   12
17         2     3     2     1      3   1    2       3   100    190   198
17         2     3     2     1      3   1    2       3   1000   2094 2100
18         2     3     3     2      1   2    3       1   10     13   14
18         2     3     3     2      1   2    3       1   100    241   258
18         2     3     3     2      1   2    3       1   1000   2582 2632

Analizando los datos en Minitab, se tiene:
Stat > DOE > Taguchi > Analyze Taguchi design
Seleccionar Response Data in N1 N2
Graphs: Signal to noise ratios Slopes

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Options: Fit all lines through a fixed reference point
 Response reference value 0 Signal reference value 0
Analysis: Display response tables y Fit linear model for Signal to noise ratios
Slopes
Store Signal to noise ratios Slopes
Terms: Seleccionar los 8 factores
OK

Los resultados de Minitab son:
Taguchi Analysis: N1, N2 versus A, B, C, D, E, F, G, H
Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D, E, F, G, H
Estimated Model Coefficients for SN ratios
Term            Coef   SE Coef         T       P
Constant    -17.0192     1.229   -13.850   0.005
A 1           1.6665     1.229     1.356   0.308
B 1          -0.5552     1.738    -0.319   0.780
B 2           0.0804     1.738     0.046   0.967
C 1          -0.7477     1.738    -0.430   0.709
C 2           0.4668     1.738     0.269   0.813
D 1           0.9574     1.738     0.551   0.637
D 2          -0.8001     1.738    -0.460   0.690
E 1          -0.6178     1.738    -0.355   0.756
E 2           0.7071     1.738     0.407   0.724
F 1           0.0629     1.738     0.036   0.974
F 2          -0.3742     1.738    -0.215   0.849
G 1           0.1309     1.738     0.075   0.947
G 2           0.6665     1.738     0.384   0.738
H 1           0.9186     1.738     0.529   0.650
H 2           0.0668     1.738     0.038   0.973

S = 5.213     R-Sq = 62.9%   R-Sq(adj) = 0.0%


Analysis of Variance for SN ratios
Source            DF    Seq SS   Adj SS     Adj MS      F       P   Porc. de contribuciçon
A                  1    49.990   49.990    49.9900   1.84   0.308   A      34.12
B                  2     3.241    3.241     1.6203   0.06   0.944
C                  2     5.135    5.135     2.5675   0.09   0.914
D                  2     9.489    9.489     4.7443   0.17   0.851   D        6.45
E                  2     5.337    5.337     2.6687   0.10   0.911
F                  2     1.445    1.445     0.7225   0.03   0.974   H        4.51
G                  2     6.584    6.584     3.2918   0.12   0.892   I        7.42
H                  2    10.916   10.916     5.4578   0.20   0.833
Residual Error     2    54.359   54.359    27.1795
Total             17   146.495




Linear Model Analysis: Slopes versus A, B, C, D, E, F, G, H
Estimated Model Coefficients for Slopes
Term            Coef   SE Coef        T        P


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Constant    2.67159        0.03261         81.920       0.000
A 1        -0.00650        0.03261         -0.199       0.860
B 1        -0.08881        0.04612         -1.926       0.194
B 2         0.15085        0.04612          3.271       0.082
C 1         0.11084        0.04612          2.403       0.138
C 2        -0.06683        0.04612         -1.449       0.284
D 1        -0.07792        0.04612         -1.689       0.233
D 2         0.00042        0.04612          0.009       0.994
E 1        -0.04712        0.04612         -1.022       0.414
E 2         0.01610        0.04612          0.349       0.760
F 1        -0.05220        0.04612         -1.132       0.375
F 2         0.01583        0.04612          0.343       0.764
G 1         0.08310        0.04612          1.802       0.213
G 2        -0.11065        0.04612         -2.399       0.139
H 1         0.07595        0.04612          1.647       0.241
H 2         0.12928        0.04612          2.803       0.107

S = 0.1384     R-Sq = 96.1%            R-Sq(adj) = 66.9%


Analysis of Variance for Slopes
Source                DF     Seq SS          Adj SS         Adj MS           F       P
A                      1   0.000761        0.000761       0.000761        0.04   0.860
B                      2   0.206938        0.206938       0.103469        5.40   0.156
C                      2   0.112135        0.112135       0.056067        2.93   0.255
D                      2   0.072464        0.072464       0.036232        1.89   0.346
E                      2   0.020653        0.020653       0.010327        0.54   0.650
F                      2   0.025787        0.025787       0.012893        0.67   0.598
G                      2   0.119449        0.119449       0.059725        3.12   0.243
H                      2   0.387591        0.387591       0.193796       10.12   0.090
Residual Error         2   0.038288        0.038288       0.019144
Total                 17   0.984066


Response Table for Signal to Noise Ratios
Dynamic Response
Level      A      B            C       D       E         F      G        H
1 -15.35 -17.57 -17.77 -16.06 -17.64 -16.96 -16.89 -16.10
2 -18.69 -16.94 -16.55 -17.82 -16.31 -17.39 -16.35 -16.95
3 -16.54 -16.74 -17.18 -17.11 -16.71 -17.82 -18.00
Delta      3.33        1.03        1.21        1.76          1.32       0.69     1.46    1.90
Rank          1           7           6           3             5          8        4       2


Response Table for Slopes
Level      A      B        C       D       E        F      G        H
1 2.665 2.583 2.782 2.594              2.624       2.619 2.755 2.748
2 2.678 2.822 2.605 2.672              2.688       2.687 2.561 2.801
3 2.610 2.628 2.749 2.703              2.708       2.699 2.466
  Delta 0.013 0.240 0.178              0.155       0.078 0.089 0.194 0.335
  Rank     8 2 4 5                       7         6 3 1


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Exp.
No.
       SNRA2    SLOPE2
1
       -12.96   2.60415
1
       *        *
1
       *        *
2
       -12.93   2.49563
2
       *        *
2
       *        *
3
       -15.1    2.43469
3
       *        *
3
       *        *
4
       -16.77   2.72899
4
       *        *
4
       *        *
5
       -14.59   3.00185
5
       *        *
5
       *        *
6
       -15.23   2.79462
6
       *        *
6
       *        *
7
       -19.04   2.42658
7
       *        *
7
       *        *
8
       -15.67   2.72001
8
       *        *
8
       *        *
9
       -15.89   2.77927
9
       *        *
9
       *        *
10
       -21.27   2.85457
10
       *        *
10
       *        *
11
       -21.1    2.65539
11
       *        *
11
       *        *
12
       -22.09   2.45227
12
       *        *
12
       *        *
13
       -20.66   3.04996
13
       *        *




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13
                           *            *
14
                           -19.89       2.66031
14
                           *            *
14
                           *            *
15
                           -14.51       2.6989
15
                           *            *
15
                           *            *
16
                           -15.91       3.03034
16
                           *            *
16
                           *            *
17
                           -15.14       2.09535
17
                           *            *
17
                           *            *
18
                           -17.61       2.60577
18
                           *            *
18
                           *            *


Las graficas factoriales son las siguientes:


                                            Main Effects Plot (data means) for SN ratios
                                              A                    B                       C

                         -16

                         -17

                         -18
     Mean of SN ratios




                                    1              2        1       2       3     1        2   3
                                              D                    E                       F

                         -16

                         -17

                         -18


                                1             2        3    1       2       3     1        2   3
                                              G                    H

                         -16

                         -17

                         -18


                                1             2        3    1       2       3

 Dynamic Response: Signal reference 0 Response reference 0




                                                                        Pág 125 de 171
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                                  Main Effects Plot (data means) for Slopes
                                   A                    B                     C
                  2.85

                  2.70

                  2.55


                             1           2       1      2      3      1       2   3
 Mean of Slopes




                                   D                    E                     F
                  2.85

                  2.70

                  2.55


                         1         2         3   1      2      3      1       2   3
                                   G                    H
                  2.85

                  2.70

                  2.55


                         1         2         3   1      2      3

 Dynamic Response: Signal reference 0 Response reference 0




La media de las S/N es – 17.020
La S/N pronosticada con los niveles que maximizan la relación S/N son:

S / N  A1  C2  D  E2  H 2  I 2  5T

S/N = -16.31-16.35-16.1-5(-17.020) = -11.64


El factor B tiene efecto significativo en la sensibilidad pero no tiene efecto en el
S/N por lo que se selecciona en su nivel alto para aumentar la sensibilidad (mayor
resolución), por tanto para Beta se tiene:

  A1  B2  C2  D1  E2  H 2  I1  6T
ˆ
Beta = 2.66+2.82+2.61+2.60+2.69+2.75 – 6(2.67) = 2.76
Utilizando la Opción de Minitab:
Stat > DOE > Taguchi > Predict Taguchi Results
Predict Slope Signal to noise ratio
Terms A C D E G H
Levels: Select levels from a list 1 2 1 2 2 1
OK

Predicted values
S/N Ratio                        Slope



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    11.6363 2.50174

    Factor levels for predictions
    A C D E G H
       1 2 1 2 2 1

          Ejemplo 5.2: Mejora del sistema de sello de hule de puerta
          Se usa un hule para sellar la puerta de un automóvil, con dos características,
          esfuerzo para cerrar y ruido del aire ambiente que están en contradicción. La
          función ideal es como sigue:
          Y = Presión/carga

      Función ideal




                          M1      M2        Mk    M = Factor de Señal
                          Desplazamiento hacia adentro del hule

Los factores de ruido son:
N1      Ambiente húmedo
N2      Ambiente seco
Q1      Flujo lento de aire
Q2      Flujo medio de aire
Q3      Flujo alto de aire

Los factores de control son los siguientes:

Factores                de
control                      Nivel 1          Nivel 2        Nivel 3      Nivel 4     Nivel 5    Nivel 6
                                              Esponja        Esponja                 Densa
A Material                   Esponja baja     media          alta         Densa baja media       Densa alta
B Recubrimiento              Ninguno          Tipo 1         Tipo 2
                             Radio
C Forma de esquina           pequeño          Radio grande   Plano
D Ventilación                Ninguno          Grande         Pequeña
E Forma bulbo                Redondeado       Cuadrado       Triangular
F Accesorios                 Cinta            Pin            Carrillera

El arreglo a usar es el L18 mostrado a continuación:




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             L18      Factores de control
             Exp.     A          B       C         D          E           F
             1        1          1       1         1          1           1
             2        1          2       2         2          2           2
             3        1          3       3         3          3           3
             4        2          1       1         2          2           3
             5        2          2       2         3          3           1
             6        2          3       3         1          1           2
             7        3          1       2         1          3           3
             8        3          2       3         2          1           1
             9        3          3       1         3          2           2
             10       4          1       3         3          2           1
             11       4          2       1         1          3           2
             12       4          3       2         2          1           3
             13       5          1       2         3          1           2
             14       5          2       3         1          2           3
             15       5          3       1         2          3           1
             16       6          1       3         2          3           2
             17       6          2       1         3          1           3
             18       6          3       2         1          2           1

             El arreglo externo y los datos obtenidos se muestran en la tabla siguiente:


L18 M1                                                 M2                                               M3
Exp. Q1               Q2             Q3                Q1                 Q2            Q3              Q1             Q2            Q3
No.   N1      N2      N1     N2      N1      N2        N1         N2      N1     N2     N1     N2       N1     N2      N1     N2     N1     N2
1     1.78    9.15    1.78   9.86    2.37    12.68 2.52           3.63    4.72   6.65   6.29   8.16     4.4    5.84    6.48   6.63   6.25   9.64
2     0       0       0      0       0       0         3.62       4.59    3.62   4.59   3.82   4.59     3.38   4.72    3.38   4.72   3.38   4.72
3     4.11    7.32    3.38   10.9    3.62    10.34 7.07           7.43    6.34   10.31 6.88    11.75 4.14      4.26    4.53   5.91   4.92   6.73
4     4.67    5.04    4.67                             10.68 26.53 11.17                                6.65   9.74    7.25
                             9.24    5.61    9.24                                28.57 11.65   29.59                          10.49 7.25    10.86
5     0       0.44    1.36   0.44                      2.65       0.96    4.13   1.35                   3.58   2.85    3.93   4.07
                                     2.17    0.88                                      3.54    4.43                                 4.29    4.61
6     1.69    0       1.41   0                         2.08       1.15    2.34   1.91                   4.74   3.42    4.74   3.85
                                     1.69    0.74                                      2.73    2.67                                 4.9     3.85
7     2.33    3.6            4.4                       2.62       4.25           4.69                   3.52   4.81           4.68
                      2.62           3.21    5.2                          3.42         3.3     4.83                    3.52         3.44    4.5
8     2.47    10.75                                    6.6        11.72                                 8.35   25.27
                      3.57   9.81    3.02    9.35                         6.6    12.68 8       12.92                   8.13   28.69 8.46    30.62
9             2.27           3.79                                 10.36          11.71                         5.79           6.84
      0               0              0       3.79      0                  0            0       13.51 0                 0            1.34    9.47
10            0              0                                    0              0                             8.77           9.47
      1.02            1.28           2.3     0.24      4.35               6.72         7.51    0        6.22           8.11         8.38    11.23
11            3.2            2.49                                 20.15          21.17                         13.06          12.84
      1.68            1.68           1.68    3.55      6.06               8.13         8.29    21.17 5.96              6.54         6.69    14.22
12            3.7                                                 2.56                                         9.78
      0               0      3.7     0       3.7       1.37               3.66   6.25 5.26     5.97     4.61           6.66  10.37 8.7   11.74
13            4.19           4.63                                 12.16          13.41                         13.95         15
      1.28            1.26           1.26    4.33      9.38               9.81         9.29    13.83 12.51             13.77       14.53 14.91




                                                              Pág 128 de 171
            Diseño de Experimentos de Taguchi                                                          P. Reyes / Dic. 2006


14           0              0                                   0                 0                             3.25          3.77
     0               0              0       0        0                     0             0.12   0        0.69          1.43           1.8    4.29
15           0              0                                   5                 4.29                          8.11          10.07
     0               0.74           1.23    0        2.79                  4.18          3.76   7.86     4.58          7.2            6.46   10.07
16           0                                                  1.17                                            9.42
     0               0      0       0       0        0.4                   1.11   3.16   2.11   4.09     1.1           2.9    9.8     3.31   10.79
17           3.55           4.48                                3.07              6.39                          1.81          3.39
     4.98            6.16           5.64    4.78     6.82                  7.64          8.47   6.65     3.28          5.52           6.38   4.07
18           1.94                                               4.84                                            3.38
     0               0      2.9     0       3.23     1.21                  2.52   5.46   4.03   6.4      2.99          3.12   4.96    3.03   5.75


            Las instrucciones en Minitab son las siguientes:

            Stat > DOE > Taguchi > Create Taguchi design
                 Number of factors 6
                 Design L18 1 column 6 levels, 5 columns 3 levels
                (display available designs Mixed 3 – 6 levels)
            Seleccionar: Add a signal factor for dynamic characteristics
            Factors Signal Factor Name M Levels 0.05 0.25 0.45
            OK

            Los datos se arreglan como sigue:
            L18     Q1N1 Q1N2 Q2N1 Q2N2 Q3N1 Q3N2
            1       1.78    9.15    1.78     9.86        2.37       12.68
            1       2.52    3.63    4.72     6.65        6.29       8.16
            1       4.4     5.84    6.48     6.63        6.25       9.64
            2       0       0       0        0           0          0
            2       3.62    4.59    3.62     4.59        3.82       4.59
            2       3.38    4.72    3.38     4.72        3.38       4.72
            3       4.11    7.32    3.38     10.9        3.62       10.34
            3       7.07    7.43    6.34     10.31       6.88       11.75
            3       4.14    4.26    4.53     5.91        4.92       6.73
            4       4.67    5.04    4.67
                                             9.24        5.61       9.24
            4       10.68   26.53   11.17
                                             28.57       11.65      29.59
            4       6.65    9.74    7.25
                                             10.49       7.25       10.86
            5       0       0.44    1.36     0.44
                                                         2.17       0.88
            5       2.65    0.96    4.13     1.35
                                                         3.54       4.43
            5       3.58    2.85    3.93     4.07
                                                         4.29       4.61
            6       1.69    0       1.41     0
                                                         1.69       0.74
            6       2.08    1.15    2.34     1.91
                                                         2.73       2.67
            6       4.74    3.42    4.74     3.85
                                                         4.9        3.85
            7       2.33    3.6              4.4
                                    2.62                 3.21       5.2
            7       2.62    4.25             4.69
                                    3.42                 3.3        4.83
            7       3.52    4.81             4.68
                                    3.52                 3.44       4.5
            8       2.47    10.75
                                    3.57     9.81        3.02       9.35




                                                               Pág 129 de 171
Diseño de Experimentos de Taguchi                            P. Reyes / Dic. 2006


8     6.6     11.72
                      6.6     12.68   8        12.92
8     8.35    25.27
                      8.13    28.69   8.46     30.62
9             2.27            3.79
      0               0               0        3.79
9             10.36           11.71
      0               0               0        13.51
9             5.79            6.84
      0               0               1.34     9.47
10            0               0
      1.02            1.28            2.3      0.24
10            0               0
      4.35            6.72            7.51     0
10            8.77            9.47
      6.22            8.11            8.38     11.23
11            3.2             2.49
      1.68            1.68            1.68     3.55
11            20.15           21.17
      6.06            8.13            8.29     21.17
11            13.06           12.84
      5.96            6.54            6.69     14.22
12            3.7
      0               0       3.7     0        3.7
12            2.56
      1.37            3.66    6.25    5.26     5.97
12            9.78
      4.61            6.66    10.37   8.7      11.74
13            4.19            4.63
      1.28            1.26            1.26     4.33
13            12.16           13.41
      9.38            9.81            9.29     13.83
13            13.95           15
      12.51           13.77           14.53    14.91
14            0               0
      0               0               0        0
14            0               0
      0               0               0.12     0
14            3.25            3.77
      0.69            1.43            1.8      4.29
15            0               0
      0               0.74            1.23     0
15            5               4.29
      2.79            4.18            3.76     7.86
15            8.11            10.07
      4.58            7.2             6.46     10.07
16            0
      0               0       0       0        0
16            1.17
      0.4             1.11    3.16    2.11     4.09
16            9.42
      1.1             2.9     9.8     3.31     10.79
17            3.55            4.48
      4.98            6.16            5.64     4.78
17            3.07            6.39
      6.82            7.64            8.47     6.65
17            1.81            3.39
      3.28            5.52            6.38     4.07
18            1.94
      0               0       2.9     0        3.23
18            4.84
      1.21            2.52    5.46    4.03     6.4
18            3.38
      2.99            3.12    4.96    3.03     5.75


Y se cargan al arreglo que genera Minitab:




                                            Pág 130 de 171
        Diseño de Experimentos de Taguchi                                     P. Reyes / Dic. 2006




A   B   C     D     E     F     Desplazamiento Q1N1   Q1N2    Q2N1    Q2N2    Q3N1      Q3N2    SNRA4     SLOPE4 INT4
1   1   1     1     1     1     0.05          1.78    9.15    1.78    9.86    2.37      12.68   11.6134   17.15   0
1   1   1     1     1     1     0.25          2.52    3.63    4.72    6.65    6.29      8.16    *         *       *
1   1   1     1     1     1     0.45          4.4     5.84    6.48    6.63    6.25      9.64    *         *       *
1   2   2     2     2     2     0.05          0       0       0       0       0         0       19.4482   10.68   0
1   2   2     2     2     2     0.25          3.62    4.59    3.62    4.59    3.82      4.59    *         *       *
1   2   2     2     2     2     0.45          3.38    4.72    3.38    4.72    3.38      4.72    *         *       *
1   3   3     3     3     3     0.05          4.11    7.32    3.38    10.9    3.62      10.34   10.9069   17.54   0
1   3   3     3     3     3     0.25          7.07    7.43    6.34    10.31   6.88      11.75   *         *       *
1   3   3     3     3     3     0.45          4.14    4.26    4.53    5.91    4.92      6.73    *         *       *
2   1   1     2     2     3     0.05          4.67    5.04    4.67    9.24    5.61      9.24    10.8761   34.25   0
2   1   1     2     2     3     0.25          10.68   26.53   11.17   28.57   11.65     29.59   *         *       *
2   1   1     2     2     3     0.45          6.65    9.74    7.25    10.49   7.25      10.86   *         *       *
2   2   2     3     3     1     0.05          0       0.44    1.36    0.44    2.17      0.88    19.0392   9.363   0
2   2   2     3     3     1     0.25          2.65    0.96    4.13    1.35    3.54      4.43    *         *       *
2   2   2     3     3     1     0.45          3.58    2.85    3.93    4.07    4.29      4.61    *         *       *
2   3   3     1     1     2     0.05          1.69    0       1.41    0       1.69      0.74    22.5441   9.328   0
2   3   3     1     1     2     0.25          2.08    1.15    2.34    1.91    2.73      2.67    *         *       *
2   3   3     1     1     2     0.45          4.74    3.42    4.74    3.85    4.9       3.85    *         *       *
3   1   2     1     3     3     0.05          2.33    3.6     2.62    4.4     3.21      5.2     14.3089   11.13   0
3   1   2     1     3     3     0.25          2.62    4.25    3.42    4.69    3.3       4.83    *         *       *
3   1   2     1     3     3     0.45          3.52    4.81    3.52    4.68    3.44      4.5     *         *       *
3   2   3     2     1     1     0.05          2.47    10.75   3.57    9.81    3.02      9.35    15.2873   41.04   0
3   2   3     2     1     1     0.25          6.6     11.72   6.6     12.68   8         12.92   *         *       *
3   2   3     2     1     1     0.45          8.35    25.27   8.13    28.69   8.46      30.62   *         *       *
3   3   1     3     2     2     0.05          0       2.27    0       3.79    0         3.79    8.3326    12.42   0
3   3   1     3     2     2     0.25          0       10.36   0       11.71   0         13.51   *         *       *
3   3   1     3     2     2     0.45          0       5.79    0       6.84    1.34      9.47    *         *       *
4   1   3     3     2     1     0.05          1.02    0       1.28    0       2.3       0.24    17.4972   17.67   0
4   1   3     3     2     1     0.25          4.35    0       6.72    0       7.51      0       *         *       *
4   1   3     3     2     1     0.45          6.22    8.77    8.11    9.47    8.38      11.23   *         *       *
4   2   1     1     3     2     0.05          1.68    3.2     1.68    2.49    1.68      3.55    13.4993   30.31   0
4   2   1     1     3     2     0.25          6.06    20.15   8.13    21.17   8.29      21.17   *         *       *
4   2   1     1     3     2     0.45          5.96    13.06   6.54    12.84   6.69      14.22   *         *       *
4   3   2     2     1     3     0.05          0       3.7     0       3.7     0         3.7     18.7066   18.79   0
4   3   2     2     1     3     0.25          1.37    2.56    3.66    6.25    5.26      5.97    *         *       *
4   3   2     2     1     3     0.45          4.61    9.78    6.66    10.37   8.7       11.74   *         *       *
5   1   2     3     1     2     0.05          1.28    4.19    1.26    4.63    1.26      4.33    23.0203   34.84   0
5   1   2     3     1     2     0.25          9.38    12.16   9.81    13.41   9.29      13.83   *         *       *
5   1   2     3     1     2     0.45          12.51   13.95   13.77   15      14.53     14.91   *         *       *
5   2   3     1     2     3     0.05          0       0       0       0       0         0       12.0658   4.289   0
5   2   3     1     2     3     0.25          0       0       0       0       0.12      0       *         *       *
5   2   3     1     2     3     0.45          0.69    3.25    1.43    3.77    1.8       4.29    *         *       *
5   3   1     2     3     1     0.05          0       0       0.74    0       1.23      0       20.9356   17.44   0
5   3   1     2     3     1     0.25          2.79    5       4.18    4.29    3.76      7.86    *         *       *
5   3   1     2     3     1     0.45          4.58    8.11    7.2     10.07   6.46      10.07   *         *       *
6   1   3     2     3     2     0.05          0       0       0       0       0         0       13.6634   12.34   0
6   1   3     2     3     2     0.25          0.4     1.17    1.11    3.16    2.11      4.09    *         *       *



                                             Pág 131 de 171
        Diseño de Experimentos de Taguchi                                               P. Reyes / Dic. 2006


6   1   3        2       3       2           0.45       1.1      9.42   2.9      9.8    3.31      10.79   *         *       *
6   2   1        3       1       3           0.05       4.98     3.55   6.16     4.48   5.64      4.78    11.5932   13.86   0
6   2   1        3       1       3           0.25       6.82     3.07   7.64     6.39   8.47      6.65    *         *       *
6   2   1        3       1       3           0.45       3.28     1.81   5.52     3.39   6.38      4.07    *         *       *
6   3   2        1       2       1           0.05       0        1.94   0        2.9    0         3.23    15.1305   10.57   0
6   3   2        1       2       1           0.25       1.21     4.84   2.52     5.46   4.03      6.4     *         *       *
6   3   2        1       2       1           0.45       2.99     3.38   3.12     4.96   3.03      5.75    *         *       *


        El análisis se realiza con las siguientes instrucciones de Minitab:
        Stat > Taguchi > Analyze Taguchi Design Response Data in:
        Q1N1 Q1N2 Q2N1 Q2N2 Q3N1 Q3N2

        Graphs: Signal to noise ratios / Slopes
        Analysis: Signal to noise ratios / Slopes
        Terms: A B C D E F
        Analysis graphs: Normal plot of residues
        Options: Fit all lines trhough a fixed point 0 0
        Storage: Signal to noise ratios / Slopes
        OK
        La tabla de resultados manual es:
            L18      Factores de control
            Exp. A           B C D             E    F          Sensibilidad S/N
            1    1           1 1 1             1    1          17.25           11.72
            2    1           2 2 2             2    2          10.61.          19.47

            3        1       3       3   3     3    3          17.09           10.85
            4        2       1       1   2     2    3          33.27           10.65
            5        2       2       2   3     3    1          9.32            19.00
            6        2       3       3   1     1    2          9.31            22.50
            7        3       1       2   1     3    3          10.99           14.20
            8        3       2       3   2     1    1          40.68           15.21
            9        3       3       1   3     2    2          11.84           7.92
            10       4       1       3   3     2    1          17.57           17.45
            11       4       2       1   1     3    2          28.89           13.38
            12       4       3       2   2     1    3          18.71           18.65
            13       5       1       2   3     1    2          34.78           23.01
            14       5       2       3   1     2    3          4.20            11.89
            15       5       3       1   2     3    1          17.39           20.89
            16       6       1       3   2     3    2          12.18           13.55
            17       6       2       1   3     1    3          13.58           11.40
            18       6       3       2   1     2    1          10.47           15.05


                                                        Pág 132 de 171
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La salida de Minitab es la siguiente:
Taguchi Analysis: Q1N1, Q1N2, Q2N1, Q2N2, Q3N1, Q3N2 versus A, B, C, D,
E, F
Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D, E, F
Taguchi Analysis: Q1N1, Q1N2, Q2N1, Q2N2, Q3N1, Q3N2 versus A, B, C, D,
E, F
Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D, E, F
Estimated Model Coefficients for SN ratios
Term           Coef    SE Coef         T        P
Constant    15.4705      1.154    13.407    0.006
A 1         -1.4809      2.580    -0.574    0.624
A 2          2.0160      2.580     0.781    0.516
A 3         -2.8275      2.580    -1.096    0.387
A 4          1.0972      2.580     0.425    0.712
A 5          3.2034      2.580     1.242    0.340
B 1         -0.3073      1.632    -0.188    0.868
B 2         -0.3150      1.632    -0.193    0.865
C 1         -2.6621      1.632    -1.631    0.244
C 2          2.8051      1.632     1.719    0.228
D 1         -0.6102      1.632    -0.374    0.744
D 2          1.0157      1.632     0.622    0.597
E 1          1.6570      1.632     1.015    0.417
E 2         -1.5787      1.632    -0.967    0.435
F 1          1.1134      1.632     0.682    0.565
F 2          1.2808      1.632     0.785    0.515

S = 4.896     R-Sq = 85.2%       R-Sq(adj) = 0.0%


Analysis of Variance for SN ratios
Source            DF     Seq SS    Adj SS   Adj MS      F       P   Porc. De contribución
A                  5     89.252    89.252   17.850   0.74   0.659           27.6
B                  2      3.485     3.485    1.742   0.07   0.932
C                  2     89.856    89.856   44.928   1.87   0.348          27.63
D                  2      9.411     9.411    4.705   0.20   0.836
E                  2     31.465    31.465   15.733   0.66   0.604          9.6
F                  2     51.676    51.676   25.838   1.08   0.481          16.0
Residual Error     2     47.932    47.932   23.966
Total             17    323.076




Linear Model Analysis: Slopes versus A, B, C, D, E, F
Estimated Model Coefficients for Slopes
Term           Coef    SE Coef         T        P
Constant    17.9453      5.081     3.532    0.072
A 1         -2.8211     11.361    -0.248    0.827
A 2         -0.2966     11.361    -0.026    0.982
A 3          3.5822     11.361     0.315    0.782
A 4          4.3130     11.361     0.380    0.741


                                       Pág 133 de 171
Diseño de Experimentos de Taguchi                                     P. Reyes / Dic. 2006


A   5        0.9107     11.361     0.080    0.943
B   1        3.2861      7.186     0.457    0.692
B   2        0.3106      7.186     0.043    0.969
C   1        2.9605      7.186     0.412    0.720
C   2       -2.0493      7.186    -0.285    0.802
D   1       -4.1487      7.186    -0.577    0.622
D   2        4.4780      7.186     0.623    0.597
E   1        4.5558      7.186     0.634    0.591
E   2       -2.9629      7.186    -0.412    0.720
F   1        0.9281      7.186     0.129    0.909
F   2        0.3744      7.186     0.052    0.963

S = 21.56     R-Sq = 48.5%       R-Sq(adj) = 0.0%


Analysis of Variance for Slopes
Source            DF     Seq SS    Adj SS     Adj MS      F       P
A                  5     218.00    218.00     43.599   0.09   0.984
B                  2     142.99    142.99     71.495   0.15   0.867
C                  2      82.77     82.77     41.384   0.09   0.918
D                  2     224.24    224.24    112.118   0.24   0.806
E                  2     192.43    192.43     96.216   0.21   0.828
F                  2      16.19     16.19      8.094   0.02   0.983
Residual Error     2     929.39    929.39    464.693
Total             17    1806.00




Response Table for Signal to Noise Ratios
Dynamic Response
Level       A       B        C        D        E        F
1       13.99   15.16    12.81    14.86    17.13    16.58
2       17.49   15.16    18.28    16.49    13.89    16.75
3       12.64   16.09    15.33    15.06    15.39    13.08
4       16.57
5       18.67
6       13.46
Delta    6.03    0.94     5.47     1.63     3.24    3.68
Rank        1       6        2        5        4       3


Response Table for Slopes
Level       A       B        C        D        E        F
1       15.12   21.23    20.91    13.80    22.50    18.87
2       17.65   18.26    15.90    22.42    14.98    18.32
3       21.53   14.35    17.03    17.62    16.35    16.64
4       22.26
5       18.86
6       12.26
Delta   10.00    6.88     5.01     8.63     7.52    2.23
Rank        1       4        5        2        3       6



Las graficas factoriales se muestran a continuación:




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                                            Main Effects Plot (data means) for SN ratios
                                                    A                                           B                  C

                     18.0

                     16.5

                     15.0
 Mean of SN ratios




                     13.5

                     12.0
                                1       2       3           4       5               6       1   2        3    1    2     3
                                                    D                                           E                  F

                     18.0

                     16.5

                     15.0

                     13.5

                     12.0
                                    1               2                       3               1   2        3    1    2     3

 Dynamic Response: Signal reference 0 Response reference 0




                                                Main Effects Plot (data means) for Slopes
                                                A                                               B                  C
                     24

                     21

                     18

                     15
 Mean of Slopes




                     12
                            1       2       3           4       5               6       1       2        3    1    2     3
                                                D                                               E                  F
                     24

                     21

                     18

                     15

                     12
                                1               2                       3               1       2        3    1    2     3

 Dynamic Response: Signal reference 0 Response reference 0



La S/N estimada seleccionando los factores significativos que maximizan la
respuesta S/N es la siguiente:

                                       
S / N  A5  B1  C2  D2  E1  F1  5T

S/N = 18.6+15.1+18.31+16.4+17.08+16.63-5(15.4) = 25.12
La Beta 1 estimada es:

                                                                                                    
1  A5  B1  C2  D2  E1  F1  5T
ˆ

Beta 1 = 18.79+21.04+15.81+22.16+22.4+18.8-5(17.69) = 30.55



                                                                                                        Pág 135 de 171
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Con la opción de Predicción de Minitab
Stat > DOE > Taguchi > Predict Taguchi Results
Predict Slope Signal to noise ratio
Terms A B C D E F
Levels: Select levels from a list 5 1 2 2 1
OK

Los resultados son los siguientes:
Predicted values
S/N Ratio    Slope
  24.9579 30.0547

Factor levels for predictions
A B C D E F
5 1 2 2 1 1


Calidad funcional y relación S/N dinámica
La calidad funcional se expresa por la función ideal, relacionada directamente con
el proceso de transformación principal ya sea de energía, material o señal. En la
etapa de diseño de un producto/proceso, el objetivo más importante es asegurarse
que el producto desarrolle su función principal correctamente y de manera
consistente.

Cuando se define una buena función ideal y se usa la relación dinámica S/N como
la medición de robustez, junto con una adecuada selección de factores de ruido y
parámetros de diseño en un diseño de parámetros robusto, se alcanzan diversos
objetivos:

1. Una mayor relación S/N significa que el sistema sigue la función ideal con la
mínima cantidad de variación, de esta manera se garantiza que el sistema tiene
excelente controlabilidad.

2. La meta del diseño robusto de parámetros es hacer que el sistema realice su
función principal consistentemente bajo la influencia de factores de ruido. Si se
logra la robustez, se eliminarán muchos síntomas potenciales (factores de ruido)
en las etapas posteriores de desarrollo.

3. En resumen enfocándose a la calidad funcional y usando S/N dinámica se
asegura la calidad funcional y se reduce el tiempo de desarrollo.

El uso de S/N dinámica como medición de la robustez derivada de la función lineal
ideal, claramente penaliza:


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    La variación – es indeseable.
    La no linealidad – que es una forma de complejidad desde el punto de vista del
     diseño axiomático (se prefiere el concepto más sencillo). La linealidad es una
     propiedad deseable de la señal. Cuando existen varias no linealidades en la
     relación señal / respuesta se puede complicar demasiado en un ambiente de
     producción masiva, las relaciones S/N se pueden tornar incontrolables o
     impredecibles.
    Baja sensibilidad – una alta sensibilidad es una propiedad deseable. Si se
     requiere una sensibilidad objetivo, que no sea ni muy baja ni muy alta, se
     puede el procedimiento de optimización para ajustarla al objetivo.

Las interacciones entre factores de control no son deseables, en el diseño robusto
dinámico se sugieren los arreglos L12, L18 y L36, debido a que en esos arreglos
las interacciones están confundidas uniformemente en todas las columnas, lo que
equivale a tener ruido.

Desde el punto de vista del diseño axiomático, las interacciones introducen
complejidad, por lo que un diseño con interacciones no es una selección adecuada
de diseño, ya que elimina la aditividad de los efectos lo que aumenta la
complejidad.




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6. DATOS POR ATRIBUTOS
Los datos por atributos están en forma discontinua, con valores discretos tales
como bueno o malo, o 0 y 1. Estos datos con dos clases producen menos
discriminación que los datos por variables. Para mejorar la potencia de
discriminación se pueden utilizar datos con más clases por ejemplo:

Clase    Descripción
1        Sin defecto
2        Defecto ligero
3        Defecto moderado
4        Defecto severo

Entre mayor sea el número de clases mejora su habilidad para detectar
corrimientos en la media o en la variabilidad.
Tamaño de muestra
Una regla general es captar un mínimo de 20 muestras de la clase con la menor
frecuencia (defectos, defectivos, etc.) entre ocurrencias y no ocurrencias, entre
menor sea la tasa de falla mayor será el tamaño de muestra.

Métodos de análisis
Se tienen varios casos como se muestra a continuación:
                              Ocurrencias      y    no Sólo las ocurrencias son
                              ocurrencias conocidas    conocidas
Dos clases                    Caso I                   Caso III
                              ANOVA                    ANOVA
                              Datos 0, 1                Frecuencia           de
                              % de ocurrencias         ocurrencias
Más de dos clases             Caso II
                              Análisis acumulativo


Ejemplo 6.1: Fracturas en carcasas de transmisiones
a) Pasa no pasa

En tiempos recientes se han encontrado entre 10 y 15% de carcasas defectuosas,
definitivamente algo ha cambiado en el proceso, el problema se detecta al
maquinar las carcasas después de la fundición, en esta etapa del proceso el costo
es más alto. Una solución contingente fue seleccionar al 100% estas caracasas
con tinta penetrante, a un alto costo.

Se pensó en hacer un experimento para identificar el problema, los factores que
identificó el equipo de trabajo fueron los siguientes:



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Factor                                   Nivel 1           Nivel 2
A Temperatura                            Producción        Más alta
B Tiempo                                 Producción        Menor tiempo
C Tasa de enfriamiento                   Producción        Sin ventilador
                                         (ventilador)
D Limpieza con chorro de arena           Producción        Más ciclos
                                         (un ciclo)

Como se requieren 20 defectivos, a una tasa de defectos del 10%, se necesitan al
menos 200 muestras.

Los factores se asignaron a un diseño ortogonal L8 como sigue:

L8       Col.1         Col.         Col.            Col.
                 Col. 2 3     Col. 4 5       Col. 6 7       Carcasas
Exp.     A       B     AxB C        e        e      D
No.                                                         Def         Buenas
  1      1       1     1      1     1        1      1       4           20
2        1       1     1      2     2        2      2       1           23
3        1       2     2      1     1        2      2       1           23
4        1       2     2      2     2        1      1       2           22
5        2       1     2      1     2        1      2       4           20
6        2       1     2      2     1        2      1       4           20
7        2       2     1      1     2        2      1       0           24
8        2       2     1      2     1        1      2       0           24
                                                    Total       16      176 = 192

No funciona con Minitab

Los productos malos se codifican con un 1 y los buenos con 0. Por tanto para el
primer experimento se tienen 4 unos y 20 ceros.

SST = T – T^2/N

SST = 1^2+1^2+………+0+0 – 16^2/ 192 = 16 – 16^2/192 = 14.667

SSA = (A1-A2)^2 / N = (8-8)^2/192 = 0
SSB = (B1-B2)^2 / N = (13-3)^2/192 = 0.521
SSAB=(AxB1-AxB2)/N= (5-11)^2/192=0.188
SSC = (C1-C2)^2 / N = (9-2)^2 / 192 = 0.021
SSD = (D1-D2)^2 / N =(10-6)^2 /192 = 0.083

SSea (9-7)^2/192 = 0.021 Columna 5
SSeb (10-6)^2/192=0.083 Columna 6


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Se tienen dos fuentes de error: e1 a partir de las columnas restantes
e1 = 0.021 + 0.083=0.104
e2 en base a las repeticiones en cada intento:

e2 = SST – SSA – SSB – SSAB – SSC –SSD – Sse1

e2 = 13.75 con (N-1-7) gl = 184 gl.

La tabla ANOVA se muestra a continuación:

Fuente           SS        v              MS            F      SS           p
A                0.0       1              0.0
B                0.521     1              0.521         6.95
C                0.021     1              0.021
D                0.083     1              0.083
AxB              0.188     1              0.188         2.51
e1               0.104     2              0.052
e2               13.75     184            0.075
T                14.667    191

La interacción es significativa para una alfa del 15% y la gráfica de la interacción
queda como:

Los promedios de las respuestas para las diferentes combinaciones de los niveles
A y B son:

A1B1= 2.5
A1B2 = 1.5
A2B1= 4
A2B2 = 0


                                 Defectos en carcasas

           5

           4

           3                                                         Nivel B1
           2                                                         Nivel B2

           1

           0
                          A1B2                          A2B2
      Nivel B1            2.5                            4
      Nivel B2            1.5                            0




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Como se puede observar la mejor condición se obtiene en A2B2 (tiempo corto,
alta temperatura).

Se hizo un experimento de comprobación resultando de 300 carcasas ninguna con
defecto.

b) Defectos en varias categorías
Si ahora se clasifican los defectos en varias categorías se tiene:

     Severidad                 No. de Clase
     Sin fracturas             1
     Fractura ligera           2
     Fractura moderada         3
     Fractura severa           4

Paso 1. Crear una tabla de defectos por clase acumulativa:

Experimento      Clase 1        Clase 2       Clase 3      Clase 4        Total
1                20             2             1            1              24
2                23             0             0            1              24
3                23             0             1            0              24
4                22             0             2            0              24
5                20             4             0            0              24
6                20             2             2            0              24
7                24             0             0            0              24
8                24             0             0            0              24
Totales          176            8             6            2              192

Experimento Clase               Clase         Clase        Clase          Total
            acum. 1             acum. 2       acum. 3      acum. 4
1           20                  22            23           24             24
2           23                  23            23           24             24
3           23                  23            24           24             24
4           22                  22            24           24             24
5           20                  24            24           24             24
6           20                  22            24           24             24
7           24                  24            24           24             24
8           24                  24            24           24             24
Totales     176                 184           190          192            192


Paso 2. Calcular un valor de ponderación para cada clase, que está en función de
la frecuencia acumulada de ocurrencia en esa clase. La fórmula para la
ponderación de la clase es:



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            N2
W i
       Ti ( N  Ti )

Donde
N es el número total de pruebas
Ti son las ocurrencias acumuladas en la clase i

Por tanto:

            N2           192 2
W 1                                13.09
       T1 ( N  T1 ) 176(196  176)
            N2           192 2
W 2                                25.04
       T2 ( N  T2 ) 184(196  184)

          N2           192 2
W 3                              97.01
     T3 ( N  T3 ) 190(196  190)

La suma de cuadrados para cada clase se multiplica por la ponderación de la
clase para obtener una suma ponderada de cuadrados.

Paso 3. Determinación de la suma total de cuadrados SST

         Clases
SST       SST W
           i 1
                         i   i




                  Ti 2
SSTi  Ti 
                  N

En este ejemplo

SST = SST1*W1+SST2*W2+SST3*W3

Para la primera clase:

            T12         176 2
SST1  T1       176         14.66
             N          192


SST1*W1 = 14.66*13.09 = 191.98
           T2         184 2
SST2  T2  2  184         7.666
            N         192



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SST2*W2 = 7.666*25.04 = 191.97

                 T32         190 2
SST3  T3            190         1.979
                 N           192

SST3*W3 = 1.979*97.01 = 191.99

SST = SST1*W1+SST2*W2+SST3*W3= 575.94

Paso 4. Calcular las sumas de cuadrados para las columnas para cada clase:

         ( A1i  A2i ) 2
SSAi 
               N
        Clases
SSA      SSA W
         i 1
                   i   i




Del arreglo L8:

SSA1 = (88-88)^2/192 = 0
SSA2 = (90-94)^2/192=0.0833
SSA3 = (94-96)^2/192=0.0208

SSA = 0.0(13.09) + 0.0833(25.4) + 0.0208(97.01) = 4.1

De esta misma forma se calculan las otras columnas.

Los grados de libertad para cada columna es gl = gl A (3) = 3

Los grados de libertad totales son (N-1) (clases) = 191(3) = 573

La tabla ANOVA se muestra a continuación:

Fuente            SS           v               MS        F       SS          p
A                 4.1          3               1.37      1.37
B                 93.36        3               3.12      3.12
C                 0.79         3               0.26
D                 3.18         3               1.060
AxB               5.0          3               1.667     1.667
e1                1.88         6               0.31
e2                551.69       552             1
T                 576          573




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El resultado es similar al del ejemplo con dos clases, el análisis acumulativo
funciona mejor cuando la distribución de ocurrencia de defectos se distribuye en
las diversas clases.

Caso de datos por atributos: Solo las ocurrencias conocidas

En esta situación la frecuencia de ocurrencias se puede tratar como con datos
variables por medio de una ANOVA estándar. Por ejemplo: número de
imperfecciones superficiales en las partes, etc.

Transformación Omega para suma de porcentajes

De los datos originales:

L8        Col.1          Col.         Col.         Col.
                  Col. 2 3      Col. 4 5     Col. 6 7
Exp.      A       B      AxB    C     e      e     D      Clase 1 Clase 2 Clase 3 Clase 4
No.
1         1       1      1      1     1      1     1      20       2          1       1
2         1       1      1      2     2      2     2      23       0          0       1
3         1       2      2      1     1      2     2      23       0          1       0
4         1       2      2      2     2      1     1      22       0          2       0
5         2       1      2      1     2      1     2      20       4          0       0
6         2       1      2      2     1      2     1      20       2          2       0
7         2       2      1      1     2      2     1      24       0          0       0
8         2       2      1      2     1      1     2      24       0          0       0

Si consideramos la interacción AB como significativa se tiene:

En el Nivel A1B1:
Clase 1= 43/48 = 89.6% Clase 2 = 2/48 = 4.2% Clase 3 = 2.1% Clase 4 = 4.2%

En el nivel A1B2:
Clase 1 = 93.75% Clase 2=0% Clase 3=6.25% Clase 4=0%

En el nivel A2B1:
Clase 1=83.3% Clase 2=12.5% Clase 3=4.2% Clase 4=0%

En el nivel A2B2:
Clase 1 = 100% Clases 2,3,4 = 0%

Esta es la combinación de niveles que se selecciona.




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Si se hubiera seleccionado la combinación A1B2, se podrían sumar los
porcentajes trasformando los valores con la transformación Omega (rel. S/N):

                1   
( p)  10 log   1
                p 
                    
Donde p es un porcentaje.

Para estimar los porcentajes se estima el porcentaje promedio en cada clase:

Promedio de la clase 1 general = 176/192 = 91.66% = 0.9166
                     1        
(0.9166)  10 log         1  10.41
                     0.9166 

Para la clase 1 se tiene en A1B2 el 23/24=95.8% = 0.958
                    1        
(0.958)  10 log         1  13.58
                    0.958 
Para la clase 1 se tiene en A1B2 el 22/24=91.66% = 0.9166
                      1         
(0.9166)  10 log           1  10.41
                      0.9166 

La respuesta estimada es:

(  )  ( A1B2)  ( A1B2)  (Y )
= 13.58+10.41 – 10.41= 13.58

Haciendo la operación inversa se tiene:

13.58 =- 10*log(1/p – 1) despejando a p se tiene:
-1.358 = log(1/p -1)
10^(-1.358)=1/p – 1
1.04385 = 1/p
p= 0.9579 = 95.79%

Así sucesivamente para las otras clases en caso de que haya necesidad de sumar
porcentajes.




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7. DISEÑO DE TOLERANCIAS
Las tolerancias utilizadas inicialmente se trata de que sean lo más amplias posible
por consideraciones de costo, después se optimiza el diseño del producto y del
proceso a través de una combinación adecuada de parámetros de diseño (DPs).
Después es necesario identificar los requerimientos funcionales (FRs)
relacionados con el cliente que no se cubren con los métodos de optimización de
diseño de parámetros. Estrechando las tolerancias y mejorando los materiales y
otros parámetros, normalmente se requiere para alcanzar los objetivos de
requerimientos funcionales FRs.


 Atributos y                 Requerimientos           Requerimientos de          Variables del
 tolerancias del             funcionales (FRs) y      parámetros de              proceso de
 cliente (QFD)               tolerancias              diseño (DPs) y             manufactura (PVs) y
                                                      tolerancias                tolerancias


  Proceso de desarrollo de tolerancias

Tolerancia: es la desviación permisible de un valor especificado o estándar.

Ejemplo: Dimensiones de paneles de automóvil

Los paneles de los automóviles tales como puertas y toldos tienen muchos
requerimientos funcionales, tales como proteger a los clientes, compartimientos de
pasajeros, compartimiento del motor y proporcionar una vista agradable. La
mayoría de sus requerimientos son dimensionales.

    Atributos y tolerancias del cliente: los requerimientos del cliente se expresan en
     términos vagos como “el coche debe parecer fresco, los paneles de la
     carrocería deben estar bien colocados”. Es muy fácil que el cliente esté
     insatisfecho si la puerta tiene variaciones moderadas en algunos mm. en sus
     dimensiones, puede ser que la puerta sea difícil de abrir o cerrar o muestre
     aberturas indeseables con la carrocería.
    Tolerancias en los requerimientos funcionales (FRs): Después de analizar los
     requerimientos del cliente y ver “como trabajan los paneles” se pueden
     determinar tolerancias dimensionales para los paneles. Por ejemplo, las
     puertas deben abrir y cerrar fácilmente y deben ajustar bien en las otras partes.
     Por lo anterior se podría determinar que las dimensiones de los paneles se
     encuentren dentro de 2mm. De su valor nominal.
    Tolerancias en parámetros de diseño (DPs): Los paneles de automóviles se
     fabrican soldando otras partes más pequeñas de metal; las partes de metal se
     fabrican en un proceso de estampado. Por tanto se deben establecer
     tolerancias para los subensambles de metal estampados.

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    Tolerancias de variables del proceso (PVs): Las variables del proceso incluyen
     requerimientos en los dados, requerimientos en los mixtures y requerimientos
     del estampado. El proceso de establecimiento de tolerancias incluye establecer
     tolerancias en esos requerimientos.

El proceso se puede esquematizar como sigue:


                     Requerimientos y
                     Tolerancias de bajo nivel (DPs, DVs)
                     Txi  i
                              ………..
     Ty  o
          Y = f(x1, x2, x3, ….., xn)

     Requerimientos y
  Tolerancias de alto nivel
  (FRs)

Se enfrentan tres mayores problemas en el diseño de tolerancias:

1. Controlar la variabilidad.

2. Cumplir con los requerimientos funcionales satisfactoriamente.

3. Mantener el costo del ciclo de diseño y desarrollo en bajo nivel.

Los requerimientos funcionales deben satisfacerse con una variación mínima. Las
tolerancias del cliente se definen como “los límites de tolerancia para los cuales el
50% de los clientes estarán insatisfechos si se exceden”. Las tolerancias amplias
son menos costosas y hacen que la manufactura sea más sencilla. Si el diseño de
parámetros es insuficiente para limitar la variación de las FRs, el diseño de
tolerancias es esencial.

Una técnica utilizada en las partes mecánicas son las Tolerancias y Dimensionado
Geométrico (GDT).

Se tienen dos métodos de diseño de tolerancias: el método tradicional y el método
de Taguchi.

    Método tradicional: incluye el análisis de tolerancias del pero caso, análisis
     estadístico de tolerancias, y análisis de tolerancias basadas en el costo.



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     Método de Taguchi: incluye la relación entre la tolerancias del cliente y la
      tolerancia del proveedor, así como diseño de experimentos de tolerancia.
Tolerancia del peor caso: análisis lineal
La tolerancia del peor caso se expresa como:

T    Min f ( x1, x2 ,...., xn )  T1 T 2...  Tn  1   2  ...... n
     0



T  0  Max f ( x1, x2 ,...., xn )  T1 T 2...  Tn  1   2  ...... n

Obviamente:

 0  1   2  ......  n

Análisis de tolerancias: Si se determina la tolerancia de alto nivel con base en
tolerancias de bajo nivel.
Distribución de tolerancias: Si se determinan las tolerancias de bajo nivel a partir
de una tolerancia de alto nivel.

Ejemplo 7.1: Placas de metal
Una pila de 10 placas de metal se unen como sigue:
  Espesor Xi



  y = x1 + x2 + x3 + …..+ x10

Si cada placa de metal i, tiene espesor Ti = 0.1”, con tolerancia i = 0.002”, para i
= 1 a 10, el límite de tolerancia para la pila es de o = 0.02”.
En el caso de partir de una tolerancia de la pila de o = 0.01”, con el método de
escalado proporcional si se multiplica por 0.5 la tolerancia de cada placa i =
0.001”, para i = 1 a 10, el límite de tolerancia para la pila es de o = 0.01”.

Ejemplo 7.2: Tolerancia de un espacio de alivio
Se trata de determinar la tolerancia de C, se asume que A tiene una dimensión de
2.000  0.001” y B, 1.000  0.0001”. Asumiendo que el espacio y = C – A – B debe
estar entre 0.001 y 0.006”, se trata de determinar los límites de tolerancia para C,
o sea Tc, ’c, c.




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   C
Y=C–A-B
   B
   A




  Tolerancia del ensamble
T-’c = 0.001= Min (C – A – B) = T-’c – 2.001 – 1.001
T-’c = 3.003
T+c = 0.006 = Max(C –B –A) = T+’c – 1.999 – 0.999
T+’c = 3.004
Se puede seleccionar T = 3.0035  0.0005

Ejemplo 7.3: Fuente de alimentación

Una fuente de 100V, f hertz alimenta a una resistencia R en serie con una
inductancia L con una corriente I en amperes y:

                    100
        y
                R 2  (2fL) 2

Si F = 50 Hz, Tr nominal = 9.5 ohms, r = 1 ohm, L = 0.01 H, L = 0.006 H. La
tolerancia del cliente para el circuito es y = 10  1ª. Verificaremos si las tolerancias
de los componentes son adecuadas:

                   100          
Max( y )  Max                  
               R 2  (2fL) 2   
                                

                                     100
Max( y )                                                          11.64
             (9.5  1)  (2 * 3.14159 * 50 * (0.001  0.006)) 2
                     2




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                   100          
Min( y )  Min                  
               R 2  (2fL) 2   
                                
                                     100
Min( y )                                                          8.59
             (9.5  1)  (2 * 3.14159 * 50 * (0.001  0.006)) 2
                     2




                100       
E ( y)  E                
           R 2  (2fL) 2 
                          
                          100
E ( y)                                           9.99
          (9.5)  (2 * 3.14159 * 50 * (0.001)) 2
               2




En este caso no se cubre la tolerancia del cliente desde el punto de vista del peor
caso.

Tolerancia del peor caso: análisis no lineal

En este caso de acuerdo a la expansión en serie de Taylor y a los autores Chase y
Greenwood (1988) el límite de tolerancia es:

      f       f                 f
0       1       2  .......     n
      x1      x2                xn
Del ejemplo anterior para la corriente y se tiene:

f      100 R
   
R    2
       
     R  (2fL) 2       3/ 2




Con R = 9.5 df/dR = 0.948


f    100(2f ) 2 L
   
R     
     R 2  (2fL) 2  
                    3/ 2




Con L = 0.01, df/dL = 98.53
Y

       f      f
0       R      L  0.948 *1  98.53 * 0.006  1.54
       R      L

Muy cercano al cálculo anterior. Si se quiere reducir o a 1.0, se puede multiplicar
en proporción p = 1/1.54 = 0.65 a la tolerancia de R y de L, quedando como:



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 R  0.65 *1  0.65
 L  0.006 * 0.65  0.004

Tolerancia estadística
La tolerancia del peor caso protege contra todo tipo de variaciones en los
componentes asegurando que se cumpla la tolerancia de alto nivel, sin embargo
puede dar tolerancias muy cerradas con costos altos.

Con base en que al mismo tiempo se presente una tolerancia muy baja o muy alta
en todos los componentes tiene una probabilidad muy baja, se utiliza la tolerancia
estadística, basada en la distribución normal del comportamiento de los
componentes y del producto de alto nivel (xi = N(i, 2i) para i = 1,…,n) que se
asumen independientes.

Si la ecuación de la función de transferencia entre los requerimientos de alto nivel
y los parámetros de bajo nivel o variables x1, x2,…, xn, es una función lineal:

y  f ( x1 , x2 ,.....,xn )  a1 x1  a2 x2  ....  an xn

Se tiene la siguiente relación entre las varianzas del producto de alto nivel y las de
los componentes o parámetros de bajo nivel:

Var ( y)   2  a12 12  a2 2  ...... an n
                            2 2             2 2




Los pasos para determinar la tolerancia estadística son los siguientes:
1. Identificar la función de transferencia y = f(x) entre los requerimientos de alto
nivel y y los parámetros de bajo nivel.

2. Para cada característica de bajo nivel Xi, i = 1 , …., n identificar i, Cp y i. Ya
sea de datos históricos o experiencia.

                          LSE  LIE
                   Cp 
                             6

Si el proceso está centrado (la media del proceso es igual a la media
especificada), se tiene:

                          LSE  Ti Ti  LIE  i
                   Cp                    
                            3        3     3 i
                    i  3Cp i para cada xi
                    0  3Cp 0 para alto nivel




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3. Determinar la varianza de alto nivel y con la ecuación anterior.

4, Utilizar la ecuación de [Cp = Delta cero/3 sigma ] para calcular el requerimiento
de Cp de alto nivel (debe ser al menos 1.33). Si se cumple terminar, si no
continuar.

5. Seleccionar el Cp deseable, por ejemplo Cp = 2, la varianza requerida es:

                         2
             
   2
    req    0 
            3Cp 
                

Bajando esta varianza de alto nivel a los p componentes:

                   n
 req  p 2  ai2 i2
  2

                  i 1



             req
              2

p          n

           a 
           i 1
                   2
                   i     i
                          2




La varianza y tolerancia de bajo nivel se determinan como sigue:

 inueva  p 1
 i  3Cp inueva

Ejemplo 7.4 – Ejemplo de placas revisado

Una pila de 10 placas de metal se unen como sigue:

    Espesor Xi



    y = x1 + x2 + x3 + …..+ x10

Si cada placa de metal i, tiene espesor Ti = 0.1”, con tolerancia i = 0.002”, para i
= 1 a 10, el límite de tolerancia para la pila es de o = 0.02” con dimensión T = 1.0.
Si se asume que el Cp requerido de alto nivel es de 2 y para componente de 1.33
se tiene:

           i   0.002
i                   0.0005
          3Cp 3 *1.33


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Y la varianza es:

       10
 2    i2  10 * 0.00052  0.0000025
       i 1


Y Sigma = 0.00158
Y para y se tiene:

       0     0.02
Cp                   4.21
       3 3 * 0.00158

Este es un Cp muy alto aun si se reduce o a 0.01 todavía el Cp es 2.15. Este
ejemplo muestra que las tolerancias con el método del pero caso sobrediseña las
tolerancias.

Tolerancia basada en el costo

El objetivo de un diseño óptimo basado en tolerancias es encontrar una estrategia
óptima que repercuta en un costo total mínimo (costo de reducción de la
variabilidad + pérdidas de calidad).

Los pasos para determinar la tolerancia estadística son los siguientes:

1. Identificar la función de transferencia y = f(x) entre los requerimientos de alto
nivel y y los parámetros de bajo nivel. Si no se cuenta con la ecuación, se puede
utilizar la simulación en computadora o un modelo empírico derivado de un DOE.

2. Para cada característica de bajo nivel Xi, i = 1 , …., n identificar i, Cp y i. Ya
sea de datos históricos o experiencia.

                     LSE  LIE
              Cp 
                        6

Si el proceso está centrado (la media del proceso es igual a la media
especificada), se tiene:

                     LSE  Ti Ti  LIE  i
              Cp                    
                       3        3     3 i
               i  3Cp i para cada xi
               0  3Cp 0 para alto nivel




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3. Determinar la varianza de alto nivel 2y, se pueden utilizar las sensibilidades
para sustituir las derivadas parciales.

4, Utilizar la ecuación de [Cp = Delta cero/3 sigma ] para calcular el requerimiento
de Cp de alto nivel (debe ser al menos 1.33). Si se cumple terminar, si no
continuar.

5. Seleccionar el Cp deseable, por ejemplo Cp = 2, la varianza requerida es:

                            2
             
   2
    req    0 
            3Cp 
                

Para cada Xi calcular:

           Ci
pi 
          (f ) i2

Ci es la reducción en costo unitario (por unidad de cambioo en la tolerancia de Xi)
f es el cambio incremental en el requerimiento de y para cada cambio unitario en
Xi.

Pi es un factor de escala para la reducción óptima de la tolerancia.
Bajando la varianza de alto nivel a los p componentes:

                                     2
                    f  2
                     n
   2
    req    p p 
                 2
                    x   i
                        
                            2
                            i
              i 1  i

                          req
                           2

p                               2
             n
                 f 
            p  x   i2
                
                     2
                     
                     i
           i 1  i

La varianza y tolerancia de bajo nivel se determinan como sigue:

 inueva  p 1
 i  3C p ppi i

Ejemplo 7.5: Circuito L-R revisado

Una fuente de 100V, f hertz alimenta a una resistencia R en serie con una
inductancia L con una corriente I en amperes y:



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                                 100
              y
                              R 2  (2fL) 2
Si F = 50 Hz, Tr nominal = 9.5 ohms, r = 1 ohm, L = 0.01 H, L = 0.006 H.
Se asume que los Cps de R y L son 1.33.

Se asume que la tolerancia del resistor R se puede reducir a 0.5 ohms a un costo
adicional de $0.15 y que la tolerancia del inductor L se puede reducir a 0.003H a
un costo de $0.20.

La tolerancia del cliente para el circuito es y = 10  1ª y un Cp de 2 es deseable.

La desviación estándar requerida es:

                          2
                 1
   2
    req    0  
            3Cp        0.1667
                 3* 2

La varianza de la corriente del circuito es:

                                      2
                    f            2  f  2  f  2
                      n                                 2         2

   2
           p p 
              2
                    x
                          2
                                   i     R     L
                                         R      L 
    req                   i
              i 1  i            

           R     1
R                    0.25
          3C p 3 *1.33
           L   0.006
L                    0.0015
          3C p 3 *1.33



 f 
          2                       2
         (100 R)
   2                                        0.899
 R             
       R  (2fL) 2                       
                                          3




 f  (100(2f ) 2 L) 2
          2

   2                   9708.2
 R             
        R  (2fL) 2
                       3
                                          
Con R = 9.5 y L = 0.01
De esta forma:




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             f  2  f  2
                      2         2

   2
              R     L  0.899 * 0.25 2  9708.2 * 0.0015 2  0.078
             R      L 
    req


  0.078  0.279


Dado que    req no se puede satisfacer al cliente con el Cp de 2. Ahora se

calcula pR:

      C R     0.15
pR                 0.316
     (f ) R 0.474
           2


      C L     0.20
pL                 0.678
     (f ) L 0.295
           2




Obtenido de:


                f
(f R )            R  0.948 * 0.5  0.474 A
                R
                f
(f L )            L  98.53 * 0.003  0.295 A
                L

Por tanto reducir R es más efectivo en costo que reducir L, se tiene:


                    req
                     2

p                         2
            n
                 f 
            p  x   i2
                
                  2
                  i  
           i 1  i


                                    0.1667
p                                                              1.332
           0.316 * 0.899 * 0.252  0.6782 * 9708.2 * 0.00152
                      2



Los nuevos límites de tolerancia para R y L son:




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 R  3C p pp R R  3 *1.33 *1.332 * 0.316 * 0.25  0.42
 L  3C p pp L L  3 *1.33 *1.332 * 0.678 * 0.0015  0.0054 H


Función de pérdida de Taguchi y diseño de tolerancias para seguridad

Taguchi desarrolló un método de diseño y asignación de tolerancias considerando
costos. El componente más importante del costo es la pérdida de calidad debida a
una desviación de los requerimientos del nivel ideal requerido.

Caso Nominal es mejor

Para el caso de Nominal es mejor la función de pérdida se muestra a continuación:

                              Pérdida de calidad




                      T-o T-              T        T+     T+o

                      Función de pérdida, tolerancia del cliente y del productor

La función de pérdida se puede expresar como:

        Ao
L( y )    ( y  T )2
        0
o es la tolerancia del cliente, cuando se excede se incurre en un costo Ao
Lo recomendable es que si el costo del productor de corregir un defecto o reparar
el producto antes de su envío es A < Ao cuando la característica se desvía  de la
meta se repare el producto y no se envíe al cliente. Así cuando y = T +  o y = T -
, la función de pérdida es:

           Ao 2
L( y )       
           0

Si L(y) se pone igual al costo de reparación A, y se despeja el límite de tolerancia
del productor  se tiene:

       A          
        0  0  0
       A0       A0 
                A


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Donde  es la raíz cuadrada de la pérdida de exceder el límite funcional entre la
pérdida en la fábrica por exceder el estándar de fabricación.

Siempre se prefiere corregir los defectos en la fábrica ya que si se envían al
cliente, además de su insatisfacción y altos costos incurridos, se afecta la imagen,
y se hace una mala publicidad de la empresa en lo relacionado a calidad.

Ejemplo 7.6: TV color

En un TV de color la tolerancia del cliente es de 7, si la densidad de color excede
T+7 o es menor que T-7, 50% de los clientes estarán insatisfechos y pedirán el
reemplazo de su TV a un costo de Ao = $98, si el TV se repara en la fábrica el
costo es de $10, y la tolerancia del productor debe ser:

       A              7
        0  0  0         2.24
       A0       A0    98
                          10
                A

Es decir que la tolerancia del productor debe ser de T2.24 y el factor de
seguridad  es de 3.13.

Caso Menor es mejor

En este caso la función de pérdida es la siguiente:

        A0 2
L( y )     y
        20
Si el costo interno de reparación es A en una tolerancia del productor , igualando
a la función de pérdida se tiene:

                A0 2
A  L( y )         
                20
       0          
               0
       A0         
            A


Ejemplo 7.7: Conteo de bacterias

Se cuentan las bacterias en la carne, su límite inferior es de 8,000 para evitar
enfemedades. Si el costo del tratamiento médico es de $500. Si se detecta que la
carne tiene más bacterias de las normales, se descarta a un costo de $3.00. Se
sugiere un límite de inspección en:




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       0            0        8000
                                  620
       A0                     500 3
            A

Por tanto la empacadora inspeccionará los paquetes de carne, si contiene más de
620 bacterias se descartará, el factor de seguridad es de 12.9.

Caso Mayor es mejor

En este caso la función de pérdida es la siguiente:

              1
L( y)  A0 20
             y2
Si el costo interno de reparación es A en una tolerancia del productor , igualando
a la función de pérdida se tiene:

                          1
A  L( y)  A0 20
                          2
      A0
               0   0
            A

Ejemplo 7.8: Resistencia de un cable

Suponga un cable para colgar un equipo que le ejerce 5000 kgf. Si se rompe se
incurre en un costo de $300,000. La resistencia del cable es proporcional a su
área seccional en 150 kgf/mm2. Asumiendo que el costo del cable es proporcional
a su área seccional en $60/mm2.

Sea el área X, entonces A = 60x, y =150x.

            300000
150 x             5000
             60 x
x  177
A  10,620
D  150  150 x  26,550

El factor de seguridad es :
      300,000
             5.31
      10,620




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Determinación de tolerancias de bajo nivel a partir de las de alto nivel

Dada la característica de alto nivel y y las características de bajo nivel x1, x2,…,
xn, se tiene:

Y = f(x1, x2, ….., xn)

Linearizando la función de transferencia se tiene:

            f
y T           ( xi  Ti )  ai ( xi  Ti )
            xi

La función de pérdida de Taguchi es aproximadamente:

           A0              A0
L( y )       ( y  T ) 2  2 [ai ( xi  T )]2
           0
            2
                           0

Asumiendo que cuando una característica de bajo nivel Xi excede su límite de
tolerancia i la pérdida en calidad es:

       A0
Ai       [ ai  i ] 2
       0
        2


           A1  0
i 
           A0 ai


Ejemplo 7.9: Fuente de poder

Las especificaciones de una fuente de poder son 9.5V1.5V. Si está fuera de
especificaciones el costo de su reemplazo es de $2.00. Una resistencia es crítica,
cada vez que cambia 1% su valor varia el voltaje de salida en 0.2V. Si el costo de
reemplazo del resistor es de $0.15, ¿cuál debe ser el límite de tolerancia del
resistor en porcentaje?

           A1  0   0.15 1.5
i                          2.05
           A0 ai     2 0.2

De esta forma el límite de tolerancia del resistor debe ser aproximadamente igual
a 2%.

Asignación de tolerancias para parámetros múltiples

Dada la función de transferencia y = f(x1, x2, …., xn) si se desea diseñar límites de
tolerancia para todas las características de bajo nivel x1, x2, …, xn en el método


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de Taguchi, simplemente se aplica la ecuación del problema anterior a todos los
parámetros.

                A1  0                     A2  0                  An  0
  1                  ;        2                   ……..  n 
                A0 a1                      A0 a2                   A0 an


Por lo tanto el cuadrado del rango de la salida y causada por la variación en x1,
x2, …, xn es:

2  (a11 ) 2  (a2  2 ) 2  ....  (an  n ) 2
                            2          2                    2
     A       A                   A     
   1  0    2  0   .....   n  0 
 2
     A                           A     
     0   A0                      0 
    A  A2  ...  An
2  1
          A0
          n

        A         n
       i 1
                       0
              A0


Diseño de experimentos de tolerancia de Taguchi

Dado un sistema con un requerimiento de alto nivel y relacionado con un grupo de
características de bajo nivel Xi con una función de transferencia desconocida:

Y = f(x1, x2, ….., xn)

Una vez determinados los niveles de los factores en un diseño de experimentos de
parámetros, Taguchi recomienda que los niveles de los factores se establezcan
con las reglas siguientes:

      Factores de dos niveles
          o Primer nivel = valor objetivo Ti - i
          o Segundo nivel = = valor objetivo Ti + i
      Factores de tres niveles
          o Primer nivel = valor objetivo Ti  3 / 2 i
          o Segundo nivel = valor objetivo Ti
          o Tercer nivel = valor objetivo Ti  3 / 2 i

Fijando estas tolerancias en los experimentos de dos niveles, corresponden a los
percentiles 15º Y 85º del rango de variación. Para el caso de tres niveles,


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corresponden a los percentiles 10º, 50º y 90º. Claramente se encuentran en
“extremos razonables” del rango de variación.

El diseño de tolerancias es un arreglo experimental ortogonal normal en el cual el
requerimiento funcional y es observado en cada corrida experimental. Si en:

                                2
                    n
                      y     2
Var ( y )     
              2
                             i
                             
                i 1  xi   

Si hacemos xi   i se tiene:
                    n
Var ( y )   2   (y ) 2 i
                   i 1


Esta ecuación indica que el cuadrado medio total MST en el DOE es un buen
estimador de la varianza de (Y). El porcentaje de contribución de cada factor a la
suma de cuadrados total SST puede ser usada para priorizar el esfuerzo de
reducción de tolerancia. Si un factor tiene un gran porcentaje de contribución al
SST y no es caro reducir su tolerancia, es un buen candidato para reducción de la
variación.

Ejemplo 7.10: Diseño de experimentos de tolerancias para variables de
proceso

Un material compuesto se proceso en un proceso de curado, y la resistencia a la
tensión del material es la característica de interés.

Hay cuatro variables del proceso:

A – Temperatura de horneado
B – Tiempo de horneado
C – Cantidad de aditivo de fibra
D – Tasa de agitación

Después del diseño de parámetros, los valores nominales de estas variables de
proceso se determinaron en:

A = 300ºF
B = 30 min.
C = 15%
D = 300 rpm.




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Estas variables de proceso no pueden ser controladas de manera precisa, en base
a datos históricos se ha identificado la desviación estándar a largo plazo para cada
factor como:

A = 10ºF
B = 1.8 min.
C = 1.6%
D = 12rpm

Como son tres niveles se utilize:
Primer nivel = valor objetivo Ti  3 / 2 i
Segundo nivel = valor objetivo Ti
Tercer nivel = valor objetivo Ti  3 / 2 i

Se obtiene:
Factores          Nivel 1            Nivel 2          Nivel 3
A ºF              288                300              312
B min.            27.8               30               32.2
C%                13                 15               17
D rpm             285.4              300              314.6

Se usa un arreglo L9 quedando el arreglo y datos como sigue:
Con Minitab:
Stat > DOE > Taguchi > Create Taguchi Design
Seleccionar 3 level design Number of factors 4
OK
El arreglo y los resultados experimentales se muestran a continuación:
                Factores
Experimento     A           B           C        D              Resistencia tensión
1               1           1           1        1              243
2               1           2           2        2              295
3               1           3           3        3              285
4               2           1           2        3              161
5               2           2           3        1              301
6               2           3           1        2              260
7               3           1           3        2              309
8               3           2           1        3              274
9               3           3           2        1              198

Analizando el diseño se obtiene:
Con Minitab:
Stat > DOE > Factorial > Define Custom factorial design
Factors A B C D o A-D

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Seleccionar General Full Factorial
OK
Se define el arreglo como sigue:
Experimento   A        B     C       D    Resistencia tensión   StdOrder   RunOrder   Blocks   PtType
1             1        1     1       1    243                   1          1          1        1
2             1        2     2       2    295                   2          2          1        1
3             1        3     3       3    285                   3          3          1        1
4             2        1     2       3    161                   4          4          1        1
5             2        2     3       1    301                   5          5          1        1
6             2        3     1       2    260                   6          6          1        1
7             3        1     3       2    309                   7          7          1        1
8             3        2     1       3    274                   8          8          1        1
9             3        3     2       1    198                   9          9          1        1

Se analiza el diseño con Minitab:
Stat > DOE > Taguchi > Analize Taguchi Design
Response data in Resistencia Tensión
Analysis Display response tables y Fit linear model for Signal to noise ratios / Means
Terms A B C D (pasar con >)
Options seleccionar Smaller is better
OK

Los resultados parciales de ANOVA para medias son:
Analysis of Variance for Means
Source            DF    Seq SS    Adj SS   Adj MS F P Porcentaje de contribución
A                  2    1716.2   1716.22   858.11 * *          8.56% (0.0856)
B                  2    4630.9   4630.89 2315.44 * *           23.11% (0.2311)
C                  2    9681.6   9681.56 4840.78 * *           48.31% (0.4831)
D                  2    4011.6   4011.56 2005.78 * *           20.02% (0.2002)
Residual Error     0         *         *        *              100%    1.0
Total              8   20040.2   Grados de libertad totales = 9-1 = 8



              SST
 2  MST 
 ˆ                 2505
               8
  50
 ˆ

Claramente los factores C y B son los principales contribuyentes a la varianza. SI
podemos reducir la desviación estándar de C y B al 50%, manteniendo la misma
contribución de A y de D, la nueva varianza para y será:




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 2 nueva  2505(0.0856  0.2311 * (0.5) 2  0.4831 * (0.5) 2  0.2002  1163.2
 ˆ
 nueva  1163.2  34.1
 ˆ




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8. ANÁLISIS B vs. C
El análisis B vs. C es una prueba muy sencilla, que nos permite corroborar si un
procedimiento alterno, llamado aquí B (de Better) es realmente mejor que el
método actualmente utilizado, llamado aquí C (de Current).

En caso de dos métodos nuevos o propuestos, aquel que usted crea superior
llamelo B, y al restante C.

El procedimiento es como sigue:

1. Seleccione un nivel de confianza bajo el cual hacer la prueba. Suponga que
realmente los dos procedimientos B y C son iguales, al realizar una prueba
estadística, aun así, existe la posibilidad de equivocarnos y concluir que B es
mejor que C.

A este error se le llama elegantemente error tipo I, error alfa, o simplemente
riesgo.

En muchas situaciones industriales, un moderado riesgo  de 0.10 o un importante
riesgo  de 0.05 son adecuados. Unicamente si el costo de una mala decisión es
muy elevado se usa un riesgo de 0.01. Finalmente, si la decisión pone en peligro
la vida (reactores nucleares) y además a un costo muy elevado, se usa un riesgo
 super crítico de 0.001.

2. Decidir un tamaño de muestra para prueba B y C.

Después de seleccionar un riesgo . Por ejemplo, un riesgo  de 5%. Para este
riesgo se tienen diferentes alternativas de tamaño de muestra para B y para C, tal
y como se muestra en la tabla de la hoja siguiente. Por lo general, se selecciona
un tamaño de 3, y 3 respectivamente.

Observe que se presentan varias opciones en las cuales se tiene un gran número
de C’s y por lo general pocas B’s. Esto se debe a que el proceso actual es C, y por
lo tanto, es probable que sea mucho más económico realizar pruebas bajo esta
condición.

3. Conducir las pruebas de una manera aleatoria.

4. Clasificar y ordenar los resultados de mejor a peor

5. Tomar una decisión.

Si todos los resultados para el procedimiento B son mejores que los del C, se
puede decir que efectivamente el procedimiento B es mejor que el C. SI existe
algún traslape, no se puede concluir que B es mejor que C.


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Por ejemplo si se tienen tres pruebas de B y cuatro de C, el orden debe ser:
         B B         B     C      C     C     C
       Mejor                                  Peor

Contador final B=3; contador final C=4

En este caso no hay traslapamiento y se puede concluir que el procedimiento B es
mejor que el C.

En algunos casos es deseable tomar muestras de mayor tamaño y permitir algún
traslape en las lecturas. Cuando se desea hacer esto, se recomienda que se tome
un tamaño de muestra de al menos 10 unidades para cada procedimiento. Lo que
si se recomienda es que el tamaño de muestra sea igual para cada procedimiento.

Entonces, se evalúa lo que se llama el contador final sin traslape. Por ejemplo, si
el resultado es:

B B B B C C B C B C C B C C C C C

Observe que a la izquierda se tienen cuatro resultados de B sin empalme, y a la
mera derecha se tienen 5 resultados sin empalme. El contador final es la suma de
esas dos lecturas, esto es 4 + 5= 9.

Dependiendo del riesgo, el contador final debe ser mayor que el número que se
indica en la siguiente tabla:

Error        Mínimo número
              para el contador final
0.05          6
0.01          9
0.001         12
Si el contador final es mayor que el número indicado, se puede decir que el
procedimiento B es mejor que el C.

Aun cuando las pruebas B vs. C no indiquen diferencia entre B y C en términos de
calidad, el proceso B puede ser seleccionado sobre el proceso C (o viceversa) si
el proceso B es menos costoso que el proceso C.




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Tamaño de muestra de B vs. C según el riesgo 

  Número de pruebas
Riesgo    Confianza         B’s    C’s
0.001      0.999             2      (43)
                             3      16
    super crítico            4      10
                             5      8
                             6      6
0.01               0.99
         crítico             2      13
                             3      7
                             4      5
                             5      4
0.05           0.95
         importante          1      19
                             2      5
                             3      3
                             4      3
0.10          0.90
         moderado            1      9
                             2      3
                             3      2


Considere el ejemplo siguiente:


Ejemplo 8.1: Semiconductores
   En la fabricación de un semiconductor, se corre una prueba B vs. C para ver si se
pueden obtener mejores resultados con una atmósfera al alto oxígeno (B), en lugar del
procedimiento actual (C). Se toma un riesgo  de 0.05 (5%), pero el tamaño de la
muestra es doce Cs y doce Bs (porque se desea permitir traslape), los cuales son
seleccionados y procesados en orden aleatorio. Se decide permitir traslapamiento en
el contador final. Los resultados son:
C
105.6, 102.5, 108.5, 114.6, 95.8, 88.3, 104.1, 100.5, 97.5, 114.9, 103.7, 100.1
B
101.2, 119.2, 108.6, 117.0, 109.4, 123.6, 117.2, 114.5, 123.2, 99.3, 110.4, 118.2
Los resultados se clasifican en orden descendente como sigue:


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                                         B 123.6                 C 114.9, C114.6,
                                         114.5,
B 123.2       Contador       …., C 100.0, B 99.3     Contador    C 97.5
B 119.2       final                                  final       C 95.8
B 118.2       B=6            Traslapamiento = 16     C= 3        C 88.3
B 117.2
B 117.0

El contador final total = 6+3= 9. De la regla 6, 9.12, cuando = 0.05 el contador
final debe de ser al menos 6. Por lo tanto se concluye que el proceso B es mejor
que el proceso C con riesgo de 5%.




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9. CONCLUSIONES

En este material se ha pretendido dar una idea muy general de lo que es la
ingeniería de calidad. Se han mencionado sus conceptos generales y su potencial
de aplicación.

Se ha enfatizado la importancia que tiene el diseñar los productos y procesos de
manera que desde esa etapa se asegure la calidad en el producto final, a pesar de
la variabilidad en los insumos y condiciones ambientales de operación.
El diseño experimental toma una posición importante bajo estas ideas. No es ya
una herramienta meramente teórica, sino que es una herramienta práctica a
utilizar en varias situaciones, para reducir costos y al mismo tiempo incrementar la
calidad.

Si bien las ideas se han estado aplicando ya de una manera intensiva en nuestro
país, no son pocas las opiniones de autores que atacan estas nuevas ideas y
metodologías.

Esperamos que haya captado las ideas fundamentales, para que forme su propio
criterio en cuanto al potencial de estas herramientas y metodologías estadísticas.




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BIBLIOGRAFÍA
American Supplier Institute. Introduction to Quality Engineering, Course Manual,
Cd, Juárez Chih., 1989.
Bendell A., Disney and W.A. Pridmore, taguchi Methods applications in World
Industry, IFS Publications, 1989.
Taguchi G., Introduction to Quality Engineering, Asian Productivity Organization,
1986.
Wo Yuin W. Hobbs Moore, Quality Engineering American Suppliers Institute, 1987.




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