Math�matiques CST by Sw5SZtwp

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									 Mathématiques CST


  MODULE 3
Les PROBABILITÉS
  conditionnelles
                 Mathématiques CST
               - Probabilités conditionnelles -


 Définitions de base
  Expérience aléatoire : Expérience dont le résultat dépend du hasard
                        (ne peut être prédit avec certitude).

 Univers des possibles : Ensemble formé de tous les résultats possibles
                         d’une expérience.
                        Symbole :           (« oméga »)

                        Ex. #1 : On lance un dé.
                                  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
                        Ex. #2 : On lance un dé suivi d’une pièce de monnaie.
                                  = { (1, P) , (1, F) , (2, P), (2, F) , … , (6, P) , (6, F) }
TYPES de probabilités
Probabilité THÉORIQUE : Établie à la suite d’un raisonnement, sans avoir
                        besoin d’en faire l’expérience.

                                           Nombre de résultats favorables
       Probabilité THÉORIQUE =
                                           Nombre de résultats possibles


            Ex. : On lance un dé. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 ?

                                             1
                                   PT =
                                             6
TYPES de probabilités
Probabilité FRÉQUENTIELLE : Obtenue suite à la répétition d’une
(ou EXPÉRIMENTALE)          expérience.

                                              Nombre de fois qu’un résultat s’est produit
 Probabilité FRÉQUENTIELLE =
                                                     Nombre d’expériences réalisées


    Ex. : On lance un dé à 6 reprises. On obtient le nombre « 1 » à 2 reprises.
          Quelle est la probabilité fréquentielle d’obtenir 1 suite à cette expérience ?
                                                 2
                                       PF =
                                                 6
Loi des grands nombres
Lorsque l’expérience est effectuée une très grand nombre de fois, la probabilité
fréquentielle tend à se rapprocher de la probabilité théorique.
    Ex. : On lance une pièce de monnaie.
          Après 5 expériences :       3 piles et 2 faces      PF (pile) =    3/5           =   0,6
          Après 20 expériences :      9 piles et 11 faces     PF (pile) =    9 / 20        =   0,45
          Après 100 expériences :     52 piles et 48 faces    PF (pile) =    52 / 100 =        0,52
TYPES de probabilités
Probabilité SUBJECTIVE : Reflète l’avis d’une personne sur la probabilité
                         qu’un événement se produise.
                           Elle fait appel au jugement et correspond à
                           une évaluation personnelle basée à la fois sur
                           des connaissances et des opinions.
                           Il est impossible de calculer une probabilité
                           subjective ou d’en faire l’expérience.

                           Ex. : Les probabilités que les Canadiens de Montréal
                                 gagnent la coupe Stanley sont bonnes cette année !
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                  - Probabilités conditionnelles -


 Résultats simples
  La probabilité d’un résultat « r » est :

                           P(r) = p      avec p  [ 0, 1 ]

  Si :   P(r) = 0           Événement impossible
         P(r) = 1           Événement certain


                    Nombre de chances d’obtenir le résultat souhaité
         P(r) =
                          Nombre de résultats possibles de 
Ex. #1 : On lance un dé. Quelle est la probabilité d’obtenir un 6 ?

                             1
                  P(6) =          ≈    0,17
                             6

Ex. #2 : Dans un jeu de 52 cartes, on pige 1 carte. Quelle est la probabilité
        d’obtenir un cœur ou une dame de pique ?

                                      13       1        14
                  P( ou D) =             +        =          ≈       0,27
                                      52       52       52


Ex. #3 : Dans un jeu de 52 cartes, on pige 2 cartes. Quelle est la probabilité
        d’obtenir un cœur et une dame de pique (avec remise) ?

                                      13       1         13
                  P( et D) =             x        =              ≈    0,0048
                                      52       52       2704
Chances POUR et chances CONTRES

                                    Nombre de chances de succès
         Chances POUR =
                                      Nombre de chances d’échec


                                         Nombre de chances d’échec
          Chances CONTRE =
                                         Nombre de chances de succès

 Ex. #1 : Denis et Paul essaient de deviner le poids des gens (à 5 lbs près).
         Denis a deviné juste 12 fois et s’est trompé 8 fois. Paul a deviné juste 5
         fois et s’est trompé 15 fois.
         Quelles sont les « chances pour » que Denis devine juste pour la
         prochaine personne ?
                                         12
                         Chances POUR =
                                          8
         Quelles sont les « chances contre » que Paul se trompe pour la
         prochaine personne ?
                                         15
                       Chances CONTRE =
                                          5
Ex. #2 : Aux courses, un cheval est coté à 8 contre 1. Quelle somme recevra-t-il
        si on mise 20 $ et que ce cheval gagne la course ?

                                    p                   8                 x
            Chances CONTRE =                                     =
                                    g                   1             20 $

                                                            x = 160 $


            Note : Aux courses, la cote     Réponse : On recevra 180 $, car on
                   indique les                        nous remet notre mise.
                   « chances contres »


Ex. #3 : Une équipe est favorite à 12 contre 7 pour l’emporter. Paul gage 10 $
        que l’équipe va perdre. Combien recevra-t-il si l’équipe perd ?

                                    g               12                x
              Chances POUR =                                 =                x = 17,14 $
                                    p               7                10 $

                                            Réponse : Paul recevra 27,14$, car on
                                                      lui remet sa mise.
                  Mathématiques CST
                - Probabilités conditionnelles -


 Résultats composés
  Se produit lors d’une expérience à plusieurs étapes (2 lancers de dé,
  tirer 3 cartes, etc.).

  La probabilité d’un résultat composé est égale au produit des
  probabilités de chacune de ses composantes.

                         Mot clé : ET

  Attention aux tirages AVEC remise et SANS remise !
 Ex. : Dans un sac qui contient 5 boules ROUGES, 3 boules BLEUES et 2 boules
         VERTES, on tire deux boules consécutives sans remise. Quelle est la
         probabilité de piger 2 boules BLEUES ?

                                    ROUGE                  5        4       20
                              4/9
                                            P( R , R ) =        x       =        ≈   0,22
                                                           10       9       90
                      ROUGE
                              3/9   BLEUE                  5        3       15
                                            P( R , B ) =        x       =        ≈   0,17
                                                           10       9       90
                              2/9                          5        2       10
           5 / 10
                                            P( R , V ) =        x       =        ≈   0,11
                                    VERTE                  10       9       90
                                    ROUGE                  3        5       15
                              5/9
                                            P( B , R ) =        x       =        ≈   0,17
                                                           10       9       90
                      BLEUE         BLEUE
             3 / 10           2/9                          3        2       6
Départ                                      P( B , B ) =        x       =        ≈   0,067
                                                           10       9       90
                              2/9                          3        2       6
                                            P( B , V ) =        x       =        ≈   0,067
                                    VERTE                  10       9       90
           2 / 10                   ROUGE                  2        5       10
                              5/9
                                            P( V , R ) =        x       =        ≈   0,11
                                                           10       9       90
                              3/9   BLEUE                  2        3       6
                                            P( V , B ) =        x       =        ≈   0,067
                      VERTE                                10       9       90
                              1/9                          2        1       2
                                            P( V , V ) =        x       =        ≈   0,022
                                    VERTE                  10       9       90
                    Mathématiques CST
                  - Probabilités conditionnelles -


 Diagramme de Venn
  Sert à visualiser les relations entre les événements.

  Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à
        option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a
        120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y
        a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et
        en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement,
        il y a 10 élèves inscrits à autre chose.
        On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants :
         = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option.
        A = Élèves inscrits en Art.
        B = Élèves inscrits en Bio.
        C = Élèves inscrits en Chimie.
Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à
      option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a
      120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y
      a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et
      en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement,
      il y a 10 élèves inscrits à autre chose.
      On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants :
       = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option.
      A = Élèves inscrits en Art.
      B = Élèves inscrits en Bio.
      C = Élèves inscrits en Chimie.

                                                                                      (200)
                                          A                          B


    On commence par la
    partie commune aux                                 20
      trois ensembles



                                                               C
Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à
      option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a
      120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y
      a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et
      en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement,
      il y a 10 élèves inscrits à autre chose.
      On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants :
       = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option.
      A = Élèves inscrits en Art.
      B = Élèves inscrits en Bio.
      C = Élèves inscrits en Chimie.

                                                                                      (200)
                                          A                          B

                                                       10
    Ensuite, les parties
    communes à deux                                    20
      ensembles…



                                                               C
Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à
      option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a
      120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y
      a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et
      en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement,
      il y a 10 élèves inscrits à autre chose.
      On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants :
       = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option.
      A = Élèves inscrits en Art.
      B = Élèves inscrits en Bio.
      C = Élèves inscrits en Chimie.

                                                                                      (200)
                                          A                          B

                                                       10
    Ensuite, les parties
    communes à deux                                    20
      ensembles…                                            40



                                                                 C
Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à
      option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a
      120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y
      a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et
      en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement,
      il y a 10 élèves inscrits à autre chose.
      On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants :
       = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option.
      A = Élèves inscrits en Art.
      B = Élèves inscrits en Bio.
      C = Élèves inscrits en Chimie.

                                                                                      (200)
                                          A                          B

                                                       10
    Ensuite, les parties
    communes à deux                                    20
      ensembles…                                  0         40



                                                                 C
Ex. : Les 200 élèves en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à
      option. Il y a 60 élèves inscrits en Art. Il y a 100 élèves inscrits en Bio. Il y a
      120 élèves inscrits en Chimie. Il y a 30 élèves inscrits en Art et en Bio. Il y
      a 60 élèves inscrits en Bio et en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art et
      en Chimie. Il y a 20 élèves inscrits en Art, en Bio et en Chimie. Finalement,
      il y a 10 élèves inscrits à autre chose.
      On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants :
       = Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option.
      A = Élèves inscrits en Art.
      B = Élèves inscrits en Bio.
      C = Élèves inscrits en Chimie.

                                                                                      (200)
                                          A                           B

                                              30       10        30
      Finalement, les                                  20
     ensemble seuls…                               0        40

                                                       60              10
                                                                 C
                Mathématiques CST
              - Probabilités conditionnelles -


 Événements
  DÉFINITION : Sous-ensemble de l’univers des possibles () d’une
               expérience aléatoire.
                Ex. : On lance un dé.
                      Événement A = Obtenir un nombre pair
                      Événement B = Obtenir un nombre premier
                    Événement C = Obtenir un nombre plus petit ou égal à 5.
Événements COMPLÉMENTAIRES
Lors d’un événement A, ce sont tous les éléments qui ne sont pas dans
l’événements A.

    Ex. : On choisit un numéro parmi les nombres 1 à 20.
        Événement A = Obtenir un multiple de 4.
                     A = {4, 8, 12, 16, 20}
                    A’ = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19}
                                              5           1
                                 P(A) =              =           ≈ 0,25
                                              20          4
                                              15          3
                                P(A’) =              =           ≈ 0,75
                                              20           4

On peut donc calculer la probabilité d’un événement complémentaire avec
la relation suivante :


                                    P(A’) = 1 – P(A)
Événements DISJOINTS (ou incompatibles)
Lorsque deux événements A et B ne peuvent avoir des éléments en
commun.
    Ex. : On interroge 100 personnes sur leur lieu de naissance.
                     = Le lieu de naissance de personnes nées dans un hôpital.
                     A = Les personnes nées en Suisse.
                     B = Les personnes nés en France.
         Des 100 personnes, 10 dit être nées en Suisse, 50 en France et 40 dans un autre
         pays.
                                                                         (100)
                           A                                    B

                                  10                       50

                                            40

         Quelle est la probabilité qu’une personne soit née en Suisse ou en France ?

                                          10         50         60
                          P(A U B) =             +          =
                                          100        100        100
Événements DISJOINTS (ou incompatibles)
Pour le calcul des probabilités, on obtient donc :


                        P(A U B) = P(A) + P(B)
Événements COMPATIBLES
Lorsque deux événements A et B peuvent avoir des éléments en commun.
    Ex. : On interroge 100 personnes les pays qu’ils ont visités en Europe durant leur voyage.
                     = Les personnes qui ont voyagé en Europe.
                     A = Les personnes qui ont visité la Suisse.
                     B = Les personnes qui ont visité la France.
         Des 100 personnes, 40 ont visité uniquement la Suisse, 30 ont visité uniquement
         la France, 10 ont visité les deux pays et 20 ont visité d’autres pays.

                                                                          (100)
                               A                            B

                                    40      10        30

                                                                20

         Quelle est la probabilité qu’une personne ait visité la Suisse ou la France ?

                                       50        40        10        80
                      P(A U B) =            +         –         =
                                      100       100       100        100
Événements COMPATIBLES
Pour le calcul des probabilités, on obtient donc :


                 P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
                Mathématiques CST
               - Probabilités conditionnelles -


 Espérance mathématique
  DÉFINITION : C’est le gain (ou la perte) moyen qu’on espère obtenir si
               on répète une expérience un grand nombre de fois.


    Méthode de calcul :

       On multiplie chacun des gains ou des pertes possibles par
        leur probabilité
       On fait la somme de tous les produits
Ex. #1 : On fait tourner la roue suivante :



                                                      2$
                                      10 $
                                                           5$
                                      20 $
                                                      2$


          a) Quelle est l’espérance mathématique de cette situation ?

                       1                  1                 1             1             1
              EM =         (10 $) +           (20 $) +          (5 $) +       (2 $) +       (2 $)
                       4                  4                 6             6             6
                      10       20             5        2        2
              EM =         +          +           +         +
                       4        4             6        6        6
              EM = 2,5     +   5      + 0,83 + 0,33 + 0,33

              EM =     9

              Conclusion : En moyenne, on devrait recevoir 9 $ à chaque tour.
Ex. #1 : On fait tourner la roue suivante :



                                              2$
                                    10 $
                                                   5$
                                    20 $
                                              2$

          b) Maintenant, on paie 7 $ pour jouer à ce jeu. Êtes-vous intéressé à
             jouer ?

             EM =     9 – 7
              EM =    2

             Conclusion : On ne risque toujours rien de jouer à ce jeu, on devrait
                          même recevoir 2 $ à chaque tour.

             ATTENTION :
               Lorsque le joueur paie pour jouer et qu’on ne spécifie pas qu’on lui
               remet sa mise s’il gagne, alors on doit soustraire cette mise de son
               gain. Si on lui remet sa mise s’il gagne, alors le gain reste entier ;
               c’est comme s’il n’avait pas payé pour jouer.
Ex. #2 : La probabilité de gagner 10 $ est de 0,05, la probabilité de gagner 5 $ est
         de 0,2 et la probabilité de perdre 5 $ est de 0,75. Quelle est l’espérance
         de gain de ce jeu ?

             EM = 0,05 (10 $) + 0,2 (5 $) + 0,75 (- 5 $)

             EM =    - 2,25


             Conclusion : En moyenne, on devrait perdre 2,25 $ à chaque fois
                          qu’on joue à ce jeu. Donc, il ne faut pas jouer à ce jeu !
Jeu ÉQUITABLE

Un jeu est équitable si les deux joueurs ont la même chance de gagner.
Donc, l’espérance mathématique doit être nulle.

Ex. #1 : Retournons à notre exemple de la roue :



                                          2$
                                 10 $
                                               5$       EM =    9

                                 20 $
                                          2$


         Combien faudrait-il payer pour que ce jeu soit équitable ?
            EM =    9 – 9
            EM =    0
         Conclusion : En moyenne, on devrait payer 9 $ à chaque fois qu’on
                      tourne la roue.
Ex. #2 : Dans un bocal, il y a 8 boules identique dont 7 rouges et 1 verte. On tire au
         hasard 1 boule. La seule façon de gagner est de tirer la boule verte. Il en
         coûte 2 $ pour jouer à ce jeu. Quel doit être le montant à gagner si on veut
         que le jeu soit équitable ? (on ne nous remet pas notre mise)

         Soit G, le montant du prix à gagner.

                                  1                    7
                          EM =        (G – 2 $) +          (- 2 $)
                                  8                    8
                                  1                    7
                           0 =        (G – 2 $) +          (- 2 $)
                                  8                    8
                                  G           2       14
                           0 =            –       –
                                  8           8       8
                                  G – 16
                           0 =
                                      8
                           0 = G – 16

                          16 = G


          Conclusion : On doit gagner 16 $ pour que jeu soit équitable.
Ex. #3 : Lors des 600 dernières parties de babyfoot, Martin a gagné à 200 reprises.
         François propose à Martin un petit pari. Il dit : « Si tu me bats 3 fois de
         suite, je te donne 20 $, sinon, tu me donnes 1 $. ». Martin doit-il accepter ce
         pari ?
         Calculons la probabilité fréquentielle de gagner de Martin :

                                         200               1
                                 PF =              =
                                         600               3
         Ses chances de gagner s’il joue trois fois de suite :
                                         1             1           1          1
                                 PF =          x               x         =
                                         3             3           3          27
         Calculons l’espérance mathématique :
                                          1                        26
                                 EM =          (20 $) +                 (- 1 $)
                                         27                        27
                                         20            26
                                 EM =              –
                                          27           27
                                         -6
                                 EM =
                                          27
                                 EM = - 0,22

          Conclusion : Martin doit refuser le pari.
                   Mathématiques CST
                 - Probabilités conditionnelles -


 Probabilités conditionnelles
  DÉFINITION : C’est la probabilité qu’un événement se réalise étant
               donné qu’un autre événement s’est déjà réalisé.

  Diagramme de VENN
  Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine.
        50 personnes ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au
        billard, 10 d’entre elles ont dit être allées au cinéma et avoir joué au
        billard et 20 personnes ont fait autre chose.
Diagramme de VENN
Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes
      ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 d’entre elles
      ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre
      chose.
                        = Les activités de fin de semaine.
                      C = Les personnes qui ont été au cinéma.
                      B = Les personnes qui ont joué au billard.

                                                                  (100)
                            C                         B

                                40      10       30

                                                          20


      a) Quelle est la probabilité de choisir une personne qui est allée au cinéma ?
                                       50         1
                             P(C) =          =
                                       100        2
Diagramme de VENN
Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes
      ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 d’entre elles
      ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre
      chose.
                        = Les activités de fin de semaine.
                      C = Les personnes qui ont été au cinéma.
                      B = Les personnes qui ont joué au billard.

                                                                  (100)
                            C                       B

                                40      10     30

                                                        20

      b) Quelle est la probabilité de choisir une personne qui est allée au cinéma et
         qui a joué au billard ?
                                          10        1
                             P(C  B) =         =
                                          100      10
Diagramme de VENN
Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes
      ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 d’entre elles
      ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre
      chose.
                        = Les activités de fin de semaine.
                      C = Les personnes qui ont été au cinéma.
                      B = Les personnes qui ont joué au billard.

                                                                  (100)
                            C                       B

                                 40       10   30

                                                        20

      c)   Sachant que la personne est allée au cinéma, quelle est la probabilité
           qu’elle ait aussi joué au billard ?
                            10        1                              P(B  C)
                PC (B) =         =                      PC (B) =
                            50        5                                P (C)
Diagramme de VENN
Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes
      ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 d’entre elles
      ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre
      chose.
                        = Les activités de fin de semaine.
                      C = Les personnes qui ont été au cinéma.
                      B = Les personnes qui ont joué au billard.

                                                                    (100)
                             C                        B

                                  40        10   30

                                                          20

      d) Sachant que la personne est allée jouer au billard, quelle est la probabilité
         qu’elle soit aussi allée au cinéma ?
                                 P(B  C)                            10       1
                  PB (C) =                            PB (C) =            =
                                  P (B)                              40       4
Diagramme de VENN
Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. 50 personnes
      ont dit être allées au cinéma, 40 personnes ont joué au billard, 10 d’entre elles
      ont dit être allées au cinéma et avoir joué au billard et 20 personnes ont fait autre
      chose.
                        = Les activités de fin de semaine.
                      C = Les personnes qui ont été au cinéma.
                      B = Les personnes qui ont joué au billard.

                                                                  (100)
                            C                       B

                                40      10     30

                                                        20

      d) Sachant que la personne est allée jouer au billard, quelle est la probabilité
         qu’elle soit aussi allée au cinéma ?

                           Donc,      PB (C) ≠ PC (B)
Tableau à DOUBLE ENTRÉE
Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs loisirs préférés. Les données sont
      représentées dans le tableau à double entrée ci-dessous.

                  Loisir       Pratique un   Fait autre
                                                                Total
          Sexe                    sport       chose
               Gars                40             20             60
               Fille               30             10             40
               Total               70             30             100

                   = Les loisirs préférés de 100 personnes.
                  G = La personne est un gars.
                  S = La personne pratique un sport.

                                                               (100)
                           G                      S

                                 20     40   30

                                                       10
Tableau à DOUBLE ENTRÉE
Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs loisirs préférés. Les données sont
      représentées dans le tableau à double entrée ci-dessous.

                   Loisir    Pratique un        Fait autre
                                                                Total
           Sexe                 sport            chose
               Gars              40                  20          60
                Fille            30                  10          40
               Total             70                  30          100

     a) Quelle est la probabilité de choisir un gars qui pratique un sport ?
                                      40         2
                        P(G  S) =          =
                                      100        5
     b) Quelle est la probabilité de choisir quelqu’un qui fait autre chose ?
                                      30         3
                            P(S’) =         =
                                      100       10
     c) Quelle est la probabilité de choisir une fille ou quelqu’un qui pratique un
        sport ?
                                    40 + (70 – 30)       80      4
                     P(G’ U S) =                     =       =
                                         100            100       5
Tableau à DOUBLE ENTRÉE
Ex. : On a interrogé 100 personnes sur leurs loisirs préférés. Les données sont
      représentées dans le tableau à double entrée ci-dessous.

                  Loisir   Pratique un      Fait autre
                                                              Total
          Sexe                sport          chose
               Gars             40             20              60
               Fille            30             10              40
               Total            70             30              100

     d) Sachant que la personne choisit est un gars, quelle est la probabilité qu’il
        pratique un sport ?
                              P(G  S)       40        2
                     PG (S) =            =        =
                                P (G)         60       3
     e) Sachant que la personne choisit fait autre chose, quelle est la probabilité
         qu’elle soit une fille ?
                                  P(S’  G’)   10      1
                      PS’ (G’) =             =     =
                                     P (S’)    30      3
     f) Sachant que la personne choisit pratique un sport, quelle est la probabilité
        qu’elle ne soit pas une fille ?
                                  P(S  G)     40      4
                       PS (G) =              =     =
                                     P (S)     70      7
ARBRE des probabilités

                   Loisir    Pratique un       Fait autre
                                                                Total
           Sexe                 sport           chose
                Gars              40              20             60
                Fille             30              10             40
                Total             70              30            100

À partir du tableau à double entrée précédent, faisons un arbre des probabilités.

                                                            A
                                                10 / 40
                                           F

                            40 / 100
                                                            S
                                                30 / 40

             Départ
                                                            A
                                                20 / 60
                            60 / 100       G

                                                            S
                                                 40 / 60
                                                            A
                                             10 / 40
                                        F

                       40 / 100
                                                            S
                                             30 / 40

         Départ
                                                             A
                                             20 / 60
                       60 / 100         G

                                                             S
                                             40 / 60


a) Quelle est la probabilité de choisir un gars qui pratique un sport ?
                                  60        40         40            2
                  P(G  S) =            x        =               =
                                  100       60         100           5

b) Sachant que la personne choisit est un gars, quelle est la probabilité qu’il
   pratique un sport ?
                         P(G  S)       40        2
                PG (S) =            =        =
                           P (G)         60       3
                Mathématiques CST
               - Probabilités conditionnelles -


 Événements dépendants et indépendants
  DÉPENDANTS : Lorsque la réalisation d’un événement influence la
               probabilité de réalisation d’un autre événement.

                                PA (B) ≠ P(B)

 INDÉPENDANTS : Lorsque la réalisation d’un événement n’influence pas
                la probabilité de réalisation d’un autre événement.

                                PA (B) = P(B)
Ex. : Une urne contient des billes bleues et des billes rouges. On tire deux billes
      consécutives. On considère les événements suivants :

                   A = Tirer une bille bleue au 1er tirage.
                   B = Tirer une bille bleue au 2e tirage.

     Tirage SANS remise :
                            Les événements A et B sont DÉPENDANTS.

                            PA (B) ≠ P(B)

     Tirage AVEC remise :
                            Les événements A et B sont INDÉPENDANTS.

                            PA (B) = P(B)
Ex. : On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements
      suivants :
                  A = Obtenir un nombre pair.
                  B = Obtenir un nombre impair.
                  C = Obtenir un multiple de trois.

     Donc :
                  A = {2, 4, 6}
                  B = {1, 3, 5}
                  C = {3, 6}


                                                           (6)
                        A                           B
                                   2        1
                               4                5
                                   6    3



                                            C
Ex. : On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements
      suivants :
                   A = Obtenir un nombre pair.
                  B = Obtenir un nombre impair.
                  C = Obtenir un multiple de trois.

                                                           (6)
                        A                           B
                                2           1
                            4                   5
                                6       3



                                            C


      a) Les événements A et B sont-ils dépendants ?

                  Réponse : OUI.        Remarque : P(A  B) = 0
Ex. : On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements
      suivants :
                   A = Obtenir un nombre pair.
                  B = Obtenir un nombre impair.
                  C = Obtenir un multiple de trois.

                                                              (6)
                        A                           B
                                2           1
                            4                   5
                                6       3



                                            C


      b) Les événements A et C sont-ils dépendants ?

                  Réponse : NON, ils sont       Remarques : P(A  C) = 1 / 3
                            indépendants.
                                                            PA (C) = P(C) = 1 / 3
                                                            PC (A) = P(A) = 1 / 2
Ex. : On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements
      suivants :
                   A = Obtenir un nombre pair.
                  B = Obtenir un nombre impair.
                  C = Obtenir un multiple de trois.

                                                              (6)
                        A                           B
                                2           1
                            4                   5
                                6       3



                                            C


      c) Les événements B et C sont-ils dépendants ?

                  Réponse : NON, ils sont       Remarques : P(B  C) = 1 / 6
                            indépendants.
                                                            PB (C) = P(C) = 1 / 3
                                                            PC (B) = P(B) = 1 / 2
               Mathématiques CST
              - Probabilités conditionnelles -


 Événements mutuellement exclusifs
  DÉFINITION : Lorsque deux événements ne peuvent pas se produire
               en même temps.


                      AB =                  P(A  B) = 0
Ex. : On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements
      suivants :
                   A = Obtenir un nombre pair.
                  B = Obtenir un nombre impair.
                  C = Obtenir un multiple de trois.

                                                               (6)
                        A                           B
                                2           1
                            4                   5
                                6       3



                                            C


      a) Les événements A et B peuvent-ils se produire en même temps ?

               Réponse : NON. Ils sont donc         Remarque : P(A  B) = 0
                         mutuellement
                         exclusifs.
Ex. : On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements
      suivants :
                   A = Obtenir un nombre pair.
                  B = Obtenir un nombre impair.
                  C = Obtenir un multiple de trois.

                                                               (6)
                        A                           B
                                2           1
                            4                   5
                                6       3



                                            C


      b) Les événements A et C peuvent-ils se produire en même temps ?

               Réponse : OUI. Ils sont donc         Remarque : P(A  C) ≠ 0
                         non mutuellement
                         exclusifs.
Ex. : On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements
      suivants :
                   A = Obtenir un nombre pair.
                  B = Obtenir un nombre impair.
                  C = Obtenir un multiple de trois.

                                                               (6)
                        A                           B
                                2           1
                            4                   5
                                6       3



                                            C


      c) Les événements B et C peuvent-ils se produire en même temps ?

               Réponse : OUI. Ils sont donc         Remarque : P(B  C) ≠ 0
                         non mutuellement
                         exclusifs.

								
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