Soluci�n de ecuaciones no lineales

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Soluci�n de ecuaciones no lineales Powered By Docstoc
					Solución de ecuaciones no
         lineales
 Curso de Programación numérica
          Temario
Métodos cerrados:
        Métodos gráficos
        Método de bisección
        Método de la posición falsa
Métodos abiertos
        Iteración simple de punto fijo
        Método de Newton-Raphson
        Método de la secante
Raíces de polinomios
        Método de Müller
        Método de Bairstow
                Métodos gráficos
Los métodos gráficos consisten en graficar la función f(x) y
observar donde la función cruza el eje x.
                        Ejemplo 1
Encontrar la raíz de:     f x  
                                     667.38
                                       x
                                                          
                                            1  e 0.146843x  40  0


                                40
                                35
   x       f(x)                 30

    4 34.11488938               25
                                20
    8 17.65345264
                                15
   12 6.066949963
                                10
   16 -2.268754208               5
   20 -8.400624408               0
                                -5 0             5    10       15       20   25

                               -10
                               -15
                              Ejemplo 2
                      Grafica de: f(x) = sen 10x + cos 3x
 x     f(x)
0.00           1.00
0.25           1.33
0.50          -0.89
0.75           0.31
1.00          -1.53           2.50
1.25          -0.89           2.00
1.50           0.44           1.50
1.75          -0.46
                              1.00
2.00           1.87
2.25           0.41           0.50
2.50           0.21           0.00
2.75           0.31           -0.500.00   1.00   2.00   3.00   4.00   5.00   6.00
3.00          -1.90           -1.00
3.25          -0.06
                              -1.50
3.50          -0.90
3.75           0.05           -2.00
4.00           1.59           -2.50
4.25          -0.01
4.50           1.45
4.75          -0.48
5.00          -1.02
             Ejemplo 2 (cont.)
           Grafica de: f(x) = sen 10x + cos 3x
x           f(x)           0.12
    4.20        0.08
                           0.10
    4.21        0.05
    4.22        0.02       0.08
    4.23        0.00       0.06
    4.24       -0.01
                           0.04
    4.25       -0.01
    4.26       -0.01       0.02
    4.27        0.01
                            0.00
    4.28        0.04            4.18   4.20   4.22   4.24   4.26   4.28   4.30   4.32
    4.29        0.07       -0.02

    4.30        0.11
                         Tarea
Utilice Excel para los siguientes problemas.
Determine las raíces reales de:   f(x) = –0.5x2 + 2.5x + 4.5
Gráficamente. Confirme utilizando la fórmula cuadrática.


Determine las raíces reales de:   f(x) = 5x3 – 5x2 + 6x – 2
Gráficamente.
        Método de la bisección
Se trata de encontrar los ceros de
                                 f(x) = 0
Donde f es una función continua en [a,b] con f(a) y f(b) con
signos diferentes.
                       y
                          f(a)
                                            y = f(x)

                                                       bx
                         a                              f(b)
          Método de la bisección
De acuerdo con el teorema del valor medio, existe p  [a,b] tal
que f(p) = 0.
El método consiste en dividir a la mitad el intervalo y localizar
la mitad que contiene a p.
El procesos se repite hasta la lograr la precisión deseada.
Método de la bisección
        Primera iteración del algoritmo
  y                            Mitad del intervalo que
                               contiene a p
      f(a)
                    y = f(x)
                  f(p1)
                               bx
  a
                                f(b)
                      p

        p1=(a+b)/2
Método de la bisección
      Segunda iteración del algoritmo
  y                         Mitad del intervalo que
                            contiene a p


                 y = f(x)
          f(a)
                            bx

           a =p1   f(p2)     f(b)
              p
             p2=(a+b)/2
         Método de la bisección
Algoritmo bisección
Entradas: extremos a,b; número de iteraciones ni; tolerancia tol
1. p=a; i=1; eps=1;
2. mientras f(p)0 y i ni eps>tol
  2.1. pa = p;
  2.2. p = (a+b)/2
  2.3. si f(p)*f(a)>0 entonces a=p;
  2.4. sino
  2.5.   si f(p)*f(b)>0 entonces b=p;
  2.6. i = i + 1; eps = |p-pa|/p;
                  Bisección en C
double biseccion(double a, double b, double error, int ni){
  double p,pa,eps;
  int i;
  p = a;
  i = 1;
  eps = 1;
  while(f(p) != 0 && i<ni && eps > error){
    pa = p;
    p = (a+b)/2;
    if(f(p)*f(a)>0)
      a = p;
    else
      if(f(p)*f(b)>0)
         b = p;
    i++;
    eps = fabs(p-pa)/p;
  }
  return p;
}
                     Ejemplo

Función de ejemplo

                     x  1  tan(x)
                      2



Función en C:
double f(x){
    return sqrt(x*x + 1) - tan(x);
}
                                         Tarea

Haga funciones en C para encontrar la solución de las
siguientes ecuaciones utilizando la función biseccion():
1. ex – x2 + 3x – 2 = 0 para 0 <= x <= 1


2.   f x  
                667.38
                  x
                                    
                       1  e 0.146843x  40  0
     Error en el método de bisección
Para el método de bisección se sabe que la raíz esta dentro del intervalo, la
raíz debe situarse dentro de Dx / 2, donde Dx = xb – xa.
La solución en este caso es igual al punto medio del intervalo
                           xr = (xb + xa) / 2
Deberá expresarse por
                           xr = (xb + xa) / 2  Dx / 2

 Error aproximado

           xrnuevo  xranterior                                      x x               xb  xa
    a                           100 %         nuevo
                                                x       x
                                                         anterior
                                                                     b a   xrnuevo 
                 xrnuevo                        r        r
                                                                       2                   2


 sustituyedo                                 xb  xa
                                      a            100%
                                             xb  xa
           Número de iteraciones
El error absoluto en la primera iteración es:
                         Ea  xb  xa  Dx 0
                          0    0    0




El error absoluto en la iteración n-ésima es:
                                 Dx 0
                              E  n
                               n
                               a
                                  2
Si el error deseado es Ead,El número de iteraciones
será:
                      log Dx 0 / Ead           Dx 0 
                   n                           E 
                                         log 2       
                           log 2                 ad 
    Volumen del abrevadero
                                                          h
                        r                          senb   
                                                          r
                              h
L
                                                        area sector  r 2a
                                                                      h
                                              a        b     sen 1  
                                                  2          2          r
                                                                                     
                                           area sector  r 2a  r 2   sen 1 h / r 
    r a
    b      h
                                                                    2                 
                                                        base altura
                                  area triangular  2                 h r 2  h2
                                                             2

                                                                 
        A  area sector  area triangular  r 2   sen 1 h / r   h r 2  h 2
                                                2                 
                                                              
               V  LA  L r 2   sen 1 h / r   h r 2  h 2 
                           2                                   
                              Tarea
17. Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal
en forma de semicírculo con radio r (véase la figura) Cuando se
llena de agua hasta una distancia h de la parte superior, el
volumen V de agua es
V = L [ 0.5 r2 – r2 arcsen(h/r) – h(r2 – h2)1/2 ]
Escriba un programa en C amigable para el usuario que lea los
datos de este problema y encuentre la profundidad h del
abrevadero. Utilice el método de bisección para encontrar la
solución.
                                      r

                                           h
                          L
                      Resumen
Requiere que se conozca el intervalo en donde está la raíz.
Los valores de la función en los extremos deben tener signos
diferentes.
Converge lentamente, a cada paso el intervalo se divide en 2.
               Método de falsa posición
Este método considera cual límite del
intervalo está más próximo a la raíz.
                                                         f(xu)
De la figura

            f  xl    f  xu 
                     
           xr  xl xr  xu
 Despejando
                                        xl      xr
                 f  xu  xl  xu                      xu
     xr  xu 
                 f  xl   f  xu     f(xl)    f(xr)
               Ejemplo en Excel
Encontrar la raíz de:       f x  
                                       667.38
                                         x
                                                           
                                              1  e 0.146843x  40  0


xl          xu         xr         f(xl)     f(xu)      f(xr)
  12.0000000 16.0000000 14.9113077 6.0669500 -2.2687542 -0.2542775
  12.0000000 14.9113077 14.7941976 6.0669500 -0.2542775 -0.0272572
  12.0000000 14.7941976 14.7817001 6.0669500 -0.0272572 -0.0029076
  12.0000000 14.7817001 14.7803676 6.0669500 -0.0029076 -0.0003100
  12.0000000 14.7803676 14.7802255 6.0669500 -0.0003100 -0.0000330
                             Tarea
Encuentre la raíz real de f(x) = (0.8 – 0.3x)/x, por el método de
falsa posición. Utilice valores iniciales de 1 y 3, calcule el error
porcentual verdadero en cada iteración. Encuentre la raíz
analiticamente.
                Falsa posición en C
                                     if(fl*fr<0){
                                           xu = xr;
                                           fu = f(xu);
double falsaPosicion(double xl,            iu = 0;
 double xu, double ee, int imax){          il++;
  double error,fl,fu,fr,xr,xrOld;          if(il>=2)
  int iter=0,il=0,iu=0;                      fl/=2;
  fl = f(xl);                            }
  fu = f(xu);                            else{
  do{                                      xl = xr;
    xrOld = xr;                            fl = f(xl);
    xr = xu - fu*(xl-xu)/(fl-fu);          il = 0;
    fr = f(xr);                            iu++;
    iter++;                                if(iu>=2)
    if(xr!= 0)                               fu/=2;
      error=fabs((xr-xrOld)/xr*100);       else;
                                             error = 0;
                                         }
                                       }while(error>ee && iter<=imax);
                                       return xr;
                                     }
           Iteración de punto fijo
Un punto fijo de una función g(x) es un número p tal que g(p) =
p.
Dado un problema f(x) = 0, se puede definir una función g(x)
con un punto fijo en p de diferentes maneras. Por ejemplo g(x)
= x – f(x).
                                   Teorema
   Si g  C [a, b] y g(x)  C [a, b] para toda x  C [a, b], entonces g tiene un
   punto fijo en [a, b].
   Si además g’(x) existe en (a, b) y una constante positiva k<1 existe con
                         |g’(x)| <= k, pata toda x  (a, b),
   Entonces el punto fijo en [a, b] es único.
          y       |g’(x)<=1                                    y       |g’(x)>1
      b                            y=x                   b                             y=x

p=g(p)                            y = g(x)       p=g(p)                               y = g(x)

      a                                                  a
              a      p        b      x                             a      p       b     x
        Algoritmo de punto fijo
Obtener una solución a p = g(p) dada un
aproxiamción inicial p0.
ENTRADA aproximación inicial p0; tolerancia TOL;
número máximo de iteraciones N0.
1. Tome i = 1.
2. Mientras i <= N0 hacer
3.    p = g(p0)
4.    Si |p – p0| < TOL entonces
5.           Regresar p
6.    i = i +1
7.    p0 = p
8. Fin mientras
9. Imprime ‘El procedimiento fracasó después de N0
iteraciones’
     Gráfica del algoritmo de punto
                   fijo
                                                                        y=x
            y                                     y
                                y=x   p3= g(p2)
                                                                       y = g(x)
                                      p2= g(p1)
p2= g(p1)
                                      p1= g(p0)
p3= g(p2)
                          y = g(x)
p1= g(p0)



                p1 p3 p2 p0 x                         p0   p1   p2 x
Casos de no convergencia
                                y=x
y                  y
           y=x
                               y = g(x)




        y = g(x)


       x                   x
                        Ejemplo
Sea la función: x3 + 4x2 –10 = 0 tiene una raíz en [1, 2]

Puede despejarse en:
a. x = g1(x) = x – x3 – 4x2 +10
b. x = g2(x) = ½(10 – x3)½
c. x = g3(x) = (10/(4 + x))½
d. x = g4(x) = x – (x3 + 4x2 – 10)/(3x2 + 8x)
          Iteraciones de punto fijo
(a)                  (b)           (c)           (d)
1 1.5                1.5           1.5           1.5
2 -0.875             1.286953767   1.348399724   1.373333333
3 6.732421875        1.402540803   1.367376371   1.365262014
4 -469.72001200      1.345458374   1.364957015   1.365230013
5 1.02754555E8       1.375170252   1.365264748   1.365230013
6 -1.084933870E24    1.360094192   1.365225594
7 1.277055591E72     1.367846967   1.365230575
8 -2.082712908E216   1.363887003   1.365229941
9 NaN                1.365916733   1.365230022
10                   1.364878217   1.365230012
11                   1.365410061   1.365230013
12                   1.365137820   1.365230013
13                   1.365277208
14                   1.365205850
15                   1.365242383
20                   1.365229578
25                   1.365230028
30                   1.365230012
          Funciones graficadas en MathLab




     a)                                 b)




c)                                      d)
            Teorema de punto fijo
Si g  C [a, b] y g(x)  C [a, b] para toda x  C [a, b], además supongamos
que existe g’(x) en (a, b) y una constante positiva k<1 cuando
                  |g’(x)| <= k, pata toda x  (a, b),
Entonces, para cualquier punto p0 en [a, b] la sucesión definida por
                  pn = g(pn–1), n >=1
Converge en el único punto fijo p en [a, b].
                        Corolario
Si g satisface las hipótesis de teorema del punto fijo, las cotas
de error que supone utilizar pn para aproximar a p están dadas
por
               | pn – p| <= kn max(p0 – a, b – p0)
Y por
        | pn – p| <= kn | p1 – p0|/ (1 – k), para toda n>=1
                Análisis del ejemplo
Caso (a)                         Caso (b)
g1(x) = x – x3 – 4x2 +10         g2(x) = ½(10 – x3)½
g1’(x) = 1 – 3x2 – 8x            g2’(x) = – 3/4x2(10 – x3)–½
g1’(1) = – 11, g1’(2) = – 28     g2’(1) = – 0.25, g1’(2) = – 2.1213
No se cumple |g1’(x)| <1         No se cumple |g1’(x)| <1


Caso (c)
                                 Caso (d)
g3(x) = (10/(4 + x))½
g3’(x) = (– 5/3.16)(4 + x)–1.5   g4(x) = x – (x3 + 4x2 – 10)/(3x2 + 8x)
                                 Se cumple |g4’(x)| es aún menor que
<= (– 5/3.16)(5)–1.5 <= 0.15     en el caso (c) para toda x en [1, 2]
Para toda x en [1, 2]
           Programa en Matlab
function y = PuntoFijo(f_name, p0, tol, ni)
%f_name - nombre de la funcion
%p0 - valor inicial de la raiz
%tol – tolerancia
%ni – número de iteraciones
i = 1;
while i<=ni
    p = feval(f_name,p0);
    if(abs(p0-p)<tol)
       y = p;
       break;
    end
    i = i + 1;
    p0 = p;
end
fprintf('No se encontro solucion.');
                      Función en C
double PuntoFijo(double p0, double tol, int ni){
  int i = 1;
  double p;
  while(i<=ni){
    p = f(p0);
    if(fabs((p0-p)/p)<tol)
      return p;
    i++;
    p0 = p;
  }
    std::cout << "NO solucion en :" << ni << “ iteraciones.\n";
    return p;
}
          Método de Newton-Raphson
La ecuación de la recta                               f(x)
tangente es:
y – f(xn) = f ’ (xn)(x – xn)
Cuando y = 0, x = xn+1 o sea
                                                       Pendiente = f ’ (xn)
0 – f(xn) = f ’ (xn)(xn+1– xn)   f (xn)

o
                f ( xn )
    xn1  xn 
                f '( xn )                 xn+1   xn
           Algoritmo Newton
Para obtener una solución a f(x) = 0 dada una
aproximación p0.
ENTRADA aproximación inicial p0; tolerancia tol;
número máximo de iteraciones N0.
1. i = 1
2. Mientras i<=N0 hacer
      2.1. p = p0 – f(p0)/f’(p0)
      2.2. Si |p – p0|< tol entonces regrese p
      2.3. i = i + 1
      2.4. p0 = p
3. fracaso en encontrar la raíz en N0 iteraciones
                       Ejemplo
 f(x) = x – cos(x)       f’(x) = 1 + sen(x)
 pn+1 = pn – (pn – cos(pn))/(1 + sen(pn))

 Tomando p0 = 0, se obtiene
pn          f(pn)           f’(pn)    pn+1
0           -1              1         1
1           0.459698        1.8414    0.7503639
0.7503639   0.0189          1.6819    0.7391128
0.7391128   0.00005         1.6736    0.7390851
0.7390851   3E-10           1.6736    0.7390851
                       Ejercicio
Encontrar la solución de
                      x3 + 4x2 – 10 = 0
En el intervalo [1, 2] con el método de Newton
                 Código en C

double Newton(double x0, double ee, int ni){
  int i = 0;
  double x,fx,dfx;
  while(i<ni){
    fx = f(x0);
    dfx = df(x0);
    x = x0-fx/dfx;
    if(fabs((x-x0)/x)<ee)
      return x;
    i++;
    x0 = x;
  }
  std::cout << "No solución en "<< i << " pasos\n";
  return x;
}
         Ejemplo: cuenta de ahorros
El valor acumulado de una cuenta de ahorros puede calcularse con la ecuación de
anualidad vencida

                                  A = P[(1 + i )n - 1 ] / i

En esta ecuación A es el monto de la cuenta, P es la cantidad que se deposita
periódicamente e i es la tasa de interés por periodo para los n periodos de depósito. A
un ingeniero le gustaría tener una cuenta de ahorros con un monto de $ 750,000
dólares al momento de retirarse dentro de 20 años, y puede depositar $ 1,500 dólares
mensuales para lograr dicho objetivo. ¿Cuál es la mínima tasa de interés a que puede
invertirse ese dinero, suponiendo que es un interés compuesto mensual?

Escriba un programa en C para este problema, el programa deberá pedir todos los
datos necesarios y utilizar el método de Newton para calcular el interés a que debe
invertirse el dinero.
                        Solución
Para estimar el valor inicial de i podemos desarrollar el
binomio (1 + i)n para aproximarlo a la segunda potencia. El
resultado es
                              2 A  nP 
                       i0 
                              nn  1P
 Se sugiere validar los datos de entrada. El capital a obtener
 debe ser mayor que el depósito por el número de abonos, es
 decir
                        A > nP
        Ejemplos resuelto en Excel
A=            $750,000.00 i             f(i)           f'(i)         i n+1
P=              $1,500.00 0.009065551 4784.893234 2361961.89 0.00703974
n=                    240 0.007039738 1297.701361           1175049.3 0.00593536
                            0.005935357 255.8695592 730982.881 0.00558532
A(calculado)= $750,000.00 0.005585323 20.97312565 612780.041            0.0055511
                            0.005551096      0.18919948 601739.117 0.00555078
                            0.005550782 1.58807E-05 601638.103 0.00555078
                            0.005550782 -1.99179E-10 601638.094 0.00555078
             i=                   0.56%

A=            $350,000.00 i             f(i)       f'(i)      i n+1
P=             $20,000.00 0.166666667 15099.14998 450849.857 0.13317625
n=                     10 0.133176249 3212.297411 266179.386 0.12110808
                            0.121108082 346.4384394 209573.765 0.11945502
A(calculado)= $350,000.00 0.11945502 6.113559001 202191.641 0.11942478
                            0.119424783 0.002029206 202057.423 0.11942477
                            0.119424773 2.47383E-10 202057.379 0.11942477
                            0.119424773 6.54836E-11 202057.379 0.11942477
             i=                  11.94%
  Método alternativo para evaluar la
   derivada (método de la secante)
Es posible calcular la derivada en xn usando:

                                f xn  h   f xn 
                    f ' xn  
                                         h

O utilizando

                                f xn   f xn  h 
                    f ' xn  
                                         h
           Algoritmo Newton2
Para obtener una solución a f(x) = 0 dada una
aproximación p0.
ENTRADA aproximación inicial p0; tolerancia tol;
número máximo de iteraciones N0.
1. i = 1
2. h = 0.001
3. Mientras i<=N0 hacer
      2.1. y = f(p0)
      2.2. y_deriv =(f(p0+h)-y)/h
      2.3. p = p0 – y/y_deriv
      2.4. Si |p – p0|< tol entonces regrese p
      2.5. i = i + 1
      2.6. p0 = p
3. fracaso en encontrar la raíz en N0 iteraciones
                 Código en C

double Newton(double x0, double ee, int ni){
  int i = 0;
  double x,fx,dfx,h;
  h = 0.0001;
  while(i<ni){
    fx = f(x0);
    dfx = (f(x0+h)-fx)/h;
    x = x0-fx/dfx;
    if(fabs((x-x0)/x)<ee)
      return x;
    i++;
    x0 = x;
  }
  std::cout << "No solución en "<< i << " pasos\n";
  return x;
}
         Programa en Matlab
function x = Newt_n(f_name, xO)
% Iteración de Newton sin gráficos
x = xO; xb = x-999;
n=0; del_x = 0.01;              Calcula derivada con
while abs(x-xb)>0.000001        incrementos
  n=n+1; xb=x ;
  if n>300 break; end
  y=feval(f_name, x) ;
  y_driv=(feval(f_name, x+del_x) - y)/del_x;
  x = xb - y/y_driv ;
  fprintf(' n=%3.0f, x=%12.5e, y=%12.5e, ', n,x,y)
  fprintf(' yd = %12.5e \n', y_driv)
end
fprintf('\n Respuesta final = %12.6e\n', x) ;
        Raíz cuadrada con Newton
Para extraer la raíz cuadrada de un número se puede resolver la ecuación
                             f(x) = x2 – c = 0
La derivada es
                                 f’(x) = 2x
La fórmula de recurrencia de Newton es
                         xn+1 = xn – (xn2 – c)/(2xn)
                                   = xn/2 + c/(2xn)
                                                          xn        xn+1
                                   = (xn + c/xn)/2         1      3.000000
                                                       3.000000   2.333333
Ejemplo: raíz cuadrada de 5 con x0 = 1.                2.333333   2.238095
                                                       2.238095   2.236069
                                                       2.236069   2.236068
                  Desventajas
En algunos casos la convergencia es muy lenta, considere
                         f(x) = xn – 1
Se obtiene la siguiente secuencia empezando en x = 0.5
iteración     x
0             0.5
1             51.65
2             46.485
3             41.8365
4             37,65285
..
--            1.000000
                       Desventajas (cont.)
f(x)                                      f(x)



       x1                   x0
                                 x2   x                     x0   x2    x1     x

                                                            mínimo local
 raíz cerca de punto de inflexión
f(x)                                       f(x)




                            x1

                                 x0 x                x0     x1                x



            varias raíces
                                                  la iteración en un mínimo
                      Ejemplo
Resolver utilizando Excel
sen x - e-x = 0 para 0<= x <= 1 y 3<= x <= 4 y 6<= x <= 7
                     Resultados
h=                       0.1
     xn          f(xn)              f'(xn)      xn+1
0.00000000   -1.00000000        1.94995999   0.51283104
0.51283104   -0.10815190        1.41522716   0.58925121
0.58925121    0.00099615        1.33011566   0.58850229
0.58850229   -0.00004224        1.33095756   0.58853402
0.58853402    0.00000178        1.33092188   0.58853269


h=                       0.01
xn           f(xn)              f'(xn)       xn+1
0.00000000    -1.00000000       1.99499996    0.50125314
0.50125314    -0.12524617       1.47731614    0.58603267
0.58603267    -0.00347081       1.38411969    0.58854027
0.58854027     0.00001043       1.38133294    0.58853271
0.58853271    -0.00000004       1.38134134    0.58853274
                       Tarea #14
La carga en un circuito RLC serie esta dada por
                                              1  R 2 
                qt   q0e  Rt /( 2 L ) cos     t
                                              LC  2 L  
                                                         

suponga q0/q = 0.01, t = 0.05 s, L = 5H y C = 10-6 F.
Encuentre el valor de la Resistencia R usando el método de
Newton. Haga un programa en C para este problema.
     Convergencia en el punto fijo
El algoritmo de punto fijo es de tipo lineal. Se puede demostrar
que el error verdadero en la iteración i+1 es:
                      Et,i+1= g’(x)Et,i
donde
                      Et,i = xr - xi
   Convergencia en Newton Raphson
El algoritmo de Newton es de tipo cuadrático. Se puede
demostrar que el error verdadero en la iteración i+1 es:
                      Et,i+1= (- f ’’(xr)/2f ’(xr))E2t,i

Esto significa que el número de decimales exactos se duplica
con cada iteración.
              Raíces múltiples
En el caso de que un polinomio tenga raíces múltiples, la
función tendrá pendiente igual a cero cuando cruce el eje x.
Tales casos no pueden detectarse en el método de bisección
si la multiplicidad es par.
En el método de Newton la derivada en la raíz es cero.
Generalmente el valor de la función tiende a cero más rápido
que la derivada y puede utilizarse el método de Newton
                      Ejemplo
Polinomio:      f(x) = (x – 3) (x – 1) (x – 1)


      n           xn           f(xn)        f'(xn)       xn+1
           0   0.50000000   -0.62500000   2.75000000   0.72727273
           1   0.72727273   -0.16904583   1.31404959   0.85591767
           2   0.85591767   -0.04451055   0.63860849   0.92561694
           3   0.92561694   -0.01147723   0.31413077   0.96215341
           4   0.96215341   -0.00291894   0.15568346   0.98090260
           5   0.98090260   -0.00073639   0.07748373   0.99040636
           6   0.99040636   -0.00018496   0.03865069   0.99519176
           7   0.99519176   -0.00004635   0.01930234   0.99759300
           8   0.99759300   -0.00001160   0.00964539   0.99879578
           9   0.99879578   -0.00000290   0.00482125   0.99939771
          10   0.99939771   -0.00000073   0.00241026   0.99969881

				
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