PRINCIPI DI METROLOGIA - DOC

							FONDAMENTI DELLA MISURAZIONE                                                     martedì 3 maggio 2011
Prof. Michele Norgia                                                       prova in itinere AA 2010/2011
Tempo a disposizione 1h                                                               Aula S.0.2 ore 16.30
COGNOME: ____________________________ Nome: ________________________                               (stampatello)
CL e anno: ___________ Matricola e firma __ __ __ __ __ __ _______________                      (firma leggibile)

                                               SOLUZIONI
(1 h)                                               Esercizio 1
                                       (svolgere su questo foglio e sul retro)

Intendiamo misurare il tragitto percorso da una bicicletta. A disposizione abbiamo un contagiri e un
accelerometro per la navigazione inerziale.
1a) La misura del diametro della ruota della bicicletta si ottiene sommando il diametro del cerchione
    DC = 700 mm, noto con incertezza estesa U(DC)= 2 mm (al 95.5% di intervallo di confidenza) e lo
    spessore s della gomma, che misuriamo in diversi punti. Spessori misurati:
       si = 23.5; 25.0; 23.2; 25.5 mm.
    Si ricavi il valore del diametro D della ruota e si esprima la sua incertezza tipo in notazione concisa.
1b) Dopo un tempo T0 il contagiri indica n= 250. Si calcoli la distanza percorsa L e la sua incertezza relativa.
1c) L’accelerometro fornisce una tensione V di uscita proporzionale all’accelerazione a: V = Ka. Il
    coefficiente K ha un’incertezza relativa ur(K) = 10-3. Per ricavare la distanza percorsa dalla misura
    dell’accelerometro si effettua una doppia integrazione del suo segnale in tempo reale. La misura ottenuta
    un tempo T0, già convertita in lunghezza, vale La = 588.45 m. Si calcoli l’incertezza di questa misura,
    giustificando la risposta. (Ipotesi: trascurabile ogni contributo di incertezza del voltmetro, della misura di
    tempo e dei calcoli effettuati).
1d) Si valuti la compatibilità di La con la misura L precedente e, se possibile, si valuti la miglior stima della
    distanza percorsa.
1e) (+ DIFFICILE) Nella realtà la misura dell’accelerometro è affetta da un errore additivo e:
       V = Ka + e
    Che cosa cambia nell’accuratezza della misura La? Si impostino le equazioni per ricavarne l’incertezza in
    funzione di T0., considerando per semplicità e costante.


1a) Il valore di v4 si ottiene come media campionaria delle 4 misure ripetute:
         1 n
    s      si =24.30 mm
         n i 1
L’incertezza tipo, stimata con tecnica di categoria A, si ottiene come:
                       n

                     v0,i  v0 2 =0.56 mm
               1
    u(s)=
            nn  1 i 1
L’incertezza del diametro del cerchione si ricava dall’incertezza estesa a 2 (95.5% di confidenza):
    u(DC)=U(DC)/2= 1 mm

Il diametro della ruota vale
     D = DC + 2 s = 748.60 mm
La sua incertezza vale

                                                                                                         _______
                                                                                                         Pag. 1/3
    u(D)= u 2 DC   4u 2 s   1  1.25 mm  1.5 mm
    D = 748.6 (15) mm



1b) La distanza percorsa è pari al numero di giri moltiplicato per il diametro della ruota, per cui
    L = nπD= 250π0.7486 m  587.95 m
Essendo una produttoria, l’incertezza relativa di L vale
    ur(L)= u r2 n  u r2 D
Inoltre ur(D)= u(D)/D = 1.5/748.6 = 2.010-3
L’incertezza di n è data solo dalla sua quantizzazione Δn = 1. Bisogna però porre attenzione al calcolo, in
quanto n è quantizzato sia alla partenza (a meno che non si posizioni la ruota in modo tale da partire in una
posizione esatta rispetto al punto di scatto del contagiri), sia ovviamente all’istante di misura T0. Le due
incertezze di quantizzazione sono sicuramente non correlate, quindi si possono sommare quadraticamente:
                      2            2
           n   n                    n 2        1
    u(n)=                                         0.41
           12   12                      6         6
Da cui ur(n)= u(n)/n = 0.41/250 = 1.610-3
Si ottiene quindi
    ur(L)= u r2 n  u r2 D  2.610-3            e u(L)= 1.5 m


1c) La misura di distanza dell’accelerometro è ottenuta con una doppia integrazione del valore istantaneo di
accelerazione: il primo integrale fornisce la velocità istantanea v, il secondo la distanza percorsa
     La   v(t )dt       v   a(t )dt
L’operazione di integrale è lineare per cui il fattore di scala K può uscire dai due integrali (si vedano i conti
del punto 1e). Inoltre si fa l’ipotesi che tutte le operazioni di misura di tensione e tempo siano esenti da
incertezza, come anche i calcoli effettuati. Per cui si ottiene una misura di distanza proporzionale a 1/K, che
quindi assume la sua stessa incertezza relativa: ur(La) = 10-3. Quindi
    u(La)= La ×ur(La) = 0.59 m

1d) Siamo in presenza di due misure indipendenti della stessa grandezza che hanno fornito valori di misura diversi
tra loro. Valutiamo la compatibilità tra le misure, secondo la relazione:
     L a  L  k comp u 2 ( La )  u 2 ( L) .
Sostituendo i valori del caso, si ottiene la compatibilità già per kcomp = 1.
La miglior stima della distanza percorsa si ottiene come media pesata tra le due misure compatibili, essendo i pesi i
reciproci delle corrispondenti incertezze al quadrato:
             L         L
                    2 a
           u L  u La 
            2
                                                                                      1
     L                      =588.38 m con incertezza             u( L )                       =0.55 m
              1        1                                                         1        1
                                                                                     
           u 2 L  u 2 L                                                   u 2 L  u 2 L 
1e) Effettuiamo il calcolo della posizione a partire dalla tensione V misurata dall’accelerometro. L’accelerazione
istantanea vale
      a V / K e/ K

                                                                                                            _______
                                                                                                            Pag. 2/3
La velocità è data dall’integrale dell’accelerazione, quindi:
            1                     1 t                
               t            t
     v(t )    V ( )d   ed     V ( )d  et 
            K 0            0      K 0                
Lo spostamento è l’integrale della velocità, per cui
          T0
                      1   T0  t               T0
                                                         1 T0  t               eT02 
     La   v(t )dt          V ( )d dt   etdt       V ( )d dt 
                                                                                    
          0
                      K   00
                                                0      K 00
                                                                                 2  
Concludendo, la misura risulta affetta da un errore di offset che cresce quadraticamente con il tempo, quindi col
passare del tempo diventerà inaffidabile. Il calcolo dell’incertezza non è in questo caso banale, ma risulta evidente
che il secondo termine introduce un contributo di incertezza che cresce notevolmente con il tempo. Nel caso di un
errore costante nel tempo di misura (ovviamente ignoto altrimenti si potrebbe compensarlo) il suo contributo di
incertezza crescerebbe quadraticamente con il tempo.




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